FCE - Apostilav8

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FUNDAMENTOS DE 
CIRCUITOS 
ELÉTRICOS 
 
Volume 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flávio Geraldo Coelho Rocha 
2012
Circuitos Elétricos 
 
Prof. Flávio Geraldo Coelho Rocha Página 2 
 
SUMÁRIO 
1 Circuitos Resistivos .......................................................................................................................... 3 
1.1 Elementos de Circuitos Elétricos........................................................................................ 3 
1.2 A Primeira Lei de Ohm ........................................................................................................... 4 
1.3 Unidades de Circuitos Elétricos .......................................................................................... 5 
1.4 Técnicas para Redução de Circuitos Elétricos .............................................................. 5 
1.5 As Leis de Kirchhoff ................................................................................................................. 7 
1.6 A Segunda Lei de Ohm ............................................................................................................ 8 
1.7 A Potência Elétrica ................................................................................................................... 8 
1.8 Dispositivos Medidores de Grandezas Elétricas .......................................................... 9 
1.9 Resolução de Questão de Concurso ................................................................................ 10 
1.10 O Divisor de Tensão ......................................................................................................... 12 
1.11 O Circuito Equivalente de Thèvenin .......................................................................... 13 
1.12 Transformação de Fontes .............................................................................................. 17 
1.13 Princípio da Superposição ............................................................................................. 18 
1.14 Princípio da Máxima Transferência de Potência .................................................. 20 
1.15 Exercícios de Fixação ....................................................................................................... 23 
 
Circuitos Elétricos 
 
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1 Circuitos Resistivos 
1.1 Elementos de Circuitos Elétricos 
Os circuitos elétricos são compostos por elementos de circuitos. Os elementos de 
circuitos podem ter dois ou mais terminais. Elementos com mais de dois terminais 
são geralmente tratados pela eletrônica analógica. 
A representa um bipolo genérico, ou seja, um elemento qualquer de circuitos elétricos 
com dois terminais. 
 
Figura 1. bipolo genérico. 
A apresenta dois elementos com mais de duas terminações, geralmente presentes em 
circuitos da eletrônica analógica. 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 2. (a) TBJ (Transistor Bipolar de Junção). (b) Amp. Op. (Amplificador 
Operacional). 
Os principais elementos de circuitos elétricos são os resistores, indutores, 
capacitores, fontes de tensão e fontes de corrente. Estes elementos estão 
representados abaixo: 
 
Resistor 
 
Indutor 
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Capacitor 
 
Fonte de tensão 
 
Fonte de corrente 
Figura 3. Principais Elementos de Circuitos Elétricos 
1.2 A Primeira Lei de Ohm 
A principal lei que rege os circuitos elétricos é a lei de Ohm, também conhecida como 
1ª Lei de Ohm: A corrente elétrica fluindo por meio de um dispositivo é diretamente 
proporcional à diferença de potencial (tensão) aplicada ao dispositivo por uma razão 
característica do dispositivo. 
Exemplo 1: Seja o circuito da Figura 4 composto por fonte de tensão de 12 V e resistor 
de 6Ω. Qual a corrente que flui pelo dispositivo? 
 
Figura 4. Circuito elétrico com dois elementos. 
Resposta: 
Aplica-se a 1ª Lei de Ohm. 
12 6
2
V Ri
i
i A



 
Exercício 1. Utilizando a lei de Ohm, determine os valores das variáveis 
desconhecidas dos circuitos abaixo: 
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(a) 
 
(b) 
 
