Geometria Plana e Espacial

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CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 
 
 
 
 
 
GUARULHOS – SP 
 
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SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 3 
1 BASES DA GEOMETRIA ....................................................................................... 4 
1.1 Raciocínio dedutivo e métodos de demonstração ............................................ 5 
1.2 Geometria formalizada...................................................................................... 8 
2 APLICAÇÃO DA GEOMETRIA PLANADA.......................................................... 12 
2.1 Calculando Áreas ........................................................................................... 14 
2.2 Aplicação da trigonometria ............................................................................. 20 
3 CONCEITOS E PRINCÍPIOS DA CONCORDÂNCIA ........................................... 21 
3.1 Construções de concordâncias ....................................................................... 23 
3.2 Concordância e desenho geométrico ovais e de arcos .................................. 27 
4 REPRESENTAÇÕES GEOMÉTRICAS NO COTIDIANO .................................... 31 
4.1 A geometria no mundo natural ........................................................................ 32 
4.2 Figuras geométricas espaciais ....................................................................... 33 
4.3 Cones, cilindros e esferas (não poliedros) ...................................................... 35 
4.4 Poliedros ......................................................................................................... 36 
4.5 Figuras geométricas planas ............................................................................ 38 
5 POSTULADOS DE EUCLIDES ............................................................................ 41 
5.1 Retas no espaço ............................................................................................. 43 
5.2 Exemplos de demonstrações .......................................................................... 46 
6 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO ................................................................................ 50 
6.1 Áreas de sólidos de revolução ........................................................................ 51 
7 CÁLCULO DE VOLUMES DE CILINDROS DE CONES ...................................... 59 
7.1 Volume do cilindro .......................................................................................... 59 
7.2 Volume do cone .............................................................................................. 62 
7.3 Volume da esfera ............................................................................................ 63 
 
3 
 
7.4 Problemas de aplicação.................................................................................. 64 
8 INTEGRAL DEFINIDA E A ÁREA ........................................................................ 67 
8.1.1 Integral definida de uma função contínua ......................................................... 72 
8.2 A Integral definida e a soma de Riemann ....................................................... 73 
8.2.1 A integral de Riemann ...................................................................................... 74 
8.2.2 Integrabilidade .................................................................................................. 75 
8.2.3 Propriedades da integral definida ..................................................................... 75 
9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................... 78 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Prezado aluno! 
 
O Grupo Educacional FAVENI, esclarece que o material virtual é semelhante 
ao da sala de aula presencial. Em uma sala de aula, é raro – quase improvável - um 
aluno se levantar, interromper a exposição, dirigir-se ao professor e fazer uma 
pergunta, para que seja esclarecida uma dúvida sobre o tema tratado. O comum é 
que esse aluno faça a pergunta em voz alta para todos ouvirem e todos ouvirão a 
resposta. No espaço virtual, é a mesma coisa. Não hesite em perguntar, as perguntas 
poderão ser direcionadas ao protocolo de atendimento que serão respondidas em 
tempo hábil. 
Os cursos à distância exigem do aluno tempo e organização. No caso da 
nossa disciplina é preciso ter um horário destinado à leitura do texto base e à 
execução das avaliações propostas. A vantagem é que poderá reservar o dia da 
semana e a hora que lhe convier para isso. 
A organização é o quesito indispensável, porque há uma sequência a ser 
seguida e prazos definidos para as atividades. 
 
Bons estudos! 
 
 
4 
 
 
 
1 BASES DA GEOMETRIA 
O cálculo de distâncias é uma característica presente em diversas espécies. 
Por exemplo, um caçador selvagem na savana precisa determinar o momento 
adequado para iniciar um ataque, assegurando sua refeição. Caso contrário, ele 
correria o risco de gastar uma quantidade excessiva de energia na busca por alimento 
sem sucesso. 
 Ao longo dos séculos, os caçadores humanos enfrentaram a tarefa de estimar 
e realizar cálculos mentais das distâncias que os separavam de suas presas, além de 
identificar estrategicamente os locais ideais para armar armadilhas. Além disso, um 
senso de orientação era essencial para permitir que grupos de caçadores bem 
treinados regressassem com sucesso ao ponto de partida, assegurando assim, o 
suprimento de alimentos para todos os membros do grupo (MLODINOW, 2008). 
Nas coletividades de caçadores e coletores, a precisão dos cálculos não era 
de extrema importância. No entanto, à medida que a as coletividades humanas 
progrediram em direção à agricultura ao longo do tempo, a medição de terras assumiu 
um papel gradativamente crucial. Isso marcou o início de uma nova era, na qual as 
medições precisavam ser exatas para fins de registro. O objetivo principal era 
estabelecer a posse das terras e, à medida que os estados foram se organizando, 
tornou-se essencial a arrecadação de impostos. Esses eventos impulsionaram a 
emergência do estudo sistemático das medidas e a formação de especialistas 
dedicados a desenvolver e aplicar métodos cada vez mais precisos nessa área 
(MACHADO; GIRAFFA, 2009). 
Os povos residentes na Mesopotâmia, incluindo os babilônios, possuíam 
conhecimentos matemáticos provenientes da prática da agrimensura. Os hindus 
empregavam medidas específicas para seus altares, enquanto na China, uma 
variedade de artefatos encontrados evidencia um entendimento de relações 
matemáticas aplicadas a figuras planas. O domínio de algumas dessas relações 
possibilitou aos egípcios a construção de suas icônicas pirâmides. No entanto, foi na 
Grécia que esse conhecimento foi sistematizado e adotou a denominação que é 
reconhecida globalmente: geometria. 
 
5 
 
A origem da palavra geometria, deriva do grego geo, que significa terra e 
metron, que significa medir, conectando assim o termo às raízes históricas da 
disciplina. Foi na Grécia que o estudo da geometria foi sistematizado, e alguns nomes 
se tornaram imortais graças a esse feito, como Eudoxo, Arquimedes Tales de Mileto, 
Pitágoras, Platão e Aristóteles. É relevante notar que vários desses indivíduos são 
mais notáveis por suas contribuições à filosofia. Naquela época, o conhecimento não 
estava rigidamente dividido em disciplinas como acontece atualmente. 
Consequentemente, os sábios trafegavam entre diversos campos do conhecimento 
com maior flexibilidade. Os métodos matemáticos fundamentais foram reunidos em 
uma obra monumental, "Os Elementos de Geometria," escrita por Euclides em 300 
a.C. 
1.1 Raciocínio dedutivo e métodos de demonstração 
Euclides, em sua obra "Os Elementos de Geometria", produziu um tratado 
abrangente acerca do entendimento matemático da sua época.A obra é composta 
por 13 livros e abrangem grande parte do entendimento geométrico lecionado nas 
escolas de ensino fundamental e médio atualmente (EUCLIDES, 1944). Esse livro, é 
importante para estabelecer os axiomas ou postulados, que fundamentam o raciocínio 
dedutivo matemático. Antes de nos aprofundarmos neles, vamos entender o que é o 
raciocínio dedutivo. Um método de raciocínio lógico, a dedução consiste no processo 
de tirar conclusões com base no acordo de premissas que geralmente são aceitas 
como verdadeiras. Aristóteles formulou o conceito do silogismo, um exemplo clássico 
de raciocínio dedutivo, que podemos demostrar a seguir: 
Todas as pessoas possuem mortalidade; 
Sócrates é uma pessoa; 
Portanto, Sócrates é sujeito à mortalidade. 
Em uma abordagem ampla, concluímos que: 
Todos os X são Y 
Todos os Y são Z 
Logo, todos os X são Z 
Conforme Gensler (2017), geralmente há dois pressupostos nos silogismos, 
se contêm quantificadores (alguns, todos...) e se são expressos positiva ou 
 
6 
 
negativamente, o que é possível verificar. Ambas as premissas possuem um termo 
ordinário, normalmente denotado por Y, e como verificamos no parágrafo anterior, 
podemos associar os outros dois elementos (X e Z) por inferência. Esse método é a 
base para a maioria das provas matemáticas. Porém, a partir de Euclides, nem todas 
as hipóteses geométricas puderam ser comprovadas, e a solução encontrada foi 
pensar que alguns teoremas deveriam ser considerados verdadeiros sem prova: os 
axiomas ou postulados (EUCLIDES, 1944). 
Axiomas 
▪ Axioma I: é possível desenhar uma reta única que conecta quaisquer dois 
pontos. 
▪ Axioma II: é possível estender uma reta finita de maneira contínua para formar 
uma única reta. 
▪ Axioma III: é viável desenhar um círculo com centro e raio de livre escolha. 
▪ Axioma IV: a totalidade dos ângulos retos possuem igual medida. 
▪ Axioma V: caso uma reta cortando outras duas gera ângulos internos do 
mesmo lado, cuja soma é inferior a dois ângulos retos, então tais retas irão se 
cruzar no lado no qual os ângulos têm uma soma menor que dois ângulos retos. 
Postulados 
▪ Postulado 1: quando fornecidos dois pontos diferentes, existe apenas um 
segmento de reta que os conecta. 
▪ Postulado 2: é possível estender continuamente um segmento de reta para 
formar uma linha reta. 
▪ Postulado 3: se você possui um ponto específico e uma distância qualquer, é 
viável criar uma circunferência com centro nesse ponto e cujo raio seja igual à 
distância fornecida. 
▪ Postulado 4: a totalidade dos ângulos retos são equivalentes (semelhantes). 
▪ Postulado 5: quando duas linhas cruzam uma terceira linha de tal maneira que 
a soma dos ângulos internos de um lado é inferior a dois ângulos retos, então, 
se estendidas indefinidamente, essas duas linhas se cruzarão nesse lado. 
 
7 
 
Euclides (1944), no seu livro "Os Elementos", também formulou definições, 
algumas das quais são apresentadas nas seguintes passagens. 
I. Um ponto é caracterizado por não possuir divisões ou dimensões. 
II. Uma linha é definida pelo seu comprimento, mas não tem largura. 
III. Pontos são os extremos de uma linha. 
IV. Uma linha reta é aquela que é colocada de forma equidistante entre seus 
pontos terminais. 
V. Uma superfície possui largura e comprimento. 
VI. As bordas de uma superfície são linhas. 
VII. Uma superfície plana é aquela na qual uma linha reta pode ser traçada 
entre quaisquer dois pontos dentro dela. 
Existem outras definições, porém, destacamos as mais pertinentes para 
nossa exploração da geometria: o ponto, a reta e o plano. Na Figura 2 a seguir, 
observamos que o ponto é adimensional, o que significa que não possui dimensões. 
A reta possui uma dimensão, isto é, apenas comprimento, enquanto o plano apresenta 
duas dimensões, representando comprimento e largura. 
Figura 2. Ponto (A), reta (BC), plano (DEFG) 
 
Fonte: abrir.link/TrJnK. 
Especificando um método, com as bases determinadas em axiomas, 
postulados e definições, foi possível desenvolver as demonstrações matemáticas que 
são o centro, a trajetória que resulta na formação de instrumentos analíticos e na 
introdução de métodos inovadores. De acordo com Eves (1995), essa evolução não 
ocorreu de forma abrupta, mas sim, gradualmente, pois foi construída e ganhou 
proeminência, estabelecendo-se no cerne do pensamento matemático. 
 
