Estruturas_de_Madeira[1]

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO - UEMA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA: 
 
ESTRUTURAS DE MADEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO LUIS 2010 
 PAULO BAQUIL - 97.112.12 
 
 
14 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
 
 
Com o advento da normatização brasileira para projeto e construção de 
estruturas de madeira (NBR 7190: 1997), urge a necessidade de atualização da 
bibliografia técnica nacional a respeito do assunto, já devidamente adequada aos 
critérios de dimensionamento prescritos pela referida norma, ora em vigor. 
 
Neste trabalho, apresentam-se os estados limites últimos e os estados 
limites de utilização enfocando-se, em detalhes, como são feitas as combinações, 
em cada estado, das ações atuantes na estrutura. Mostra-se como são aplicados 
os coeficientes de segurança nas tensões características das madeiras 
ensaiadas, e como atingir a tensão resistente de projeto, inserindo-se coeficientes 
redutores que consideram a umidade da madeira, classificação mecânica, 
categoria da peça e outros fatores, até mesmo, como classe de resistência de 
cada espécie. 
 
No dimensionamento no estado limite de utilização faz-se o controle das 
deformações máximas previstas em projeto, de modo a não ultrapassarem os 
limites admissíveis pela norma. Para isso, faz-se combinações específicas das 
cargas, considerando-se o tempo de ação de cada uma na estrutura e as 
probabilidades de ocorrência das mesmas. A resposta do material é estudada 
considerando o módulo de elasticidade da madeira, modificado com coeficientes 
redutores que consideram todos aqueles fatores citados anteriormente. 
 
Apresentam-se, neste trabalho, os critérios de dimensionamento prescritos 
pela norma, mostrando-os de forma didática e com roteiros de cálculos e 
exemplos numéricos, de modo a facilitar o leitor aplicá-los com extrema facilidade 
no seu dimensionamento. 
 
A apresentação desta nova metodologia de cálculo leva o engenheiro a 
adequar as condições previstas em projeto às mais próximas das situações reais 
 
 
15 
de uso da estrutura, tanto no tocante às ações, como na trabalhabilidade da 
madeira, de modo a responder satisfatoriamente à estas solicitações impostas. 
 
Nos capítulos iniciais teve-se a preocupação de mostrar um pouco de 
algumas características botânicas, químicas e físicas da madeira, para propiciar 
um embasamento teórico mais sólido a respeito da madeira e facilitar o 
entendimento do seu comportamento como material para uso estrutural. 
 
Não houve a preocupação em se demonstrar ou discutir a origem dos 
coeficientes de segurança e de modificação propostos pela norma, e sim mostrar, 
didaticamente, como usá-los. Com o mesmo princípio e filosofia mostram-se as 
combinações das ações nos estados limites propostos. 
 
Espera-se que este trabalho seja de grande valia para a comunidade técnica 
que projeta e trabalha com as estruturas de madeira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
Pinus Araucária
Coníferas
(madeiras moles)
Gimnospermas
(Hemisfério Norte)
Bambu
Monocotiledôneas
(Gramíneas)
Maçaranduba Jatobá
Dicotiledôneas
(madeiras duras)
Angiospermas
(Hemisfério Sul)
Fanerógamas
Grupo de Plantas Superiores
Figura 1 –Gimnosperma. Red Pine. 
(Fonte: The 1996 Grolier Multimedia Encyclopedia) 
 
2 CARACTERÍSTICAS BOTÂNICAS DA MADEIRA 
 
 
2.1 Classificação 
 
Em fins do século XIX o reino Vegetal foi dividido em dois grandes grupos: 
criptógamas e fanerógamas. Criptógamas são vegetais que não possuem flores e 
nem sementes, sendo as espécies mais simples deste reino, enquanto que 
fanerógamas são vegetais mais evoluídos, que formam sementes para a sua 
reprodução. 
 
As fanerógamas, vegetais que apresentam resistência estrutural para o uso 
na construção civil, são classificadas em: gimnosperma e angiosperma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
________________________________________ 
Diagrama da classificação botânica dos vegetais superiores 
 
 
2.1.1 Gimnosperma 
 
As gimnospermas são fanerógamas 
adaptáveis aos climas frios, que apresentam 
sementes expostas, folhas pontiagudas e 
crescimento rápido, apresentando, dessa 
maneira, menor resistência em relação às 
desenvolvidas na região tropical. As principais 
 
 
17 
representantes são as coníferas, que compreende os pinheiros, os ciprestes e os 
pinus. 
 