(c) 
1.3 Unidades de Circuitos Elétricos 
Lembre-se das mais importantes unidades de circuitos elétricos. 
Ampère (A): unidade usada para medir corrente elétrica. 
Volt (V): unidade usada para medir diferença de potencial elétrico (tensão). 
Ohm (Ω): unidade usada para medir resistência elétrica. 
1.4 Técnicas para Redução de Circuitos Elétricos 
Muitos circuitos elétricos são compostos por um grande número de elementos, a 
maneira mais fácil de manipular estes circuitos é a de lançar mão de técnicas de 
redução de circuito. Diz-se que dois elementos estão em paralelo quando os terminais 
destes elementos estão ligados em pontos comuns, ou seja, os elementos possuem a 
mesma tensão. Diz-se que dois elementos estão em série quando o terminal do 
elemento ‘a’ está ligado a um ponto comum onde está ligado um dos terminais do 
elemento ‘b’ e a corrente elétrica que perpassa os dois elementos é a mesma. Confira 
a . 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 5. (a) R1 e R2 em paralelo. (b) R1 e R2 em série. 
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(a) 
 
(b) 
Figura 6. (a) Solução de associação de resistores em paralelo. (b) solução de 
associação de resistores em série. 
A Figura 6 apresenta como reduzir circuitos que possuem elementos em paralelo e 
elementos em série. 
Exemplo 2: Dado o circuito abaixo, reduza-o ao máximo. 
 
Solução: [[[R6//R7+R5]//R4+R3]//R2]//R1 
Exercício 2: Dados os circuitos abaixo, reduza-os ao máximo: 
(a) (b) 
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1.5 As Leis de Kirchhoff 
Em muitos casos, na maioria deles, a redução do circuito por meio de análises de 
associações de resistores não é eficiente para fornecer a análise completa do circuito. 
Para tanto, devem ser envolvidas grandezas como corrente e diferença de potencial. A 
análise torna-se mais completa quando utilizadas as leis de Kirchhoff. São duas as leis 
de Kirchhoff, sendo elas: 
1ª Lei de Kirchhoff (lei das malhas): A soma algébrica das variações de potencial 
encontradas ao longo de uma malha fechada de qualquer circuito deve ser nula. 
2ª Lei de Kirchhoff (lei dos nós): A soma das correntes que chegam a qualquer nó 
deve ser igual à soma das correntes que saem daquele nó. 
A apresenta os esquemas representativos da 1ª e da 2ª de Kirchhoff. 
 
1 1 1 2 2 3 3
1 2 3
1 1 2 3
1
1 2 3
0
( ) 0
V R i R i R i
i i i i
V i R R R
V
i
R R R
    
  
    

 
 
(a) 
 
1 2 3
1
2
1
1
3
2 3
1 1
1
1 2 3
i i i
V
i
R
V
i
R R
V V
i
R R R
 



 

 
(b) 
Figura 7. (a) Lei de Kirchhoff das malhas. (b) Lei de Kirchhoff dos nós. 
A seta indicativa de corrente elétrica desenhada nos circuitos elétricos representa o 
sentido em que se moveriam os portadores de carga positiva, ou lacunas. Este é o 
sentido convencional da corrente elétrica. O sentido convencional existe por razões 
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históricas. Esta convenção não traz impactos para a análise de circuitos, visto que o 
movimento relativo de portadores positivos em um sentido é o mesmo que o 
movimento de portadores negativos no sentido oposto. 
1.6 A Segunda Lei de Ohm 
Conhecendo-se a resistividade de um material, por exemplo, o cobre, podemos 
calcular a resistência de um fio de comprimento e diâmetro conhecidos,, feito deste 
material, conforme Figura 8. Trata-se da segunda lei de Ohm 
l
R
A

 
  
 
, onde: 

: resistividade do material condutor. 
l
: comprimento do material condutor. 
A
: área da seção transversal do material condutor. 
 