8 
 
1.2 Geometria formalizada 
O raciocínio matemático se desenvolveu durante os séculos por acréscimo, 
isto é, após a contribuição dos pensadores ao longo do tempo para expansão da área, 
sem negar ou descartar os conhecimentos anteriores. Para entender isso, os 
professores do ensino fundamental podem usar muitos elementos dos planos de aula 
de Euclides, pois seu conteúdo permanece verdadeiro. 
Isso se deve à estrutura estabelecida através de axiomas, postulados e 
demonstrações, que conferem aos resultados uma natureza indiscutível. Isso 
proporciona a confiança de que, no momento da prova ou em qualquer cenário 
subsequente, tais afirmações permanecerão válidas e incontestáveis. 
Vamos considerar um exemplo elementar: demonstrar que 𝑙√2 se trata da 
diagonal de um quadrado, para isso, examine o quadrado ilustrado na Figura 3 a 
seguir. 
Figura 3. Quadrado 
 
Fonte: abrir.link/3L74h. 
Podemos observar que um quadrado é constituído por quatro lados iguais, e 
são seus lados paralelos dois a dois, cujo lado pode ser expresso pela letra 𝑙, a sua 
diagonal é um segmento de reta que liga dois vértices da figura (Figura 4). 
 
 
Figura 4. Diagonal 
 
9 
 
 
Fonte: abrir.link/IlFx0. 
Podemos constatar que a diagonal reparte o quadrado em dois triângulos 
retângulos congruentes. Utilizando nosso conhecimento em teorema de Pitágoras, 
sabemos que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 
Veja que a diagonal do quadrado é a hipotenusa do triângulo retângulo, e os lados 
são os catetos. Denominando a diagonal como D, e os lados como 𝑙, expressando 
assim o valor da diagonal utilizando o teorema pitagórico temos: D2 = 𝑙2 + 𝑙2 = 2𝑙2. 
Uma vez que estamos interessados no valor da diagonal e não no valor do 
quadrado da diagonal, é necessário calcular a raiz quadrada de ambos os termos: 
√D2 = √2𝑙2 → 𝐷 = 𝑙√2 
Essa descoberta desencadeou uma das principais crises na história da 
matemática e possivelmente desempenhou um papel significativo no assassinato do 
matemático grego Hipaso de Metaponto. Para melhor compreensão, é importante 
saber que Pitágoras estabeleceu a escola pitagórica, onde mulheres e homens 
aprendiam arte, filosofia, matemática e música, seguindo princípios específicos. A 
organização do grupo se assemelhava ao que hoje chamaríamos de uma seita, 
caracterizada por segredos e práticas ocultas. Os membros dessa comunidade 
acreditavam na realidade tangível dos números em um mundo a parte, uma visão de 
mundo onde todas as coisas podem ser definidas se as relações numéricas 
apropriadas forem identificadas (VENTURA, 2019). 
Essas concepções conduziram a noção de que os números eram símbolos de 
perfeição, representando a lógica intrínseca do universo. A dedução da lei que 
governa a raiz da diagonal do quadrado culminou na revelação do número, um valor 
 
10 
 
irracional, cujas casas decimais se estendem infinitamente sem apresentar um padrão 
discernível à esquerda do ponto decimal. A existência de um número irracional abalou 
os fundamentos das crenças pitagóricas, provocando uma crise que perturbou e 
retardou o progresso matemático. No caso de Hipaso, sendo ele membro da escola 
pitagórica, teria supostamente compartilhado o segredo das grandezas 
incomensuráveis, o que levou à sua condenação pelos colegas e à sua morte em 
alguma região litorânea da Grécia. 
A seguir vamos observar um exemplo de construção geométrica não originária 
da Europa através de um quebra-cabeça amplamente utilizado em escolas de ensinobásico no Brasil: o Tangram (Figura 5). Este quebra-cabeça é constituído por sete 
peças distintas, incluindo dois triângulos grandes, dois pequenos, um médio, um 
quadrado e um paralelogramo. 
Figura 5. Tangram montado no formato de um quadrado. 
 
Fonte: abrir.link/pWjjE. 
Existem várias histórias sobre a origem do Tangram, porém o primeiro registro 
concreto desse jogo foi feito por Yang-cho-chü-shih. Ele escreveu, editou e publicou 
o Tangram sob o reinado de Chia-ch’ing (1796–1820) (SLOCUM et al., 2004). De 
acordo com Slocum et al. (2004), personalidades notáveis como Napoleão Bonaparte, 
Lewis Carroll (além de ser o autor de Alice no País das Maravilhas, também era 
 
11 
 
matemático), Edgar Allan Poe, Hans Christian Andersen e Michael Faraday se 
divertiram e estudaram esse quebra-cabeça. 
É possível se entreter ao criar várias figuras usando o Tangram, incluindo 
exemplos como a formação de um cisne, conforme a Figura 6 a seguir: 
Figura 6. Tangram de cisne 
 
Fonte: abrir.link/6jiC3. 
Ou mesmo a representação de uma casa, conforme a figura 7 a seguir: 
Figura 7. Tangram de uma casa 
 
Fonte: abrir.link/XIJhp. 
Conforme se pode perceber, a imaginação e a criatividade não são qualidades 
restritas apenas às culturas ocidentais. Há um amplo espectro de aprendizado na 
riqueza da diversidade cultural. 
 
 
 
12 
 
2 APLICAÇÃO DA GEOMETRIA PLANADA 
Ao verificarmos a área ou a superfície de uma figura em um plano, analisando 
sobre o conceito de uma visão bidimensional, em um quadrado de lado unitário, por 
exemplo, entenderemos como o total dessa área de uma unidade de área e, caso 
esteja em metros (m), sua área será representada em metros quadrados. 
Paulanti (2014) observa que antes de calcular a área das figuras planas, 
temos que observar seu formato, como quadrado, círculo, retângulo, paralelogramo, 
triângulo, losango ou trapézio. A área de uma figura plana é uma medida da região do 
plano que é ocupada pela figura. Além disso, expressar ou medir uma área mostra 
uma comparação com outra de mesma espécie que é tomada por unidade. Um 
exemplo prático da aplicação da geometria plana, particularmente nas áreas de 
superfícies planas. 
Figura 1. Campo de futebol 
 
Fonte: Paulanti, 2014. 
 É possível considerar o planejamento de um campo de futebol conforme as 
diretrizes definidas pela FIFA: as traves do gol devem ter dimensões de 7,32 m de 
largura por 2,44 m de altura. Um campo de futebol, como ilustrado na Figura 1, 
apresenta vários retângulos, cada um com suas dimensões específicas, 
independentemente de ser oficial ou não. Sem dúvidas, várias formas geométricas 
estão integradas nos projetos de arquitetos, engenheiros e projetistas, é evidente nas 
 
13 
 
próprias configurações. Regularmente, esses especialistas se veem diante da 
exigência de calcular as áreas de figuras planas utilizando instrumentos como réguas 
para mensuração de seus lados, fitas métricas, entre outros. 
Por exemplo, o espaço externo de uma instituição de ensino, um pátio, 
conforme apresentado na Figura 2, apesar das diferentes nivelações, o pátio assume 
uma forma quadrática, onde é possível com base em medições e o entendimento do 
cálculo de áreas, obter a área total do pátio. 
Figura 2. Pátio de uma escola 
 
Fonte: shre.ink/rRu8. 
 Outro exemplo prático, é a determinação aproximada do volume de uma 
piscina com altura de 1,30 m e uma base em forma triangular, com lados medindo 5,0 
m, 4,20 m e 4,20 m. A solução poderia ser apresentada em litros, considerando que 
cada metro cúbico (m³) equivale a 1.000 litros. 
 
 
14 
 
Figura 3. Piscina triangular 
 
Fonte: Paulanti, 2014. 
2.1 Calculando Áreas 
Para o cálculo de quadrados, Leite e Castanheira (2014) utilizam como ponto 
de partida a área de um quadrado de 1 m² e posteriormente estendem essa 
generalização para quadrados de quaisquer dimensões. Por exemplo, a área contida 
dentro de um quadrado de 1 m² corresponde à região interna de um quadrado com 
lados medindo 1 m cada (Figura 4). 
Figura 4. Quadrado de 1 m de lado 
 
Fonte: abrir.link/fUcfx. 
Agora, considere um quadrado com lados medindo 3 m. Qual é a quantidade 
de metros quadrados que pode ser acomodada dentro desse quadrado? Verifique a 
Figura 5 para ilustração. 
 
 
15 
 
Figura 5. Quadrado de 3 m de lado 
 
Fonte: Leite e Castanheira, 2014. 
Observe que um quadrado com lados de 3 m comporta uma área de 9 m². 
Assim, essa área é determinada pela multiplicação dos dois lados. Visto que os lados 
de um quadrado são idênticos, a área pode ser obtida ao elevar um dos lados ao 
quadrado, como mostrado na representação a seguir: 
A = 𝑙 ⋅ 𝑙 = 𝑙2 
Para o cálculo da área do retângulo, podemos utilizar uma abordagem 
semelhante à do quadrado, em que a região interna da forma geométrica plana é 
analisada (LEITE; CASTANHEIRA, 2014). A seguir temos a Figura 6 que apresenta 
um retângulo com largura de 2m e comprimento de 4m. 
Figura 6. Retângulo 
 
Fonte: Leite e Castanheira, 2014. 
 
16 
 
 Para determinar a área do retângulo, realizamos a multiplicação de um dos 
lados pelo outro: 
𝐴 = 2𝑚 ⋅ 4𝑚 = 8𝑚2 
em termos gerais, a fórmula utilizada para calcular a área de qualquer retângulo é 
expressa por: 
𝐴 = 𝑙1 ⋅ 𝑙2. 
 A Figura 7 a seguir apresenta área de 3 tipos de triângulo, observa que a área 
de um deles é igual à metade da área dos retângulos correspondentes. Com essa 
constatação, é possível calcular a área de um triângulo multiplicando sua base por 
sua altura, o resultado obtido deve ser dividido por dois, ou seja, você calcula como a 
área de um retângulo e divide o valor pela metade e assim obtém-se a área do 
triângulo (LEITE; CASTANHEIRA, 2014). 
Figura 7. Triângulos 
 
Fonte: Leite e Castanheira, 2014. 
 Sendo assim, ao calcular a área de um triângulo, procedemos da seguinte 
maneira: 
𝐴 =
𝑏 ⋅ ℎ
2
 
onde "b" representa a base do triângulo e "h" representa a sua altura. 
Agora, temos a demonstração do cálculo da área de um paralelogramo através 
da Figura 8, em que 𝑏 representa a base e ℎ a altura. 
 
