CALCULO UNIDADE 02 DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO RETA

Prévia do material em texto

Determinação da equação da reta
APRESENTAÇÃO
Diante de problemas matemáticos em que o valor de uma grandeza depente de uma outra 
grandeza, é possível expressar essa relação por meio de uma função matemática. Em muitos 
casos, a interpretação da função em um determinado problema é complicada, tornando a 
representação gráfica um meio que facilita o entendimento. Por isso é importante saber 
identificar as representações gráficas, extrair características específicas e interpretá-las. 
A função afim é uma equação polinomial de grau 1, em que sua representação gráfica é uma 
reta.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você aprenderá sobre a função afim e sua representação 
gráfica. Saberá identificar os coeficientes angular e linear da reta, bem como os meios de se 
determinar a equação da reta.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Reconhecer a reta como a representação gráfica de uma função de primeiro grau.•
Identificar os coeficientes angular e linear de uma reta.•
Determinar a equação da reta por meio de dois pontos ou de um ponto e o coeficiente 
angular.
•
DESAFIO
Um problema ambiental preocupante é o aquecimento global. O aumento da temperatura média 
dos oceanos e da atmosfera do planeta, dado por meio da intensificação do efeito estufa, pode 
gerar consequências irreversíveis para a vida terrestre. O esfeito estufa é um fenômeno 
natural que controla a temperatura do planeta, garantindo o aquecimento adequado para vida na 
Terra. Uma vez intensificado, torna-se totalmente nocivo. 
Os gases de efeito estufa são fundamentais nesse contexto. De modo adequado, eles garantem a 
existência da vida, mas descontrolados, tornam-se um problema. As emissões exacrebadas de 
gases de efeito estufa, como o dióxido de carbono (CO2), proveniente principalmente da queima 
de combustíveis fósseis, estão sendo discutidas nas convenções internacionais do meio 
ambiente.
Ao pesquisar sobre o efeito estufa, você encontra na tabela abaixo a relação dos níveis de CO2 
na atmosfera entre os anos de 1990 a 2008. A partir desses dados, você precisa calcular e 
estabelecer, graficamente, uma relação linear definindo seus coeficientes angular e linear da 
reta.
Ano Nível de CO2
1990 327,3
1992 330
1994 332,7
1996 335,4
1998 338,1
2000 340,8
2002 343,5
2004 346,2
2006 348,9
2008 351,9
 
INFOGRÁFICO
Em muitas situações é necessário medir a temperatura de um determinado corpo. Por exemplo, 
na área da saúde, a temperatura do corpo humano acima da sua temperatura normal pode indicar 
grandes riscos à saúde. 
 
Ao medir a temperatura, utiliza-se um aparelho chamado termômetro, que é 
graduado em escalas termométricas. As escalas são dadas em uma variação predeterminada e é 
possível correlacioná-las. Em geral, a relação entre escalas termométricas é linear, facilmente 
descrita por uma função de primeiro grau. Assim, é possível correlacionar suas medidas e gerar 
um gráfico de relação.
No Infográfico a seguir, você aprenderá a correlacionar duas das três escalas termométricas mais 
utilizadas: a escala Celsius e a Fahrenheit; e ainda estabelecer um gráfico dessa função.
CONTEÚDO DO LIVRO
Estabelecer uma relação entre grandezas é basicamente determinar uma função entre elas. 
Correlacionar grandezas por meio de uma equação muita vezes é primordial na solução de 
problemas. A equação matemática é uma forma de caracterizar uma situação. Para melhor 
entendimento dessas equações, o uso de um gráfico pode ser a solução. Identificar uma função e 
caracterizar o tipo de gráfico relacionado é um conhecimento importante.
Na obra Cálculo (aplicado à saúde), base teórica desta Unidade de Aprendizagem, leia o 
capítulo Determinação da equação da reta, em que você irá conhecer umas das principais 
funções polinomiais: a função afim. Utilizando essa relação linear, conseguirá gerar o gráfico da 
função, que é uma reta, e ainda determinar seus coeficientes angular e linear.
Boa leitura!
