introduçao a algebra linear

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Júlio César de Jesus Onofre
Introdução
Neste capítulo, continuaremos nossa abordagem relacionada à ál-
gebra matricial e, consequentemente, aos conceitos base da álgebra 
linear. Em particular, trataremos dos sistemas de equações lineares 
e alguns métodos de resolubilidade dos mesmos. Dentre os méto-
dos, serão abordados os de escalonamento e a regra de Cramer. 
Métodos estes muito aplicados nos estudos referentes ao tema e 
tratados aqui por meio de objetos de seu conhecimento, tais como 
as matrizes e suas operações, bem como os determinantes.
Objetivos
Ao final deste capítulo, esperamos que você seja capaz de:
• verificar quando uma determinada equação é linear ou não;
• determinar quando um conjunto de números é uma solu-
ção de sistema de equações lineares;
• relacionar a abordagem de sistemas de equações lineares 
com conceitos vistos nas unidades anteriores, como é o 
caso de matrizes e de determinantes;
Sistemas de 
equações	lineares:	
definições,	métodos	
de resolubilidade e 
aplicações
Capítulo
3
76 UNIUBE
• aplicar os métodos de escalonamento e a regra de Cra-
mer, para determinar soluções de sistemas lineares;
• conceituar e determinar soluções, referentes aos sistemas 
de equações lineares homogêneos;
• analisar e resolver situações-problema diversas, envol-
vendo sistemas de equações lineares.
Esquema 
• Equações Lineares
• Sistemas de Equações Lineares
• Regra de Cramer
• Sistemas Equivalentes
• Operações Elementares
• Sistemas Escalonados
• Aplicações Relacionadas a Sistemas Lineares
• Sistemas Lineares Homogêneos
• Resumo
• Atividades
• Referências
	3.1	 Equações	lineares
Primeiramente, você sabe o que é uma equação linear?
Pois bem, de um modo geral temos a seguinte definição:
UNIUBE 77
 IMPORTANTE! 
Equação linear é toda equação da forma bxaxaxaxa nn =++++ ...332211 ,
em que 1 2 3, , ,..., na a a a são números reais, que recebem o nome de coefi-
cientes das incógnitas 1 2 3, , ,..., nx x x x , e b é um número real chamado de 
termo independente.
Veja, a seguir, alguns exemplos de equações lineares:
Exemplo 1: 3 5 4 10x z y+ − =
Exemplo 2: 5 6 5 5 2t g h z− + − = − −
Você deve perceber que o Exemplo 1 se trata de uma equação linear, pois 
os coeficientes 3,5 3,5 e 4− são números e referem-se respectivamente às 
incógnitas ,x z ,x z e y , cujo termo independente é o número real 10 . Já o 
Exemplo 2, antes de identificarmos seus coeficientes, suas incógnitas e 
seu termo independente, necessitará de uma transformação algébrica. 
Veja:
5 6 5 5 2 5 6 5 2 5t g h z t g h z− + − = − − → − + − + = −
E, assim, seus coeficientes serão –5, 6, –5 e 2 , com respectivas incóg-
nitas t, g, h e z , e termo independente 5− .
Observe, agora, algumas equações que não são lineares.
Exemplo 1: 3 3 5sx z x− + =
Exemplo 2: 
2 5 6 6 j r t− = −
 IMPORTANTE! 
Equação linear é toda equação da forma bxaxaxaxa nn =++++ ...332211 ,
em que 1 2 3, , ,...,1 2 3, , ,...,1 2 3 na a a a1 2 3a a a a1 2 3, , ,...,a a a a, , ,...,1 2 3, , ,...,1 2 3a a a a1 2 3, , ,...,1 2 3 são números reais, que recebem o nome de coefi-
cientes das incógnitas 1 2 3, , ,...,1 2 3, , ,...,1 2 3 nx x x x1 2 3x x x x1 2 3, , ,...,x x x x, , ,...,1 2 3, , ,...,1 2 3x x x x1 2 3, , ,...,1 2 3 , e b é um número real chamado de 
termo independente.
78 UNIUBE
Exemplo 3: 3 4 8h d f− = − +
Nesses casos, o Exemplo 1 não será uma equação linear, pois o coefi-
ciente da incógnita x (ou incógnita s ) é igual a s (ou x ), ou seja, não é 
necessariamente um número real. Já o Exemplo 2 não é uma equação 
linear, pois a incógnita j está elevada à potência 2 e, pela definição 
dada anteriormente, todas as potências das incógnitas devem ser 
iguais a 1 e, no Exemplo 3, podemos pensar na potência da incógnita h 
sendo 1
2
, ou seja ( )1
2h h=
 
e pelo mesmo motivo do Exemplo 2, esta 
também é não linear.
 PARADA PARA REFLEXÃO 
Será que você conseguiria exemplificar uma equação linear e uma não linear 
neste momento? Certamente sim, não é mesmo? Procure então estabelecer 
algumas equações lineares e não lineares diferenciando-as e justificando a 
linearidade e a não linearidade de cada uma delas.
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 1
Determine duas soluções para a equação linear 2 3 1x y z+ + = .
Agora vejamos o que é um sistema de equações lineares (ou simples-
mente sistema linear), objeto principal de estudo desta unidade.
 PARADA PARA REFLEXÃO 
Será que você conseguiria exemplificar uma equação linear e uma não linear 
neste momento? Certamente sim, não é mesmo? Procure então estabelecer 
algumas equações lineares e não lineares diferenciando-as e justificando a 
linearidade e a não linearidade de cada uma delas.
AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 1
Determine duas soluções para a equação linear 2 3 1x y z2 3 1x y z2 3 1+ + =2 3 1+ + =2 3 1x y z+ + =x y z2 3 1x y z2 3 1+ + =2 3 1x y z2 3 1.
UNIUBE 79
	3.2	 Sistemas	de	equações	lineares
Sistemas de equações lineares, ou simplesmente sistemas lineares, 
são um conjunto de equações lineares, ou seja, é a reunião de duas ou 
mais equações lineares. Logo, sua representação geral pode ser dada 
da seguinte forma:
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
...
...
...
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
+ + + + =
 + + + + =


 + + + + =
    
Neste caso, temos um sistema de equações lineares de m equações e n
incógnitas, já que, para cada um dos m termos independentes, 1 2, ,..., mb b b , 
temos uma equação e para cada equação temos n incógnitas 1 2, ,..., nx x x .
A solução de um sistema linear é a n-dupla ordenada de números reais 
( )1 2 3, , ,..., nr r r r , que é, simultaneamente, solução de todas as equações 
do sistema.
Podemos relacionar um sistema de equações lineares por meio de uma 
equação matricial da seguinte forma:
Considere as matrizes 
11 12 1
21 22 2
31 32 3
1 2
...
...
...
...
...
n
n
n
m m mn
a a a
a a a
A a a a
a a a
 
 
 
 =
 
 
  
  
, 
1
2
3
n
x
x
X x
x
 
 
 
 =
 
 
  

 e a matriz 
1
2
3
m
b
b
B b
b
 
 
 
 =
 
 
  

,
80 UNIUBE
Nessas condições, resolver o sistema de equações lineares apresentado 
se reduziria à resolução da equação matricial AX B= , fato este que po-
derá ser verificado ao efetuar a multiplicação da matriz A pela matriz 
X e igualando o resultado à matriz B.
De fato, observe:
11 12 1 1 11 1 12 2 1
21 22 2 2 21 1 22 2 2
31 32 3 3 31 1 32 2 3
1 2 1 1 2 2
...
...
...
...
...
Como 
n n n
n n n
n n n
m m mn n m m mn n
a a a x a x a x a x
a a a x a x a x a x
A X a a a x a x a x a x
a a a x a x a x a x
A
+ + +     
     + + +     
⋅ = ⋅ = + + +     
     
     
     + + +     



    

11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
31 1 32 2 3 3
1 1 2 2
, temos que .
n n
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
X B a x a x a x b
a x a x a x b
+ + +   
   + + +   
⋅ = =+ + +   
   
   
   + + +   



 

E usando a igualdade de matrizes, obtemos equivalentemente o sistema 
inicial:
üüüüü
üüüüü
1 1 2 2 3 3
...
...
...
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
+ + + + =
 + + + + =


 + + + + =
    
Vejamos alguns exemplos de sistemas lineares e de soluções de siste-
mas lineares.
UNIUBE 81
Exemplo 1:
Considere o sistema de equação linear 
7
2 5 32
x y
x y
+ =
 + =
. Pode-se perceber 
que o par ordenado ( )1,6 é solução para o sistema, já que:
 1 6 7
2 1 5 6 2 30 32
+ =
⋅ + ⋅ = + =
Poderíamos pensar nessa situação por outro aspecto, que é o seguinte: 
Se procuramos os valores que satisfazem simultaneamente às equações 
de reta 7x y+ = e 2 6 32x y+ = , o que queríamos seria a determinação 
do ponto de interseção de ambas retas, e assim poderíamos utilizar 
qualquer meio algébricoa Propriedade 5, já que a 1
4 3 2 2 3 2 2 3 2
2 2 2
2 1 24 2 2 2
2 3 2
2 1 1 1
2 1 2
y y
y y y y y y y y y y
y y
y y
= ⋅ = ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ =

3
ª e 3ª colunas são iguais.
2 0 0y ⋅ =
 

2 2
3 3 2
Usando a Propriedade 3 na 1ªcoluna Usando a Propriedade 3 na 2ªcoluna2 2
2
Usando a Propriedade 3 na 2ª linha Usando a Propriedade 5, já que a 1
4 3 2 2 3 2 2 3 2
2 2 2
2 1 24 2 2 2
2 3 2
2 1 1 1
2 1 2
y y
y y y y y y y y y y
y y
y y
= ⋅ = ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ =

3
ª e 3ª colunas são iguais.
2 0 0y ⋅ =
c) 
2 1 2 1
2 2 3 1
4 3 5 2
6 7 6 3
− −


Usando a Propriedade 3 na 1ªcoluna
Usando a Propriedade 5, já que as colunas 1ª e 4ª são iguais.
2 1 2 1 1 1 2 1
2 2 3 1 1 2 3 1
2
4 3 5 2 2 3 5 2
6 7 6 3 3 7 6 3
2 0 0
− − − −
= ⋅ =
= = ⋅ =
d) 
1 14 15 0 15 8 7
2 13 16 0 16 9 6
3 12 17 0 17 10 5
4 11 18 0 18 11 4
5 10 19 0 19 12 3
6 9 20 0 20 13 2
7 8 21 0 21 14 1
UNIUBE 139

Usando a propriedade 2, já que a 4ª coluna é nula
1 14 15 0 15 8 7
2 13 16 0 16 9 6
3 12 17 0 17 10 5
04 11 18 0 18 11 4
5 10 19 0 19 12 3
6 9 20 0 20 13 2
7 8 21 0 21 14 1
=
Atividade 8
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
11 12 13 11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33 31 32 33
11
5
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
a a a a a a
A a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a a a a
A a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a
 
 = → = 
 
 
 
 = → = ⋅ = 
 
 
= ⋅ ⋅
( )
12 13 11 12 13
3
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
2 2 2 2 .5 8 5 40
2 2 2
det 2 40 40 3 43 43
a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
A x x x
= ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ =
= → = − → = → =
Atividade 9

Usando a Propriedade 1
det det det det det det det det 0t t t tA B A B A A B B+ − − = − + − =
Atividade 10
( )
( )
4 12 2
2
2 2 2
0 1 2 3
1 2 3 1 2 3
0 1 2 0
54 . 1 1 2 0 54 1 2 0 54
0 1 0 0
1 0 0 1 0 0
1 0 0
6 54 6 54 9 3 ou 3.
Assim, os valores de que satisfazem a equação matricial serão: 3 e 3.
x x
x
x x x x x
x x x
+= → − = → − = →
→ − ⋅ − = → = → = → = − =
= − =
140 UNIUBE
Atividade 11
Passo 1
2 3 5 2 1 2
4 1 1 1 2 1
5 2 3 7 3 5
4 3 35 2 6 15 4 3 25 28 7 26
8 1 7 4 2 3 8 1 5 14 5 4
10 2 21 5 4 9 10 2 15 29 10 3
A B
− − −   
   ⋅ = − ⋅ =   
   −   
− − + − − + − +   
   = − + − + − − + = −   
   − + − + − − +   
Passo 2
( ) 5 4 14 4 14 5
det 28 7 26 1540 1106 130 304
10 3 29 3 29 10
A B
− −
⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ = − − =
Passo 3
( ) 1 1 4 1 4 1
det 2 3 5 2 21 15 8
2 3 5 3 5 2
A
− −
= − ⋅ + ⋅ + ⋅ = + − =
− −
Passo 4
( ) 1 2 2 2 2 1
det 7 3 5 35 12 15 38
2 1 1 1 1 2
B
− −
= ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + =
Passo 5
( ) ( )det det 8 38 304 e det 304 det det detA B A B A B A B⋅ = ⋅ = ⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅
Atividade 12
( ) 125det det det 125 5 det det det 5
5
AB A B B B B= ⋅ → − = ⋅ → = − → = −
UNIUBE 141
Atividade 13
( )2
Como det det temos:
det det 121 det det 121 det 121 det 11
t
t
A A
A A A A A A
=
⋅ = → ⋅ = → = → = ±
Atividade 14
a) 
1 2 3
0 1 2
2 3 1
A
 
 =  
 − 
2 3 1 1 1 2
det 0 1 2 5 14 9
3 1 2 3 2 3
A = − ⋅ + ⋅ − ⋅ = − + =
− −
Como det 0A ≠ , A é inversível, ou seja, A é uma matriz não sin-
gular.
b) 
2 2 4
1 5 2
3 7 2
B
− 
 =  
 − 
5 2 1 2 1 5
det 2 2 4 48 16 32 0
7 2 3 2 3 7
B = ⋅ − ⋅ − ⋅ = − + + =
− −
Como det 0B = , B não é inversível, ou seja, B é uma matriz singular.
c) 
1 0 1 0
3 5 1 4
2 4 2 2
0 0 2 0
C
 
 − =
 −
 
 
( )
0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1
det 0 5 1 4 0 3 1 4 2 3 5 4 0 3 5 1
4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2
1 0 0
2 3 5 4 2 6 12
2 4 2
C = − ⋅ − + ⋅ − − ⋅ + ⋅ − =
− − −
= − ⋅ = − ⋅ − =
−
142 UNIUBE
Como det 0C ≠ , C é inversível, ou seja, C é uma matriz não sin-
gular.
d) 
1 6
2 4
D
 
=  
 
det 4 12 8D = − = −
Como det 0D ≠ , D é inversível, ou seja, D é uma matriz não 
singular.
Capítulo 2 – Atividades de fim de capítulo
Atividade 1
Alternativa correta: letra e.
Atividade 2
a) det 5A = − ; c) det 14A = ;
b) det 0A = ; d) det 12A = − .
Atividade 3
a) 
38 22
.
3 8
A B  
=  
 
;
b) det 17A = − e det 14B = − ;
c) ( )det . 238A B = ;
d) ( ) ( )det .det 17. 14 238 det .A B A B= − − = = .
UNIUBE 143
Atividade 4
a) det 10A = e det 3B = − ;
b) 1
1 1
10 5
2 1
5 5
A−
 
 
=  
 − 
 
 e 1
1 20
3 3
1 21
3 3
2 10
3 3
B−
 − 
 
 = − 
 
 − 
 
.
Atividade 5
a)
Cofator de 11 2a = ( )1 1
11
2 1 3
1 5 3 1 70
6 2 4
+⇒ = − = −
−
A
Cofator de 12 0a = ( ) ( )1 2
12
1 1 3
1 4 3 1 78 78
3 2 4
+
−
⇒ = − = − − =
−
A
Cofator de 13 1a = ( )1 3
13
1 2 3
1 4 5 1 13
3 6 4
+
−
⇒ = − = −A
Cofator de 14 2a = ( ) ( )1 4
14
1 2 1
1 4 5 3 71 71
3 6 2
+
−
⇒ = − = − = −
−
A
b) 
( ) ( ) ( )
11 11 12 12 13 13 14 14 11 12 13 14
11 13 14
det 2 0 1 2
2 2 2 70 13 2 71 295
= + + + = + + + =
= + + = ⋅ − + − + ⋅ − = −
A a A a A a A a A A A A A
A A A
144 UNIUBE
Atividade 6
a) det 0A = , já que sua 1ª coluna é nula.
b) 