 
 
17 
 
Figura 8. Paralelogramo 
 
Fonte: Leite e Castanheira, 2014. 
 Vamos proceder ao recorte da figura exatamente na marcação do ângulo reto. 
Observe que é possível unir a figura ao lado oposto, como apresentado na Figura 9. 
Figura 9. Retângulos criados a partir do paralelogramo 
 
Fonte: Leite e Castanheira, 2014. 
 Ao unir essas figuras, temos um retângulo com lados 𝑏 e ℎ. Em outras palavras, 
a área de um paralelogramo com base 𝑏 e altura ℎ equivale à área de um retângulo 
com os mesmos lados 𝑏 e ℎ. Assim, a fórmula geral é expressa como: 
A = 𝑏 ⋅ ℎ 
 
18 
 
A seguir, a Figura 10 apresenta um losango, em que a diagonal maior é 
representada por 𝐷 e a diagonal menor por 𝑑. 
Figura 10. Losango 
 
Fonte: Leite e Castanheira, 2014. 
Observe que a área do losango é igual à metade da área de um retângulo com 
lados 𝐷 e 𝑑. Em outras palavras, a área do losango é determinada pelo produto das 
diagonais maior e menor, dividido por dois, como ilustrado na Figura 11. 
Figura 11. Losango. 
 
Fonte: Leite e Castanheira (2014, p. 150). 
Assim, a fórmula global é: 
A = 
𝐷 ⋅ 𝑑
2
 
Abaixo temos a Figura 12 que apresenta dois tipos de trapézio, o isóscele e o 
retângulo. 
 
 
 
 
19 
 
Figura 12. (a) Trapézio isóscele; (b) Trapézio retângulo 
 
Fonte: Leite e Castanheira, 2014. 
Vamos considerar um recorte das figuras de tal maneira que a parte recortada, 
ao ser unida com a porção restante, configure um retângulo, como ilustrado na Figura 
13. 
Figura 13. Retângulo formado 
 
Fonte: Leite e Castanheira, 2014. 
 Em ambas as situações, ao unirmos as figuras, temos um retângulo com lados 
correspondentes (Figura 14). 
 
 
 
 
20 
 
Figura 14. Retângulo formado 
 
Fonte: Leite e Castanheira, 2014. 
Observe que 
𝐵⋅𝑏
2
 representa a base média do trapézio, sendouma média entre 
a base maior e a base menor. Dessa forma, podemos generalizar esse conceito, 
afirmando que a área do trapézio é obtida multiplicando a base média pela altura do 
trapézio. Consequentemente, a fórmula global será: 
A =
(𝐵 + 𝑏) ⋅ ℎ
2
. 
2.2 Aplicação da trigonometria 
Conforme Ledur, Enriconi e Seibert (2003), o termo trigonometria, tem sua 
origem nas palavras gregas trígonos, que significa triângulo e metrum, que significa 
medida. Essencialmente, pode ser interpretado como medida de triângulos. A 
trigonometria tem como um de seus propósitos, investigar as conexões entre os lados 
e os ângulos de um triângulo. Sua emergência decorreu das demandas nos campos 
da astronomia, navegação, cartografia e topografia. Em um momento, Tales (624 – 
548 a.C.) optou por medir a altura da pirâmide de Quéops, no Egito, com base na 
semelhança entre dois triângulos (Figura 15). Ele fez observações das sombras e dos 
raios solares, chegando à descoberta de que a sombra projetada por um poste 
qualquer era proporcional à sombra projetada pela pirâmide. 
 
 
 
Figura 15. Calculando a altura de uma pirâmide 
 
21 
 
 
Fonte: Ledur, Enriconi e Seibert, 2003. 
Apesar de parecer distante, a trigonometria desempenha um papel 
significativo em nossa vida diariamente. Considere o seguinte cenário: ao calcular a 
quantidade de azulejos necessários para cobrir um determinado espaço em uma 
construção, empregamos o cálculo de áreas de formas geométricas, como quadrados, 
retângulos, triângulos e losangos, dependendo do que está sendo planejado. 
Um exemplo adicional diz respeito às escadas, onde a proporção e as 
medidas dos degraus devem obedecer a determinadas relações de ângulos. A 
trigonometria associa o comprimento com o ângulo, viabilizando cálculos que não 
poderiam ser resolvidos de outra maneira. No cálculo do volume de sólidos, usamos 
a trigonometria para representar a capacidade de armazenamento de um objeto 
específico, como uma piscina, onde o volume pode ser determinado pela forma do 
objeto. Mesmo na concepção do pouso de uma aeronave, é imperativo estabelecer 
uma relação entre a pista e o avião, incluindo um ângulo crítico para um pouso seguro 
e preciso. 
3 CONCEITOS E PRINCÍPIOS DA CONCORDÂNCIA 
Em desenho geométrico, o conceito de concordância envolve a junção de 
linhas, considerando duas linhas e uma quantidade maior, de distintas naturezas, de 
maneira que nos locais de congruência, a transição de uma linha em direção a outra 
seja suave, evitando reversões ou ângulos abruptos (ALBRECHT; OLIVEIRA, 2012). 
A concordância pode ser estabelecida em relação as retas, arcos e circunferências. 
Podemos identificar alguns componentes fundamentais de sua composição (Figura 
1): 
 
22 
 
• Ponto de concordância: isso implica o local de transição em relação a um 
formato e outro. Dependendo da natureza da concordância, pode existir no 
mínimo, um local de encontro e transição em relação as curvas, retas e 
circunferências. 
• Ponto Central e raio de concordância: os componentes do arco que foram 
desenhados para se alinharem com uma reta ou então em relação a outro raio. 
Figura 1. Elementos fundamentais da concordância 
 
Fonte: Januário, 2010. 
As concordâncias seguem a lógica das aplicações de tangência. Na 
tangência, uma reta e uma circunferência se encontram em um único ponto, 
nomeando-o de ponto de tangência. Na concordância, esse ponto de tangência se 
converte no local de concordância, acompanhado do ponto central perpendicular ao 
raio. Além do mais, o ponto central da circunferência que é tangente a uma reta ou 
outra circunferência transforma-se no ponto central de concordância. 
Além dos componentes encontrados na concordância, há alguns princípios 
essenciais que auxiliam no entendimento e na elaboração das concordâncias, os 
quais estão detalhados em sequência: 
• A concordância em relação a uma reta e um arco (ou uma circunferência), 
acontece no momento em que a reta é tangente a ele. Nesse cenário, o local 
de concordância é idêntico ao local de tangência. Além disso, é válido afirmar 
que o ponto central do arco ou da circunferência, bem como o local de 
concordância, estão alinhados ao longo de uma reta perpendicular à reta de 
concordância. 
• Dois arcos que estão em concordância têm centros e pontos de concordância 
alinhados em uma mesma linha reta, ou seja, estão colineares. Além do mais, 
 
23 
 
no local de concordância entre esses dois arcos, é viável desenhar uma 
tangente simples (COSTA, 2011). 
• A concordância em relação a duas retas é estabelecida através de, no mínimo, 
um arco situado em relação a elas e com a presença de, no mínimo, um local 
a mais de concordância. As retas têm capacidade de serem classificadas como 
concorrentes, convergentes ou paralelas entre si (JANUÁRIO, 2010). 
3.1 Construções de concordâncias 
Há uma variedade de situações que envolvem a concordância em relação as 
retas, arcos e circunferências, as quais dependem das posições relacionadas com os 
objetos, raios e curvaturas desejadas. Nos tópicos a seguir, serão elucidados os 
procedimentos para criar certas concordâncias, exibindo os passos essenciais e os 
respectivos desenhos. 
Realizar a concordância em relação a uma reta reconhecida e um arco 
Considerando uma reta (𝑟), para estabelecer a concordância de um arco em 
um ponto específico (𝐶) ao longo dessa reta, o primeiro passo consiste em traçar uma 
perpendicular (𝑝) neste local definido. Ao longo dessa perpendicular, é necessário 
marcar um segmento de reta correspondente ao raio do arco, localizando assim o 
ponto central (𝑂) do arco que será delineado. Finalmente, usando a extremidade de 
um compasso no ponto central do arco e um espaço que corresponda ao raio, 
desenha-se o arco pretendido em harmonia com a reta, de acordo com o ensinado 
por Carvalho (2008) e demonstrado na Figura 2. 
Figura 2. Passo a passo para a concordância em relação a uma reta e um arco 
 
Fonte: Januário, 2010. 
 
24 
 
Criar uma concordância em relação a uma reta estabelecida e um arco passando 
exatamente por um ponto localizado fora da reta 
A situação abordada aqui, constitui uma variação do antecedente, com a 
particularidade de que o arco tem de atravessar um ponto específico, também 
fornecido no enunciado. O processo construtivo da concordância é semelhante ao 
descrito anteriormente: começa-se traçando uma perpendicular (𝑝) a partir do ponto 
de concordância (𝐶). Em seguida, traça-se um segmento (𝐶𝐷) que conecta o local de 
concordância ao ponto especificado no arco. Então, é desenhada a mediatriz (𝑚) 
deste segmento, a qual irá cruzar a perpendicular (𝑝) da reta original. 
A interseção em relação a mediatriz e a perpendicular é o ponto onde está 
localizado o ponto central (𝑂) do arco no qual será desenhado. Seu raio é a distância 
entre o centro encontrado e o local de concordância (𝐶 ). Nesse ponto, o arco é 
desenhado em concordância com a reta, utilizando a extremidade fixa do compasso 
em 𝑂 e ajustando a abertura para 𝐶𝑂 (Figura 3). 
Figura 3. Passo a passo para a concordância em relação a uma reta e um 
arco passando por um local específico 
 
Fonte: Januário, 2010. 
 A mediatriz é uma reta que reparte um segmento ao meio, com início no seu 
ponto médio. Para traçar uma mediatriz, você vai precisar de um compasso e uma 
régua. Comece colocando a ponta fixa do compasso em um dos extremos do 
segmento que precisa ser repartido. A amplitude do compasso tem que ser maior que 
o meio do segmento. Em seguida, trace arcos acima e abaixo do segmento, repetindo 
o procedimento no outro extremo. 
 
