Resumo das aulas teoricas

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1 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@ig.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Federal de Sergipe 
Departamento de Economia 
Disciplina: Econometria I 
Professor: Olinto Silveira Alves Filho* 
 
“Educar e educar-se, na prática da liberdade, não é 
estender algo desde a “sede do saber”, até a “sede da 
ignorância” para “salvar”, com este saber, os que 
habitam nesta. Ao contrário, educar e educar-se, na 
prática da liberdade é tarefa daqueles que sabem que 
pouco sabem - por isto sabem que sabem algo e podem 
assim chegar a saber mais – em diálogo com aqueles que, 
quase sempre, pensam que nada sabem, para que estes, 
transformando seu pensar que nada sabem em saber que 
pouco sabem, possam igualmente saber mais.” (FREIRE, 
2006:25) 
 
 
ANÁLISE DE REGRESSÃO MÚLTIPLA 
 
 
Antes de entrar na análise de regressão múltipla, vamos fazer uma breve exposição histórica sobre 
análise de regressão e recordar alguns dos principais conceitos de regressão linear simples. 
 
De acordo com Gujarati (2000), o termo regressão foi introduzido pelo inglês Francis Galton, em 
1886: 
 
“Embora houvesse uma tendência de pais altos terem filhos altos e de pais baixos terem filhos 
baixos, a altura média dos filhos de pais de uma dada altura tendia a se deslocar ou regredir 
até a altura média da população como um todo”. 
 
A regressão pode ser contemporaneamente interpretada da seguinte forma: 
 
2 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@ig.com.br 
 
 
A análise de regressão ocupa-se do estudo da dependência de uma variável (a variável dependente ou 
variável explicada) em relação a uma ou mais variáveis independentes (variáveis explicativas) com o 
objetivo de estimar e/ou prever a média da população (ou o valor médio da dependente) em termos 
dos valores conhecidos ou fixos (em amostragem repetida) das variáveis independentes (GUJARATI, 
2000). 
Uma vez que estamos interessados em estudar as relações entre as variáveis independentes e a 
variável dependente, de tal maneira que se possa estabelecer uma função (equação ou fórmula) 
estatística entre elas, precisamos de um conjunto de observações para cada uma dessas variáveis e 
uma hipótese que apresenta a forma matemática explicita dessa função. 
Um procedimento consagrado na literatura especializada é o Método dos Mínimos Quadrados que foi 
“inventado” por Carl Friedrich Gauss, matemático alemão, em 1821. 
 
O critério dos mínimos quadrados nos diz que a melhor função linear que se ajusta a um conjunto de 
dados é aquela que minimiza a soma dos quadrados dos desvios ou resíduos, entre a verdadeira linha 
reta (reta teórica) e aquela ajustada, ou seja, obtida através da amostra. 
 
Portanto, o critério de mínimos quadrados é escolher estimadores dos parâmetros da reta ajustada que 
minimiza a soma dos quadrados dos desvios. 
 
 
Etapas do processo de análise de regressão linear 
 
 
i. Formulação da teoria ou hipótese – exemplo: 
 
 “a lei psicológica fundamental... as pessoas como regra e na média se dispõem a aumentar 
seu consumo quando sua renda aumenta, mas não tanto quanto o aumento em sua renda”. 
 
 PMgC de Keynes. 
 
ii. Especificação do modelo matemático (função consumo keynesiana) 
 
ii XY 21  
 
 
iii. Especificação do modelo econométrico 
 
iii uXY  21 
 
 
iv. Obtenção de dados 
 
v. Estimação do modelo (estimar os parâmetros da função consumo), as estimativas numéricas 
dos parâmetros dão um conteúdo empírico à função consumo. 
 
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iii
XY 21
ˆˆˆ  
 
 
vi. Análise dos resultados 
 
vii. Previsão 
 
 
Especificação do modelo clássico de regressão 
 
 
Para simplificar a exposição, trabalharemos com o modelo de regressão linear simples com duas 
variáveis (ou seja, com apenas uma variável explicativa). 
 
),( uXfY 
 
 
iii uXY  21 
 
 
Observação: o símbolo 

 representa a letra grega beta. 
 
Veja que o Y (que é uma variável aleatória) é a variável dependente ou explicada, enquanto que o X 
(que é fixo ou não-estocástico) é a variável independente ou explicativa. 
 
Outro termo que entra na equação é o 
u
 que é o termo de erro (variável de perturbação estocástica). 
A inclusão deste componente aleatório na especificação de um modelo econométrico pode ser 
justificada por três principais argumentos: 
 
 Omissão de variáveis explicativas relevantes; 
 
 O comportamento social humano não é exatamente previsível, sempre existe algum tipo de 
elemento aleatório; 
 
 A variável dependente apresenta erros de medida, não repetindo de forma precisa os valores 
teóricos da variável dependente. 
 
Antes de fazer a estimação do modelo, vamos levantar algumas hipóteses de trabalho relacionadas ao 
Método dos Mínimos Quadrados que será usado no processo de estimação. 
 
Só para reforçar, conforme dito anteriormente, o Método dos Mínimos Quadrados, ou Mínimos 
Quadrados Ordinários (MQO) é uma técnica de otimização matemática que procura encontrar o 
melhor ajustamento para um conjunto de dados, buscando minimizar a soma dos quadrados das 
diferenças entre o valor estimado e os dados observados, estas diferenças são chamadas resíduos. 
 
Portanto, o estimador de MQO consiste em um estimador que minimiza a soma dos quadrados dos 
resíduos da regressão, de forma a maximizar o grau de ajuste do modelo aos dados observados. 
 
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As Hipóteses Subjacentes ao Método dos Mínimos Quadrados (MQO) 
 
 
Hipótese 1 – Modelo de regressão linear: 
 
O modelo de regressão é linear nos parâmetros. 
 
Hipótese 2 – Os valores de X são fixados em amostragem repetida: 
 
Os valores assumidos pelo regressor X são considerados fixados em repetidas amostras. Em outras 
palavras, supõe-se que X seja não estocástico. 
 
Hipótese 3 – Valor médio zero do termo de perturbação estocástica: 
 
0)/( ii XuE
. 
 
Hipótese 4 – Homoscedasticidade ou igual variância da variável estocástica: 
 
22)()(  ii uEuVar
. 
 
Observação: o símbolo 

 representa a letra grega sigma minúsculo. 
 
Hipótese 5 – Inexistência de correlação entre as perturbações estocásticas: 
 
0),( ji uuCov
, quando 
ji 
. 
 
Hipótese 6 – Inexistência de correlação entre as perturbações estocásticas e as variáveis explicativas 
iX
 
 
0),( ji uXCov
, quando 
ji 
. 
 
Hipótese 7 – O número de observações, n, deve ser maior que o número de parâmetros, k (que é o 
mesmo que o número de variáveis explicativas), a serem estimados. 
 
Hipótese 8 – Variabilidade nos valores de X, ou seja, os valores de X em uma dada amostra não 
podem ser todos iguais. 
 
0)]([
1
)( 2   jji XEX
n
XVar
 
 
Observação: o símbolo 

representa a letra grega sigma maiúsculo. 
 
Hipótese 9 – O modelo de regressão está corretamente especificado: 
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Não há nenhum viés ou erro de especificação nomodelo usado na análise empírica. 
 
 
Estimação do modelo através do método dos MQO 
 
 
iii uXY  21 
 (função de regressão populacional). 
 
ii XY
^
2
^
1
^
 
 (função de regressão amostral). 
 
^^
2
^
1 iii uXY  
 ou ^^
iii uYY 
 
 
Então, 
 
^^
iii YYu 
 ou 
iii XYu
^
2
^
1
^
 
 
 
Neste último caso, ^
iu
 representa os resíduos, ou perturbações. 
 
O método dos MQO consiste em escolher os valores dos parâmetros desconhecidos de tal modo que 
a soma dos quadrados dos resíduos, SQR, 

2^
iu
, seja a menor possível. 
 
Min 

2^
iu
 
 
 
 
Ou seja, 
 
Min 
  2
^
2
^
1 ][ ii XY 
 
 
Aplicando as condições de primeira ordem, temos: 
 
0
^
1
2^




iu e 
0
^
2
2^




iu 
 
Portanto, os estimadores dos parâmetros são dados por: 
 
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
 XY
^
2
^
1 
 e 


 
  




222
^
2
)(
)(
i
ii
ii
iiii
x
yx
XXn
YXXYn
 
 
As variâncias e erros-padrão dos estimadores de MQO, 
 
 


2
2
2
^
)(
ix
Var


 ou 
)(
)(
2
^
2


ix
ep


 
 



2
22
1
^ .
)(
i
i
xn
X
Var


 ou 
 .)(
2
2
1
^



i
i
xn
X
ep
 
 
 
Propriedades dos estimadores de MQO sob a hipótese de normalidade 
 
 Os estimadores são não viesados (não tendenciosos). 
 Os estimadores têm variância mínima. 
 Como os estimadores são não viesados e têm variância mínima, eles são chamados de 
estimadores eficientes. 
 Os estimadores são consistentes, isto significa que, conforme o tamanho da amostra aumenta 
indefinidamente, eles convergem para seus verdadeiros valores na população. 
 
