Questões de Geometria Plana (ENEM - Resolvidas)

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PREPARAENEM _ Prof. Cristiano Siqueira 
 
1. (Enem 2014) Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fósforo de mesmo 
comprimento. Cada triângulo será construído com exatamente 
17
 palitos e pelo menos um 
dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente 
6
 palitos. A figura ilustra um 
triângulo construído com essas características. 
 
 
 
A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos é 
a) 
3.
 
b) 
5.
 
c) 
6.
 
d) 
8.
 
e) 
10.
 
 
 
Resposta: 
 
[A] 
 
Sejam 
a
 e 
b
 as quantidades de palitos em cada um dos outros dois lados do triângulo. Tem-se 
que 
{a, b} {{1,10}, {2,9}, {3, 8}, {4, 7}, {5, 6}}.
 Mas, pela condição de existência de um triângulo, 
só pode ser 
{a, b} {{3, 8}, {4, 7}, {5, 6}}
 e, portanto, a resposta é 
3.
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
2. (Enem 2014) Diariamente, uma residência consome 
20.160Wh.
 Essa residência possui 
100
 
células solares retangulares (dispositivos capazes de converter a luz solar em energia elétrica) 
de dimensões 
6cm 8cm.
 Cada uma das tais células produz, ao longo do dia, 
24Wh
 por 
centímetro de diagonal. O proprietário dessa residência quer produzir, por dia, exatamente a 
mesma quantidade de energia que sua casa consome. 
 
Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele atinja o seu objetivo? 
a) Retirar 
16
 células. 
b) Retirar 
40
 células. 
c) Acrescentar 
5
 células. 
d) Acrescentar 
20
 células. 
e) Acrescentar 
40
 células. 
 
 
Resposta: 
 
[A] 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras, concluímos facilmente que a diagonal de uma célula solar 
mede 
10cm.
 Em consequência, as 
100
 células produzem 
100 10 24 24.000 Wh.  
 Assim, 
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estão sendo produzidos, diariamente, 
24000 20160 3.840 Wh 
 além do consumo. Portanto, 
o proprietário deverá retirar 
3840
16
240

 células. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
3. (Enem PPL 2014) Um artista deseja pintar em um quadro uma figura na forma de triângulo 
equilátero 
ABC
 de lado 
1
 metro. Com o objetivo de dar um efeito diferente em sua obra, o 
artista traça segmentos que unem os pontos médios 
D, E
 e 
F
 dos lados 
BC, AC
 e 
AB,
 
respectivamente, colorindo um dos quatro triângulos menores, como mostra a figura. 
 
 
 
Qual é a medida da área pintada, em metros quadrados, do triângulo 
DEF?
 
a) 
1
16
 
b) 
3
16
 
c) 
1
8
 
d) 
3
8
 
e) 
3
4
 
 
 
Resposta: 
 
[B] 
 
Os quatro triângulos menores são equiláteros de lado 
1
m.
2
 Portanto, segue que 
 
2
21 1 3(DEF) 3 m .
4 2 16
 
    
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
4. (Enem PPL 2014) Um construtor precisa revestir o piso de uma sala retangular. Para essa 
tarefa, ele dispõe de dois tipos de cerâmicas: 
 
I. cerâmica em forma de quadrado de lado 
20 cm,
 que custa 
R$ 8,00
 por unidade; 
II. cerâmica em forma de triângulo retângulo isósceles de catetos com 
20 cm,
 que custa 
R$ 6,00
 por unidade. 
 
A sala tem largura de 
5 m
 e comprimento de 
6 m.
 
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O construtor deseja gastar a menor quantia possível com a compra de cerâmica. Sejam 
x
 o 
número de peças de cerâmica de forma quadrada e 
y
 o número de peças de cerâmica de 
forma triangular. 
 
Isso significa, então, encontrar valores para 
x
 e 
y
 tais que 
0,04x 0,02y 30 
 e que tomem o 
menor possível valor de 
a) 
8x 6y.
 
b) 
6x 8y.
 
c) 
0,32x 0,12y.
 
d) 
0,32x 0,02y.
 
e) 
0,04x 0,12y.
 
 
 
Resposta: 
 
[A] 
 
O custo total das lajotas é dado por 
8x 6y,
 que é o resultado pedido. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
5. (Enem 2014) Uma pessoa possui um espaço retangular de lados 
11,5m
 e 
14m
 no quintal de 
sua casa e pretende fazer um pomar doméstico de maçãs. Ao pesquisar sobre o plantio dessa 
fruta, descobriu que as mudas de maçã devem ser plantadas em covas com uma única muda e 
com espaçamento mínimo de 
3
 metros entre elas e as laterais do terreno. Ela sabe que 
conseguirá plantar um número maior de mudas em seu pomar se dispuser as covas em filas 
alinhadas paralelamente ao lado de maior extensão. 
 
O número máximo de mudas que essa pessoa poderá plantar no espaço disponível é 
a) 
4.
 
b) 
8.
 
c) 
9.
 
d) 
12.
 
e) 
20.
 
 
 
Resposta: 
 
[C] 
 
Considere a figura, em que os círculos têm raio igual a 
3 m
 e as mudas correspondem aos 
pontos vermelhos. 
 
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Portanto, segue que o resultado pedido é 
9.
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
6. (Enem PPL 2014) Um homem, determinado a melhorar sua saúde, resolveu andar 
diariamente numa praça circular que há em frente à sua casa. Todos os dias ele dá exatamente 
15
 voltas em torno da praça, que tem 
50 m
 de raio. 
Use 
3
 como aproximação para 
.π
 
 
Qual é a distância percorrida por esse homem em sua caminhada diária? 
a) 
0,30 km
 
b) 
0,75 km
 
c) 
1,50 km
 
d) 
2,25 km
 
e) 
4,50 km
 
 
 
Resposta: 
 
[E] 
 
A distância percorrida pelo homem em sua caminhada diária é igual a 
 
15 2 50 4500 m 4,5km.π    
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
7. (Enem 2013) Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras 
mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve 
apresentar simetria em relação ao ponto O. 
 