Figura 8. Segunda lei de Ohm. 
1.7 A Potência Elétrica 
A potência P em um elemento elétrico no qual uma diferença de potencial é aplicada é 
dada por: 
P Vi
 
Se o elemento de circuito for um resistor, pode-se escrever: 
2
2 VP i R
R
 
 
Grande parte da potência (energia pelo tempo) dissipada no resistor é na verdade 
transformada em energia térmica. Este é o princípio básico de funcionamento de 
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dispositivos domésticos como, por exemplo, o ferro elétrico, o chuveiro elétrico e o 
forno elétrico. 
1.8 Dispositivos Medidores de Grandezas Elétricas 
Muitas vezes os cálculos de tensão e corrente que realizamos diferem das grandezas 
reais que estão presentes em um circuito, apesar do erro, por muitas vezes, não ser 
considerável, em outros casos o engenheiro deve estar atento às influencias que o 
erro pode ter no projeto e análise de circuitos elétricos. O erro que diferencia os 
cálculos das medidas reais deve-se, dentre outros fatores, a simplificação de análises. 
Sabe-se, por exemplo, que toda fonte de tensão possui uma resistência interna, no 
entanto, esta resistência é desconsiderada ao assumirmos um modelo ideal de fonte 
de tensão em um circuito. Para ajudar o engenheiro em suas análises, existem os 
instrumentos de medidas, quais sejam, dentre outros, o amperímetro e o voltímetro. 
O dispositivo utilizado para medir corrente elétrica é o amperímetro, este dispositivo 
deve ter a resistência elétrica muito baixa e deve ser colocado em série com o ramo 
do circuito onde se deseja realizar a medição. 
O dispositivo utiliza para medir diferença de potencial (tensão) é o voltímetro, este 
dispositivo deve ter a resistência elétrica muito alta e deve ser colocado em paralelo 
com o ramo do circuito onde se deseja realizar a medição. 
Simbologia: 
 
Figura 9. Amperímetro e Voltímetro 
Exemplo 3. Desprezando as diferenças entre valores de corrente e tensão medidos e 
calculados, determine os valores de tensão e correntes medidos no circuito abaixo: 
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Resposta: Considerando que a corrente que flui pelos resistores de 2Ω e 5Ω é igual a i1 
e que a corrente que flui pelo resistor de 8Ω é i2, temos que: 
1 1 212 2 5 8 0i i i    
 
Como a resistência do voltímetro é muito alta, pode-se dizer que 
1 2i i
, assim: 
1 1 1
1
12 2 5 8 0
12 4
0,8
15 5
i i i
i A
    
  
 
Logo, a leitura feita no amperímetro é de 0,8 A. Como a tensão lida nos terminais do 
voltímetro é igual à tensão lida nos terminais do resistor de 8Ω, temos: 
8 0,8 6,4V V  
 
1.9 Resolução de Questão de Concurso 
(CESPE/UnB) Questão 114 da prova para Engenharia de Telecomunicações do 
Município de Vitória/ES – 2008. 
Julgue se a afirmação abaixo é certa ou errada: 
Considerando-se os arranjos mostrados nos circuitos das figuras I e II a seguir, que 
podem ser usados para a determinação do valor da resistência do resistor R, é correto 
afirmar que o circuito da figura I é mais indicado para a determinação de altos valores 
de resistência que o da figura II. 
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Resposta: 
O valor da resistência do resistor R só será conhecido caso a corrente que flui por este 
resistor seja determinada. Sendo assim, a configuração mais adequada para 
determinação do valor de R é a configuração da figura I, pois o amperímetro está em 
série com o resistor, determinando, assim, com precisão, o valor da corrente que flui 
pelo resistor. 
A configuração da figura II pode ser utilizada para obter uma boa aproximação do 
valor da corrente no resistor, quando sua resistência for baixa, visto que a alta 
resistência do voltímetro fará com que grande parcela da corrente lida em A flua pelo 
resistor, o que não ocorre nos casos em que R tem resistências comparáveis à 
resistência de V. 
Exercício 4. Um circuito contém 5 resistores ligados a uma bateria de tensão igual a 
12 V, conforme figura abaixo. Qual a diferença de potência através do resistor de 5Ω. 
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1.10 O Divisor de Tensão 
Uma fórmula muito utilizada em circuitos elétricos é a fórmula do chamado divisor de 
tensão. O divisor de tensão nada mais é que o resultado da aplicação da lei de 
Kirchhoff das malhas em um circuito semelhante ao circuito apresentado na Figura 
10. 
 