No Brasil, existe uma formação natural de coníferas na região Sul conhecida 
como “mata de araucária”. Além dessa formação existem matas oriundas de 
reflorestamentos de pinus, de propriedade das indústrias de papel e celulose, e 
madeireiras. 
 
2.1.2 Angiosperma 
 
São vegetais que apresentam sementes alojadas dentro de frutos. A divisão 
das angiospermas compreende duas classes: monocotiledôneas e dicotiledôneas. 
Esse critério refere-se ao número de cotilédones (folhas especiais cuja função é 
alimentar o embrião quando a semente inicia seu desenvolvimento) presentes na 
semente, sendo 1 na monocotiledônea e 2 na dicotiledônea. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Número de cotilédones presentes nas sementes 
(Fonte: Amabis & Martho, 1995) 
 
As monocotiledôneas apresentam caule do tipo colmo (caule aéreo com nós bem 
nítidos, como o da cana e o do bambu) e do tipo estipe (caule aéreo longo e cilíndrico, 
com um aglomerado de folhas no ápice, como o das palmeiras). As dicotiledôneas 
apresentam caule do tipo tronco (caule aéreo lenhoso com ramificações densas, como o 
do ipê, do jequitibá, etc.) e do tipo haste (caule flexível, como o das ervas em geral). 
 
 
18 
Figura 3 –Dicotiledônea. Mangueira 
(Fonte: The 1996 Grolier Multimedia Encyclopedia) 
As dicotiledôneas são madeiras tropicais, de 
folhas largas e de crescimento lento, 
apresentando maior resistência em relação 
aos demais tipos de vegetais. 
 
Dessa maneira, podemos concluir que as madeiras utilizadas para fins estruturais são as 
coníferas e as dicotiledôneas. 
 
 
2.2 Crescimento e Fisiologia 
 
O crescimento vegetal se dá a partir de tecidos 
meristemáticos que têm a capacidade de formar 
novas células. Eles podem ser: apical e cambial. O 
meristema apical, localizado no ápice do tronco e 
ramos, tem a função de desenvolver a árvore no 
sentido vertical. O meristema cambial, localizado 
entre o floema (casca interna) e o alburno, 
promovem o seu crescimento horizontal. 
 
Na fase jovem da árvore há predominância do 
meristema apical, o que caracteriza o acentuado 
crescimento vertical nessa etapa. Esse crescimento 
 
 
19 
Figura 4 –Disposição esquemática das 
camadas de crescimento do tronco 
(Fonte: Burger e Richter, 1991) 
é, depois de algum tempo, acompanhado do crescimento horizontal em camadas, 
formando os anéis de crescimento, o que faz aumentar o seu diâmetro. 
 
O processo fisiológico do crescimento inicia-se com 
a retirada do solo de água e sais minerais (seiva bruta 
ou inorgânica) através da raiz. Essa seiva é transportada pelas regiões externas do 
alburno, onde está localizado o tecido dotado de vasos lenhosos (elementos anatômicos 
ocos da madeira). 
Atingindo as folhas da árvore, a seiva bruta, através do processo da fotossíntese, na 
presença de luz solar, clorofila e absorção de gás carbônico, transforma-se em seiva 
elaborada ou orgânica. 
A seiva elaborada é uma solução rica em compostos orgânicos, sendo a principal fonte 
de energia das células vivas. O seu transporte é realizado por um tecido denominadolíber ou floema, localizado nas regiões internas da casca. Com condução descendente, 
parte da solução desloca-se para a raiz e outra radialmente para o interior da árvore, 
através dos raios medulares, formando o cerne e o alburno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
2.3 Estrutura Macroscópica do Tronco 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 – Estrutura macroscópica de um tronco típico 
(Fonte: Adaptado Amabis & Martho, 1995) 
 
2.3.1 Lenho 
 
É o conjunto de todos os anéis de crescimento, cerne e alburno. 
2.3.2 Casca 
 
É um tecido especial, constituído interiormente pelo floema (conjunto de tecidos vivos 
responsáveis pela condução da seiva elaborada), e exteriormente pelo córtex, periderme 
e ritidoma (tecidos que revestem o tronco). 
 
