Relatório Segunda Lei de Newton

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Goiás 
 Instituto de Física 
 Laboratório de Física 
 
 
 
 
 Segunda Lei de Newton 
 
 
 
 
Alunos: Gabriel Arrates 
 Lucas Rocha 
 Murillo Hannum 
 José Fernandes 
 
 
Curso: Engenharia Civil Turma: “A” 
Professora: Rosane Castro 
 
 
 
 Goiânia, 13/11/2014 
Introdução 
 
Não é de hoje que a dinamicidade presente na natureza atrai os olhares do ser 
humano. O interesse pelo conhecimento de como o ambiente funciona e se relaciona 
com os elementos que o compõe fez com que grandes expoentes da física e filosofia 
surgissem. Newton e sua maçã trouxeram a ideia de interação entre massas. 
Copérnico apresentou a ideia heliocêntrica, e Galileu conseguiu enxergar a 
veracidade, através de sua luneta, da ideia de Copérnico, e também que a ideia 
apresentada por Aristóteles de que corpos “leves” e “pesados” “caem” com 
velocidades diferentes estava equivocada. 
 
Cada vez mais, cientistas buscam respostas mais plausíveis para a grande questão que 
assombra a humanidade desde os primórdios: “Como funciona o universo?”. Mesmo 
com tecnologia de ponta e modelos teóricos atualizados, a base de toda essa “corrida 
científica” por respostas se mantém a mesma. As três leis apresentadas por Newton 
mudaram de forma extraordinária e irreversível o conceito que, até então, havia de 
como o ambiente interagia com seus elementos, podendo ser considerado como o 
ponto de partida da Mecânica dentro da física. 
 
Mesmo após Einstein apresentar a Teoria da Relatividade, que aprimorava alguns 
conceitos apresentados por Newton, as Leis de Newton não deixaram de valer. 
Embora limitadas pela Mecânica Relativística, as Leis apresentadas por Newton, ou 
seja, a Mecânica Clássica, ainda é muito utilizada na resolução de grandes problemas. 
 
Os experimentos realizados em sala de aula nos dias 23 e 30 de outubro de 2014 
tiveram como motivação rever os conceitos básicos de movimentos unidimensionais, 
tais como: posição, velocidade e aceleração utilizando-se o trilho de ar, comparar o 
valor de aceleração obtido experimentalmente com o obtido atravéz da Segunda Lei 
de Newton e, ainda, a motivação de provar a validade de tal Lei, ou seja, provar que 
uma mesma força aplicada a corpos de massas diferentes gera acelerações diferentes 
nos mesmos. 
Pode-se dizer que o objetivo almejado foi alcançado, mesmo que o resultado obtido 
na primeira parte do experimento não tenha caído no intervalo aceitável, devido a 
uma séries de fatores que também foram abordados neste experimento. Os resultados 
obtidos na segunda parte do experimento tiveram êxito, uma vez que foram 
condizentes com a Segunda Lei de Newton. 
A fim de tornar os cálculos mais simples, no experimento realizado foram feitos 
arredondamentos de valores e também foram desprezadas interferências do meio, tais 
como resistência do ar, atrito, turbulência, dissipação de energia e choques entre os 
materiais utilizados. Claramente, o experimento foi realizado sob condições 
totalmente idealizadas. O que interferiu nos resultados encontrados, tornando-os mais 
distantes do esperado. 
 
 
 
Teoria 
 
 
A Segunda Lei de Newton pode ser resumida em uma simples sentença: A força 
resultante que age sobre um corpo é igual ao produto da massa do prório corpo pela 
aceleração por ele adquirida. Matematicamente, temos que: 
F = m.a (equação 1) 
Para chegar a essa equação o Princípio Fundamental da dinâmica partiu de uma 
afirmação que é representada por uma outra expressão:”A força resultante em uma 
partícula é igual a razão do tempo de mudança do seu momento linear p em um 
sistema de referência inercial”. 
 
 
 
 
Para massas constantes, o seguinte desenvolvimento se torna válido, resultando na 
equação 1: 
 
Onde v é a velocidade e t é o tempo. 
 
 
A figura acima representa o sistema que foi montado em laboratório. Tomando a 
polia como ideal, ou seja, desconsiderando o momento de inércia da polia, tem-se que 
a força Tração, representada por T, no fio é igual tanto para a massa M quanto para a 
massa m. O sentido positivo considerado é o sentido anti-horário, que coincide com o 
sentido do movimento do sistema. 
 