Figura 10. Divisor de Tensão 
Note que não há queda de tensão em R3, pois não há corrente fluindo por R3. Assim, a 
tensão Vo é a tensão nos terminais de R2. Aplicando Lei de Kirchhoff das malhas, 
obtém-se: 
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1 2
2
1
2
1
2
2
1 2
2
1 2
0
0
1
Vin R I R I
Vo R I
Vo
Vin R Vo
R
R
Vo Vin
R
RVo
Vin R R
Vin R
Vo
R R
   

   
 
  
 





 
Esta é a fórmula do divisor de tensão. Este resultado é importante, pois muitos 
problemas de circuitos elétricos envolvem ramos de circuitos iguais a este. Sendo 
assim, é possível utilizar a fórmula do divisor de tensão sem ser necessário o 
desenvolvimento da Lei das Malhas. 
1.11 O Circuito Equivalente de Thèvenin 
A partir do resultado da seção anterior é possível introduzir o conceito de circuito 
equivalente de Thèvenin. Com o teorema de Thèvenin pode-se reduzir um circuito, 
como àquele da Figura 10, composto por uma fonte de tensão e resistores, por uma 
fonte de tensão e por um resistor, conforme mostrado na Figura 11. 
 
Figura 11. Teorema de Thèvenin 
A tensão de Thèvenin é a tensão de saída Vo, obtida por meio do divisor de tensão, ou 
seja: 
2
1 2
Vin R
Vth
R R



 
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O resistor de Thèvenin é aquele obtido ao transformarmos a fonte de tensão do 
circuito em curto-circuito e resolvermos as associações de resistores, ou seja: 
1 2 3/ /Rth R R R 
 
Exemplo 4. Sabendo que R1=8Ω ;v2=-10V; i3=2A e R3=1Ω. Encontre tensões, 
correntes e R2. 
 
Primeiro aplica-se a lei dos nós no nó a: 
1 2 3 0i i i  
 
Como os valores de R3 e i3 foram dados, tem-se: 
3 3 3 1 2 2v R i V   
 
Aplica-se a lei das malhas na malha onde está a fonte de 10V e tem-se: 
1 3
1 3
1 1 1
1
2 1 3
2 2 2 2
10 0
10 8
8 8 1
1
10
v v
v v V
v R i
i A
i i i A
v R i R
   
  

 
   
   
 
Exemplo 5. Seja o circuito da figura abaixo, qual o valor da corrente lida no 
amperímetro? 
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Ao chamar a malha externa do circuito (super-malha) e chamar a corrente lida no 
amperímetro de im, tem-se: 
12 (4 ( )) 2 0
12 4 2 0
ia im
ia im
     
   
 
Aplicando a lei dos nós no nó b, obtém-se: 
3 0
4 0
4 2 12
3 12
4
a a m
a m
a m
m
m
i i i
i i
i i
i
i A
  
 
  


 
Exemplo 6. Aplicação da lei dos nós. Dado o circuito abaixo, encontre as tensões nos 
nós a e b. Sabendo que R1=1 Ω; R2=R3=0,5 Ω;If=4A. 
 
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2 1
1 3
4
4
0,5
3 4
0,5
3
3 3 4
9 4
0,5
1,5
a a b
a b b
a
a b
a b
b
a b
a b
b b
b b
b
a
v v v
R R
v v v
R R
v
v v
v v
v
v v
v v
v v
v v
v
v

 


  
 
 

  
 


 
A tensão no resistor R1 é igual a 
1,5 1,0 0,5a bv v V   
. 
Exemplo 7. Dado o circuito abaixo, quais os valores das tensões nos nós a, b e c? 
 