A casca tem a função de proteger o vegetal contra ressecamento, ataques fúngicos, 
injúrias mecânicas e variações climáticas, não servindo para uso estrutural 
 
 
21 
2.3.3 Câmbio 
 
 
O câmbio é uma camada de células situada entre o xilema e o floema, cuja função é a de 
gerar novas células (tecido meristemático). Essas novas células irão formar os tecidos 
secundários que constituem o xilema e a casca. 
 
2.3.4 Anéis de Crescimento 
 
 
As atividades do câmbio geram anéis que podem ser facilmente identificados em um 
corte transversal de um tronco. 
Essa identificação é mais visível em vegetais que são encontrados em regiões de clima 
temperado, onde as estações do ano são bem definidas, e os anéis de crescimento 
correspondem a ciclos anuais, caracterizando, dessa maneira, a idade da árvore. (ver 
figura 5, pág. 18) 
 
As mudanças climáticas nas diferentes estações do ano são as responsáveis pelas 
variações da atividade cambial. Durante a primavera e o verão, onde há abundância de 
luz e água, a atividade cambial é muito intensa, formando células que são caracterizadas 
pela sua coloração clara (lenho inicial ou estival), diminuindo progressivamente no 
outono até cessar por completo no inverno, que devido a escassez de luz e água, 
apresentam uma tonalidade mais escura (lenho tardio ou primaveril). O ciclo anual da 
árvore se dá pela intercalação entre o lenho inicial e o tardio. 
 
 
 
22 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 – Anel de crescimento de uma gimnosperma em corte vertical 
(Fonte: Burger e Richter, 1991) 
 
2.3.5 Cerne e Alburno 
 
O lenho de uma árvore é composto por uma região mais escura localizada no seu 
centro (cerne), que é caracterizado como sendo a região mais resistente e mais densa, de 
vasos lenhosos mais antigos. A outra região (alburno), mais clara, é localizada nas 
proximidades do câmbio, que é a região jovem do tronco, onde as atividades dos vasos 
lenhosos ainda são atuantes, sendo, dessa maneira, uma região mais úmida e menos 
resistente. 
 
O transporte da seiva elaborada e a formação de células novas ocorrem na periferia do 
tronco. Dessa maneira, à medida que a árvore cresce, a sua parte mais central distancia-
se do câmbio e vai perdendo as suas atividades vitais, caracterizando o seu crescimento 
horizontal. 
 
 
 
23 
 
2.3.6 Raios Medulares 
 
São faixas horizontais de comprimento indeterminado, dispostas radialmente no tronco. 
Os raios medulares são células parenquimáticas, cuja função principal é a de 
armazenamento de substâncias nutritivas, e que desempenham, também, o transporte de 
nutrientes no sentido horizontal. 
 
2.3.7 Medula 
 
É a parte mais central do tronco, que resulta da primeira fase do crescimento vertical. A 
medula tem função de armazenar substâncias nutritivas, e por ser constituída de tecido 
parenquimático, é uma região suscetível a apodrecimentos causados por fungos. 
 
Por se tratar da região de resistência mais baixa, essa parte do tronco é completamente 
desprezada para utilização do material para a construção civil. 
 
2.4 Estrutura Microscópica do Tronco: maneira básica para classificação botânica 
da árvore 
 
Para fins de estruturas de madeira, o engenheiro deve saber apenas o básico em relação 
às estruturas microscópicas do tronco. Saber como são estes elementos e como eles se 
posicionam nas árvores, pois só assim é possível compreender o seu comportamento 
estrutural. 
 
 
24 
As principais estruturas microscópicas são os traqueídes, vasos, fibras e raios 
medulares. Os raios medulares são encontrados tanto nas coníferas quanto nas 
dicotiledôneas, cuja função foi estabelecida no item 2.3.6 deste trabalho. 
 
