AD1-CL1-2020.2-Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
GABARITO AD1 – CÁLCULO I – 2/2020
Código da Disciplina: EAD 1005
Questão 1 [3 pontos]
Calcule os seguintes limites de funções:
(a)[1 ponto] lim
x→4
3−
√
x2 − 7
x4 − 3x3 − 4x2
(b)[1 ponto] lim
x→2
x5 + 3x4 − 10x3
|4− x− x2| − 2
(c)[1 ponto] lim
x→−1
(x2 − 5x− 6) sen(x+ 1)
1− cos(x+ 1)
Solução:
(a) lim
x→4
3−
√
x2 − 7
x4 − 3x3 − 4x2
= lim
x→4
[
3−
√
x2 − 7
x4 − 3x3 − 4x2
· 3 +
√
x2 − 7
3 +
√
x2 − 7
]
=
= lim
x→4
9− (x2 − 7)
(x4 − 3x3 − 4x2)(3 +
√
x2 − 7)
= lim
x→4
16− x2
(x4 − 3x3 − 4x2)(3 +
√
x2 − 7)
=
= lim
x→4
−����(x− 4)(x+ 4)
x2���
�(x− 4)(x+ 1)(3 +
√
x2 − 7)
= lim
x→4
−(x+ 4)
x2(x+ 1)(3 +
√
x2 − 7)
=
−8
480
=
−1
60
!
(b) lim
x→2
x5 + 3x4 − 10x3
|4− x− x2| − 2
= lim
x→2
x5 + 3x4 − 10x3
−(4− x− x2)− 2
= lim
x→2
x5 + 3x4 − 10x3
x2 + x− 6
=
= lim
x→2
x3(x2 + 3x− 10)
(x− 2)(x+ 3)
= lim
x→2
x3���
�(x− 2)(x+ 5)
���
�(x− 2)(x+ 3)
= lim
x→2
x3(x+ 5)
x+ 3
=
56
5
!
(c) lim
x→−1
(x2 − 5x− 6) sen(x+ 1)
1− cos(x+ 1)
= lim
x→−1
[
(x2 − 5x− 6) sen(x+ 1)
1− cos(x+ 1)
· 1 + cos(x+ 1)
1 + cos(x+ 1)
]
=
= lim
x→−1
(x2 − 5x− 6) sen(x+ 1) [1 + cos(x+ 1)]
1− cos2(x+ 1)
=
= lim
x→−1
(x2 − 5x− 6)����
��
sen(x+ 1) [1 + cos(x+ 1)]
sen�2(x+ 1)
=
= lim
x→−1
(x+ 1)(x− 6) [1 + cos(x+ 1)]
sen(x+ 1)
=
=
��
���
���
��
[
lim
x→−1
(x+ 1)
sen(x+ 1)
]
1 ·
((((
(((
((((
(((
(((
lim
x→−1
[
(x− 6) [1 + cos(x+ 1)]
]
−14 = −14 !
Questão 2 [3 pontos]
Sejam A e B constantes reais e seja f : R→ R a função definida por:
CÁLCULO I Gabarito AD1 2/2020
f(x) =

− |x+ 5|
x+ 5
, se x < −5
Ax+ 2B, se −5 ≤ x ≤ 2
1 + x2
|x| − 1
, se x > 2
Sabendo que exitem os limites lim
x→−5
f(x) e lim
x→2
f(x), determine A e B.
Solução:
Como exitem os limites lim
x→−5
f(x) e lim
x→2
f(x), segue que:
lim
x→−5
f(x) = lim
x→−5−
f(x) = lim
x→−5+
f(x) e lim
x→2
f(x) = lim
x→2−
f(x) = lim
x→2+
f(x).
Temos que:
¶ lim
x→−5−
f(x) = lim
x→−5−
− |x+ 5|
x+ 5
= lim
x→−5−
���x+ 5
���
�(x+ 5)
= lim
x→−5−
1 = 1;
· lim
x→−5+
f(x) = lim
x→−5+
Ax+ 2B = −5A+ 2B;
¸ lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
Ax+ 2B = 2A+ 2B;
¹ lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
1 + x2
|x| − 1
= lim
x→2+
1 + x2
x− 1
= 5.
De ¶=· obtemos a equação−5A+2B = 1; de ¸=¹ obtemos a equação 2A+2B = 5. Daı́,
resolvendo o sistema {
−5A+ 2B = 1
2A+ 2B = 5
,
obtemos A =
4
7
e B =
27
14
. !
Questão 3 [3 pontos]
Considere a função f : R− {−2, 1} → R definida por:
f(x) =

3x√
x2 − 4
, se x < −2
3x
2− x− x2
, se −2 < x < 1
x+ 1√
x2 + 3x− 4
, se x > 1
.
(a)[2.5 pontos] Faça um estudo completo dos limites infinitos e no infinito de f e de-
termine, se existirem, as equações das assı́ntotas horizontais e das assı́ntotas verticais do
gráfico de f .
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CÁLCULO I Gabarito AD1 2/2020
(b)[0.5 pontos] Faça um esboço do gráfico de f .
Solução:
(a) Temos que:
¶ lim
x→−∞
f(x) = lim
x→−∞
3x√
x2 − 4
= lim
x→−∞
3x√
x2
= lim
x→−∞
3x
|x|
= lim
x→−∞
3�x
−�x
= −3;
· lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞
x+ 1√
x2 + 3x− 4
= lim
x→+∞
x√
x2
= lim
x→+∞
x
|x|
= lim
x→+∞
�x
�x
= 1.
¸ lim
x→−2−
f(x) = lim
x→−2−
3x√
x2 − 4
= −∞, pois 3x → −6 < 0 e
√
x2 − 4 → 0+ quando
x→ −2−;
¹ lim
x→−2+
f(x) = lim
x→−2+
3x
2− x− x2
= −∞, pois 3x → −6 < 0 e 2 − x − x2 → 0+ quando
x→ −2+;
º lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
3x
2− x− x2
= +∞, pois 3x→ 3 > 0 e 2−x−x2 → 0+ quando x→ 1−;
» lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
x+ 1√
x2 + 3x− 4
= +∞, pois x + 1 → 2 e
√
x2 + 3x− 4 → 0+ quando
x→ 1+;
De ¶ e · segue que as retas y = −3 e y = 1 são as assı́ntotas horizontais do gráfico de f ; de
¸ a » segue que as retas x = −2 e x = 1 são as assı́ntotas verticais do gráfico de f . !
(b) Um esboço do gráfico de f é:
!
Questão 4 [1 ponto]
O raio da Terra tem aproximadamente 6400 km e um corpo situado a x km do centro da
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CÁLCULO I Gabarito AD1 2/2020
Terra pesa p(x) kg de modo que:
p(x) =

Ax, se 0 < x ≤ 6400
B
x2
, se x > 6400
,
onde A e B são constantes reais positivas. Determine a relação que deve existir entre as
constantes A e B para que a função p(x) seja contı́nua.
Solução:
Para que a função p(x) seja contı́nua, p(x) deve ser contı́nua em a = 6400:
lim
x→a+
f(x) = lim
x→a−
f(x) = f(a).
Temos que:
¶ f(a) = f(6400) = 6400A
· lim
x→a+
f(x) = lim
x→6400+
B
x2
=
B
(6400)2
¸ lim
x→a−
f(x) = lim
x→6400−
Ax = 6400A
De ¶=·=¸, obtemos
6400A =
B
(6400)2
⇒ B = (6400)3A. !
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