Cap_01_1a_aula_SISTEMA DE FORÇAS(2015.2)

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Escola de Ciências e Tecnologia – UFRN (Mecânica dos Sólidos)
Prof. Daniel Nelson Maciel (dnmaciel@ect.ufrn.br) 
1. Sistema de forças
1.1. Conceitos Básicos 
I) MECÂNICA: Ramo da física que estuda o comportamento dos corpos submetidos a forças 
de várias naturezas. É basicamente subdividida em duas principais áreas:
i) Mecânica dos Fluidos
ii) Mecânica Sólidos
ii.a) Mecânica dos corpos rígidos (estática e dinâmica);
ii.b) Mecânica dos corpos deformáveis (resistência dos materiais).
II) Corpo Rígido: Corpo que não se deforma. É uma idealização com finalidade de estudar 
APENAS os efeitos das forças EXTERNAS aplicadas sobre o corpo.
Corpo deformável
Corpo rígido
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1.1. Conceitos Básicos (cont.) 
III) FORÇA: É uma grandeza vetorial (módulo, direção e sentido) que é definida na estática 
como sendo a ação de um corpo sobre o outro. Em dinâmica, as forças tendem a acelerar o 
corpo.
Para completa determinação da ação de uma força sobre um corpo, deve-se ainda 
considerar o seu PONTO DE APLICAÇÃO (no exemplo acima a força P está
aplicada em “A”).
P
A
Modelo
PONTO DE APLICAÇÃO
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0.1. Conceitos Básicos (cont.) 
IV) EFEITO DAS FORÇAS NOS CORPOS (estática): Ao agirem em um corpo qualquer, as 
forças provocam efeitos classificados como EXTERNOS e INTERNOS a esse corpo:
i) EFEITO EXTERNOS: forças de contato entre os corpos, reações nos suportes, 
forças transmitidas por parafusos, soldas etc.
ii) EFEITOS INTERNOS: Forças internas entre as partículas que constituem o 
corpo, tensões e deformações (Assunto estudado em RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS, 3ª
Unidade do nosso curso).
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0.1. Conceitos Básicos (cont.) 
V) PRINCÍPIO DA TRANSMISSIBILIDADE: Ao estudarmos, por enquanto, apenas os efeitos 
externos nos corpos (Mecânica dos Corpos Rígidos), pode-se utilizar esse princípio a fim de 
se determinar tais efeitos.
Esse princípio afirma que ao se aplicar uma força em dado corpo rígido, o seu efeito nesse 
corpo não se altera se essa força se move ao longo da sua linha de ação, ou seja:
Linha de ação da força P
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0.1. Conceitos Básicos (cont.) 
ii) DE CORPO: Surge em razão da atuação de um campo de forças sobre o corpo. Ex: 
Campo Gravitacional, Elétrico, Magnético.
OBS: O peso próprio (W) é uma força distribuída ao longo de todo volume do corpo, porém 
para se determinar os efeitos externos desse corpo em face do seu peso próprio, basta 
considerar o peso total como uma força concentrada aplicada no centro de gravidade:
VI) CLASSIFICAÇÃO DAS FORÇAS:
i) DE CONTATO OU DE SUPERFÍCIE: São divididas entre FORÇAS CONCENTRADAS e 
DISTRIBUÍDAS ao longo de uma área ou comprimento.
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1.2. Componentes Retangulares 
1.2.1. Caso Bidimensional
Em aplicações da Mecânica é bastante útil decompor os vetores força segundo componentes 
retangulares, também chamadas de componentes cartesianas.
Considere a força F com as coordenadas retangulares em destaque:
x yF F= +x yF = F + F i j
E ainda:
( ) ( ) 2 2cos ; ;x y x yF F F Fsen F F Fq q= = = +
x yF e FOBS: são componentes escalares de F. Essas componentes podem assumir valores 
positivos ou negativos. 
As componentes de uma força dependem do sistema de eixos adotado e esse sistema é
muitas vezes adotado à conveniência da geometria do corpo que sofre a influência da força, 
exemplo: 
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1.2.1. Caso Bidimensional (cont.)
Havendo forças concorrentes (duas ou mais) em um dado ponto, pode-se determinar sua 
resultante a partir de suas componentes retangulares, ou seja:
Onde:
jiF
jiF1
yx
yx
FF
FF
222
11
+=
+=
Sendo , tem-se:1 2R = F + F
( ) ( )1 2 1 2x x y y x yF F F F R R+ + + = +R = i j i j
1 2
1 2
x x x
y y y
R F F
R F F
= +
= +
Para “n” forças concorrentes em um dado ponto, pode-se escrever:
1 2 3
1
1 2 3
1
n
x x x x nx ix
i
n
y y y y ny iy
i
R F F F F F
R F F F F F
=
=
= + + + + =
= + + + + =
å
å
L
L
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EXEMPLO 1:Determine a intensidade e a direção da força resultante que atua no pino.