Além dos raios medulares, as coníferas são constituídas principalmente por traqueídes, e 
as dicotiledôneas por vasos e fibras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 – Corte longitudinal do posicionamento do elemento anatômico 
Coníferas: 
 
 
 
Figura 7 – Estrutura microscópica das coníferas (corte transversal) 
(Fonte: Calil Junior, 2000) 
 
 
25 
2.4.1 Traqueídes 
 
 “Células alongadas, fechadas e afiladas nas extremidades. Entre 
células adjacentes, na direção vertical formam-se válvulas 
especiais (pontuação aureolada) que regulam a passagem da 
seiva bruta de uma célula para a seguinte. Os traqueídes têm a 
função de conduzir a seiva e resistir as solicitações mecânicas”. 
(CALIL JUNIOR, 1978, p. 5) 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 – Estrutura microscópica das dicotiledôneas (corte transversal) 
(Fonte: Calil Junior, 2000) 
 
Dicotiledôneas: 
2.4.2 Vasos 
 
“São constituídos por células alongadas, fechadas no início de 
sua formação e com posterior dissolução das paredes formando 
um duto contínuo. Os vasos, em cortes transversais do tronco, 
aparecem como se fossem poros, com grande espaço vazio 
interno. Tem basicamente a função de condutor da seiva”. 
(CALIL JUNIOR, 1978, p. 6) 
 
 
 
 
 
26 
2.4.3 Fibras 
 
“São longas, de paredes relativamente grossas, apresentam 
restrito espaço vazio interno. São afiladas em suas extremidades, 
constituindo a maior parte da madeira das dicotiledôneas. Tem 
basicamente a função de resistir as solicitações mecânicas”. 
(CALIL JUNIOR, 1978, p. 6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
luz e clorofila 
 
3 CARACTERÍSTICAS QUÍMICAS DA MADEIRA 
 
 
3.1 Formação da Madeira 
 
O processo de transformação da seiva bruta em seiva elaborada ocorre nas folhas 
através do processo da fotossíntese. Esse processo ocorre através da combinação do gás 
carbônico do ar com a água do solo e absorção de energia calorífica, como mostra a 
equação abaixo: 
 
CO2 + 2H2O + 112,3 cal CH2O + H2O + O2 
 
 
A análise elementar da madeira indica a seguinte composição química: 
 
Carbono 50,00% 
Oxigênio 43,00% 
Hidrogên
io 
6,10% 
Nitrogêni
o 
0,04% - 
0,20% 
Cinzas 0,26% - 
0,60% 
Tabela 01 – Composição química elementar da madeira 
(Fonte: Hellmeister, 1983) 
 
 
 
28 
Do processo fotossintético, forma-se o radical monossacarídeo CH2O, que é o 
componente orgânico elementar que forma a madeira. Este elemento, através de 
processos de polimerização vai originar os açucares que formam a maioria das 
substâncias orgânicas vegetais, tais como: celulose, hemicelulose, lignina, resinas, 
corantes, etc. 
A concentração dessas substâncias varia de acordo com a classificação botânica da árvore: 
 Coníferas Dicotiledôneas 
Celulose 48 – 56% 46 – 48% 
Hemicelulos
e 
23 – 26% 19 – 28% 
Lignina 26 – 30% 26 – 35% 
Tabela 02 – Composição orgânica das madeiras 
(Fonte: Hellmeister, 1983) 
3.1.1 Celulose 
A celulose é um polímero formado de até 3000 elementos que constitui as paredesdas fibras, vasos e traqueídes. A sua fórmula geral é n.(C6H10O5), e a sua fórmula 
estrutural básica é assim apresentada: 
 
 
 
 
 
Figura 10 – Fórmula estrutural básica da celulose 
 
 
 
29 
Lateralmente, as cadeias de celulose, através das suas oxidrilas (OH), são ligadas por 
pontes de hidrogênio: 
 
 
 
 
 
 
Figura 11 – Ligação entre cadeias de celulose através de pontes de hidrogênio 
 
Além da ligação lateral entre as cadeias de celulose, as oxidrilas podem unir-se a 
moléculas de água: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12 – Ligação das oxidrilas com molécula de água 
 
 
 
30 
A formação dessa molécula origina a água de impregnação. A saída dessa água gera 
retração, e a entrada, inchamento, gerando deformações em suas peças. 
 
