5 Condutores, indução elétrica e capacitores

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André do Nascimento Barbosa
5 Condutores, indução elétrica e capacitores
Aqui, vamos olhar para as propriedades mais básicas dos materiais quanto a sua natureza eletrica. A primeira forma de caracterização de um
material é sendo ele ou um isolante ou um condutor. Na verdade, todo material é um condutor, dependendo apenas da intensidade de campo que
está agindo sobre ele. O que temos fundamentalmente é a “dificuldade” de cargas elétricas se movimentarem, no caso, os elétrons ou íons. De
uma maneira geral, por causa de sua estrutura eletrônica, os metais são bons condutores de cargas elétricas. Um condutor ideal teria um número
infinito de cargas livres, enquanto um isolante não teria nenhum.
5.1 Propriedades dos condutores
Os condutores possuem certas propriedades que os tornam especiais. A primeira propriedade é o fato de (1) o campo elétrico dentro de um
condutor é nulo. Por que? Se houvesse um campo dentro de um material condutor, teriamos um fluxo de cargas, o que impossibilitaria a própria
eletrostática. Para analisar isto, imagine que coloquemos um condutor em um espaço com um campo elétrico atuante. Sabemos que, por
existirem cargas livres, teremos um acúmulo de cargas na forma que elas se alinharão no condutor (serão induzidas) e, por causa desse alin-
hamento, teremos um campo interno de intensidade igual ao externo porém de sentido contrário. Como o campo líquido antes era zero, o campo
induzido no interior irá anular o campo externo. Quando “desligamos” o campo externo, o campo induzido desaparece quase que instantanea-
mente.
Também, (2) a densidade de cargas no interior de um condutor é identicamente nula. Isso é consequência da lei de Gauss. Se o campo é
nulo dentro de um condutor, então ∇ .E = 0
O que força ρ ≡ 0. Devido à indução de cargas, sabemos que (3) qualquer carga líquida em um condutor tem que estar na superfície em
decorrencia dos ultimos argumentos. Outra consequencia da ausência de um campo interno, temos

a
b
E ·ⅆ r = 0⟹V (b) - V (a) = 0
Sendo assim, dizemos que (4) um condutor é uma equipotencial. Sendo assim, sabemos que as (5) linhas de campo são perpendiculares ao
condutor.
5.2 Indução de cargas em condutores
Considere um esquema experimental onde temos uma carga de prova se aproximando gradualmente a um condutor. O que observamos é que o
condutor irá responder e vai ser atraido em direção à carga de prova. O que aconteceu foi que as cargas livres no condutor foram induzidas de tal
forma que houve um desbalanço entre cargas positivas e negativas, te acordo com o esquma abaixo:
+q
+ +++++
+++
++++
- -
-- - --
- - -- -
-
Indução de um condutor
Agora, se existe uma cavidade dentro do condutor, onde dentro desta exista uma distribuição de cargas, ela ficará isolada do ambiente e fará com
que o corpo do condutor em si fique induzido, de alguma forma denunciando sua presença no interior do condutor. Também, se existe uma
cavidade e uma ausência de cargas nela, se o condutor for exposto a um campo externo, a cavidade não será afetada, mantendo ainda um campo
nulo em seu interior. Vamos abordar a questão da indução de cargas com dois exemplos.
Exemplo 1: Esfera carregada por uma casca grossa condutora.
Uma esfera metálica de raio R e carga q, está cercada por uma grossa casca metálica concêntrica de raio interno a e raio externo b. A casca não
tem carga líquida. (a) Encontre a densidade superficial de cargas em R, a e b. (b) Também, encontre o potencial no centro do sistema, usando o
infinito como referencia. (c) Suponha depois que a casca foi aterrada. Como o sistema se modificaria?
Solução:
Para calcular a densidade superficial de cargas, vamos usar o fato que
q =
S '
ρ ⅆS '
Sendo assim, para a carga na superfície da esfera, teremos
ρesfera = q
4 π R2
No caso da superfície interna de raio a, temos uma indução de cargas -q, sendo assim
ρcasca interna = - q
4 π a2
Para a superfície externa, temos a carga total do sistema:
ρcasca externa = q
4 π b2
Para encontrar o potencial no centro do sistema, vamos calcular uando a integral de linha para o campo elétrico:
V (0) = - E ·ⅆ r = -b∞
q
4 πϵ0 r2 ⅆ r -
a
b
0 ⅆ r -R
b
q
4 πϵ0 r2 ⅆ r -
0
R
q
4 πϵ0 r2 ⅆ r = q4 πϵ0 1b + 1R - 1a
V (0) = q
4 πϵ0 1b + 1R - 1a
que nada mais é do que a soma dos potenciais.
No último caso, quando a esfera é aterrada, a superfície externa está aterrada, ou seja, a densidade de cargas se anula. Sendo assim, o potencial
em (0,0,0) será proveninete apenas da superfície interna da casca e da superfície da esfera:
V (0) = q
4 πϵ0 1R - 1a
Para o próximo exemplo, vamos analiser uma distribuição de cabvidades assiméricas.
Exemplo 2:
Duas cavidades esfericas de raios a e v são escavadas no interior de uma esfera condutora (neutra) de raio R. No centro de cada cavidade é
colocada uma carga pontual qae qb. (a) Encontre a densidade de cargas superficiais ρa, ρb e ρR. (b) Qual o campo fora do condutor? (c) Qual o
campo dentro de cada cavidade? (c) Qual a força entre qa e qb? (d) Qual dessas respostas mudaria se uma terceira carga qc, fosse aproximada do
condutor?
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Solução:
(a) Para encontrar a distribuição de cargas, basta usar a integral para cargas:
ρa = qa
4 π a2ρb = qb
4 π b2ρR = (qa + qb)
4 π R2
(b) Para encontrar o campo fora do condutor, usamos a lei de Gauss:

Senv
E ·ⅆSenv = Qenvϵ0
Portanto, sabendo que Qenv = qa + qb, temos
E = (qa + qb)
4 πϵo r3 r
(c) para encontrar o campo em cada cavidade, basta usar também a lei de Gauss para cada carga:
Ea = qa
4 πϵo ra3 ra
Eb = qb
4 πϵo rb3 rb
(d) Como o potencial dentro do condutor é constante em todos os pontos, em seu interior o campo é zero. Sendo assim, a força entre as cargas
também é nula, pois elas não interagem.
(e) A densidade de cargas na superfície do condutor mudaria pois ele também seria induzido pela terceira carga presente, sendo assim, o campo
externo também é modificado. Entretanto, o campo dentro de cada cavidade irá se manter o mesmo pois elas estão isoladas do mundo externo, e
a condição da resposta (d) fica inalterada, logo a força entre as cargas também é zero.
5.3 Força sobre um condutor e pressão eletrostática
Sabendo das propriedade dos condutores, temos o fato que o campo imediatamente fora seja expresso na seguinte forma:
E = ρϵ0 n
Podemos então expressar a densidade de cargas em função do potencial:
ρ = -ϵ0 ⅆVⅆn (1)
Na presença de um campo externo, a carga superficial irá sofrer ação de uma força, ou melhor, uma força por unidade de área. Por um pensa-
mento intuitivo, é possível ver que esta “força” é dada por
f = 1
2 ϵ0 ρ2 n (2)
Mas, lembrando que E = ρ / ϵ0, temos, de fato, uma pressão eletrostática escrita na forma
P = ϵ0
2 ϵ0 E2 (3)
5.4 Capacitores
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Vamos analisar agora um fato importante. Vivos ao longo de todo o percurso da eletrostática que o campo elétrico é proporcional a carga q. Da
mesma forma, o potencial. Podemos então, associar uma constante de proporcionalidade entre Q e V. Tal constante é conhecida como capacitân-
cia. A Capacitância é uma quantidade que depende apenas da geometria dos condutores. Devido à imensidão das quantidades envolvidas, a
unidade de medida (Farad) é muito inconveniente, na forma que geralmente se usam unidades mais praticas como μF ou pF. Para explorar essa
propriedade de capacitância, vamos estudar o caso do capacitor esferico, que é o caso mais simples.
Exemplo: Capacitância entre duas placas esfericas.
SUponha duas esferas concentricas de raio a e raio b. Colocando cargas Q de sinais opostos em cada esfera, teremos um campo entre estas placas
dadas por
E = Q
4 πϵo r3 r
A diferença de potencial será dada por
V (a) - V (b) = Q
4 πϵo 1a - 1b
Finalmente, como Q é proporcional a V, temos
Q = C ΔV, assim (4)Assim
C = Q
Q
4 πϵo  1a - 1b  = 4 πϵo
a b
b - a
Fica como exercicio calcular a capacitancia de duas placas planas e paralelas e dois cilindros. Junto com o caso das cascas esfericas, estes
formam os casos clássicos para o cálculo da capacitância.
Lembrando ainda que
W =
q'
V ⅆq '
Substituindo V pela capacitancia, obtemos
W =
q'
q '
C
ⅆq ' = 1 Q2
2C
Mesmo assim, lançando mão novamente do fato que o potencial é proporcional à carga, obtemos para a energia do capacitor
W = 1
2
C V 2 (5)
onde V é a diferença de potencial final do capacitor.
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