Lista3 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 - UERJ 2015,1 Física

Prévia do material em texto

IME 508 - CDI I T12 (2015-1)
UFRRJ - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO RIO DE JANEIRO
IME - INSTITUTO DE MATEMA´TICA E ESTATI´STICA
ANMAT - DEPARTAMENTO DE ANA´LISE MATEMA´TICA
Prof.a Cristiane Oliveira de Faria
LISTA 3 DE CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Limites
1. Dadas as func¸o˜es f(x) =
{
x2 + 3 se x ≤ 1
x+ 1 se x > 1
e g(x) =
{
x2 se x ≤ 1
2 se x > 1
(a) Esboce o gra´fico de f e g;
(b) Calcule lim
x→1
f(x) e lim
x→1
g(x);
(c) Deˆ a expressa˜o da func¸a˜o F (x) = f(x) · g(x) e verifque se existe lim
x→1
F (x).
2. Calcule o limite, caso exista. Caso contra´rio, justifique:
(a) lim
x→1/2
2x2 + 5x− 3
2x2 − 5x+ 2
(b) lim
x→1
3(1− x2)− 2(1− x3)
(1− x3)(1− x2)
(c) lim
x→0
√
1− 2x− x2 − (x+ 1)
x
(d) lim
x→0
√
x+ 2 +
√
x+ 6−√6−√2
x
(e) lim
x→0
1− 3√1− x
1 + 3
√
3x− 1
(f) lim
x→1
x2 − 5x+ 4
|x− 1|
(g) lim
x→+∞(x
n − xn−1)
(h) lim
x→+∞
(x+ 1)(x+ 2) · · · (x+ 10)
(x2 + 1)5
(i) lim
x→−∞
(
x+
√
x2 + 3x+ 2
)
(j) lim
x→−1
(
3
x+ 1
− 5
x2 − 1
)
(k) lim
x→0
tan(pix)
tanx
(l) lim
x→0
sen2(ax2)
x4
(m) lim
x→0
sen(x) sen(3x) sen(5x)
tan(2x) tan(4x) tan(6x)
(n) lim
x→0
√
1 + tan(x)−√1 + sen(x)
x3
(o) lim
x→pi
sen(tan(x))
tan(x)
(p) lim
x→1
x100 − 2x+ 1
x50 − 2x+ 1
3. A func¸a˜o f e´ tal que para x 6= 2, f satisfaz 1 + 4x− x2 ≤ f(x) ≤ x2 − 4x+ 9. Calcule lim
x→2
f(x).
4. Sabendo que para x > 1, f(x) satisfaz (x− 1)2 < (x2 − 1) · f(x) < (x+ 1)2, calcule lim
x→∞ f(x).
5. Determine as equac¸o˜es das ass´ıntotas verticais e horizontais do gra´fico da func¸a˜o f(x) =
x√
x2 − 4
RESPOSTAS
1.
i)
f
y
x
–1
1
2
3
4
5
6
–2 2 4
g
x
y
–1
0
1
2
3
4
–2 –1 1 2 3
ii) lim
x→1−
f(x) = 4
lim
x→1+
f(x) = 2
lim
x→1−
g(x) = 1
lim
x→1+
g(x) = 2
iii) F (x) =
{
(x2 + 3)x2 se x ≤ 1
2(x+ 1) se x > 1
lim
x→1
F (x) = 4
2. (a) − 73
(b) 12
(c) −2
(d)
√
6+
√
2
4
√
3
(e) 13
(f) f(x) → 3 se x → 1− e f(x) → −3 se
x→ 1+, portanto o limite na˜o existe
(g) @, pois quando x→ +∞ a func¸a˜o → +∞
(h) 1
(i) − 32
(j) @, pois a func¸a˜o → −∞ se x → −1− (ou a
func¸a˜o → +∞ se x→ −1+)
(k) pi
(l) a2
(m) 516
(n) 14
(o) 1
(p) 4924
3. 5
4. 1
5. V: x = −2, x = 2; H: y = −1, y = 1