3.1.2 Lignina 
 
A lignina é um composto aromático de alto peso molecular, que exerce a função de 
cimento ou adesivo, dando rigidez e dureza ao material. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
4 CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DA MADEIRA 
 
 
As propriedades físicas da madeira são fundamentais para a definição dos limites de 
resistência. Apresentam-se aqui, de maneira simples e sucinta, aquelas mais importantes 
no aspecto de projetos de estruturas de madeira: umidade, densidade, retração e 
inchamento. 
4.1 Umidade 
A quantidade de água existente na madeira influi nas suas demais propriedades físicas. 
Existem três tipos de água na madeira: impregnação, absorção e constituição. 
4.1.1 Água de Absorção 
A água de absorção é a responsável pelo enchimento dos vazios dos elementos 
anatômicos. Teoricamente, esse tipo de água não afeta a resistência da madeira, porém a 
sua saída brusca em uma secagem pode provocar tensões capilares e trincamento da 
peça. 
4.1.2 Água de Impregnação 
A água de impregnação é aquela que se aloja entre as cadeias de celulose, impregnando 
as paredes dos elementos anatômicos, provocando inchamento ou retração, conforme 
apresentado no item 3.1.1 deste trabalho. 
4.1.3 Água de Constituição 
A água de constituição é oriunda da formação da madeira, fazendo parte da sua 
estrutura molecular. A sua saída ocorre somente com a sua queima. 
 
 
 
 
 
32 
(%) 
4.1.4 Ponto de Saturação 
O ponto de saturação é caracterizado pela umidade abaixo da qual toda a água existente 
é água de impregnação (em torno de 33%). A perda de água da madeira até esse ponto 
não gera problemas para a sua estrutura. A partir desse ponto, a sua secagem requer 
mais cuidados para evitar defeitos, pois ela é acompanhada pela retração e aumento de 
resistência mecânica, devido a movimentação das cadeias de celulose. 
Em contato com o ar atmosférico, a madeira tende a se estabilizar com a umidade do 
meio, caracterizando a umidade de equilíbrio, que é função da temperatura e da 
umidade relativa do ar. No país, esse parâmetro fica em torno de 12 a 15%. 
4.1.5 Teor de Umidade 
O teor de umidade é determinado pela seguinte expressão: 
 
 
 
Onde: 
m1  Massa inicial da madeira com U% de teor de umidade 
m2  Massa da madeira seca em estufa (100 + ou – 3 oC) 
 
Para fins de aplicação estrutural da madeira e para classificação de espécies, a norma 
brasileira especifica a umidade de 12% como de referência para a realização de ensaios 
e valores de resistência nos cálculos. 
 
 
100
2
21 ⋅
−
=
m
mmU
 
 
33 
Figura 14 – Secagem natural 
 
 
Figura 15 – Secagem artificial (em fornos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13 – Umidade na madeira 
(Fonte: Calil Junior, 2000) 
 
4.1.6 Métodos de Secagem 
A secagem da madeira pode ser realizada ao ar livre ou em estufas. No processo de 
secagem natural a madeira estabiliza a sua umidade entre 12% e 15%, pois existe um 
equilíbrio com a umidade do meio. O teor de umidade de 0% só é atingido pela madeira 
quando o processo de secagem é realizado artificialmente nas estufas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
4.2 Densidade 
 
A densidade da madeira representa o seu peso específico. Ela depende da espécie em 
estudo, do local de procedência da árvore, da localização do corpo de prova na tora e da 
umidade. 
 
No estudo de estruturas de madeira existem dois tipos de densidade consideradas: real e 
aparente. 
 
4.2.1 Densidade Real 
 
Representa a densidade do material madeira, sem computar águas e vazios, ou seja, 
somente o seu valor de ocupação do material. Ela é obtida através da densidade das 
paredes dos elementos anatômicos. Cientificamente, ela já foi calculada e seu valor é de 
1,53 + ou – 0,03 g/cm3, independente da espécie. 
4.2.2 Densidade Aparente 
 
É a densidade medida no teor U% de umidade em que a madeira se encontra, e é dada 
pela seguinte expressão: 
 
 
 
 
V
Pd
aparente
u
aparente =
 
 
35 
Onde: 
 
Pu  Peso da madeira a U% de umidade. 
Vaparente  Volume do corpo medido a U% de umidade. 
 