Aplicando a Segunda Lei de Newton isoladamente para cada bloco, chega-se nas 
duas seguintes equações: 
P - T = m.a (Equação 2) => Para o corpo de massa m 
T = M.a (Equação 3) => Para o corpo de massa M 
Somando-se as Equação 1 à Equação 2: 
P = m.a + Ma = a.(m + M) (Equação 3) 
Como P = m.g, onde g é o valor da gravidade, temos que: 
m.g = a.(m + M) (Equação 4) 
 
Isolando o valor da aceleração a, na Equação 4, temos: 
a = m.g (Equação 5) 
 (m + M) 
A Equação 5, acima apresentada, mostra como a aceleração dos corpos varia com a 
massa dos mesmos, fixando um valor real para o valor da aceleração gravitacional 
local. 
Outra forma de se encontrar a aceleração de um corpo sabendo-se somente o valor do 
espaço percorrido e do tempo gasto para o mesmo é definida a seguir: 
Seja um corpo de massa qualquer que possui velocidade inicial Vo e aceleração a; 
depois de um determinado tempo t, sua posição final x será dada por: 
X = Xo + Vo.t + 0,5.a.t² (Equação 6) 
O termo Xo presente na Equação 5 representa o ponto de partida do corpo, no plano 
cartesiano. Considerando-se que o corpo saiu do repouso, ou seja, Vo = 0, temos: 
X - Xo = ∆X = 0,5.a.t² (Equação 7) 
Na Equação 7, ∆X representa o valor deslocado pelo corpo no intervalo de tempo t. 
Isolando-se a na Equação 7, temos: 
a = 2.∆X (Equação 8) 
 t² 
Assim, pode-se obter o valor da aceleração dos corpos do sistema pelas Equações 5 e 
8. 
A segunda lei de Newton é comumente considerada inválida quando aplicada a 
sistemas envolvendo velocidades próximas a da luz (aproximadamente 300000000 
m/s), porém essa lei em sua forma primeira, F=dp/dt, ainda é válida mesmo se os 
efeitos da relatividade especial forem considerados, contudo no âmbito da 
relatividade a definição de momento de uma partícula requer alteração, sendo a 
definição de momento como o produto da massa de repouso pela velocidade válida 
apenas no âmbito da física clássica. 
 
 Unidades de força, massa, tempo, distância e aceleração no 
 Sistema Internacional 
 Força - Newton(N) 
 Massa - quilograma(kg) 
 Tempo - segundo(s) 
 Distância - metro(m) 
 Aceleração - (m/s²) 
 
 
 
 
Metodologia Experimental 
 
O experimento foi realizado para comparar os valores de aceleração obtido pela 
Segunda Lei de Newton e pela análise cinemática (tempo, velocidade, distâncias etc). 
Para essa análise cinemática e obter a aceleração do sistema que vai ser comparada a 
obtida na Segunda Lei de Newton utilizou-se do equipamento trilho de ar. 
 
O trilho de ar foi projetado para diminuir as forças de atrito, fazendocom que um 
corpo se desloque sobre uma camada de ar, o que elimina o contato direto entre a 
superfície do trilho e superfície do corpo. Esse corpo será aqui chamado de carrinho. 
O sistema é construído de tal forma que ao longo de toda extensão do trilho existam 
pequenos orifícios, os quais são responsáveis pela saída de ar proveniente do 
compressor. Portanto, existe uma camada de ar que mantém o carrinho “flutuando” e 
com atrito reduzido. Dessa forma, nesta prática experimental pode-se desprezar a 
perda de energia por atrito entre o trilho e o carrinho. 
 
Para investigar o movimento do carrinho sujeito a uma resultante de forças constante, 
nivela-se o trilho de ar de forma que a força peso do carrinho é contrabalançado pela 
força normal e exista somente uma resultante no sistema. Essa força é obtida por 
meio de um cordão com uma das extremidades presa ao carrinho de massa “M”, 
passando por uma polia e com a outra extremidade presa a corpos de massa “m” sob 
a ação da força gravitacional. A figura 1 mostra um desenho esquemático da 
montagem experimental. 
 