CÁLCULO 
APLICADO 
À SAÚDE
Claudia Abreu Paes
Determinação da 
equação da reta
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Reconhecer a reta como a representação gráfica de uma função de 
1º grau.
 � Identificar os coeficientes angular e linear de uma reta.
 � Determinar a equação da reta por meio de dois pontos ou de um 
ponto e o coeficiente angular.
Introdução
Um dos estudos mais relevantes na área da matemática é o das fun-
ções. Em diversas situações, sempre há uma definição que correlaciona 
grandezas, determinando uma regra que associe uma variável a outra. 
Ao quantificar o custo de determinado produto, calcular o espaço 
em função do tempo (estabelecendo o conceito de velocidade) ou es-
tabelecer uma relação entre escalas termométricas, estamos criando 
uma função. São inúmeras as formas de se correlacionar variáveis e, 
diretamente, especificar uma função.
Muitas vezes, a forma mais interessante de representar uma função é 
graficamente. Interpretações de dados, por exemplo, podem ser facilita-
das por meio de um gráfico. Neste capítulo, você vai estudar o conceito 
de função afim, a reta que, graficamente, é característica dessa função, 
bem como seus coeficientes angular e linear. 
Função afim
Entre as funções polinomiais que existem, a função polinomial de 1º grau, 
também denotada como função afim, é uma das mais conhecidas. Uma função 
polinomial é do tipo:
y = f(x) = anx
n + an – 1x
n – 1 + … + a2x
2 + a1x
1 + a0
Onde:
n = número inteiro positivo ou nulo, determina o grau do polinômio
x = variável
a0, a1, ..., an – 1, an = coeficientes
anx
n, an – 1x
n – 1, ..., a2x
2, a1x
1, a0 = termos
A função afim é a função polinomial de grau 1. Sua lei de formação é:
y = f(x) = ax + b
Onde a e b são coeficientes, x é a variável (domínio), e y é a imagem. 
O conjunto do domínio e contradomínio é o conjunto dos números reais R.
Há dois casos particulares no caso da função afim, que são conhecidos 
como:
 � função constante, quando a função é do tipo f(x) = b;
 � função linear, quando a função é do tipo f(x) = ax.
Como determinar o valor de uma função afim?
Dada uma função f = R → R, de 1° grau f(x) = ax + b, para calcular o valor 
de uma função afim para determinado x, por exemplo x = x0, basta aplicar a 
função: f(x0) = ax0 + b. 
Dada uma função f(x) = 2x + 1, calcule f(2). 
f(x) = 2x + 1
f(2) = 2 ∙ 2 + 1 = 4 + 1 = 5
f(2) = 5
Cada ponto correspondente a x → y é chamado de par ordenado. Um conjunto 
de pares ordenados descreve um gráfico. Veja que, no exemplo anterior, x = 2 e y = 5 
representam um par ordenado (2,5).
Determinação da equação da reta2
Gráfico de uma função afim
Funções podem ser representadas em forma gráfica. Muitas vezes, é a melhor 
maneira de se interpretar uma dada situação. Para entendermos a construção 
de um gráfico e a sua interpretação, é necessário utilizar o plano cartesiano.
O plano cartesiano é um sistema de eixos ortogonais. O eixo horizontal é 
o eixo das abscissas, onde marcamos os valores de x (comumente chamado 
eixo de x). O eixo vertical é o eixo das ordenadas, onde marcamos os valores 
de y (comumente chamado eixo dos y). No cruzamento dos eixos, temos a 
origem, o marco zero. 
O plano cartesiano é dividido em quatro quadrantes:
 � 1° quadrante: x > 0 e y > 0;
 � 2° quadrante: x < 0 e y >0;
 � 3° quadrante: x < 0 e y < 0;
 � 4° quadrante: x > 0 e y < 0.
Na Figura 1, observe o plano cartesiano e seus quadrantes.
Figura 1. Plano cartesiano e seus quadrantes.
Fonte: BaMic_illustrations/Shutterstock.com.