 
 
A imagem que representa a nova figura é: 
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a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
Resposta: 
 
[E] 
 
Como o simétrico de um ponto 
P
 do plano, em relação ao ponto 
O,
 é o ponto 
P'
 tal que 
PO P'O
 e 
P'
 pertence à reta 
PO,
 segue-se que a alternativa correta é a alternativa [E]. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
8. (Enem PPL 2013) O símbolo internacional de acesso, mostrado na figura, anuncia local 
acessível para o portador de necessidades especiais.Na concepção desse símbolo, foram 
empregados elementos gráficos geométricos elementares. 
 
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Os elementos geométricos que constituem os contornos das partes claras da figura são 
a) retas e círculos. 
b) retas e circunferências. 
c) arcos de circunferências e retas. 
d) coroas circulares e segmentos de retas. 
e) arcos de circunferências e segmentos de retas. 
 
 
Resposta: 
 
[E] 
 
É fácil ver que os elementos geométricos que constituem os contornos das partes claras da 
figura são arcos de circunferências e segmentos de retas. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
9. (Enem 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor 
firmar dois postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na 
qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo EF, todos 
perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC 
representam cabos de aço que serão instalados. 
 
 
 
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? 
a) 
1m
 
b) 
2 m
 
c) 
2,4 m
 
d) 
3 m
 
e) 
2 6 m
 
 
 
 
Resposta: [C] 
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É fácil ver que os triângulos 
AEC
 e 
BED
 são semelhantes. Logo, 
 
AF AC AF 4
6BF BD BF
AF BF 2 3
2AF
AF 2
.
5AF BF
  
 
 
 

 
 
Além disso, como os triângulos 
AEF
 e 
ABD
 também são semelhantes, vem 
 
AF EF AF EF
6AB BD AF BF
EF 2
6 5
EF 2,4 m.
  

 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
10. (Enem PPL 2013) O proprietário de um terreno retangular medindo 10 m por 31,5 m 
deseja instalar lâmpadas nos pontos C e D, conforme ilustrado na figura: 
 
 
 
Cada lâmpada ilumina uma região circular de 5 m de raio. Os segmentos AC e BD medem 2,5 
m. O valor em m2 mais aproximado da área do terreno iluminada pelas lâmpadas é 
 
(Aproxime 
3
 para 1,7 e 
π
 para 3.) 
a) 30. 
b) 34. 
c) 50. 
d) 61. 
e) 69. 
 
 
Resposta: 
 
[D] 
 
Considere a figura. 
 
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Do triângulo 
ACF,
 vem 
 
AC 2,5
cosACF cosACF
5CF
ACF 60 .
  
  
 
 
Logo, 
ECF 180 ACF 120 .    
 
 
Portanto, como os triângulos 
ACF
 e 
BDG
 são congruentes, bem como os setores 
ECF
 e 
BGH,
 segue-se que a área pedida é dada por 
 
2 2
2
1 1 1 5 3 1
2 AC CF senA CF CF 2 5 5
2 3 2 2 2 3
25 1
2 1,7 3 25
8 3
61m .
π π
  
                     
 
      
 

 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
11. (Enem PPL 2013) Em uma casa, há um espaço retangular medindo 4 m por 6 m, onde se 
pretende colocar um piso de cerâmica resistente e de bom preço. Em uma loja especializada, 
há cinco possibilidades de pisos que atendem às especificações desejadas, apresentadas no 
quadro: 
 
Tipo do piso Forma 
Preço do piso 
(em reais) 
I 
Quadrado de lado 
medindo 20 cm 
15,00 
II 
Retângulo medindo 30 cm 
por 20 cm 
20,00 
III 
Quadrado de lado 
medindo 25 cm 
25,00 
IV 
Retângulo medindo 16 cm 
por 25 cm 
20,00 
V 
Quadrado de lado 
medindo 40 cm 
60,00 
 
Levando-se em consideração que não há perda de material, dentre os pisos apresentados, 
aquele que implicará o menor custo para a colocação no referido espaço é o piso 
a) I. 
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b) II. 
c) III. 
d) IV. 
e) V. 
 
 
Resposta: 
 
[B] 
 
A área do espaço é igual a 
2 24 6 24 m 240.000cm .  
 
 
Cada quadrado do tipo I tem área igual a 
2 220 400cm .
 Logo, o custo do piso I é 
 
240000
15 R$ 9.000,00.
400
 
 
 
Cada retângulo do tipo II tem área igual a 
230 20 600cm . 
 Assim, o custo do piso II é 
 
240000
20 R$ 8.000,00.
600
 
 
 
Cada quadrado do tipo III tem área igual a 
2 225 625cm .
 Desse modo, o custo do piso III é 
 
240000
25 R$ 9.600,00.
625
 
 
 
Cada retângulo do tipo IV tem área igual a 
216 25 400cm . 
 Desse modo, o custo do piso IV é 
 
240000
20 R$ 12.000,00.
400
 
 
 
Cada quadrado do tipo V tem área igual a 
2 240 1.600cm .
 Então, o custo do piso V é 
 
240000
60 R$ 9.000,00.
1600
 
 
 
Por conseguinte, o piso que implicará o menor custo para a colocação no referido espaço é o 
piso II. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
12. (Enem 2013) Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a 
y centímetros. Essas placas são vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, é especificada 
a área máxima S que pode ser coberta pelas N placas. 
Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados 
de suas placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta S não 
fosse alterada. 
 