 
 
 O estimador ^
1
 se distribui normalmente com: 
 
Média: 
11
^
)(  E
 
 
Variância: 



2
22
1
^ .
)(
i
i
xn
X
Var


 ou 
],[~ 211
^
^
1
 N
 
 
 O estimador ^
2
 se distribui normalmente com: 
 
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Média: 
22
^
)(  E
 
 
Variância: 


2
2
2
^
)(
ix
Var


 ou 
],[~ 222
^
^
2
 N
 
 
 ^
1
 e 
2
^

 têm variância mínima em toda classe de estimadores não-viesados, sejam lineares ou 
não. Assim, podemos dizer que os estimadores por mínimos quadrados são os melhores 
estimadores não-viesados, MENV. 
 
Antes de iniciar nosso trabalho com o Modelo de Regressão Linear Múltipla, apresentaremos bem 
simplificadamente o Método dos Mínimos Quadrados generalizados, MQG, uma vez que, entre os 
problemas que discutiremos neste curso, tem-se a questão da heteroscedasticidade e suas 
conseqüências para os estimadores de MQO. 
 
 
O Método dos Mínimos Quadrados Generalizados – MQG 
 
 
Para simplificar a exposição, trabalharemos com o modelo de regressão linear simples com duas 
variáveis. Assim, seja dada a função regressão populacional (FRP), abaixo: 
 
iii uXY  21 
 
 
Essa função de regressão populacional pode ser expressa por: 
 
iiii uXXY  201 
 
 
Onde 
10 iX
. 
 
Supondo que as variâncias heteroscedásticas, dada por
2
i
, sejam conhecidas, podemos dividir essa 
equação por 
i
(os respectivos erros-padrão), de maneira que: 
 
 
 
 
 
Ou 
 
iiii uXXY
**
2
*
0
**
1
*
 
 
 
)()()( 2
0
1
i
i
i
i
i
i
i
i uXXY
 
8 
 
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Este modelo é chamado de modelo transformado, cujos parâmetros são 
*
1
 e 
*
2
. 
 
Vamos agora encontrar a variância de 
*
iu
 para ver se ela é constante (homoscedástica) ou continuará, 
como antes, heteroscedástica. 
 
22** )()()(
i
i
ii
u
EuEuVar


 
 
2
2
* )(
1
)( i
i
i uEuVar 

 
 
Pois 
2
i
 é conhecido. 
 
1)(
1
)(
2
2
*  i
i
iuVar 
, que é constante. 
 
Portanto, a variância do termo de perturbação transformada 
*
iu
 é agora homoscedástica. 
 
Assim, mantendo-se as demais hipóteses do modelo clássico, a constatação de que 
*
iu
 é 
homoscedástico sugere que ao aplicar o MQO no modelo transformado, ele produzirá estimadores 
que são os melhores estimadores na classe dos estimadores lineares não viesados. O modelo 
transformado é chamado de Mínimos Quadrados Generalizados. 
 
 
 
 
 
 
 
O MODELO CLÁSSICO DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA (MCRLM) 
 
 
Especificação 
 
),,...,,,( 321 kXXXXfY 
 
 
ikikiiii XXXXY   ...4433221 
 
Em que o Y é a variável dependente, os X’s são variáveis explanatórias, independentes 

 é o termo 
de erro estocástico. O 
iX 4
 representa, por exemplo, a i-ésima observação da variável explanatória 
4X
, enquanto que o 
32X
 representa, por exemplo, a segunda observação da variável explanatória 
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3X
. O 
1
 é o coeficiente linear (intercepto) da equação, enquanto que os 
k
 (betas) são os 
coeficientes angulares, ou interceptos diferenciais, também chamados de interceptos de impactos.
 
 
Observação: o símbolo 

 representa a letra grega epsilon. 
 
Novamente, como no caso de regressão simples, levantamos algumas pressuposições ou hipóteses de 
trabalho ao modelo de regressão múltipla que são uma extensão do referido modelo de duas 
variáveis. No caso do modelo de regressão múltipla trabalharemos com a álgebra matricial. 
 
 
As hipóteses subjacentes ao modelo clássico de regressão linear múltipla 
 
 
H (1) – A relação entre as variáveis explicativas, independentes ou explanatórias 
),...,,,( 321 kXXXX
 
e a variável explicada, dependente (Y), são lineares nos parâmetros (
k ,...,,, 321
). 
 
Considerando-se o conjunto de observações, n, das k (variáveis), a equação de regressão linear 
múltipla pode ser apresentada por 
 
ikikiiii XXXXY   ...4433221 
 
Vamos associar ao intercepto 
1 
uma variável que assume valor um em cada linha, tem-se então 
 
ikikiiiii XXXXXY   ...44332211 
 
 
 
 
 
 
 
Tomando alguns valores de 
Ni
, temos o seguinte sistema de equações lineares: 
 
114143132121111 ...   kk XXXXXY 
 
224243232221212 ...   kk XXXXXY 
 
 
334343332321313 ...   kk XXXXXY 
 
… … … … … … … … 
 
nknknnnnn XXXXXY   ...44332211 
 
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Agora podemos colocar esse sistema de equações lineares na forma matricial, obtendo 
 

































































nkkn
k
k
nnnn X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Y
Y
Y






2
1
2
1
2
1
3
32
31
2
22
21
1
12
11
2
1
.
 
111 nxkxnxknx XY   
 
  XY
 
 
H(2) – Inexistência de correlação perfeita entre as variáveis explicativas, que devem ser linearmente 
independentes, ou seja, não é possível a presença de uma variável X que seja função exata de uma ou 
mais uma variável explanatória. Essa hipótese é conhecida como hipótese da não ocorrência de 
multicolinearidade perfeita, e é expressa como: 
 
kdeXrankposto nxk )(
 
 
Observação: 
 
Se k = n (ou seja, a matriz Xkxn é uma matriz quadrada e com suas linhas e colunas linearmente 
independentes), então a hipótese dois torna-se equivalente a afirmação de que o determinante de Xnxk 
= 0 [
0)( nxkXDet
]. Neste caso, Xnxk é uma matriz singular (aquela que não admiti inversa, uma vez 
que seu determinante é zero) e seu rank (posto) é pleno. 
 
nkdeXrankposto nxk )(
 
 
H(3) – A matriz X é não estocástica, ou seja, é constituída por variáveis exatas (independentes) no 
processo de amostragem. 
 
H(4) – Os valores positivos do termo aleatório compensam os valores negativos. Essa hipótese é 
conhecida como hipótese da média zero, e estabelece que: 
 
0)( E 
 
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

































0
0
0
)(
)(
)(
)(
2
1
nE
E
E
E




 
Ou seja, em média, o valor esperado do termo aleatório é zero, o que implica: 
 
XYE )(
 
 
H(5) – Para a distribuição de probabilidade de cada termo aleatório, ε, tem-se que: 
 
 Todas as distribuições apresentam a mesma variância do termo de erro, ou seja, tem a mesma 
dispersão (estão igualmente espalhadas), daí porque a sua variância é dita constante: 
 
2)]([)( iii EEVar  
 
 
2)()( ii EVar  
 
 
2)(  iVar
. 
 
 Os termos aleatórios (as perturbações estocásticas) não se correlacionam, ou seja, a 
covariância entre pares de variáveis aleatórias
ji  ,
, com 
ji 
, é nula: 
 
ji
jiCov



),(

 
 
)]}()][({[),( jjiiji EEECov   
 
0)().()(),(  jijiji EEECov 
, já os termos aleatórios são independentes 
 
Portanto, 
 
ρ = 0, quando 
ji 
. 
 
Essa também é nossa já conhecida hipótese de não-correlação serial, ou não-autocorrelação das 
perturbações estocásticas. 
 
Observação: o símbolo 

 representa a letra grega rho, lê-se rô. 
 