Y
X0
I
(+ , +)
III
(– , –)
II
(– , +)
IV
(+ , –)
3Determinação da equação da reta
Construção do gráfico
Para melhor entendimento, vamos construir um gráfico: dada uma função 
f: A → B, cuja a lei de formação é y = 2x + 1. Sendo y = R → R, esco-
lhendo para exemplo x = (0,1,2,3), para determinar os pontos (x,y), calculamos 
y = 2x + 1, para todos os pontos escolhidos para x.Veja o cálculo no Quadro 1.
X y = 2x + 1 (x,y)
0 2 ∙ 0 + 1 = 1 (0,1)
1 2 ∙ 1 + 1 = 3 (1,3)
2 2 ∙ 2 + 1 = 5 (2,4)
3 2 ∙ 3 + 1 = 7 (3,7)
Quadro 1. Cálculo dos pontos de uma reta
Para gerar o gráfico, basta marcar os pontos utilizando o plano cartesiano. 
Cada par ordenado (x,y) representa um ponto. O gráfico é definido por, pelo 
menos, dois pontos. Veja, na Figura 2, o gráfico que representa a função y = 2x + 1.
Figura 2. Gráfico de uma função.
Grá�co da função y = 2x + 1
8
7
6
5
4
3
3
2
2
1
1
0
0
Determinação da equação da reta4
O gráfico de uma função pode ter formas variadas. A curva que descreve 
a função está relacionada com o tipo de função. Observe que os pontos ob-
tidos no exemplo gráfico pertencem a uma mesma reta. Quanto mais pontos 
calcularmos, melhor definiremos uma reta. De modo geral, o gráfico de uma 
função afim é uma reta.
O gráfico de qualquer função constante, do tipo y = 1, será uma reta 
horizontal. Observe a Figura 3.
Figura 3. Gráfico de uma função constante.
Grá�co da função y = 2
3
2
1
1 2 3
0
0
x
0
1
2
2
2
2
2
y = 2 (x,y)
(0,2)
(1,2)
(2,2)
(3,2)3
5Determinação da equação da reta
O gráfico de qualquer função linear, do tipo y = 2x, será conforme a 
Figura 4.
Figura 4. Gráfico de uma função linear.
7
6
5
4
3
3
2
2
1
1
0
0
Grá�co da função y = 2x
x
0
1
2
2 . 0 = 0
2 . 1 = 2
2 . 2 = 4
2 . 3 = 6
y = 2x (x,y)
(0,0)
(1,2)
(2,4)
(3,6)3
Coeficientes angular e linear de uma reta
Na função polinomial de 1° grau y = f(x) = ax + b, os coeficientes a e b são 
especiais no estudo da reta. Esses coeficientes da função afim, a e b, são 
chamados de coeficiente angular e coeficiente linear, respectivamente. Uma 
vez conhecidos os coeficientes de uma reta, é possível determinar o gráfico 
que representa a função.
 � Coeficiente angular: com papel fundamental na equação da reta, o
coeficiente angular expressa a inclinação da reta em relação ao eixo
das abscissas (eixo dos x). 
 � Coeficiente linear: caracteriza o ponto onde a reta intercepta o eixo
das coordenadas (eixo dos y).
Determinação da equação da reta6
Conhecendo quaisquer dois pontos de uma reta, é possível determinar o 
coeficiente angular. Dado um ponto P1 = (x1,y1) e P2 = (x2,y2), basta calcular 
a razão entre a variação de y e variação de x para encontrar a inclinação 
(CORREA, 2012). A variação de x é determinada por x2 – x1, a variação de y 
é calculada por y2 – y1. Observe, graficamente, na Figura 5.
Figura 5. Cálculo do coeficiente angular.
Fonte: Adami, Dorneles Filho e Lorandi (2015).
∆y
∆x
x1 x2 x
y
y2 = f(x2)
y1 = f(x1)
Para representar uma variação, é utilizada uma letra grega, em maiúsculo, chamada 
delta ∆. Observe que, no estudo da inclinação da reta, o símbolo é utilizado para 
representar a variação das variáveis x e y.
7Determinação da equação da reta
Para determinar o coeficiente angular, basta calcular: 
Para encontrar o coeficiente linear, basta calcular o ponto em que x = 0. 