25 
 
Importante: assegure-se de manter a mesma amplitude do compasso 
constantemente! Utilize uma régua ou esquadro para traçar a mediatriz, conectando 
os pontos onde os arcos foram desenhados. É crucial notar que a mediatriz constitui 
uma reta perpendicular ao segmento que estásendo repartido. 
Realizar a concordância entre uma reta determinada e um arco que atravessa 
um local específico fora da reta 
Para estabelecer a concordância em relação a duas retas convergentes (𝑎 e 
𝑏), é necessário estender essas retas até o ponto onde elas se cruzam (𝑉). Em 
seguida, trace a bissetriz do ângulo formado pelos prolongamentos. Usando a ponta 
seca do compasso no vértice do ângulo, desenhe um arco com um raio no qual 
abranja os segmentos das retas a serem concordados, sinalizando assim os locais de 
concordância (𝑎 e 𝑏). Em um dos locais de concordância, desenhe uma perpendicular 
em relação à reta correspondente, a qual interceptará a bissetriz. O resultado será o 
ponto central do arco de concordância (𝑂). Com a ponta seca do compasso em 𝑂 e 
ajustando a abertura até um dos pontos de concordância, traça-se o arco de 
concordância, conforme ilustrado na Figura 4. 
Figura 4. Passo a passo para concordar duas retas convergentes com um círculo 
 
Fonte: Januário, 2010. 
 Se não for possível definir o local de interseção em relação as retas, é 
necessário construir um ângulo auxiliar interno com lados paralelos e igualmente 
distantes das retas que se pretende concordar. A partir daí, desenha-se a bissetriz 
deste ângulo e, em sequência, estabelece-se uma perpendicular a uma das retas no 
 
26 
 
local de concordância desejado (𝐴). Seguindo a mesma lógica das sequencias já 
realizadas, o cruzamento entre a bissetriz e a perpendicular resulta no centro do arco 
de concordância. Para desenhar o arco, posicione a ponta seca do compasso no 
centro (𝑂) e ajuste a abertura até o local de convergência (𝐴), de acordo com as 
instruções de Carvalho (2008) e conforme apresentado na Figura 5. 
 
 
 
 
 
Figura 5. Passo a passo opcional a fim de concordar duas retas convergentes com 
um círculo 
 
Fonte: Januário, 2010. 
A bissetriz é uma semirreta que reparte um ângulo ao meio em seu vértice, 
resultando em dois ângulos congruentes, isto é, de medidas iguais. Para desenhar a 
bissetriz, utilize o compasso da seguinte forma: comece posicionando a ponta seca 
do compasso no vértice do ângulo e desenhe um arco de raio qualquer que cruze os 
dois lados do ângulo. Posteriormente, encontre o ponto médio em relação aos pontos 
gerados pela interseção dos lados do ângulo com o arco previamente traçado. 
 
27 
 
Finalmente, trace a bissetriz, iniciando do vértice do ângulo e que irá passar pelo local 
médio identificado. 
Concordar um arco com outro de direção contrária e que passa por um ponto 
específico 
Suponha o arco 𝐴𝐵 de ponto central 𝑂, e deseja-se encontrar outro arco a 𝐵𝑃, 
onde 𝐵 é o ponto de concordância e 𝑃 é um ponto do arco. O procedimento é o 
seguinte: comece traçando uma reta que passe pelo centro 𝑂 e pelo ponto de 
concordância 𝐵 . Como princípio da concordância, o centro do novo arco a ser 
concordado deve estar localizado sobre essa reta. A posição correta desse ponto 
central é obtida pela mediatriz do segmento determinado entre o ponto de 
concordância e o ponto onde o novo arco 𝐵𝑃 deve atravessar, conforme ilustrado na 
Figura 6. 
Figura 6. Passo a passo para concordar dois arcos de sentido contrário 
 
Fonte: Januário, 2010. 
3.2 Concordância e desenho geométrico ovais e de arcos 
No desenho geométrico, bem como na geometria, existem elementos 
reconhecidos que resultam da concordância entre arcos de circunferências e retas. A 
compreensão do processo e dos passos da concordância é essencial para entender 
como esses elementos são criados e desenhados. Essa é a situação das curvas ovais 
e dos arcos arquitetônicos, que são elementos geométricos gerados por meio desse 
processo. Cada um possui suas próprias características e variações, adaptando-se às 
suas propriedades geométricas específicas. 
As curvas ovais são curvas fechadas desenvolvidas por arcos de 
circunferência que se alinham harmoniosamente uns com os outros, bem como com 
dois eixos distintos, sendo um maior que o outro. Não há um número fixo de arcos 
concordantes para a criação de ovais, porém, esse número sempre é par. 
 
28 
 
Consequentemente, o total de arcos influencia nos desenhos distintos das curvas 
ovais, acarretando também em procedimentos de desenho diferentes. A seguir, são 
abordadas algumas dificuldades de desenho geométrico de ovais, explicando como 
resolvê-los. Contudo, antes de prosseguir, é relevante considerar a classificação das 
curvas ovais em termos da natureza da combinação de seus arcos, tendo a 
capacidade de serem regulares ou irregulares: 
• Ovais regulares: constituídas por arcos simétricos aos pares, e possuem dois 
eixos de simetria, essas curvas são denominadas elipses falsas. 
• Ovais irregulares: são curvas com somente um eixo de simetria e também são 
referidas como óvulos. 
Ao criar uma curva oval, é fundamental considerar o número de arcos que 
serão incorporados ao desenho, exigindo a determinação dos pontos centrais desses 
arcos para a execução precisa. Na situação das curvas ovais regulares, é crucial que 
a construção comece partindo de um de seus eixos. Para criá-la composta por quatro 
arcos, com pontos centrais partindo do eixo maior, o procedimento é o seguinte: 
comece por dividir o eixo dado (𝐴𝐵) em quatro partes iguais, gerando os pontos 
𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 e 𝐸 . Com 𝐶 e 𝐸 determinados pela divisão, e com os centros de 
concordância, o próximo passo é construir um triângulo equilátero (𝐶𝐸𝐹), com um dos 
lados como o segmento 𝐶𝐸. 
O terceiro vértice do triângulo (𝐹) será um dos centros de concordância. Como 
se trata de uma curva oval regular, é suficiente realizar novamente a mesma 
construção do triângulo no outro lado do eixo, encontrando o segundo centro de 
concordância (𝐺). Os arcos provenientes dos pontos centrais 𝐶, 𝐸, 𝐹 e 𝐺 têm seus 
pontos de concordância situados nas interseções com as extensões dos lados dos 
triângulos, conforme explicado por Carvalho (2008) e apresentado na Figura 7. 
Figura 7. Passo a passo para a construção de uma curva oval regular com quatro 
pontos centrais partindo de seu eixo maior 
 
29 
 
 
Fonte: Januário, 2010. 
Para esboçar uma curva oval irregular composta de quatro arcos 
concordantes, e consequentemente quatro centros, siga os seguintes passos: Inicie 
traçando uma circunferência e dois diâmetros ortogonais (𝐴𝐵 e 𝐶𝐷). O arco inicial 
concordante é a semicircunferência que se estende de 𝐴 até 𝐵. Em seguida, desenhe 
duas retas, 𝑎 e 𝑏: a primeira parte do ponto 𝐴 e passa por 𝐷, enquanto a segunda 
parte de 𝐵 e também passa por 𝐷. Então, utilizando a ponta seca do compasso em 𝐴 
e ajustando a abertura para 𝐴𝐵, trace o próximo arco concordante. Ele começa em 𝐵 
e cruza a reta prolongada 𝑎, produzindo o ponto de concordância 𝐸. Repita essa 
operação com a ponta seca do compasso em 𝐵 para obter o outro ponto de 
concordância, 𝐹. Finalmente, com o centro no ponto 𝐷 e utilizando a abertura 𝐷𝐸 ou 
𝐷𝐹, desenhe o último arco concordante para concluir a oval, seguindo o esquema 
representado na Figura 8. 
Figura 8. Passo a passo para a construção de uma curva oval irregular de quatro 
centros 
 
30 
 
 
Fonte: Januário, 2010. 
Além das curvas ovais, os arcos são componentes existentes na arquitetura, 
como em abóbadas, pontes e aberturas de portas. Eles são compostos por um ou 
mais arcos concordantes, que se baseiam em segmentos de reta paralelos uns aos 
outros. A variedade de formatos de arcos é vasta, abrangendo desde os designs mais 
simples até os mais desenvolvidos e relevantes, como exemplificado na Figura 9. 
 
 
 
Figura 9. Variedades de arcos arquitetônicos 
 
Fonte: abrir.link/jMd4f. 
 
31 
 
Um dos arcos mais tradicionais é reconhecido como arco romano ou pleno, 
uma nomenclatura que remete a sua origem histórica. Sua principal característica é a 
concordância entre um arco e dois segmentos de retaparalelos. A construção desse 
arco começa ao traçar uma perpendicular nas extremidades dos segmentos, gerando 
dois locais de concordância (𝐶1 e 𝐶2). Na sequência, é essencial criar a mediatriz que 
separa ao meio o segmento definido pelos locais de concordância, determinando 
assim, o centro de concordância (𝑂) no ponto médio do segmento. Nesse contexto, 
os locais de concordância e o ponto central do arco estão alinhados linearmente. Por 
fim, com o compasso e com o ponto central no local de concordância, o arco 
concordante é desenhado, conforme explicado por Januário (2010) e demonstrado na 
Figura 10. 
Figura 10. Passo a passo para a construção de um arco romano ou pleno
 
Fonte: Januário, 2010. 
 
4 REPRESENTAÇÕES GEOMÉTRICAS NO COTIDIANO 
A geometria é uma concepção humana, porém bem antes de começar a 
teorizar sobre ela, a humanidade já adequava materiais e espaços para atender às 
suas necessidades. Um exemplo disso são as construções elaboradas pelas nações 
indígenas brasileiras, que utilizavam técnicas sofisticadas. Isso inclui malocas, cestos, 
ferramentas de caça, utensílios de barro e até mesmo as pinturas corporais (SARQUIS 
SOARES, 2009). 
O conhecimento da geometria amplia nossa compreensão do universo e do 
espaço, pois nos permite identificar representações geométricas na natureza, como 
os favos de abelha, os formatos das flores e a lua em seu formato. Além disso, também 
nos ajuda a reconhecer padrões geométricos em espaços e objetos moldados pela 
intervenção humana, como as pirâmides no Egito, as obras arquitetônicas de Oscar 
 
32 
 
Niemeyer, as pinturas de Volpi, a mobília de um lar e as expressões artísticas criadas 
por diversas culturas. Dessa forma, é crucial destacar aos estudantes, a importância 
dos estudos de geometria em suas vidas e nas várias carreiras, independentemente 
de estarem no ambiente urbano ou rural. 
O universo geométrico que não pode ser visto a olho nu também engloba as 
representações geométricas que fazem parte da vida cotidiana das pessoas. Dentre 
os constituintes que se destacam na natureza, o DNA (ácido desoxirribonucleico) é 
um exemplo notável. Essa estrutura geométrica é invisível, mas está presente em 
todas as manifestações de células vivas. 
Fonseca et al. (2001) ressaltam a incorporação de constituintes do 
pensamento matemático geométrico na linguagem cotidiana. Isso é evidente nas 
metáforas que empregamos em expressões informais, como "círculo vicioso," 
"triângulo amoroso," "pessoa quadrada," "sociedade piramidal," "enxergar sob outro 
prisma," "aparar as arestas" e "sair pela tangente." A utilização frequente dessas 
expressões, particularmente aquelas relacionadas às representações geométricas, 
ilustra como essa compreensão desempenha um papel crucial no acesso a aspectos 
culturais que transcendem o domínio da matemática. 
4.1 A geometria no mundo natural 
A natureza é uma fonte abundante de informações. Dentro dela, é possível 
descobrir uma variedade de formas geométricas. Através dos elementos naturais, é 
viável a exploração de formatos, a conceituação e características geométricas. A 
proporção, o padrão, a regularidade, a beleza e o equilíbrio presentes nestes formatos 
provocam a curiosidade e motivam uma investigação detalhada. Desse modo, é 
possível envolver as crianças nesse fascinante universo das cores e formatos. 
É importante observar que a percepção da beleza pelo ser humano 
frequentemente está ligada à simetria. A simetria é caracterizada pela capacidade de 
separar uma imagem em pedaços que se encaixam com acerto quando sobrepostas. 
Um exemplo ilustrativo disso são as asas das borboletas, que exibem simetria axial, 
que é uma imagem espelhada em relação a uma linha, como pode ser visto na Figura 
1. 
Figura 1. Simetria axial encontrada nas asas da borboleta 
 