 
Entre os nós b e c tem-se um supernó. A lei dei Kirchhoff dos nós é aplicável ao 
supernó, ou seja, a soma das correntes que entra no supernó é igual a soma das 
correntes que saem do supernó. 
4
2
6 12 12
8
va V
vb va vb vc
vb vc
 

  
 
 
Resolvendo o sistema de equações, obtém-se: vb=6V e vc=-2V. 
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1.12 Transformação de Fontes 
A aplicação do teorema de Thèvenin para redução de um trecho de circuito a uma 
fonte de tensão em série com um resistor é bastante conveniente. No entanto, em 
alguns casos, uma fonte de corrente em paralelo com um resistor poderá ser ainda 
mais conveniente, tornando a análise do circuito mais simples e rápida. 
A transformação de fonte é um tópico da disciplina de circuitos elétricos que 
determina a relação existente entre o circuito equivalente de Thèvenin (composto por 
uma fonte de tensão em série com um resistor) e o circuito equivalente de Norton 
(composto por uma fonte de corrente em paralelo com um resistor), conforme pode 
ser observado na figura. 
 
Figura 12. Transformação de fontes. 
Onde: 
1
1
1
1 2
V
I
R
R R


 
Exemplo 8. Dado o circuito abaixo, utilizando a técnica de transformação de fonte, 
determine a corrente que flui pela fonte de 5V. 
 
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Existem algumas formas de se resolver este problema, uma delas é transformar a 
fonte de 3V que está em série com o resistor de 30 em uma fonte de corrente, para 
que a associação de resistores em paralelo constituída pelo resistor de 20 e o resistor 
resultante da transformação de fonte possa ser simplificada. Uma nova transformação 
de fonte garantirá que o circuito seja reduzido a uma malha, o que facilitara a 
resolução do problema. Os passos descritos podem ser visualizados a seguir: 
 
3
0,1
30
20 / /30 12
12 0,1 1,2
idc A
Rs
V V
 
  
  
 
 
5 5 12 1,2 0
3,8
0,2235
17
i i
i A
    
 
 
1.13 Princípio da Superposição 
Em um circuito elétrico resistivo composto por mais de uma fonte, a corrente elétrica 
que transita por um ramo deste circuito pode ser determinada como a soma das 
componentes de corrente elétrica induzidas por cada uma das fontes separadamente, 
ou seja: 
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1 1
2 2
1 2 1 2
i v
i v
i i v v


  
 
Exemplo 9. No circuito da figura abaixo existem duas fontes: uma fonte de tensão e 
uma fonte de corrente. Utilizando o teorema da superposição, determine o valor da 
corrente elétrica Im. 
 
A corrente elétrica Im devida a fonte de tensão de 6V chamaremos de Im1 e a corrente 
elétrica Im devida a fonte de corrente de 2A chamaremos de Im2. Logo, Im=Im1+Im2. 
Para encontrarmos Im1 substituiremos a fonte de corrente de 2A por um circuito 
aberto e para encontrarmos Im2 substituiremos a fonte de tensão de 6V por um curto 
circuito. 
 
1 1
1
6 3 6 0
6 2
9 3
im im
im A
   
 
 
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2
2
2
3 6
3
2
6
4
6
4 2
6 3
va va
va
va V
va
im
im A
 



 
 
Logo, temos, pelo princípio da superposição, que: 
1 2
2 2 4
3 3 3
im im im A    
 
1.14 Princípio da Máxima Transferência de Potência 
Sabe-se que em circuitos resistivos, em que um dos resistores, ou associação de 
resistores (representado por Rc), é tido como carga, a máxima transferência de 
potência é dada pela seguinte equação: 
2
max
fV
P
Rc

 
Sabe-se, ainda, que quando o circuito for passível de ser reduzido ao circuito 
equivalente de Thèvenin, então haverá máxima transferência de potência para a carga 
quando o valor ôhmico da carga Rc for igual ao resistor de Thèvenin Rth, conforme 
esquematizado no circuito abaixo: 
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Ou seja, haverá máxima transferência de potência da fonte Vth para a carga Rc, se e 
somente se, Rth = Rc. 
Exemplo 10. Determine o valor de Rc para que haja máxima transferência de potência 
da fonte de tensão para a carga Rc. Nestas condições, qual o valor da potência 
transmitida? 
 
