Analise Eletrica de Redes - Exerc 1

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TET – ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES 
TEE-00112 – Análise Elétrica de Redes 
1ª Lista de Exercícios – Transformada de Laplace 
 
 
1) Expresse as funções mostradas a seguir com o auxílio de funções singulares. 
 
 
2) Esboce a forma de onda para as seguintes funções: 
a) ���� � 2��� � 2� � ��� � 4� 
b) 	��� � 2	�� � 1� � 2	�� � 3� � 	�� � 4� 
c) ���� � 	�� � 1� � 2	�� � 2� � 	�� � 3� � ��� � 4� 
d) sen��� � �/6� ���� 
 
3) Empregando a definição, encontre a transformada de Laplace para as funções a seguir: 
a) ���� 
b) ���/����� 
c) ����� 
d) cos���� ���� 
e) cosh���� ���� 
 
4) Mostre que 
������ ���! " #�$ � %� 
 
5) Determine a transformada de Laplace para as funções do Probl. 2. Utilize a tabela funcional 
e as propriedades listadas no Anexo 1. 
 
1− 0 1 2 3 4 5
2
4
6
8
10
f1 t( )
t
1− 0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
f2 t( )
t
1− 0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
f3 t( )
t
1− 0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
f4 t( )
t
 
6) Para cada uma das funções a seguir, calcule a transformada de Laplace com auxílio das 
propriedades da diferenciação ou da integração no tempo. Confira o resultado obtido, 
efetuando primeiramente a operação indicada e, em seguida, realizando a transformada. 
a� � '( ���)*+�
,-
. b� � '( +*+�
,-
. 
c�� 0 **� 1cos���� ����23 d� � 0 
*
*� 1��56sen���� ����23 
 
7) Diferencie e integre cada uma das funções do Probl. 1. Determine as funções resultantes e 
esboce as formas de onda correspondentes. Empregue os seguintes métodos de cálculo: 
a) Realize a diferenciação e a integração diretamente no domínio do tempo. 
b) Calcule a transformada de Laplace e, em seguida, aplique as propriedades da 
diferenciação e integração no tempo. Finalmente, obtenha a transformada inversa. 
 
8) Encontre ��� para cada uma das funções mostradas a seguir. 
a� #�$� " 18$8 � 66$ � 54�$ � 1��$ � 2��$ � 3� b� #�$� "
11$8 � 172$ � 700
�$ � 2��$8 � 12$ � 100� 
c� #�$� " 8�$8 � 5$ � 50�$8�$ � 10� d� #�$� "
10�3$8 � 4$ � 4�
$�$ � 2�8 
e� #�$� " $< � 6$8 � 15$ � 50$8�$8 � 4$ � 5� f� #�$� "
10$8 � 85$ � 95
$8 � 6$ � 5 
 
9) Aplique as propriedades do valor inicial e valor final às funções do Probl. 7 e compare os 
valores de �0� e �∞� com os obtidos aplicando-se, respectivamente, � " 0 e � @ ∞ nas 
expressões de ��� obtidas. 
 
10) Determine a solução para as seguintes equações diferenciais: 
a� 2 *+*� � 4 " 10 ����, +�0�� " 0 
B� *+*� � 5 " 0, +�0�� " 2 
c� *8+*�8 � 7
*+
*� � 12 " ����, +�0�� " +C�0�� " 0 
d� *8+*�8 � 6
*+
*� � 25 " 0, +�0�� " 1, +C�0�� " 0 
e� *8+*�8 � 100 " ����, +�0�� " +C�0�� " 0 
 
ANEXO 1 – Transformadas e Propriedades 
 
Função D�E�, E F G� H�I� 
Impulso ���� 1 
Degrau ���� 1$ 
Rampa � 1$8 
Exponencial ���� 1$ � % 
Seno sen �� �$8 � �8 
Cosseno cos �� $$8 � �8 
Rampa amortecida ����� 1�$ � %�8 
Seno amortecido ����sen �� ��$ � %�8 ��8 
Cosseno amortecido ����cos �� $ � %�$ � %�8 ��8 
Cosseno defasado e 
amortecido 
2|K|��L�cos ��� � M� K " |K|∠M 
K
$ � N � O� �
KP
$ � N � O� 
 
 
Propriedade D�E� H�I� 
Multiplicação por uma 
constante 
K ��� K#�$� 
Adição/Subtração Q��� � 8��� � <��� �R #Q�$� � #8�$� � #<�$� �R 
Derivada primeira em relação a 
t 
* ���
*� $#�$� � �0�� 
Derivada segunda em relação a 
t 
*8 ���
*�8 $8#�$� � $ �0�� �
* �0��
*� 
Integral em relação a t ( �+�*+6
,
 
#�$�
$ 
Deslocamento no tempo �� � %���� � %� ���S#�$� 
Deslocamento na frequencia ���� ��� #�$ � %� 
Mudança de escala �%�� 1% # T
$
%U 
Derivada em relação a s �V ��� ��1�V *V#�$�*$V 
Integral em relação a s 
 ���
� ( #�W�*�W�
X
S
 
Valor inicial �0� " limS@X $#�$� 
Valor final �∞� " limS@, $#�$� 
 
Respostas selecionadas 
1) 
 
 
2) 
 
 
 
3) 
a� 1 b� $$ � 1/\ c� 
1
$8 d� 
$
$8 � �8 e� 
$
$8 � �8 
 
5) 
#Q�$� " 1$]��VS
<
V^,
 #8�$� " 43 ·
3$ � �<S � 1
$8 
#<�$� " 4 · 1 � �
�S � ��<S � ��`S
$8 #` �$� " 2 ·
2$8 � �8/4
$�$8 � �8/4� 
 
6) 
a� 1$�$ � %� b� 
1
$8 c� 
s8
s8 �ω8 d� 
�$
�$ � %�8 ��8 
8) a� �3��� � 6��8� � 9��<������ b� 15��8� � 10��b� cos�8� � 53,1°�2���� c� 8�5� � 2��Q,� � 1����� d� 10�1 � 2��8� � 4���8������ e� 51�1 � 2� � 2��8� cos�� � 53,1°�2���� f� 10���� � 5���� � 4��d������ 
f1 t( ) 2
0
3
τ
u t τ−( )∑
=
:= f2 t( ) 4 u t( )
1
3
r t( ) r t 3−( )−( )⋅−




:=
f3 t( ) 4 r t( ) r t 1−( )− r t 3−( )− r t 4−( )+( ):= f4 t( ) 2 cos
pi
2
t




1+




u t( )⋅:=
1− 0 1 2 3 4 5
1−
0.5−
0.5
1
g1 t( )
t
1− 0 1 2 3 4 5
1−
0.5−
0.5
1
g2 t( )
t
1− 0 1 2 3 4 5
0.5
1
1.5
2
g3 t( )
t
1− 0 1 2 3 4 5
1−
0.5−
0.5
1
g4 t( )
t