Avaliação Final (Discursiva) - Individual-Calculo Dif e Integral

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GABARITO | Avaliação Final (Discursiva) - Individual
(Cod.:986652)
Peso da Avaliação 2,00
Prova 92749546
Qtd. de Questões 2
Nota 10,00
Em matemática, um ponto crítico, também chamado de ponto estacionário, é um ponto no domínio de 
uma função onde a primeira derivada é nula. Os pontos críticos serão sempre pontos de máximos ou 
mínimos relativos ou pontos de inflexão, podendo-se descobrir em que categoria o ponto cai 
analisando a sua segunda derivada (a curvatura) da função. Em matemática, a análise de máximos e 
mínimos (pontos críticos) possui diversas aplicações. Uma delas é na área fabril.
Dessa forma, imagine que o custo em reais de fabricação de uma unidade de um certo produto é dado 
pela função C: [0, 24] → R, definida por C(x) = 2x3 - 66x2 + 432x + 3000, onde x representa a 
quantidade produzida. Determine o que se pede, para cada situação a seguir:
a) (2 pontos) Para a fabricação de 8 e 20 peças, determine o valor de custo para cada situação.
b) (3 pontos) Determine os pontos críticos da função custo.
c) (3 pontos) Verifique pela regra da derivada segunda, se os pontos críticos são de máximo ou 
mínimo.
d) (2 pontos) Identifique pela derivada segunda, o ponto de inflexão da função. Justifique o motivo de 
ser um ponto de inflexão. Dica: utilize os resultados obtidos nos itens anteriores.
Obs.: apresentar o desenvolvimento e raciocínio aplicado em cada item.
Resposta esperada
a) (2 pontos) Qual o custo de cada produto, caso a fábrica produza 8 unidades? E se fabricar 20
unidades?
Solução:
Para determinar estes valores, basta aplicar na função custo. Logo,
Para x = 8
C(8) = 2·8³ - 66·8² + 432·8 + 3000
C(8) = 1024 - 4224 + 3456 + 3000
C(8) = 3256 reais cada unidade.
Para x = 20
C(20) = 2·20³ - 66·20² + 432·20 + 3000
C(20) = 16000 - 26400 + 8640 + 3000
C(20) = 1240 reais cada unidade.
b) (3 pontos) Determine os pontos críticos da função custo.
Solução:
Para determinar os pontos críticos, devemos resolver C’(x) = 0. Logo,
C’(x) = 0
6x² - 132x + 432 = 0
Podemos simplificar a equação por 6,
x² - 22x + 72 = 0
Aqui o acadêmico pode resolver por qualquer método conhecido, porém, é imprescindível que
ele encontre os dois pontos críticos em x = 4 e x = 18.
c) (3 pontos) Verifique pela regra da derivada segunda, se os pontos críticos são de máximo ou
mínimo.
Solução:
Devemos aplicar os pontos críticos na derivada segunda e observar o seu resultado.
C’’(x) = 12x – 132
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Verificando para x = 8
C’’(4) = 12·4 – 132 = -84 0
Logo, x = 18 é pontos de mínimo.
d) (2 pontos) Identifique pela derivada segunda, o ponto de inflexão da função. Justifique o
motivo de ser um ponto de inflexão, baseado em resultados obtidos nos itens anteriores.
Solução:
Como já temos o resultado da derivada segunda, vamos identificar quanto essa função é zero,
C’’(x) = 0
12x – 132 = 0
12x = 132
x = 11
Como já sabemos dos resultados do item b e item c, podemos afirmar que x = 11, é um ponto de
inflexão.
Minha resposta
Para resolver as questões propostas, vamos seguir o passo a passo para cada item: a) Determinar
o valor de custo para 8 e 20 peças A função de custo é dada por C ( x )=2x³-66x²+432x+3000
Vamos calcular C ( 8 ) e C ( 20 ) 1: C ( 8 ) : C (8)=2(8)³-66(8)²+432(8)+3000
2(512)-66(64)+3456+3000 1024-4224+3456+3000 = 3256 2: C (20) : C
(20)=2(20)³-66(20)²+432(20)+3000 2(8000)-66(400)+8640+3000 16000-26400+8640=3000 =
2000 Resposta: O custo para a fabricação de 8 peças é R$ 3256. O custo para a fabricação de 20
peças é R$ 2000. Respostas restantes disponíveis no arquivo anexo:
questnuo_1_(1).pdfClique para baixar sua resposta
Retorno da correção
Parabéns, acadêmico, sua resposta atingiu os objetivos da questão e você contemplou o esperado,
demonstrando a competência da análise e síntese do assunto abordado, apresentando excelentes
argumentos próprios, com base nos materiais disponibilizados.
Nesta atividade, exploraremos uma função específica para compreender seu comportamento em 
diversos aspectos críticos. O objetivo é aplicar conceitos fundamentais do cálculo, como 
descontinuidade, limites laterais, assíntotas horizontais e a existência de raízes em um intervalo 
específico. Este exercício visa fortalecer seu entendimento dos conceitos fundamentais do cálculo e 
sua aplicação prática.
Dessa forma, utilizando a função
,
responda às perguntas a seguir.
a) (1 ponto) Determine o ponto de descontinuidade da função, explicando o motivo.
b) (3 pontos) No ponto determinado em a), aplique os conceitos de limites laterais, para identificar o 
comportamento na função a esquerda e a direita deste ponto.
c) (3 pontos) Verifique a existência de assíntotas horizontais nesta função.
Dica: utilize os limites no mais e menos infinito.
d) (3 pontos) Verifique a existência ou não, de pelo menos uma raiz no intervalo (0, 1).
Obs.: Apresentar o desenvolvimento e raciocínio aplicado em cada item.
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Resposta esperada
 a) (1 ponto) Determine o ponto de descontinuidade da função.
Solução:
É possível notar na função, apenas um ponto de descontinuidade em x = 2, pois (x – 2) deve ser
diferente de zero.
b) (3 pontos) No ponto determinado em a), aplique os conceitos de limites laterais, para
identificar o comportamento na função a esquerda e a direita deste ponto.
Solução:
Desta forma, a esquerda a função está tendendo ao infinito negativo, enquanto que pela direita,
está tendendo ao infinito positivo.
c) (3 pontos) Verifique a existência de assíntotas horizontais nesta função.
Dica: utilize os limites no mais e menos infinito.
Solução:
d) (3 pontos) Verifique a existência de pelo menos uma raiz no intervalo (0, 1).
Solução:
Utilizando o TVI, temos que
Logo, existe pelo menos um c ∈ (1, 2) tal que f(c) = 0, com c sendo a raiz de f.
Minha resposta
A questão esta descrita no arquivo.
prova_questnuo_2.pdfClique para baixar sua resposta
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Parabéns, acadêmico, sua resposta atingiu os objetivos da questão e você contemplou o esperado,
demonstrando a competência da análise e síntese do assunto abordado, apresentando excelentes
argumentos próprios, com base nos materiais disponibilizados.
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