Em y = ax + b, quando x = 0, y = b.
Veja um exemplo para a determinação da equação de uma reta conhecendo o gráfico 
da função e calculando os coeficientes angular e linear.
Vamos calcular o coeficiente angular e linear de uma função, que está representada 
no gráfico a seguir.
Grá�co da função
–4
–3
–3
–2
–2
–1–1
0
0
1
1
2
2
3
3
4
5
6
Ao identificar ao menos dois pontos no gráfico, é possível calcular os coeficientes da 
reta. No gráfico anterior, podemos escolher os pontos P1 = (1,3) e P2 = (2,5), e calcular 
a razão entre a variação de y e a variação de x.
Determinação da equação da reta8
Para determinar o coeficiente linear, basta identificar, no gráfico, onde a reta intercepta 
o eixo das coordenadas (eixo dos y), ou seja, onde x = 0. Podemos observar que a reta 
corta o eixo y no ponto (0,1), logo, o coeficiente linear é igual a a e b = 1.
Conhecendo o coeficiente angular α e o coeficiente linear b, e substituindo na lei 
de formação da função, temos:
f(x) = ax + b
Sendo a = 2 e b = 1,
f(x) = 2x + 1
Função crescente e função decrescente
Uma reta pode ser caracterizada como função crescente e decrescente. Uma 
função é crescente quando o valor de x aumenta, o valor de y também aumenta 
sempre (MATEMÁTICA DIDÁTICA, 2018). Uma função é dita decrescente 
quando, aumentando o valor de x, o valor de y diminui.
Conhecendo a equação da reta, podemos identificar se uma reta é crescente 
ou decrescente pelo sinal do coeficiente linear, que respeita a seguinte relação:
No exemplo anterior, a função é crescente, pois o coeficiente angular é 
positivo. Convertendo o coeficiente angular positivo para um valor negativo, 
veja como fica o gráfico na Figura 6.
9Determinação da equação da reta
Figura 6. Função decrescente.
Fonte: Adami, Dorneles Filho e Lorandi (2015).
Grá�co da função y = –2x + 1 
6
5
4
3
3
2
2
1
1
0
–1–1
–2
–2
–3
–3
–4
0
Repare que, ainda que os valores para x continuem aumentando, 
x = (–2,–1,0,1,2), os valores de y diminuem, y = (5,3,1,–1,–3).
Equação da reta por meio de dois pontos 
ou de um ponto e o coeficiente angular
A equação da reta pode ser identificada por meio de sua representação gráfica, 
como vimos no tópico anterior, ou conhecendo, ao menos, dois pontos, ou um 
ponto e o coeficiente angular. Veja, a seguir, um exemplo em que são informa-
dos dois pontos pertencentes a uma mesma reta, e a forma de se determinar 
a equação a partir desses dados.
Determinação da equação da reta10
Vamos calcular os coeficientes angular e linear de uma função conhecendo apenas 
dois pontos. 
Fazem parte de uma mesma reta os pontos P1 = (2,5) e P2 (3,7). De que forma deter-
minamos a equação da reta?
Em primeiro lugar, podemos determinar o coeficiente angular por meio do cálculo 
da razão entre a variação de y e a variação de x.
Uma vez calculado o coeficiente angular, temos a seguinte equação parcial da reta: 
y = f(x) = 2x + b
Para determinar o coeficiente linear, basta substituir um dos pontos na equação 
parcial (CORREA, 2012). Veja: 
y = f(x) = 2x + b
Calculando a função no ponto P1 = (2,5), temos:
f(2) = 5
f(1) = 2 ∙ 2 + b = 5
4 + b = 5
b = 5 – 4
b = 1
Conhecendo o coeficiente angular α e o coeficiente linear b, e substituindo na lei 
de formação da função, temos:
f(x) = ax + b
Sendo a = 2 e b = 1,
f(x) = 2x + 1
Agora, veremos um exemplo em que, com o conhecimento do coeficiente 
linear de uma reta e um ponto P pertencente à mesma reta, é possível deter-
minar a equação da reta.
11Determinação da equação da reta
Uma reta tem inclinação igual a a = 2. Faz parte dessa mesma reta o ponto P1 = (–2, –3). 
