barra_corpo_grav

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Na figura abaixo uma partícula de massa m está a uma distância d de uma das extremidades
de uma barra com distribuição de massa uniformeM e de comprimento L. Vamos calcular a força
gravitacional (~F ) que a barra exerce sobre a partícula.
Como a barra e a partícula de massa m estão próxi-
mas, não podemos considerar a barra como uma partí-
cula, devemos considerá-la como um corpo estendido.
Como indica o desenho, vamos separar um elemento
de espessura dr da barra, que possui uma massa dm
e está localizado a uma distância r da partícula de
massa m. A força exercida por esse elemento será:
dF = G
m1dm
r2
(1)
Perceba que na integral foi colocada a massa da partícula como m1 a fim de não confundirmos as
massas. Precisamos agora escrever o diferencial de massa dm em termos da massa total da barra
e do seu comprimento. Como a distribuição de massa é uniforme podemos dizer que a densidade
da barra total é igual à densidade do elemento dm que separamos.
ρt = ρ→ M
V
=
dm
dV
→ M
AL
=
dm
Adr
→ M
L
=
dm
dr
→ dm = M
L
dr (2)
dF = G
m1(M/L)dr
r2
(3)
F =
∫ L+d
d
dF =
∫ L+d
d
G
m1M
Lr2
dr = G
m1M
L
∫ L+d
d
dr
r2
= −Gm1M
L
(
1
L+ d
− 1
d
)
(4)