EP5 Algebra Linear 1 gabarito (1)

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Álgebra Linear I 
Exercícios Programados 5 – EP5 
Conteúdo: Aulas 1 a 10 – exercícios de revisão 
 
 
1. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta. 
a) Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem tais que AB = AC, então B = C. 
 
Solução: 
a) Falsa. Considere 







00
01
A
, 







10
11
B
 e 







00
11
C
. 
ACAB 






00
11
 e no entanto, B ≠ C. 
 
2. Calcule o determinante da matriz 
















0412
5231
3010
0321
A . 
 
Solução: 
1 caminho: Aplicando as operações elementares com atenção às propriedades dos 
determinantes, temos: 
144
133
20412
5231
3010
0321
||
LLL
LLL
A






244
233
3
5
01030
5550
3010
0321
LLL
LLL




 
344 291000
20500
3010
0321
||
LLL
A



31000
20500
3010
0321

 = 1.1.5.31 = 155. 
 
2 caminho: Aplicando desenvolvimento de Laplace, escolhendo a segunda linha: 





0412
5231
3010
0321
|| A

35
42
50
22
412
231
321
)1)(3(
042
521
031
)1.(1







 
15535).3(50.1|| A
 
 
3. Determine os coeficientes 
cba ,,
 e 
d
 da função polinomial 
dcxbxaxxp  23)(
 
cujo gráfico passa pelos pontos 
)10,0(1 P
, 
)7,1(2 P
, 
)11,3(3 P
 e 
)14,4(4 P
. 
Sugestão: Modele o problema por meio de um sistema linear e utilize o Maxima para 
resolvê-lo. 
 
Solução: 
Substituindo as coordenadas dos pontos dados em 
)(xp
, temos: 
iP
 
dcxbxaxxp  23)(
 Conclusão 
)10,0(1 P
 
100.0.0.)0( 23  dcbap
 10d 
)7,1(2 P
 
7101.1.1.)1( 23  cbap
 3 cba 
)11,3(3 P
 
11103.3.3.)3( 23  cbap
 213927  cba 
)14,4(4 P
 
14104.4.4.)4( 23  cbap
 2441664  cba 
 
Assim, o problema pode ser resolvido por meio do seguinte sistema linear: 
 











24
21
3
41664
3927
cba
cba
cba
. 
 
As matrizes ampliadas antes e após o escalonamento pelo Linear Algebra Toolkit são: 
 
Logo, a = 1, b = -6 e c = 2 e o polinômio é 
1026)( 23  xxxxp
. Segue o gráfico do 
polinômio. 
 
 
 
4. Analise o sistema linear, segundo o parâmetro k: 








12
2
1
zykx
kzyx
zyx
. 
 
Solução: 
Aplicando operações elementares às linhas da matriz ampliada do sistema, temos: 












1
1
21
112
111
k
k
  














k
k
kk 1
2
1
210
310
111
  














21
2
1
5200
310
111
k
k
k
 
 
Assim, 
52
1 2



k
k
z
. Logo, se 
2
5k
 o sistema é incompatível e se 
2
5k
 é compatível 
e determinado. 
 
Obs: Identifique as operações elementares que foram aplicadas em cada passo. 
 
 
5. Caracterização de subespaço: 
VS 
 é um subespaço do espaço vetorial real V se: 
(1) 
S0
 
(2) S é fechado para a adição de vetores: dados u, v em S, u + v 

 S. 
(3) S é fechado para a multiplicação por escalar: dados 

 e u 

 S, 

.u 

 S. 
 
Obs: 
0
 está sendo usado para designar o elemento neutro da adição de vetores em V. 
 
Solução: 
 Um subespaço S é um subconjunto de um espaço vetorial V que é um espaço 
vetorial munido das mesmas operações de adição de vetores e multiplicação por escalar de 
V. Assim, S não pode ser um conjunto vazio, deve ter as operações de V bem definidas 
nele e também deve satisfazer os oito axiomas. 
 
A hipótese (1), 
S0
, garante que S é não vazio e também garante o axioma do elemento 
neutro. 
A hipóteses (2) e (3) garantem que as operações de adição de vetores e multiplicação por 
escalar de V estão bem definidas em S. 
A hipótese (3) garante que cada elemento de S possui simétrico (axioma 4) em S, basta 
fazer 
1
 
 
Como 
VS 
, os axiomas 
 Comutatividade e associatividade da adição. 
 Associatividade da multiplicação por escalar. 
 Propriedades distributivas. 
 1.v = v 

v em V. 
que são válidos em V, valem em particular para S. 
 
Logo S é um subespaço de V. 
 
6) Verifique se o conjunto 
}1|),,{( 2223  cbacbaS
é um subespaço de 
3
. 
 
Solução: S não é fechado para a multiplicação por escalar, de fato, sejam 
2
e 
)0,0,1(),,( cba
. Como 
1001 222 
, 
S)0,0,1(
. 
Mas 
Scba  )0,0,2()0,0,1(2),,( , pois 14002 222  . 
 
7) Definição: Seja A uma matriz mxn. 
 O espaço linha de A, lin(A), é o subespaço gerado pelas linhas de A. 
 O espaço coluna de A, col(L), é o subespaço gerado pelas colunas de A. 
Dada a matriz 





 

111
101
A
: 
a) Verifique se 







3
1
b
 está no espaço coluna de 
A
. 
b) O que se pode dizer sobre o sistema 
bAx 
(Possui solução? Se sim, a solução é única?) 
em que 
A
 é a matriz dada, 











z
y
x
x
 e 
b
 é a matriz dada no item c). 
c) Verifique se 
 154 x
 está no espaço linha de 
A
. 
d) Descreva lin(
A
) e col(
A
). 
 
Solução: 
a) Devemos verificar se 
b
 pertence ao espaço gerado pelas colunas de 
A
, isto é, se 
b
é 
combinação linear das colunas de 
A
. 
Sejam 
yx,
e 
z
reais tais que 
























3
1
1
1
1
0
1
1
zyx
, o que resulta em 














3
1
zyx
zx
. 
A igualdade acima corresponde ao sistema linear 







3
1
zyx
zx
. 
Resolvendo o sistema: 
1223
1
111
101
LLL 





 





 

2
1
210
101 
Assim, chegamos ao sistema equivalente 







2
1
2zy
zx
, que é possível e 
indeterminado, possui uma variável livre (n – p = 3 – 2 = 1). Seu conjunto solução é dado 
por 
}|),22,1{(  zzzzS
. 
Escolhendo 
0z
, temos 
























3
1
1
1
0
1
0
2
1
1
1
. Logo 
b
 está no espaço coluna 
de 
A
. 
 
b) O que fizemos acima foi resolver o sistema 
bAx 
, o sistema possui infinitas soluções. 
Note a equivalência entre o “sistema linear 
bAx 
 possui solução” e “







3
1
b
 está no 
espaço coluna de 
A
”. 
Pode-se mostrar que o sistema linear 
bAx 
 possui solução se, e somente se, 
b
 
está no espaço coluna de 
A
. 
 
c) O raciocínio é análogo ao que fizemos acima. 
 154 x
 está no espaço linha de 
A
 se é combinação linear das linhas de 
A
. 
Utilizando a linguagem de vetores de 
3
: sejam 
yx,
 reais tais que 
)1,5,4()1,1,1()1,0,1(  yx
. 
O que resulta em 










1
5
4
yx
y
yx
. Esse sistema é impossível, pois 
5y
 implica em 
4x
, da primeira equação e 
6x
, da terceiraequação. 
Logo, 
 154 x
 não está no espaço linha de 
A
. 
 
d) lin(
A
): 
 
Novamente usando a linguagem de vetores de 
3
: seja 
),,( zyx
 lin(
A
), então existem 
ca,
 reais, tais que 
)1,1,1()1,0,1(),,( bazyx 
 

 
),,(),,( babbazyx 
 











z
y
x
ba
b
ba
 











 13311
10
11
LLLz
y
x











 233 220
10
11
LLLxz
y
x
233 2200
10
11
LLLyxz
y
x











 
O sistema associado a matriz acima deve ser possível, logo 
02  zyx
. 
lin(
A
)
}02|),,{( 3  zyxzyx
. 
 
Col(
A
): 
Seguindo o mesmo raciocício acima: 
 
Seja 






c
a
 um vetor de Col(
A
), então existem 
yx,
e 
z
reais tais que 
























c
a
zyx
1
1
1
0
1
1
. 
 
Observe que o procedimento é análogo ao do item a), isto é, teremos que resolver o sistema 
linear 
bAx 
em que 







c
a
b
. 
 
122111
101
LLLc
a






 









ac
a
210
101 
 
O sistema associado a matriz obtida é possível e indeterminado, isto é, existem infinitas 
soluções para 
yx,
e 
z
, isso indica que Col(
A
) = 
2
. 
 
8) 
a) Determine o subespaço S de 
3
gerado por A = {(1,0,1), (0,1,0), (-1,1,-1)}. 
b) Diga se S é uma reta que passa pela origem ou um plano que passa pela origem de 
3
. 
c) Verifique se o vetor (2,-3, 5) pertence ao subespaço gerado por A. 
 
Solução: 
a) Seja (x, y, z) um vetor de S, então existem escalares a, b e c tais que: 
(x, y, z) = a(1,0,1) + b(0,1,0) + c(-1,1,-1) = (a-c, b+c, a-c). 
A equação vetorial acima resulta no sistema 








zca
ycb
xca
 
cuja solução (verifique) é {(x , y, z) 
3
| x = z} = S. 
b) Observe que (x, y, z) = (z, y, z) = z(1,0,1) + y(0,1,0), z, y 

. Assim, S é um plano 
que passa pela origem de 
3
. 
c) O subespaço gerado por A tem equação x = z. No vetor dado x = 2 
z 5
. Logo 
(2,-3, 5) não pertence ao subespaço gerado por A. 
 
Para refletir: Se retirássemos o terceiro vetor de A, isto é, (-1,1,-1), teríamos um subespaço 
gerado diferente de S?