Distribuições, Lei de Gauss e outros

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Física III (FIS0013)
Eletrostática
Prof. MSc. Farley Correia Sardinha
2
Prof. Sardinha
Prof. Sardinha
ELETROSTÁTICA
A Lei de Coulomb e a Lei de Gauss aplicadas a 
Distribuições Contínuas de Carga
3Prof. Sardinha
Objetivos
Compreender os objetos macroscópicos eletrizados como
distribuições contínuas de carga elétrica.
Aplicar a Lei de Coulomb na forma vetorial para
distribuições contínuas de cargas elétricas.
Calcular a Força Elétrica e o Campo Elétrico para
diferentes distribuições contínuas de carga elétrica.
Aplicar diferentes sistemas de coordenadas, de acordo
com a simetria da distribuição de carga elétrica.
Calcular o fluxo de campo elétrico;
Conhecer a lei de Gauss para o Eletromagnetismo;
Aplicar métodos de simetria para utilizar a Lei de Gauss
em distribuições de carga elétrica.
Prof. SardinhaProf. Sardinha
Seja qual for o objeto, ele
deverá ser tratado como uma
distribuição contínua de
elementos infinitesimais de
volume (dV).
Cada um desses elementos de
volume possui uma quantidade
de carga elétrica, que é o
elemento infinitesimal de
carga elétrica (dq).
Objetos Macroscópicos e Elementos Infinitesimais de 
Carga Elétrica
 𝐫
𝐝𝐄
P
dq
Prof. SardinhaProf. Sardinha
Cada elemento de carga gera
um elemento infinitesimal de
campo elétrico ( 𝐝𝐄 ), que
contribui para o campo elétrico
total do objeto, dado por:
𝐸 = 𝑑𝐸 = 𝑘.
𝑑𝑞
𝑟2
. 𝑟
Objetos Macroscópicos e Elementos Infinitesimais de 
Carga Elétrica
 𝐫
𝐝𝐄
P
dq
6Prof. Sardinha
Objetos Macroscópicos e Elementos Infinitesimais de 
Carga Elétrica
Para descrever um grande número de cargas
discretas que compõem um objeto macroscópico é
útil a descrição por densidade contínua de cargas:
Densidade de carga para objeto linear (1-D):
𝝀 =
𝒅𝒒
𝒅𝑳
Densidade de carga para objeto plano (2-D):
𝝈 =
𝒅𝒒
𝒅𝑨
Densidade de carga para objeto volumétrico (3-D):
𝝆 =
𝒅𝒒
𝒅𝑽
7Prof. Sardinha
Objetos Macroscópicos e Elementos Infinitesimais de 
Carga Elétrica
No caso de a carga ser distribuída uniformemente
por todo o objeto:
Densidade de carga para objeto linear (1-D):
𝝀 =
𝑸
𝑳
Densidade de carga para objeto plano (2-D):
𝝈 =
𝑸
𝑨
Densidade de carga para objeto volumétrico (3-D):
𝝆 =
𝑸
𝑽
8Prof. Sardinha
Uma barra de comprimento L tem carga positiva Q,
distribuída uniformemente com uma densidade l,
como na figura:
Determine a expressão para o campo elétrico no
ponto P.
Exemplo 1 – Distribuição Linear de Carga
P
9Prof. Sardinha
Exemplo 1 – Distribuição Linear de Carga
1) Defina o um sistema de coordenadas que seja
conveniente para o problema:
P
y
x
10Prof. Sardinha
dL= dx
Exemplo 1 – Distribuição Linear de Carga
2) Defina o elemento infinitesimal que, nesse
caso, terá comprimento dL e carga elétrica dq,
tal que:
𝑑𝑞 = 𝜆. 𝑑𝐿
P
dq
y
x
11Prof. Sardinha
Exemplo 1 – Distribuição Linear de Carga
3) Identifique as posições do elemento de carga e
do ponto, com relação ao sistema de referência,
assim como a distância r, de dq até P:
L a
x
r = (L+ a) – x
dL= dx
P
dq
x
12Prof. Sardinha
Exemplo 1 – Distribuição Linear de Carga
4) Calcule o elemento de campo:
L
r = (L+ a) – x
0
𝐝𝐄
dE = 𝑘.
𝑑𝑞
𝑟2
. 𝑖 = 𝑘.
𝜆. 𝑑𝑥
𝐿 + 𝑎 − 𝑥 2
. 𝑖
x dL= dx
P
dq
x
13Prof. Sardinha
Exemplo 1 – Distribuição Linear de Carga
5) E o campo resultante será a soma de todos
esses campos infinitesimais:
L
y
x
r1
dq1
0
𝐄
E = dE1
14Prof. Sardinha
Exemplo 1 – Distribuição Linear de Carga
5) E o campo será a soma desses campos
infinitesimais:
L
y
x
r2
dq2
0
E = dE1 + dE2
𝐄
15Prof. Sardinha
Exemplo 1 – Distribuição Linear de Carga
5) E o campo será a soma desses campos
infinitesimais:
L
y
x
r3
dq3
0
E = dE1 + dE2 + dE3
𝐄
16Prof. Sardinha
Exemplo 1 – Distribuição Linear de Carga
5) E o campo será a soma desses campos
infinitesimais:
y
rN
dqN
0
E = dE1 + dE2 + dE3 + dE4 + ⋯+ dE𝑁
𝐄
17Prof. Sardinha
Exemplo 1 – Distribuição Linear de Carga
6) Como foi dito, por ser um objeto contínuo, essa
soma é representada pela integral:
𝐸 = 
0
𝐿
𝑘.
𝜆. 𝑑𝑥
𝐿 + 𝑎 − 𝑥 2
. 𝑖
Fazendo A = 𝐿 + 𝑎:
𝐸 = 𝑘. 𝜆. 
𝑑𝑥
𝐴 − 𝑥 2
. 𝑖
18Prof. Sardinha
Exemplo 1 – Distribuição Linear de Carga
Fazendo u = 𝐴 − 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = −𝑑𝑥, logo
𝐸 = 𝑘. 𝜆. 
𝑑𝑥
𝐴 − 𝑥 2
. 𝑖
𝐸 = 𝑘. 𝜆. 
−𝑑𝑢
𝑢2
. 𝑖
𝐸 = 𝑘. 𝜆.
1
𝑢
. 𝑖
19Prof. Sardinha
Exemplo 1 – Distribuição Linear de Carga
Como u = 𝐴 − 𝑥 e A = 𝐿 + 𝑎 :
𝐸 = 𝑘. 𝜆.
1
𝐴 − 𝑥 0
𝐿
. 𝑖
𝐸 = 𝑘. 𝜆.
1
𝐿 + 𝑎 − 𝐿
−
1
𝐿 + 𝑎 − 0
. 𝑖
𝐸 = 𝑘. 𝜆.
1
𝐿 + 𝑎 − 𝑥 0
𝐿
. 𝑖
20Prof. Sardinha
Exemplo 1 – Distribuição Linear de Carga
𝐸 = 𝑘. 𝜆.
1
𝑎
−
1
𝐿 + 𝑎
. 𝑖 = 𝑘. 𝜆.
𝐿
𝑎. 𝐿 + 𝑎
. 𝑖
Mas, 𝜆 =
𝑄
𝐿
:
𝐸 = k.
𝑄
𝐿
.
𝐿
𝑎. 𝐿 + 𝑎
. 𝑖
∴ 𝐸 = k.
𝑄
𝑎. 𝐿 + 𝑎
. 𝑖
21Prof. Sardinha
Exemplo 1 – Distribuição Linear de Carga
Se 𝑎 ⟶ 0 então 𝐸 ⟶ ∞
Mas se 𝑎 ≫ 𝐿:
𝐸 = k.
𝑄
𝑎2.
𝐿
𝑎 + 1
. 𝑖
𝐸 = k.
𝑄
𝑎2
. 𝑖
Que é o campo de uma carga puntiforme em um
ponto a uma distância 𝑎.
22Prof. Sardinha
Exercícios
1. Um bastão fino, de comprimento L, está
uniformemente carregado com uma carga Q>0.
Supondo que o bastão esteja sobre o eixo x, entre x1
= – L e x2 = – a, determine a expressão para o campo
elétrico em um ponto P sobre o eixo y.
a
P
x
y
L
23Prof. Sardinha
Exercícios
2. Um bastão fino, de comprimento L, está
uniformemente carregado com uma carga Q<0.
Supondo que o bastão esteja sobre o eixo y, entre y1
= a e y2 = (L+a), determine a expressão para o
campo elétrico em um ponto P sobre o eixo x.
a P
x
y
L
24Prof. Sardinha
Exercícios
3. Determine o campo elétrico nesse mesmo
ponto P, se o bastão for de comprimento
infinito e eletrizado uniformemente com carga
positiva.
P
x
y
25Prof. Sardinha
Exemplo 2 – Distribuição Anelar de Carga
Certa quantidade de cargas positivas foram
distribuídas uniformemente sobre uma circunferência
de raio a, resultando em uma carga total Q.
Determine a expressão para o campo elétrico em um
ponto P sobre o eixo de simetria do anel, a uma
distância x acima de seu centro
dq
r
0 x
26Prof. Sardinha
Um disco de raio R tem uma densidade de carga
superficial uniforme s.
Determine a expressão para o campo elétrico em um
ponto P sobre o eixo de simetria do disco, a uma
distância x acima de seu centro
dq
Exemplo 3 – Distribuição de Carga em um 
Disco Plano
r
x
27Prof. Sardinha
Exemplo 4 - Campo Elétrico de Dois 
Planos Infinitos
Uma densidade s = 4,5 nC/m2 está uniformemente
distribuída sobre todo o plano z = 0,00 m,
enquanto a densidade oposta está distribuída
sobre o plano z = 2,00 m.
Determine o campo elétrico em:
a) x = 1,80 m
b) x = 5,00 m
28Prof. Sardinha
Fluxo Elétrico
O fluxo elétrico (F) é a grandeza correspondente ao
número de linhas de campo que atravessam uma
superfície de área A.
De forma que:
Φ = 𝐸.𝐴
29Prof. Sardinha
Fluxo Elétrico
Mas, o fluxo elétrico (F)
atravessando a cunha
abaixo, deve garantir que o
número de linhas que
atravessa A1, seja igual ao
que atravessa A2.
De forma que:
Φ = 𝐸 ⋅ 𝐴 = 𝐸 ⋅ 𝐴 𝑛
⇒ Φ = 𝐸 ⋅ 𝑛𝐴 = 𝐸𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜃
⇒ Φ = 𝐸𝑛. 𝐴
Prof. SardinhaProf. Sardinha
Fluxo Elétrico
Mas, na superfície curva ao lado,
os vetores unitários para diferentes
elementos de superfícieterão
direções diferentes:
 De forma que, cada elemento terá
um fluxo:
∆Φ𝑖 = 𝐸𝑖 ⋅ 𝑛𝑖 . 𝑑𝐴
⇒ Φ = 𝐸 ⋅ 𝑛. 𝑑𝐴
∴ Φ = 𝐸 ⋅ 𝑑 𝐴
Prof. SardinhaProf. Sardinha
Uma superfície fechada é
uma superfície que
constitui a fronteira de
um objeto, dividindo o
universo em duas regiões
distintas – interior e
exterior.
Fluxo Elétrico
Prof. SardinhaProf. Sardinha
Para esse tipo de
superfície a integral de
superfície é uma
integral fechada,
sendo o fluxo dado
por:
Φ = 
𝑆
𝐸 ⋅ 𝑑 𝐴
Fluxo Elétrico
33Prof. Sardinha
Teste
1. Suponha que uma carga pontual esteja
localizada no centro de uma superfície esférica.
O campo elétrico na superfície da esfera e o
fluxo total através dela são determinados.
Se o raio dessa esfera for reduzido à sua
metade, o que ocorrerá ao:
a) Fluxo elétrico através da superfície da esfera?
b) Campo elétrico na superfície da esfera?
34Prof. Sardinha
4. Considere um cubo de aresta L, inserido em um campo elétrico dado
por 𝐸 = 𝐸 𝑖.
Qual o fluxo elétrico através da superfície do cubo?
5. Considere um cubo de aresta L = 2,0 cm, afastado 2,0 cm do plano xz,
como na figura
Se ele está inserido em um campo elétrico dado por :
𝐸 = 3,0 𝑖 + 2,0𝑦 𝑗 + 2,0 𝑘 𝑁/𝐶
Qual o fluxo elétrico através da superfície do cubo?
Exemplos
Prof. SardinhaProf. Sardinha
• Elaborada pelo matemático e 
físico alemão Carl Friedrich 
Gauss em 1835 e publicada 
em 1867.
• Ela estabelece a relação entre 
o fluxo de campo elétrico 
através de uma superfície 
fechada e a carga elétrica 
contida no volume delimitado 
por essa superfície.
Lei de Gauss
Prof. SardinhaProf. Sardinha
Considerando uma carga
pontual positiva no centro de
uma esfera de raio R, o campo
elétrico na superfície da esfera
será tal como o da figura.
Dessa forma, o fluxo elétrico
através dessa superfície será:
Φ = 
𝑆
𝐸 ⋅ 𝑑 𝐴 = 𝐸 𝑑𝐴
Lei de Gauss
Prof. SardinhaProf. Sardinha
Φ = 𝑘.
𝑄
𝑅2
. 4. 𝜋. 𝑅2
Φ = 4. 𝑘. 𝜋. 𝑄
Como 𝑘 =
1
4.𝜋.𝜖0
, então:
Φ = 4.
1
4. 𝜋. 𝜖0
. 𝜋. 𝑄
∴ Φ =
𝑄
𝜖0
Lei de Gauss
38Prof. Sardinha
Lei de Gauss
O número resultante de linhas de campo elétrico que
atravessam qualquer superfície contendo cargas no
seu interior é proporcional à carga líquida no interior
da superfície.
Prof. SardinhaProf. Sardinha
Lei de Gauss
O fluxo líquido através de qualquer 
superfície fechada em torno de uma 
carga pontual Q é dado por Q/𝝐𝟎 e 
é independente da forma da 
superfície em questão.
Mas, uma carga fora da superfície 
criará um fluxo elétrico NULO 
através dela, pois o número de 
linhas que entra nela é igual ao que 
sai.
40Prof. Sardinha
Teste
2. Se o fluxo líquido através de uma superfície
gaussiana for igual a zero, quais das afirmações
abaixo poderão ser verdadeiras?
a) Não há cargas no interior da superfície.
b) A carga líquida no interior da superfície é zero.
c) O campo elétrico é igual a zero em todos os
pontos da superfície.
d) O número de linhas de campo que entram é
igual ao das que saem.
41Prof. Sardinha
Teste
3. Uma superfície gaussiana esférica envolve uma
carga pontual Q.
Descreva o que ocorre ao fluxo total através da
superfície se:
a) a carga for triplicada.
b) o raio da esfera for triplicado.
c) a forma da superfície for alterada para um cubo.
d) a carga for deslocada para outra posição no
interior da superfície.
42Prof. Sardinha
Aplicação da Lei de Gauss em Distribuições 
Contínuas de Carga
Uma superfície gaussiana é do tipo imaginário,
construído apenas para aplicação da Lei de Gauss.
E ela deve ser escolhida de forma a satisfazer uma
ou mais das seguintes condições:
1. Pode-se, por simetria, demonstrar que o campo
elétrico é constante sobre a superfície;
2. O produto escalar 𝐸 ∙ 𝑑 𝐴 = 𝐸. 𝑑𝐴, pois os dois
vetores são paralelos;
3. O produto escalar 𝐸 ∙ 𝑑 𝐴 = 0, pois os dois vetores
são perpendiculares;
4. O campo elétrico é igual a zero sobre a superfície.
43Prof. Sardinha
Condutores Elétricos em Equilíbrio 
Eletrostático
O equilíbrio eletrostático ocorre quando não há
movimento líquido de cargas em um condutor.
Nesse estado ele possui as seguintes
propriedades:
I. O campo elétrico é nulo em seu interior, seja ele oco
ou maciço;
II. Se ele estiver isolado e tiver carga elétrica, ela estará
distribuída em sua superfície;
44Prof. Sardinha
Condutores Elétricos em Equilíbrio 
Eletrostático
III. O campo elétrico em um ponto fora de um condutor
carregado e próximo a este é perpendicular à sua
superfície e tem módulo s/𝜖0, onde s é a densidade
superficial nesse ponto;
IV. Se sua forma for irregular, a densidade s será maior
em pontos onde o raio de curvatura da superfície for
menor.
45Prof. Sardinha
Exemplos
6. Uma esfera sólida, isolante e de raio R, tem uma
densidade volumétrica de carga uniforme r e carga total
Q > 0.
a) Calcule o módulo do campo elétrico em um ponto fora da
esfera.
b) Determine o módulo do campo elétrico em um ponto no
interior da esfera.
7. Determine o campo elétrico a uma distância r de uma
linha infinita de cargas positivas, com uma densidade de
carga uniforme l.
8. Determine o campo elétrico estabelecido por um plano
infinito de carga positiva, com densidade superficial de
carga uniforme s.
46Prof. Sardinha
Exemplos
9. Uma casca esférica sólida de raio 3,0 m, cujo
centro encontra-se na origem do sistema de
referência, tem uma densidade superficial de
carga de 4,00 nC/m2. Em seu interior há uma
carga pontual q = 300 nC, localizada em (0,0 m;
2,0 m).
Determine o campo elétrico:
a) no ponto (2,0 m; 0,0 m).
b) no ponto (4,0 m; 0,0 m).
c) no ponto (0,0 m; 4,0 m).
47Prof. Sardinha
Exemplo
10.Uma esfera isolante maciça de raio R tem uma
carga uniforme Q > 0. Uma carcaça condutora
esférica, de raio interno a e raio externo b é
concêntrica com a esfera maciça e tem uma carga –
2Q.
Determine o campo
a) no interior da esfera maciça
b) entre a esfera e a carcaça
c) no interior da carcaça
d) fora da carcaça
e) Como será a distribuição de cargas na carcaça após o
equilíbrio eletrostático?
48Prof. Sardinha
Sugestões para estudo
Leia o capítulo 22 (da seção 22-5 a 22-7) e o capítulo 23
(todo) do livro “Fundamentos de Física (Halliday)– Vol.
03”.
Responda as perguntas do final de capítulo:
Cap. 22 – 7, 8 e 11.
Cap. 23 – todas.
Resolva os problemas das seguintes seções:
Cap. 22 – Seções 22.6, 22.7 e “Problemas Adicionais”;
Cap. 23 – Seções 23.3, 23.4, 23.7, 23.8, 23.9 e “Problemas
Adicionais”.
Qualquer dúvida envie e-mail para:
farley.sardinha@multivix.edu.br