A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a: 
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a) 
N
9
 
b) 
N
6
 
c) 
N
3
 
d) 
3N
 
e) 
9N
 
 
 
Resposta: 
 
[A] 
 
Seja 
S'
 a área coberta pelas placas de uma caixa nova. Como 
2S N y , 
 
2S' X 9y 
 e 
S ' S,
 
temos 
 
2 2 NX 9y N y X .
9
    
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
13. (Enem 2013) A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da 
humanidade. Uma de suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste na 
evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma 
determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o 
processo de cozimento, causa uma redução de até 20% nas dimensões lineares de uma peça. 
 
Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012. 
 
 
Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados 
mediam 30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%. 
 
Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em 
a) 4%. 
b) 20%. 
c) 36%. 
d) 64%. 
e) 96%. 
 
 
Resposta: 
 
[C] 
 
Sendo de 
20%
 a redução nas medidas dos lados, tem-se que a redução na área é dada por 
 
21 0,8 1 0,64 0,36 36%.    
 
 
 
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14. (Enem 2013) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são 
soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para 
posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10cm entre os 
canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de metal, 
conforme a figura: 
 
 
 
Utilize 1,7 como aproximação para 
3.
 
 
O valor de R, em centímetros, é igual a 
a) 64,0. 
b) 65,5. 
c) 74,0. 
d) 81,0. 
e) 91,0. 
 
 
Resposta: 
 
[C] 
 
Considere a figura, em que 
O
 é o centro do triângulo equilátero 
ABC
 de lado 
60cm,
 
M
 é o 
ponto médio do lado 
BC
 e 
D
 é a interseção da reta 
OC
 com o círculo de raio 
30cm
 e centro 
em 
C.
 
 
 
 
Desse modo, como 
OC
 é o raio do círculo circunscrito ao triângulo 
ABC,
 segue-se que 
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60 3
OC 34cm.
3
 
 
 
Portanto, 
 
R OC CD DE
34 30 10
74cm.
  
  

 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
15. (Enem 2013) Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com base quadradas. 
Todos os copos desse restaurante têm o formato representado na figura: 
 
 
 
Considere que 
7
AC BD
5

 e que é a medida de um dos lados da base da bandeja. 
Qual deve ser o menor valor da razão 
BD
 para que uma bandeja tenha capacidade de portar 
exatamente quatro copos de uma só vez? 
a) 
2
 
b) 
14
5
 
c) 
4
 
d) 
24
5
 
e) 
28
5
 
 
 
Resposta: 
 
[D] 
 
Considere a figura, em que 
BD x
 e 
AC y.
 
 
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Para que a bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só vez, 
deve-se ter 
 
247
2 (x y) 2 x.x x
55
 
      
 
 
 
Portanto, o resultado pedido é dado por 
 
24
x
245 .
x 5BD
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
16. (Enem PPL 2012) Um professor, ao fazer uma atividade de origami (dobraduras) com seus 
alunos, pede para que estes dobrem um pedaço de papel em forma triangular, como na figura 
a seguir, de modo que M e N sejam pontos médios respectivamente de AB e AC, e D, ponto do 
lado BC, indica a nova posição do vértice A do triângulo ABC. 
 
 
 
Se ABC é um triângulo qualquer, após a construção, são exemplos de triângulos isósceles os 
triângulos 
a) CMA e CMB. 
b) CAD e ADB. 
c) NAM e NDM. 
d) CND e DMB. 
e) CND e NDM. 
 
 
Resposta: 
 
[D] 
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Gabarito Oficial: [E] 
Gabarito Possível: [D] 
 
Como 
MN
 é base média de 
ABC,
 segue-se que 
AM MB MD 
 e 
AN CN ND. 
 Portanto, 
são exemplos de triângulos isósceles os triângulos 
CND
 e 
DMB.
 
 
Observação: O gabarito oficial aponta a alternativa [E] como sendo a alternativa correta. 
Porém, com os dados fornecidos não é possível afirmar que o triângulo 
NDM
 é isósceles. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
17. (Enem PPL 2012) Em uma das paredes de um depósito existem compartimentos de 
mesmo tamanho para armazenamento de caixas de dimensões frontais a e b. A terceira 
dimensão da caixa coincide com a profundidade de cada um dos compartimentos. Inicialmente 
as caixas são arrumadas, em cada um deles, como representado na Figura 1. A fim de 
aproveitar melhor o espaço, uma nova proposta de disposição das caixas foi idealizada e está 
indicada na Figura 2. Essa nova proposta possibilitaria o aumento do número de caixas 
armazenadas de 10 para 12 e a eliminação de folgas. 
 
 
 
É possível ocorrer a troca de arrumação segundo a nova proposta? 
a) Não, porque a segunda proposta deixa uma folga de 4 cm na altura do compartimento, que 
é de 12 cm, o que permitiria colocar um número maior de caixas. 
b) Não, porque, para aceitar a segunda proposta, seria necessário praticamente dobrar a altura 
e reduzir à metade a largura do compartimento. 
c) Sim, porque a nova disposição das caixas ficaria acomodada perfeitamente no 
compartimento de 20 cm de altura por 27 cm de largura. 
d) Sim, pois efetivamente aumentaria o número de caixas e reduziria o número de folgas para 
apenas uma de 2 cm na largura do compartimento. 
e) Sim, porque a nova disposição de caixas ficaria acomodada perfeitamente no 
compartimento de 32 cm de altura por 45 cm de largura. 
 
 
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Resposta: 
 
[E] 
 
Para que a troca seja possível, deve-se ter 
4a 2b 2 
 e 
3b 5a 5. 
 Logo, se 
4a 32cm,
 ou 
seja, 
a 8cm,
 então 
3b 45cm
 e, portanto, a troca será possível. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
18. (Enem 2012) Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas 
Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para 
Sistema de Posicionamento Global) com longitude de 124° 3’ 0” a leste do Meridiano de 
Greenwich. 
Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”. 
 
PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado) 
 
A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma 
decimal é 
a) 124,02°. 
b) 124,05°. 
c) 124,20°. 
d) 124,30°. 
e) 124,50°. 
 