33 
 
 
Fonte: shre.ink/rzSJ 
4.2 Figuras geométricas espaciais 
O método educacional voltado para o desenvolvimento da percepção 
geométrica dos alunos busca estimulá-los a visualizar uma variedade de figuras 
geométricas, tanto planas quanto tridimensionais. O objetivo é que os estudantes 
sejam capazes de identificar e diferenciar essas figuras com base em suas 
características distintas ou atributos, incluindo o número de lados ou faces e vértices. 
Além disso, espera-se que eles também sejam capazes de reconhecer padrões, 
critérios e características inerentes a essas figuras geométricas. 
É altamente recomendável que o ensino de figuras geométricas 
tridimensionais seja introduzido desde a educação básica para as crianças. Em 
síntese, essas formas estão exibidas nos materiais e cenários que fazem parte do 
cotidiano das crianças. Conforme destacado por Smole, Diniz e Cândido (2014), a 
exploração dos sólidos geométricos auxilia o enriquecimento do vocabulário infantil, 
permitindo que elas aprendam termos como: vértice, aresta e face. Bem como os 
nomes específicos dos próprios sólidos geométricos. É importante observar que a 
familiarização inicial com essas formas acontece naturalmente através do contato com 
objetos cotidianos, em seguida, uma exploração mais voltada para as características 
destes componentes deve ser incentivada. 
As figuras geométricas tridimensionais podem ser categorizadas como 
poliedros em que a totalidade das faces são poligonais e não poliedros, quando no 
mínimo uma das faces não é poligonal, ou seja, elas têm uma superfície curva. 
Exemplos de figuras não poliédricas incluem o cone, o cilindro e a esfera. Na Figura 
2 a seguir, apresentamos as características dessas formas tridimensionais. 
Figura 2. Características das figuras geométricas espaciais 
 
34 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
Fonte: Smole, Diniz e Cândido, 2014. 
4.3 Cones, cilindros e esferas (não poliedros) 
Os cones são formas que apresentam uma base circular, denotada por r 
constituída com segmentos de reta que têm uma extremidade compartilhada com um 
vértice, representado por V. Além do mais, o cone é caracterizado pela sua altura h, 
que representa a distância entre o vértice e o plano da base. Os cones também 
incluem a sua geratriz, que é a superfície lateral do cone, composta por qualquer 
segmento de reta que tenha uma ponta no vértice e a outra na base do cone. Os cones 
são caracterizados em: 
• Cilindro reto: suas geratrizes são segmentos com extremidades nas 
circunferências das bases e perpendiculares às bases. 
• Cilindro oblíquo: suas geratrizes são inclinadas ou oblíquas em relação às 
bases. 
 
36 
 
Quando realizamos a planificação do cilindro, obtemos duas circunferências 
congruentes acompanhadas por um paralelogramo, na situação dos cilindros 
oblíquos, ou um retângulo na situação dos cilindros retos. 
A esfera é um sólido geométrico simétrico que se origina da rotação de um 
semicírculo ao redor de um eixo. Ela é caracterizada por uma superfície fechada, onde 
todos os locais estão igualmente distantes do centro (representado por "O"). 
4.4 Poliedros 
O termo poliedro é derivado de "poli" que significa muitas e edros que significa 
faces. Os poliedros são sólidos geométricos compostos por vértices, arestas e faces. 
Cada uma das faces de um poliedro é um polígono, como triângulos, quadriláteros, 
pentágonos entre outros. Portanto, os poliedros sempre mantêm um equilíbrio quando 
postos em cima de uma superfície plana, porque a totalidade das suas faces são 
planas. Adicionalmente, os poliedros devem ser subdivididos em diferentes grupos de 
em conformidade com suas características (Quadro 1). 
Todos os prismas apresentam uma área de base, uma área lateral, uma área 
total e um volume. Essas medidas estão intrinsecamente ligadas ao formato do 
polígono que forma as bases do prisma. O número de faces do prisma é diretamente 
correspondente ao número de lados do polígono que compõe suas bases superior e 
inferior. Os prismas têm a capacidade de serem categorizados de acordo com a 
quantidadede lados: 
• Triangular: possuem bases compostas por triângulos; 
• Quadrangular: possuem bases constituídas por quadriláteros; 
• Pentagonal: possuem bases compostas por pentágonos; 
• Hexagonal: possuem bases constituídas por hexágonos; 
• Heptagonal: possuem bases compostas por heptágonos; 
• Octogonal: possuem bases constituídas por octógonos. 
Os prismas são classificados como prismas retos ou prismas oblíquos, 
dependendo da inclinação de suas arestas laterais. Os retos são os que as arestas 
laterais formam um ângulo de 90 graus com as bases. Enquanto isso, os prismas 
oblíquos são aqueles em que as arestas laterais formam ângulos diferentes de 90 
graus com as bases. 
 
37 
 
Já as pirâmides, fazem parte de um conjunto de poliedros cujas faces laterais 
e a base são todas triangulares. Cada pirâmide é constituída com uma base e um 
vértice, com suas faces laterais convergindo e encontrando-se em um único ponto, o 
vértice. Alguns exemplos incluem a pirâmide reta de base triangular, a pirâmide reta 
de base quadrada e a pirâmide reta de base hexagonal. Quanto à inclinação de sua 
base, as pirâmides podem ser categorizadas de duas maneiras: 
• Pirâmides retas: criam um ângulo de 90 graus; 
• Pirâmides oblíquos: possuem ângulos que não são iguais a 90 graus. 
Temos os poliedros que não são prismas nem pirâmides. Esses sólidos 
geométricos são identificados unicamente pelo número de faces que eles têm. 
Consulte o Quadro 1 para referência. 
 
 
 
Quadro 1. Poliedros 
 
Fonte: Adaptado de Toledo e Toledo, 2009. 
 Outros poliedros, recebem nomes conforme a totalidade de suas faces. Por 
exemplo, um poliedro com 9 faces, um poliedro com 11 faces, e assim por diante. 
 
38 
 
4.5 Figuras geométricas planas 
As figuras planas são bidimensionais, ou seja, possuem apenas duas 
dimensões, comprimento e largura. Ao contrário das figuras espaciais, as figuras 
planas não têm volume. Elas são predominantemente polígonos, dado que são 
constituídas exclusivamente por segmentos de reta que não se interceptam, a menos 
que seja nas extremidades. Esses segmentos de reta nos polígonos são denominados 
lados. Os polígonos recebem nomes específicos com base no número de lados que 
possuem. Algumas das principais figuras planas incluem: triângulo, quadrado, 
retângulo, círculo, trapézio e o losango. 
No aprendizado das figuras planas, são empregados dois conceitos 
fundamentais: área e perímetro: 
• A área é a medida da extensão da superfície da figura, expressa em unidades 
como cm², m² ou km². 
• O perímetro é a somatória da totalidade os lados da figura e é representado em 
unidades como cm, m ou km. 
Descrição das figuras planas 
Triângulo - é um polígono composto por três lados. Os triângulos são 
classificados com base na medida de seus lados, como equiláteros, isósceles e 
escalenos, e também com base na medida de seus ângulos, como retângulos, 
obtusângulos e acutângulos. 
Quadrado - é um quadrilátero regular composto por quatro lados de igual 
comprimento. Ele possui quatro ângulos internos de 90 graus, que são chamados de 
ângulos retos. 
Retângulo - é um quadrilátero composto por quatro lados, com dois deles na 
posição vertical e dois na horizontal. Similarmente ao quadrado, ele possui quatro 
ângulos internos de 90 graus, que são ângulos retos. 
Círculo - possui um formato circular e é frequentemente denominado de 
disco. Ele é caracterizado por um raio, que representa a distância em relação ao 
centro da figura e um de seus extremos, e um diâmetro, que corresponde a duas vezes 
o raio e corresponde ao segmento de reta que passa pelo ponto central do círculo, 
dividindo-o em duas partes iguais. 
 
39 
 
Trapézio - conhecido como quadrilátero notável, ele tem duas bases paralelas 
e dois lados, com uma das bases sendo maior que a outra. A somatória de seus 
ângulos internos é igual a 360 graus. 
Losango - esse é um quadrilátero equilátero, de forma que seus quatro lados 
têm a mesma grandeza. Ele tem dois pares de lados opostos que são congruentes e 
paralelos, e suas diagonais se cruzam perpendicularmente. Esse quadrilátero também 
apresenta dois ângulos agudos (menores que 90 graus) e dois ângulos obtusos 
(maiores que 90 graus) (TOLEDO; TOLEDO, 2009). 
Na Figura 3, apresentada abaixo, você encontrará informações adicionais 
sobre as formas geométricas. 
 
 
 
 
Figura 3. Características das figuras geométricas planas 
 
 
40 
 
 
 
 
41 
 
 
 
Fonte: Smole, Diniz e Cândido, 2014. 
 
5 POSTULADOS DE EUCLIDES 
Atualmente a geometria é familiar, mas suas raízes nos conhecimentos 
remontam à 300 a.C. Conforme visto em aulas anteriores, o matemático grego 
Euclides, que residiu em Alexandria, desempenhou um papel fundamental na 
formulação de Elementos, uma obra renomada no âmbito da matemática. Essa 
composição consiste em treze volumes, nos quais os seis volumes iniciais são 
dedicados à exploração da geometria plana elementar. Euclides apresentou o tópico 
através de nove "noções comuns", cinco postulados e uma impressionante quantidade 
de mais de 150 proposições (AZEVEDO FILHO, 2015). 
Conforme o ponto de vista do matemático, a geometria pode ser interpretada 
como uma disciplina dedutiva que se desenvolve com base em noções comuns e 
postulados, também chamados de axiomas. A lista a seguir apresenta as noções 
comuns e os postulados encontrados no primeiro volume da obra, traduzidos 
diretamente do texto original (SANTOS, 2016). 
 
