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LÓGICA EM FUNDAMENTOS
DA MATEMÁTICA
Caro(a) aluno(a),
A Universidade Candido Mendes (UCAM), tem o interesse contínuo em
proporcionar um ensino de qualidade, com estratégias de acesso aos saberes que
conduzem ao conhecimento.
Todos os projetos são fortemente comprometidos com o progresso educacional
para o desempenho do aluno-profissional permissivo à busca do crescimento
intelectual. Através do conhecimento, homens e mulheres se comunicam, têm
acesso à informação, expressam opiniões, constroem visão de mundo, produzem
cultura, é desejo desta Instituição, garantir a todos os alunos, o direito às
informações necessárias para o exercício de suas variadas funções.
Expressamos nossa satisfação em apresentar o seu novo material de estudo,
totalmente reformulado e empenhado na facilitação de um construto melhor para
os respaldos teóricos e práticos exigidos ao longo do curso.
Dispensem tempo específico para a leitura deste material, produzido com muita
dedicação pelos Doutores, Mestres e Especialistas que compõem a equipe docente
da Universidade Candido Mendes (UCAM).
Leia com atenção os conteúdos aqui abordados, pois eles nortearão o princípio de
suas ideias, que se iniciam com um intenso processo de reflexão, análise e síntese
dos saberes.
Desejamos sucesso nesta caminhada e esperamos, mais uma vez, alcançar o
equilíbrio e contribuição profícua no processo de conhecimento de todos!
Atenciosamente,
Setor Pedagógico
 
Este módulo deverá ser utilizado apenas como base para estudos. Os créditos da autoria dos conteúdos aqui apresentados são dados aos seus respectivos autores. 3 
SUMÁRIO 
 
APRESENTAÇÃO ........................................................................................................................4 
 
UNIDADE I - A MATEMÁTICA NAS CIVILIZAÇÕES .........................................................6 
1. MATEMÁTICA EGÍPCIA ...................................................................................................6 
2. TALES E MILETO ...............................................................................................................7 
3. ANAXIMANDRO, ANAXÍMENES, HECATEU, HERÁCLITO ..................................10 
4. PITÁGORAS ........................................................................................................................13 
5. MATEMÁTICA GREGA ...................................................................................................19 
6. TIPOS DE NÚMEROS ........................................................................................................20 
7. ARITMÉTICA .....................................................................................................................21 
8. GEOMETRIA ......................................................................................................................22 
9. ÁLGEBRA ............................................................................................................................24 
10. MATEMÁTICA ÁRABE ..................................................................................................25 
 
UNIDADE II - MATEMÁTICA ................................................................................................29 
1. DESENVOLVIMENTO DA MATEMÁTICA ..................................................................35 
 
UNIDADE III - ÁLGEBRA DE PROPOSIÇÕES ....................................................................43 
1. PROPOSIÇÕES ...................................................................................................................43 
2. DISJUNÇÃO, P V Q ............................................................................................................44 
3. CONDICIONAL ,P → Q .....................................................................................................47 
4. BICONDICIONAL, P↔Q ..................................................................................................48 
5. POLINÔMIOS E POLINÔMIOS DE BOOLE ................................................................48 
6. PROPOSIÇÕES E TABELAS E VERDADE ...................................................................51 
7. TAUTOLOGIAS E CONTRADIÇÃO ..............................................................................52 
8. EQUIVALÊNCIA LÓGICA ...............................................................................................54 
9. ÁLGEBRA DE PROPOSIÇÕES........................................................................................56 
10. IMPLICAÇÃO LÓGICA ..................................................................................................57 
11. FUNÇÃO PROPOSICIONAL E CONJUNTO VERDADE ..........................................60 
12. QUANTIFICADOR UNIVERSAL ..................................................................................61 
13. QUANTIFICADOR EXISTENCIAL ..............................................................................62 
14. NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES QUE CONTÊM QUANTIFICADORES ................62 
15. NOTAÇÃO .........................................................................................................................64 
16. FUNÇÕES PROPOSICIONAIS CONTENDO MAIS DE UMA VARIÁVEL ............65 
 
REFERÊNCIA .............................................................................................................................66 
 
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APRESENTAÇÃO 
 
No horizonte do homem contemporâneo, a ciência é uma paisagem diurna, sempre 
presente. Onde quer que esteja, dia ou noite, a sua presença se faz sentir de modo agudo, embora 
de forma indireta. São os automóveis, os aviões, os rádios, as televisões, os computadores, os 
antibióticos e outras drogas maravilhosas ou mortais; são aos mísseis balísticos intercontinentais 
dotados de ogivas nucleares armazenadas pelas superpotências, preparação insensata da 
hecatombe nuclear. Evidentemente, esses engenhos são de natureza tecnológica, não sendo da 
esfera direta da ciência. Mas, como eles utilizam conhecimento cientifico, pode-se dizer que 
fazem parte da cultura cientifica, em última instância. 
Diante desse quadro contraditório do mundo de hoje, carregado de tintas negras, torna-
se necessário interrogar o papel do significado da ciência. Será ela realmente, como querem 
alguns intelectuais de tendências místicas, a principal responsável pela opressão da miséria 
existente em todo o planeta? Ou será a esperança de uma sociedade verdadeiramente 
democrática como apregoam alguns cientistas sonhadores? A resposta a essa pergunta não é 
simples. A ciência parece ter muitas faces e dimensões, como um ser mitológico de natureza 
enigmática. É preciso acompanhá-la, com carinho, nos tortuosos caminhos da história, para 
entender a sua natureza. Em outras palavras, é preciso conhecer a história da ciência. 
Por outro lado, nesse quadro pode-se enxergar com nitidez a relação intima entre a 
ciência na sua forma tecnológica e o poder. Ou seja, o poderio das nações ou das corporações 
multinacionais tem como uma das bases da sua sustentação a ciência e a tecnologia, C &T. 
Significa que, nos dias de hoje, o domínio se faz não mais através da invasão ostensiva com 
tropas de ocupação, mas muito mais pela apropriação e manipulação sutil do conhecimento 
cientifico e tecnológico. Dessa forma, a diferença essencial entre os chamados países 
desenvolvidos aqueles de Terceiro Mundo é a existência ou não da C &T acima de uma certa 
“massa crítica”. Portanto, se um país quer verdadeiramente sair do subdesenvolvimento, é 
preciso antes de mais nada desenvolver a C & T. Todavia, a dinâmica do desenvolvimentocientifico é complexa, não sendo possível conhecê-la tão-somente através de análises 
convencionais do seu estado no presente. É necessário apreendê-la em profundidade, no seu 
 
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intercurso variado com outras componentes sociais através dos tempos históricos. Ou seja, é 
necessária a abordagem histórica da ciência. 
Em especial no caso brasileiro, parece existir um clima favorável para a reflexão 
histórica da ciência. Depois de mais de meio século da introdução da pesquisa cientifica em 
moldes modernos, a sociedade brasileira, em geral, e a comunidade cientifica e o meio 
educacional, em particular, estão se familiarizando cada vez mais com C &T. Já existem 
institutos de pesquisas e universidades em todas s regiões do país. Alguns deles, embora em 
pequeno número, são centros de produção científica de primeira qualidade. Outros são polos 
dinamizadores de efervescência intelectual, condição necessária para a progressão cientifica. Por 
seu turno, nos últimos anos a economia brasileira vem adquirindo num ritmo vertiginoso, 
posições cada vez mais ascendentes no cenário internacional, a ponto de ser considerada a oitava 
do mundo. Essa ascensão é devida em grande parte ao aumento da eficiência industrial e da 
competência tecnológica. Na medida em que a tecnologia adquire importância inegável no 
complexo econômico, a ciência também começa a receber atenções especiais nesses meios. Já se 
pode dizer que a sociedade brasileira está suficientemente amadurecida para pensar e repensar o 
significado da cultura científica dentro da civilização contemporânea. 
 
 
 
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UNIDADE I - A MATEMÁTICA NAS CIVILIZAÇÕES 
 
1. MATEMÁTICA EGÍPCIA 
 
Se a astronomia egípcia antiga estava voltada basicamente para a arte pratica de medir o 
tempo, a matemática se encontrava confiante à aritmética, à aritmética pratica. A matemática não 
era em si mesma, considerada uma forma de conhecimento independente de sua aplicação, como 
aconteceu na Grécia. Assim, a pesquisa dos princípios matemáticos era desprezível. Não havia 
uma teoria básica da matemática, nem um sistema teórico de geometria: a matemática 
concentrava- se apenas me contar, somar, subtrair, multiplicar, e dividir, mas era o suficiente 
para solucionar os problemas dos escribas de uma administração. 
A aritmética egípcia era baseada essencialmente na tabela dos dobros, tanto quanto na 
habilidade de encontrar dois terços de qualquer número, inteiro ou fracionário. Os escribas 
registravam seus cálculos em escrita hierática, embora alguns números tenham sido encontrados, 
em baixo-relevo, escrito na forma hieroglífica. Os símbolos dos diferentes números variavam 
amplamente, e a necessidade de escrever os números em linhas cuidadosamente organizadas era 
menos importante para os egípcios do que é para nós, mas, como nós, eles contavam às dezenas. 
A subtração era feita perguntando-se: “5, quanto mais para fazer 9 ?”. Dessa forma, as tabelas de 
adição podiam ser usadas para o processo de subtração. 
A multiplicação consistia justamente na utilização da tabela dos dobros. Assim, para 
multiplicar 8 por 7, o escriba escrevia: 
 