2ª linha igual a 3ª linha
2 5 6 2 5 6
det 1 2 1 3 1 2 1 3 0 0
3 6 3 1 2 1
B = − = ⋅ − = ⋅ =
− −
c)
( ) [ ] ( )
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 3 2 1 1 3 2
det 2 2 5 1 3 2 2 1 1 2
0 5 2 0 0 5 2 0
1 3 4 1 2 4
2 4 6 8 1 2 3 4
2 5 4 2 7 2 20 14 2 34 68
C
 
− −  = = ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ − = 
  
 = ⋅ − ⋅ + ⋅ − = ⋅ − − = ⋅ − = − 
( ) [ ] ( )
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 3 2 1 1 3 2
det 2 2 5 1 3 2 2 1 1 2
0 5 2 0 0 5 2 0
1 3 4 1 2 4
2 4 6 8 1 2 3 4
2 5 4 2 7 2 20 14 2 34 68
C
 
− −  = = ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ − = 
  
 = ⋅ − ⋅ + ⋅ − = ⋅ − − = ⋅ − = −  ( ) [ ] ( )
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 3 2 1 1 3 2
det 2 2 5 1 3 2 2 1 1 2
0 5 2 0 0 5 2 0
1 3 4 1 2 4
2 4 6 8 1 2 3 4
2 5 4 2 7 2 20 14 2 34 68
C
 
− −  = = ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ − = 
  
 = ⋅ − ⋅ + ⋅ − = ⋅ − − = ⋅ − = − 
d) Como a 3ª linha de D é nula, temos que det 0D = .
Atividade 7
[ ]
2
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
det
4 9 16 4 9 16 1 4 9 16
1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 1 3 4 2 6 4
4 9 16 1 9 16
a a a a
A a a a
a a a a a a a a
a a a
= = = ⋅ =
 
 = − + = − + = 
  
UNIUBE 145
Atividade 8
a)
( ) ( )1 1 1 1det det det .det det .det 41det 4
A B C AB C A B A B
C
− −⋅ = → = → = → = =
Como ( ) 22 det det 2 det 2 det det 4detB A B A B A B A= → = → = → = .
Assim, temos:
( ) 2 2det .det 4 det . 4det 4 4det 4 det 1 det 1A B A A A A A= → = → = → = → = ±
b) Como üüüüüB A B= → = ± .
Capítulo 3
Atividade 1
Qualquer solução que satisfaça a condição 1 2 3x y z= − − . Por 
exemplo, ( )1,0,0 e ( )4,1,1− .
Atividade 2
a) Temos 2, 1x y= = − e 1z = .
( )2 3 2.2 3. 1 1 4 4 0x y z+ − = + − − = − = OK!
( )2 2 2. 1 1 4 1 5x y z− + = − − + = + = OK!
( )2 1 1 3 1 2x y z− + + = − + − + = − + = − OK!
146 UNIUBE
Logo, ( )2, 1,1− é solução do sistema.
b) Temos 0, 0x y= = e 0z = .
( )2 0 2. 0 0 0 5x y z− + = − + = ≠ , logo ( )0,0,0 não é solução do 
sistema.
Atividade 3
Temos 
1 2 1
3 4 5
1 1 1
A
− 
 = − 
 
 
, 
x
X y
z
 
 =  
 
 
 e 
0
10
1
B
 
 =  
 
 
.
1 2 1
det 3 4 5 4 10 3 4 6 5 12
1 1 1
D A
−
= = − = − + − − − − = − ;
0 2 1
10 4 5 10 10 4 20 24
1 1 1
xD
−
= − = − + − − = − ;
1 0 1
3 10 5 10 3 10 5 12
1 1 1
yD
−
= = − + − = ;
1 2 0
3 4 10 4 20 10 6 0
1 1 1
zD = − = − + − − = ;
24 2
12
xDx
D
−
= = =
−
, 12 1
12
yD
y
D
= = = −
−
 e 0 0
12
zDz
D
= = =
−
. Logo, a 
solução do sistema é ( )2, 1,0− .
UNIUBE 147
Atividade 4
2 2. 1 2
3 3. 1 3
3 7. 2 3. 3
1 2 3 9 1 2 3 9
2 1 1 0 0 3 7 18
3 1 4 5 0 7 13 32
1 2 3 9 1 2 3 9
0 3 7 18 0 3 7 18
0 7 13 32 0 0 10 30
1 2 3 9
Linha Linha Linha
Linha Linha Linha
Linha Linha Linha
= −
= −
= −
− −   
   → −   
   − − −   
− −   
   − → −   
   − −   
− 13 3
10
1 2 3 9
0 3 7 18 0 3 7 18
0 0 10 30 0 0 1 3
Linha Linha=− ⋅
−   
   − → −   
   − −   
2 3 9 2
3 7 18 1
3 3
x y z x
y z y
z z
+ − = = 
 − = → = − 
 = − = − 
Logo, a soluçãodo sistema é ( )2, 1, 3− − .
Atividade 5
Queremos determinar um polinômio da forma 2y ax bx c= + + que 
interpola os pontos ( )1,6 , ( )2,3− e ( )2,11 . Assim, temos:
1 6x y= → = Logo, 6 a b c= + + ;
2 3x y= − → = Logo, 3 4 2a b c= − + ;
2 11x y= → = Logo, 11 4 2a b c= + + ;
E assim, temos o sistema de equações lineares 
6
4 2 3
4 2 11
a b c
a b c
a b c
+ + =
 − + =
 + + =
.
148 UNIUBE
Resolvendo este sistema por um dos métodos vistos neste capítulo, 
encontramos a solução: 1, 2a b= = e 3c = . Assim, o polinômio que 
interpola os pontos será 2 2 3y x x= + + .
Atividade 6
Primeiro, temos que identificar por meios matemáticos os dados 
fornecidos no problema; sendo assim, considere:
 Número de bactérias do tipo Ix = ;
 Número de bactérias do tipo IIy = ;
 Número de bactérias do tipo IIIz = .
Levando em consideração que o consumo diário de cada um dos 
alimentos é total, façamos a análise do consumo em relação a cada 
tipo de alimento:
Análise do Consumo do Alimento A → Como o consumo diário 
do Alimento A pela bactéria do tipo I é 1, pela bactéria do tipo II 
é 2 e pela bactéria do tipo III é 1, e como a cada dia são deposi-
tadas 2500 unidades deste alimento, temos a seguinte equação: 
1 2 1 2500x y z+ + = , isto é, 2 2500x y z+ + = .
Análise do Consumo do Alimento B → Como o consumo diário 
do Alimento B pela bactéria do tipo I é 2, pela bactéria do tipo II 
é 1 e pela bactéria do tipo III é 3, e como a cada dia são deposi-
tadas 4500 unidades deste alimento, temos a seguinte equação: 
2 1 3 4500x y z+ + = , isto é, 2 3 4500x y z+ + = .
UNIUBE 149
Análise do Consumo do Alimento C → Como o consumo diário do 
Alimento C pela bactéria do tipo I é 1, pela bactéria do tipo II é 1 e 
pela bactéria do tipo III é também 1, e como a cada dia são depo-
sitadas 2000 unidades deste alimento, temos a seguinte equação: 
1 1 1 2000x y z+ + = , isto é, 2000x y z+ + = .
Portanto, teremos o seguinte sistema de equações lineares: 
2 2500
2 3 4500
2000
x y z
x y z
x y z
+ + =
 + + =
 + + =
.
Resolvendo o sistema, temos: 500x = , 500y = e 1000z = ; logo, 
temos que ter 500 bactérias da espécie I, 500 bactérias da espécie 
II e 1000 bactérias da espécie III.
Atividade 7
Primeiro, temos que identificar por meios matemáticos os dados 
fornecidos no problema; sendo assim, considere:
 Número de moedas de 5 centavosx = ;
 Número de moedas de 10 centavosy = ;
 Número de moedas de 25 centavosz = .
Analisando cada uma das hipóteses, temos:
• O total de moedas é 400 400x y z→ + + = ;
• A quantidade de moedas de 10 centavos é o dobro do total de 
moedas de 5 centavos 2y x→ = ;
150 UNIUBE
• O valor total de moedas é de 50,00 reais 
0,05 0,10 0,25 50x y z→ + + = .
E assim, encontramos o seguinte sistema: 
400
2 0
0,05 0,1 0, 25 50
x y z
x y
x y z
+ + =
 − =
 + + =
. 
Resolvendo este, encontramos que 100x = , 200y = e 100z = . 
Logo, o número de moedas de R$ 0,05 é de 100 moedas, de R$ 
0,10 é de 200 moedas e de R$ 0,25 é de 100 moedas.
Atividade 8
a) Analisando o circuito dado e aplicando adequadamente as Leis 
de Kirchhoff, temos o seguinte sistema 
1 2 3
1 2
2 3
0
4 12
4 8
i i i
i i
i i
− + =
 + =
 + =
.
1 1 1 0 1 1 1 0
1 4 0 12 Linha 2 = Linha 2 - Linha 1 0 5 1 12
0 4 1 8 0 4 1 8
1 1 1 0 1 1 1 0
0 5 1 12 Linha 2 = Linha 2 - Linha 3 0 1 2 4
0 4 1 8 0 4
− −   
   −   
   
   
− − 
 − − 
 
 


1 8
1 1 1 0 1 1 1 0
0 1 2 4 Linha 3 = Linha 3 - 4 Linha 2 0 1 2 4
0 4 1 8 0 0 9 8
1 1 1 0 1 1 1 0
10 1 2 4 Linha 3 = Linha 3 0 1
9
0 0 9 8
 
 
 
 
 
− −   
   − ⋅ −   
   −   
− − 
 − ⋅ 
 − 


2 4
80 0 1
9
 
 
 
− 
 
− 
 
1 1 1 0 1 1 1 0
1 4 0 12 Linha 2 = Linha 2 - Linha 1 0 5 1 12
0 4 1 8 0 4 1 8
1 1 1 0 1 1 1 0
0 5 1 12 Linha 2 = Linha 2 - Linha 3 0 1 2 4
0 4 1 8 0 4
− −   
   −   
   
   
− − 
 − − 
 
 


1 8
1 1 1 0 1 1 1 0
0 1 2 4 Linha 3 = Linha 3 - 4 Linha 2 0 1 2 4
0 4 1 8 0 0 9 8
1 1 1 0 1 1 1 0
10 1 2 4 Linha 3 = Linha 3 0 1
9
0 0 9 8
 
 
 
 
 
− −   
   − ⋅ −   
   −   
− − 
 − ⋅ 
 − 


2 4
80 0 1
9
 
 
 
− 
 
− 
 
UNIUBE 151
Assim, obtemos o seguinte sistema equivalente e, respectivamente, 
os valores das correntes medidas em ampère:
1 2 3
2 3 1 2 3
3
0
28 20 82 4 , e 
9 9 9
8
9
i i i
i i i i i
i

 − + =

− = → = = = −

 = −

b) Analisando o circuito dado e aplicando adequadamente as Leis 
de Kirchhoff, temos o seguinte sistema 
1 2 3
1 2
2 3
0
2 5 10
5 5 6
i i i
i i
i i
− + =
 + =
 + =
.
1 1 1 0 1 1 1 0
2 5 0 10 Linha 2 = Linha 2 - 2 Linha 1 0 7 2 10
0 5 5 6 0 5 5 6
1 1 1 0
0 7 2 10 Linha 3 = 7 Linha 3 - 5 Linha 2
0 5 5 6
− −   
   ⋅ −   
   
   
− 
 − ⋅ ⋅ 
 
 

 
1 1 1 0
0 7 2 10
0 0 45 8
1 1 1 01 1 1 0
1 2 100 7 2 10 Linha 2 = Linha 2 0 1
7 7 7
0 0 45 8 0 0 45 8
1 1 1 0
2 10 10 1 Linha 3 = Linha 3
7 7 45
0 0 45 8
− 
 − 
 − 
− −   
   − ⋅ −    −    − 
− 
 
 − ⋅
 
 − 


 
1 1 1 0
2 100 1
7 7
80 0 1
45
 
 −
 
 −
 
 
 −
 

1 1 1 0 1 1 1 0
2 5 0 10 Linha 2 = Linha 2 - 2 Linha 1 0 7 2 10
0 5 5 6 0 5 5 6
1 1 1 0
0 7 2 10 Linha 3 = 7 Linha 3 - 5 Linha 2
0 5 5 6
− −   
   ⋅ −   
   
   
− 
 − ⋅ ⋅ 
 
 

 
1 1 1 0
0 7 2 10
0 0 45 8
1 1 1 01 1 1 0
1 2 100 7 2 10 Linha 2 = Linha 2 0 1
7 7 7
0 0 45 8 0 0 45 8
1 1 1 0
2 10 10 1 Linha 3 = Linha 3
7 7 45
0 0 45 8
− 
 − 
 − 
− −   
   − ⋅ −    −    − 
− 
 
 − ⋅
 
 − 


 
1 1 1 0
2 100 1
7 7
80 0 1
45
 
 −
 
 −
 
 
 −
 

152 UNIUBE
Assim, obtemos o seguinte sistema equivalente e, respectivamente, 
os valores das correntes medidas em ampère: 
1 2 3
2 3 1 2 3
3
0
2 10 14 62 8, e 
7 7 9 45 45
8
45
i i i
i i i i i
i

 − + =
 − = → = = = −

 = −
Atividade 9
Após aplicações adequadas das Leis de Kirchhoff, obtemos o se-
guinte sistema e consequentemente a seguinte solução:
1 4 5
2 3 4 5
1 2 3 4 52 3
3 4
4 5
0
0
68 31 37 76 8, , , = e 4 2 10
5 5 5 5 5
2 30
3 20
i i i
i i i i
i A i A i A i A i Ai i
i i
i i
− + =
 + − + = → = = = =− =
 + =

+ =
Atividade 10
a)
2 2. 1 3. 23 1 3 1
2 5 0 17
Linha Linha Linha= +   
→   −   
3 0 0
17 0 0
x y x
y y
+ = = 
→ = = 
UNIUBE 153
Logo, a única solução é a nula, ou seja, a solução ( )0,0 .
b)
1 2
2 3. 1 2
3 2. 1 3
3 11.
3 2 1 1 5 1
1 5 1 3 2 1
2 1 0 2 1 0
1 5 1 1 5 1
3 2 1 0 17 4
2 1 0 0 11 2
1 5 1
0 17 4
0 11 2
Linha Linha
Linha Linha Linha
Linha Linha Linha
Linha Linh
=
= −
= −
=
− −   
   − → −   
   − −   
− −   
   − → −   
   − −   
− 
 − 
 − 
2 17. 3
1 5 1
0 17 4
0 0 10
a Linha−
− 
 → − 
 − 
5 0 0
17 4 0 0
10 0 0
x y z x
y z y
z z
+ − = = 
 − = → = 
 − = = 
Logo, a única solução é a nula, ou seja, a solução ( )0,0 .
c)
2 2. 1 2
3 1 3
1 1 1 1 1 1
2 3 5 0 1 7
1 1 1 0 0 0
Linha Linha Linha
Linha Linha Linha
= −
= +
   