Resposta: 
[B] 
3’= (3/60)° = 0,05° 
 
124° 3’ 0” = 124,05° 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
19. (Enem PPL 2012) Durante seu treinamento, um atleta percorre metade de uma pista 
circular de raio R, conforme figura a seguir. A sua largada foi dada na posição representada 
pela letra L, a chegada está representada pela letra C e a letra A representa o atleta. O 
segmento LC é um diâmetro da circunferência e o centro da circunferência está representado 
pela letra F. 
Sabemos que, em qualquer posição que o atleta esteja na pista, os segmentos LA e AC são 
perpendiculares. Seja 
θ
 o ângulo que o segmento AF faz com segmento FC. 
 
 
 
Quantos graus mede o ângulo 
θ
 quando o segmento AC medir R durante a corrida? 
 
a) 15 graus 
b) 30 graus 
c) 60 graus 
d) 90 graus 
e) 120 graus 
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Resposta: 
 
[C] 
 
Se AC = R, temos o triângulo AFC equilátero. Logo, 
60 .θ  
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
20. (Enem 2012) Jorge quer instalar aquecedores no seu salãode beleza para melhorar o 
conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de 
aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 
m2 de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45 m2 de área. O 
fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do 
que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo 
possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte 
(ambientes representados por três retângulos é um trapézio). 
 
 
 
Avaliando-se todas as informações, serão necessários 
a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B. 
b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B. 
c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. 
d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B. 
e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B. 
 
 
Resposta: 
 
[C] 
 
Calculando as áreas dos ambientes, obtemos 
 
2
IS 8 5 40 m ,  
 
 
2
IIS (14 8) 5 30 m ,   
 
 
2
IIIS (14 8) (9 5) 24 m    
 
e 
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2
IV
(14 8) 4
S 7 35 m .
2
 
  
 
 
Desse modo, como Jorge quer gastar o mínimo com gás, ele deverá instalar duas unidades do 
tipo A (ambientes II e III) e duas unidades do tipo B (ambientes I e IV). 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
21. (Enem 2012) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que 
encolherá após a primeira lavagem, mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir 
mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) 
na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – 
y). 
 
 
 
Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por: 
a) 2xy 
b) 15 – 3x 
c) 15 – 5y 
d) –5y – 3x 
e) 5y + 3x – xy 
 
 
Resposta: 
 
[E] 
 
Como o retângulo de dimensões 
x y
 está contido nos retângulos de dimensões 
5 y
 e 
3 x,
 
segue que a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por 
3x 5y xy. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
22. (Enem 2012) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de 
vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir. 
 
 
 
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Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos 
AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados 
dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m2, e outro 
para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2. 
 
De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral? 
a) R$ 22,50 
b) R$ 35,00 
c) R$ 40,00 
d) R$ 42,50 
e) R$ 45,00 
 
 
Resposta: 
 
[B] 
 
O custo pedido é dado por 
 
2
1 1 1 1
3 14 2 4 21 4 30 4 50 30 50
2 2 4 4
R$ 35,00.
 
  
          
 

 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
23. (Enem PPL 2012) Vitor deseja revestir uma sala retangular de dimensões 
3m 4m,
 usando 
um tipo de peça de cerâmica. Em uma pesquisa inicial, ele selecionou cinco tipos de peças 
disponíveis, nos seguintes formatos e dimensões: 
 
- Tipo I: quadrados, com 0,5 m de lado. 
- Tipo II: triângulos equiláteros, com 0,5 m de lado. 
- Tipo III: retângulos, com dimensões 
0,5m 0,6m.
 
- Tipo IV: triângulos retângulos isósceles, cujos catetos medem 0,5 m. 
- Tipo V: quadrados, com 0,6 m de lado. 
 
Analisando a pesquisa, o mestre de obras recomendou que Vítor escolhesse um tipo de piso 
que possibilitasse a utilização do menor número de peças e não acarretasse sobreposições ou 
cortes nas cerâmicas. 
 
Qual o tipo de piso o mestre de obras recomendou que fosse comprado? 
a) Tipo l. 
b) Tipo II. 
c) Tipo III. 
d) Tipo IV. 
e) Tipo V. 
 
 
Resposta: 
 
[C] 
 
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As figuras com as maiores áreas são o quadrado de lado 0,6m e o retângulo cujos lados 
medem 0,6m e 0,5m. A figura que melhor se adapta às condições do problema é o retângulo 
de lados 0,6m e 0,5m (figura III), pois 3m : 0,6m = 5 e 4m : 0,5m = 8. O quadrado de lado 6m 
possui maior área, porém 4 dividido por 0,6m não resulta em um número inteiro. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
24. (Enem 2012) Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre 
plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja 
integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, 
no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar 
técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da 
medida L do lado da base da estatua. 
 
Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de 
segurança seja cumprida? 
a) 
R L/ 2
 
b) 
R 2L/π
 
c) 
R L/ π
 
d) 
R L/2
 
e) 
 R L/ 2 2
 
 
 
Resposta: 
 
[A] 
 
 
 
Considerando R o raio da menor plataforma para se apoiar uma estátua e L o lado da base da 
estátua, podemos escrever: 
 
R2 + R2 = L2 
 
2
2 LR
2
L
R
2


 
 
Portanto: 
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L
R .
2

 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
25. (Enem 2011) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de 
lazer reinvidicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda 
com a solicitação e afirma que irá construí-la em formato retangular devido às características 
técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no 
máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro 
as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça: 
 
Terreno 1: 55 m por 45 m 
Terreno 2: 55 m por 55 m 
Terreno 3: 60 m por 30 m 
Terreno 4: 70 m por 20 m 
Terreno 5: 95 m por 85 m 
 
Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os 
moradores deverão escolher o terreno 
a) 01. 
b) 02. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
 
Resposta: 
 
[C] 
 
Apenas os terrenos 3 e 4 possuem 180 m de comprimento. Calculando a área de cada um 
deles, temos: 
2
3
2
4
A 60 30 1800 m
A 70 20 1400 m
  
  
 
Logo, o terreno com maior área que possui 180 m de perímetro é o terrenosde no 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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26. (Enem 2011) 
 
 
O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de 
a) 45°. 
b) 60°. 
c) 90°. 
d) 120°. 
e) 180°. 
 