1 8 
2 16 
4 32 
7 56 
 
Se o multiplicador era um número como 21, ele teria, então de escrever uma série maior 
de dobros e selecionar os termos apropriados (mostrados aqui por um*); assim, 21vezes 8 seria 
escrito: 
 
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*1 8 
 2 16 
*4 32 
 8 64 
*16 128 
21 168 
 
A multiplicação também era feita por 10 e por 1/10. Havia também regras para 
multiplicar números inversos (isto é, multiplicar por 1 dividido por um número, como 1/21 ou 
1/17, ou qualquer outro) usando as frações unitárias de forma semelhante aos números inteiros 
usados na multiplicação. No que diz respeito à adição de frações, eles possuíam tabelas, embora 
pudessem trabalhar sem elas; eles sempre usavam exclusivamente frações unitárias (isto é, 1/2, 
1/3, 1/4, 1/5, e etc.), exceto a fração 2/3. A divisão era feita de maneira semelhante à subtração, 
usando a tabela dos dobros para se chegar a um resultado. Empregavam-se tabelas para as 
multiplicações mais comuns. 
Quanto à geometria, os egípcios a empregavam apenas para resolver problemas 
práticos. Quanto os topógrafos queriam partilhar a terra e medir ângulos retos, usavam “regra de 
3-4-5”, traçando um ângulo reto com o auxílio de um triângulo de corda com lados de 3, 4, 5 
unidades. Esse é um caso particular do teorema de Pitágoras; o teorema mais geral não era, 
porém, conhecido no Egito. Tem sido sugerido que, para construir algumas edificações, eles 
necessitariam conhecer o valor de π (pi), isto é, a razão entre a circunferência e seu diâmetro. 
Mas esse valor poderia ter sido obtido, para todas as finalidades práticas, rolando- se um disco 
no chão e medindo- se a extensão marcada e, não há qualquer demonstração de eles jamais 
tenham utilizado a razão matemática. 
 
2. TALES E MILETO 
 
Tales nasceu por volta de 624 a.C. de pais que podem ter sido originários da Fenícia, 
embora tenha sido em geral considerado de verdadeira ascendência miletense, e foi estadista, 
matemático, astrônomo e negociante bem sucedido, assim como um dos “sete sábios” 
 
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tradicionais da antiga Grécia. Sua política de estadista consistiu em persuadir as cidades jônicas a 
se unir contra a Pérsia, cujo crescente poderio constituía para ele um contínuo pavor. A despeito 
disso por fim, provou-se impossível para ela resistir ao violento ataque persa. Quanto a sua 
sagacidade nos negócios, Aristóteles dizia que, quando Tales foi criticado pelo seu pouco senso 
prático e por despender tempo demasiado pela filosofia, em vez de fazer dinheiro, ele decidiu 
confundir seus críticos. Prevendo uma fartura de azeitonas durante o verão seguinte, fez depósito 
me todas as prensas de azeitonas de Mileto e da vizinha Quios, alugando-as por baixo preço, pois 
não se apresentou qualquer concorrente. Quando chegou a época da colheita de azeitonas, 
necessitaram-se de todas as prensas, e Tales as alugou pelo preço que quis. “Assim”, disse 
Aristóteles, “mostrou ao mundo que os filósofos podem ser ricos, se o quiserem, mas que sua 
ambição é de outra espécie”. Entretanto há outra história a respeito de Tales, segundo a qual ele 
caiu num poço enquanto olhava as estrelas, sendo ridicularizado por uma bela serva Trácia, por 
estar tentando descobrir o que estava acontecendo no céu ao mesmo tempo em que era incapaz 
de ver o que havia a seus pés. Assim, temos duas tradições opostas, uma que mostra como um 
filósofo pode ser prático, outra, como pode não sê-lo. Mas a filosofia de Tales tinha um lado 
prático – ele procurou, por exemplo, determinar uma distância no mar – e no século depois de 
sua morte, ocorrida por volta de 547 a.C., ele foi louvado como modelo de engenhosidade 
prática. Talvez haja mais verdade na história de Aristóteles do que na serva Trácia. 
A fama de tales baseia-se principalmente em sua astronomia e numa proeza queele não 
pode ter feito! Dizem que predisse o eclipse total do Sol ocorrido a 28 de maio de 525 a.C, o que 
levou à cessação dos seis anos de hostilidade entre Lídia e os medos. Supõe-se que Tales tivesse 
conseguido isso usando um ciclo de eclipse. - Os saros – familiar para os babilônios, do qual 
Tales teria tomado conhecimento em suas viagens ao Egito. Mas de fato, os babilônios nada 
sabiam a respeito desse ciclo; tudo que podiam fazer era ver como era um eclipse, observando a 
Lua muito depois do seu quarto minguante, quando estava próxima a lua nova. Tales sabia disso 
e, em caso afirmativo, podia ter elaborado esse conhecimento? A maior parte dos historiadores 
está convencida de que ele não podia ter feito isso, pelo menos não na forma que o historiador 
grego do século V, Heródoto, descreveu, pois este afirma que Tales era capaz de dizer “nos 
limites de um ano” quando isso acorreria. Podemos, certamente, excluir um golpe de sorte e 
concluir, embora com pesar, que isso foi algo cuja paternidade lhe foi atribuída postumamente. É 
 
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justamente a espécie de coisa que ocorria no passado, e aconteceu não somente com Tales; um 
século mais tarde, supôs - se que o filósofo Anaxágoras havia previsto a queda de um grande 
meteorito em Aegospotami - acontecimento acidental, deveras impossível de se predizer. 
Os gregos declaravam ter recebido sua matemática por intermédio de Tales; Heródoto, 
Aristóteles e seu discípulo Eudemos, que escreveu uma história da matemática, todos declararam 
que Tales, “depois de uma visita ao Egito, trouxe esse estudo para a Grécia”. Na verdade, 
Eudemos chega até a especificar que Tales trouxe claramente, certo número de proposições de 
geometria teórica. Contudo, nosso conhecimento atual da matemática egípcia não nos credencia 
a supor que os egípcios conhecessem qualquer teoria geométrica; a geometria deles era bem 
prática. Mas se Tales não trouxe essa geometria do Egito, ele terá, por acaso inventado? 
Certamente a geometria era o ramo da matemática que os gregos se tornariam mestres; sua arte 
mostra o amor que tinha pela simetria e pelas formas elegantes, mas, embora tenham demorado a 
demonstrar um gênio geométrico, não há um prova concludente de que Tales tenha iniciado o 
processo. Ele certamente usou a geometria, mas uma geometria prática – justamente a que 
poderia ter trazido do Egito. Contudo logicamente, foi a partir dessa geometria prática que toda a 
estrutura teórica se desenvolveu mais tarde. 
Tales não pode ter inventado a teoria geométrica, nem previsto um eclipse solar total, 
mas é evidente que possuía uma mente aguçada. Refletiu sobre a natureza do mundo e concluiu 
que a água era o constituinte básico de todas as coisas. Ele acreditava que a Terra fosse um disco 
plano boiando na água. Hoje isso pode parecer simples e ingênuo, mas, para que tivesse viajado 
pelo Egito e visto sua terra estéril trazida à vida pelas inundações do Nilo, tal crença poderia ser 
uma coisa lógica e racional. Contudo, era mais do que isso. Pois Tales não lançava mão de 
nenhum deus responsável pela fertilidade da terra, mas procurava encontrar uma explicação 
física natural. Em suma, estava usando um ponto de visita tão científico quando lhe era possível. 
E foi esse raciocínio que ele adotou para explicar os terremotos, usando sua ideia da Terra 
flutuante como base, pois afirmava que eles começavam como erupções de água quente nos 
oceanos que circundavam a Terra. De todo modo, Tales parece, claramente, ter sido o primeiro a 
demonstrar as qualidades que deveriam caracterizar a ciência grega: fornecer explicações 
naturais, não sobrenaturais, sobre o mundo, e tentar deduzir as teorias subjacentes dos fatos da 
observação e da experiência. 
 