   − → −   
   − − −   
8
0
7
7 0
x z
x y z
y z
y z
z z
= −
+ + = → = − + =  =
154 UNIUBE
Logo, o sistema possui infinitas soluções, a saber, ( )8 ,7 ,z z z− , 
com z∈ .
Atividade 11
a) Após cálculos algébricos com respeito ao númerode moléculas 
de cada elemento, obtemos o seguinte sistema linear homogêneo 
2 0
,2 ,
5 2 2 0 2
x y xS x x x
x y z
− =    → = ∈   − − =    
 .
Escolhendo 2x = , a equação balanceada solução do problema é: 
2 5 2 22 4N O NO O→ +
b) Após cálculos algébricos com respeito ao número de moléculas 
de cada elemento, obtemos o seguinte sistema linear homogêneo 
( ){ }
6 0
6 ,6 , ,62 12 0
2 6 2 0
x z
S z z z z zy z
x y z w
− =
 → = ∈− =
 + − − =

.
Escolhendo 1z = , a equação balanceada e a solução do problema 
é: 2 2 6 12 6 26 6 6CO H O C H O O+ → +
c) Após cálculos algébricos com respeito ao número de moléculas 
de cada elemento, obtemos o seguinte sistema linear homogêneo 
( ){ }
2 0
8 3 2 0
,2 , ,
0
3 2 0
x y
x y z
S x x x x x
x t
x z t
− =
 − − = → = ∈ − =
 − − =
 .
Escolhendo 1x = , a equação balanceada solução do problema é: 
( )4 3 3 2 22
2NH CO NH H O CO→ + +
UNIUBE 155
d) Após cálculos algébricos com respeito ao número de moléculas 
de cada elemento, obtemos o seguinte sistema linear homogêneo: 
4 0
13, ,4 ,510 2 0
2
2 2 0
x z
S x x x x xx t
y z t
− =
   → = ∈− =   
   − − =

.
Escolhendo 2x = a equação balanceada, solução do problema é: 
4 10 2 2 22 13 8 10C H O CO H O+ → +
Capítulo 3 – Atividades de fim de capítulo
Atividade 1
a) 3x = e 2y = − ;
b) 1x = , 2y = e 3z = .
c) 
1 1
3 2
A  
=  − 
, 
x
X
y
 
=  
 
 e 
10
10
B  
=  − 
;
5D = − , 10xD = − , 40yD = − ;
10 2
5
xDx
D
−
= = =
− e 
40 8
5
yD
y
D
−
= = =
− ;
Logo, a solução é ( )2,8 .
d) 
1 2 2
1 1 1
2 2 3
A
 
 =  
  
, 
x
X y
z
 
 =  
  
 e 
6
2
7
B
 
 =  
  
;
1D = − , 2xD = , 1yD = − e 3zD = − ;
156 UNIUBE
2 2
1
xDx
D
= = = −
− , 
1 1
1
yD
y
D
−
= = =
− e 
3 3
1
zDz
D
−
= = =
− ;
Logo, a solução é ( )2,1,3− .
e) 
4 3
3 5
A
− 
=  − − 
, 
x
X
y
 
=  
 
 e 
18
1
B  
=  
 
;
29D = − , 87xD = − , 58yD = ;
87 3
29
xDx
D
−
= = =
− e 
58 2
29
yD
y
D
= = = −
− ;
Logo, a solução é ( )3, 2− .
f) 
1 2 1
2 1 3
3 3 2
A
− 
 = − − 
 − 
, 
x
X y
z
 
 =  
  
 e 
2
9
3
B
 
 = − 
  
;
10D = − , 10xD = − , 20yD = − e 30zD = − ;
10 1
10
xDx
D
−
= = =
− , 
20 2
10
yD
y
D
−
= = =
− e 
30 3
10
zDz
D
−
= = =
− ;
Logo, a solução é ( )1,2,3 .
Atividade 2
a) 2 13, ,
5 5
z z z 
 
 
, com z∈ ; sistema possível e indeterminado.
b) Sistema impossível.
c) ( )1,3,2 ; sistema possível e determinado.
UNIUBE 157
d) Após aplicações das operações elementares, chegamos aos 
seguintes sistemas equivalentes 
2 1 1
55 3 0
3
0 0
5
zx y z x
y z
zy
− + = = + − + = → 
  == 
. 
Logo, a solução é 31 , ,
5 5
z z z + 
 
 com z∈ . Portanto, o sistema é 
possível e indeterminado.
e) Após aplicações das operações elementares, chegamos ao se-
guinte sistema equivalente 
2 1
4 5 3
0 1(Impossível)
x y z
y z
− + + =
 + =
 =
. Logo, a solução 
é o conjunto S = ∅ . Portanto o sistema é impossível.
f) Após aplicações das operações elementares, chegamos aos 
seguintes sistemas equivalentes 
12 3 0
27 4 1 1
2 2
x y z x
y z y
z z
+ + = = −  + = − →  = = −  = −
. 
Logo, a solução é 
1 ,1, 2
2
 − − 
 
. Portanto, o sistema é possível e 
determinado.
g) Após aplicações das operações elementares, chegamos aos 
seguintes sistemas equivalentes 
23 0
55 13 0
13
0 0
5
zx y z x
y z
zy
+ − = = − = → 
  == 
.
 
Logo, a solução é 2 13, ,
5 5
z z z 
 
 
 com z∈ . Portanto, o sistema é 
possível e indeterminado.
158 UNIUBE
h) Após aplicações das operações elementares, chegamos aos 
seguintes sistemas equivalentes 
5
123 1
18 1
3
48 4 1
12
x
x y z
y z y
z
z
 =
− + = 
 − = − → = − 
 = 
=
. 
Logo, a solução é 5 1 1, ,
12 3 12
 − 
 
. Portanto, o sistema é possível e 
determinado.
i) Após aplicações das operações elementares chegamos aos se-
guintes sistemas equivalentes 
2 2 1
3 7 5 3
2 2
x y z x
y z y
z z
− + = = 
 − = − → = 
 = =
. Logo, a 
solução é ( )1,3,2 . Portanto, o sistema é possível e determinado.
Atividade 3
a) 1x y= = ;
b) 1x = − , 3y = e 2z = − .
c) 1x = e 0y = ;
Verificando, temos:
2 2 2.1 2.0 2x y+ = + = OK!
3 5 3.1 5.0 3x y− + = − + = − OK!
d) 1x = , 3y = e 4z = ;
Verificando, temos:
UNIUBE 159
7 1 7.3 4 16x y z− + = − + = − OK!
3 5 2 3.1 5.3 2.4 26x y z+ + = + + = OK!
5 3 5.1 3 3.4 14x y z− + = − + = OK!
e) 2x = − e 3y = ;
Verificando, temos:
( )3 4 3. 2 4.3 6x y+ = − + = OK!
( )2 3 2. 2 3.3 5x y+ = − + = OK!
f) 1x = − , 3y = e 2z = − ;
Verificando, temos:
2 1 2.3 2 9x y z− + = − − − = − OK!
( )2 3 1 2.3 3. 2 1x y z+ + = − + + − = − OK!
( ) ( )4 3 2 4. 1 3.3 2. 2 1x y z+ + = − + + − = OK!
Atividade 4
a) 1
2
x −
= , 1y = e 2z = − ;
b) 
1 2 2
1 1 1
2 2 3
A
 
 =  
  
, 
x
X y
z
 
 =  
  
 e 
6
2
7
B
 
 =  
  
;
160 UNIUBE
1 2 2
det 1 1 1 1
2 2 3
D A= = = − ;
 
6 2 2
2 1 1 2
7 2 3
xD = = ; 
1 6 2
1 2 1 1
2 7 3
yD = = − ; 
1 2 6
1 1 2 3
2 2 7
zD = = − ;
2 2
1
xDx
D
= = = −
−
; 1 1
1
yD
y
D
−
= = =
−
 e 3 3
1
zDz
D
−
= = =
−
;
Logo, a solução é ( )2,1,3− .
c) 
2 3 1
2 9 5
6 1 1
A
 
 =  
 − 
, 
x
X y
z
 
 =  
  
 e 
0
2
0
B
 
 = − 
  
;
2 3 1
det 2 9 5 16
6 1 1
D A= = =
−
;
 
0 3 1
2 9 5 8
0 1 1
xD = − = −
−
; 
2 0 1
2 2 5 16
6 0 1
yD = − =
−
; 
2 3 0
2 9 2 32
6 1 0
zD = − = − ;
8 1
16 2
xDx
D
−
= = = − ; 16 1
16
yD
y
D
= = = e 32 2
16
zDz
D
−
= = = − ;
Logo a solução é 1 ,1, 2
2
 − − 
 
.
UNIUBE 161
Atividade 5
Dentre as cinco (5) alternativas, a única que satisfaz simultanea-
mente as três (3) equações do sistema é ( )1,1,1 . Portanto, a res-
posta é a letra (b).
Atividade 6
a) Queremos determinar um polinômio da forma 2y ax bx c= + + 
que interpola os pontos ( )1,2 , ( )2,17− e ( )2,9 . Assim, temos:
1 2x y= → = Logo, 2 a b c= + + ;
2 17x y= − → = Logo, 17 4 2a b c= − + ;
2 9x y= → = Logo, 9 4 2a b c= + + ;
E assim, temos o sistema de equações lineares 
2
4 2 17
4 2 9
a b c
a b c
a b c
+ + =
 − + =
 + + =
.
Resolvendo este sistema por um dos métodos visto neste capítulo, 
encontramos a solução: 3, 2a b= = − e 1c = . Assim, o polinômio 
que interpola os pontos será 23 2 1y x x= − + .
b) Queremos determinar um polinômio da forma 2y ax bx c= + + 
que interpola os pontos ( )1,3 , ( )2,3− e ( )2,7 . Assim, temos:
1 3x y= → = Logo, 3 a b c= + + ;
2 3x y= − → = Logo, 3 4 2a b c= − + ;
2 7x y= → = Logo, 7 4 2a b c= + + ;
162 UNIUBE
E assim, temos o sistema de equações lineares 
3
4 2 3
4 2 7
a b c
a b c
a b c
+ + =
 − + =
 + + =
.
Resolvendo este sistema por um dos métodos visto neste capítulo, 
encontramos a solução: 1, 1a b= = e 1c = . Assim, o polinômio que 
interpola os pontos será 2 1y x x= + + .
c) Queremos determinar um polinômio da forma 2y ax bx c= + + que 
interpola os pontos ( )1, 3− , ( )2, 3− − e ( )2, 7− . Assim, temos:
1 3x y= → = − Logo, 3 a b c− = + + ;
2 3x y= − → = − Logo, 3 4 2a b c− = − + ;
2 7x y= → = − Logo, 7 4 2a b c− = + + ;
E, assim, temos o sistema de equações lineares 
3
4 2 3
4 2 7
a b c
a b c
a b c
+ + = −
 − + = −
 + + = −
.
Resolvendo este sistema por um dos métodos visto neste capítulo, 
encontramos a solução: 1, 1a b= − = − e 1c = − . Assim, o polinômio 
que interpola os pontos será 2 1y x x= − − − .
Atividade 7
a) Primeiramente, temos que identificar por meios matemáticos os 
dados fornecidos no problema. Sendo assim, considere:
 Número de carrinhosx = ;
 Número de bonecasy = ;
UNIUBE 163
 Número de bolasz = .
Analisando cada uma das hipóteses temos:
• o total de brinquedos é de 120 120x y z→ + + = ;
• como o valor de cada um dos carrinhos é de R$ 2,00, o valor da 
compra de carrinhos é deR$ 2x , como o valor de cada boneca é 
de R$ 3,00, o valor da compra de bonecas é de R$ 3y e como o 
valor de cada bola é de R$ 3,50, o valor da compra de bolas é de R$ 
3,5z . Como o orfanato tem disponível para as compras R$ 370,00, 
teremos a seguinte equação: 2 3 3,5 370x y z+ + = ;
• como o número de bolas é igual a soma do número de bonecas com o 
de carrinhos temos também a equação 0z x y x y z= + → + − = .
E, assim, encontramos o seguinte sistema: 
120
2 3 3,5 370
0
x y z
x y z
x y z
+ + =
 + + =
 + − =
. 
Resolvendo este, encontramos que 20x = , 40y = e 60z = . Logo, 
o número de carrinhos será de 20 carrinhos, o número de bonecas 
será de 40 bonecas e o número de bolas será de 60 bolas.
b) Primeiro, temos que identificar por meios matemáticos os dados 
fornecidos no problema; sendo assim, considere:
 Salário do 1º amigox = ; Salário do 2º amigoy = ; 
 Salário do 3º amigoz = .
Analisando cada uma das hipóteses, temos:
164 UNIUBE
• como o dobro do salário do primeiro ( )2x , somado ao salário do 
segundo ( )y mais o triplo do salário do terceiro ( )3z , dá para 
comprar um carro de R$ 7.000,00, obtemos a seguinte equação 
2 3 7000x y z+ + = ;
• como a metade do salário do primeiro 
2
x 
 
 
 somado à metade do sa-
lário do terceiro 
2
z 
 
 
 dá para comprar um televisor de R$ 1.000,00, 
temos a equação 1000 2000
2 2
x z x z+ = → + = .
E, assim, encontramos o seguinte sistema: 
2 3 7000
2 0
2000
x y z
x y z
x z
+ + =
 − + =
 + =
. 
Resolvendo este, encontramos que 1500x = , 2500y = e 500z = . 
Logo, o valor dos respectivos salários dos três amigos serão R$ 
1500,00, R$ 2500,00 e R$ 500,00.
c) Primeiramente, temos que identificar, por meios matemáticos, os 
dados fornecidos no problema. Sendo assim, considere:
 Número de moedas de 5 centavosx = ;
 Número de moedas de 10 centavosy = ;
 Número de moedas de 25 centavosz = .
Analisando cada uma das hipóteses, temos:
• o total de moedas é 200 200x y z→ + + = ;
UNIUBE 165
• a quantidade de moedas de 10 centavos é o dobro do total de moe-
das de 5 centavos 2y x→ = ;
• o valor total de moedas é de 30,00 reais 
0,05 0,10 0,25 30x y z→ + + = .
E assim, encontramos o seguinte sistema: 
200
2 0
0,05 0,1 0, 25 30
x y z
x y
x y z
+ + =
 − =
 + + =
. 
Resolvendo este, encontramos que 40x = , 80y = e 80z = . Logo, 
o número de moedas de R$ 0,05 é de 40 moedas, de R$ 0,10 é de 
80 moedas e de R$ 0,25 é de 80 moedas.
Anotações
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Anotações
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________para determinar tal ponto.
Observe graficamente este fato:
( )1,6
7
2 5 32
x y
x y
+ =
 + =
7
2 5 32
x y
x y
+ =
 + =
Exemplo 2:
Considere o sistema de equações lineares 
3
2 3 5 0
2 2 2 40
x y z
x y z
x y z
+ + =
 + − =
 + + =
82 UNIUBE
A terna ordenada ( )1,1,1 não é solução do sistema, já que os valores 
de 1, 1, 1x y z= = = não satisfazem a todas as três equações. De fato, 
vejamos:
1 1 1 3
2 1 3 1 5 1 0
2 1 2 1 2 1 6 40
+ + =
⋅ + ⋅ − ⋅ =
⋅ + ⋅ + ⋅ = ≠
Logo, o ponto dado não será uma solução para o sistema. Mas será 
que o mesmo possui solução? Pensando a priori, geometricamente, no 
problema, podemos chegar a uma conclusão sobre este fato:
Vejamos:
200
100
0
-100
-200
100 50
–50 50–100
0
X Y
0 –50 –100
200
100
0
-100
-200
100 50 –50 50–1000
X Y
0 –50 –100
Temos dois planos paralelos não coincidentes, o que nos leva a concluir 
que o sistema é impossível, isto é, mais do que concluir que o ponto
( )1,1,1 não é solução do sistema, poderíamos concluir, pela represen-
tação gráfica anterior, que o mesmo não possui solução. Fato este que 
poderia ser justificado também algebricamente, verificando apenas a 
inexistência de ( ), ,x y z que se comprove simultaneamente nas equações 
3x y z+ + = e 2 2 2 40x y z+ + = .
UNIUBE 83
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 2
Considere o sistema de equações lineares:
2 3 0
2 5
2
x y z
x y z
x y z
+ − =
 − + =
− + + = −
Nessas condições, faça o que se pede:
a) verifique se a terna ordenada ( )2, 1,1− é uma solução do sistema;
b) verifique se a terna ordenada ( )0,0,0 é uma solução do sistema.
Dentre os vários tipos de sistemas de equações lineares, podemos 
destacar os sistemas cujos números de equações é igual ao número de 
incógnitas e cuja matriz A , formada pelos seus coeficientes, tenham 
determinante diferente de zero. Chamaremos aqui este tipo de sistema 
de sistema normal. Assim, temos a seguinte definição:
Sistema normal – É todo sistema que:
• tem o mesmo número de equações ( )m e de incógnitas ( )n ;
• tem o determinante da matriz dos coeficientes associada ao sistema 
linear diferente de zero.
Isto é, se m n= e det 0A ≠ .
AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 2
Considere o sistema de equações lineares:
2 3 0
2 5
2
x y z2 3 0x y z2 3 0
x y z2 5x y z2 5
x y z
2 3 0+ − =2 3 02 3 0x y z2 3 0+ − =2 3 0x y z2 3 0