 
Resposta: 
 
[D] 
 
360 : 3 = 120° 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
27. (Enem 2011) O atletismo é um dos esportes que mais se identificam com o espírito 
olímpico. A figura ilustra uma pista de atletismo. A pista é composta por oito raias e tem 
largura de 9,76 m. As raias são numeradas do centro da pista para a extremidade e são 
construídas de segmentos de retas paralelas e arcos de circunferência. Os dois semicírculos da 
pista são iguais. 
 
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Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em qual das raias o 
corredor estaria sendo beneficiado? 
a) 1 
b) 4 
c) 5 
d) 7 
e) 8 
 
 
Resposta: 
 
[A] 
 
Na raia 1, o atleta percorreria a menor distância, pois seu comprimento é menor. Os raios das 
semicircunferências são menores. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
28. (Enem 2010) Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores 
realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra 
deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão 
plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um 
triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, 
conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras. 
 
 
 
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. 
Nessas condições, a área a ser calcada corresponde 
a) a mesma área do triângulo AMC. 
b) a mesma área do triângulo BNC. 
c) a metade da área formada pelo triângulo ABC. 
d) ao dobro da área do triângulo MNC. 
e) ao triplo da área do triângulo MNC. 
 
 
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Resposta: 
 
[E] 
 
2
MNC
ABC
S 1
S 2
 
  
 
SABC = 4.SMNC 
 
SABMN= SABC – SMNC = 
 
SABMN = 4.SMNC - SMNC 
 
SABMN = 3. SCMN (TRIPLO) 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
29. (Enem 2010) A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais 
por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais. 
Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 
quadros retangulares (25 cm x 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora 
para 8 quadros retangulares (50 cm x 100 cm). 
 
O valor da segunda encomenda será 
a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros 
dobraram. 
b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro. 
c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros 
dobraram. 
d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade. 
e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo. 
 
 
Resposta: 
 
[B] 
 
Valor da primeira encomenda = 8.0,25.0,50.20 + 8.2(0,25 + 0,50).15 + 10 = 20 + 180 + 10 = 
210,00 
Valor da segunda encomenda = 8.0,50.1.20 + 8.2(1 + 0,5). 15 + 10 = 80 + 360 + 10 = 450,0 
 
Logo, o valor da segunda encomenda será maior que o valor da primeira encomenda, mas não 
o dobro. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
30. (Enem 2010) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande 
quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões 
da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira 
que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente as suas faces laterais, 
conforme mostra a figura. 
 
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O raio da perfuração da peça é igual a 
a) 1 cm. 
b) 2 cm. 
c) 3 cm. 
d) 4 cm. 
e) 5 cm. 
 
 
Resposta: 
 
[B] 
 
 
 
Seja r o raio da base do cilindro 
O triângulo é retângulo, pois 62 + 82 = 102 
Logo, sua área será A = 
6.8
24
2

 
 
Portanto: 
24
2
.10
2
.8
2
.6

rrr
 
12r = 24 
r = 2 
 
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31. (Enem 2010) A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos pesados provavelmente 
surgiu com os antigos egípcios ao construírem as pirâmides. 
 
 
 
Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos, em metros, a expressăo do 
deslocamento horizontal y do bloco de pedra em funçăo de R, após o rolo ter dado uma volta 
completa sem deslizar, é 
 
a) y = R. 
b) y = 2R. 
c) y = πR. 
d) y = 2πR. 
e) y = 4πR. 
 
 
Resposta: 
 
[E] 
 
Deslocamento do rolo em relação ao solo: 
R.2
. 
Deslocamento do bloco em relação ao rolo: 
R.2
. 
Deslocamento do bloco em relação ao solo: 
R.4
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
32. (Enem 2009) Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa 
a seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos 
números. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília – DF, sem 
escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4. 
 
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Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que 
forma um ângulo de 135o graus no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em 
alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um 
avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com a 
direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a direção seguida por 
um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela 
cidade destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em 
a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba. 
b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador. 
c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho. 
d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro. 
e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus. 
 
 
Resposta: 
 
[B] 
 
De acordo com o desenho a seguir, Belo Horizonte e Salvador.G E O M E T R I A P L A N A _ E N E M _ 1 9 9 8 A 2 0 1 4 
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------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
33. (Enem 2009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 
metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e 
alcançou uma altura de 0,8 metro. 
A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da 
rampa é 
a) 1,16 metros. 
b) 3,0 metros. 
c) 5,4 metros. 
d) 5,6 metros. 
e) 7,04 metros. 
 
 
Resposta: 
 
[D] 
 
mxx
x
6,52,3.2,2)2,3(8,0
2,2
8,0
2,3
2,3


 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
34. (Enem cancelado 2009) A fotografia mostra uma turista aparentemente beijando a esfinge 
de Gizé, no Egito. A figura a seguir mostra como, na verdade, foram posicionadas a câmera 
fotográfica, a turista e a esfinge. 
 