De que forma determinamos a equação da reta?
Esse caso é mais simples, uma vez dado o coeficiente angular a = 2, podemos 
escrever a equação parcial da reta da seguinte forma:
y = f(x) = 2x + b
Para determinar o coeficiente linear, basta substituir o ponto P1 na equação parcial. 
Assim: 
y = f(x) = 2x + b
Calculando a função no ponto P1 = (–2, –3), temos:
f(–2) = –3
f(–2) = 2 ∙ (–2) + b = –3
–4 + b = –3
b = –3 + 4
b = 1
Conhecendo o coeficiente angular α e o coeficiente linear b, e substituindo na lei 
de formação da função, temos:
f(x) = ax + b
Sendo a = 2 e b = 1,
f(x) = 2x + 1
É importante saber as operações com sinais. Acesse o link a seguir para conhecer um 
jogo de sinais que facilita o aprendizado das regras matemáticas quando se trabalha 
com sinais. 
https://goo.gl/94JJkV
Determinação da equação da reta12
Aplicação na área da saúde
Em muitas situações em que é aplicada a função de 1° grau na área da saúde, 
temos a representação gráfica de diversos comportamentos simultâneos, 
podendo ser representado por várias retas juntas em um mesmo gráfico. 
A seguir, veremos os dados apresentados em um estudo sobre a perda de peso de um 
paciente. Nesse exemplo, temos um homem de 57 anos, com peso inicial de 99,25 kg 
e altura de 1,54 m, que buscou conselho nutricional para perder peso. 
Ao longo de um período, sua perda de peso teve o comportamento representadopor seguimentos de reta, como apresentado no gráfico a seguir. Cada seguimento é 
representado por uma função de 1° grau (Figura 7).
110
100
90
80
70
60
Peso em kg
09/10/12 20/12/12 04/03/13 17*05/13 30/07/13 13/10/13
• 07.11.12: 99.25 kg
• 09.01.13: 91.85 kg
• 13.03.13: 83.90 kg
• 11.09.13: 67.85 kg
Figura 7. Dados e gráfico representando a perda de peso de um paciente.
Fonte: Seca ([201-?]).
Para exercício, vamos determinar a equação da reta do último trecho de reta repre-
sentado no gráfico na Figura 7. Esse trecho refere-se aos últimos seis meses, período 
em que ocorreu a maior perda de peso. Vamos escolher dois pontos, inicial e final, 
para a determinação da equação. 
13Determinação da equação da reta
ADAMI, A. M.; DORNELES FILHO, A. A.; LORANDI, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre: Book-
man, 2015.
CORREA, A. Analisando a função afim. Aprenda Matemática. 2012. Disponível em: 
<http://aprendamatematica.com/analisando-a-funcao-afim/>. Acesso em: 4 dez. 2018.
MATEMÁTICA DIDÁTICA. Variação de sinal da função polinomial do 1° grau. c2018. Dispo-
nível em: <http://matematicadidatica.com.br/FuncaoAfimVariacaoSinal.aspx>. Acesso 
em: 4 dez. 2018.
SECA. Perda de peso saudável: relatório de caso. [201-?]. Disponível em: <https://mbca.
seca.com/pt_br/case-reports/diabetology.html>. Acesso em 25 nov. 2018.
Leituras recomendadas
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 1.
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. v. 1.
Considerando a contagem dos meses a partir do primeiro ponto do trecho esco-
lhido, o mês de março será nosso mês inicial, ou seja, o mês zero. O último ponto, em 
setembro, será nosso mês seis. 
Dessa maneira, temos o ponto referente ao mês de março P1 = (0, 83,90), e o ponto 
referente ao mês de setembro P2 = (6, 67,85), onde x = mês e y = peso. A partir disso, 
podemos estabelecer a função correspondente, calculando, primeiramente, o coe-
ficiente angular:
Com o valor do coeficiente angular, podemos escrever a equação parcial:
y = –2,7x + b
Para encontrar o coeficiente linear, basta calcular a função em x = 0. Esse ponto é 
exatamente o P1 = (0, 83,90). Então, temos b = 83,90. 