É possível encontrar o equivalente de Thèvenin do trecho do circuito que inclui a 
fonte de 180V e os resistores de 30 Ω e 150 Ω. 
 
max 225P W
. 
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Exemplo 11. Dado o circuito abaixo, determine o valor de Rc para que haja máxima 
transferência de potência para a carga Rc. Nestas condições, qual o valor da potência 
transmitida? 
 
Para obtermos o valor de Rc, determinaremos o equivalente de Thèvenin do trecho 
do circuito ligado aos pontos a e b. Como o circuito é composto por uma fonte de 
tensão independente e uma fonte de tensão independente, utilizaremos uma análise 
específica para circuitos deste tipo. O circuito equivalente de Thèvenin para circuitos 
compostos por fontes de tensão dependentes e independentes pode ser obtido ao 
encontramos o valor de vab quando o circuito é aberto nos entre os pontos a e b e ao 
encontrarmos o valor de iab quando o circuito é curto-circuitado entre os pontos a e 
b. O quociente entre os valores de vab e iab equivale ao valor do resistor de Thévenin. 
1) Análise do circuito aberto entre os pontos a e b. Determinação do valor de vab. 
6 10 2 0
4
4
6 10 2 0
4
6 2,5 2 0
12
i vab
vab i
vab
i
vab
vab
vab vab
vab V
   


    
   

 
2) Análise do circuito curto-circuitado entre os pontos a e b. Determinação do 
valor de iab 
6 6 0
1
iab
iab A
  

 
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3) Determinação do valor do resistor equivalente de Thèvenin. 
vab
Rth
iab

 
Lembrando que vab poderia ser chamado de vca, ou seja, tensão com o circuito 
aberto, já iab poderia ser chamado de icc, ou seja, corrente quando o circuito está 
curto circuitado. 
O circuito equivalente de Thèvenin encontrado é apresentado na figura abaixo: 
 
12
max 3
Rc
P W
 

 
1.15 Exercícios de Fixação 
1) Qual o valor da corrente I que flui pela fonte de tensão V? 
 
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Resposta: 
15
44
I V 
 
2) Qual o valor da corrente I que flui pela fonte de tensão de 10 V? 
 
Resposta: I = -10,5 mA 
3) Reduza o circuito abaixo a apenas uma fonte de tensão e um resistor. 
 
Resposta: Req=3,5 Ω 
4) Qual o valor de Rc para que haja máxima transferência de potência da fonte 
para a carga Rc? 
 
Resposta: Rc = 4 Ω 
 
5) Um projetista possui um resistor de 300Ω ligado em série com uma fonte de 
tensão V, conforme figura abaixo. Este projetista deseja ligar uma carga ao 
circuito de forma que haja máxima transferência de potência para a carga. 
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Para tanto, o projetista dispõe, para compor a carga, de 2 resistores de 2KΩ, 1 
resistor de 1kΩ, 1 resistor de 500Ω e 1 resistor de 50Ω. O projetista conseguirá 
realizar uma ligação de forma que haja máxima transferência de potência? 
Caso positivo, esquematize. 
 
 
6) Dado o circuito abaixo, determine o valor de I e o valor de V. 
 
Resposta: I= -4A; V=10V. 
7) Simplifique o circuito abaixo ao máximo. 
 
Resposta: É possível reduzir o circuito a apenas uma malha composta por uma fonte 
de tensão de tensão igual a -V-3IR/4 e um resistor de resistência igual a 11R/4.