Esta densidade é um parâmetro utilizado para a determinação da qualidade da madeira 
em relação a sua utilização estrutural, onde quanto maior a densidade aparente, 
melhores são as suas características mecânicas. 
 
 
 
 
 
Figura 16 – Umidade da madeira. Diagrama resistência X densidade 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17 – Relação entre umidades diferentes. Diagrama resistência X densidade 
 
 
 
36 
Figura 18 – Determinação empírica da densidade aparente 
Observe na figura 17 que para um material com mesma densidade e umidades diferentes 
resultam em resistências também diferentes, ou seja, umidade e resistência são 
grandezas inversamente proporcionais. 
Como o teor de umidade influi na densidade, a determinação da densidade é feita 
utilizando o corpo de prova estabilizado ao ar, corrigindo-se os resultados obtidos para a 
densidade correspondente à umidade de 12%. Neste trabalho, na Tabela 13, página 51, 
apresentam-se várias espécies com suas densidades a 12% de umidade. 
O diagrama de Kollmann apresenta uma relação entre a umidade e a densidade da 
madeira. Dessa maneira, a determinação da densidade da madeira, que é realizada com 
corpos-de-prova estabilizados ao ar, é corrigida para o teor de 12% através deste 
diagrama. (HELLMEISTER, 1983, p. 20). 
4.2.3 Determinação Empírica da Densidade Aparente: através do mergulho em água 
É possível a determinação da densidade aparente de maneira empírica, com razoável 
aproximação. Mergulha-se em uma proveta cheia de água uma barra de madeira de 
seção uniforme. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
Peso da barra  Pbarra = dmadeira . Vtotal  Pbarra = dmadeira . S . L 
 Empuxo da água  Eágua = dágua . Vdeslocado  Eágua = 1 . S . L’ 
 
Onde: 
 
Pbarra  Peso da barra 
dmadeira  Densidade do corpo 
Vtotal  Volume total do corpo submerso 
Eágua  Empuxo da água 
dágua  Densidade da água 
Vdeslocado  Volume deslocado pelo corpo 
S  Área da seção transversal do corpo-de-prova 
 
A partir do equilíbrio entre o peso da barra e o empuxo da água, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
'LS1LSdEP águabarra ⋅⋅=⋅⋅→=
L
'Ld =
 
 
38 
Onde: 
 
L  Comprimento total da barra 
L’  Comprimento da barra submersa 
 
Conclui-se que a densidade aparente da madeira pode ser determinada a partir da 
relação entre o comprimento submerso pelo comprimento total da barra. Convém 
ressaltar que o IPT usa esta metodologia substituindo a água por mercúrio, pois os 
vazios da madeira não são preenchidos por este líquido,dando uma maior precisão para 
a determinação da densidade. 
 
4.3 Retração e Inchamento 
 
Devemos levar em consideração que a madeira é um material anisotrópico, ou seja, ela 
responde de maneira diferente ao mesmo tipo de solicitação dependendo do sentido 
dessa solicitação. Isso se deve ao fato de que o seu crescimento é diferenciado em 
relação a três eixos perpendiculares entre si: axial, radial e tangencial. As diferenças das 
propriedades nas direções radial e tangencial são relativamente menores quando 
comparadas com a direção axial. 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 19 – Eixos principais da madeira em relação à direção das fibras 
(Fonte: Calil Junior, 2000) 
 
A diminuição da quantidade de água de impregnação aproximam as cadeias de celulose, 
gerando a retração. O aumento da quantidade dessa água afastam as cadeias de 
celulose, que geram, dessa maneira, o inchamento. 
 
O comportamento anisotrópico da madeira também pode ser observado em relação à 
retração, que ocorre em porcentagens diferentes nas direções tangencial, radial e axial. 
Isso explica a maior parte dos defeitos que ocorrem com a secagem da madeira, tais 
como as rachaduras e empenamentos, que surgem a partir das diferenças de tensões 
oriundas da retração nos sentidos analisados. 
 