− + =2 5− + =2 5x y z− + =x y z2 5x y z2 5− + =2 5x y z2 5







− + + = −x y z− + + = −x y z



Nessas condições, faça o que se pede:
a) verifique se a terna ordenada ( )2, 1,12, 1,1−2, 1,1 é uma solução do sistema;
b) verifique se a terna ordenada ( )0,0,0 é uma solução do sistema.
84 UNIUBE
Veja, a seguir, por meio de um exemplo, como determinar se um sistema 
linear é normal:
 
0
2 3 2
3 4
x y
x y z
x z
+ =
 + − =
 − =
Para determinar se um sistema é normal, devemos confirmar duas ver-
dades que são:
1ª) m n=
m = 3, n = 3 ⇒ m = n, confirmamos a primeira verdade.
2ª) det A ≠ 0. Como 
1 1 0
2 3 1
3 0 1
A
 
 = − 
−  
 , temos:
det A = 
1
2
3
 
0
3
1
 
0
1
1
−
−
 = – 4 que é diferente de 0. Portanto, o sistema é normal.
Veja, a seguir, um exemplo de um sistema que não é normal:





=+
=+
=+
5
5
3
wt
zy
yx
 PARADA PARA REFLEXÃO 
Será que você já sabe por que esse sistema não é normal?
 PARADA PARA REFLEXÃO 
Será que você já sabe por que esse sistema não é normal?
UNIUBE 85
Provavelmente, você percebeu que o número de equações é 3 ,
isto é, m = 3 e que o número de incógnitas é igual a 5 , ou seja,
n = 5, sendo assim, m	≠	n. Logo, o sistema não é normal.
Falaremos agora da regra de Cramer, que é um dispositivo para o cál-
culo de um sistema normal.
 SAIBA MAIS 
Gabriel Cramer (1704 -1752)
Matemático suíço. Foi professor de Matemática e de Filosofia da Universidade 
de Genebra. Dedicou especial atenção à teoria das curvas. Ocupou-se, tam-
bém, da origem, da forma dos planetas e dos seus movimentos. É famosa a 
regra que permite a resolução dos sistemas de equações lineares que tem o 
seu nome, a regra de Cramer.
Fonte: Disponível em: . Acesso em: 4 jun. 2010.
 3.3 Regra de Cramer
Basicamente, essa regra se resume em determinar os valores -solução do 
sistema normal utilizando a seguinte fórmula, envolvendo determinantes:
{ }1,2,3, ,ix
i
D
x i n
D
= ∈ 
Onde n é o número de equações e, consequentemente, de incógnitas 
do sistema; det D A= é o determinante da matriz incompleta associada 
ao sistema, e 
ixD é o determinante obtido pela substituição na matriz 
 SAIBA MAIS 
Gabriel Cramer (1704 -1752)Gabriel Cramer (1704 -1752)Gabriel Cramer
Matemático suíço. Foi professor de Matemática e de Filosofia da Universidade 
de Genebra. Dedicou especial atenção à teoria das curvas. Ocupou-se, tam-
bém, da origem, da forma dos planetas e dos seus movimentos. É famosa a 
regra que permite a resolução dos sistemas de equações lineares que tem o 
seu nome, a regra de Cramer.
Fonte: Disponível em: . Acesso em: 4 jun. 2010.
86 UNIUBE
incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes. 
Entenda matriz incompleta do sistema como a matriz quadrada formada 
pelos respectivos coeficientes das incógnitas.
A Regra de Cramer é um instrumento importante e simples para a resolu-
ção de sistemas normais. Veja a seguir a resolução de dois exemplos.
Exemplo 1 – Resolva o sistema de equações lineares:



=−
=+
332
72
yx
yx
Neste caso, temos 
2 1
2 3
A  
=  − 
, 
x
X
y
 
=  
 
 e 
7
3
B  
=  
 
.
Devemos primeiramente analisar se o sistema é normal. Já que 2m n= = , 
basta calcular o determinante da matriz A:
det A =
2
2
 
1
3−
8= − . Como det 0A ≠ , temos que o sistema é normal. 
Agora, apliquemos a Regra de Cramer.
Substituindo, na matriz dos coeficientes A = 


2
2
 
1
3

− 
, a coluna C 1 (coluna 
1) pela coluna formada pelos termos independentes ( )B , encontramos:
D x = 
7
3
 
1
3−
D x = +(7. –3) – (1. 3) ⇒ –21 – 3 = –24
Substituindo, agora, C 2 (coluna 2) pela coluna dos termos independentes 
( )B , encontramos:
UNIUBE 87
D y = 
2
2
 
7
3
D y = +(2. 3) – (7. 2) ⇒ 6 – 14 = –8
Assim:
 
D
Dx x= 3
8
24 =
−
−=x 
e
 
D
D
y y= 1
8
8 =
−
−=y 
Logo, ( , ) (3,1)x y = é a solução do sistema dado.
Podemos tirar a prova real dos valores encontrados substituindo-os no 
sistema. Veja a seguir:



=−
=+
332
72
yx
yx



=−
=+
336
716



=−
=+
3)1(3)3(2
71)3(2



=
=
33
77
 
As duas sentenças matemáticas são válidas. Por-
tanto, os valores encontrados formam uma solução 
para o sistema.
Exemplo 2 – Resolva o sistema de equações lineares abaixo:





=+−
=−+
=+−
623
02
3
zyx
zyx
zyx
88 UNIUBE
Neste caso, temos 
1 1 1
2 1 1
3 1 2
A
− 
 = − 
 − 
, 
x
X y
z
 
 =  
 
 
 e 
3
0
6
B
 
 =  
 
 
.
Como no exemplo anterior, antes de aplicarmos a Regra de Cramer, pre-
cisamos verificar se se trata de um sistema normal. Como neste exemplo 
m = n = 3, basta verificarmos se det 0A ≠ . Assim, temos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1 1
det 2 1 1 1 1 2 1 1 3 2 1 1 1 1 3 1 1
3 1 2
1 1 2 2 3 0
A D
−
= = − = ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅
−
− − ⋅ ⋅ = ≠
Logo, o sistema é normal.
Agora apliquemos a Regra de Cramer:
Para determinar xD , devemos substituir a primeira coluna pelos termos 
independentes:
D x = + ((0. 1. –1) + (–1. –1. 6) + (1. 3. –1)) – ((–1. 3. 2) + (0. –1. –1) + (1. 1. 6))
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 1 1
0 1 1 3 1 2 0 1 1 1 1 6 6 1 1 0 1 2 1 1 3 3
6 1 2
xD
−
= − = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅ =
−
Para determinar yD , devemos substituir a segunda coluna pelos termos 
independentes.
D y = 
1
2
3
 
6
0
3
 
1
1
2
− = ( ) ( )1.0.2 2.6.1 3. 1 .3 1.0.3 1. 1 .6 2.3.2 3+ + − − − − − = −
Para determinar zD , devemos substituira terceira coluna pelos termos 
independentes.
UNIUBE 89
D z = 
1
2
3
 
1
1
1
−
−
 
3
0
6
= ( ) ( ) ( )1.1.6 2. 1 .3 3. 1 .0 3.1.3 1.0.1 6.2. 1 3+ − + − − − − − =
Assim, teremos:
3 1
3
xDx x
D
= ⇒ = =
 
3 1
3
yD
y y
D
−
= ⇒ = = −
 
3 1
3
zDz z
D
= ⇒ = =
Logo, ( , , ) (1, 1,1) x y z = − é a solução desse sistema.
Tirando a prova real, temos:





=+−
=−+
=+−
623
02
3
zyx
zyx
zyx





=+−−
=−−+
=+−−
6)1(2)1()1(3
01)1()1(2
31)1(1





=++
=−−
=++
6213
0112
3111





=
=
=
66
00
33
 
As três sentenças matemáticas são válidas.
Portanto, os valores encontrados são a solução.
Vejamos agora outros conceitos e propriedades envolvendo os sistemas 
de equações lineares.
90 UNIUBE
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 3
Resolva o sistema de equações lineares abaixo utilizando a Regra de 
Cramer:
2 0
3 4 5 10
1
x y z
x y z
x y z
+ − =
 − + =
 + + =
 3.4 Sistemas equivalentes
Dando sequência ao nosso estudo de sistemas de equações lineares, 
gostaríamos de convidá-lo(a) a investigar os sistemas I e II:
(I) 
6
2 3 9
2 5
x y z
x y z
x y z
+ + =
 − + =
 − + =
(II) 
5 12
2 2 9
2 5
x y z
x y z
x y z
− − + =
 + + =
 − + =
Encontrando suas soluções, utilizando, por exemplo, a Regra de Cra-
mer apresentada anteriormente, temos os valores 1 ; 2 ; 3x y z= = =
como solução do sistema I. E, como solução do sistema II, os valores 
1 ; 2 ; 3x y z= = = .
AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 3
Resolva o sistema de equações lineares abaixo utilizando a Regra de 
Cramer:
2 0
3 4 5 10
1
x y z2 0x y z2 0
x y z3 4 5 10x y z3 4 5 10
x y z
+ − =2 0+ − =2 0x y z+ − =x y z2 0x y z2 0+ − =2 0x y z2 0




3 4 5 10− + =3 4 5 103 4 5 10x y z3 4 5 10− + =3 4 5 10x y z3 4 5 10







+ + =x y z+ + =x y z



UNIUBE 91
 IMPORTANTE! 
Isso mesmo! Ambos os sistemas têm o mesmo conjunto solução. Portanto, esta 
classe especial de sistemas, ou seja, que possui esta propriedade, é chamada 
de sistemas equivalentes. Sendo assim, os sistemas I e II são equivalentes.
Observe como isso nos mostra uma grande ferramenta na resolução de 
sistemas lineares, pois, dado um sistema linear qualquer, se conseguís-
semos um sistema equivalente a esse, mais simples de ser resolvido, 
facilitaria muito os nossos cálculos.
 
Você deve estar curioso para saber como podemos gerar sistemas equiva-
lentes de um sistema de equações lineares qualquer, não é mesmo?
Essa pergunta será respondida após definirmos alguns objetos que nos 
ajudarão na construção destes tipos de sistemas. Espere um pouco!
Vimos anteriormente que, dado um sistema de equações lineares qual-
quer, podemos relacioná-lo a uma matriz formada pelos coeficientes de 
suas incógnitas e seus termos independentes. Por exemplo, considere o 
sistema de equações lineares I, o qual exemplificamos anteriormente.
6
2 3 9
2 5
x y z
x y z
x y z
+ + =
 − + =
 − + =
A matriz que será relacionada a esse sistema, da forma exposta acima, será:
 IMPORTANTE! 
Isso mesmo! Ambos os sistemas têm o mesmo conjunto solução. Portanto, esta 
classe especial de sistemas, ou seja, que possui esta propriedade, é chamada 
de sistemas equivalentes. Sendo assim, os sistemas I e II são equivalentes.
Você deve estar curioso para saber como podemos gerar sistemas equiva-
lentes de um sistema de equações lineares qualquer, não é mesmo?
92 UNIUBE
1 1 1 6
2 1 3 9
1 1 2 5
 
 − 
−  
Essa matriz recebe o nome de matriz ampliada do sistema.
Você deve ter percebido que acrescentamos na matriz um segmento 
vertical pontilhado. Tal segmento serve para nos orientar sobre quais 
serão os coeficientes de incógnitas e quais serão os termos independen-
tes, visto que, em algumas classes especiais de sistemas, poderemos 
desprezar seus termos independentes nessa relação com suas matrizes 
ampliadas. Abordaremos tais sistemas mais adiante.
	3.5	 Operações	elementares
Agora, definiremos as operações elementares aplicadas sobre uma ma-
triz ou sobre um sistema de equações lineares. Essas operações são as 
ferramentas que necessitaremos na geração de sistemas equivalentes, 
pois elas, quando aplicadas nas linhas (ou colunas) do sistema ou sobre 
sua matriz ampliada, não alteram suas soluções. Estas operações são:
1ª) Troca de linhas (ou de colunas);
2ª) Multiplicação de uma linha (ou coluna), por uma constante diferente 
de zero;
3ª) Substituição de uma linha (ou coluna) por ela mesma previamente mul-
tiplicada por uma constante diferente de zero e somada a uma outra linha 
(ou coluna) previamente multiplicada por uma constante diferente de zero.
UNIUBE 93
Vejamos alguns exemplos de aplicações de operações elementares, 
analisando o sistema e sua matriz ampliada. Usaremos ainda o sistema 
anterior:
6
2 3 9
2 5
x y z
x y z
x y z
+ + =
 − + =
 − + = 
1 1 1 6
2 1 3 9
1 1 2 5
 
 − 
−  
Trocando a 1ª linha pela a 3ª linha.
2 5
2 3 9
6
x y z
x y z
x y z
− + =
 − + =
 + + = 
1 1 2 5
2 1 3 9
1 1 1 6
− 
 − 
  
Multiplicando a 2ª linha por –1.
2 5
2 3 9
6
x y z
x y z
x y z
− + =
− + − = −
 + + = 
1 1 2 5
2 1 3 9
1 1 1 6
− 
 − − − 
  
Substituindo a 2ª linha por ela mesma somada à 1ª linha multiplicada 
por 2.
2 5
0 1
6
x y z
x y z
x y z
− + =
 − + =
 + + = 
1 1 2 5
0 1 1 1
1 1 1 6
− 
 − 
  