 
 Figura 1- Esquema da montagem experimental do trilho de ar. 
Para marcarmos o tempo de percurso foi feito uso de sensores fotoelétricos, os quais 
são responsáveis por acionar os cronômetros. Para o estudo do MRUV, quando o 
carrinho passar pelo primeiro sensor o cronômetro é acionado e ao passar pelo outro 
sensor o intervalo de tempo fica registrado no cronômetro. 
A realização de todas as partes do experimento foi feita em dois dias, no primeiro dia 
variamos a distância entre os receptores, entre 30 cm e 80 cm, e ainda mantivemos a 
massa do peso e do carrinho constantes, iguais à (25,3 + 0,1) gramas e (397,0 + 0,1) 
gramas respectivamente. Já no segundo dia mantivemos a distância entre os 
receptores constante e variamos a massa do carrinho, de (197,0 + 0,1) g à (397,0 
+ 0,1) g, do peso preso na outra extremidade da corda, de (25,3 + 0,1) g à (65,3 + 0,1) 
g. 
Para a medição dos tempos colocava-se cuidadosamente o carrinho no limite de 
proximidade com o primeiro sensor, para que ele partisse do repouso, o que era 
essencial para a validade das fórmulas utilizadas. 
A aceleração gravitacional local foi dada, e vale g = (9,784 + 0,001) m/s². 
1 - Medição do tempo: Na primeira parte variou-se a distância entre os receptores de 
dez em dez centímetros, como dito anteriormente de 30 cm à 80 cm. E para cada uma 
das distâncias foi cronometrado dez tempos. Da mesma forma na segunda parte 
variou-se a massa do carrinho de cem em gramas, de 197,0 g à 397,0 g e a massa do 
peso de vinte em vinte gramas, de 25,3 g á 65,3 g. Os tempos obtidos foram 
organizados em uma tabela (Tabela 1) e calculado sua média e desvio-padrão. 
2 - Cálculo da aceleração: Para cada tempo médio que foi encontrado 
experimentalmente foi calculada sua aceleração correspondente pela Equação 8. 
Como o objetivo do experimento era comprovar a Segunda Lei de Newton utilizamos 
a aceleração encontrada através desse princípio, pela Equação 5, para compará-la 
coma aceleração obtida empiricamente. 
 
Resultados e análise de dados 
No primeiro dia de experimento a massa do carrinho e do peso foram constantes e 
variou somente a distância entre os receptores. 
Tabela 1: Tempo decorrido, em segundos, do deslocamento do carrinho sobre o trilho 
de ar com diferentes comprimentos medidos em centímetros. 
 
 
 
 
 
A média e seu respectivo desvio-padrão dos tempos medidos foram calculados pelas 
fómulas: 
 
Nas primeiras 10 medições de tempos (x=30 cm) obteve-se média de 0,87375 
segundos com desvio padrão de 0,00433 segundos. Com a distância entre os 
detectores aumentada para 40cm, após as 10 medições de tempo obteve-se média de 
1,04380 segundos com desvio padrão de 0,01208 segundos. Da mesma forma mediu-
se 10 tempos para cada distância restante, x= 50 cm, x= 60 cm, x= 70 cm e x= 80 cm, 
obtendo suas respectivas médias e desvios-padrão. Para x=50 cm tem-se média dos 
tempos de 1,16950 segundos e desvio padrão de 0,00606 segundos. Para x= 60 cm 
tem-se média de 1,28840 segundos e desvio padrão de 0,05982 segundos. Para x=70 
cm tem-se média de 1,40850 segundos e desvio padrão de 0,00572 segundos. Para 
x=80 cm tem-se média de 1,51590 segundos e desvio padrão de 0,00835 segundos. 
A distância máxima entre os detectores foi de 80 cm porque após isso o peso 
suspenso tocava o solo antes do carrinho passar do segundo detector. Com isso o 
tempo do deslocamento entre os dois detectores não era o esperado, pois o carrinho 
não cruzava o segundo detector com a ação da aceleração da gravidade no peso 
suspenso. 
A partir dos valores dos tempos médios e seus respectivos desvios-padrão pode-se 
calcular as acelerações dos sistemas e suas respectivas incertezas. Da equação (2) 
obtemos as seguintes acelerações com suas devidas aproximações: 
● De x= 0,3 m e t= 0,8738 s obtivemos a= 0,781 m/s2 
● De x= 0,4 m e t= 1,0438 s obtivemos a= 0,734 m/s2 
● De x= 0,5 m e t= 1,1695 s obtivemos a= 0,731 m/s2 
● De x= 0,6 m e t= 1,2884 s obtivemos a= 0,723 m/s2 
● De x= 0,7 m e t= 1,4085 s obtivemos a= 0,706 m/s2 
● De x= 0,8 m e t= 1,5159 s obtivemos a= 0,696 m/s2 
 
A incerteza calculada pela fórmula de propagação de erros a seguir: 
 