 
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Podemos obter a homoscedasticidade, em termos matriciais, se tomarmos 
 
]...[' 321 n 
 e 

















n



..
..
2
1
 
 
Temos o seguinte produto entre as matrizes 

 e 
'
(em que 
'
 é a transposta de 

. Lembrando que a 
transposta de uma matriz é obtida trocando as linhas por colunas): 
 
 






















 n
n





 ...
...
' 3213
2
1
 
 
 
.
...
..
..
..
...
...
...
..
..
..
..
..
..
..
..
..'
3
2
1
3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11























nn
n
n
n
nnn 
















 
 .
)(...
..
..
..
)(...
)(...
)(
..
..
..
)(
)(
)(
..
..
..
)(
)(
)(
..
..
..
)(
)(
)'(
2
1
3
32
31
2
22
21
1
12
11





















nn
n
n
nnn E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E













 
 
 
13 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@ig.com.br 
 
 
.
)(...
..
..
..
)(...
)(...
)(
..
..
..
)(
)(
)(
..
..
..
)(
)(
)(
..
..
..
)(
)(
)'(
2
2
1
3
32
31
2
2
2
21
1
12
2
1





















n
n
n
nnn E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E













 
 .
)var(...
..
..
..
)cov(...
)cov(...
)cov(
..
..
..
)cov(
)cov(
)cov(
..
..
..
)var(
)cov(
)cov(
..
..
..
)cov(
)var(
)'(
2
1
3
32
31
2
2
21
1
12
1





















n
n
n
nnn
E













 
 
Esta última matriz é chamada de matriz de variância/covariância: 
 
 .
....
..
..
..
0....
0....
0
..
..
..
0
0
0
..
..
..
0
0
..
..
..
0
)'(
2
2
2
























E
 
 
 
.
1...000
...........
0...010
0...001
)'( 2


















E
 
 
IE 2)'(  
 
14 
 
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H (6) – os valores aleatórios têm distribuição normal: 
 
),0(~ 2 Ni
 (na forma escalar)
 
 
),0(~ 2INi 
 (na forma vetorial)
 
 
 
O Método de Máxima Verossimilhança, MV 
 
 
Todas as evidenciam levam a crer que diferentes populações resultam diferentes amostras e também 
que determinadas amostras tem mais probabilidade de advir de algumas populações do que de outras. 
Assim, de acordo com Pindyck (2004), o estimador de máxima verossimilhança de um parâmetro 

 
é o valor de ^

 com maior possibilidade de gerar as observações da amostra considerada 
NYYYY ,...,,, 321
. Geralmente, se 
iY
 tem distribuição normal e cada um dos Y é extraído 
independentemente, o estimador de máxima verossimilhança maximiza a seguinte função: 
 
  )Pr()...Pr().Pr().Pr( 321 NYYYYY 
 
 
O símbolo 

 representa a letra grega lambda maiúsculo. 
 
Em que cada 
)Pr( iY
 representa a probabilidade associada com a distribuição normal Y, de maneira 
que a estimativa de máxima verossimilhança calculada é uma função da amostra particular dos Y’s 
escolhidos. Com efeito, uma amostra diferente resultaria em uma estimativa de máxima 
verossimilhança diferente. 
 
A função 
 Y
 é chamada de função de verossimilhança. Observe que ela não depende apenas dos 
valores da amostra, mastambém dos parâmetros desconhecidos do problema. Buscando entender o 
princípio da máxima verossimilhança e como ele pode ser aplicado, trabalharemos com X que tem 
distribuição normal com média 

 e desvio-padrão 

. 
 
iii XY   21
 
Então, 
 
2
2
)(
2
1
2
1
)Pr(






iX
i eXX
 
 
Que é a função de distribuição normal ou gaussiana. 
 
Então, a função de verossimilhança a ser maximizada é dada pela seguinte expressão: 
 
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 



 2
2
)(
2
1
]
2
1
[,,



iXN eX
 
 
Aplicando o operador logaritmo neperiano nessa função temos: 
 
  }]
2
1
{[],,[
2
2
)(
2
1



 

iXN eLnXLn
 
 
    22 )(2
1
)
2
1
(.],,[  iXLnNXLn
 
 
    

2
2
1 )(
2
1
])()2(.[],,[
2
1  iXLnNXLn
 
 
 
   

 2
2
)(
2
1
.)2(.
2
1
],,[  iXLnNLnNXLn
 
 
Para obter os estimadores de máxima verossimilhança, precisamos maximizar a função acima, 
aplicando as condições de primeira ordem, que consiste em derivar a função verossimilhança, em 
relação aos parâmetros 

 e 

, igualando o resultado a zero. 
 
Assim, para obter o estimador 

, fazemos: 
 
  
 


0)1)((2.
2
1],,[
2


iX
XLn
 
 
  0)( iX
 

 
   0
1
)(
1 
N
X
N
i
 

 
  ..
1
)(
1
N
N
X
N
i
 
 
 )(
1
iX
N

 
ou
 


)(
1
iX
N
X
 
 
Por sua vez, para obter o estimador de 
2
, calculamos 
 
  
 

  0)()2.(
2
1],,[ 23 

iX
NXLn
 
 
    22 )(2
1
.)2(.
2
],,[  iXLnNLnNXLn
 
 
  0)(
1 2
3
 iX
N
 
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 
2
2^
)(
1  iX
N
 
 
Este, porém, apesar de ser um estimador consistente, é viesado. 
 
 
 
PROCESSO DE INFERÊNCIAS ESTATÍSTICAS 
 
 
Estimação dos parâmetros através da álgebra simples 
 
 
Para simplificar a exposição, trabalharemos com o modelo de regressão linear múltipla com três 
variáveis. 
 
iiii XXY   33221
 
 
Utilizando o método dos MQO para três variáveis para a obtenção da função de regressão amostral, 
FRA, chega-se à seguinte equação: 
 
^
3
^
32
^
2
^
1 iiii XXY  
 
 
Ou 
 
iiii XXY 3
^
32
^
2
^
1
^   
 
O método dos MQO consiste em escolher os valores dos parâmetros desconhecidos (os betas) de tal 
modo que a soma dos quadrados dos resíduos, SQR, 

2^
i
, seja o menor possível. 
 
Minimizar 
  23
^
32
^
2
^
1
2^
][ iiii XXY  
 
De acordo com o cálculo diferencial, para o processo de otimização de uma função, aplica-se as 
condições de primeira ordem, ou seja, diferencia-se a função em relação a cada um dos parâmetros 
(derivadas parciais), igualando o resultado a zero, para obter as equações de mínimos quadrados 
correspondentes à equação ótima de regressão como solução. Assim, as condições de primeira ordem 
são dadas por 
 
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0
^
1
2^




 i 
0
^
2
2^




 i 
0
^
3
2^




 i 
 
Os estimadores dos parâmetros obtidos são 
 

 3
^
32
^
2
^
1 XXY 
 
 
  
   



2
323
22
2
3233
2
2
^
2
)())((
))(())((
iiii
iiiiiii
xxxx
xxxyxxy
 
 
  
   



2
323
22
2
3222
2
3
^
3
)())((
))(())((
iiii
iiiiiii
xxxx
xxxyxxy
 
 
As variâncias e erros-padrão dos estimadores de MQO 
 
2
2
323
22
2
32222
2
33
2
2
^
2 ].
)())((
21
[)var( 
  
  




iiii
iiii
xxxx
xxXXxXxX
n
 
 
 

)1)((
)var(
2
23
2
2
2^
2
rx i

 
 
2
2
323
22
2
3
2
^
3 .
)())((
)var( 
  



iiii
i
xxxx
x 
 
 

)1)((
)var(
2
23
2
3
2^
3
rx i

 
 
 
 
 
Estimação dos parâmetros do modelo de regressão linear geral por mínimos quadrados 
ordinário através da álgebra matricial 
 
 
Existem vários métodos para a estimação dos parâmetros de uma equação de regressão, ou seja, para 
determinação, com base em uma amostra, das estimativas de 
k ,..,,, 321
. Como anteriormente, 
utilizaremos o MQO. 
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Estimação dos parâmetros por Mínimos Quadrados Ordinários, MQO 
 
 
O critério de mínimos quadrados permite determinar à reta que passa com melhor ajustamento ou 
aderência entre os pontos do diagrama. 
 
Seja a equação de regressão da população dada na forma matricial 
 
  XY
 
 
Seja também a equação de regressão amostral, FRA, dada na forma matricial 
 
eXbY 
 ou 
XbYe 
 
 
Nessa equação b é o estimador de 

, um vetor de k elementos, e 
e
 o vetor dos resíduos (o estimador 
de 

). 
 
No caso geral, os métodos dos minimos quadrados escolhem b tal que a soma de quadrados dos 
resíduos seja nula. 
 
Lembrando-se que 



n
i
ieee
1
2'
, pois, com efeito, temos que se, 
 
]...[' 321 neeeee 
 e 

















ne
e
e
e
..
..
2
1
 
 
 
 
 
 
 
Resulta em 
 
19 
 
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
















n
n
e
e
e
eeeeee
..
..]....['
2
1
321
 
 
 



n
i
in eeeeeee
1
222
3
2
2
2
1 ...'
 
