SL Lab2 2015 Sinais Elem (1)

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SISTEMAS L INEARES 
PROF. CLÁUDIO A . FLEURY 1 
Sinais Elementares e Operações Básicas 
 
Objetivo 
 
• Estudar os sinais elementares de tempo contínuo e discreto; 
• Realizar simulações computacionais de geração de sinais elementares; 
• Realizar operações básicas com sinais elementares. 
 
Fundamentação Teórica 
 
SINAIS ELEMENTARES 
 
 Os sinais elementares aparecem com maior freqüência no estudo dos sistemas lineares, dentre os 
quais se destacam: o degrau unitário, o impulso unitário, a rampa e os sinais exponenciais e senoidais. 
Esses sinais são usados na construção de sinais mais complexos. 
 
Impulso Unitário (Delta de Dirac) 
 
 A função Impulso Unitário de tempo contínuo, denotada por )(tδ (delta minúsculo), é definida 
pelas seguintes relações: 
 
0,0)( ≠= tparatδ 
 
∫
+∞
∞−
=1)(tδ 
 
 
 
 
 
 
A versão do Impulso Unitário de tempo discreto é dada por 
 



≠
=
=
0,0
0,1][
n
n
nδ 
 
 
 
Degrau Unitário (Função de Heaviside) 
 
 O sinal Degrau Unitário de tempo contínuo, comumente representado por u(t), é definido por: 
 
1, 0( )
0, 0
t
u t
t
≥
= 
<
 
 
 A versão de tempo discreto desse sinal é comumente denotada por u[n], e é definida por: 
 



<
≥
=
0,0
0,1][
n
n
nu 
Exper. 
��
)(tδ
t 
Figura 1 - Impulso Unitário de Tempo Contínuo 
1
][nδ
n
Figura 2 - Impulso Unitário de Tempo Discreto 
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Este sinal pode representar o fechamento de uma chave, colocada em série com uma carga e uma 
fonte de alimentação de valor vs, conforme mostra a Figura 4. Se o fechamento ocorre no instante 
t = 0, então: 
 
 
 
 
 
 
 
Rampa 
 
 O sinal Rampa de tempo contínuo é geralmente denotado por r(t), e é definido por: 
 



<
≥
=
0,0
0,)(
t
tt
tr 
 
 O sinal Rampa de tempo discreto é dado por: 
 



<
≥
=
0,0
0,][
n
nn
nr 
 
 
 
 
 
Figura 3 - Degrau Unitário de tempo contínuo e de tempo discreto 
... 
n 
x[n] 
t 
x(t) 
t 
r(t) 
... 
n 
r[n] 
Figura 5 – Rampa de Tempo Contínuo e de Tempo Discreto 
Figura 4 – Uso da função Degrau Unitário 
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Senóide 
 
 O sinal Senoidal de tempo contínuo de período T = 2pi/ω, pode ser descrito por: 
 
)cos()( φω += tAtx 
 
 A versão de tempo discreto de um sinal senoidal pode ser descrita por: 
 
)cos(][ φ+Ω= nAnx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O período de um sinal de Tempo Discreto pode ser medido em número de amostras a cada 
segundo. Assim, para que x[n] seja periódico com um período de N amostras, ele deve satisfazer a 
equação dada a seguir, para todo número inteiro n e algum número inteiro N, ou seja: 
 
]).(cos[][ φ++Ω=+ NnANnx 
 
onde: pi2.
N
m
=Ω é a frequência discreta medida em radianos/amostra, e m, N são constantes inteiras. 
 
Senóide Exponencialmente Amortecida 
 
 A multiplicação de uma senóide por um sinal exponencial decrescente resulta no sinal 
Senoidal Exponencialmente Amortecido. 
 
0),cos(.)( >+= − αφωα tAetx t 
Figura 6 – Sinal Senoidal de Tempo Contínuo 
Figura 7 – Sinal Senoidal de Tempo Discreto 
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 A Figura 8 mostra a forma de onda do sinal correspondente a A = 60, .2/6 piφα == e 
Para o tempo crescente t, a amplitude da oscilação senoidal decresce de maneira exponencial, 
aproximando-se de zero no tempo infinito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exponencial de Base e 
 
Um sinal exponencial real, em sua forma mais geral, é descrito por: 
atBetx =)( 
 
onde B e a são parâmetros reais. O parâmetro B é a amplitude do sinal exponencial medido no 
instante t = 0. O parâmetro a é o inverso da constante de tempo da exponencial (qtde de tempo 
necessário para a função crescer/decair uma quantidade equivalente ao número natural e), e tem a 
seguinte característica: 
 
 Se a < 0 � Exponencial Decrescente 
 Se a > 0 � Exponencial Crescente 
A Figura 9(a) mostra um sinal exponencial para a = -6 e B = 5. A Figura 9(b) mostra um sinal 
exponencial para a = 5 e B = 1. 
 
 Em termos de tempo discreto um sinal exponencial é definido por: 
Figura 8 - Sinal senoidal exponencialmente amortecido: tAe t ωα cos , com .0>α 
Figura 9 – (a) Sinal Exponencial Decrescente (b) Sinal Exponencial Crescente 
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nBenx α=][ 
 
 A Figura 10 mostra exponenciais discretas, decrescente e crescente. 
 
 
 Os parâmetros da função exponencial, contínua ou discreta, podem ser números complexos. 
Exemplos de sinais exponenciais complexos, contínuo e discreto: tje ω e nje Ω . 
 