A incerteza de x é do instrumento utilizado para medição, igual à 0,1 cm. 
● De x= 0,3 m e t= 0,8738 s obtivemos δa= 0,008 m/s2 
● De x= 0,4 m e t= 1,0438 s obtivemos δa= 0,01 m/s2 
● De x= 0,5 m e t= 1,1695 s obtivemos δa= 0,008 m/s2 
● De x= 0,6 m e t= 1,2884 s obtivemos δa= 0,07 m/s2 
● De x= 0,7 m e t= 1,4085 s obtivemos δa= 0,006 m/s2 
● De x= 0,8 m e t= 1,5159 s obtivemos δa= 0,008 m/s2 
De acordo com a Segunda Lei de Newton, dada pela equação (1), e pela fórmula de 
propagação de erros, substituindo os valores das massas utilizadas no experimento e 
o valor da gravidade local fornecida, chega-se para um valor esperado para a 
aceleração igual a: a = (0,586 + 0,002) m/s². 
Na segunda parte do experimento, as distâncias entre os detectores passaram a ser 
constantes, enquanto que as massas do carrinho e do objeto suspenso variavam. 
 
 
 
 
 
Tabela 2: Tempo decorrido, em segundos, com diferentes massas no carrinho, 
primeiro termo da soma, e diferentes massas nos pesos, segundo termo da soma, em 
gramas. 
 
Nas primeiras 10 medições de tempos (M+m= 197,0+25,3 g) obteve-se média de 
1,10070 segundos com desvio padrão de 0,00826 segundos. Com a massa aumentada 
para 297,0+25,3 g, após as 10 medições de tempo obteve-se média de 1,31310 
segundos com desvio padrão de 0,00489 segundos. Da mesma forma mediu-se 10 
tempos para cada massa restante, M+m=397,0+25,3 g, M+m= 397,0+45,3 
g e M+m= 397,0+65,3 g obtendo suas respectivas médias e desvios-padrão. Para 
M+m=397,0+25,3 g tem-se média dos tempos de 1,55570 segundos e desvio padrão 
de 0,00856 segundos. Para M+m= 397,0+45,3 g cm tem-se média de 1,16370 
segundos e desvio padrão de 0,00858 segundos. Para M+m= 397,0+65,3 g tem-se 
média de 0,99260 segundos e desvio padrão de 0,0066 segundos. 
A partir dos valores dos tempos médios e seus respectivos desvios-padrão pode-se 
calcular a aceleração do sistema e sua incerteza. Da equação (1) obtemos as seguintes 
acelerações ja com as devidas aproximações: 
● De t= 1,10070 s obtivemos a= 1,58 m/s2 
● De t= 1,31310 s obtivemos a= 0,93 m/s2 
● De t= 1,55570 s obtivemos a= 0,66 m/s2 
● De t= 1,16370 s obtivemos a= 1,18 m/s2 
● De t= 1,99260 s obtivemos a= 1,6 m/s2 
As incertezas calculada pela fórmula de propagação de erros: 
● De t= 1,10070 s obtivemos δa= 0,09 m/s2 
● De t= 1,31310s obtivemos δa= 0,05 m/s2 
● De t= 1,55570 s obtivemos δa= 0,03 m/s2 
● De t= 1,16370 s obtivemos δa= 0,06 m/s2 
● De t= 1,99260 s obtivemos δa= 0,1 m/s2 
De acordo com a Segunda Lei de Newton, dada pela equação (1), e pela fórmula de 
propagação de erros, substituindo os valores das massas utilizadas no experimento e 
o valor da gravidade local fornecida, chega-se a os valores para a aceleração, já com 
as aproximações, iguais a: 
● a = (1,114 + 0,004) m/s², para m = (25,3 + 0,1) g e M = (197,0 + 0,1) g 
● a = (0,768 + 0,003) m/s², para m = (25,3 + 0,1) g e M = (297,0 + 0,1) g 
● a = (0,586 + 0,002) m/s², para m = (25,3 + 0,1) g e M = (397,0 + 0,1) g 
● a = (1,002 + 0,002) m/s², para m = (45,3 + 0,1) g e M = (397,0 + 0,1) g 
● a = (1,382 + 0,002) m/s², para m = (65,3 + 0,1) g e M = (397,0 + 0,1) g 
● a = (1,730 + 0,002) m/s², para m = (85,3 + 0,1) g e M = (397,0 + 0,1) g 
Ao comparar os valores das acelerações obtidos experimentalmente e pela Segunda 
Lei de Newton é possível ver que os valores experimentais não compreendem, dentro 
da inceteza, os valores calculados pela fórmula (1). Mas o resultado obtido ainda é 
satisfatório, pois ao compararmos os valores adicionados de 3δa podemos ver que 
esses valores possuem um intervalo em comum, ou seja, alguns valores de aceleração 
obtido pela fómula (1) estão dentro da incerteza dos calculados pela fórmula (2). O 
que torna os resultados encontrados satisfatórios. 
 