 
Então, dado 
 
eee
n
i
i '
1
2 

 
 
)()'(
1
2 XbYXbYe
n
i
i 

 
 
))('''(
1
2 XbYXbYe
n
i
i 

 
 
XbXbYXbXbYYYe
n
i
i ''''''
1
2 

 
 
XbXbYXbYYe
n
i
i ''''2'
1
2 

 
 
Pois, 
YXbXbY ''' 
, lembrem-se da regra de transposta de uma matriz, 
'')'( ABAB 
. 
 
 
Aplicando as condições de primeira ordem para o processo de otimização de uma função, ou seja, 
diferenciando em relação ao parâmetro b’ e igualando o resultado a zero, obteremos as equações de 
mínimos quadrados, que tem o vetor de parâmetros b, correspondente à equação ótima de regressão 
como solução, isto é: 
 
 
0
'
)(
1
2


 

b
e
n
i
i
 
 
20 
 
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'
)''''2'(
'
)(
1
2
b
XbXbYXbYYb
e
n
i
i




 
 
 
0
'
)''''2'(



b
XbXbYXbYY 
 
0
'
)''(
'
)''(
2
'
)'(









b
XbXb
b
YXb
b
YY 
 
Lembrete sobre diferenciação de matrizes e derivada de matriz na forma quadrática simétrica: 
 
Seja 
),...,,,( 321 nxxxx 
 um escalar e 

















nx
x
x
X
..
..
2
1
 uma matriz de variáveis, defini-se derivada de 
matriz da seguinte forma: 
 
 
X
xxxx
X
n




 ),...,,,( 321
 
 
)],...,,,([ 321 nxxxx
XX






 
 








































































n
n
n x
x
x
xxx
x
x
x
X





..
..)],...,,(.[
..
..
2
1
21
2
1
 
 
Observação: o símbolo 

 representa a letra grega phi minúsculo, lê-se fi. 
21 
 
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Se A for uma matriz simétrica (
'AA 
) e idempotente (
nAAA  ...2
), então temos a seguinte 
propriedade de uma matriz na forma quadrática: 
 
AXXAXAXAXAX ''')()'( 
. Portanto, sua derivada é dada por: 
 
AX
X
AXX
2
)'(



 
 
Com efeito, fica fácil de provar esse resultado se tomarmos 







2
1
x
x
X
 e 











2221
1211
aa
aa
A
, temos: 
 
2
2222112
2
111
2
1
2221
1211
21 2..' xaxxaxa
x
x
aa
aa
xxAXX 



















 
 
Uma vez que, como A é simétrica, 
1221 aa 
 
 
Assim a derivada da matriz 
AXX '
é: 
 
 




























122212
2121122
2222112
2
111
2
1
22
22
)2(
)'(
xaxa
xaxa
xaxxaxa
x
x
X
AXX
 
 



























2
1
2221
1211
122221
212111
2
22
22)'(
x
x
aa
aa
xaxa
xaxa
X
AXX 
 
AX
x
x
aa
aa
X
AXX
22
)'(
2
1
2221
1211


















 
 
Retomando a ultima expressão de onde paramos, qual seja, 
 
0
'
)''(
'
)''(
2
'
)'(









b
XbXb
b
YXb
b
YY 
22 
 
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Como 
XbXb ''
 é uma forma quadrática simétrica, temos que 
 
XbX
b
XbXb
'2
'
)''(



 
 
0'2'2  XbXYX 
YXXbX '' 
 
Para que esse sistema tenha solução é necessário que 
XX '
 seja, além de simétrica e idempotente, 
uma matriz-não singular, ou seja, aquele tipo de matriz quadrada que tem determinante diferente de 
zero (portanto, admite inversa). Assim, pré-multiplicando os lados dessa equação por 
1)'( XX
, 
encontramos o estimador de 

 dado pela seguinte relação: 
 
YXXXb ')'( 1
 
 
 
Algumas observações sobre a estimação, por MQO, na forma matricial. 
 
 
(i) Como primeiro resultado percebe-se que não há correlação entre a matriz X e os resíduos da 
regressão, ou seja, 
0' eX
, com efeito, dado que 
 
YXXXb ')'( 1
 e 
eXbY 
 
 
Temos 
 
)(')'( 1 eXbXXXb  
 
 
eXXXXbXXXb ')'(')'( 11  
 
 
eXXXIbb ')'(. 1
 
 
eXXXbb ')'( 1
 
 
eXXX ')'(0 1 
 
0')'( 1  eXXX 
 
Já que 
0)'( 1 XX
, obtemos nossa prova 
 
0' eX 
23 
 
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Ademais, pode também ser mostrado que 
 
0'
1


n
i
ieeX
 
 
Para tanto, se tomarmos 
]1...111['X
 e 

















n
i
e
e
e
e
.
.
2
1
 
 
Então, 
 

















ne
e
e
eX
..
..].1...111['
2
1
 
 
0...'
1
321  

n
i
in eeeeeeX
 
 
 
 
 
 
 
(ii) A média dos valores estimados 
iY
^ é igual à média dos valores observado _Y , pois ocorre que 
 
iii eYY 
^ 
 
 



n
i
i
n
i
i
n
i
i e
n
Y
n
Y
n 11
^
1
111
 
 
0
11
1
^
1
 

n
i
i
n
i
i Y
n
Y
n
 
 
24 
 
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


n
i
i
n
i
i Y
n
Y
n 1
^
1
11
Portanto, 
_
^_
YY  
 
 
 
(iii) O vetor de parâmetros b é um estimador linear e não tendencioso (não viesado). De fato, 
como 
 
YXXXb ')'( 1
 
 
Fazendo 
')'( 1 XXXA 
 
 
AYb 
 
 
Além disso, como 
  XY
, temos que 
 
)(')'( 1    XXXXb
 
 
 ')'(')'( 11 XXXXXXXb   
 
 ')'(. 1 XXXIb 
 
 
 
 Ab 
 
 
 
)()(  AEbE 
, já que por hipótese, 
0)( E
 
 
 
)(bE
 
 
 
 
 
(iv) A variância de b é dada por 
12 )'()(  XXbVar 
. Para tanto, calculamos 
)(bVar
 dada por: 
 
2)()( iibEbVar 
 
 
])')([()(   bbEbVar 
 
Como 
 Ab 
 que é idêntico a 
 ')'( 1 XXXb 
temos que 
 
}]'')'][(')'{[(])')([()( 11  XXXXXXEbbEbVar  
 
]})'('][')'{[(])')([()( 11  XXXXXXEbbEbVar  
25 
 
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])'('')'[(])')([()( 11  XXXXXXEbbEbVar  
 
11 )'()'(')'(])')([()(  XXXEXXXbbEbVar  
 
121 )'()(')'(])')([()(  XXXIXXXbbEbVar  
 
112 )'(')'(])')([()(  XXXXXXbbEbVar  
 
 
12 )'(])')([()(  XXbbEbVar  
 
12 )'()(  XXbVar 
 
 
Observe que a definição da matriz variância depende da estimativa de 
2
. Como esse parâmetro da 
população é frequentemente desconhecido, o ponto de partida é trabalhar com o vetor de resíduos da 
regressão, que é a correspondente amostral dos valores do termo estocástico, quando as hipóteses do 
modelo forem validas. 
 
Temos ciência que a média dos resíduos obtidos por mínimos quadrados no modelo clássico é zero, 
então o estimador da variância é obtido com base na soma de quadrado dos resíduos (
ee'
) corrigidos 
pelo grau de liberdade. Com efeito, sabendo-se que 
 
XbYe 
 e 
YXXXb ')'( 1
 
 
YXXXXYe ')'( 1
 
 
YXXXXIe ]')'([ 1
 
 
Chamando de 
')'( 1 XXXXIM 
, fácil mostrar que esta matriz é simétrica, ou seja, 
'MM 
, e 
idempotente, ou seja, 
nMMMMM  ...32
.Chegamos a 
 
MYe 
 
 
Demonstração das duas propriedades da matriaz M: 
 
 Simetria 
 
'MM 
 
 
]'')'([' 1 XXXXIM 
 
]'')'(['' 1 XXXXIM 
 
26 
 
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')'(' 1 XXXXIM 
 
MM '
 cqd 
 
 Idempotente 
 
MM 2
 
 
]')'(][')'([ 112 XXXXIXXXXIM  
 
')'('.)'('.)'(')'(. 111122 XXXXXXXXIXXXXXXXXIIM   
')'.(.')'(.2 112 XXXIXXXXXIM   
')'(')'(.2 112 XXXXXXXXIM   
')'( 12 XXXXIM  
MM 2 cqd 
 
 
Podemos perceber a relação entre o resíduo no modelo e o termo estocástico da população 
substituindo o Y (
  XY
) na expressão que chegamos acima, qual seja 
MYe 
, de maneira que 
 
MYe  
 
)(   XMe 
 
 MMXe 
 
 
Veja que 
0')'(]')'([ 11   XXXXXXXXXXXXXIMX
 
 
Então, resta que 
 
 
Me 
 
 
 
 
 