Sendo assim, todos os quatro sistemas obtidos são equivalentes, isto é, 
possuem como solução 1 ; 2 ; 3x y z= = = . Você poderá confirmar isso 
verificando que os valores 1x = , 2y = e 3z = , solução do sistema ini-
cial, satisfazem identicamente todas as equações obtidas nos sistemas 
acima.
94 UNIUBE
 PARADA PARA REFLEXÃO 
Como poderemos encontrar um sistema equivalente mais fácil?
Analise os quatro sistemas do exemplo anterior.
Qual é o mais fácil de ser solucionado?
Certamente você concluiu que seria o último, não é mesmo? Isso porque 
eliminamos, de certa forma, uma das incógnitas na segunda equação do 
sistema. E a ideia que será abordada agora é essa mesma: dado um sistema 
de equações lineares, procurar, por meio de operações elementares, fazer 
aparecer o maior número de zeros em sua matriz ampliada, mas, para fazer 
isto, teremos, basicamente, duas linhas de raciocínio.
A primeira seria procurar zerar os termos abaixo da diagonal principal (en-
tenda-se como termos da diagonal principal os elementos da matriz que 
ocupam a posição i=j, ou seja, linha do termo igual à coluna do termo), e a 
segunda linha de cálculo seria, além de zerar os termos abaixo da diagonal 
principal, por meio de operações elementares, zerar também os termos acima, 
transformando os termos da diagonal principal todos iguais a 1.
Tais processos recebem o nome de redução à forma escada e método de 
Gauss-Jordan, respectivamente. Sendo assim, estudaremos tais métodos, 
aplicados a alguns exemplos.
 3.6 Sistemas escalonados
Um sistema de equações lineares é ou está escalonado quando aplica-
mos um dos métodos citados anteriormente.
 PARADA PARA REFLEXÃO 
Como poderemos encontrar um sistema equivalente mais fácil?
Analise os quatro sistemas do exemplo anterior.
Qual é o mais fácil de ser solucionado?
Certamente você concluiu que seria o último, não é mesmo? Isso porque 
eliminamos, de certa forma, uma das incógnitas na segunda equação do 
sistema. E a ideia que será abordada agora é essa mesma: dado um sistema 
de equações lineares, procurar, por meio de operações elementares, fazer 
aparecer o maior número de zeros em sua matriz ampliada, mas, para fazer 
isto, teremos, basicamente, duas linhas de raciocínio.
A primeira seria procurar zerar os termos abaixo da diagonal principal (en-
tenda-se como termos da diagonal principal os elementos da matriz que 
ocupam a posição i=j, ou seja, linha do termo igual à coluna do termo), e a 
segunda linha de cálculo seria, além de zerar os termos abaixo da diagonal 
principal, por meio de operações elementares,zerar também os termos acima, 
transformando os termos da diagonal principal todos iguais a 1.
Tais processos recebem o nome de redução à forma escada e método de 
Gauss-Jordan, respectivamente. Sendo assim, estudaremos tais métodos, 
aplicados a alguns exemplos.
UNIUBE 95
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1:
Aplicação da redução à forma escada
Considere ainda o sistema de equações lineares inicial:
6
2 3 9
2 5
x y z
x y z
x y z
+ + =
 − + =
 − + = 
1 1 1 6
2 1 3 9
1 1 2 5
 
 − 
−  
Trabalharemos apenas sobre sua matriz ampliada:
2 2 2. 1
1 1 1 6 1 1 1 6
2 1 3 9 0 3 1 3
1 1 2 5 1 1 2 5
Linha Linha Linha= −
   
   − → − −   
− −      
3 1 3
1 1 1 6 1 1 1 6
0 3 1 3 0 3 1 3
1 1 2 5 0 2 1 1
Linha Linha Linha= −
   
   − − → − −   
− −      
3 2. 2 3. 3
1 1 1 6 1 1 1 6
0 3 1 3 0 3 1 3
0 2 1 1 0 0 1 3
Linha Linha Linha= +
   
   − − → − −   
− − −      
Relacionando a última matriz obtida ao sistema cuja matriz ampliada é 
esta, temos o sistema equivalente ao inicial:
6
3 3 3
3
x y z
y z
z
+ + =
 − + = −
 − = −
96 UNIUBE
Assim, resolvendo a terceira equação e substituindo os valores encon-
trados nas demais, temos que 3z = , 2y = e 1x = , que era exatamente 
a solução esperada por se tratar de sistemas equivalentes.
Vejamos agora o segundo método.
Exemplo 2:
Aplicação do método de Gauss-Jordan
Consideraremos ainda o mesmo sistema.
6
2 3 9
2 5
x y z
x y z
x y z
+ + =
 − + =
 − + = 
1 1 1 6
2 1 3 9
1 1 2 5
 
 − 
−  
Como este método é uma continuação de interações sobre as matrizes 
que estão sendo geradas, para aplicá -lo, teremos que passar por todos 
os passos anteriores. Sendo assim, vejamos como ele é aplicado:
2 2 2. 1
1 1 1 6 1 1 1 6
2 1 3 9 0 3 1 3
1 1 2 5 1 1 2 5
Linha Linha Linha= −
   
   − → − −   
− −      
3 1 3
1 1 1 6 1 1 1 6
0 3 1 3 0 3 1 3
1 1 2 5 0 2 1 1
Linha Linha Linha= −
   
   − − → − −   
− −      
3 2. 2 3. 3
1 1 1 6 1 1 1 6
0 3 1 3 0 3 1 3
0 2 1 1 0 0 1 3
Linha Linha Linha= +
   
   − − → − −   
− − −      
UNIUBE 97
1 3. 1 2
1 1 1 6 3 0 4 15
0 3 1 3 0 3 1 3
0 0 1 3 0 0 1 3
Linha Linha Linha= +
   
   − − → − −   
− − − −      
1 1 4. 3
3 0 4 15 3 0 0 3
0 3 1 3 0 3 1 3
0 0 1 3 0 0 1 3
Linha Linha Linha= +
   
   − − → − −   
− − − −      
2 2 3
3 0 0 3 3 0 0 3
0 3 1 3 0 3 0 6
0 0 1 3 0 0 1 3
Linha Linha Linha= +
   
   − − → − −   
− − − −      
11 1
3
3 0 0 3 1 0 0 1
0 3 0 6 0 3 0 6
0 0 1 3 0 0 1 3
Linha Linha=   
   − − → − −   
− − − −      
12 2
3
1 0 0 1 1 0 0 1
0 3 0 6 0 1 0 2
0 0 1 3 0 0 1 3
Linha Linha=−
   
   − − →   
− − − −      
3 1. 3
1 0 0 1 1 0 0 1
0 1 0 2 0 1 0 2
0 0 1 3 0 0 1 3
Linha Linha=−
   
   →   
− −      
Relacionando esta última matriz a um sistema, temos o seguinte sistema 
equivalente:
1
2
3
x
y
z
=
 =
 =
Tal método é muito interessante e muito aplicado em resoluções de sis-
temas, pois ele nos mostra diretamente qual é a solução do mesmo.
98 UNIUBE
Falando ainda sobre esses métodos, vejamos outros exemplos de sistemas 
de equações lineares que podemos solucionar por meio deles.
Você já aprendeu que, dado um sistema de equações lineares, esse 
pode ou não ter solução. Como ficaria este estudo utilizando os métodos 
acima? Vejamos:
Considere o sistema de equações lineares abaixo:
1
2 3 4 0
x y z
x y z
+ + =
− + + =
Encontrando e trabalhando sobre sua matriz ampliada, temos:
2 2. 1 21 1 1 1 1 1 1 1
2 3 4 0 0 5 6 2
Linha Linha Linha= +   
→   −   
1 5. 1 21 1 1 1 5 0 1 3
0 5 6 2 0 5 6 2
Linha Linha Linha= − −   
→   
   
11 . 1
5
1 0 1 35 0 1 3
5 5
0 5 6 2 0 5 6 2
Linha Linha=
 − −   →      
12 . 2
5
1 0 1 31 0 1 3
5 55 5
0 1 6 20 5 6 2
5 5
Linha Linha=
 −   − →         
Relacionando a última matriz ao seu sistema, temos:
3
5 5
6 2
5 5
zx
y z
 − =

 + =

UNIUBE 99
Assim, o sistema terá como soluções: 3
5 5
zx = + , 6 2
5 5
y z= − + e z z= . 
Como o valor de z poderá ser qualquer número real, tal sistema admite 
infinitas soluções.
Sistemas que possuem esta propriedade são chamados de sistemas pos-
síveis e indeterminados, ou seja, se o sistema possuir infinitas soluções, 
este é denominado quanto à sua classificação como sendo possível e 
indeterminado.
No caso de o sistema possuir apenas uma única solução, ele é classifi-
cado como sendo possível e determinado.
Vejamos ainda outro tipo de situação que pode ocorrer numa resolução 
de um sistema de equações lineares:
1
2 2 2 0
3 5 7
x y z
x y z
x y z
+ − =
− − + =
 − + =
Encontrando e trabalhando sobre sua matriz ampliada, temos:
2 2. 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 0 0 0 0 2
3 1 5 7 3 1 5 7
Linha Linha Linha= +
− −   
   − − →   
− −      
3 3. 1 1. 3
1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 2 0 0 0 2
3 1 5 7 0 4 8 4
Linha Linha Linha= −
− −   
   →   
− − −      
13 . 3
4
1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 2 0 0 0 2
0 4 8 4 0 1 2 1
Linha Linha=
− −   
   →   
− − − −      
100 UNIUBE
13 . 3
4
1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 2 0 0 0 2
0 4 8 4 0 1 2 1
Linha Linha=
− −   
   →   
− − − −      
3 2
1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 2 0 1 2 1
0 1 2 1 0 0 0 2
Linha Linha=
− −   
   → − −   
− −      
Relacionando a última matriz a seu sistema, temos que:
1
0 2 1
0 0 0 2
x y z
x y z
x y z
+ − =
 + − = −
 + + =
Observando a terceira equação obtida, concluímos que não exis-
tirá nenhum valor de x , y e z , que será solução da mesma, já que 
0 0 0 2x y z+ + = implica 0 2= , o que sabemos não ser verdade. Sendo 
assim, tal sistema não admite nenhuma solução.
Tais sistemas são classificados como sistemas impossíveis.
Resumidamente, temos que: quanto às soluções do sistema, o mesmo 
pode ser:
Sistema Possível
(Possui solução)
Determinado
Possui uma única solução
Indeterminado
Possui infinitas soluções
Sistema Impossível
(Não possui solução)
UNIUBE 101
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 4
Resolva o sistema de equações lineares abaixo, utilizando um dos métodos 
de escalonamento:
2 3 9
2 0
3 4 5
x y z
x y z
x y z
+ − =
 + + =
 − + = −
Esperamos que você tenha entendido os métodos e exemplos aborda-
dos. Passaremos agora às aplicações. Caso tenha ficado alguma dúvida, 
retome as páginas anteriores e refaça os exemplos. Se for preciso, utilize 
qualquer bibliografia que agrega em seu corpo tais conceitos, pode ser 
até mesmo algum livro do Ensino Médio.
Veja agora, como exemplo, onde podemos encontrar os sistemas de 
equações lineares, e usar os métodos que estudamos anteriormente 
para obter solução para uma determinada situação-problema.
	3.7	 Aplicações	relacionadas	aos	sistemas	lineares
Na maioria das bibliografias dedicadas a este assunto, existem várias 
situações-problema em que podemos utilizar, como ferramenta para 
solução, os sistemas lineares. Vejamos algumas destas aplicações:
No campo da matemática aplicada, um dos principais desafios é a pas-
sagem da coleta de dados para a descrição matemática dos mesmos 
AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 4
Resolva o sistema de equações lineares abaixo, utilizando um dos métodos 
de escalonamento:
2 3 9
2 0
3 4 5
x y z2 3 9x y z2 3 9
x y z2 0x y z2 0
x y z3 4 5x y z3 4 5
+ − =2 3 9+ − =2 3 9x y z+ − =x y z2 3 9x y z2 3 9+ − =2 3 9x y z2 3 9




2 0+ + =2 02 0x y z2 0+ + =2 0x y z2 0







3 4 5− + = −3 4 53 4 5x y z3 4 5− + = −3 4 5x y z3 4 5



102 UNIUBE
por meio de funções, com a maior precisão possível, para posterior ge-
neralização. Por exemplo, suponhamosque quiséssemos determinar um 
polinômio de 2º grau que passe pelos pontos, ( )1,3 , ( )2,4 e ( )3,7 . Este 
processo é chamado de interpolação polinomial. Neste caso, vejamos 
como é feita tal busca:
Nosso polinômio procurado é da forma 2y ax bx c= + + . Assim temos:
1 3x y= → = ; Logo, temos que: 23 1 1 3a b c a b c= ⋅ + ⋅ + → + + = ;
2 4x y= → = ; Logo, temos que: 24 2 2 4 2 4a b c a b c= ⋅ + ⋅ + → + + = ;
3 7x y= → = ; Logo, temos que: 27 3 3 9 3 7a b c a b c= ⋅ + ⋅ + → + + = .
Como tal função polinomial estará determinada, quando encontrarmos 
os coeficientes a, b e c, temos que resolver o seguinte sistema:
3
4 2 4
9 3 7
a b c
a b c
a b c
+ + =
 + + =
 + + =
Utilizando por exemplo a regra de Cramer, temos que:
1 1 1
4 2 1 det 2
9 3 1
A A A
 