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3. ANAXIMANDRO, ANAXÍMENES, HECATEU, HERÁCLITO 
 
Anaximandro foi um contemporâneo mais jovem de Tales, tendo nascido por volta de 
610 a.C.; morreu algum tempo depois de 547 a.C. Tal como ocorre com Tales, só dispomos de 
relatos pouco confiáveis a seu respeito, de filósofos gregos posteriores. Assim, Anaximandro é, 
muitas vezes, considerado como tendo determinado os equinócios e a obliquidade da eclíptica, 
isto é, o fato de que a órbita aparente do Sol no céu é inclinada de certo ângulo em relação ao 
equador celeste (essa linha imaginária através do céu, traçada a 90 graus do polo celeste, ponto 
em torno do qual o céu parece girar). Mas isso parece pouco provável tanto por que isso já era 
conhecido na Babilônia, como porque tal hipótese seria completamente contrária às outras ideias 
que ele parece certamente ter alimentado. 
Anaximandro, contudo, traçou um mapa do mundo habitado e escreveu um livro sobre a 
Terra e seus habitantes: ele acreditava que havia um número infinito de mundos, todos tendo 
sido divisões de um universo infinito de mundos, ao qual um dia retornariam e pelo qual seriam 
reabsorvidos. Passou então a explicar que o material de que a Terra e aquilo que a circundava 
eram feitos foi separado e recebeu um movimento rotativo; consequentemente, os materiais mais 
pesados ficaram no centro, formando a Terra propriamente dita, enquanto o fogo e o ar foram 
deixados nas bordas, para constituir os corpos celestes. O Sol e a Lua eram, pensavam eles, anéis 
de fogo circundados pelo ar. Esse ar tinha passagens em forma de tubos, pelas quais a luz do 
fogo escapava. Assim, as fases da lua eram explicadas como sendo abertura do tubo da Lua vista 
de diversos ângulos. Ele explicava os eclipses da mesma maneira. 
A Terra propriamente dita, dizia Anaximandro, era como um cilindro, como o homem 
vivendo na superfície de um dos planos. A água também era parte importante nesse esquema de 
coisas, pois os animais eram feitos de substâncias do mar, quando sob o efeito da luz do Sol. O 
próprio homem se originava do peixe. Assim, temos aqui, no próprio tempo de Tales, um 
esquema coerente de toda a criação, tudo explicado por uma premissa básica – a geração da 
Terra e do céu a partir de um material primitivo. Pode não ser um esquema que subscreveríamos 
hoje, mas ele envolve uma orientação (a criação de hipóteses e o estudo de seus corolários) que 
não está muito longe da que ainda se usa nos tempos atuais, por mais precisas que possam ser 
nossas teorias modernas. 
 
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Anaxímenes pode ter sido discípulos de Anaximandro, e sua visão do cosmo era muito 
semelhante. Ele também subscrevia a crença de que o infinito era a fonte da Terra e do céu, mas 
sua opinião era de que o ar era a substância básica da qual se originaram todas as coisas: 
alongava-se até o infinito. Anaxímenes foi levado a esse ponto de vista a respeito do ar por ter 
observado os processos de rarefação e condensação: disse que quando o ar era distribuído ao 
nosso redor, fica invisível, mas, quando condensado o ar era distribuído ao nosso redor, ficava 
invisível, mas, quando condensado, transformava-se em águas; quando aquecido, mudava no 
tempo devido, transformando-se em fogo. Para apoiar essas declarações, citava a observação – 
ou deveríamos chamar de “experiência”? – de que, quando sopramos o ar de nossas bocas, ele é 
frio, enquanto, quando abrimos a boca, sem comprimir, portanto o ar, ele é quente. Para 
Anaxímenes, essa substância fundamental era essencialmente composta de minúsculas 
partículas.Ele usou a palavra “ar” também para a substância fundamental, pois, como o ar 
verdadeiro, estava em todos os lugares, penetrando em tudo. A respiração era identificada com a 
alma – ponto de vista que parece ter sido comum a muitas civilizações primitivas – e era a alma, 
a respiração, que mantinha unido o corpo físico do homem. Além disso, Anaxímenes acreditava 
que toda a criação, todo o cosmo respirava e, assim, a respiração era a alma de todas as coisas. 
Quanto à própria Terra em forma de disco, Anaxímenes, como Anaximandro, pensava 
que ela e todo o mundo material tivessem sido formados da condensação de uma massa de ar 
giratória. A Terra flutuava no ar. O Sol e a Lua eram discos feitos de fogo e giravam em torno da 
Terra: tornavam-se invisíveis quando estavam muito longe e atrás das partes altas do norte da 
Terra. E, se olharmos um mapa, veremos que há montanhas ao longe, ao norte de Mileto – as 
montanhas Rodape, na Bulgária. Em sua concepção, portanto, Anaxímenes estava seguindo os 
passos de seu mentor, Anaximandro, e, mais uma vez, tentando construir uma figura do mundo 
com base em fatos científicos. 
Hecateu, sobre cuja vida pouco se sabe, é relembrando agora, em alguns lugares, como 
um dos mais antigos escritores da prosa grega e, em outros, por ter escrito o mais antigo trabalho 
da geografia. Infelizmente, não existe mais seu texto original, o qual, de acordo com descrições 
posteriores, parece ter sido acompanhado por um mapa composto de duas partes, uma sobre a 
“Europa” e a outra sobre a “Ásia e a África”. Ao que parece, referia-se com detalhes a povos 
lugares, e especialmente nas regiões costeiras. Hecateu ainda julgava o mundo habitado como 
 
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um disco, circundado pelas águas do Oceanus, mas, dentro dessa limitação, seu mapa parece ter 
apresentado um aspecto geral da área do Mediterrâneo, assim como a presença da Líbia, do 
Egito, da Mesopotâmia e de parte da Índia, indicando até alguma coisa da Europa; estavam 
traçadas as terras dos celtas e do citas (povo nômade do sul da Rússia e da Criméia). Como 
podemos esperar de uma geografia baseada em informações orais, nos relatos de marinheiros e 
mercadores, o fabuloso e o genuíno eram encontrados lado a lado; a caça aos crocodilos, o 
hipopótamo e a fênix eram todos descritos com o mesmo crédito. Contudo, como um todo o livro 
tinha, valor, embora Hecateu tenha dado muita ênfase ao oceano envolvente, o Oceanus, usando-
o, por exemplo, para explicar a inundação anula do rio Nilo, em vez de usar o ponto de vista 
mais realista de Anaxágoras, de que ela era provocada pelas águas oriundas da fusão das neves 
das montanhas da Líbia. 
Heráclito, que parece ter sido contemporâneo de Hecateu, era natural de Éfeso, um 
porto localizado cerca de 50 quilômetros ao norte de Mileto. Crítico severo de outros filósofos, é 
tido como um arrogante misantropo; seu trabalho era não só de difícil compreensão, como 
apimentado por observações cortantes a respeito da falta de inteligência de seus leitores, mas, 
apesar dessas falhas, continha algumas ideias úteis. Ele sustentava que o universo se equilibrava 
entre duas forças opostas e em tensão perpétua, tal como uma corda de instrumento musical, 
pensamento que dá cor a todas as suas explicações, especialmente sobre o comportamento 
humano. Pode ser que, em tudo isso, estivesse tentando transmitir alguma mensagem sobre a 
alma humana, mas, se assim foi, não teve sucesso. Sua fama se baseia, hoje como em seus 
próprios dias, no que ensinou sobre o mundo natural. Ele via tudo em estado de perpétua 
mudança, de tal forma que tudo o que percebemos com os sentidos é algo transitório, não o 
verdadeiro conhecimento – ponto de vista que deveria, mais tarde, tornar-se corrente, oposto ao 
ponto de vista que dava demasiada ênfase à observação prática. 
Nesse universo Heráclito, o fogo tinha a primazia como agente de mudanças; o fogo 
consome as coisas, mudando-as até que elas mesmas se tornam fogo, ao passo que, sem ele, as 
substâncias podem condensar-se e solidificar-se. Os corpos celestes eram taças contendo fogo, e 
as fases da Lua eram provocadas pelo modo como abertura de sua taça se voltava pra nós; num 
céu muito claro e a uma altitude acima do horizonte, o disco da Lua pode, realmente, dar a 
impressão de que a superfície está dentro de um recipiente, e, portanto a ideia não era tão 
absurda como parece. 
 
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 4. PITÁGORAS 
 
De todas as figuras da ciência jônica, nenhuma teve mais influência sobre as gerações 
seguintes do que Pitágoras. Nascido por volta de 560 a.C., na ilha de Samos, cerca de 50 
quilômetros a noroeste de Mileto, era um líder religioso, assim como protótipo de cientista, e há 
muitas lendas a seu respeito. Não resta dúvida de que tomou parte em um renascimento religioso 
que se deu em toda Grécia, durante o século VI a.C., e, com o tempo, tornou-se líder de uma 
irmandade que concebia uma nova espécie de divindade. Essa Ordem Pitagórica esperava que 
seus membros executassem exercícios ascéticos, se abstivessem de certas ações e evitassem 
determinadas comidas – parece que usavam uma dieta vegetariana e antialcoólica, e tinham de 
evitar o uso de produtos animais, como lã. Mulheres, tanto quanto homens, eram membros da 
ordem e todos usavam uma roupa que os distinguia, andavam descalços e viviam uma vida 
simples, de pobreza. 
 Os pitagóricos acreditavam que a alma pode deixar o corpo temporária ou 
permanentemente, e se dirigir para o de outro ser humano. Possivelmente, tal ponto de vista tinha 
origem oriental, mas o movimento pitagórico, em si, era possivelmente uma reação às 
extravagâncias do culto ao deus do vinho, Dionísio. Com o tempo, ideias políticas fundiram-se 
com as religiosas, como se pode esperar de uma ordem que se mantinha isolada da comunidade 
em geral, e Pitágoras foi, por fim obrigado a deixar Samos. Mudou-se para Cróton (atual 
Crotona), no sul da Itália, onde fundou uma academia ético-político-filosófica, que advogava 
uma regra aristocrática. Foi, a princípio, bem-vinda para os que se opunham ao crescimento da 
democracia, mas depois suas doutrinas foram consideradas inaceitáveis, e Pitágoras foi obrigado 
a deixar a cidade. Viajou para o nordeste, até a Metaponto, no golfo de Tarento, onde morre por 
volta de 500 a.C. Quando certa de cinquenta anos mais tarde, uma violenta revolução 
democrática ocorreu em todas as cidades gregas da costa do Sul da Itália,a Ordem Pitagórica foi 
atacada e suas casas de reunião, destruídas. Contudo, muitos de seus membros conseguiram 
fugir, fosse para Tarento ou para Filiasos (ou Phleius) na Grécia continental. Em Tarento, 
continuaram como poder político até cerca de 350 a.C. 
Os historiadores da ciência mantêm agora alguma divergência sobre o que precisamente 
Pitágoras ensinou e a quem ministrou seus ensinamentos; provavelmente instruiu apenas um 
 
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reduzido círculo de discípulos. Ademais, talvez seja impossível concluir quais dentre as 
doutrinas pitagóricas se devem ao próprio Pitágoras e quais, aos seus seguidores mais próximos. 
De qualquer maneira, à altura do século IV a.C. outros filósofos gregos acreditavam, talvez 
erroneamente, que algumas ideias eram devidas a Pitágoras, crença que tem pouco valor para ser 
discutida; afinal, é mais a influênciado que a origem exata dessas ideias que nos está 
interessando. 
Pitágoras visitou o Egito e a Babilônia quando rapaz, e talvez tenha sido essa visita que 
lhe deu ensejo para estudar matemática e de declarar que “todas as coisas são números”. 
Certamente, parece que Pitágoras e seus seguidores impressionaram-se muito com os números, e 
não há dúvida de que desenvolvera uma teoria completa a respeito deles. Essa teoria parece ter-
se baseado em três espécies de observação. Em primeiro lugar, notaram haver uma relação 
matemática ente as notas da escala musical e os comprimentos de uma corda vibrante ou de uma 
coluna de ar em vibração, como em uma flauta ou em uma siringe. Uma coluna de ar ou uma 
corda de determinado comprimento daria uma nota; reduzindo, então, à metade de seu 
comprimento, daria uma nota, uma oitava acima. Uma relação de comprimento de dois para três 
daria um intervalo musical conhecido como quinta, e a relação de três para quatro, uma quarta. 
Assim se alguém usa uma corda vibrante com doze unidades (polegadas, milímetros, etc.) de 
comprimento e a reduz a oito unidades, ela soará uma quinta acima da nota original; se a 
reduzirmos a seis unidades, ela soará a oitava. Assim, como a oitava e a quinta eram 
consideradas sons harmônicos, Pitágoras disse que os números 12,8 e 6 estavam em “progressão 
harmônica” e considerou isso tão importante que estendeu a ideia à geometria, tendo razão disso 
declarado, por exemplo, que o cubo estava em harmonia geométrica porque tinha seis faces, oito 
ângulos e doze arestas. 
A segunda observação referia-se aos triângulos retângulos. No Egito, Pitágoras teria 
aprendido a regra de 3, 4 e 5, referente aos comprimentos dos lados, mas um pesquisa moderna 
mostrou que foi na Babilônia que encontrou o que chamamos de relação de Pitágoras. Os 
babilônios, de fato, tinham chegado à conclusão de que os números podiam se 3,4, 5 ou 6, 8, 10, 
ou qualquer outra cominação. 
Onde o quadrado do maior dos números fosse igual à soma dos quadrados dos dois 
outros. Este era um passo adiante deveras decisivo, e os pitagóricos iriam fazer ótimo uso dele. A 
 
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terceira observação foi que havia relações numéricas definidas entre os tempos utilizados pelos 
corpos celestes em sua órbita ao redor da Terra. 
Os pitagóricos chegaram à razoável conclusão, em seus estudos de que “tudo são 
números”. O matemático moderno, especialmente com o recente desenvolvimento das ciências 
de computação, poderia chegar a uma conclusão claramente semelhante; mas há uma diferença 
vital. A ideia pitagórica era, fundamentalmente, uma ideia mística e dava uma condição absoluta, 
se não divina, aos números e suas relações. Hoje, apesar de alguns filósofos declararem que a 
matemática representa uma forma de conhecimento mais pura que qualquer outra, o cientista usa 
os números, não como princípios divinos, mas como ferramenta extremamente poderosa e 
flexível para descrever e predizer toda sorte e fenômenos naturais. 
Naquele tempo, contava-se, muitas vezes, usando pedrinhas e, já que pitagóricos, como 
todos os gregos, tinham uma tendência inerente para a forma, não é de admirar que os números 
figurados tenham captado seu interesse. Números figurados são exatamente o que seu nome 
indica: números surgidos coma contagem em padrões, Começa-se, por exemplo, com uma 
pedrinha e, então, conta-se em formas triangulares; Isso dará os números figurado. Atribuía-se 
aos números dessa série um significado especial, pois davam o número “perfeito” 10, uma vez 
que 1 + 2 + 3 + 4 =10, o qual devido aos quatro pontos de cada lado, era chamado de “tetractys”; 
era considerado sagrado, e os pitagoristas juravam isso solenemente. Havia um segundo grupo de 
números que eram chamados “perfeitos”; tratava-se dos que eram iguais aos seus divisores 
separados, quando somados. Eram o 6 (porque 6 = 1 + 2 + 3), 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14), e assim 
por diante . O número seguinte dessa série é 496, depois 8128 e 2096128; é claro que não era 
fácil trabalhar com eles naquele tempo, embora, um século mais tarde, Euclides tenha criado 
uma fórmula geral para calculá-los – um exemplo das intimas conexões entre a geometria e a 
aritmética. 
Uma pesquisa semelhante feita pelos pitagóricos levou- os aos números “amigáveis”, 
isto é, dois números em que cada um é igual à soma dos fatores do outro. Assim, o par 220 e 284 
é amigável (porque os fatores de 284 são 1, 2, 4, 71, 142, e eles somados dão 220, enquanto 220 
tem os fatores 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, cujo total é 284). Os números 220 e 
284foram supostamente descobertos pelo próprio Pitágoras e certamente, eram o único par de 
números amigáveis conhecidos na Antiguidade. 
 
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Os números figurados eram muito importantes na aritmética de Pitágoras e, é claro, 
havia muitas espécies, além dos números triangulares acima mencionados. Havia números 
quadrados, números pentagonais, números formados de retângulos de lados desiguais (números 
“heteromeques”), números formados por pirâmides de bases quadradas e de bases triangulares, 
números cúbicos e até números “altares” (formados por pirâmides cujas bases eram retângulos 
de lados desiguais. 
Outro aspecto dos números que intrigava os pitagóricos era o das “medias”. Para 
começar, estavam preocupados com a “média aritmética” (isto é, o número do meio de três 
progressões “aritmética”: assim, na progressão 4, 5, 6, a média aritmética é 5; na progressão 4, 8, 
12 é 8 etc.) e é provável que Pitágoras tenha aprendido isso quando visitou a Babilônia. Mais 
tarde, eles chegaram à “média geométrica” (isto é, o número do meio de três em uma “série 
geométrica”, tal como 2, 4, 8, onde 4 é o meio, ou 3, 9, 27, onde é o 9), e à média harmônica (na 
série harmônica anterior, ente mencionada, 6, 8, 12, a média harmônica é o 8). Mas o que tudo 
isso significava? Em primeiro lugar, que os membros da Ordem Pitagórica interessados em 
números eram capazes de desenvolver a aritmética e as técnicas de uso das quantidades 
numéricas. Em segundo, no que se referia ao lado religioso, tudo envolvia grande quantidade de 
misticismo, cheio de relações ocultas entre os próprios números, uma espécie de numerologia 
mágica que não tinha qualquer significado científico. 
Pitágoras ainda é popularmente recordado por causa do teorema dos triângulos 
retângulos, embora não esteja bem claro se o teorema geral foi provado durante seu tempo de 
vida ou mais tarde e, de fato, não há certeza, absolutamente, sobre o que ele e seus seguidores 
deram de contribuição à geometria. Sabemos, porém, que a figura de cinco lados, o pentágono, 
era de grande significação mística, como bem pode ser já que, quando seus lados são 
prolongados para formar uma estrela de cinco pontas, os lados e as linhas diagonais que corta a 
figura se interceptam numa proporção que fez surgir o “seguimento áureo”. (o segmento áureo é 
uma proporção que a antiguidade clássica pensava ser muito agradável à vista e era 
frequentemente utilizada na arquitetura; consiste na divisão de um comprimento de tal forma 
que a relação entre a parte menor e a maior é igual a relação entre a parte maior e o todo). Os 
Pitagóricos usavam o pentágono como sinal de reconhecimento entre eles, mas não o 
inventaram; era conhecido na Babilônia. 
 
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De todo o conhecimento matemático atribuído aos pitagóricos, o mais importante foi 
decorrente do teorema de Pitágoras: o fato de que nem toda quantidade pode ser expressa pó 
números inteiros. Porque, embora o lado maior da hipotenusa de um triângulo retângulo possa 
ter seu comprimento expresso em números inteiros, na maioria das vezes isso não acontece; se 
pode ou não 3 e 4, a hipotenusa terá o número inteiro 5 (porque 32 + 42 = 25, cuja raiz quadrada é 
5), ao passo que, se os lados menores foram 4 e 5, o comprimento da hipotenusa não será um 
número inteiro, e sim 6,4031242... Os filósofos gregos primitivos ficavam infelizes com isso; 
esse fato assustou os pitagóricos e também os matemáticos posteriores, uma vez que ameaçava a 
ideia de ser a geometria o fundamento da matemática, mas conduziu a um trabalho mais 
cuidadoso e, desse modo, agiu como estimulante. 
Os pitagóricos eram provavelmente, capazes de construir três dos cinco sólidos 
“regulares “(figuras sólidas como o cubo, em que todos os lados são iguais, bem como os 
ângulos entre eles). Conheciam o cubo, a pirâmide e o e dodecaedro, de doze lados, e, sem 
dúvidas, a simetria que neles encontravam deliciava suas almas místicas. A crença na 
importância fundamental do número também coloria sua atitude em relação à música. Já vimos 
como os números foram usados para expressar intervalos musicais, e esse trabalho foi ampliado 
de tal forma que escalas musicais inteiras, cobrindo muitas oitavas, puderam ser executadas. 
Mais tarde ainda, na metade do século IV a.C. Arquitas de Tarento deveria transformar isso em 
uma complexa teoria musical. Os pitagóricos também acreditavam que havia um aspecto musical 
no céu - a chamada “musica das esferas” -, visão baseada, em parte, em seus conhecimentos da 
matemática dos sons e, em parte, em seus estudos dos tempos orbitais dos planetas. 
A astronomia pitagórica obviamente deveu muito aos babilônios; como eles concebiam 
os corpos celestes como divinos, enquanto aceitava a ideia do que os planetas situavam – se a 
distâncias diferentes da Terra e mais perto dela do que as estrelas. O amor dos pitagóricos pelos 
números levou-os a estudar isso, determinando movimentos periódicos dos planetas; por fim, 
adotaram uma ordem de distância para eles baseada na velocidade com que se moviam em sua 
órbita aparente ao redor da Terra. Isso lhes deu a seguinte ordem: Terra, Lua, Mercúrio, Vênus, 
Sol, Marte, Júpiter, e Saturno, embora tenham, mais tarde, burilado essa ideia, colocando 
Mercúrio e Vênus depois do Sol, após observar que não havia trânsito desses dois planetas no 
disco do Sol. Hoje sabemos que existe esse trânsito, embora seja raro e só possa ser observado 
 
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por meio de telescópio, mas a sequência de distâncias modificada é a que hoje consideramos 
correta (medidas do Sol e não da Terra como ponto de partida, com omissão da Lua), e podemos 
ser gratos aos pitagóricos por não terem descoberto tais trânsitos. 
O amor dos pitagóricos pela beleza e pela simetria, assim como sua preocupação com os 
números, conduziu- os a algumas importantes teorias em relação ao universo. A primeira delas 
era que os planetas deviam girar regularmente ao redor da Terra, na mais simples das curvas, isto 
é, em círculos; era uma visão, como veremos que deveria ter o mais profundo efeito sobre a 
astronomia grega e da Europa medieval. A segunda, que o céu e a Terra eram esféricos. Não se 
tem certeza dos motivos por que esse ponto de vista foi adotado, mas pode muito bem ser, em 
parte, por simetria; um céu esférico é muito mais elegante que um semiesférico, como o que 
Homero havia descrito. E, quanto a Terra é curva, e não plana, mas, mesmo assim, aceitar uma 
esfera em vez de uma barreira teria sido um ato de fé, fé na beleza essencial da criação. 
Contudo, o mais surpreendente de todos os pontos de vista de Pitágoras foi a sua 
afirmação de que a Terra era um planeta, em órbita como todos os outros. Esse ponto de vista e 
normalmente creditado a Filolau, um dos discípulos de Pitágoras, nascido em Cróton e que 
trabalhou na segunda metade do século V a.C. e é bem possível que a ideia tenha sido sua. A 
base dessa teoria de uma Terra móvel repousa na significação do número 10, o tetractys; 
acreditava-se que ele devia expressar o número de corpos móveis no universo. Para conseguir 
um número tão grande como esse, era preciso fazer algum arranjo, e isso foi conseguido 
colocando-se, não a Terra, mas um “fogo central”, no centro do universo, com todos os outros 
corpos em órbita ao seu redor. Assim, havia o fogo central (estacionário), em torno do qual 
girava a Terra, a Lua, o Sol, os cinco planetas e as esferas das estrelas, de movimento lento, mas 
isso nos dá apenas nove corpos moventes, não dez. Para resolver o problema, Filolau, se é que 
foi ele, propôs a existência de uma “antikhtho” ou “contra-Terra”, que também orbitava em volta 
do fogo central e o fazia precisamente na mesma velocidade da Terra. Em consequência, a 
contra-Terra estava sempre entre a Terra e o fogo central (cuja luz era refletida pelo Sol), de tal 
forma que, quando a parte habitada da Terra permanecia do lado oposto ao Sol, para nos dar a 
noite – porque Filolau acreditava que a Terra girava –, o fogo central ainda não podia ser visto 
diretamente. 
 
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Toda essa ideia era realmente engenhosa. Resolvia o problema estético e místico que 
exigia dez corpos em órbita e, ao mesmo tempo, não só levavam em consideração as observações 
dos movimentos planetários, como também explicava por que o fogo central era invisível. 
Embora incorreta, em 450 a.C. era uma audaciosa concepção do universo, e, com sua Terra 
dotada de movimentos de rotação e translação, deveria exercer não pequena influencia em alguns 
filósofos posteriores. 
 
5. MATEMÁTICA GREGA 
 
Os gregos tinham aptidão para geometria. Os chineses, não; em vez disso, tinham uma 
queda pela álgebra e pelas formas de escrever números. A escrita dos números é mais importante 
do que pode parecer à primeira vista, pois, na verdade, é o modo de registrar operações 
matemáticas como a multiplicação e a divisão, para não citar tipos complexos de operações de 
matemática superior. Assim, na Europa do século XVIII, embora Isaac Newton e Wilhelm 
Leibniz tivessem inventado o cálculo independentemente um do outro, não foi na Inglaterra que 
se fez imediatamente um progresso subsequente, mas, antes, na França e na Alemanha, 
primeiramente porque Leibniz escreveu operações de modo mais explícito do que Newton. A 
escrita dos números propriamente ditos é a mesma forma importante para o progresso 
matemático. Qualquer um que duvide disso deveria dividir CXLIV por XXIV, usando sempre os 
números romanos; a natureza embaraçosa do empreendimento logo ficará óbvia! 
O método chinês de escrever os números desenvolveu-se de modo gradual no correr dos 
séculos, naturalmente, mas já atingira alto grau de simplificação no século III a.C., quando foi 
usada a notação de valor-lugar. Quer tenhamos consciência disso ou não, a notação-lugar 
automaticamente ocorre hoje em dia quando escrevemos I, II, III e assim por diante, usando os 
lugares dos números para designar dezenas, centenas, e assim por diante. Parece óbvio. Mas nem 
todas as civilizações pensaram assim. E a respeito dos números em si? 
No século III a.C., estavam em uso formas de numerais que empregavam linhas retas. 
Isso seria bem facilmente compreendidocomo coleções de pequenas varetas, uma para o 1, duas 
para o 2, e assim por diante, e a mudança do traçado indicava as potencias de 10. Notem que 
enquanto o chinês é escrito de cima para baixo, seus números se escrevem como os nossos, 
 
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horizontalmente. Os números aparentemente sugiram com o uso de placas de contagem. Trata-se 
de tábuas planas com linhas traçadas, sobre as quais colocam pequenas varetas ou bastões. As 
varetas registram um número e, quando realiza uma operação subsequente como soma, 
subtração, multiplicação ou divisão, as varetas apropriadas trocam de posição, são retiradas ou 
outras adicionadas. É um sistema flexível, que, em mãos chinesas, permitiu desenvolvimentos 
consideráveis, não apenas em aritmética como também em álgebra. Não sabe quando isso 
começou, mas as placas de contagem podem datar de 1000 a.C., e os numerais com varetas de 
contagem antes descritos podem ter estado em uso dois séculos depois. 
O sinal para o zero – um lugar vazio na placa de contagem – veio depois. Foi impresso 
pela primeira vez somente no século XIII d.C., mas pode ter sido adotado sem anos antes. 
Sugeriu-se que tenha derivado da Índia, no século IX, embora pesquisas recentes tenham 
indicado que a situação pode não ter sido tão simples assim. Logo após 683 d.C. as primeiras 
inscrições que usavam zero apareceram simultaneamente no Camboja e em Sumatra, e, por 
várias razoes, não é improvável que o zero tenha se originado na Índia propriamente dita, mas 
em uma área situada no limite entre as culturas da Índia e do Extremo Oriente. Possivelmente, o 
espaço vazio da placa de contagem chinesa possa ter tido seu papel específico nisso, ao lado de 
ideias como o “vácuo” dos filósofos indianos e ao “vazio” mencionado no misticismo taoísta. 
 
6. TIPOS DE NÚMEROS 
 
Na maior parte das civilizações, houve uma tendência a evitar frações, sempre que 
possível, mas isso nunca ocorreu na China, e na época Han, os chineses se tornaram peritos em 
frações. Estavam também familiarizados com um sistema decimal que parece ter começado 
muito cedo, pois os rudimentos podem ser encontrados nos documentos moístas do século IV 
a.C.. Em épocas ainda mais remotas, no tempo dos ossos-oráculos de Chang, os chineses eram 
capazes de expressar números muitos grandes – coisas de que poucas civilizações podiam se 
orgulhar – e, por volta do século II d.C., estavam usando o que hoje chamamos de “potências de 
dez”. Assim, e assim por diante (o pequeno número elevado ou índice indica o número de zeros, 
isto é, o número de vezes em que 10 é multiplicado por si mesmo). É evidente que os chineses 
não escreviam 10, mas tinham símbolos que expressavam a mesma ideia. 
 
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No ocidente sempre houve dificuldades quando se chegou aos “surdis” (palavra 
derivada do latim “estúpido”). Esses números estúpidos, ou irracionais, eram, como raiz 
quadrada de 2, aqueles que não podiam ser expressos como a relação entre dois números inteiros. 
Como uma fração do tipo ½ ou ¾. A raiz quadrada de 2, expressa como decimal, é 1,4142136... 
Mas essa incomensurabilidade parece não ter criado problema algum na mente dos chineses, 
enquanto para os gregos parecia realmente irracional, pois não se podia estabelecer uma relação 
direta com ela. Os chineses não tinham problemas quando se deparavam com números 
negativos; em suas pranchas de contagem, as varetas vermelhas representavam números 
positivos e as negras, números negativos – isso pelo menos desde o século II d.C. Na Índia, tais 
números não apareceram antes do século VII e, na Europa, não antes do século XVI. 
 
7. ARITMÉTICA 
 
Assim como praticavam os processos básicos de aritmética e estudavam quadrados, 
cubos e raízes; como já vimos, os chineses ficavam intrigados com as relações dos números entre 
si. Nisso seguiam o padrão de muitas civilizações primitivas. Em um estágio muito antigo da 
história chinesa, os números ímpares eram julgados aziagos e os pares afortunados. Estudaremos 
padrões de pontos, como o foram na Grécia por Pitágoras e seus seguidores, para deduzir 
sequências numéricas, e os chineses descobriram algumas relações desconhecidas dos gregos. 
Por exemplo, sabiam que a soma da sequência de números ímpares é sempre um quadrado. 
Os chineses também mostravam interesse pela “análise combinatória”, o que revela sua 
curiosidade pelos “quadros mágicos” – quadrados formados por compartimentos preenchidos 
com números cuja soma dá sempre o mesmo total, quer se tomem os números no sentido 
vertical, horizontal ou diagonal. O quadro mágico poderia torna-se elaborado – até se 
imaginarem quadrados tridimensionais -, mas, em sua forma mais simples, parece ter origem 
pelo menos no ano 100 a.C., ou ainda mais cedo, embora esse assunto não se tenha desenvolvido 
senão 1400 anos depois. 
Os chineses sempre foram peritos em encontrar auxílios para o cálculo. Como outras 
civilizações primitivas, contavam nos dedos e empregavam a mais complicada técnica de 
destinar números para as juntas dos dedos, tanto quanto para os dedos propriamente ditos. 
 
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Usavam também um barbante com nó, semelhante ao quipú peruano, embora esse método fosse 
empregado mais para registros do que realmente para executar cálculos. Mas o seu eficiente 
artifício de cálculos primitivos era a vara de contar. Parece ter sido usada desde cedo e era ideal 
para o cálculo semimecânico; há muitas lendas acerca do uso desse instrumento, como a que 
envolve o astrônomo do século XI, Wei Pó, que, dizem, movia as varas tão rapidamente que elas 
pareciam estar voando. Mas, depois do período Ming, pouco se ouviu a respeito das varetas, pois 
elas cederam lugar ao ábaco, um instrumento bem mais eficiente. 
O ábaco chinês é chamado tanto de suan pan (placa de cálculo) como chu suan pan 
(placa de bola); prancheta retangular providas de bolas introduzidas em arames, o ábaco e 
provavelmente conhecido da maioria dos leitores. A primeira referência desse instrumento não 
apareceu antes do ano 1593 d.C.; por isso algumas vezes se pensou que fosse conhecido da 
China. 
Até o século XVI. Contudo, alguns textos tornam claro que a referência de 1593 é 
tardia: admite-se que não se trata realmente do ábaco, mas de uma “aritmética de bola”, tipo de 
cálculo executado em madeiras escavadas, providas de arames e bolas. Essa descrição aparece 
num livro dotado do século VI d.C., e sua fonte de informações remonta ao final do século II 
d.C. Uma vez que há outras referências a descrições semelhantes parece que o ábaco já era 
conhecido no século VI e possivelmente no século II d.C. Em outras civilizações primitivas, o 
“mecanismo” é formado por pedras que se deslocam dentro de ranhuras. O método das pedras 
pode muito bem ser originário da Índia, no século III ou IV d.C. como um aperfeiçoamento das 
antigas bandejas de areia ou pó empregadas no Mediterrâneo para realizar cálculos. Estas foram 
bem conhecidas dos gregos, dos egípcios e até mesmo dos babilônios. 
 
8. GEOMETRIA 
 
Embora os chineses não tenham sido geômetras – nunca desenvolveram uma geometria 
dedutiva como fizeram os gregos – preocuparam-se com algumas questões geométricas. De fato, 
no século IV a.C. os moístas chegaram a dar algumas definições geométricas de pontos, linhas e 
certas figurasgeométricas, quase na mesma época em que Euclides escrevia seus Elementos, em 
Alexandria. Mas esse foi um caso isolado. Os chineses nunca deram sequência a esse trabalho, 
 
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embora tenham desenvolvido sua própria teoria referente aos lados do triângulo retângulo, a qual 
era diferente da enunciada por Pitágoras. Por volta do século II d.C., os chineses haviam 
determinado as áreas de quase todas as figuras e os volumes de vários sólidos, provavelmente 
recorrendo a modelos reais como orientação, algo que os gregos, de mente filosófica, jamais 
pensariam em fazer. 
Um problema básico enfrentado por todas as civilizações primitivas era a determinação 
da área do círculo, pois essa medida auxilia a solução de muitos outros problemas. Reduzido aos 
seus elementos básicos, o problema consiste em determinar quantas vezes o raio de um círculo 
pode ser contido dentro de sua circunferência. Essa razão é um número expresso pela letra grega 
(pi). O valor real de (pi) é 3,1415926536... Os egípcios não conseguiram obter um valor exato, 
nem os babilônios; os gregos concluíram que ele se situava entre 3,1408 e 3,1429, mas os 
chineses, finalmente, foram mais felizes. No século I d.C., esforçaram-se por obter um valor 
exato, calculando a área do maior polígono regular que eles conseguiam inscrever num círculo e 
do menos que podia circunscrever. Quanto maior o número de lados dos polígonos, mais 
próximos suas áreas estariam uma da outra e mais próximas suas áreas estariam uma da outra e 
mais próxima estariam do verdadeiro valor. Um grande passo foi dado no século V d.C., com os 
cálculos de Tsu Chung-Chih (Zu Geng-Zhi), que finalmente obtiveram um valor situado entre 
3,1415926 e 3,1415927, o qual foi verificado nove séculos depois pó Chao Yu-Chin (Zhao Yu-
Qin) , que usou polígonos de até 16 382 lados para fazer essa verificação. No ocidente, tal valor 
não foi obtido antes do século XVII. 
Antes de encerrar o assunto “geometria”, vale a pena notar que os chineses deram os 
primeiros passos no desenvolvimento da geometria de coordenadas, forma em linhas e curvas 
são representadas por fórmulas algébricas. Os chineses criaram as coordenadas básicas, 
provavelmente derivadas de seu mapeamento e de sua compilação de tabelas históricas, nas 
quais as entradas eram feitas em um sistema de coordenadas, como em um mapa. Concluíram 
também que uma formula algébrica podia expressar na razão geométrica de modo inigualável, 
apreciando isso porque era justamente o modo pelo qual resolviam problemas geométricos, Os 
chineses conseguiram isso no século II d.C., mas foi somente no século XVII que essa geometria 
de coordenadas foi desenvolvida no Ocidente embora de uma forma bastante aperfeiçoada 
 
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9. ÁLGEBRA 
 
Hoje, quando falamos de álgebra pensamos no uso de combinações de letras e números, 
de equações como x – 5x – 6 = 0. Os chineses praticavam a álgebra desde os tempos mais 
antigos e registravam o resultado totalmente em palavras, embora essas palavras tivessem um 
significado especifico em seu contexto matemático. Só raramente e muito mais tarde é que 
usaram símbolos matemáticos. Entretanto, também empregaram prancha de contagem para a 
álgebra, e, no período Sung, isso foi desenvolvido em um método de anotação tão completo que 
podia envolver equações de potência muito elevada – podiam resolver equações contendo x. No 
entanto, apesar desses extraordinários progressos – e não há dúvida de que foi o máximo da 
álgebra chinesa – o trabalho não teve sequência, pois os chineses não tinham uma teoria geral 
das equações, tal como foi desenvolvida no mundo ocidental, para conseguir solucioná-las. 
A ausência de uma teoria algébrica entre os chineses, contudo não lhes inibiu a 
habilidade de resolver grande número de problemas usando a álgebra. No período Han, eram 
capazes de resolver equações lineares simultâneas (equação com duas, três ou mais quantidades 
desconhecidas) e, mais tarde, no século IV d.C., até equações indeterminadas (que possuem mais 
incógnitas do que equações para resolvê-las diretamente). Equações quadráticas (equações com 
X também podiam ser resolvidas desde cedo, e eles estavam igualmente cientes de algo que hoje 
chamamos de “métodos da diferenças finitas”, o qual pode ser usado, como era pelos chineses do 
século VII, para resolver problemas relacionados ao movimento aparente do Sol no céu. No 
século XIV, haviam desenvolvido esse método até um grau desconhecido na Europa de três ou 
quatro séculos depois. 
Os algebristas chineses estudaram séries matemáticas (séries de números ligados um ao 
outro de maneira específica) e também investigaram formas matemáticas para expressar 
permutações e combinações de objetos. Além disso, ao resolver equações de potência muito 
elevada, fizeram uso do que hoje chamamos de “teorema binomial”, que se refere a expressão de 
dois termos (binômios), como (x+ 1), que, se multiplicadas por si mesma, dão como resultado 
uma série de termos. Com alguns exemplos, poderemos ver como isso acontece: 
(x+1)2=(x+1)(x+1)=x2+2x+1e(X+1)=(x +1)3(x+1)(x+1)=x3+3x2+3x +1. Assim, torna-se claro 
que quanto mais multiplicações (ou potencias) tivermos, maior será o número de termos na série. 
 
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Mas, se observarmos os números colocados à esquerda dos x (isto é, os coeficientes), poderemos 
ver que há um padrão entre eles. Os de potência 1- isto é ( x+1) – são 1,1; os de potência 2- isto é 
( x+1)2 – são 1,2,1;os de potência 3- isto é ( x+1)3- são 1,3,3,1, e assim por diante. 
Desde o século XVII d.C., esse arranjo numérico tem sido conhecido como “triângulo 
de Pascal”, pois foi elaborado por Blaise Pascal, embora tenha aparecido um século antes num 
livro de Peter Apian. O triângulo é empregado na análise matemática das probabilidades: assim, 
a segunda fileira (potência 2) mostra o número total de maneiras ou permutações em que duas 
moedas podem cair numa superfície com cara ou coroa voltadas para cima (há uma possibilidade 
de dar duas caras, duas de dar uma cara e uma coroa e uma coroa e uma de duas coroas). 
 
10. MATEMÁTICA ÁRABE 
 
Se a astronomia árabe, principalmente, consolidou e aperfeiçoou uma ciência que era, 
em essência, uma herança dos gregos, a matemática árabe foi bem diferente. Certamente foi um 
meio pelo qual os algarismos hindus foram transmitidos para o Ocidente. Mas, acima de tudo, 
trouxe para a arte da matemática duas técnicas poderosas – a álgebra e a trigonometria -, que são 
tão válidas hoje como o eram quando os árabes as introduziram. 
O primeiro grande matemático árabe foi Thabit ibn Qurra, cujo trabalho astronômico 
em Bagdá já descreveu. Ele deu muitas contribuições em todos os campos da matemática; 
traduziu para o árabe todos os trabalhos de Arquimedes, assim como o trabalho de Apolônio 
sobre seções crônicas (a elipse, a parábolas e hipérbole) e a geometria de Euclides. Escreveu 
sobre a teoria dos números, ampliou seu uso para descrever as relações entre quantidades 
geométricas – passo que os gregos nunca deram – e discutiu a questão de onde, se acontecesse, 
as linhas paralelas poderiam encontrar-se. Ibn Qurra também preparou um Livro de dados, 
trabalho de geometria a meio caminho, em termos de dificuldade, entre Euclides e o Almagesto; 
estaria em voga no ocidente durantea Idade Média. 
Outro dos astrônomos-matemáticos de Bagdá foi Al-Battani, e suas notáveis realizações 
foram, primeiro, ter abandonado o antigo sistema grego de cordas de ângulos e adotado a 
proporção trigonométrica conhecida como seno – muito mais conveniente usou também sua 
relação oposta, o co-seno. Entretanto, não usou a outra relação, a tangente (e sua inversa, a co-
 
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tangente), e assim alguma de suas fórmulas eram ainda ligeiramente desajeitadas. Com Hiparco e 
Ptolomeu, os gregos chegaram perto da trigonometria, mas nunca conseguiram estabelecer as 
relações adotadas por Al-Battani, as quais por sua simplicidade e conveniência, iriam 
revolucionar a matemática dos triângulos, tão usada na astronomia e na agrimesura, despindo-a 
de parte de sua antiga dificuldade. A segunda realização de Al-Battani foi o uso que fez da 
trigonometria e da projeção de figuras de uma esfera para um plano, para lhe permitir obter 
algumas novas soluções de problemas astronômicos. Seus métodos foram copiados na Europa 
Ocidental, no século XV, pelo astrônomo Regiomontanus. 
O século IX assistiu a outros avanços matemáticos no mundo muçulmano: Al-Jawhari 
desenvolveu alguns métodos de calcular a expectativa de vida usando dados astrológicos, e 
Kamal al-Din trabalhou em álgebra, usando com facilidade equações de graus elevados e, em 
todas as equações, empregando números irracionais, como a raiz quadrada de 2, sem dificuldade; 
desse modo, ampliou o campo em que esse ramo da matemática podia ser aplicado. Mas, de 
todos os matemáticos desse século, o mais importante talvez tenha sido Al-Khwarizmi, pois foi 
ele quem escreveu m tratado sobre a matemática pratica algo para mostrar “o que é mais fácil e 
mais útil em aritmética”, no qual usou álgebra no sentido moderno. Fez isso quando explicou 
como é possível reduzir qualquer problema a uma de seis formas padrão usando dois processos: 
o primeiro conhecido como al-jabr, o segundo, como al-mugabala. O termo al-jabr referia-se a 
“transferir termos” para eliminar quantidades negativas (de modo que, por exemplo, x = 40-4x se 
torna 5x= 40); al-mugabala era o processo seguinte, o que “balanceava” as quantidades positivas 
restantes (assim se tivermos 50 + x2 = 29 +10x, al-mugabala o reduz para x2+21=10x). Nesse 
livro, Al-Khwarizmi não usou símbolos como fazemos hoje – eles foram introduzidos mais tarde 
– e expressou sua matemática em palavras; além disso, não inventou a álgebra como técnica, 
pois a tomou emprestado do grego ou, mais provavelmente, de fontes hindus. Mas sua realização 
foi tornar clara a técnica e, explicando – a tão bem, promover o seu uso. Foi também Al-
Khwarizmi que escreveu brilhante tratado sobre os algarismos hindus e, assim, encorajou o seu 
uso como tais. 
O século X assistiu a mais pesquisas e desenvolvimento no campo da matemática, um 
pouco na geometria, um pouco na álgebra e um pouco da trigonometria. O neto de Thabit ibn 
Qurra, Sinan ibn Thabit ibn Qurra, especializou-se em geometria, e al-Quhi inventou um 
 
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compasso com um perna que mudava de comprimento para desenhar elipse e outras seções 
cônicas. O trabalho trigonométrico concentrou-se na preparação de tabelas de senos – Ibn Yunus 
compilou-as até quatro casas decimais – descobriu-se o “teorema do seno”. Esse teorema é usado 
para triângulos traçados em uma superfície esférica, tal como encontramos na astronomia quando 
se medem triângulos na esfera celeste, e é particularmente importante. Não se tem certeza sobre 
seu criador; pode ter sido Sinan, Al-Khujandiou talvez Abur Nasr al’ Iraq, mas é certamente a 
um desses matemáticos muçulmanos que devemos a sua invenção. Em álgebra, Al-Karaji 
desenvolveu o uso dos binômios e definiu a finalidade apropriada da matéria como sendo “a 
determinação de incógnitas a partir de premissas conhecidas”. 
Mas o grande sábio de toda a matemática árabe do século X foi Abu’l-wafa. Ele 
escreveu um manual de aritmética prática, um livro sobre o que é necessário na ciência da 
aritmética para escribas e homens de negócios, e um semelhante em geometria, um livro sobre o 
que é necessário na construção geométrica para o artífice .Este último forneceu soluções para 
problemas de duas ou três dimensões usando apenas um compasso e uma régua – forma de 
geometria prática que teria enlouquecido os gregos, para os quais a geometria era apenas uma 
arte teórica ,e as construções de Abu’l-Wafa’erm tão úteis que circularam amplamente na Europa 
durante Renascença. Em trigonometria, ele preparou novas tabelas e desenvolveu modos de 
resolver alguns problemas de triângulos esféricos. 
Tal como na astronomia, em matemática o século XI foi um período virtualmente 
desprovido de desenvolvimento, mas as coisas melhoraram no século XII. O poeta e astrônomo 
Al Khayyami escreveu um comentário sobre Euclides e sobre a álgebra, usando algumas das 
idéias de Abu’-Hassan-Nasawi, que trabalhou pelo menos um século antes e cujos métodos 
parecem ter se originado dos chineses. Al-Khayyami também discutiu a determinação das raízes 
da quarta, quinta, sexta e potências mais altas, por um método que ele descobriu e que não 
envolvia o uso de geometria e talvez tenha incluído o triângulo de Pascal. Se assim foi, então sua 
descoberta foi contemporânea coma da China, mas, como o método de Al-Khayymi está perdido, 
não é possível verificar se ele fez uma descoberta paralela ou não. O astrônomo Al-Tusi escreveu 
um grande tratado de álgebra, não muito depois da morte de Ai-Khayyami também; tratava 
também de achar as raízes das equações e discutiu as mudanças de suas variáveis, algo que se 
tornou único na matemática árabe. Novamente foi no século XII que o físico Ibn Yahya al-
 