42 
 
Noções Fundamentais: 
• Objetos idênticos a uma mesma entidade também demonstram igualdade 
mútua; 
• Se coisas idênticas forem somadas a outras coisas idênticas, o resultado é a 
igualdade; 
• Se coisas são adicionadas a diferentes quantidades, o todo resultante também 
será diferente; 
• Os dobros de uma mesma quantidade são equivalentes entre si; 
• As metades de uma mesma quantidade são equivalentes entre si; 
• Elementos que se ajustam perfeitamente são considerados iguais; 
• Um todo é sempre maior do que a sua parte; 
• Duas retas não podem formar uma área. 
Postulados: 
• Estabelece-se como postulado a capacidade de traçar uma linha conectando 
cada ponto a qualquer outro ponto. 
• Estender uma linha limitada de forma contínua sobre outra linha; 
• Utilizar um centro e uma distância para descrever um círculo; 
• Todos os ângulos retos são equivalentes entre si; 
• Se uma linha, ao intersectar duas outras linhas, cria ângulos internos do mesmo 
lado que são menores do que dois ângulos retos, ao estendermos 
indefinidamente essas duas linhas, elas se encontrarão do lado onde os 
ângulos são menores do que dois ângulos retos (𝜋) (ver Figura 1). 
Figura 1. Representação do 5º postulado de Euclides 
 
43 
 
 
Fonte: Santos, 2016. 
Os postulados de Euclides, apesar de sua simplicidade, representaram o 
pioneiro modelo para a concepção física do espaço e também o mais resiliente. A 
organização proposta pelo matemático manteve-se inalterada por mais de dois 
milênios. Somente com a revelação das geometrias não euclidianas é que a 
comunidade matemática se viu compelida a revisitar sua obra, fortalecendo suas 
provas e fundamentos (SANTOS, 2016). 
5.1 Retas no espaço 
As retas são linhas ininterruptas constituídas por pontos, e uma única reta é 
definida por dois pontos distintos. Enquanto isso, um plano consiste em um 
subconjunto do espaço tridimensional (𝑅³), onde é possível traçar um segmento de 
reta que conecte quaisquer dois pontos pertencentes a esse subconjunto. É válido 
afirmar que um único plano é determinado por três pontos que não estejam alinhados 
entre si, passando através desses pontos. Considere as representações ilustradas na 
Figura 2 a seguir: 
Figura 2. Representações de ponto, retas e planos 
 
44 
 
 
Fonte: Reis, 2014. 
Em um espaço tridimensional (𝑅³), é possível categorizar duas retas como 
paralelas, concorrentes ou reversas. Retas coplanares são aquelas queestão 
contidas em um mesmo plano. A seguir, examinaremos cada uma dessas 
classificações. 
• Retas paralelas: considere duas retas coplanares 𝑟 e 𝑠 . Essas retas são 
consideradas paralelas (r//s) se, e somente se, não compartilharem nenhum 
ponto em comum, conforme exemplificado na Figura 3. 
 
 
 
 
Figura 3. Representação de retas paralelas em um mesmo plano 
 
45 
 
 
Fonte: Reis, 2014. 
• Retas concorrentes: considere duas retas coplanares 𝑟 e 𝑠. Essas retas são 
consideradas concorrentes caso compartilhem somente um único ponto 𝑃 em 
comum (Figura 4), ou seja, 𝑟 ∩ 𝑠 = {𝑃}. 
Figura 4. Representação de retas concorrentes em um mesmo plano 
 
Fonte: Reis, 2014. 
Se o ângulo formado entre as retas concorrentes for de 90 graus, é adequado 
denominá-las como perpendiculares. 
• Retas coincidentes: sejam duas retas coplanares 𝑟 e 𝑠, elas são consideradas 
coincidentes (𝑟 ≡ 𝑠) quando todos os seus pontos se sobrepõem conforme 
exemplificado na Figura 5. 
Figura 5. Representação de retas coincidentes 
 
46 
 
 
Fonte: Reis, 2014. 
• Retas reversas: considere duas retas 𝑟 e 𝑠 situadas em dois planos distintos, 𝛼 
e 𝛽. Essas retas são consideradas reversas se não compartilharem nenhum 
ponto em comum, ou seja, 𝑟 ∩ 𝑠 = ∅, e se não forem paralelas conforme 
exemplificado na Figura 6. 
Figura 6. Representação de retas reversas 
 
Fonte: Sodré, 2006. 
5.2 Exemplos de demonstrações 
 
47 
 
A seguir, vamos entender a resolução de determinados teoremas que 
abrangem o contexto das retas no espaço tridimensional. Inicialmente, 
estabeleceremos algumas proposições fundamentais da geometria espacial. 
• Axioma 1: entre dois pontos no espaço, é traçada uma única reta. 
• Axioma 2: dada uma reta no espaço, existem pontos que a integram e pontos 
que não a pertencem. 
• Axioma 3: entre três pontos no espaço que não estejam colineares, passa um 
único plano. 
Teorema 1: A partir de uma reta 𝑟 e um ponto 𝑃 situado externamente a essa 
reta, é possível traçar um único plano. 
Inicia-se com a seleção de dois pontos distintos, 𝐴 e 𝐵, na reta 𝑟. Observa-se 
que os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝑃 não estão alinhados. De acordo com o axioma 3, somente um 
plano pode passar através desses três pontos. Como a reta 𝑟 compartilha dois de seus 
pontos com o plano, ou seja, 𝐴 e 𝐵, ela está completamente contida nele. Portanto, 
apenas um plano atravessará a reta 𝑟 e o ponto 𝑃 externo a ela. 
Teorema 2: Através de duas retas concorrentes 𝑟 e 𝑠, é possível traçar um 
único plano. 
Considere duas retas concorrentes, 𝑟 e 𝑠 , que se cruzam no ponto 𝑃 . 
Selecione pontos distintos 𝐴 e 𝐵 em cada uma das retas. De acordo com o axioma 3, 
esses três pontos estabelecem a existência de um plano exclusivo. Uma vez que 
ambas as retas possuem dois de seus pontos no plano, elas estão completamente 
contidas nele. Consequentemente, a partir de duas retas concorrentes, 𝑟 e 𝑠 , é 
possível traçar um único plano (Figura7). 
 
 
 
 
 
Figura 7. Retas paralelas atravessadas por uma transversal 
 
48 
 
 
Fonte: Reis, 2014. 
 Cada ângulo gerado recebe uma designação particular, como apresenta a 
Figura 8. 
Figura 8. Particularidades de ângulos gerados por 2 retas paralelas atravessadas 
por uma transversal 
 
Fonte: Reis, 2014. 
 Dessa forma, temos as seguintes relações, conforme a figura 9. 
 
49 
 
Figura 9. Relações ente os ângulos formados pelas retas paralelas atravessadas 
por uma transversal 
 
Fonte: Reis, 2014. 
Em relação a essa questão, apresenta-se o seguinte teorema: para que duas 
retas distintas sejam paralelas, é necessário e suficiente que os ângulos alternos ou 
os ângulos correspondentes, formados por uma reta transversal, sejam congruentes, 
conforme a Figura 10. 
Figura 10. Retas paralelas cruzadas por uma transversal 
 
Fonte: Reis, 2014. 
 
50 
 
6 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 
Um sólido de revolução é uma entidade tridimensional criada pela rotação de 
uma região plana no espaço ao redor de um eixo (REIS, 2014). Como ilustrado na 
Figura 1, inicialmente, temos uma região delimitada pela área sombreada, que é 
girada em torno do eixo x, seguindo a direção das setas. Ao concluir o movimento, 
quando a região retorna ao ponto de origem, o sólido é formado. 
Figura 1. Sólido de revolução 
 
Fonte: Friedli, 2016. 
Observe que a base e o topo são em forma circular, com suas áreas 
calculadas usando A = 𝜋𝑟², onde 𝑟 representa a distância entre o eixo de rotação e 
a superfície da região, conforme representado na Figura 2. Os valores dos raios das 
extremidades são indicados como 𝑟1 𝑒 𝑟2. 
Figura 2. Raios dos extremos do sólido de revolução 
 
Fonte: Friedli, 2016. 
Entre os sólidos de revolução mais conhecidos, destacam-se a esfera, o 
cilindro e o cone, que são criados mediante a rotação de três figuras geométricas 
 
51 
 
planas diferentes: um semicírculo, um retângulo e um triângulo retângulo, conforme 
exemplificado na Figura 3. 
Figura 3. Exemplos de sólidos de revolução 
 
Fonte: shutterstock.com. 
6.1 Áreas de sólidos de revolução 
Área do cilindro 
O cilindro de revolução ilustrado na Figura 4 apresenta bases que são 
paralelas entre si e uma altura h (REIS, 2014). 
Figura 4. Cilindro de revolução 
 
Fonte: Reis, 2014. 
 
52 
 
No intuito de calcular a área de superfície total, é necessário determinar as 
áreas das bases e a área lateral do objeto. As bases do cilindro são circulares e sua 
área depende do raio, como ilustrado na Figura 5 a seguir, representada por 𝑆𝑏. 
Figura 5. Área da base de um cilindro de revolução 
 
Fonte: Reis, 2014. 
Para calcular a área da superfície lateral, podemos imaginar "desdobrar" o 
cilindro em uma planificação, como representado na Figura 6. Isso nos leva a um 
retângulo, no qual um dos lados é a altura ℎ do cilindro, e o outro lado é o comprimento 
da circunferência da base, ou seja, 2𝜋𝑟. A área lateral 𝑆𝐿 também está representada 
na figura. 
Figura 6. Área lateral de um cilindro de revolução 
 
Fonte: Reis, 2014. 
 
53 
 
Então, para calcular a área total 𝑆𝑇, basta somar a área lateral às áreas das 
duas bases. Dessa forma, temos: 
𝑆𝑇 = 𝑆𝐿 + 2 ⋅ 𝑆𝐵 
𝑆𝑇 = 2𝜋𝑟ℎ + 2𝜋𝑟2 
Área do cone 
O cone de revolução, ilustrado na Figura 7, é caracterizado por uma geratriz 
g, uma altura h e um raio r, que estão interligados pelo teorema de Pitágoras. Para 
construí-lo, basta fazer uma rotação em torno do eixo central da sua geratriz. 
Figura 7. Cone de revolução 
 
Fonte: Reis, 2014. 
A área da base do cone, representada como 𝑆𝑏, também é circular, similar à 
base do cilindro, e pode ser visualizada na Figura 8 abaixo. 
 
 
 
 
 
54 
 
Figura 8. Área da base do cone de revolução 
 
Fonte: Reis, 2014. 
Para determinarmos a área da superfície lateral, podemos realizar uma 
planificação do cone, conforme ilustrado na Figura 9. O cone planificado se assemelha 
a um setor circular, com um raio equivalente a geratriz g e um comprimento igual a 
2𝜋𝑟, que corresponde ao perímetro do círculo da base (REIS, 2014). 
Figura 9. Planificação do cone de revolução 
 
Fonte: Reis, 2014. 
Para determinar a área lateral, é necessário calcular a área do setor circular, 
que está diretamente relacionada com o comprimento do arco. Portanto, se 
 
55 
 
tivéssemos considerado o círculo completo com um raio de g, sua área seria πg², 
enquanto o comprimento do arco seria 2πg. Visto que temos um comprimento menor, 
igual a 2πr, podemos encontrar sua área utilizando uma regra de três, como ilustrado 
na Figura 10. 
Figura 10. Área lateral do cone de revolução 
 
Fonte: Reis, 2014. 
A área total 𝑆𝑇 do cone de revolução é obtida somando a área da base e a 
área lateral. Portanto, podemos calcular da seguinte maneira: 
𝑆𝑇 = 𝑆𝑏 + 𝑆𝐿 = 𝜋𝑟2 + 𝜋𝑟𝑔 
𝑆𝑇 = 𝜋𝑟2 + 𝜋𝑟𝑔 
Área da esfera 
A esfera pode ser concebida como um sólido de revolução. Paraalcançar isso, 
é suficiente desenhar uma semicircunferência e girá-la em torno de um eixo, conforme 
exemplificado na Figura 11. 
 