Calculando, agora, 
ee'
, temos: 
 
)()'('  MMee 
 
 
 MMee ''' 
 
 
 Mee '' 
 
 
Como visto anteriormente, 
M
 é simétrica e idempotente, veja também que 
ee'
 é um escalar e 
 M'
 
é uma forma quadrática. Assim, aplicando o operador esperança matemática nessa última relação, 
teremos o seguinte: 
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)'()'(  MEeeE 
 
 
)]'([)'(  MtrEeeE 
 
 
)]('[)'( trMEeeE 
 
 
)().'()'( MtrEeeE 
 
 
)(.)'( 2 MtrIeeE 
 
 
 
)(.)'( 2 MtreeE 
 
 
Veja o traço de M (lembrem-se que o traço de uma matriz quadrada é dado pela soma dos elementos 
de sua diagonal principal) é obtido da seguinte maneira: 
 
]')'([)( 1 XXXXItrMtr 
 
 
]')'([)()( 1 XXXXtrItrMtr n

 
 
Como 
kIXXXXXXXX 
 ')'(')'( 111
 
 
Temos, 
 
 
)()()( kn ItrItrMtr 
 
 
knMtr )(
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
).()'( 2 kneeE 
 
 
 
kn
eeE


)'(2
 
 
Sabe-se também que 
)( 22 SE
, então: 
 
kn
ee
S


'2
 
28 
 
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Onde 
)( kn 
 é o número de graus de liberdade, ou seja, o número de observações amostrais menos 
os números de parâmetros estimados pela regressão. 
 
 
 
Propriedades dos estimadores de MQO para o Modelo de Regressão Linear Múltipla 
 
 
P.1 – A reta (superfície) de regressão passa pelas médias das variáveis. 
 

 kk XXXY
^
2
^
32
^
2
^
1 ... 
 
P.2 – O valor médio estimado ^
iY
é igual ao valor médio verdadeiro 
iY
, ou seja, 


ii YY
^ . 
Demonstração: 
 
Pelas equações abaixo 
 
(i) 
kkiiii XXXY
^
3
^
32
^
2
^
1
^
...   
 
(ii) 
 kk XXXY
^
2
^
32
^
2
^
1 ... 
 
 
Substituindo (ii) em (i), temos 
 
kikiiikkii XXXXXXYY
^
3
^
32
^
2
^
3
^
32
^
2
^
......    
 
)(...)()(
^
32
^
322
^
2
^ 
 kikikiiii XXXXXXYY  
 
kikiiii xxxYY
^
2
^
32
^
2
^
...    
 
Aplicando o somatório e dividindo por n ambos os lados dessa última equação, obtemos resultados 
esperado, posto que
0
1


n
i
kix
. 
 
De fato, 
 
 

kikiiii x
n
x
n
x
n
Y
n
Y
n
1
...
1111 ^
3
^
32
^
2
^  
 
29 
 
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
 Yn
n
Y
n
i .
11 ^
 
 

 YYi
_
^ 
P.3 – 
0
^^


 ii 
. 
 
Demonstração: 
 
Seja a equação abaixo 
 
ikkiiii XXXY
^^
3
^
32
^
2
^
1 ...   
 

 kk XXXY
^
2
^
32
^
2
^
1 ... 
 
 
Substituindo a segunda equação da primeira, temos que 
 
ikkiiikki XXXXXXYY
^^
3
^
32
^
2
^
2
^
32
^
2 ......    
 
ikkikiiii XXXXXXYY
^^
33
^
322
^
2 )(...)()(    
 
ikikiiii xxxYY
^^
3
^
32
^
2 ...    
 
Passe o somatório em ambos os lados da equação acima e divida tudo por n, lembrando 
que
0
1


n
i
kix
 
 
 
 
 ^^
3
^
32
^
2
11
...
1111 
n
x
n
x
n
x
n
Y
n
Y
n
kikiiii
 
 
_
^
.
1


Yn
n
Y
 
 
_
^


YY 
 
30 
 
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0
_
^
 
 
P.4 – Os resíduos 
i
^

 não têm correlação com 
iX 2
 e 
iX 3
, ou seja: 
 
03
^
2
^
 iiii XX 
. 
 
A demonstração é fácil, logo no desenvolvimento do processo de minimização da soma dos 
quadrados dos resíduos quando se aplica as condições de primeira ordem. 
 
P.5 – Dadas às hipóteses do modelo clássico de regressão linear, os estimadores de MQO dos 
coeficientes de regressão parcial do MCRM são lineares e não-viesados, como também têm variância 
mínima na classe de todos os estimadores lineares não-viesados. 
 
 
Coeficiente Múltiplo de Determinação, 2R , e o Coeficiente Múltiplo de Correlação, R 
 
 
O Coeficiente Múltiplo de Determinação, 2R 
 
O 2r (que é o coeficiente de determinação para a regressão de duas variáveis, uma dependente e 
outra independente) mede o grau de ajuste da equação de regressão, ou seja, fornece a proporção, ou 
porcentagem, da variação total na variável dependente Y explicada pela única variável explicativa X. 
 
No modelo de regressão com três variáveis queremos saber a proporção da variação em Y explicada 
simultaneamente (conjuntamente) pelas variáveis 
2X
 e 
3X
, o coeficiente múltiplo de determinação, 
denominado 2R nos da esta resposta. 
 
 
 
 
 
 
2R
 é definido algebricamente por: 
 
^
3
^
32
^
2
^
1 iiii XXY  
 
 
^^
iii YY 
 
 
 
^
2
^
22
iii YY 
 
 
31 
 
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Como 
 
  iiiiii xyxyY 3
^
32
^
2
2
^
2  
 
Tem-se que 
 
  iiiiiii xyxyYYY 3
^
32
^
2
2
^
22  
 
  iiiii xyxyY 3
^
32
^
2
^
2  
 
SQT
SQE
R 2
 
 
Ou 
 



2
^
2
2
i
i
y
y
R
 
 
Então, o coeficiente de determinação múltiplo para três variáveis pode ser expresso pela seguinte 
fórmula: 
 

 

2
33
^
2
^
22
i
iiii
y
xyxy
R

 
 
 
 
 
 
O coeficiente de determinação múltiplo para k variáveis fica assim: 
 

  

2
^
33
^
2
^
22
...
i
KiiKiiii
y
xyxyxy
R

 
 
Portanto, o coeficiente múltiplo de determinação fornece aproporção ou porcentagem total na 
variável dependente Y que é explicada pelo modelo adotado. Dito de outra maneira, o coeficiente 
múltiplo de determinação indica até que ponto a variação de Y é explicada conjuntamente 
(simultaneamente) pelas variáveis explicativas (X1, X2, X3,..., Xk). 
32 
 
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O coeficiente múltiplo de determinação é um número que está entre 0 e 1, ou seja, 0 < R
2 
< 1. 
 
De maneira que se 
12 R
 que é conseqüência de SQR = 0, temos o caso do ajuste ótimo, 
significando que a reta de regressão ajustada explica 100% da variação em Y. 
 
Como o R
2
 é um importante indicador da qualidade do modelo adotado, um alto valor de R
2
 é 
elemento indicativo de um bom ajuste. 
 
Uma importante relação entre o 2R e a variância de um coeficiente de regressão parcial é dada pela 
seguinte relação: 
 
)
1
1
()(
22
2^
Rx
Var
j
j




 
 
Em que ^
j
 é o coeficiente de regressão parcial do regressor 
jX
, e 
2
jR
 é o 2R na regressão de 
jX
 
sobre os demais (k – 1) regressores. 
 
O Coeficiente de Correlação Múltipla, 
R
 
 
O coeficiente de correlação múltipla, 
R , é uma medida do grau de associação linear entre Y e todas 
as variáveis explicativas conjuntamente. O coeficiente de correlação múltipla, 
R , pode ser calculado 
pela seguinte fórmula: 
 
2RR  
 
Ou 
 



2
^
2
i
i
y
y
R
 
 
Testes de hipóteses 
 
 
O teste de hipótese assume diversas formas, tais como as citadas a seguir: 
 
 
 Teste de hipótese sobre Coeficientes Individuais de Regressão Parcial 
 
 
Dado a hipótese de que 
),0(~ 2 Ni
, podemos utilizar o teste t de Student para testar uma hipótese 
sobre qualquer coeficiente de regressão parcial individual, ou seja, postularemos que: 
33 
 
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0:0 iH 
 e 
0:1 iH  
 
A estatística teste de Student pode ser obtida pela seguinte relação: 
 
)(
^
^
i
ii
ep
t

 

 
 
Se o valor calculado de t supera seu valor crítico de significância

escolhido, podemos rejeitar a 
hipótese nula; caso contrário, podemos não rejeitá-la. 
 