1.2.1. Caso Bidimensional (cont.)
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1.2.2. Caso Tridimensional
Considere agora uma força F no espaço:
x y zF F F= + +x y zF = F + F + F i j k
Onde:
cos ; cos ; cosx x y y z zF F F F F Fq q q= = =
, ,x y zF F F ® Componentes escalares de F em relação 
ao sistema xyz adotado.
As componentes de F podem ser dadas por:
Sendo: , ,x y zq q q ® Ângulo entre F e os vetores unitários i, j e k respectivamente. São 
chamados de ângulos diretores do vetor F.
É comum também denominar: cos ; cos ; cosx y zl m nq q q= = =
Onde: , ,l m n ® Cossenos diretores do vetor F. E ainda: 2 2 2 1l m n+ + =
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1.2.2. Caso Tridimensional (cont.)
Sendo assim, pode-se escrever:
( ) ( )
cos cos cos
cos cos cos
x y z x y z
x y z
F F F F F F
F F l m n
q q q
q q q
= + + = + +
= + + = + +
F i j k i j k
i j k i j k
Chamando , tem-se:( )l m n= + +Fλ i j k
F= FF λ Vetor unitário na DIREÇÃO e SENTIDO de F, ®Fλ
Para se determinar as componentes da força F, existem duas formas básicas:
i) Quando se conhece dois pontos pertencentes à linha de ação da Força:
Fλ
Tem-se que:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2 1
2 2 2
2 1 2 1 2 1
x x y y z zAB
AB x x y y z z
- + - + -
= =
- + - + -
F
i j k
λ
uuur
Assim: F= FF λ
OBS: Fazendo-se¨ , obtém-se -FBA
uuur
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1.2.2. Caso Tridimensional (cont.)
ii) Quando se conhece dois ângulos que orientam a linha de ação da Força:
Sendo os ângulos f e q conhecidos, tem-se: 
zF Fsenf=
cosxyF F f=
Sendo os ângulos f e q conhecidos, tem-se: 
cosx xy
y xy
F F
F F sen
q
q
=
=
Assim: x y zF F F= + +F i j k
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EXEMPLO 2: O cabo AB exerce uma tensão de 2kN no suporte em A. Determine as
componentes retangulares da força.
1.2.2. Caso Tridimensional (cont.)
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1.3. Momento de uma força
1.3.1. Caso Bidimensional – Momento em torno de um ponto
Um força, quando aplicada em um dado corpo sólido, tende a movê-lo segundo sua direção e 
também rotacioná-lo em torno de um eixo que não intercepte e nem seja paralelo em relação 
à linha de ação dessa força. Essa tendência de rotação é quantificada através do conceito de 
MOMENTO DE UMA FORÇA ou TORQUE. Considere o bloco apoiado no solo submetido a 
uma força F:
F
y
xo
r
A
Definindo-se a posição “A” (ponto de aplicação da força) pelo vetor posição r em relação aoponto “o”, o momento da F em relação a “o” é dado, na forma vetorial, pelo produto:
M = r ×F
O módulo do vetor M é dado por:
M Frsen Fdq= =
q
d
OBS: A distância “d” é BRAÇO DE ALAVANCA da força. É a 
distância entre sua linha de ação e o ponto “o”.
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1.3. Momento de uma força (cont.)
1.3.2. Caso Bidimensional – Teorema de Varignon
Considere o sistema de forças concorrentes em um mesmo ponto:
y
xo
r
1F
2F
3F
nF L Sendo:
1 2 3 n+ + + +R = F F F FL
O momento da resultante em relação ao ponto 
“o” é dado por:
RM = r × R
Então:
( )1 2 3R n+ + + +M = r × F F F FL
Aplicando a propriedade distributiva, ou seja:
1 2 3
1 1
n n
R n i i
i i= =
+ + + + = =å åM = r ×F r × F r × F r ×F r ×F ML
CONCLUSÃO: A soma dos momentos de um sistema de forças concorrentes em relação 
a um ponto é igual ao momento de sua resultante em relação a esse mesmo ponto.
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EXEMPLO 1: Determine o momento das forças em relação ao ponto A.
1.3.2. Caso Bidimensional – Teorema de Varignon (cont.)