 
 
 
 
 
56 
 
Figura 11. Esfera como um sólido de revolução 
 
Fonte: shre.ink/rzjz. 
Os elementos fundamentais de uma esfera incluem seu raio, centro e os 
pontos que compõem sua superfície. Esses elementos são representados de forma 
esquemática na Figura 12. 
Figura 12. Elementos de uma esfera 
 
Fonte: Reis, 2014. 
Sua área de superfície é expressa como: 
𝑆 = 4𝜋𝑅2 
 
57 
 
Exemplo 1 - A esfera representada na Figura 13 possui uma área de 
superfície igual a 𝑆 = 1.256. Qual é o valor do seu raio? Utilize 𝜋 = 3,14 como 
referência. 
Figura 13. Esfera 
 
Fonte: Reis, 2014. 
Sabemos que a área de superfície de uma esfera é expressa como: 
𝑆 = 4𝜋𝑅2 
Portanto, podemos afirmar que: 
1256 = 4𝜋𝑅2 
𝑅2 =
1256
4𝜋
 
𝑅2 = 100 
𝑅 = 10 
O raio da esfera é igual a 10. 
Exemplo 2 - Dado o cone ilustrado na Figura 14, determine sua área total de 
superfície. Utilize o valor de 𝜋 = 3,14 como referência. 
 
 
 
 
 
58 
 
 
 
Figura 14. Cone 
 
Fonte: Reis, 2014. 
A área da base é expressa como: 
𝑆𝑏 = 𝜋𝑟2 
𝑆𝑏 = 𝜋62 
𝑆𝑏 = 113,06m2 
Para calcular a área lateral, é necessário, em primeiro lugar, determinar a 
geratriz. Para isso, usamos o teorema de Pitágoras. Assim: 
𝑔2 = 62 + 102 = 136 
𝑔 ∽ 11,662 m 
Agora, podemos calcular a área lateral da seguinte forma: 
𝑆𝐿 = 𝜋𝑟𝑔 
𝑆𝐿 = 𝜋 ⋅ 6 ⋅ 11,662 
𝑆𝐿 ∽ 219,71 m2 
Logo, a área total será: 
𝑆𝐿 = 113.04 + 219,71 
𝑆𝐿 ∽ 332,75 m2. 
 
 
59 
 
 
7 CÁLCULO DE VOLUMES DE CILINDROS DE CONES 
Conforme visto no início da aula anterior, os sólidos de revolução são gerados 
pela rotação de uma região plana ao redor de um eixo. A rotação da região plana 
resulta em bases circulares. Notavelmente, qualquer corte realizado no objeto, em 
paralelo às bases, exibe seções circulares. 
Para calcular o volume de sólidos de revolução, emprega-se o teorema de 
Pappus-Guldin. Esse teorema estabelece que, ao rotacionar uma superfície em torno 
de um eixo, o volume gerado é: 
𝑉 = 2𝜋𝐷𝑆 
Onde: 
 𝐷 = a distância entre o centro de gravidade (𝐶𝐺) e o eixo de rotação. 
𝑆 = a área de superfície (Figura 2). 
Figura 1 - Esquema para o teorema de Pappus-Guldin 
 
Fonte: shre.ink/rzGr. 
7.1 Volume do cilindro 
O cilindro de revolução, ilustrado na Figura 2, exibe distintas propriedades. 
Suas bases estão situadas em planos paralelos, e sua geratriz é perpendicular aos 
mesmos planos. 
 
60 
 
Figura 2 - Cilindro de revolução 
 
Fonte: Reis, 2014. 
Para calcular o volume do cilindro, aplicamos o princípio de Cavalieri. 
Consideramos dois sólidos, 1 e 2, ambos com a mesma altura, e um plano 𝛼, conforme 
representado na Figura 3. Se para cada plano 𝛽 paralelo a 𝛼 , que intersecta os 
sólidos, as seções resultantes tiverem áreas iguais, ou seja, 𝐴1 = 𝐴2 , então os sólidos 
possuem volumes idênticos. 
Figura 3 - Esquema para a demonstração do volume de um cilindro 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
 Considerando que o sólido 1 assume a forma de um paralelepípedo retângulo, 
seu volume é calculado pela multiplicação da área de sua base 𝐴𝑏 pela altura ℎ. 
Portanto: 
 
61 
 
𝑉1 = 𝐴𝑏ℎ = 𝑉2. 
Assim, o volume do cilindro é expresso por: 
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝐴𝑏ℎ = 𝜋𝑟2ℎ. 
Outro método para determinar o volume do cilindro é empregar o teorema de 
Pappus-Guldin. Nesse contexto, a superfície geratriz do cilindro é um retângulo, com 
base equivalente ao raio da base e altura igual à altura do cilindro, ou seja, 𝑆 = 𝑟ℎ. 
O centro de gravidade corresponde ao ponto central do retângulo, situando-se a 
distância 𝑑 =
𝑟
2
 do eixo de rotação. Consequentemente, o volume é calculado como: 
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 2𝜋𝑑𝑆 = 2𝜋
𝑟
2
𝑟ℎ = 𝜋𝑟2ℎ. 
O centro de gravidade de figuras planas é um ponto localizado no eixo de 
simetria da respectiva figura. Se a figura possuir múltiplos eixos de simetria, o centro 
de gravidade será encontrado na interseção desses eixos. Um eixo de simetria é 
definido como uma linha que divide a figura em duas partes iguais ou simétricas. 
Portanto, para um retângulo, o centro de gravidade coincide com seu ponto central, 
sendo que as linhas vermelhas representam seus eixos de simetria. Observe uma 
exemplificação na Figura 4 a seguir: 
Figura 4 - Centro de Gravidade de um retângulo 
 
Fonte: Teixeira, 2019. 
 
62 
 
7.2 Volume do cone 
O cone de revolução (Figura 5) apresenta algumas propriedades específicas. 
O eixo é perpendicular ao plano da base, e a relação entre a geratriz, altura e o raio 
da base, pode ser estabelecida pelo teorema de Pitágoras. 
Figura 5 - Cone de revolução 
 
Fonte: Reis, 2014. 
 O cone de revolução é formado pela rotação de um triângulo em torno de um 
de seus catetos, que é então considerado como a altura, conforme ilustrado na Figura 
6. O centro de gravidade do triângulo encontra-se a uma distância 𝑑 =
𝑟
3
, e a área do 
triângulo é calculada como 𝑆 =
𝑟ℎ
2
. Assim, com base no teorema de Pappus–Guldin, 
o volume do cone pode ser determinado como: 
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 = 2𝜋𝑑𝑆 = 2𝜋
𝑟
3
𝑟ℎ
2
=
𝜋𝑟2ℎ
3
. 
 
 
 
 
 
63 
 
Figura 6 - Geração do cone como sólido de revolução 
 
Fonte: shre.ink/rzGr. 
7.3 Volume da esfera 
O volume da esfera pode ser determinado com o princípio de Cavalieri. 
Considere dois sólidos: uma esfera 𝑆 e um cilindro equilátero 𝐺, ambos posicionados 
sobre um plano horizontal 𝛼, conforme apresentado na Figura 7. 
Figura 7 - Esquema para a demonstração do volume da esfera 
 
Fonte: Pilati, 2015. 
 Dentro do cilindro 𝐺 , é possível traçar dois cones idênticos, cujas bases 
coincidem com as do cilindro, e os vértices se localizam no ponto médio do eixo do 
cilindro. O volume desses cones é 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 =
𝜋𝑟3
3
. Esses cones são posteriormente 
removidos do cilindro. 
 Agora, considere um plano 𝛽 que é paralelo ao plano 𝛼 e corta os sólidos 𝑆 e 
𝐺, como ilustrado na Figura 7. Esse plano está posicionado a uma distância ℎ dos 
centros dos sólidos e define uma circunferência de raio 𝑠 na esfera 𝑆 e uma região 
 
64 
 
anular no cilindro 𝐺, delimitada por duas circunferências, uma de raio 𝑟 e outra de raio 
ℎ. É importante recordar que os cones também são equiláteros. 
A área do círculo que se forma em 𝑆 é expressa como 𝜋𝑠² . Além disso, 
observe que temos a relação 𝑠² + ℎ² = 𝑟², o que também implica que 𝑠² = 𝑟² – ℎ². 
Dessa forma, chegamos a: 
𝜋𝑠2 = 𝜋(𝑟2 − ℎ2). 
A área da coroa circular, por outro lado, é expressa como 𝜋𝑟² – 𝜋ℎ², e é 
equivalente à área do círculo de raio 𝑠. Portanto, com base no princípio de Cavalieri, 
é possível concluir que os sólidos 𝑆 e 𝐺 possuem o mesmo volume. 
O volume do sólido 𝐺 é equivalente ao volume do cilindro menos a soma dos 
volumes dos dois cones removidos. Em outras palavras: 
𝑉𝐺 = 𝜋𝑟22𝑟 − 2
1
3
𝜋𝑟3 =
4
3
𝜋𝑟3. 
Portanto, o volume da esfera é: 
𝑉𝑆 = 𝑉𝐺 =
4
3
𝜋𝑟3. 
7.4 Problemas de aplicação 
Há várias questões envolvendo o cálculo do volume de sólidos de revolução. 
Abordaremos agora dois exemplos. 
Problema 1: Considere um cilindro com um diâmetro de 10 cm e uma altura de 10 
cm. Do interior desse cilindro, um paralelepípedo foi removido, tendo a diagonal 
coincidente com o diâmetro do cilindro, conforme apresentado na Figura 8. Qual é o 
volume do sólido resultante? Utilize 𝜋 = 3,14. 
 
 
Figura 8 - Sólido do problema 1 
 
65 
 
 
Fonte: Reis, 2014. 
 Inicialmente, calcula-se o volume completo do cilindro, através da seguinte 
fórmula: 
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋𝑟2ℎ, 
onde "𝑟" representa o raio da base e "ℎ" é a altura. Portanto, ao substituirmos os 
valores, obtemos: 
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋 (
10
2
)
2
10 = 250𝜋 = 785cm3. 
Agora, vamos determinar o volume do paralelepípedo, dado por: 
𝑉𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝𝑖𝑝𝑒𝑑𝑜 = 𝐴𝑏𝑏, 
onde"𝐴𝑏" é a área da base, e "ℎ" é a altura. Para calcularmos a área da base, 
precisamos determinar os lados da mesma. Portanto: 
𝑙2 + 𝑙2 = 102, 
2𝑙2 = 100, 
𝑙2 = 50, 
𝑙 = √50. 
Agora, podemos calcular o volume como: 
𝑉𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝𝑖𝑝𝑒𝑑𝑜 = (√50)
2
10 = 500 cm3. 
 