 
 
 
 
 
Discussão e conclusão 
Da experimentação encontrou-se valores médios para o tempo acompanhado de seus 
respectivos desvios-padrão. Foram utilizados, como se faz ver pelas tabelas 1 e 2 
acima, diferentes massas, tanto no carrinho como no peso suspenso e diferentes 
comprimentos de deslocamentos do carrinho no trilho de ar com o intuito de provar 
que a segunda lei proposta por Isaac Newton era verdadeira. 
 
Dos valores encontrados, supondo verdadeira a relação de que a soma das forças em 
uma direção é sempre igual ao produto da massa do objeto, ao qual se realiza a força, 
pela aceleração na mesma direção da força, chegou-se, considerando os erros de 
medidas dos operadores e da imprecisão das ferramentas, a conclusão de que a 
segunda lei de Newton, algebricamente descrita pelo que foi citado acima, é 
verdadeira quando substituidos na equação os valores obtidos experimentalmente. 
 
O valor esperado para aceleração era de a = (0,586 + 0,002) m/s² no experimento 1. 
No entanto o valor encontrado, mesmo considerando o erro da medida, nao 
interceptou o valor esperado, a= (0,73+0,03) m/s2. Apesar disso, a diferença nos 
valores não implica que o valor obtido deve ser descartado, pelo contrário, a 
inexperiência dos operadores somada da ferramenta de menor precisão se comparada 
aquela utilizada para definir o valor esperado, colaboraram significamente para tal 
diferença, de modo que se pode aceitar essa discrepância sem prejuízo de 
aprendizado e com um valor de uso aceitável. Além disso, é importante ressaltar que 
para o valor individual de medição em distâncias diferentes também não interceptava 
o valor esperado, porém quanto maior a distância utilizado no experimento, 
verificou-se que menor era a diferença entre os valores esperado e encontrado. 
 
No experimento 2 a diferença entre os valores encontrado e esperado superior ao erro 
de suas medidas se repetiu, o que foi, novamente, resultado da soma de incertezas das 
ferramentas e de uma inexperiência dos operadores. Entretanto foi possível observar 
um padrão quanto a variação da diferença do valor encontrado(que foi maior em 
todos os casos) pelo valor esperado. Na primeira situação, com M=197,0g e m=25,3g 
obteve-se uma aceleração empírica de a= (1,58+0,09)m/s² enquanto que a aceleração 
esperada era a= (1,114+0,004)m/s², o que representa uma diferença de 0,386m/s² 
entre os valores absolutos. Nas situações seguintes, enquanto a massa do carrinho 
(M) era aumentada essa diferença diminuía e quando aumentava-se a massa do porta 
pesos (m) notou-se que a diferença aumentava. 
 
Após a realização dos experimentos e da obtenção dos resultados, chega-se à 
conclusão de que pequenas interferências podem causar divergências nos resultados; 
como foi o caso dos valores da aceleração da aceleração obtida e da aceleração 
esperada. Essas alterações são conhecidas como erros sistemáticos, e ocorrem devido 
a desconsiderações feitas durante a execução dos experimentos. Os erros sistemáticos 
são comuns, pois ocorrem devido a condições que, normalmente, são desprezadas 
para facilitar os cálculos, como temperatura ambiente, tensão, resistência, paralaxe na 
hora de alinhar o carrinho com o laser, atrito e qualquer tipo de rotação e turbulência; 
e também devido a condições que não foram identificadas nem durante nem após a 
execução. 
O objetivo principal do experimento era determinar as acelerações adquiridas pelos 
blocos e provar a veracidade da Segunda Lei de Newton. O almejado objetivo foi 
alcançado, uma vez que o provou-se que uma mesma força aplicada a corpos de 
massas diferentes geram acelerações diferentes nesses mesmos corpos. 
 
 
 
Referências bibliográficas 
 
 
Halliday, David; Resnick, Robert; Krane, kenneth S. . Física 1. 4°edição. Rio de 
Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1996. 
SEARS, Francis Weston; ZEMANSKY, Mark Waldo; YOUNG, Hugh D.; 
FREEDMAN, Roger A. Física I:Mecânica. 12. ed. São Paulo, SP: Pearson Addison 
Wesley, c2008-2009 vol 3. 
TAYOR, Jhon R. Introdução à Análise de Erros. 2. Ed. Bookman, Porto Alegre; 
Tradução: Waldir Leite Roque, 2012.