 = → = = − 
 
 
; Como det 0A ≠ e o número de in-
cógnitas do sistema ( )3n = é igual ao número de equações do sistema 
( )3m = , portanto o sistema é normal, e assim podemos usar este método 
de resolução. Continuando o processo, temos:
3 1 1
24 2 1 2 1
2
7 3 1
a
a
DD a
A
−
= = − → = = =
−
;
UNIUBE 103
1 3 1
4üü
2
9 7 1
b
b
DD b
A
= = → = = = −
−
;
1 1 3
84 2 4 8 4
2
9 3 7
c
c
DD c
A
−
= = − → = = =
−
.
Logo, o polinômio procurado é: 2 2 4y x x= − + . Interessante, não é 
mesmo?
É importante observar que o melhor sistema obtido por este processo será 
aquele que é possível e determinado, isto é, possui uma única solução. 
A ideia para obtermos tal sistema é a seguinte:
• quando temos três pontos – interpolação por um polinômio de grau 2;
• quando temos quatro pontos – interpolação por um polinômio de grau 3;
• quando temos cinco pontos – interpolação por um polinômio de grau 4;
• e, de um modo geral, se tivermos n pontos – interpolação por um 
polinômio de grau 1n − , e neste caso geral, é possível mostrar que o 
sistema relacionado com a interpolação possuirá uma única solução, 
isto é, há um único polinômio interpolado.
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 5
Utilizando o método de interpolação polinomial, determine um polinômio de 
grau 2, que passe pelos pontos ( )1,6 , ( )2,3− e ( )2,11 .
AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 5
Utilizando o método de interpolação polinomial, determine um polinômio de 
grau 2, que passe pelos pontos ( )1,6 , ( )2,3− e ( )2,11 .
104 UNIUBE
Atividade 6
Um biólogo colocou três espécies de bactérias (denotadas por I, II e III) 
em um tubo de ensaio, onde serão alimentadas por três fontes diferentes 
de alimentos (A, B e C). A cada dia serão colocadas 2500 unidades de 
alimento A, 4500 unidades do alimento B e 2000 unidades do alimento 
C. O consumo diário de alimento pelas bactérias (em unidades por dia), 
está mostrado na tabela abaixo. Nestas condições, determine quantas 
bactérias de cada espécie podem coexistir no tubo de ensaio e consumir 
todo o alimento.
Bactéria
Espécie I
Bactéria
Espécie II
Bactéria
Espécie III
Alimento A 1 2 1
Alimento B 2 1 3
Alimento C 1 1 1
Atividade 7
Suponha que o Sr. Joaquim tenha juntado em seu cofre algumas moedas 
de 5 centavos, de 10 centavos e de 25 centavos. No total, há 400 moedas 
e a quantidade de moedas de 10 centavos é o dobro do total de moedas 
de 5 centavos. Além disso, sabe-se que o valor total de moedas é de 
50,00 reais. Nestas condições responda, qual é o número de moedas de 
cada tipo?
Vejamos agora outra aplicação.
Uma das várias aplicações cabíveis ao tópico de sistemas lineares, e 
portanto aqui, é o de estudo de circuitos elétricos simples. Denominamos 
Circuitos Elétricos Simples (CES) os circuitos planos que possuem em 
Atividade 6
Um biólogo colocou três espécies de bactérias (denotadas por I, II e III) 
em um tubo de ensaio, onde serão alimentadas por três fontes diferentes 
de alimentos (A, B e C). A cada dia serão colocadas 2500 unidades de 
alimento A, 4500 unidades do alimento B e 2000 unidades do alimento 
C. O consumo diário de alimento pelas bactérias (em unidades por dia), 
está mostrado na tabela abaixo. Nestas condições, determine quantas 
bactérias de cada espécie podem coexistir no tubo de ensaio e consumir 
todo o alimento.
Bactéria
Espécie I
Bactéria
Espécie II
Bactéria
Espécie III
Alimento A 1 2 1
Alimento B 2 1 3
Alimento C 1 1 1
Atividade 7
Suponha que o Sr. Joaquim tenha juntado em seu cofre algumas moedas 
de 5 centavos, de 10 centavos e de 25 centavos. No total, há 400 moedas 
e a quantidade de moedas de 10 centavos é o dobro do total de moedas 
de 5 centavos. Além disso, sabe-se que o valor total de moedas é de 
50,00 reais. Nestas condições responda, qual é o número de moedas de 
cada tipo?
UNIUBE 105
sua estrutura apenas fontes (baterias) e resistores. Veja um exemplo 
típico de um circuito simples:
Onde E representa a força elétrica, R a resistência (ou resistor) e i 
representa a corrente elétrica.
Considerando as Leis de Kirchhoff bem como a Lei de Ohm, podemos 
analisar o circuito elétrico por meio de sistemas.
Recordemos brevemente tais leis:
Lei de Ohm:
A força elétrica (E) necessária para fazer com que a corrente (I) passe 
pelo resistor (R) é igual ao produto de I por R, ou seja, E RI= .
Leis de Kirchhoff:
• A diferença de potencial total medida em qualquer ciclo é nula.
• Em qualquer nó, a corrente total que chega neste é igual à corrente 
total que sai do nó.
Entenda aqui ciclo como sendo qualquer caminho fechado de um circuito 
elétrico simples e nó como sendo a junção de três ou mais caminhos 
do circuito.
Por exemplo, considere o circuito elétrico simples abaixo:
106 UNIUBE
b c dR1
R4
R5R2
R3
i1
a f e
E1 E2
E3
i2 i3
Temos neste circuito três ciclos e dois nós a saber:
Ciclos:
(1) a b c f a→ → → → (2) c d e f c→ → → → 
(3) a b c d e f a→ → → → → → ;
Nós:
( )f : junção dos caminhos f a→ , f c→ e f e→ ;
( )c : junção dos caminhos c b→ , c f→ e c d→ .
De posse destes conceitos, considerando o circuito anterior, podemos 
analisar uma situação-problema aplicada em CES. Vejamos:
Considere o circuito elétrico simples dado anteriormente:
b c dR1
R4
R5R2
R3
i1
a f e
E1 E2
E3
i2 i3
UNIUBE 107
Supondo 1 40E V= , 2 40E V= , 3 80E V= , 1 10R = Ω , 2 5R = Ω , 3 20R = Ω , 
4 5R = Ω e 5 5R = Ω , determinemos juntos os valores das correntes 1 2,i i 
e 3i .
Utilizando a Lei de Ohm juntamente com a 1ª Lei de Kirchhoff apresentada 
anteriormente, temos as seguintes equações lineares:
• Ciclo a b c f a→ → → →
1 1 1 2 2 3 1 2 1 2 1 1 20 40 10 40 20 5 0 15 20 0E i R E i R i R i i i i i− − + − = → − − + − = → − + =
Simplificando um pouco mais, temos: 1 2 1 215 20 0 3 4 0i i i i− + = → − = .
• Ciclo c d e f c→ → → →
2 3 2 3 4 3 3 5 2 3 3
2 3
0 20 40 5 80 5 0
20 120 10 0
i R E i R E i R i i i
i i
− + − + − = → − + − + − = →
− + − =
Simplificando um pouco mais, temos:
2 3 2 32 12 0 2 12i i i i− + = → + =
• Ciclo a b c d e f a→ → → → → →
1 1 1 3 4 3 3 5 1 2 1 3 3 1
1 3
0 40 10 5 80 5 5 0
15 10 120
E i R i R E i R i R i i i i
i i
− − + − − = → − − + − − = →
+ =
Simplificando um pouco mais, temos:
1 3 1 3üüüüüi i i i+ = → + =
Observe que esta última equação é uma combinação linear das duas 
primeiras equações. Verifique isto!
108 UNIUBE
Portanto, não é necessário incluí-la em nossa resolução do sistema, ou 
seja, podemos desconsiderá-la.
Agora, aplicando a 2ª lei de Kirchhoff temos que:
Nó c : 1 2 3i i i+ =
Nó f : 3 1 2i i i= + (Que é uma equação equivalente à obtida no nó c).
Assim, em resumo, temos o seguinte sistema de equações lineares:
1 2
2 3
1 2 3
3 4 0
2 12
0
i i
i i
i i i
− =
 + =
 + − =
1 2 3Trocando a 3ª linha com a 1ª linha
2 3
1 2
0
2 12
3 4 0
i i i
i i
i i
+ − =
→ + =
 − =
Utilizando o escalonamento, temos que:
3 3. 1 3
2 3 3. 2
3 7
1 1 1 0 1 1 1 0
0 2 1 12 0 2 1 12
3 4 0 0 0 7 3 0
1 1 1 0 1 1 1 0
0 2 1 12 0 1 6 36
0 7 3 0 0 7 3 0
1 1 1 0
0 1 6 36
0 7 3 0
Linha Linha Linha
Linha Linha Linha
Linha
= −
= −
= ⋅
− −   
   →   
− −      
− −   
   → − −  
− −      
− 
 − − 
−  
2 3
13 3
39
1 1 1 0
0 1 6 36
0 0 39 252
1 1 1 0 1 1 1 0
0 1 6 36 0 1 6 36
0 0 39 252 0 0 1 84
13
Linha Linha
Linha Linha
−
=−
− 
 → − − 
− −  
 
 − − 
  − − → − −  
 − −    
 
UNIUBE 109
Assim, o sistema associado à matriz escalonada e consequentemente 
equivalente ao sistema inicial é: 
1 2 3
2 3 1 2
3
0
48 366 36 ,
13 13
84
13
i i i
i i i i
i

 + − =

− = − → = =

 =

 e 
3
84
13
i = .
Ou seja, 1 23,69 , 2,77i A i A  e 3 6,46i A .
Como o sistema envolvido nessa situação-problema é normal (Verifique!), 
poderíamos ter usado outro método para resolver este problema, como a 
regra de Cramer, por exemplo, sendo assim, confirme o resultado obtido, 
usando tal método.
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 8
Determine as correntes para cada um dos circuitos elétricos abaixo:
a) 
I1
I2 I2
I3I3
I11 ohm
4 ohms
1 ohm
8 volts 
12 volts 
b) 
I1
I2 I2
I3I3
I12 ohms 
5 ohms 
5 ohms 
6 volts 
10 volts 
Atividade 8
Determine as correntes para cada um dos circuitos elétricos abaixo:
a) 
II1
I2I2I I2I2I
I3I3
II11 ohm
4 ohms
1 ohm
8 volts
12 volts
b) 
II1
I2I2I I2I2I
I3I3
II12 ohms
5 ohms
5 ohms
6 volts
10 volts
110 UNIUBE
Atividade 9
Determine o valor das correntes apresentadas no circuito abaixo:
i2
i4 i5
i3
i1
2 ohms10 volts 
4 ohms 3 ohms 
20 volts 
1 ohm
30 volts
Vejamos agora outra classe de sistemas de equações lineares. A saber, 
os sistemas lineares homogêneos.
 3.8 Sistemas lineares homogêneos
Um sistema de equações lineares é chamdo de homogêneo, se todos 
seus termos independentes forem nulos, isto é, iguais a zero.
Por exemplo, os sistemas abaixo são homogêneos:
0
2 2 2 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
+ − =
− − + =
 − + = 
0
2 3 0
2 0
x y z
x y z
x y z
+ + =
 − + =
 − + = 
0
2 3 4 0
x y z
x y z
+ + =
− + + =
O estudo desse tipo de sistema é interessante, pois se trata de sistemas 
que sempre serão resolúveis, isto é, dado um sistema linear homogê-
neo, existe no mínimo uma solução para o mesmo, a saber, a solução 
nula.
UNIUBE 111
No caso dos três sistemas acima, claramente você pode observar que 
estes têm como solução comum os valores 0, 0x y= = e 0z = .
Mas, agora que sabemos o que é um sistema de equações lineares ho-
mogêneo e conhecemos também uma de suas principais particularidades 
(sempre é resolúvel), como poderemos encontrar suas soluções? Para 
esta classe de sistemas, também analisamos suas soluções pelo método 
de redução à forma escada ou pelo método de Gauss-Jordan.
Vejamos alguns exemplos das possíveis situações que poderão ocorrer 
com relação a essa classe de sistemas:
Exemplo 1:
Analisemos as soluções do sistema linear homogêneo abaixo:
0
2 2 2 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
+ − =
− − + =
 − + =
Como os termos independentes, após aplicarmos qualquer operação 
elementar nas linhas da matriz ampliada deste sistema, não se altera-
rão, sempre serão igual a zero, não é necessário apresentar, na matriz 
ampliada deste, a coluna dos termos independentes. Sendo assim, en-
contrando e trabalhando sobre sua matriz ampliada, temos:
2 2. 1 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 0 0 0
3 1 5 3 1 5
Linha Linha Linha= +
− −   
   − − →   
− −      
112 UNIUBE
3 3. 1 3
13 3
4
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0
3 1 5 0 4 8
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0
0 4 8 0 1 2
Linha Linha Linha
Linha Linha
= −
=
− −   
   →   
− −      
− −   
   →   
− −      
3 3. 1 3
13 3
4
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0
3 1 5 0 4 8
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0
0 4 8 0 1 2
Linha Linha Linha
Linha Linha
= −
=
− −   
   →   
− −      
− −   
   →   
− −      
2 3
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 2
0 1 2 0 0 0
Linha Linha=
− −   
   → −   
−      
Relacionando a última matriz a seu sistema equivalente, temos que:
0
0 2 0
0 0 0 0
x y z
x y z
x y z
− − =
 + − =
 + + =
Implicando que 2y z= e, substituindo este resultado na primeira equação, 
temos que 2 0x z z− − = , o que nos dá 3x z= . Sendo assim, o sistema 
possui infinitas soluções a saber, 3x z= , 2y z= e z z= .
Exemplo 2:
Analisemos as soluções do sistema linear homogêneo abaixo:
0
2 3 0
2 0
x y z
x y z
x y z
+ + =
 − + =
 − + =
UNIUBE 113
Encontrando e trabalhando sobre sua matriz ampliada, temos:
2 2. 1 2
1 1 1 1 1 1
2 1 3 0 3 1
1 1 2 1 1 2
Linha Linha Linha= −
   
   − → −   
− −      
3 1 3
3 2. 2 3. 3
1 1 1 1 1 1
0 3 1 0 3 1
1 1 2 0 2 1
1 1 1 1 1 1
0 3 1 0 3 1
0 2 1 0 0 1
Linha Linha Linha
Linha Linha Linha
= −
= −
   
   − → −   
− −      
   
   − → −   
−      
3 1 3
3 2. 2 3. 3
1 1 1 1 1 1
0 3 1 0 3 1
1 1 2 0 2 1
1 1 1 1 1 1
0 3 1 0 3 1
0 2 1 0 0 1
Linha Linha Linha
Linha Linha Linha
= −
= −
   
   − → −   
− −      
   
   − → −   
−      
Relacionando a última matriz a seu sistema, temos que:
0
0 3 0
0 0 0
x y z
x y z
x y z
+ + =
 + − =
 + + =
Implicando que 0z = e substituindo este resultado na segunda equação, te-
mos que 3 0 0y − = , o que nos dá 0y = , e fazendo a substituição de 0z = e 
0y = na primeira equação, temos 0 0 0x + + = , o que implica 0x = . Sendo 
assim, o sistema possui uma única solução a saber, 0x = , 0y = e 0z = .
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 10
Para cada um dos sistemas lineares homogêneos dados abaixo, determine 
todas as soluções dos mesmos:
a) 
3 0
2 5 0
x y
x y
+ =
− + =
 b) 
3 2 0
5 0
2 0
x y z
x y z
x y
− + =
 + − =
 − =
AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 10
Para cada um dos sistemas lineares homogêneos dados abaixo, determine 
todas as soluções dos mesmos:
a) 
3 0
2 5 0
x y3 0x y3 0
x y2 5 0x y2 5 0
3 0+ =3 03 0x y3 0+ =3 0x y3 0




− + =2 5 0− + =2 5 02 5 0x y2 5 0− + =2 5 0x y2 5 0


 b) 
3 2 0
5 0
2 0
x y z3 2 0x y z3 2 0
x y z5 0x y z5 0
x y2 0x y2 0
3 2 0− + =3 2 03 2 0x y z3 2 0− + =3 2 0x y z3 2 0




+ − =5 0+ − =5 0x y z+ − =x y z5 0x y z5 0+ − =5 0x y z5 0







2 0− =2 02 0x y2 0− =2 0x y2 0



114 UNIUBE
c) 
0
2 3 5 0
0
x y z
x y z
x y z
+ + =
 + − =
− − − =
Outro campo de aplicação de sistemas de equações lineares, mais 
precisamente, aplicações de sistemas lineares homogêneos, é no ba-
lanceamento de equações químicas.
 
Mas o que seria uma equação química balanceada?
Sabemos que, num processo químico, as moléculas dos reagentes se 
combinam formando novas moléculas denominadas produto. Nestas 
condições, quando a equação algébrica que relaciona o número de 
reagentes e produtos na reação fornece o mesmo número de átomos à 
esquerda e à direita da equação, dizemos que a mesma está balanceada. 
O exemplo mais simples e standard que normalmente é utilizado para 
exemplificar isto é o da água. Sabemos que uma molécula de água é 
composta por 2 moléculas de hidrogênio e 1 de oxigênio. Considerando 
os gases hidrogênio ( 2H ) e oxigênio ( 2O ), temos as seguintes equações 
balanceadas, todas produzindo moléculas de água ( 2H O ):
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
4 2 4
6 3 6
H O H O
H O H O
H O H O
+ →
+ →
+ →
Mas o que seria uma equação química balanceada?
c) 
0
2 3 5 0
0
x y z
x y z2 3 5 0x y z2 3 5 0
x y z
+ + =x y z+ + =x y z




2 3 5 0+ − =2 3 5 02 3 5 0x y z2 3 5 0+ − =2 3 5 0x y z2 3 5 0







− − − =x y z− − − =x y z



UNIUBE 115
 
Mas como poderíamos obter tais valores por meio de sistemas?
Poderíamos pensar da seguinte forma: seja x a quantidade de moléculas 
de hidrogênio ( 2H ), y a quantidade de moléculas de oxigênio ( 2O ) e z a 
quantidade de moléculas de água ( 2H O ). Nestas condições, teremos:
2 2 2xH yO zH O+ → .
Ou seja, 2 2 2xH yO zH zO+ = + . Logo, teríamos o seguinte sistema de 
equações lineares: 
2 2 0
e 
2 02
x z zx z y
y z
− =
→ = = − =
. Como , ,x y z∈ , 
os menores valores que balanceiam a equação química acima são: 2z = , 
1y = e 2x = , que correspondem à 1ª equação apresentada.
Interessante, não é mesmo?
Vejamos outro exemplo: Façamos juntos o balanceamento da seguinte 
equação química: 2 2 2 3 2FeS O Fe O SO+ → + . Considerando a incógnita x 
como o número de moléculas de 2FeS , y como o número de moléculas 
de oxigênio ( 2O ), z o de 2 3Fe O e w o número de moléculas de 2SO , te-
mos a seguinte equação química, relacionando o número de moléculas 
de cada componente da reação:
2 2 2 3 2xFeS yO zFe O wSO+ → +
Assim, de forma análoga ao caso anterior, podemos interpretá-la do 
seguinte modo:
Mas como poderíamos obter tais valores por meio de sistemas?
116 UNIUBE
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 3 2
2 2 2 3 2
2 2 2 3 2
2 2 2 3 2
xFeS yO zFe O wSO
x Fe S y O z Fe O w S O
xFe xS yO zFe zO wS wO
xFe xS yO zFe z w O wS
+ → +
+ + = + + +
+ + = + + +
+ + = + + +
E assim, considerando que a equação esteja balanceada, temos:
2 2 0
2 2 0
2 3 2 2 3 2 0
x z x z
x w x w
y z w y z w
= → − =
= → − =
= + → − − =
O que nos leva à resolução do sistema linear homogêneo 
2 0
2 0
2 3 2 0
x z
x w
y z w
− =
 − =
 − − =
.
Resolvendo-o por escalonamento, por exemplo, obtemos o seguinte 
conjunto solução 11, , , ;
2 8 4
w w wS w w  = ∈  
  
 . De fato, veja o processo 
de escalonamento:
1 0 2 0 0 1 0 2 0 0
2 0 0 1 0 Linha 2 = 2 Linha 1 - Linha 2 0 0 4 1 0
0 2 3 2 0 0 2 3 2 0
1 0 2 01 0 2 0 0
10 0 4 1 0 Linha 2 = Linha 2 
4
0 2 3 2 0
− −   
   − ⋅ −   
− − − −      
−
− 
 − − 
− −  


0
10 0 1 0
4
0 2 3 2 0
1 0 2 0 0 1 0 2 0 0
1 1 10 0 1 0 Linha 3 = Linha 3 0 0 1 0
4 2 4
0 2 3 2 0 30 1 1 0
2
1 0 2 0 0
10 0 1 0 Linha 2 = Linha 3
4
30 1 1 0
2
 
 
 −
 
 − − 
 
− −  
  
  − −
  
  − −  − − 
 
 
− 
 
 −
 
 
− − 
 

 
1 0 2 0 0
30 1 1 0
2
10 0 1 0
4
 
− 
 
 − −
 
 
− 
 

UNIUBE 117
1 0 2 0 0 1 0 2 0 0
2 0 0 1 0 Linha 2 = 2 Linha 1 - Linha 2 0 0 4 1 0
0 2 3 2 0 0 2 3 2 0
1 0 2 01 0 2 0 0
10 0 4 1 0 Linha 2 = Linha 2 
4
0 2 3 2 0
− −   
   − ⋅ −   
− − − −      
−
− 
 − − 
− −  


0
10 0 1 0
4
0 2 3 2 0
1 0 2 0 0 1 0 2 0 0
1 1 10 0 1 0 Linha 3 = Linha 3 0 0 1 0
4 2 4
0 2 3 2 0 30 1 1 0
2
1 0 2 0 0
10 0 1 0 Linha 2 = Linha 3
4
30 1 1 0
2
 
 
 −
 
 − − 
 
− −  
  
  − −
  
  − −  − − 
 
 
− 
 
 −
 
 
− − 
 

 
1 0 2 0 0
30 1 1 0
2
10 0 1 0
4
 
− 
 
 − −
 
 
− 
 

Considerando o sistema 
2 0
3 0
2
1 0
4
x z
y z w
z w

− =
 − − =

 − =
, obtemos:
12 22 0 4 2
3 3 1 110 0
2 2 4 8
1 10
4 4
wx z x wx z
y z w y w w y w
z w z w
 = → = ⋅ =− =
 − − = → − ⋅ − = → = 
 
 − = =  
.
Obtendo, assim, o conjunto solução 11, , , ;
2 8 4
w w wS w w  = ∈  
  
 es-
perado.
Como procuramos, na prática, a equação balanceada mais simples, ou 
seja, os menores valores naturais de x, y, z e w que balanceiam a equa-
ção dada, temos:
2 2 2 3 24 11 2 8FeS O Fe O SO+ → +
118 UNIUBE
Observe que, para chegarmos a esta equação balanceada, escolhemos 
8w = .
Faça agora as próximas atividades envolvendo balanceamento de rea-
ções químicas.
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 11
Faça o balanceamento das equações químicas abaixo:
a) 2 5 2 2N O NO O→ + b) 2 2 6 12 6 2CO H O C H O O+ → +
c) ( )4 3 3 2 22
NH CO NH H O CO→ + + d) 4 10 2 2 2C H O CO H O+ → +
Para aprimorar um pouco mais seus conhecimentos sobre os assuntos 
tratados neste capítulo, você pode procurar buscar outras fontes e/ou for-
mas de aprendizagem, como o estudo com outros colegas, fóruns virtuais 
de discussões matemáticas, outras bibliografias; afinal de contas, o ato de 
aprender deve estar sempre presente na vida de nós, estudantes. Lembra-
mos que, para entendermos um conceito matemático ou uma parte desta 
belíssima ciência, é preciso estudá-la e depois exercitá-la muito. Portanto, 
seguem mais alguns exercícios para a fixação de aprendizagem.
Resumo
Neste capítulo foram abordados os sistemas de equações lineares. 
Dentre alguns dos conceitos apresentados, vimos que:
AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 11
Faça o balanceamento das equações químicas abaixo:
a) 2 5 2 2N O NO O2 5 2 2N O NO O2 5 2 2N O NO O→ +N O NO O2 5 2 2N O NO O2 5 2 2→ +2 5 2 2N O NO O2 5 2 2 b) 2 2 6 12 6 2CO H O C H O O2 2 6 12 6 2CO H O C H O O2 2 6 12 6 2CO H O C H O O+ → +CO H O C H O O2 2 6 12 6 2CO H O C H O O2 2 6 12 6 2+ → +2 2 6 12 6 2CO H O C H O O2 2 6 12 6 2
c) ( )4 3 3 2 2)4 3 3 2 2)24 3 3 2 224 3 3 2 2NH CO NH H O CO)NH CO NH H O CO)4 3 3 2 2NH CO NH H O CO4 3 3 2 2)4 3 3 2 2)NH CO NH H O CO)4 3 3 2 2)4 3 3 2 224 3 3 2 2NH CO NH H O CO4 3 3 2 224 3 3 2 2NH CO NH H O CO→ + +NH CO NH H O CO4 3 3 2 2NH CO NH H O CO4 3 3 2 2→ + +4 3 3 2 2NH CO NH H O CO4 3 3 2 2 d) 4 10 2 2 2C H O CO H O4 10 2 2 2C H O CO H O4 10 2 2 2C H O CO H O+ → +C H O CO H O4 10 2 2 2C H O CO H O4 10 2 2 2+ → +4 10 2 2 2C H O CO H O4 10 2 2 2
UNIUBE 119
• Equação linear é uma expressão do tipo bxaxaxaxa nn =++++ ...332211
bxaxaxaxa nn =++++ ...332211 , onde 1 2 3, , ,..., na a a a são números reais, que recebem o 
nome de coeficientes das incógnitas 1 2 3, , ,..., nx x x x , e b é um número 
real chamado de termo independente. E a solução da equação linear 
é toda n-dupla de números do tipo ( )1 2 3, , ,..., nx x x x que satisfaçam 
identicamente a equação.
Exemplo: 2 3 5 0x y z+ − = , que possui como solução a terna ordenada 
( )1,1,1 .
• Sistema de equações lineares é um conjunto de equações lineares. 
E, por solução deste, todo elemento que satisfaz identicamente todas 
as equações ao mesmo tempo.
Exemplo: 





=+−
=−+
=+−
623
02
3
zyx
zyx
zyx
É um sistema de equações lineares composto por três equações lineares. 
Sua única solução é a terna ordenada ( )1, 1,1− .
Ainda sobre a(s) solução(ões) de sistemas propriamente ditos, os siste-
mas são classificados como:
• possível e determinado: quando possui uma única solução;
• possível e indeterminado: quando possui infinitas soluções;
• impossível: quando não admite solução.
Veja exemplos no corpo deste capítulo.
120 UNIUBE
• Também vimos os seguintes métodos de resolubilidade de sistemas 
de equações lineares, como o processo de escalonamento, também 
conhecido como método de Gauss e/ou de Gauss-Jordan, e a regra 
de Cramer.
Veja exemplos destes métodos no corpo do capítulo.
• Também foram abordadas neste capítulo algumas importantíssimas 
aplicações deste tema, como são os casos da interpolação polinomial, 
dos balanceamentos químicos e da análise de circuitos elétricos sim-
ples, dentre outras situações-problema.
Veja exemplos destas aplicações no corpo do capítulo.
Atividades
Atividade 1
Resolva os sistemas de equações lineares abaixo usando a regra de 
Cramer:
a) 
7 2 17
3 5 1
x y
x y
+ =
 + = −
 b) 
2 2
2 3 9
3 3 2 3
x y z
x y z
x y z
+ − =
 − + =
 + − =
c) 
10
3 2 10
x y
x y
+ =
 − = −
 d) 
2 2 6
2
2 2 3 7
x y z
x y z
x y z
+ + =
 + + =
 + + =
e) 
4 3 18
3 5 1
x y
x y
− =
− − =
 f) 
2 2
2 3 9
3 3 2 3
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + − = −
 + − =
UNIUBE 121
Atividade 2
Escalone, resolva e classifique os sistemas de equações lineares 
abaixo:
a) 
3 0
4 0
2 3 7 0
x y z
x y z
x y z
+ − =
 − + =
 − + =
 b) 
3 1
3 4 2
7 10 3 6
x y z
x y z
x y z
− + =
 − + =
 − − =
 c) 
2 2
2 3
4 3
x y z
x y z
x y z
− + =
 + − =
 − + =
d) 
2 1
2 2
3 2 1
x y z
x y z
x y z
− + =
 + − =
 + − =
 e) 
3 0
2 1
2 2 2
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + + =
 + + =
 f) 
23 0
4 8 6 2
6 0
x y z
x y z
x y z
+ + =
 − − =
 + − =
g) 
3 0
2 2 6 0
2 3 7 0
x y z
x y z
x y z
+ − =
 + − =
 − + =
 h) 
3 1
2 2 1
7 10 3 6
x y z
x y z
x y z
− + =
 − − =
 − − =
 i) 
2 2
2 2 2 0
4 3
x y z
x y z
x y z
− + =
 − + =
 − + =
Atividade 3
Resolva os sistemas abaixo, utilizando um dos métodos estudados e 
verifique a solução obtida substituindo a mesma nas equações:
a) 
1
2 3 5
x y
x y
+ =
 + = 
b) 
2 9
3 2
4 3 2 1
x y z
x y z
x y z
− + = −
 + − =
 + + = 
c) 
2 2 2
3 5 3
x y
x y
+ =
− + = −
d) 
7 16
3 5 2 26
5 3 14
x y z
x y z
x y z
− + = −
 + + =
 − + = 
e) 
3 4 6
2 3 5
x y
x y
+ =
 + =
 f) 
2 9
2 3 1
4 3 2 1
x y z
x y z
x y z
− + = −
 + + = −
 + + =
Atividade 4
Resolva os sistemas abaixo, usando a regra de Cramer:
a) 
2 3 0
4 8 6 2
6 0
x y z
x y z
x y z
+ + =
 − − =
 + − =
 b) 
2 2 6
2
2 2 3 7
x y z
x y z
x y z
+ + =
 + + =
 + + =
 c) 
2 3 0
2 9 5 2
6 0
x y z
x y z
x y z
+ + =
 + + = −
 + − =
122 UNIUBE
Atividade 5
Considere o sistema 
2 3 0
3 2
7 3 10
x y z
y z
y z
− − + =
 − =
 − − = −
. A solução do mesmo é:
a) ( )2,1, 3− b) ( )1,1,1 c) ( )0,6,0
d) ( )0,0,0 e) ( )1,1, 1− −
Atividade 6
Utilizando o método de interpolação polinomial, determine um polinômio 
de grau 2, que passe pelos pontos:
a) ( )1,2 , ( )2,17− e ( )2,9 ; b) ( )1,3 , ( )2,3− e ( )2,7 ;
c) ( )1, 3− , ( )2, 3− − e ( )2, 7− .
Atividade 7
Solucione as diversas situações-problema apresentadas abaixo:
a) Para a festa de Natal, uma creche necessitava de 120 brinquedos. 
Recebeu uma doação de 370 reais. Esperava-se comprar carrinhos a 
2 reais cada, bonecas a 3 reais cada e bolas a 3,50 reais cada. Se o 
número de bolas deveria ser igual ao número de bonecas e carrinhos 
juntos, quantos carrinhos, bonecas e bolas deveriam ser comprados?
b) Três amigos, em uma conversa sobre seus salários, descobriram 
que:
• o dobro do salário do 1º, mais o salário do 2º, mais o triplo do salário 
do 3º, dá para comprar um carro de R$ 7.000,00;
UNIUBE 123
• o salário do 1º mais duas vezes o salário do 3º é igual o salário do 2º;
• metade do salário do 1º, mais metade do salário do 3º, é o valor de 
uma TV de R$ 1.000,00.
Nestas condições, determine o salário de cada um dos amigos.
c) Suponha que o Sr. Joaquim tenha juntado em seu cofre algumas 
moedas de 5 centavos, de 10 centavos e de 25 centavos. No total, há 
200 moedas e a quantidade de moedas de 10 centavos é o dobro do 
total de moedas de 5 centavos. Além disso, sabe-se que o valor total 
de moedas é de 30,00 reais. Nestas condições, responda: qual é o 
número de moedas de cada tipo?
Referências
IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Sistemas lineares. In:_____. Fundamentos de 
matemática elementar: sequências, matrizes, determinantes, sistemas. 6. ed. São 
Paulo: Atual, 1995. cap. 6, v. 4.
KOLMAN, Bernard; HILL, David R. Equações lineares e sistemas. In:_____. Introdução 
à	álgebra	linear	com	aplicações. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. cap. 1.
POOLE, David. Sistemas de equações lineares. In:____. Álgebra linear. São Paulo: 
Pioneira Thomson Learning, 2004. cap. 2.
Capítulo 1 – Agora é a sua vez
Atividade 1
Pergunta 1.1
Produção da Fábrica 1 = 1500 750 1000 3250+ + = unidades;
Produção da Fábrica 2 = 0 1500 1000 2500+ + = unidades;
Produção da Fábrica 3 = 700 700 700 2100+ + = unidades;
Portanto, a Fábrica 1 é a que produz mais.
Pergunta 1.2
1000 1000 700 2700+ + = unidades.
Pergunta 1.3
A que produz menos será, portanto, a Fábrica 3.
Pergunta 1.4
Produção semanal de A = üüüüü+ = ;
Produção semanal de B = 750 1500 700 2950+ + = ;
Referencial de respostas
126 UNIUBE
Produção semanal de C = 1000 1000 700 2700+ + = ;
Como o produto produzido em menor quantidade é o Produto A, 
pararia de fabricar o Produto A.
Atividade 2
a) 11 1a = , 12 0a = , 13 0a = , 21 0a = , 22 1a = , 23 0a = , 31 0a = , 
32 0a = , 33 1a = . Portanto, 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A
 
 =  
 
 
, que é a matriz identi-
dade de ordem 3.
b) 11 0a = , 12 0a = , 13 1a = , 14 0a = , 21 0a = , 22 1a = , 23 0a = , 
24 0a = , 31 1a = , 32 0a = , 33 0a = , 34 0a = , 41 0a = , 42 0a = , 43 0a = , 
44 0a = .
Portanto, 
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
B
 
 
 =
 
 
 
, que é uma matriz quadrada de ordem 4.
Atividade 3
5 7
8 10
11 13
A
 
 =  
 
 
Atividade 4
Como a matriz 
1 1 1 1
2 4 8 16
3 9 27 81
A
 
 =  
 
 
, temos:
UNIUBE 127
1
11 1 1= =a , 
2
12 1 1a = = , 
3
13 1 1a = = ,
4
14 1 1a = = , 
1
21 2 2a = = , 
2
22 2 4a = = , 
3
23 2 8a = = , 
4
24 2 16a = = , 
1
31 3 3a = = , 
2
32 3 9a = = , 
3
33 3 27a = = , 
4
34 3 81a = = .
Portanto, ( )3 3
 ijA a
×
= , onde j
ija i= .
Atividade 5
a) Em Uberaba: 100 10 110+ = reais
Em Uberlândia: 50 20 70+ = reais
Logo a resposta será 110 70 180+ = reais.
b) Produto A 180→ reais
Produto B 200 15 100 30 345→ + + + = reais
Produto C 300 20 150 40 510→ + + + = reais
c)
Custo de Produção Custo de transporte Custo de Produção Custo de transporte
1 2
C
100 10 50 20
200 15 100 30
300 20 150 40
100 50 10 20
200 100 15 30
300 150 20 40
E E
   