 Teste de Significância Global da Regressão 
 
Vamos testar a hipótese conjunta de que todos os parâmetros são conjunta ou simultaneamente iguais 
a zero. Este teste é chamado de teste de significância global. Com efeito, postulamos que: 
 
0...: 3210  kH 
 e 
0...: 3211  kH 
 
 
O teste indicado é o teste F de Fisher que nos fornece um teste da hipótese nula de que os verdadeiros 
coeficientes de inclinação são simultaneamente iguais a zero. Se o valor F calculado exceder o valor 
crítico de F constante na tabela F em nível de significância 

, rejeitamos 
0H
; caso contrário, não a 
rejeitamos. 
 
Pode-se obter uma regra de decisão da seguinte forma: 
 
Dado o modelo de regressão de k variáveis 
 
ikikiiii XXXXY   ...4433221 
 
 
 
 
Para testar a hipótese nula 
 
0...: 3210  kH 
 
 
Ou seja, todos os coeficientes de inclinação são não simultaneamente iguais a zero, contra a 
alternativa 
 
0...: 3211  kH 
 
 
Ou seja, todos os coeficientes de inclinação são simultaneamente zero, calcule 
 
34 
 
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)/(
)1/(
/
/
knSRQ
kSEQ
glSRQ
glSEQ
Fc



 (1) 
 
Se 
),1( knkFFc  
, rejeitamos a
0H
. Caso contrário, não a rejeitamos. 
 
Então, utiliza-se a seguinte regra de decisão, se 
),1( knkF  
é o valor crítico de F em nível de 
significância 

 convenientemente escolhido, 
)1( k
 é o grau de liberdade do numerador e 
)( kn 
 é 
o grau de liberdade do denominador. Alternativamente, se o valor p do F obtido em (1) for 
suficientemente baixo, pode-se rejeitar a 
0H
. 
 
Outras fórmulas para calcular o F: 
 
)/()1(
)1/(
2
2
knR
kR
Fc



 
 

 



)3/(
)13/()(
^
2
^
3322
n
xyxy
F
i
iiii
c

 
 
 
Problemas do Modelo Clássico de Regressão Linear, MCRL 
 
 
Os problemas mais importantes que afetam o modelo clássico de regressão linear são: 
heteroscedasticidade, autocorrelação e multicolinearidade. Vamos trabalhar cada um deles e analisar, 
dentre outras, as conseqüências sobre os estimadores de mínimos quadrados. 
 
 
 
 
 
HETEROSCEDASTICIDADE 
 
 
Uma importante hipótese que foi vista MCRL foi à hipótese da homoscedasticidade ou variância 
constante (igual dispersão) do termo estocástico, 
i
. Dado o valor de X, a variância de 
i
 é a mesma 
para todas as observações. Quando essa hipótese é invalidada por algum motivo, dizemos que a 
dispersão em torno da reta ajustada é desigual ou heteroscedástica. 
A essência da heteroscedasticidade 
35 
 
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Conforme as hipóteses vistas acima, é desejável que a variância do termo estocástico 
i
, condicional 
aos valores escolhidos das variáveis explicativas, seja constante, isto é: 
2)(  iVar
 
No caso de violação desse pressuposto, tem-se o fenômeno da heteroscedasticidade, ou seja, a 
variância não é mais constante. 
2
)( iiVar  
 
 
Como surge a heteroscedasticidade e quais suas principais fontes? 
 
 É comum nos modelos de aprendizagem do erro; 
Com efeito, na medida em que as pessoas vão constantemente aprendendo, os erros na 
execução de determinada técnica vão gradativamente diminuindo. Exemplo, erros de 
condução de veículo versus tempo de prática de direção. 
 Erros de especificação do modelo, como por exemplo, na omissão de variáveis relevantes; 
 Na presença de observações aberrantes (valores extremos – outliers). 
 
Como detectar problemas de heteroscedasticidade? 
 
Podem-se detectar problemas de heteroscedasticidade através dos seguintes procedimentos e testes 
estatísticos: 
a) Método gráfico 
Não havendo nenhuma informação a priori (ou empírica) sobre a natureza da 
heteroscedasticidade, podemos na prática fazer a análise de regressão sob a hipótese de que os 
erros estocásticos têm suas variâncias constantes (homoscedásticas), então examinamos os 
resíduos ao quadrado, ^
2
i
, com o objetivo de verificar se eles exibem algum padrão 
sistemático. Embora ^
2
i
 não sejam a mesma coisa que 
2
i
, podem ser usados como 
substitutos, principalmente se o tamanho da amostra for suficientemente grande. 
b) Teste de Goldefeld-Quandt 
36 
 
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Consiste em verificar se existe diferença entre a variância dos resíduos estimados, ou seja, ^
i
, 
localizados nas proximidades do intercepto linear, e aqueles que se encontram a uma distância 
maior. 
Assim, se
tabeladoFF *
, ou seja, se 
 
^
2
1
^
2
2 
, rejeita-se a hipótese nula de que os errosestimados são homoscedásticos. Portanto, constata-se que nos encontramos na presença de 
heteroscedasticidade. 
c) Teste de Park 
Park formaliza o método gráfico ao sugerir que 
2
i
 é alguma função da variável 
explicativa
iX
. 
A forma da função sugerida por ele pode ser dada por 
iv
ii eX
 22 
 
iii vX  lnlnln
22 
 
Como geralmente 
2
i
 não é conhecido, Park sugere usar ^
2
i
 como uma proxy e rodar a 
seguinte regressão: 
iii vX  lnlnln
2
^
2  
iii vX  lnln
^
2 
 
Se 

 apresentar um valor estatisticamente significativo, ou seja, tomando como 
0:0 H
 e 
alternativamente 
0:1 H
, tem-se que se a estatística teste de Student, 
2t
, rejeita-se a 
0H
, isto sugeriria que a heteroscedasticidade está presente nos dados. 
 
 
As conseqüências da heteroscedasticidade 
 
A principal conseqüência da heteroscedasticidade é que o Método dos Mínimos Quadrados não gera 
estimadores dos parâmetros que sejam eficientes. Assim: 
 
37 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
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 Apesar dos estimadores dos parâmetros são não-viesados. Eles são ineficientes (ou seja, não 
têm variância mínima); 
 As variâncias estimadas dos parâmetros são viesadas, gerando problemas com os testes de 
hipóteses. 
Como exemplos, temos os testes t de Student e F de Fisch. De tal maneira que, estes, 
provavelmente, nos fornecem resultados imprecisos, já que 
)( 2
^
Var
 é excessivamente 
grande e o que parece ser um coeficiente estatisticamente não significativo [porque o valor 
de t dado por 
)(
^
^
i
i
ep
t



 
é menor do que seria apropriado e, de acordo com a fórmula de 
Student, quanto maior t, maior a probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula] pode na 
verdade ser significativo se forem estabelecidos intervalos de confiança corretos com base 
no procedimento de MQG (Mínimos Quadrados Generalizados). 
 
Algumas medidas corretivas para driblar a heteroscedasticidade 
 
São duas as principais medidas conhecidas para resolver o problema da heteroscedasticidade: 
i. Quando a variância heteroscedástica, 
2
i
, é conhecida, utiliza-se o método dos Mínimos 
Quadrados Ponderados, MQP, vista anteriormente neste curso. Assim, quando construímos o 
modelo de regressão transformado, veja especificação abaixo, 
 
*
20
*
1
*
iii XXYi  
 
Perceber-se que os estimadores dos parâmetros (obtido aplicando o MQO na equação 
transformada desse modelo) são os melhores estimadores lineares não viesados, MELNV. 
ii. Quando 
2
i
 não é conhecido 
Existe um meio de obter estimativas consistentes (do ponto de vista estatístico) das variâncias 
e covariâncias dos estimadores de MQO, através de técnica ou procedimento formulado 
White que está disponível na maioria dos programas estatísticos, a exemplo do spss. 
 
AUTOCORRELAÇÃO 
 
 
Outra importante hipótese do MCRL é a de que não há autocorrelação ou correlação serial entre os 
termos de perturbações estocásticas 
i
, que entram na função de regressão da população. 
 
38 
 
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A essência da autocorrelação 
 
Conforme vimos, é desejável que os erros (ou seja, os termos estocásticos) sejam não 
autocorrelacionados ou não tenham correlação serial entre si. De tal forma que não possa haver 
dependência temporal dos valores sucessivos das perturbações estocásticas. 
Em outras palavras, os termos aleatórios não se correlacionam, ou seja, a covariância entre pares de 
variáveis aleatórias, 
i
 e 
j
, 
ji 
, é nula. 
Essa hipótese pode ser convenientemente expressa utilizando-se da seguinte relação algébrica 
 
ji
jiCov
 


),(

 
 
Nesta expressão ρ é conhecido como coeficiente de correlação, o qual mede o grau de associação 
linear (ou dependência linear) entre duas ou mais variáveis quaisquer, no caso, entre os termos de 
perturbações estocásticos, 
i
 e 
j
. 
 
