Lista7 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 - UERJ 2015,1 Física

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UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO IME 508 - CDI I T12 (2015-1)
IME - INSTITUTO DE MATEMA´TICA E ESTATI´STICA
ANMAT - DEPARTAMENTO DE ANA´LISE MATEMA´TICA
Prof.a: Cristiane Oliveira de Faria
LISTA 7 DE CA´LCULO I
Func¸o˜es Logar´ıtmicas, Exponenciais e Hiperbo´licas
Teorema de Rolle e Teorema do Valor Me´dio (TVM)
1. Seja f(x) =
ln(x2 − 3)√
(x− 1)(x+ 3) . Determine o domı´nio de f , os valores de x onde a f se anula e os
intervalos onde a f e´ positiva e onde a f e´ negativa.
2. Derive as seguintes func¸o˜es (se for conveniente, use derivac¸a˜o logar´ıtmica)
(a) f(x) =
e sen2x
√
x
ecos 3x
(b) f(x) = e
√
x ln
√
x
(c) f(x) = ln(x
√
x2 + 1)
(d) f(x) = (ex)x
(e) f(x) = ex
x
(f) f(x) = (xx)x
(g) f(x) = xpi + pix
(h) f(x) = (lnx)x xln x
(i) f(x) = tanh( senhx)
(j) f(x) = senh(ln 2x) + cosh(ln 2x)
(k) f(x) = xcosh x
3. Calcule y′ em:
(a) ln
(
x
y +
y
x
)
= 5
(b) sen(exy) = x
(c) y
2 cos x
ex = 2
ln y, para x = 0 e y = 1
4. Mostre que as igualdades se verificam
(a) tanh(lnx) = x
2−1
x2+1
(b) coshx+ senhx = ex
5. A altura de uma bola, t segundos apo´s o lanc¸amento, e´ dada por f(t) = −16t2 + 48t+ 32.
(a) Verifique que f(1) = f(2);
(b) Segundo o Teorema de Rolle, qual deve ser a velocidade v da bola em algum instante do
intervalo [1, 2]? Enuncie o Teorema de Rolle;
(c) Encontre a velocidade me´dia da bola durante os dois primeiros segundos;
(d) Em que instante a velocidade instaˆntanea e´ igual a` velocidade me´dia acima? Enuncie o teorema
que nos garante isso.
6. Seja f : [−1, 2] → R cont´ınua em [−1, 2], diferencia´vel em (−1, 2), com f(−1) = −1 e f(2) = 5.
Prove que existe um ponto no gra´fico de f em que a reta tangente e´ paralela a` reta y = 2x.
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7. Seja p(x) = Ax2 +Bx+ C. Prove que, para qualquer intervalo [a, b], o valor de c cuja existeˆncia e´
garantida pelo Teorema do Valor Me´dio (TVM), e´ o ponto me´dio do intervalo.
RESPOSTAS
1. Domı´nio = (−∞,−3) ∪ (√3,∞); f = 0 em x = 2; f > 0 para x < −3 ou x > 2; f < 0 para√
3 < x < 2.
2. (a) f ′(x) =
(1 + 4x cos 2x+ 6x sen3x)e sen2x
2ecos 3x
√
x
(b) f ′(x) =
e
√
x(1 +
√
x ln
√
x)
2x
(c) f ′(x) =
2x2 + 1
x(x2 + 1)
(d) f ′(x) = 2xex
2
(e) f ′(x) = xxex
x
(1 + lnx)
(f) f ′(x) = (xx)x(x+ 2x lnx)
(g) f ′(x) = pixpi−1 + (lnpi)pix
(h) f ′(x) = (lnx)x xln x
(
1
ln x + ln(lnx) +
2 ln x
x
)
(i) f ′(x) = cosx sech2( senx)
(j) f ′(x) = 2
(k) f ′(x) = xcosh x
(
senhx lnx+ cosh xx
)
3. (a) y′ =
y
x
(b) y′ =
1− yexy cos exy
xexy cos exy
(c) y′ =
1
2− ln 2
4.
5. (a) f(1) = f(2) = 64;
(b) v = 0
(c) 16 m/s
(d) t = 1s
6. Existe uma reta tangente ao gra´fico e paralela a` reta y = 2x ⇔ ∃x ∈ [1, 2] tal que f ′(x) = 2
(coeficientes angulares iguais). Calcule o coeficiente angular da reta secante ao gra´fico que conte´m
os pontos (−1, f(−1)) e (2, f(2)), depois aplique o Teorema do Valor Me´dio (TVM).
7. (i) p e´ cont´ınua em [a, b] pois p e´ uma func¸a˜o polinomial; (ii) p e´ diferencia´vel em (a, b) pois p e´ uma
func¸a˜o polinomial. Se valem as hipo´teses (i) e (ii) do TVM, enta˜o vale a tese: ∃c ∈ (a, b) tal que
p′(c) = p(b)−p(a)b−a = A(b+ a) +B. Ale´m disso, como p
′(x) = 2Ax+B, temos que p′(c) = 2Ac+B.
Igualando as duas expresso˜es de p′(c) e simplificando, chegamos a c = a+b2 .