EP11 - Tutor

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Probabilidade e Estat´ıstica
1o. Semestre de 2015
Exerc´ıcio Programado 11 – Versa˜o para o Tutor
Profa. Keila Mara Cassiano (UFF)
1. Considere dois lanc¸amentos consecutivos de um dado equilibrado. Defina as seguintes varia´veis
aleato´rias:
X = nu´mero de vezes em que e´ obtida a face 1
Y = nu´mero de vezes em que e´ obtida a face 6
Z = nu´mero de vezes em que e´ obtida ou a face 1 ou a face 6
(a) Obtenha a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de probabilidade de cada uma das varia´veis aleato´rias defini-
das acima.
(b) Calcule a esperanc¸a e a variaˆncia de cada uma das varia´veis aleato´rias definidas acima.
(c) Verifique que Z = X + Y. A mesma relac¸a˜o vale para a esperanc¸a e para a variaˆncia, ou seja,
E(Z) = E(X) + E(Y )? V ar(Z) = V ar(X) + V ar(Y )?
2. Determine a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada da v.a. X definida no exerc´ıcio anterior.
3. Uma comissa˜o de 3 membros deve ser escolhida a partir de um grupo formado por 5 homens e 6
mulheres. Defina a v.a. X = nu´mero de mulheres na comissa˜o.
(a) Obtenha a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de probabilidade de X.
(b) Calcule E(X) e V ar(X).
(c) Determine a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada da v.a. X.
4. (AD2 - Questa˜o 3) - (2,5 pontos)* - A func¸a˜o de probabilidade da varia´vel aleato´ria X e´
P (X) = 1/5 para X = 2, 4, 6, 8, 10. Determine:
(a) A distribuic¸a˜o de Probabilidades de X;
(b) E(X + 3)2;
(c) V AR(3X − 2).
1
Soluc¸a˜o dos Exerc´ıcios
1. Na soluc¸a˜o deste exerc´ıcio e´ conveniente fazer um diagrama ilustrando o espac¸o amostral e a asso-
ciac¸a˜o de pontos deste espac¸o a valores nume´ricos, ou seja, ilustrar a definic¸a˜o de varia´vel aleato´ria.
Isso pode ser feito da seguinte maneira:
2o. lanc¸amento
1 2 3 4 5 6
1 (2,0,2) (1,0,1) (1,0,1) (1,0,1) (1,0,1) (1,1,2)
2 (1,0,1) (0,0,0) (0,0,0) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,1)
1o. lanc¸amento 3 (1,0,1) (0,0,0) (0,0,0) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,1)
4 (1,0,1) (0,0,0) (0,0,0) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,1)
5 (1,0,1) (0,0,0) (0,0,0) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,1)
6 (1,1,2) (0,1,1) (0,1,1) (0,1,1) (0,1,1) (0,2,2)
Em cada cela, temos o trio (X,Y, Z) e da´ı obtemos as seguintes func¸o˜es de distribuic¸a˜o de probabi-
lidade:
x 0 1 2
Pr(X = x) 25/36 10/36 1/36
y 0 1 2
Pr(Y = y) 25/36 10/36 1/36
z 0 1 2
Pr(Z = z) 16/36 16/36 4/36
E(X) = 0× 25
36
+ 1× 10
36
+ 2× 1
36
=
12
36
=
1
3
E(Y ) = 0× 25
36
+ 1× 10
36
+ 2× 1
36
=
12
36
=
1
3
E(Z) = 0× 16
36
+ 1× 16
36
+ 2× 4
36
=
24
36
=
2
3
E(X2) = 02 × 25
36
+ 12 × 10
36
+ 22 × 1
36
=
14
36
=
7
18
E(Y 2) = 02 × 25
36
+ 12 × 10
36
+ 22 × 1
36
=
14
36
=
7
18
E(Z2) = 02 × 16
36
+ 12 × 16
36
+ 22 × 4
36
=
32
36
=
8
9
V ar(X) =
7
18
−
(
1
3
)2
=
7
18
− 1
9
=
5
18
V ar(Y ) =
7
18
−
(
1
3
)2
=
7
18
− 1
9
=
5
18
V ar(Z) =
8
9
−
(
2
3
)2
=
8
9
− 4
9
=
4
9
Para verificar que Z = X + Y, basta verificar que essa relac¸a˜o e´ va´lida em todas as celas, ou seja,
para todos os pontos do espac¸o amostral. Dos resultados acima, podemos ver que
E(Z) =
2
3
=
1
3
+
1
3
= E(X) + E(Y )
Mas
V ar(Z) =
4
9
6= 5
18
+
5
18
=
10
18
=
5
9
2
2. Os valores poss´ıveis de X sa˜o 0,1,2. Logo,
F (x) =

0 se x < 0
25/36 se 0 ≤ x < 1
35/36 se 1 ≤ x < 2
1 se x ≥ 2
(a) Os valores poss´ıveis de X sa˜o 0, 1, 2, 3, uma vez que ha´ homens e mulheres suficientes para
formarem uma comissa˜o com apenas membros do mesmo sexo.
X = 0 ≡ {(HHH)} =⇒ Pr(X = 0) = 5
11
× 4
10
× 3
9
=
60
990
=
2
33
X = 1 ≡ {(MHH) ∪ (HMH) ∪HHM} =⇒
Pr(X = 1) =
6
11
× 5
10
× 4
9
+
5
11
× 6
10
× 4
9
+
5
11
× 4
10
× 6
9
=
360
990
=
12
33
X = 2 ≡ {(MMH) ∪ (MHM) ∪ (HMM)} =⇒
Pr(X = 2) =
6
11
× 5
10
× 5
9
+
6
11
× 5
10
× 5
9
+
5
11
× 6
10
× 5
9
=
450
990
=
15
33
X = 3 ≡ {(MMM)} =⇒ Pr(X = 3) = 6
11
× 5
10
× 4
9
=
120
990
=
4
33
: 433 :
5
11 :
4
11 :
2
33Logo, a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de probabilidade de X e´
x 0 1 2 3
Pr(X = x) 233
12
33
15
33
4
33
(b)
E(X) = 0× 2
33
+ 1× 12
33
+ 2× 15
33
+ 3× 4
33
=
54
33
=
18
11
E(X2) = 02 × 2
33
+ 12 × 12
33
+ 22 × 15
33
+ 32 × 4
33
=
108
33
=
36
11
V ar(X) =
36
11
−
(
18
11
)2
=
36× 11− 18× 18
121
=
72
121
(c)
F (x) =

0 se x < 0
2/33 se 0 ≤ x < 1
14/33 se 1 ≤ x < 2
29/33 se 2 ≤ x < 3
1 se x ≥ 3
3