 
)]}()][({[),( jjiiji EEECov  
, temos que 
 
0)().()(),(  jijiji EEECov 
, já que 
i
 e 
j
 são independentes. 
 
Portanto, ρ = 0 quando 
ji 
. 
 
Pode-se também explicitar algebricamente a hipótese de autocorrelação serial dos erros estocásticos 
através da seguinte expressão: 
ttt   1. 
O termo aleatório 
t
 deixa de ser independente e, nesse exemplo, é representado por um esquema 
auto-regressivo de primeira ordem, RA (1). Isto significa que ele depende do valor de 

 ocorrido no 
período anterior, t – 1, e de um choque aleatório 
t
, que tem distribuição normal, com média zero e 
variância constante. Se 
0
 tem-se uma autocorrelação positiva, caso contrário, 
0
, tem-se 
uma autocorrelação negativa. 
Observação: o símbolo 

 representa a letra grega nu, lê-se ni. 
 
Como surge a autocorrelação e quais suas fontes? 
 
39 
 
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 Omissão de variáveis explicativas relevantes (erro de especificação). Isso se deve ao fato do 
erro estocástico incorporar os efeitos dessa variável que foi excluída do modelo. 
 Os procedimentos para dessazonalização de séries temporais com médias móveis. 
 As transformações realizadas no modelo para, por exemplo, incorporar expectativas ou 
aspectos dinâmicos das relações econômicas também pode gerar autocorrelação. 
 Defasagens nas variáveis explicativas, por exemplo, em uma regressão de série temporal do 
consumo sobre a renda, não é raro verificar que o consumo no período corrente depende, 
entre outras coisas, do consumo no período anterior. 
 
As conseqüências da autocorrelação 
 
Apesar de que o método dos Mínimos Quadrados possibilite obter estimadores (para os parâmetros) 
lineares e não-viesados (além de consistentes), eles já não são mais eficientes (não têm variância 
mínima). 
Os estimadores dos parâmetros de MQO, embora não-viesados, já não possuem variância mínima 
entre todos os estimadores lineares não-viesados (contraria o Teorema de Gauss-Markov). 
Adicionalmente, como no caso da heteroscedasticidade, para estabelecer intervalos de confiança e 
para testar hipóteses, devemos usar MQG (Mínimos Quadrados Generalizado), e não MQO, embora 
os estimadores derivados deste último sejam não-viesados e consistentes. 
 
Como detectar problemas de autocorrelação? 
 
Podem-se detectar problemas de autocorrelação através dos seguintes testes estatísticos: 
a) Teste d de Durbin-Watson 
Este teste só se aplica para a existência de autocorrelação com o padrão auto-regressivo de 
primeira ordem, AR(1) 
ttt   1.
 
 Se 
0
 temos que 
tt  
 e nenhum problema existiria. Como não é possível testa a 
hipótese de que 
0
, pois não se conhece a distribuição de probabilidade de seu estimador 
^

, J. Durbin e G. S. Watson derivaram a seguinte estatística teste: 
 
40 
 
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





n
t t
n
t
tt
d
1
2
2
2
1
)(
)(


 
 
De maneira que teremos as seguintes situações: 
 
 Se não houver autocorrelação, ou seja,se
0
, então 
.2d
 
 Se a autocorrelação for positiva, ou seja, se 
10  
, então 
.20  d
 
 Se a autocorrelação for negativa, ou seja, se
11  
, então 
.42  d
 
 
b) Breusch-Godfreey 
Os pesquisadores Breusch-Godfreey desenvolveram um teste que pode ser aplicada a 
qualquer padrão de autocorrelação, tanto auto-regressivo, como de média móvel ou auto-
regressivo de média móvel, de qualquer ordem. 
 Dado o modelo 
  XY
 
Sabendo-se que erro estocástico for do tipo autoregressivo de ordem p, AR (p), ou seja, se 
 
tptpttt    ...2211 
 
 A realização exige os seguintes passos: 
 
(1) Estimar a expressão 
  XY
 
(2) Estimar uma nova regressão com os resíduos obtidos em 
ttt XY   21
, ou seja, ^

 
como variável explicada e a matriz X e as séries defasadas dos resíduos como 
explicativas. Teríamos, então, a seguinte regressão que é do tipo autoregressivo integrado 
de média móvel, ARIMA: 
tptpttktkttt xxx    ...... 22112211^ 
(3) A estatística do teste é dada por: 2^ .Rnd  
 
41 
 
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Sendo n número de elementos da amostra e 2R o coeficiente de determinação da regressão 
 
tptpttktkttt xxx    ...... 22112211^ 
Se o valor da estatística ^
d
 for maior que o valor crítico na tabela da distribuição 
2
 rejeita-
se 
0:0 H
. Portanto, existe autocorrelação de ordem p. 
Algumas medidas corretivas da autocorrelação 
 
 
A solução mais abrangente é o método de mínimos quadrados generalizados, MQG. A idéia básica 
que norteará todos os demais métodos é introduzir transformações nas variáveis presentes no modelo, 
de tal forma que o termo de erro estocástico já não seja autocorrelacionado. 
Assim, se nosso modelo original for: 
ttt XY   21
 
Em que o termo de erro estocástico segue o esquema auto-regressivo de primeira ordem, dado por 
 
ttt   1.
 
Com 
1 
e os 
t
 seguem as hipóteses dos MQO de valor esperado zero, variância constante e 
ausência de autocorrelação. 
Procederemos da seguinte forma: 
 
(i) Fazemos a defasagem em 1 período em 
ttt XY   21
 e a multiplicamos por 

 
 
 
 
(ii) Depois subtraímos 
ttt XY   21
 de 
11211   ttt XY 
 obtendo a 
seguinte expressão: 
11211 )()1(   tttttt XXYY  
Ou 
ttttt vXXYY   )()1( 1211  
11211   ttt XY 
42 
 
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Ou ainda, 
ttt vXY 
*
2
*
1
* 
 
Como 
tv
 não é autocorrelacionado e satisfaz todas as hipóteses dos MQO, fica evidente que os 
estimadores da equação transformada, 
ttt vXY 
**
2
*
1
* 
, são MELNV. Entretanto, isto só seria 
possível se 

 fosse conhecido, mas infelizmente não é o que ocorre. Assim, alguns procedimentos 
adicionais foram desenvolvidos por Cochrane-Orcutt. 
 
O procedimento de Cochrane-Orcutt consiste em:
 
 
 
(1) Estimar a equação 
ttt XY   21
, ou seja, o modelo original por MQO. 
(2) Com os resíduos obtidos, estimar 

, por meio da seguinte fórmula: 






n
t t
n
t
tt
2
2
^
2
^
1
^
^
)(
)().(


 
(3) Gerar a equação transformada 
 
ttttt vXXYY   )()1( 1
^
2
^
11
^  
 
ttt vXY  ''' 21 
 
 
(4) Estimar 
ttt vXY  ''' 21 
 por MQO, 
(5) Repetir os passos 2, 3 e 4 até que haja convergência do valor estimado para ^

. 
 
MULTICOLINEARIDADE 
 
 
A última, mas nem por isto menos importante hipótese que foi vista MCRL, foi à hipótese de que 
não existe correlação entre as variáveis explicativas, Xi. Essa hipótese afirma que não há correlação 
perfeita entre as variáveis explicativas, que devem ser linearmente independentes. Em outras 
palavras, não é possível a presença de uma variável X que seja função exata de outra variável ou de 
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outras variáveis. Quando essa hipótese é contrariada, tem-se a ocorrência do fenômeno da 
multicolinearidade. 
 
 
A essência da multicolinearidade. 
 
 
De acordo com Gujarati (2000), o termo multicolinearidade foi cunhado por Ragnar Frisch que 
estabeleceu uma forma de detectar, através de teste estatístico, teste F, problemas de 
multicolinearidade. Originalmente, o significado da multicolinearidade era a existência de uma 
“perfeita” (ou exata) relação linear entre algumas ou todas as variáveis explicativas de um modelo de 
regressão. 
A hipótese da ocorrência da multicolinearidade pode ser expressa algebricamente da seguinte forma: 
 
0...332211  kk XXXX 
 
 
Em que os 
k ,...,,, 321
 são constantes e nem todos eles são simultaneamente iguais a zero, ou 
seja, tem-se a situação de pelo menos algum 
0i
 garantido que existe uma combinação linear 
entre os regressores, neste caso, dizemos que eles são linearmente dependentes ou multicolineares. 
 
