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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 1 1. Função Linear 1.1 Função linear e sua representação gráfica Uma função cuja equação (ou lei) é da forma y = mx + n, onde m e n são números reais, é chamada função linear. Essa função é chamada linear porque sua representação gráfica é uma reta. A função linear é o modelo matemático mais simples para se relacionar duas variáveis e pode aparecer em várias situações práticas. Exemplo – Esboce o gráfico das seguintes funções: a) y = 2x + 1 b) p = - 3t + 2 c) y = 3 Observação – Chamando de o ângulo que cada reta forma com o eixo x, no sentido anti-horário e analisando os gráficos anteriores podemos concluir que: m > 0 é agudo, ou seja, < 90° m < 0 é obtuso, ou seja, > 90° m = 0 é nulo, ou seja, = 0° Como podemos observar na equação linear y = mx + n, o valor de m está relacionado diretamente com o ângulo , por esse motivo “m” será chamado de coeficiente angular ou inclinação da reta. Quando m = 0 dizemos que função linear é constante. Observe também que o valor de n indica o local onde a reta intercepta o eixo vertical. Esse coeficiente será chamado de coeficiente linear da reta. 1.2 Coeficiente angular da reta – interpretação e cálculo O coeficiente angular é o número de unidades que a reta se eleva (ou desce) verticalmente para cada unidade de variação na horizontal da esquerda para a direita. Exemplo – Observe a tabela abaixo: x y = 3x+1 0 1 1 4 2 7 3 10 Prof. Roger Rodrigues da Silva 2 A inclinação de uma reta também é chamada de taxa de variação de y em relação a x: 𝐦 = 𝚫𝒚 𝚫𝒙 De forma geral temos: Exemplo 01. Esboce o gráfico, determine o coeficiente angular e escreva a equação da reta que passa pelos pontos A(-1, -2) e B(2, 4). Exemplo 02. Escreva a equação da reta cujo gráfico é dado abaixo: Exemplo 03. Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(0, 2) e forma com o eixo x um ângulo de medida 20°. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 3 1.3 Aplicações da função linear Como a função linear é o modelo matemático mais simples para relacionar duas variáveis ela possui inúmeras aplicações. Vejamos alguns exemplos: Problema 1. O coeficiente angular máximo recomendado para uma rampa é 12 1 . Uma firma está instalando uma rampa que se eleva 0,5 m em uma distância horizontal de 7 m. A inclinação da rampa excede a recomendada? Problema 02. Na elétrica sabemos que a tensão (V) de um determinado circuito é dada por V = E – Ri, onde E é força eletromotriz, R a resistência e i a corrente elétrica. Observando o gráfico abaixo, determine os parâmetros E e R. Problema 03. A quantidade de lixo sólido gerada pelas cidades dos Estados Unidos vem aumentando a cada ano. Em 1990, esta quantidade (medida em milhões de toneladas) era 205,2 e passou para 220,2, em 1998. a) Supondo que a quantidade de lixo sólido gerada pelas cidades dos Estados Unidos seja uma função linear do tempo, obtenha a equação dessa função. b) Utilize a fórmula anterior para prever a quantidade de lixo sólido no ano de 2020. Prof. Roger Rodrigues da Silva 4 Problema 04. Uma indústria adquiriu por R$ 10.000,00 uma máquina que tem uma vida útil de 8 anos. Ao término de 8 anos, o seu valor é de R$ 2.000,00. Estabeleça uma equação linear que descreva o valor da máquina a cada ano. Faça uma representação gráfica dessa equação. Problema 05. Estabeleça uma equação linear que expresse a relação entre a temperatura em graus Celsius, e em graus Fahrenheit. Utilize o falto de que a água congela 0°C (32°F) e ferve a 100°C (212°F). Problema 06 – Com o auxílio da equação encontrada no exercício anterior, complete a tabela abaixo: °C - 10 10 20 °F 0 Problema 07. A corrente que circula por um resistor de 20 varia com o tempo de acordo com a seguinte função: i = 8610 62205 205 tse tset tset Esboce o gráfico dessa função. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 5 GABARITO 1.2 Coeficiente angular da reta – interpretação e cálculo Exemplo 1 y = 2x Exemplo 2 y = -3/2x + 3 Exemplo 3 y = 0,36x + 2 1.3 Aplicações da função linear Problema 1 1/12 ≈ 0,083 m = 1/14 ≈ 0,072 A inclinação da rampa não excede a recomendada Problema 2 E = 50 R = 5 Problema 3 a) y = 1,875x – 3.526,05 b) x = 2020 y = 261,45 (milhões de toneladas) Problema 4 y = - 1.000x + 10.000 Representar o gráfico Problema 5 y = 1,8x + 32 Problema 6 y = 0 x = -17,78 x = -10 y = 14 x = 10 y = 50 x = 20 y = 68 Problema 7 Representar o gráfico
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