 
OPERAÇÕES BÁSICAS COM SINAIS 
 
Operações realizadas na Variável Dependente: 
 
Mudança da Amplitude: )(.)( txcty = , c é um escalar (fator de escala) 
 
Os amplificadores eletrônicos realizam esse tipo de operação nos sinais. Um resistor também realiza essa 
operação, em que x(t) é a corrente, c a resistência, e y(t) a tensão nos terminais do resistor. 
 
Adição: )()()( 21 txtxty += 
 
Misturadores (mixers) de áudio realizam essa operação, combinando sinais de instrumentos musicais e 
microfones. 
 
Multiplicação: )().()( 21 txtxty = 
 
Sinais de rádio FM são obtidos a partir da multiplicação de um sinal de áudio (música, por exemplo) 
multiplicado por uma onda portadora (de alta freqüência, a freqüência da emissora de rádio sintonizada 
pelo receptor). 
 
Diferenciação: )()( tx
dt
d
ty = 
 
A tensão nos terminais de um indutor é obtida através da diferenciação da corrente que o atravessa em 
relação ao tempo: )(.)( ti
dt
dLtvL = 
 
Integração: ∫
∞−
=
t
dxty ττ )()( 
Figura 10 - Exponenciais de Tempo Discreto: (a) Decrescente (b) Crescente 
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A tensão nos terminais de um capacitor é obtida através da integração da corrente que o atravessa em 
relação ao tempo: ∫
∞−
=
t
C diC
tv ττ )(1)( 
 
 
Operações realizadas na Variável Independente: 
 
Mudança de Escala Temporal: ).()( taxty = , se a>1 então y(t) será uma versão comprimida 
de x(t), e se 0<a<1 então y(t) será uma versão alongada de x(t). 
 
 
 
 
 
Reflexão Temporal (eixo vertical): )()( txty −= 
 
Sinais pares, para os quais se tem x(-t) = x(t), para todo t, não mudarão com essa operação. Sinais 
ímpares, para os quais se tem x(-t) = -x(t), para todo t, terão como resultado o negativo do sinal original 
após a aplicação dessa operação. 
 
 
 
Deslocamento Temporal (eixo horizontal): )()( 0ttxty −= , onde t0 é a quantidade de 
deslocamento temporal. Se t0>0 então o sinal é deslocado para a direita (atraso), e se t0<0 então o sinal é 
deslocado para a esquerda, considerando como referência o eixo vertical (avanço). 
 
 
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Atenção: Existe uma regra de precedência na realização simultânea das operações de deslocamento 
temporal e mudança de escala temporal: deve-se realizar primeiro a operação de deslocamento temporal e 
somente depois é que se deve realizar a operação de mudança de escala. 
 
Material Utilizado 
 
Software de Simulação (Matlab ou Python). 
 
Procedimento Prático 
 
Desenvolva programas para traçar os seguintes sinais de tempo contínuo (t) e de tempo discreto [n]: 
1. tety 330)( −= 
2. tety 330)( = 
3. neny3.03][ −= , -10 � n � 10 
4. )5sen(][ nny = para 30 amostras; 
5. )6sen(][ nny = para 30 amostras; 
6. tetty 6)18sen(60)( −= pi para o intervalo de tempo de 0 a 1; 
7. u[n] , -10 � n � 20. 
8. Seja o sinal x[n] dado a seguir, trace o gráfico de y[n] = x[n] + x[-n] 





>=
=
=
=
1 e 0 0
1 1
1 ,1
][
nn,
-n,-
n
nx
 
9. Idem para: 



>=
=−=
=
1 e 0 0
1 e 1 ,1
][
nn,
nn
nx 
10. Trace o gráfico do sinal y[n] = x[n-3], com x[n] definido no item 8. 
 
11. Trace o gráfico do sinal z[n] = y[2n-3] com y[n] obtido no item 3, trocando a ordem de 
realização das operações de deslocamento e de mudança de escala temporal, para verificar a 
regra de precedência. 
 
12. Admitindo que a chave do circuito da Figura 4 tenha sido acionada no tempo t = T, como seria a 
expressão do sinal usando o Degrau Unitário? E o seu gráfico? 
 
• Exemplo de script Matlab para o item 1: 
 
t = -1:0.1:3; % base temporal (variável independente) 
y = 30*exp(-3*t); % sinal exponencial (função) 
plot(t,y); % traça o gráfico 
% Experimente os comandos: grid, title, xlabel, ylabel, axis 
 
• Exemplo de script Python para o item 1: 
 
import numpy as np 
import matplotlib.pylab as plt 
t = np.arange(-1,3+0.1,0.1) # base temporal (variável independ.) 
y = 30 * np.exp(-3*t) # sinal exponencial (função) 
plt.plot(t,y) # traça o gráfico 
# Experimente as funções: grid(), title(), xlabel(), ylabel(), axis() 
 
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• Exemplos de operações básicas: 
Seja o degrau unitário u0(t) dado por: 
 
 
 
Propriedade da Amostragem (sampling) usando a Função Delta: 
 
)()()()( tafattf δδ =− 
 
Quando a = 0: )()0()()( tfttf δδ = 
 
Isto é, a multiplicação de qualquer função f(t) pela função Delta �(t) resulta na amostragem 
da função f(t) no instante de tempo em que a função Delta é não nula. O estudo dos sistemas 
discretos é baseado diretamente nessa propriedade da função Delta (Teorema da Amostragem). 
 
Propriedade da Filtragem (sifting) da Função Delta: 
 
)()()( ααδ fdtttf =−∫
∞
∞−
 
 
Isto é, se multiplicarmos qualquer função f(t) por �(t-α), e integrarmos o resultado de -∞ a 
+∞, obteremos o valor de f(t) no instante de tempo t = α. 
 
Exercícios: Calcule as seguintes expressões: