Resistência dos Materiais - FMU - Apresentação - Resistência à Torção

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NOTAS DE AULA Resistência dos Materiais - 1
RESISTÊNCIA À TORÇÃO
A torção produz um deslocamento angular de uma secção transversal em
relação a outra. A resistência à torção está relacionada à resistência ao
cisalhamento.
Ocorre em vigas com cargas excêntricas, vigas curvas, eixos, parafusos,
etc.
MOMENTO TORÇOR OU TORQUE
Esforço de torção: quando atua um torque
em uma das extremidades e um contra-torque
na extremidade oposta.
MT = 2 x F x S
MT: Momento torçor ou torque [Nm; ...]
F: Carga aplicada [N; ...]
S: Distância entre o ponto de aplicação da
carga e o centro da secção transversal [m; ...]
Para transmissões mecânicas (polias,
engrenagens, rodas de atrito, etc):
MT = FT x r
MT: Torque [Nm]
FT: Força tangencial [N]
r: Raio da peça [m]
NOTAS DE AULA Resistência dos Materiais - 2
Transmissão por polias e
correias
Transmissão por engrenagens
MOVIMENTO CIRCULAR
Velocidade angular:
= 2 xx f
Frequência f:
f = n / 60
Velocidade periférica ou tangencial vp:
vp =x r
Onde;
: Velocidade angular [rad/s]
f: Frequência [hz]
n: Rotação [rpm]
vp: Velocidade periférica
[m/s]
POTÊNCIA P (ou Pot)
Potência é a realização de um trabalho na unidade de tempo.
P = trabalho / tempo
Em movimentos circulares:
P = FT x vp
P ou Pot: Potência [W]
FT: Força tangencial [N]
vp: Velocidade periférica [m/s]
1 CV = 735,5 w
NOTAS DE AULA Resistência dos Materiais - 3
TENSÃO DE CISALHAMENTO NA TORÇÃO
Tensão de cisalhamento na torção:
max = MT / Wp
sendo que Wp = Jp / r
max: Tensão máxima de cisalhamento na
torção [Pa; ...]
MT: Momento torçor ou torque [Nm; Nmm;
...]
Jp: Momento polar de inércia [m
4; mm4; ...]
r: Raio da secção transversal [m; mm; ...]
Wp: Módulo de resistência polar da secção
transversal [m3; mm3; ...]
No centro da secção transversal a tensão é nula.
A tensão aumenta à medida que o ponto estudado afasta-se do centro e
aproxima-se da periferia.
A tensão máxima da secção ocorrerá na distância máxima entre o centro
e a periferia, ou seja, quando ρ= r.
NOTAS DE AULA Resistência dos Materiais - 4
Momento polar de inércia Jp
Jp = Jy + Jx
Módulo de Resistência Polar Wp
Wp = Jp / rmax
[m3]; [cm3]; [mm3]; ...
rmax: comprimento entre o polo e o
ponto mais distante da periferia da
secção transversal.
Quanto maior o módulo de
resistência polar da secção
transversal de uma peça, maior a
sua resistência à torção.
Distorçãoγ
Deslocamento do ponto A da
periferia para uma posição A’.
γ=/ G
γ: distorção [rad]
: tensão atuante [Pa]
G: Módulo de elasticidade
transversal do material [Pa]
Ângulo de torçãoθ
θ= MT x l / Jp x G
θ: ângulo de torção [radianos]
l : comprimento da peça
Jp: Momento polar de inércia
NOTAS DE AULA Resistência dos Materiais - 5
DIMENSIONAMENTO DE EIXOS-ÁRVORE
Para eixo maciço
adm = MT / Wp
adm =/ k
Wp =x d3 / 16
d: Diâmetro da árvore [m]
MT: Torque [Nm]
P: Potência [W]
: Velocidade angular [rad/s]
adm ou : Tensão admissível do material [Pa]
f: Frequência [hz]
n: Rotação [rpm]
k: Fator ou coeficiente de segurança
Para eixo vazado
adm = MT / Wp
Wp = (/ 16) x [(D4 – d4) / D]
NOTAS DE AULA Resistência dos Materiais - 6
Secção Momento de Inércia
Polar Jp
Módulo de Resistência
Polar Wp
4
p
a
J =
6
3
pW = 0,23a
2 2
p
bh(b +h )
J =
12
2
p
bh
W =
h3 + 1,8
b
4
p
d
J =
32
 3
p
d
W =
16

4 4
p
(D - d )
J =
32
 4 4
p
(D - d )
W =
16D

4 4
p
d a
J = -
32 6
 3 4
p
d a
W = -
16D 3d

NOTAS DE AULA Resistência dos Materiais - 7
RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO ( i )
1
2
2 1 1 T2
1 2 2 T1
d f n Mi = = =
d f n M


 
i: relação de transmissão
[adimensional]
d1: diâmetro da polia (1) (menor) [m]
d2: diâmetro da polia (2) (maior) [m]
ω1: velocidade angular (1) [rad/s]
ω2: velocidade angular (2) [rad/s]
f1: frequência (1) [Hz]
f2: frequência (2) [Hz]
n1: rotação (1) [rpm]
n2: rotação (2) [rpm]
MT1: torque (1) [Nm]
MT2: torque (2) [Nm]
Nota: Nos cálculos, quando a polia movida (2) for de menor
diâmetro que a polia motora (1), inverter as fórmulas da relação de
transmissão.
EXEMPLOS:
Nos exemplos a seguir, basicamente se aplicam as fórmulas já vistas,
tomando-se o cuidado de se adequar as unidades de medida. Estas
unidades tem que ser compatíveis entre si.
1) Um eixo-árvore de aço possui diâmetro d
= 30 mm, e gira com uma velocidade angular
de = 20rad/s, movida por uma força
tangencial FT = 18 kN.
Determinar para o movimento da árvore:
a) Rotação (n)
b) Frequência (f)
c) Velocidade periférica (vp)
d) Potência (Pot)
e) Torque (MT)
a) = 2 xx f, então 20= 2 xx f, então f = 10hz
f = n / 60, então n = f x 60 = 10 x 60 = 600 rpm
NOTAS DE AULA Resistência dos Materiais - 8
b) Ver item a), f = 10 Hz
c) r = d/2, então r = 30/2 = 15 mm = 0,015 m
Vp =x r, então Vp = 20x 0,015 = 0,94 m/s
d) Pot = Ft x Vp
Ft = 18KN = 18.000 N
Pot = 18.000 x 0,94 = 16920 W
e) Mt = Ft x r
Mt = 18.000 x 0,015 = 270Nm
2) Dimensionar o eixo-árvore maciço de aço
para que transmita com segurança uma
potência de 7355 W (aprox. 10 CV), girando a
uma rotação de 800 rpm. O material a ser
utilizado é o ABNT 1040L, com = 50 MPa
(tensão admissível de cisalhamento na torção).
a) f = n / 60, então f = 800 / 60 = 13,33 Hz
b) = 2 xx f, então= 2 xx 13,33 = 83,75 rad/s
c) MT = Pot /, então MT = 7355 / 83,75 = 87,82 Nm
d) = MT / Wp e Wp =x d3 / 16
então x Wp = MT , então (x d3 / 16) x = MT , então (x d3 / 16) x
50 x 106 = 87,82, então 9.817.477 x d3 = 87,82
d3 = 87,82 / 9.817.477 = 8,94 x 10-6, então d = 38,94 x 10-6 = 0,021 m =
21 mm.
NOTAS DE AULA Resistência dos Materiais - 9
3) Dimensionar o eixo-árvore vazado com
relação entre diâmetros igual a 0,6, para
transmitir uma potência de 20 kW, girando a
uma velocidade angular = 4rad/s.
O material do eixo é ABNT 1045 e a tensão
admissível indicada para o caso é 50 MPa.
a) MT = Pot /, então MT = 20.000 / 4= 1590 Nm
b) = MT / Wp , então 50 x 10
6 x Wp = 1590
d / D = 0,6, então d = 0,6 D
Wp = (/ 16) x [(D4 – d4) / D] = (/ 16) x [(D4 – (0,6D)4) / D] = = (/ 16) x
[(D4 – 0,064D4) / D] = (/ 16) x 0,9364D4 / D = (/ 16) x 0,936 x D3 =
0,184D3
Então 50 x 106 x Wp = 1590
50 x 106 x 0,184D3 = 1590
9.200.000D3 = 1590, então D3 = 1590 / 9.200.000 = 1,73 x 10-4
Então D = 31,73 x 10-4 = 0,056 m = 56 mm
d = 0,6 D, então d = 0,6 x 56 = 34 mm
4) Definir o diâmetro do eixo de um motor elétrico, o qual deve ser
dimensionado a partir das seguintes informações.
No eixo deste motor está fixada uma polia, que por sua vez movimenta
outra polia de maior diâmetro, acionada através de correia.
Este motor deve transmitir uma potência de 8000 W, a uma rotação de
1.800 rpm = 30Hz
O material do eixo é um aço liga com tensão de cisalhamento igual a 20 x
106 N/m2.
Deve ser utilizado um coeficiente de segurança igual a 4.
NOTAS DE AULA Resistência dos Materiais - 10
f = 30 Hz
= 2 xx f = 2 xx 30 = 188,5 rad/seg
MT = Pot / = 8000 / 188,5 = 42,4 Nm
adm =/ F = 20 x 106 / 4 = 5 x 106 N/m2
adm = MT / WpWp = MT /adm
Wp = 42,4 / 5 x 106 = 8,48 x 10-6 m3
Wp =x d3 / 16 Wp x 16 / = d3
d3 = 8,48 x 10-6 x 16 /= 43,19 x 10-6
d = 3(43,19 x 10-6 ) = 0,035 m = 3,5 cm = 35 mm
5) A figura abaixo representa uma turbina, sendo conhecidos a sua
velocidade angular de 5,2 rad/s. a sua potência de 25.000 W e o
diâmetro do seu eixo de 0,15 m (150 mm).
Calcular:
a) Rotação do eixo da turbina.
b) Torque no eixo da turbina.
NOTAS DE AULA Resistência dos Materiais - 11
c) Tensão de cisalhamento máxima agindo no eixo da turbina.
= 5,2 rad/s
d = 0,15 m
Pot = 25.000 W
a) Rotação
= 2 xx f, então f = / 2= 5,2 / 2= 0,83 Hz
f = n / 60, então n = 60 x f = 60 x 0,83 = 50 rpmb) Torque
MT = Pot / = 25.000 / 5,2 = 4.808 Nm
c) Tensão cisalhamento
Wp =x d3 / 16 =x 0,153 / 16 = 6,63 x 10-4 m3
= MT / Wp = 4.808 / 6,63 x 10-4 = 725 x 104 N/m2 = 7,25 x 106 N/m2
REF: MECÂNICA TÉCNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – SARKIS MALCONIAN