 
40 
(%) 
 
A retração tangencial apresenta valor de até 10% de variação dimensional, podendo 
gerar problemas de torção nas peças de madeira. A retração radial, com 6% de variação 
dimensional, pode apresentar problemas de rachaduras, enquanto que a retração axial 
apresenta valor de 0,5% de variação dimensional. 
 
 
 
 
 
Figura 20 – Retração da madeira 
(Fonte: Calil Junior, 2000) 
Podemos observar, através do gráfico acima, que variações de umidade acima do ponto 
de saturação (33%) não acarretam retrações nas peças. Fato este também observado em 
relação ao fenômeno do inchamento. 
 
A porcentagem de retração pode ser calculada através da seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
100⋅−=
D
DDR
n
on
n
 
 
41 
(%) 
Figura 21 – Encanoamento 
(Fonte: Calil Junior, 2000) 
Figura 22 – Encurvamento 
(Fonte: Calil Junior, 2000) 
Onde: 
Rn  Porcentagem de retração na direção considerada 
Dn  Dimensão na direção considerada da madeira com U% de teor de umidade 
Do  Dimensão na direção considerada da madeira seca em estufa 
 
A porcentagem de inchamento pode ser calculada de acordo com a seguinte expressão: 
 
 
 
Onde: 
 
In  Porcentagem de retração na direção considerada 
Dn  Dimensão na direção considerada da madeira com n% de teor de umidade 
Do  Dimensão na direção considerada da madeira seca em estufa 
 
4.3.1 Defeitos em Peças Provocados pela Retração ou Inchamento 
 
 
 
 
 
 
100⋅
−
=
D
DD
I
n
on
n
 
 
42 
Figura 23 – Arqueamento 
(Fonte: Calil Junior, 2000) 
Figura 24 – Torcimento 
(Fonte: Calil Junior, 2000) 
 
 
 
 
 
 
Estes defeitos podem ser minimizados efetuando-se uma secagem com controle 
rigoroso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
5 CONSIDERAÇÕES DE ESTADOS LIMITES E CARGAS 
 PARA PROJETO DE ESTRUTURAS DE MADEIRA 
 
 
5.1 Estados Limites 
 
“Toda estrutura deve ser projetada e construída de modo a 
satisfazer aos seguintes requisitos básicos de segurança: 
 
a) Com probabilidade aceitável, ela deve permanecer 
adequada ao uso previsto, tendo-se em vista o custo de 
construção admitido e o prazo de referência da duração 
esperada; 
 
b) Com apropriado grau de confiabilidade, ela deve 
suportar todas as ações e outras influências que podem agir 
durante a construção e durante a sua utilização, a um custo 
razoável de manutenção”. (ABNT, 1997, p. 6) 
 
Para atender a estes requisitos básicos de segurança, as estruturas de 
madeira são projetadas atendendo a exigência de trabalharem aquém de seus 
estados limites. Entendendo-se por estados limites as situações às quais a 
estrutura apresenta desempenhos inadequados às finalidades da construção. Os 
estados limites podem ser: ÚLTIMOS e de UTILIZAÇÃO. 
 
5.1.1 Estados Limites Últimos 
 
Conforme a NBR 7190: 1997, são os que pela sua simples ocorrência 
determinam a paralisação, no todo ou em parte, do uso da construção, atingindo 
de imediato a situação de colapso. 
 
5.1.2 Estados Limites de Utilização 
 
“São os que por sua ocorrência, repetição ou duração 
causam efeitos estruturais que não respeitam as condições 
especificadas para o uso normal da construção, ou que são 
indícios de comprometimento da durabilidade da estrutura”. 
(FUSCO, 1983, p. 4) 
 
 
 
44 
ou 
O estado limite de utilização não leva, de imediato, a estrutura a um estado 
de colapso. Porém, com o decorrer do tempo de sua atuação, a estrutura atinge 
deformações excessivas que comprometem seus aspectos estéticos, chegando a 
comprometer a vida útil da mesma. 
 
5.1.3 Condições de Segurança para o Estado Limite Último 
 
Como foi dito, devemos projetar as estruturas de madeira afim delas 
garantirem os seus estados limites. Para isso, deve-se obedecer as condições 
analíticas de segurança dadas por: 
 
Sd ≤ Rd 
 
Onde: 
 
O valor de Rd é obtido a partir da resistência característica do ensaio Rk, 
segundo a seguinte expressão: 
 
 
 
 
Onde: 
 
Rm  Resistência média da população ensaiada em laboratórios idôneos. 
δ  Coeficiente de variação das resistências, adotado, usualmente, em 0,18, 
podendo adquirir valor de 0,15 caso os ensaios sejam mais qualificados, 
proporcionando, neste caso, uma exigência maior do material. 
 