 
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Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia, verifica-se que a medida do queixo até 
o alto da cabeça da turista é igual a 
2
3
da medida do queixo da esfinge até o alto da sua 
cabeça. Considere que essas medidas na realidade são representadas por d e d’, 
respectivamente, que a distância da esfinge à lente da câmera fotográfica, localizada no plano 
horizontal do queixo da turista e da esfinge, é representada por b, e que a distância da turista 
à mesma lente, por a. 
A razão entre b e a será dada por 
a) 
b d'
a c

 
b) 
b 2d
a 3c

 
c) 
b 3d'
a 2c

 
d) 
b 2d'
a 3c

 
e) 
b 2d'
a c

 
 
 
Resposta: 
 
[D] 
 
 
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Na figura o ∆BC ~ ∆ADE logo 
c
d
a
b

 como d = 
3
2
.d ‘ 
Temos 
2c
2d
a
b '

 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
35. (Enem simulado 2009) Uma pessoa de estatura mediana pretende fazer um alambrado em 
torno do campo de futebol de seu bairro. No dia da medida do terreno, esqueceu de levar a 
trena para realizar a medição. Para resolver o problema, a pessoa cortou uma vara de 
comprimento igual a sua altura. O formato do campo é retangular e foi constatado que ele 
mede 53 varas de comprimento e 30 varas de largura. 
 
Uma região R tem área AR, dada em m2, de mesma medida do campo de futebol, descrito 
acima. 
A expressão algébrica que determina a medida da vara em metros é 
a) 
RAVara m.
1500

 
b) 
RAVara m.
1590

 
c) 
R
1590
Vara m.
A

 
d) 
RAVara m.
1500

 
e) 
RAVara m.
1590

 
 
 
Resposta: 
 
[B] 
 
Medida da vara em metros: v 
AR = 53v.30v  AR = 1590v2  v = 
1590
RA
 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
36. (Enem 2009) O quadro apresenta informações da área aproximada de cada bioma 
brasileiro. 
 
biomas 
continentais 
brasileiros 
área 
aproximada 
(Km2) 
Área / total 
Brasil 
 
Amazônia 4.196.943 49,29% 
Cerrado 2.036.448 23,92% 
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Mata atlântica 1.110.182 13,04% 
Caantiga 844.453 9,92% 
Pampa 176.496 2,07% 
Pantanal 150.355 1,76% 
Área Total Brasil 8.514.877 
 
Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado). 
 
É comum em conversas informais, ou mesmo em noticiários, o uso de múltiplos da área de um 
campo de futebol (com as medidas de 120 m x 90 m) para auxiliar a visualização de áreas 
consideradas extensas. Nesse caso, qual é o número de campos de futebol correspondente à 
área aproximada do bioma Pantanal? 
a) 1.400 
b) 14.000 
c) 140.000 
d) 1.400.000 
e) 14.000.000 
 
Resposta: 
[E] 
 
Área de um campo de futebol (km2) 0,12km . 0,09 km = 0,0108km2 número de campos de 
futebol para a área do Pantanal = 150.355 dividido por 0,0108 = 13.921759 aproximadamente 
14 000 000 km2 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
37. (Enem cancelado 2009) Um fazendeiro doa, como incentivo, uma área retangular de sua 
fazenda para seu filho, que está indicada na figura como 100% cultivada. De acordo com as 
leis, deve-se ter uma reserva legal de 20% de sua área total. Assim, o pai resolve doar mais 
uma parte para compor a reserva para o filho, conforme a figura. 
 
 
 
De acordo com a figura anterior, o novo terreno do filho cumpre a lei, após acrescentar uma 
faixa de largura x metros contornando o terreno cultivado, que se destinará à reserva legal 
(filho). O dobro da largura x da faixa é 
 
a) 10%(a + b)2 
b) 10%(a . b)2 
c) 
a b
− (a + b) 
d) 
   
2
a b ab a b   
 
e) 
   
2
a b ab a b   
 
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Resposta: 
 
[D] 
 
a x
b
x
bx
x
2ax
 
 
0,2 (a + x) . (b + x) = ax + bx + x2 
 
Desenvolvendo, temos a equação: 
 
0,8x2 + 0,8 (a + b)x - 0,2ab = 0 ( multiplicando por 5) 
4x2 + 4 (a+b)x – ab = 0 
 
abbabao
abbaba
x
abbaba
x






2
2
2
2
)()(2x log
2
)()(
8
)(4)(4
)abb)16((aΔ
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
38. (Enem cancelado 2009) Dois holofotes iguais, situados em H1 e H2, respectivamente, 
iluminam regiões circulares, ambas de raio R. Essas regiões se sobrepõem e determinam uma 
região S de maior intensidade luminosa, conforme figura. 
 
 
 
Área do setor circular: ASC = 2R
2

, α em radianos. 
A área da região S, em unidades de área, é igual a 
 
 
 
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a) 
2 22 R 3R
3 2


 
b)   22 3 3 R
12
  
c) 
2 2R R
12 8


 
d) 
2R
2

 
e) 
2R
3

 
 
 
Resposta: 
 
[A] 
 
 
 
A1 = 
osenRR
R
120..
2
1
360
120.. 2


 
S = 2.A1 = 2.









2
3
.
2
1
3
. 2
2
R
R
 
S = 
2 22 R 3R
3 2


 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
39. (Enem 2009) O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências 
com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de 
preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que AB = 
BC
2
, Antônio 
demarcou uma áreaquadrada no vértice A, para a construção de sua residência, de acordo 
com o desenho, no qual AE = 
AB
5
 é lado do quadrado. 
 
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Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela 
condição se ele 
a) duplicasse a medida do lado do quadrado. 
b) triplicasse a medida do lado do quadrado. 
c) triplicasse a área do quadrado. 
d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%. 
e) ampliasse a área do quadrado em 4%. 
 
 
Resposta: 
 
[C] 
 
105
2
x
 AE e 
2
xx
AB 
 
Área da residência = 
10010
22 xx






 
Área máxima permitida = 
100
3
2100
6 2x
x
x

 logo A(máxima) = 3.A(construída) 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
40. (Enem 2009) A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos 
períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de 
água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, 
tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1.050 m3/s. O 
cálculo da vazão, Q em m3/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa 
a água), em m2, pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av. 
Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II, para evitar a 
ocorrência de enchentes. 
 