A reta correspondente a esse trecho final é a seguinte:
y = –2,7x + 83,90
Observe que o coeficiente angular é negativo, o que é característico de uma reta 
decrescente.
Determinação da equação da reta14
Conteúdo:
DICA DO PROFESSOR
O estudo da função afim é aplicado em diversas áreas do conhecimento. Nos casos em que a 
relação entre grandezas se comporta de maneira linear, o conceito de função afim pode ser 
utilizado. 
 
Na física, há muitos exemplos, um deles é no estudo da cinemática, que estuda o 
comportamento do movimento dos corpos. Os corpos podem se deslocar descrevendo diversos 
tipos de movimento. Um movimento simples de se entender é o movimento retilíneo uniforme, 
que com velocidade constante o corpo estabelece uma função linear entre o espaço e o tempo.
Na Dica do Professor, você vai ver a aplicação do conceito da função de 1° grau no estudo 
do movimento retilíneo uniforme.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
EXERCÍCIOS
1) Determine a razão entre a variação de y e a variação de x, dada a função y = 3x + 6.
A) -3
B) -2
C) 1/3
D) -1/3
E) 3
2) 
Na função y = 9,5x + 0,75, em que ponto a reta intercepta o eixo y?
A) P = (9,5; 0,75)
B) P = (9,5; 10,75)
C) P = (0; 0,75)
D) P = (9,5; 0)
E) P = (0, 0)
3) Dada a função f(x) = -4/3x – 3, a função é crescente ou decrescente? Por quê?
A) Crescente, pois a > 0.
B) Crescente, pois a < 0.
C) Decrescente, pois b < 0.
D) Crescente, pois a < 0 e b < 0.
E) Decrescente, pois a < 0.
4) Na produção de um medicamento, uma empresa tem o custo fixo de R$ 15,00 mais 
um custo variável de R$ 2,00 por unidade. Sendo x o número de um medicamento 
unitário produzido, determine a lei de formação que representa o custo total da 
produção de x medicamentos.
A) F(x) = 2x
B) F(x) = 15 + 2x
C) F(x) = 13x
D) F(x) = 17x
E) F(x) = 17-2x
5) Um analgésico custa R$ 0,50 de preço fixo, mais R$ 0,75 por comprimido produzido. 
Em uma cartela com 10 comprimidos, qual é o preço total de produção?
A) O custo total é de R$ 7,45.
B) O custo total é de R$ 8,00.
C) O custo total é de R$ 7,00.
D) O custo total é de R$ 8,50.
E) O custo total é de R$ 8,45.
NA PRÁTICA
Surfactante, presente praticamente em todas as residências, é um dos componentes mais 
importantes na composição da maioria dos detergentes e sabões; seu emprego é amplo devido à 
sua eficácia e ao baixo custo. 
O uso amplo dos detergentes tem chamado a atenção pelos problemas acarretados ao meio 
ambiente. Lagos e oceanos recebem quantidades expressivas de sabão, acumulando espuma em 
sua superfície, reduzindo a areação, aumentando a morbidade de peixes, diminuindo a 
intensidade de luz nos corpos d'água e prejudicando a fotossíntese das plantas subquáticas. 
Alternativas estão sendo exploradas para substituir surfactantes agressivos ao meio. É o caso 
dos ramnolipídeos, produto do processo metabólico de batérias, que possui características 
surfactantes, baixa toxicidade e é biodegradável. A produção do meio de cultivo estabelece uma 
relação linear com o tempo.
Neste Na Prática, você entenderá o equacionamento da concentração de ramnolipídeos em 
função do tempo, e o gráfico que a representa.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Plotador matemático MAFA
Pratique a interpretação gráfica por meio de uma calculadora on-line. Com essa ferramenta é 
possível plotar diversos gráficos simultaneamente.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Movimento retilíneo uniforme
Amplie seu conhecimento sobre cinemática. Veja no artigo a seguir um resumo sobre o 
movimento retilíneo uniforme.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Função afim
Veja no vídeo a seguir uma definição de função afim, exemplos e sua aplicação em um gráfico.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!