66 
 
O volume do sólido corresponde ao volume do cilindro menos o volume do 
paralelepípedo. Consequentemente: 
𝑉𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜 = 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 − 𝑉𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝𝑖𝑝𝑒𝑑𝑜 = 785 − 500 = 285 cm3. 
Problema 2: Imagine um tubo com um diâmetro interno de 0,40 m e um comprimento 
de 20 m (Figura 10). Qual é a capacidade interna desse tubo em litros? 
Figura 9 - Tubulação do problema 2 
 
Fonte: encurtador.com.br/aqwST. 
A tubulação assume a forma de um cilindro. Seu volume é dado por: 
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋𝑟2ℎ. 
Ao realizar a substituição dos valores, obtém-se que: 
𝑉 = 𝜋 (
0,40
2
)
2
20 = 𝜋 ⋅ 0,04 ⋅ 20 = 2,512 m3. 
 Temos o conhecimento de que: 
1 L = 1 dm3. 
 Dessa forma, obtemos: 
𝑉 = 2,512 m3 = 2,512 ⋅ 103dm3 = 2,512 L. 
Consequentemente, a capacidade da tubulação é de 2,512 litros. 
 
 
 
67 
 
8 INTEGRAL DEFINIDA E A ÁREA 
O problema do cálculo da área sob curva pode ser interpretado da seguinte 
forma: dada uma função contínua 𝑓 não-negativa no trecho [𝑎, 𝑏], encontrar a área 
entre o gráfico de 𝑓 no trecho [𝑎, 𝑏] e o eixo 𝑥. As fórmulas para a área das figuras 
geométricas básicas são conhecidas desde os primeiros registros do estudo da 
geometria. O primeiro avanço concreto na solução do problema acima foi proposto 
por Arquimedes (287 a.C.–212 a.C). Essa técnica apesar de engenhosa era incômoda 
e longa, ficou conhecida como o método da exaustão. 
No século XVII, matemáticos descobriram formas mais práticas e rápidas de 
determinar essas áreas utilizando limites. Os maiores avanços neste campo podem 
ser atribuídos a Newton e a Leibniz, que descobriram que as áreas podiam ser 
determinadas revertendo o processo de diferenciação. Antes de falar sobre métodos 
para cálculos de áreas sobre as curvas, é necessário ter uma definição precisa do 
termo área. Partindo do princípio de que os cálculos de área das figuras de contornos 
retos (polígonos) e da circunferência são conhecidos, como são feitos os contornos 
curvilíneos conforme proposto na Figura 1, a seguir: 
Figura 1. Problema da área 
 
Fonte: Anton, Bivens e Davins, 2014. 
O foco, portanto, é definir formalmente o que entender como área de uma 
região 𝑅 limitada: pelo eixo 𝑥, lateralmente, pelas retas verticais 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏 e, 
acima, pela curva 𝑦 = 𝑓 (𝑥), onde 𝑓 é contínua não negativa no trecho [ 𝑎, 𝑏 ] 
lembrando que a área de um retângulo é o produto de sua largura por seu 
 
68 
 
comprimento. Veja, a seguir, uma sequência de passos para obter uma expressão 
para área da região 𝑅. 
1º Passo: dividir o trecho [a, b] em n subintervalos iguais, conforme a Figura 2 
Figura 2. Subdivisões — 1º Passo 
 
Fonte: Anton, Bivens e Davins, 2014. 
Definir a área 𝑅 como sendo o limite das áreas das regiões aproximantes de 
𝑅𝑛, isto é: 𝐴 = á𝑟𝑒𝑎(𝑅) = lim
𝑛→∞
[á𝑟𝑒𝑎(𝑅)]. 
Utilizando notação matemática, suponha que o trecho [𝑎, 𝑏] tenha sido divido 
em n subintervalos, introduzindo-se 𝑛– 1 pontos igualmente espaçados entre 𝑎 e 𝑏, 
assim, 𝑥1 , 𝑥2 , . . . 𝑥𝑛−1. Cada um desses subintervalos terá o comprimento de 
𝑏−𝑎
𝑛
 que, 
seguindo a proposta histórica, denota-se por: 
∆𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛
 
2º Passo: em cada subintervalo, construir um retângulo cuja altura é o valor de 
𝑓 em algum ponto do subintervalo. Em cada subintervalo é preciso escolher um ponto 
pelo qual a função 𝑓 deve ser calculada para determinar a altura do retângulo no 
intervalo. Se esse ponto for: 
𝑥1
∗, 𝑥1
∗, … , 𝑥𝑛−1
∗ 
O cálculo das alturas será conforme a Figura 3, a seguir. 
 
 
69 
 
Figura 3. Cálculo das alturas — 2º Passo. 
 
Fonte: Anton, Bivens e Davins, 2014. 
Assim, as áreas dos retângulos (base x altura) serão dadas por: 
𝑓(𝑥1
∗)∆𝑥, 𝑓(𝑥2
∗)∆𝑥, … , 𝑓(𝑥𝑛−1
∗ )∆𝑥, 
e pode-se escrever a área da região 𝑅 como: 
𝑓(𝑥1
∗)∆𝑥 + 𝑓(𝑥2
∗)∆𝑥 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛−1
∗ )∆𝑥, 
ou, ainda, usando o somatório: 
á𝑟𝑒𝑎(𝑅𝑛) = ∑ 𝑓(𝑥𝑘
∗
𝑛
𝑘=1
)∆𝑥. 
Nessa notação, porém, tem-se um pequeno número de retângulos. Observe 
que quanto menor o número de retângulos utilizado, menos realista será a 
aproximação, pois ela não representará com precisão a curva. Quanto maior o número 
de retângulos utilizado, mais sobrepostos a área sob a curva estarão nesses 
retângulos. Para isso, é necessário que a largura dos retângulos seja reduzida, 
idealmente como ∆𝑥 → 0 , e consequentemente, 𝑛 → ∞, que levará à melhor 
aproximação possível. 
 
 
 
 
 
70 
 
Figura 4. Generalização 
 
Fonte: Anton, Bivens e Davins, 2014. 
Assim, a melhor aproximação da área pode ser dada por: 𝐴 =
lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑥𝑘
∗𝑛
𝑘=1 )∆𝑥. 
O que leva à seguinte definição (área sob uma curva): se a função 𝑓 for 
contínua em [𝑎, 𝑏] e 𝑓 (𝑥) ≥ 0 para o 𝑥 em [𝑎, 𝑏], então a área sob a curva 𝑦 = 𝑓 (𝑥) 
no trecho [𝑎, 𝑏] é definida por: 𝐴 = lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑥𝑘
∗𝑛
𝑘=1 )∆𝑥 
O limite da definição demonstrada frequentemente é difícil ou impossível de ser 
encontrado, de modo que quando uma área exata é desejada deve ser usado o 
método da antiderivadas. Porém, se for suficiente uma aproximação, então, em vez 
do limite, pode-se usar a área aproximada dada por: 𝐴 ≈ ∑ 𝑓(𝑛
𝑘=1 𝑥𝑘
∗)∆𝑥 
Exemplo 1 – Usando ∆𝑥 =
1
2
= 0,5, é possível realizar a aproximação da área 
da curva a seguir tanto por superestimação quanto por subestimação. A curva é dada 
por 𝑓 (𝑥) = 𝑙𝑜𝑔(𝑥) no trecho [1, 5]. Para que seja possível determinar a aproximação, 
é necessário que se saiba quais os pontos no eixo 𝑥 correspondem aos valores de 
𝛥𝑥, além de quais os valores 𝑓 (𝑥) para esses pontos. 
 
71 
 
 
Lembre-se de que segundo a soma de Riemann por 𝐴 ≈ ∑ 𝑓(𝑛
𝑘=1 𝑥𝑘
∗)∆𝑥, por 
subestimação tem-se: 
 
Por superestimação: 
 
Portanto, observe que existe uma diferença de 1,7345 entre as aproximações. 
 
72 
 
8.1.1 Integral definida de uma função contínua 
Na definição anterior, admite-se que a função 𝑓 contínua e não negativa no 
trecho [𝑎, 𝑏], é possível também aceitar valores negativos e positivos entre [𝑎, 𝑏], então 
o limite: lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑥𝑘
∗𝑛
𝑘=1 )∆𝑥 passa a representar a diferença entre as áreas acima de 
[𝑎, 𝑏] e sob a curva 𝑦 = 𝑓 (𝑥); a área sob [𝑎, 𝑏] e acima da curva 𝑦 = 𝑓 (𝑥) chama-
se de área líquida, com sinal entre os gráficos de 𝑦 = 𝑓 (𝑥) e o intervalo [𝑎, 𝑏] como 
mostra a Figura 5. 
𝐴𝑛 − (−𝐴𝑚) = [á𝑟𝑒𝑎 𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 [𝑎, 𝑏] – [á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑏 [𝑎, 𝑏]] 
Figura 5. Área líquida 
 
Fonte: Anton, Bivens e Davins, 2014. 
Assim, se subdividir o trecho [ 𝑎, 𝑏 ], como na Figura 6 a seguir, em 𝑛 
subintervalos iguais e examinar os termos da soma: ∑ 𝑓(𝑥𝑘
∗𝑛
𝑘=1 )∆𝑥, e se 𝑓(𝑥𝑘
∗) for 
positivo, então, o produto 𝑓(𝑥𝑘
∗) representa a área do retângulo com altura 𝑓(𝑥𝑘
∗) e 
base ∆𝑥. Porém, se 𝑓(𝑥𝑘
∗) for negativo, então, o produto será negativo da área do 
retângulo com altura | 𝑓(𝑥𝑘
∗) | e base ∆𝑥 . Dessa maneira, o somatório acima 
representa a área total com sinal entre 𝑦 = 𝑓 (𝑥) e [𝑎, 𝑏]. O limite dessa soma quando 
𝑛 → ∞ é tão importante que há uma terminologia e notação associada a ele, chamada 
integral definida de 𝑓 de 𝑎 até 𝑏. 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑛→+∞
∑ 𝑓(𝑥𝑘
∗)∆𝑥
𝑛
𝑘=1
𝑏
𝑎
 
 
73 
 
Figura 6. Subdivisões da área líquida 
 
Fonte: Anton, Bivens e Davins, 2014. 
8.2 A Integral definida e a soma de Riemann 
Geometricamente, a integral definida representa a área com sinal entre 𝑦 =
 𝑓(𝑥) e [𝑎, 𝑏], e no caso de 𝑓 (𝑥) não negativa em [𝑎, 𝑏], a área entre a curva e o 
intervalo [𝑎, 𝑏 ]. Os números 𝑎 e 𝑏 são chamados limites de integração inferior e 
superior, nessa