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Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois 
da reforma na canaleta? 
a) 90 m3/s. 
b) 750 m3/s. 
c) 1.050 m3/s. 
d) 1.512 m3/s. 
e) 2.009 m3/s. 
 
Resposta: 
 
[D] 
 
Área da figura I = 
  25,62
2
5,2.2030
m

 e seja v a velocidade da água. 
1050 = v.62,5  v = 16,8 m/s 
Área da figura II = 
  290
2
2.4149
m

 
Nova vazão = 90.16,8 = 1512m3/ s 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
41. (Enem cancelado 2009) Uma fotografia tirada em uma câmera digital é formada por um 
grande número de pontos, denominados pixels. Comercialmente, a resolução de uma câmera 
digital é especificada indicando os milhões de pixels, ou seja, os megapixels de que são 
constituídas as suas fotos. Ao se imprimir uma foto digital em papel fotográfico, esses pontos 
devem ser pequenos para que não sejam distinguíveis a olho nu. A resolução de uma 
impressora é indicada pelo termo dpi (dot per inch), que é a quantidade de pontos que serão 
impressos em uma linha com uma polegada de comprimento. Uma foto impressa com 300 dpi, 
que corresponde a cerca de 120 pontos por centímetro, terá boa qualidade visual, já que os 
pontos serão tão pequenos, que o olho não será capaz de vê-los separados e passará a ver um 
padrão contínuo. Para se imprimir uma foto retangular de 15 cm por 20 cm, com resolução de 
pelo menos 300 dpi, qual é o valor aproximado de megapixels que a foto terá? 
 
a) 1,00 megapixel. 
b) 2,52 megapixels. 
c) 2,70 megapixels. 
d) 3,15 megapixels. 
e) 4,32 megapixels. 
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Resposta: 
 
[E] 
 
12.120 = 1800 pontos 
20.120 = 2400 pontos 
 
No retângulo todo 1800.2400 = 4320000 = 4,32.106 pixels ou seja 4,32 megapixels 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
42. (Enem cancelado 2009) Um chefe de cozinha utiliza um instrumento cilíndrico afiado para 
retirar parte do miolo de uma laranja. Em seguida, ele fatia toda a laranja em secções 
perpendiculares ao corte feito pelo cilindro. Considere que o raio do cilindro e da laranja sejam 
iguais a 1 cm e a 3 cm, respectivamente. 
 
 
 
A área da maior fatia possível é 
a) duas vezes a área da secção transversal do cilindro. 
b) três vezes a área da secção transversal do cilindro. 
c) quatro vezes a área da secção transversal do cilindro. 
d) seis vezes a área da secção transversal do cilindro. 
e) oito vezes a área da secção transversal do cilindro. 
 
 
Resposta: 
 
[E] 
 
Área da secção transversal do cilindro: A 1 = .12 =  cm2 
Área da maior fatia: A2 = .32 - .12 = 8 cm2 
Logo a área da maior fatia será 8 vezes a área da secção transversal do cilindro. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
43. (Enem 2008) O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça, 
constituído de sete peças: 
5
 triângulos retângulos e isósceles, 
1
 paralelogramo e 
1
 quadrado. 
Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o esquema da figura 
1.
 
Utilizando-se todas as sete peças, é possível representar uma grande diversidade de formas, 
como as exemplificadas nas figuras 
2
 e 
3.
 
 
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Se o lado 
AB
 do hexágono mostrado na figura 
2
 mede 
2cm,
 então a área da figura 
3,
 que 
representa uma "casinha", é igual a 
a) 
24cm .
 
b) 
28cm .
 
c) 
212cm .
 
d) 
214cm .
 
e) 
216cm .
 
 
 
Resposta: 
 
[B] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Seja 
RT .
 
Temos que 
 
    TS 2 AB 2 2 4.
 
 
Mas 
TS
 é a diagonal do quadrado 
RSUT.
 Logo, 
 
  TS 2 2 2.
 
 
Como todas as sete peças foram utilizadas para fazer a casinha, segue que o quadrado 
RSUT
 
e a casinha são equivalentes. 
Portanto, o resultado pedido é 
  2 2 2(RSUT) (2 2) 8cm .
 
 
 
 
 
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44. (Enem 2006) 
 
 
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 
5
 degraus de mesma altura, o 
comprimento total do corrimão é igual a 
a) 
1,8 m.
 
b) 
1,9 m.
 
c) 
2,0 m.
 
d) 
2,1m.
 
e) 
2,2 m.
 
 
 
Resposta: 
 
[D] 
 
Considere a figura, em que 
BC x.
 
 
 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo 
ABC,
 obtemos 
 
     2 2 2x 90 120 x 22500 150cm 1,5 m.
 
 
Portanto, o comprimento total do corrimão é 
  1,5 2 0,3 2,1m.
 
 
 
 
 
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45. (Enem 2005) Quatro estações distribuidoras de energia 
A, B, C
 e 
D
 estão dispostas como 
vértices de um quadrado de 
40km
 de lado. Deseja-se construir uma estação central que seja 
ao mesmo tempo equidistante das estações 
A
 e 
B
 e da estrada (reta) que liga as estações 
C
 
e 
D.
 A nova estação deve ser localizada 
a) no centro do quadrado.b) na perpendicular à estrada que liga 
C
 e 
D
 passando por seu ponto médio, a 
15km
 dessa 
estrada. 
c) na perpendicular à estrada que liga 
C
 e 
D
 passando por seu ponto médio, a 
25km
 dessa 
estrada. 
d) no vértice de um triângulo equilátero de base 
AB,
 oposto a essa base. 
e) no ponto médio da estrada que liga as estações 
A
 e 
B.
 
 
 
Resposta: 
 
[C] 
 
 Considere a figura abaixo, em que 
P
 é o ponto onde deverá ser construída a estação. 
 