   + = + =   
      
+ + 
 = + + 
 + + 
usto de Produção Custo de transporte Custo de Produção Custo de transporte
Modelo A
Modelo B
Modelo C
150 30
300 45
450 60
 
 =  
  
128 UNIUBE
Atividade 6
6 11
7 12 2 6 2 7 3 2
8 13
A x e x y x e y
 
 = ⇒ = + = ⇒ = = 
 
 
.
Atividade 7
a) 
0 3
1 2
7 2
A B
 
 + = − 
 
 
b) 
0 3
1 2
7 2
B A
 
 + = − 
 
 
c) 
2 4
3 0
11 1
A C
− 
 + =  
 
 
d) Não é possível, pois as ordens das matrizes são diferentes.
Atividade 8
1 3 5 2 5 0 4 1 5
2 7 5 1 2 4 3 8 2 4
1 1
1, 1, 1, 12
1 12
a b a b
c d c d
a b c d X
− − − +           
+ = − ⇒ = ⇒           − − − −           
− 
⇒ = − = = − = ⇒ =  − 
Atividade 9
1 3 5 2 5 0 4 1 5 0
2 7 5 1 2 4 3 8 2 4
1 1 1 1
1 12 1 12
X X
X X
− − − −         
+ = − ⇒ + = ⇒         − −         
− −   
⇒ = ⇒ =   − −   
UNIUBE 129
Atividade 10
a) 
4 6
2
8 10
A
− 
=  −  
 b) ( )
1 41 3
3 10 5
3 3
B C
 − 
+ =  
  
 
c) ( ) 7 21
3
2 20
A B C
− 
− + =  − 
 d) 
911 1 2
2 4 70
2
A C
 − 
− =  
 − 
 
Atividade 11
3
71
3 3 62 3 5 7 3 2
7 7 7
8 24
7
X A X X A X A X X
 
 
−   
   + = − → = − → = − → = − ⋅ → = −   
    
 − 
  .
Atividade 12
a) Como ordem de A é 2 x 3 e a ordem de B é 3 x 2, é possível 
efetuar a multiplicação da matriz A pela matriz B, já que o número 
de colunas de A é igual ao número de linhas de B e a ordem da 
matriz produto AB será 2 x 2.
Assim, temos após os cálculos que 
4 5
8 6
AB
− 
=  
 
.
b) Como ordem de A é 3 x 2 e a ordem de B é 2 x 4, é possível 
efetuar a multiplicação da matriz A pela matriz B, já que o número 
de colunas de A é igual ao número de linhas de B e a ordem da 
matriz produto AB será 3 x 4.
Assim, temos após os cálculos, 
2 1 1 2
8 2 6 4
13 3 11 6
AB
− − − 
 = − − 
 − − 
.
130 UNIUBE
Atividade 13
a) 11c será obtido efetuando a soma dos produtos dos termos da 1ª 
linha de A pela 1ª coluna de B, ou seja, 11 11 11 12 21 13 31c a b a b a b= + + . 
Assim, 11 8c = − .
b) 23c será obtido efetuando a soma dos produtos dos termos da 2ª li-
nha de A pela 3ª coluna de B, ou seja, 23 21 13 22 23 23 33c a b a b a b= + + . 
Assim, 23 2c = − .
Atividade 14
3 1
6 0 4, 2 9
11
x y
x y x y e z
y z
+ + =
 − + = ⇒ = − = = −
 − = .
Atividade 15
a) ( ) ( )
( ) ( )2
1 1 2 0 1 0 2 11 2 1 0 1 2
4 1 5 0 4 0 5 14 5 0 1 4 5
A I
 ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅− −     
⋅ = ⋅ = =      ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅− −      
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
1 2 3 1 0 0
7 6 10 0 1 0
1 0 0 14 02
1 1 2 0 3 0 1 0 2 1 3 01 0 2 0 3 1
7 1 6 0 10 0 7 0 6 1 10 0 7 0 6 0 10 1
1 1 11 4 0 0 0 0 4 1 0 0 0 4 0 0 1
2 2 2
1 2 3
7 6 10
1 4 0
2
      ⋅ = − ⋅ =      −    
 
⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ 
 = ⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅ = 
 
⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅  
 

= −

−
B I

 =


B
b) 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
1 2 3 1 0 0
7 6 10 0 1 0
1 0 0 14 02
1 1 2 0 3 0 1 0 2 1 3 0 1 0 2 0 3 1
7 1 6 0 10 0 7 0 6 1 10 0 7 0 6 0 10 1
1 1 11 4 0 0 0 0 4 1 0 0 0 4 0 0 1
2 2 2
1 2 3
7 6 10
1 4 0
2
      ⋅ = − ⋅ =      −    
 
⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ 
 = ⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅ = 
 
⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅  
 

= −

−
B I

 =


B
UNIUBE 131
Atividade 16
a) 1
3 2
5 5
1 1
5 5
A−
 − 
=  
  
  
b) 1 1 1
2 3
B− − − 
=  − − 
c) Não existe a matriz inversa de C, de fato:
Supondo 1 a b
C
c d
−  
=  
 
, temos que se,
1
1 1 1 0 1 0 0
0 1
1 1 0 1 0 1 0
1
a c
a b a c b d a c
c d a c b d b d
b d
+ =
+ + + =          = ⇒ = ⇒ ⇒ =         + + + =          
 + =
.
 
Logo, o sistema é impossível, ou seja, é impossível encontrar valo-
res para a, b, c e d, com 1 a b
C
c d
−  
=  
 
, que satisfaçam a equação 
1
2. − =C C I , logo a matriz C não é inversível.
Atividade 17
a) 1 3 4
2 3
A− − 
=  − 
;
b) 4
2 2
2 2
x y
x e y
x y
+ = −
⇒ = − = − − = −
. Logo, ( )
( )
2
2
1 12
42
yx −= − = =
−
.
Capítulo 1 – Atividades de fim de capítulo
Atividade 1
a) A⇒ 3 1× , já que a mesma possui três linhas e uma coluna;
B ⇒ 1 3× , já que a mesma possui uma linha e três colunas;
132 UNIUBE
C ⇒ 2 2× , já que a mesma possui duas linhas e duas colunas;
D ⇒ 2 2× , já que a mesma possui duas linhas e duas colunas;
E ⇒ 3 3× , já que a mesma possui três linhas e três colunas;
F ⇒ 3 3× , já que a mesma possui três linhas e três colunas;
G ⇒ 2 2× , já que a mesma possui duas linhas e duas colunas.
b) i) 
2 3
2
7 10
C D  
+ =  − 
; ii) 
2 2 2 6
1 2 3
0 0 0
AB
 − −
 
= − 
  
 
;
iii) ( )2 2BA = + ; iv) 
0 3 2
3 0 3
1 6 2
E F
− 
 − = − − 
 − − − 
;
v) 
14 24 24
. 24 44 36
24 36 54
F F
 
 =  
 
 
.
c) 7x = e 3y = − .
Atividade 2 
5 8 11
7 10 13
A  
=  
 
Atividade 3
a) 
4 7
3 9
A B C  
+ + =  
 
; b) 
2 13
5 1
A B C
− − 
− − =  
 
;
UNIUBE 133
c) 
1 812
9 102
A B
− − 
− =  
 
; d) ( ) ( ) 37 8
2 3
21 22
B A C B  
− − − =  − − 
.
Atividade 4
a) 
3 8
9 5
− 
 − 
 b) 
5 10 20
2 4 8
7 14 28
− − − 
 
 
 
 
 c) 
2 6 6
5 11 37
 
 − 
Atividade 5
a) 1 4 5
3 4
A−  
=  
 
 b) 1
1 1 1
0 1 1
0 0 1
B−
 
 =  
 
 
c) 1
1 20 5 5
2 10 5 5
1 1 1
2 5 10
−
− 
 
 =
 
 − −
 
A
 
d) Não existe a matriz inversa de B .
Atividade 6 
1a =
Atividade 7
a)
Amigo 1 na Banca 1 6 0,30 3 0,15 10 0,10 3,25→ ⋅ + ⋅ + ⋅ = reais;
Amigo 1 na Banca 2 6 0,50 3 0,10 10 0,05 3,80→ ⋅ + ⋅ + ⋅ = reais;
Amigo 2 na Banca 1 4 0,30 8 0,15 5 0,10 2,90→ ⋅ + ⋅ + ⋅ = reais;
Amigo 2 na Banca 2 4 0,50 8 0,10 5 0,05 3,05→ ⋅ + ⋅ + ⋅ = reais.
134 UNIUBE
b)
0,30 0,50
6 3 10 6 0,30 3 0,15 10 0,10 6 0,50 3 0,10 10 0,05
0,15 0,10
4 8 5 4 0,30 8 0,15 5 0,10 4 0,50 8 0,10 5 0,05
0,10 0,05
3,25 3,80
2,90 3,05
 
⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅    ⋅ = =     ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅    
 
 
=  
 
0,30 0,50
6 3 10 6 0,30 3 0,15 10 0,10 6 0,50 3 0,10 10 0,05
0,15 0,10
4 8 5 4 0,30 8 0,15 5 0,10 4 0,50 8 0,10 5 0,05
0,10 0,05
3,25 3,80
2,90 3,05
 
⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅    ⋅ = =     ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅    
 
 
=  
 
0,30 0,50
6 3 10 6 0,30 3 0,15 10 0,10 6 0,50 3 0,10 10 0,05
0,15 0,10
4 8 5 4 0,30 8 0,15 5 0,10 4 0,50 8 0,10 5 0,05
0,10 0,05
3,25 3,80
2,90 3,05
 
⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅    ⋅ = =     ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅    
 
 
=  
 
Logo, nos dará o que cada um dos amigos gastará em cada uma das ban-
cas, isto é, 
Banca 1 Banca 2
Amigo 1
Amigo 2
3, 25 3,80
2,90 3,05
 
 
 
.
Atividade 8
a)
Pai na Loja 1 üüüüü→ ⋅ + ⋅ + ⋅ = reais;
Pai na Loja 2 3 7,50 2 22,50 2 60 187,50→ ⋅ + ⋅ + ⋅ = reais;
Mãe na Loja 1 üüüüü→ ⋅ + ⋅ + ⋅ = reais;
Mãe na Loja 2 2 7,50 3 22,50 1 60 142,50→ ⋅ + ⋅ + ⋅ = reais.
b)
5 7,50
3 2 2 3 5 2 30 2 50 3 7,50 2 22,50 2 60
30 22,50
2 3 1 2 5 3 30 1 50 2 7,50 3 22,50 1 60
50 60
175 187,50
150 142,50
 
⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅    ⋅ = =     ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅    
 
 
=  
 
UNIUBE 135
Logo, nos dará o que cada um dos pais gastará se efetuar a compra 
nas respectivas lojas, isto é, 
Loja 1 Loja 2
Pai
Mãe
175 187,50
150 142,50
 
 
 
.
Capítulo 2 – Agora é a sua vez
Atividade 1
a) 
2 1
63
4 3
= −
−
 b) 
3 1 4
0 2 7 60
1 3 2
−
=
−
 c) 
3 1 0
1 2 3 15
4 5 6
−
= −
Atividade 2
4 5 3
10 1 1 1 15 9 4 1 2 1
2
3 1 0
x
x x x x x
x
−
− = ⇒ − + + = ⇒ − = ⇒ = − .
Atividade 3
a)
Cofator de 14a ( )1 4
14
2 1 2
1 1 4 0 17
1 1 1
A +⇒ = − = −
−
Cofator de 24a ( )2 4
24
2 1 2
1 3 1 4 5
2 1 1
A +
−
⇒ = − = −
−
Cofator de 34a ( )3 4
34
2 1 2
1 0 2 1 4
2 1 1
A +
−
⇒ = − =
−
Cofator de 44a ( )4 4
44
2 1 2
1 0 2 1 1
2 1 1
A +
−
⇒ = − = −
−
136 UNIUBE
b) ( ) ( )14 14 24 24 34 34 44 44det 0 17 2 5 0 4 1 1 11A a A a A a A a A= + + + = ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ − = −
Atividade 4
a) Desenvolvendo o determinante pela 3ª linha, temos:
( ) ( )
31 32 33 34 32 33
3 2 3 3
det 0 2 1. 0 2 1.
4 2 1 4 2 2
2 1 1 0 2 1 1 1 3 0 2 1 1 6 4
3 1 2 3 1 1
A A A A A A A
+ +
= ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ + =
−
= ⋅ − − + ⋅ − − = − ⋅ + ⋅ =
− − − −
b) Desenvolvendo o determinante pela 3ª coluna, temos:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
13 23 33 43
1 3 2 3 3 3 4 3
det 3 2 2. 3
2 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 3
3 1 3 2 2 2 1 3 2 2 2 1 2 1 3 3 1 2 1 2
1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 3
3 12 2 2 2 2 3 8 4
A A A A A
+ + + +
= ⋅ + ⋅ + + ⋅ =
= ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − =
= ⋅ − ⋅ + ⋅ − − ⋅ =
Atividade 5
( ) ( ) ( )
( )
31 32 33 34
3 4 3
3 2 2
1 1 1
0 1 1
1 0 0 . 1 1
0 0 1
1 1 0
1 1 1 1
0 1 1 1 0 1 1 1 2 1 2 1 1
1 1 0 1 1
2 1 1 2 1 0 0, 1 2 ou 1 2
a
a
A A a A A
a
a
a a
a a a a a a a
a
a a a a a a a a a
+
= → ⋅ + ⋅ + − ⋅ = →
−
→ ⋅ − ⋅ − = → − + ⋅ − + = →
→ − − + = → − − = → = = − = +
Assim, a solução será üüüüüa a a= = − = + .
UNIUBE 137
Atividade 6
Faça o que se pede em cada passo:
Passo 1 – Escolha uma matriz quadrada A qualquer de ordem 3, 
que possua duas linhas iguais ou duas colunas iguais.
Dentre as várias respostas possíveis, escolhemos uma, por exem-
plo: 
1 2 3
1 4 2
1 2 3
A
 
 = − − 
 
 
Passo 2 – Construa a matriz A~, partindo da matriz A , do passo 
1, trocando de posição as duas linhas iguais ou as duas colunas 
iguais.
Trocando a 1ª linha pela 3ª linha
1 2 3 1 2 3
1 4 2 1 4 2
1 2 3 1 2 3
A A
   
   = − − → = − −   
   
   

Passo 3 – Usando a propriedade 4, dada anteriormente, já que 
houve uma inversão de linhas ou de colunas, você pode concluir 
que det detA A= − A~det detA A= − .
Passo 4 – Mas, por outro lado, A e A~ são iguais, sendo assim, o 
det detA A=A
~det detA A= .
Passo 5 – Usando o resultado obtido no passo 3, juntamente com 
o resultado obtido no passo 4, temos que 2 det 0A⋅ = .
Passo 6 – Portanto, o det A, nestas condições, será igual a 0 .
138 UNIUBE
Passo 7 – Enuncie aqui, com suas palavras, a propriedade 5.
Atividade 7
a) 
 
( )
Usando a Propriedade 3 na 1ªcoluna Usando a Propriedade 3 na 2ªcoluna
2 4 4 2 4 4 2 2 4
4 1 1 4 1 2 1 2 1
3 6 2 3 6 2 3 3 2
2 8 16
x
x x x
x
x x
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ − = −
 
( )
Usando a Propriedade 3 na 1ªcoluna Usando a Propriedade 3 na 2ªcoluna
2 4 4 2 4 4 2 2 4
4 1 1 4 1 2 1 2 1
3 6 2 3 6 2 3 3 2
2 8 16
x
x x x
x
x x
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ − = −
b) 
 

2 2
3 3 2
Usando a Propriedade 3 na 1ªcoluna Usando a Propriedade 3 na 2ªcoluna2 2
2
Usando a Propriedade 3 na 2ª linha Usando