 
Como surge a multicolinearidade e quais suas fontes 
 
 
 Em primeiro lugar, podemos destacar o fato de que variáveis econômicas sofrem influência de 
muitos fatores. Com isso, devem apresentar comportamentos semelhantes. Dito de outra 
forma, algumas variáveis podem apresentar a mesma tendência durante alguns períodos. 
Assim, pode ocorrer que entre as explicativas exista uma correlação maior do que se espera 
teoricamente, como decorrência da seleção de uma amostra que inclua apenas observações 
referentes a esses períodos. 
 A utilização de valores defasados de algumas das variáveis explicativas com novas variáveis 
independentes também pode ocasionar o problema da multicolinearidade. No contexto dos 
modelos de defasagens, podemos verificar o papel dessas novas variáveis independentes. 
 
 
As conseqüências da multicolinearidade 
 
 
44 
 
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 Apesar de serem os melhores estimadores lineares não viesados, os estimadores de MQO têm 
grandes variâncias e covariâncias, dificultando uma estimativa precisa. Por causa disso, os 
intervalos de confiança tendem a serem maiores, resultando na aceitação da “hipótese nula 
zero” (qual seja, a de que os coeficientes de inclinação parcial da equação populacional sejam 
individualmente iguais a zero), mais prontamente. Adicionalmente, a razão t de um ou mais 
coeficientes tende a ser estatisticamente não significante. 
 Embora a razão t de um ou mais coeficientes tende a ser estatisticamente insignificante, o R2, 
a medida global do grau de ajuste, pode ser bastante alto. 
 Os estimadores de MQO e seus erros-padrão podem ser sensíveis a pequenas variações nos 
dados. 
 
Em poucas palavras, teremos a situação em que os estimadores dos parâmetros de MQO, embora 
não-viesados, já não possuem variância mínima, entre todos os estimadores lineares não-viesados. 
Complementarmente, observa-se que para estabelecer intervalos de confiança e para testar hipóteses, 
devemos usar MQG, e não MQO, embora os estimadores derivados deste último sejam não-viesados 
e consistentes.Como detectar problemas de multicolinearidade? 
 
 
Para descobrir se a multicolinearidade está presente em modelos que envolvem mais de duas 
variáveis explicativas, observam-se as seguintes características nos modelos: 
(i) Alto 2R , porém poucas razões 
t
 significativas. Este é o clássico sintoma de 
multicolinearidade. Se 2R for alto, o teste F, na maioria dos casos, rejeitará a hipótese de 
que os coeficientes de inclinação parcial são simultaneamente iguais a zero, mas os testes t 
individuais vão mostrar que nenhum ou algum pouco dos coeficientes de inclinação parcial 
são estatisticamente diferentes de zero; 
(ii) Altas correlações dois a dois entre os regressores. Se o coeficiente de correlação dois a 
dois ou de ordem zero for alto, então a multicolinearidade se constitui um sério problema; 
(iii) Fator inflação da variância. A variância de um coeficiente de regressão parcial pode 
ser expressa como: 
 
)
1
1
()(
22
2^
Rx
Var
j
j




 
 
Ou 
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j
j
j FIV
x
Var


2
2^
)(

 
Onde 
 
)
1
1
(
2
j
j
R
FIV


 
 
Que é o fator inflação da variância. 
 
À medida que 
2
jR 
aumenta em direção à unidade, ou seja, conforme aumenta a colinearidade de 
jX 
com os outros regressores, o FIV também aumenta e, no limite, pode ser infinito. Por isso o FIV é 
usado como um indicador da multicolinearidade. Come efeito, quanto maior o valor do FIVj, mais 
problemática ou colinear é a variável 
jX
. Como regra, um FIV de uma variável exceder 10 diz-se 
que essa variável é altamente colinear. 
 
 
Variáveis dummy ou binárias 
 
 
As variáveis mencionadas até aqui eram referentes a grandezas mensuráveis (variáveis quantitativas 
ou métricas). No entanto, em muitos modelos podem surgir variáveis explicativas importantes para a 
modelagem econométrica que não são diretamente mensuráveis. Podemos citar, a título de exemplo, 
o estado civil do consumidor, seu gênero e condição de empregado ou não empregado, em uma 
estimação da função consumo interpessoal. Outro exemplo seria a estimação de uma função de 
consumo agregada na distinção entre área urbana e área rural. Por isso, faz-se necessário introduzir o 
conceito de variáveis dummy ou binárias. 
 
De fato, essas variáveis tornam possível incluir efeitos de variáveis qualitativas, categóricas ou 
mesmo variáveis mensuráveis, quando o importante for à distribuição em classes. Vasconcellos 
(2000), a título de exemplos, expressa as variáveis dummies da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
Para fatores qualitativos (categorias): 
 
 Grupo social; 
 Setor de atividade; 
 Região; 
 Gênero; 
 Estado civil. 
 
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Para variáveis contínuas expressas em classes: 
 
 Faixa etária; 
 Classe de renda; 
 Nível de escolaridade. 
 
Na construção de uma variável dummy, escolhemos uma característica e freqüentemente atribuímos 
valor 1 se a característica está presente e valor zero, caso contrário. 
 
Embora seja comum o uso das variáveis dummies como variáveis explicativas muito naturalmente é 
possível construir modelos cuja variável explicada ou dependente é do tipo dummy, como por 
exemplo, nos modelos Logit e Probit, que veremos mais tarde neste curso. 
 
Existem os modelos simples com uma só variável explicativa dummy e os modelos mais complexos 
que combinam variáveis quantitativas e variáveis dummy. Nesse último caso, temos duas possíveis 
análises: incorporar mudanças no intercepto e/ou na declividade de uma função ou possibilitar a 
identificação de mudanças estruturais. 
 
 
Modelos com variáveis dummy 
 
 
Um modelo simples em que a variável independente é uma variável dummy poderia ser representado 
pela estimação de uma função de uma empresa que utiliza dois processos produtivos A e B, cada um 
com produção média esperada distinta, mas com a mesma variância (VASCONCELLOS, 2000). 
 
Assim, a produção da empresa em uma amostra de períodos de tempo seria a variável dependente, e a 
dummy para o processo produtivo seria a única variável independente. Ou seja: 
 
ttt DY   21
 
 
Aqui o 
tY
 é a produção em cada período t e o D é uma variável dummy com as seguintes 
características: 
 
 D = 1, se o produto foi obtido pelo processo A; 
 
 D = 0, se o produto foi obtido pelo processo B 
 
A equação estimada pode ser expressa da seguinte forma: 
 
DY 2
^
1
^^
 
 
 
Sua interpretação é feita da seguinte forma: 
 
Se D = 0, estamos tratando do processo B, neste caso temos 
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1
^^
Y
 
 
Que nos dá a produção média esperada do processo B. 
 
Se D = 1, estamos tratando do processo A, assim: 
 
1.2
^
1
^^
 Y
 
 
2
^
1
^^
 Y
 
 
Que é a produção média esperada para o processo A. 
 
Comparando os dois resultados, é fácil perceber como é possível testar se a diferença entre os dois 
processos é significante. Com efeito, se 
02
^

, podemos concluir que não há diferença entre os 
processos A e B. No caso em que 
2
^

 fosse positivo e estatisticamente diferente de zero, poderíamos 
inferir (desde que 
1
^

 seja positivo) que o processo A é mais produtivo que o B. Se, ao contrário, 
2
^
 
fosse negativo e estatisticamente diferente de zero, concluiríamos que o processo B seria o mais 
produtivo. 
 
 
Modelos que combinam variáveis independentes quantitativas e qualitativas 
 
 
Conforme vimos acima, muito freqüentemente os modelos com variável independente tipo dummy 
surgem em conjunto com variáveis quantitativas. Tais modelos possibilitam especificar essas 
variáveis de forma aditiva e/ou multiplicativa para testar se seu efeito recaiu sobre o intercepto da 
regressão e/ou sobre as declividades. Cita-se como exemplo a estimação da função consumo, dado 
que o consumo muitas das vezes está relacionado à renda e a condição de cada observação amostral 
corresponder a um período atípico, por exemplo, a um ano de guerra. 
 
Ainda de acordo com Vasconcellos (2000), quando a hipótese é que a dummy altera apenas o termo 
autônomo de regressão, a dummy é adicionada ao modelo, conforme se vê abaixo: 
 
ttt DXY   3221
 
 
Nessa equação temos que as variáveis representam: 
 
tY
 o consumo agregado no período t; 
 
tX 2
 a renda agregada no período t.
 
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D a variável dummy com os seguintes elementos: 
 
 D = 1, anos de guerra; 
 
 D = 0, anos de paz. 
 
De maneira que a interpretação da equação estimada é a seguinte: 
 
Para os anos de paz, D = 0: 
 
ttt DXY   3221
 
 
DXY t 3
^
22
^
1
^^
 
 
 
Para os anos de guerra, D = 1: 
 
ttt XY   1.3221
 
 
ttt XY   2231 )(
 
 
tXY 22
^
3
^
1
^^
)(  
 
 
Pelas equações acima, podemos analisar o impacto da dummy que ocorre na forma de