 
 
 Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo 
APH,
 obtemos 
 
        
 
 
2 2 2 2 2x 20 (40 x) x 400 1600 80x x
80x 2000
x 25km.
 
 
Por conseguinte, a nova estação deverá ser construída na perpendicular à estrada que 
liga 
C
 e 
D
 passando por seu ponto médio, a 
25km
 dessa estrada. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
46. (Enem 2004) Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos 
a partir de chapas quadradas de 
2
 metros de lado, conforme a figura. Para 
1
 tampa grande, a 
empresa produz 
4
 tampas médias e 
16
 tampas pequenas. 
 
 
 
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Área do círculo: 
 2r
 
 
As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa 
empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem 
do material. A partir dessas informações, pode-se concluir que 
a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II. 
b) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III. 
c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III. 
d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III. 
e) as três entidades recebem iguais quantidades de material. 
 
 
Resposta: 
 
[E] 
 
Sejam 
I IIr , r
 e 
IIIr
 os raios das tampas. 
 
Como os círculos são tangentes, segue que o raio de cada um dos três tipos de tampa é 
dado por 


2 1
,
2 n n
 em que 
n
 é o número de círculos tangentes a um dos lados da 
chapa. 
 
Desse modo, as sobras de cada chapa são respectivamente iguais a 
 
 
 
          
 
 
            
 
2
2
I
2
2
II
1
4 r 4 4 ,
1
1
4 4 r 4 4 4
2
 
 e 
 
 
            
 
2
2
III
1
4 16 r 4 16 4 .
4
 
 
 Portanto, as três entidades recebem iguais quantidades de material. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
47. (Enem 2002) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e 
em pontos diametralmente postos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 
6370km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800km/h, 
descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente 
 
a) 16 horas. 
b) 20 horas. 
c) 25 horas. 
d) 32 horas. 
e) 36 horas. 
 
 
Resposta: 
[C] 
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.R 3,14.6.370
25
800 800
π
 
horas. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
48. (Enem 2002) Um terreno com o formato mostrado na figura foi herdado por quatro 
irmãos e deverá ser dividido em quatro lotes de mesma área. 
Um dos irmãos fez algumas propostas de divisão para que fossem analisadas pelos demais 
herdeiros. 
Dos esquemas a seguir, onde lados de mesma medida têm símbolos iguais, o único em que os 
quatro lotes não possuem, necessariamente, a mesma área é: 
 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
Resposta: 
 
[E] 
 
 
 
Com as informações da figura (E) só é possível estabelecer igualdade entre as áreas 1 e 2 e 
entre as áreas 3 e 4. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
49. (Enem 2002) Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com 
a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as 
combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja 
falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras: 
 
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A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus 
ângulos internos. 
 
Nome Triângulo Quadrado Pentágono 
Figura 
 
Ângulo interno 60° 90° 108° 
 
Nome Hexágono Octágono Eneágono 
Figura 
 
Ângulo interno 120° 135° 140° 
 
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os 
polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de 
um 
a) triângulo. 
b) quadrado. 
c) pentágono. 
d) hexágono. 
e) eneágono. 
 
 
Resposta: 
 
[B] 
 
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Cada ângulo interno do octógono regular mede 135° e cada ângulo interno do quadrado mede 
90°. 
Somando 135° + 135° + 90° = 360°. Portanto, o polígono pedido é o quadrado. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
50. (Enem 2000) Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de 
forma que o mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a 30 
cm, conforme a figura: 
 
 
 
Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo comprimento mínimo, 
em cm, deve ser: 
a) 144. 
b) 180. 
c) 210. 
d) 225. 
e) 240. 
 
 
Resposta: 
 
[D] 
 
Duplicando a figura dada, como na figura a seguir, podemos observar 5 degraus de 90 cm 
cada. 
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Logo a soma dos comprimentos dos degraus da escada é 
5.90
225cm
2

. 
Portanto, será necessária uma peça linear de no mínimo 225 cm. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
José e Antônio viajarão em seus carros com as respectivas famílias para a cidade de Serra 
Branca. Com a intenção de seguir viagem juntos, combinam um encontro no marco inicial da 
rodovia, onde chegarão, de modo independente, entre meio-dia e 1 hora da tarde. Entretanto, 
como não querem ficar muito tempo esperando um pelo outro, combinam que o primeiro que 
chegar ao marco inicial esperará pelo outro, no máximo, meia hora; após esse tempo, seguirá 
viagem sozinho. 
Chamando de x o horário de chegada de José e de y o horário de chegada de Antônio, e 
representando os pares (x; y) em um sistema de eixos cartesianos, a região OPQRa seguir 
indicada corresponde ao conjunto de todas as possibilidades para o par (x; y): 
 
 
 
 
51. (Enem 1999) Segundo o combinado, para que José e Antônio viajem juntos, é necessário 
que 
1
y x
2
 
 ou que 
1
x y
2
 
. 
 
G E O M E T R I A P L A N A _ E N E M _ 1 9 9 8 A 2 0 1 4 
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De acordo com o gráfico e nas condições combinadas, as chances de José e Antônio viajarem 
juntos são de: 
a) 0% 
b) 25% 
c) 50% 
d) 75% 
e) 100% 
 
Resposta: 
[D] 
 
Calculando a área da região assinalada na figura a seguir, temos: 
 
 
 
2
1 1
32 2A 1 2. 75%
2 4

   
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
52. (Enem 1998) A sombra de uma pessoa que tem 
1,80m
 de altura mede 
60cm
. No mesmo 
momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 
2,00m
. Se, mais tarde, a sombra 
do poste diminuiu 
50cm
, a sombra da pessoa passou a medir: 
 
a) 
30cm.
 
b) 
45cm.
 
c) 
50cm.
 
d) 
80cm.
 
e) 
90cm.
 
G E O M E T R I A P L A N A _ E N E M _ 1 9 9 8 A 2 0 1 4 
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Resposta: 
 
[B]