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Samaw’al mostrou precocidade na matemática, escrevendo o livro O deslumbrante quando 
tinha apenas dezenove anos de idade. Nele, explicou a multiplicação e a divisão de potências 
(isto é, lidou com a “série e potências”, x4, x3, x2,....,) adotou a convenção de que 1 pode ser 
expresso como potência 0 ( isto é, x0) e , de fato, enunciou nossos métodos atuais (embora não 
tivesse usado a mesma notação). Além disso, não somente deu um passo adiante de Al-Karaji, 
escrevendo resultados algébricos de forma bem mais simbólica, como foi também o primeiro 
matemático árabe e entender os números negativos resolvendo tratá-los como identidades 
distintas. Assim, Al-samaw’ al foi capaz de subtrair números de zero, descobrindo regras que só 
apareciam na Europa trezentos anos depois. 
Depois de Al-Samaw’al, só ocorreram pequenos desenvolvimentos na matemática 
árabe. Em meados do século XIII, o muçulmano espanhol Muhyi’Din al-Maghribi recalculou o π 
(pi) e os valores dos senos, e ofereceu novas provas do teorema do seno, mas cem anos depois 
esses cálculos foram suplantados por Al-Kachi, em Samarcanda, com seus valores corretos até 
dezesseis casas decimais. Foi Al-Kachi, também, que introduziu maneiras metódicas de lidar 
com frações decimais. E foi no século XV que se chegou não apenas ao último matemático 
muçulmano espanhol, mas também ao último desenvolvimento da matemática islâmica; isso 
ocorreu com o trabalho de Abu’l Hassan al- Qalassadi, agora conhecido por nós por seu livro de 
álgebra, escrito em versos. Entretanto, não é o fato de as regras de álgebrase tornem poesia em 
suas mãos que nos interessa, mas o de que seu texto tornou muitos símbolos algébricos mais 
amplamente conhecidos. Eles não eram invenção dele, mas o trabalho de IbnQunfudh e Ya’qub 
ibn Ayyub, um século antes; a importância de Al-Qalassadi foi torná-los mais familiares, se tal 
forma que viriam a estimular, mais tarde, os matemáticos ocidentais quando herdaram o soberbo 
legado matemático da Arábia. 
 
 
 
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UNIDADE II - MATEMÁTICA 
 
A Matemática floresceu durante a Renascença e exerceria um importante papel no 
desenvolvimento de outros ramos da ciência. Durante os estágios da Revolução Científica, a 
matemática ajudou a esclarecer o comportamento da Lua e dos planetas e seus movimentos no 
céu, assim como a resolver alguns problemas básicos de mecânica. O grande desenvolvimento da 
aplicação de técnicas matemáticas e problemas científicos atingiu seu pico nos séculos XVII e 
XVIII, mas os seus fundamentos foram lançados no século XVI. Na Renascença, as primeiras 
aplicações da matemática se verificaram no comércio e nas artes. A tradução de textos clássicos 
e árabes tornaram possíveis discutir a matemática do dia a dia, e propiciara o acesso ao texto 
completo de Euclides, primeiro em manuscrito e depois em livros impressos. As primeiras 
edições apareceram na Itália no fim do século XV, sendo a elegante edição veneziana de Erhard 
Rotdolt, de 1482 (primeira impressão em que se empregou um tom dourado), especialmente 
notável. As edições de Euclides estimularam a nova arte da perspectiva, tema de experiência de 
vários artistas. Esse trabalho já era realizado em Florença, nos séculos XIV e XV, assim como na 
Alemanha e nos Países Baixos, embora o desenvolvimento florentino seja o mais bem 
documentado. A nova arte estimulou investigações geométricas, primeiro, ao que parece, por 
Filippo Brunelleschi (1377-1446), embora o primeiro livro sobre o assunto seja creditado ao 
pintor do século XV, Paolo Uccello. Não existe nenhuma cópia do livro de Uccello; contudo, seu 
trabalho artístico torna evidente sua familiaridade com o assunto. Um livro que sobreviveu foi de 
porspectiva pingendi (“Perspectiva na pintura”), de Pietro della Francesca, escrito entre 1474 e 
1482 - um importante tratado que introduziu a ideia do ponto de fuga. Mais tarde, o assunto foi 
tratado por Leonardo da Vinci, e, na Alemanha, Albrecht Durer desenvolveu independentemente 
a técnica da perspectiva linear. 
Os textos de Euclides influenciaram também os cartógrafos, os mais notáveis dos quais 
foi o geógrafo flamengo do século XVI, Gerhar Mercator, de 1569, constituiu outra aplicação da 
geometria, nesse caso com o fim de ajudar os navegadores, uma vez, foi o professor de Mercator, 
o geógrafo e matemático holandês Reiner Gemma Frisius, nascido em Dkkum, na Holanda, em 
1508, que no ano de 1533 propôs e ilustrou o princípio da triangulação, levantamento 
topográfico que permite a precisa localização de regiões inacessíveis. 
 
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Gemma Frisius foi também o primeiro a sugerir o uso de cronômetros portáteis para 
determinar a longitude no mar, método teoricamente excelente, mas que não pôde ser posto em 
prática de modo satisfatório até o século XVIII, pois só então se passou a dispor de um relógio 
adequado. 
Um ramo da geometria cujos estudos foram iniciados pelos gregos e ampliados pelos 
matemáticos do mundo muçulmano foi o método de cálculos que empregava as relações entre os 
lados dos triângulos e os ângulos compreendidos entre eles, que é a técnica hoje chamada de 
trigonometria. Sua evolução durante o século XV deveu-se principalmente a Georg Peuerbach e 
Johann Muller (Regiomontanus). Peuerbach nasceu na cidade do mesmo nome, na Áustria, e, 
1423, e morreu em Viena, em 1461, mas em sua vida curta deixou sua marca na trigonometria e 
na astronomia. Nada se sabe sobre os primeiros anos de sua vida, embora seja certo que ele 
frequentou a Universidade de Viena e, em algum período entre 1448 e 1453, viajou pela 
Alemanha, França e Itália; pode ter-se encontrado com o filósofo e astrônomo Nicolau de Cusa 
durante estada em Roma. Em 1456, tornou-se astrólogo da corte do rei húngaro Ladislau V e, 
com a morte deste, astrólogo da corte do sacro imperador romano germânico. O cargo de 
astrólogo não lhe ocupava mais o tempo, e ele fazia conferências sobre o humanismo na 
universidade; Regiomontanus era seu aluno. Mais tarde discutiremos a astronomia de Peuerbach; 
por enquanto basta dizer que ele deu impulso à trigonometria escrevendo um pequeno livro que 
explicava o modo de calcular senos e cordas de ângulos. Esse trabalho aparecia mais tarde 
impresso juntamente com tabelas de senos calculadas por Regiomontanus, e uma tabela adicional 
que fornecia os senos de pequenas frações de ângulos (minutos de arco). Tabelas semelhantes, 
mais precisas, foram preparadas no século seguinte por Georgvon Lauche (Rheticus). Entretanto, 
só foram completadas postumamente, em 1596, sob a direção de um aluno, Valentine Otho. Uma 
edição revista saiu em Frank-furt,em 1613, organizada por Bartholomeu Pitiscus, a quem 
devemos a criação da palavra “trigonometria”. A preparação e a publicação de todas essas 
tabelas podem parecer bastante prosaicas para nós, hoje em dia, mas não só envolvem realmente 
uma imensa quantidade de trabalho diligente, bem como sua ampla disponibilidade em edições 
impressas do século XVI serviu para promover o uso de métodos trigonométricos, de tão grande 
significado para o progresso da astronomia, seu principal campo de aplicação. 
 
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O outro campo da matemática que registrou considerável progresso foi a álgebra. A 
divulgação de trabalhos matemáticos realizados por árabes estimulou também o 
desenvolvimento dessa ciência, e em 1202, Leonardo Fibonacci, de Pisa (também conhecido 
como Leonardo Pisa), escreveu o primeiro tratado sobre o assunto o Líber abaci (“Livro do 
cálculo”). Nele há uma longa seção sobre álgebra é métodos algébricos, e o livro apresentou os 
algarismos indo-arábicos, inclusive o zero, aos leitores ocidentais. Fibonacci, lembrado hoje 
pelos números de Fibonacci (sequência obtida pela soma de cada número ao seu predecessor, 
assim: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...), também escreveu uma Geometria prática, que se tornou um texto 
padrão, mas depois de sua época houve um progresso surpreendente pequeno. Somente no século 
XV é que se deu o próximo passo substancial. Em 1484, Nicolas Chuquet produziu sua ciência 
dos números em três partes, que continha o germe dos logaritmos, uma experiência muito clara 
das equações e sua incógnita e um reconhecimento não só das raízes negativas como das 
positivas. Mas o livro nunca foi publicado, e sua influência pode ser considerada praticamente 
nula. 
O matemático desse período que realmente estimulou seus contemporâneos foi Luca 
Pacioli tornou-se frade franciscano e viajou pela Itália, ensinando matemática; voltou para sua 
cidade natal coma idade de 45 anos e, em 1494, completou sua Smma de arithmetica, geometria, 
proportioni et proportionalità, impressa em Veneza sob sua supervisão. Não foi um livro original 
nem um trabalho abrangente, tomando de empréstimo, como Pacioli prontamente reconheceu, 
material de Euclides a Fibonaci, mas foi muito difundido e estudado minuciosamente