 
 
 
Sd  Solicitação de cálculo 
Rd  Resistência de cálculo da madeira 
γ⋅= w
k
modd
RKR R7,0R mk ⋅= ( )δ⋅−⋅= 645,11RR mk
 
 
45 
γw  “Coeficiente de minoração das resistências do material 
constituído pelo produto de três outros coeficientes parciais, 
tal que: 
 
 
 
onde γm1 leva em conta a verdadeira variabilidade da 
resistência dentro de lotes homogêneos , γm2 leva em conta 
as diferenças entre o material da estrutura e o material do 
corpo-de-prova de controle, e γm3 leva em conta outras 
causas de diminuição da resistência, tais como os defeitos 
localizados e imprecisões das hipóteses de cálculo dos 
métodos de avaliação da resistência das peças estruturais” 
(ABNT, 1997, p. 93 a 94) 
 
Os valores de γw já são tabelados de acordo com o estado limite 
considerado e a solicitação sofrida pela peça. (ver Tabela 19, pág.55). 
 
Kmod  Coeficiente de modificação que leva em conta fatores não previstos por 
γw, tais como classe de carregamento, classe da madeira, classe de umidade, etc. 
Valor obtido a partir das Tabelas 16, 17 e 18, págs. 54 a 55, deste trabalho 
 
 
5.2 Ações nas Estruturas 
 
As ações são as causas que provocam o aparecimento de esforços ou 
deformações nas estruturas. Elas podem ser classificadas, segundo sua 
variabilidade no tempo. 
 
5.2.1 Ações Permanentes 
 
São ações que ocorrem com valores constantes ou com pequena variação 
em torno de sua média durante a vida da construção. Exemplo: peso próprio da 
estrutura 
 
 
 
 
γ⋅γ⋅γ=γ 3m2m1mw
 
 
46 
5.2.2 Ações Variáveis 
 
São as ações que apresentam variações significativas durante a vida da 
construção. Exemplos: carga móvel em pontes e a ação do vento. 
 
5.2.3 Ações Variáveis Excepcionais 
 
São as ações que apresentam baixas probabilidades de ocorrência e com 
duração extremamente curtadurante a vida da construção. Exemplos: abalos 
sísmicos e vibrações por ressonância. 
 
5.2.4 Ações nas Estruturas de Madeira 
 
“No projeto das estruturas correntes de madeira devem ser 
consideradas as ações seguintes, além de outras que 
possam agir em casos especiais: 
 
a) Carga permanente; 
b) Cargas acidentais verticais; 
c) Impacto vertical; 
d) Impacto lateral; 
e) Forças longitudinais; 
f) Força centrífuga; 
g) Vento.” (ABNT, 1997, p. 9) 
 
Obs:
b) Cargas Acidentais: Considera-se cargas de pessoas, veículos, mobílias, 
vento e etc. Elas, que com exceção do vento, são consideradas de longa duração. 
A ação do vento é considerada carga rápida (curta duração) agindo normalmente 
à superfícies de obstrução. Nas estruturas de madeira, para levar em conta a 
 As cargas descritas nos itens c, d, e, e f da norma, são consideradas 
em projeto de pontes de madeira, e deste modo, não serão abordadas neste 
trabalho. 
 
a) Carga Permanente: Peso próprio e acessórios. Nas estruturas de madeira 
acrescenta-se 3% do peso próprio devido as peças metálicas das ligações. 
 
 
 
47 
maior resistência à ação de cargas rápidas, a ação do vento é multiplicada por 
0,75 e considerada como de longa duração. 
 
5.3 Carregamentos Formados pelas Ações nas Estruturas 
 
5.3.1 Carregamento Normal 
 
“Um carregamento é normal quando inclui apenas as ações 
decorrentes do uso previsto para a construção, é 
considerado de longa duração e deve ser verificado nos 
estados limites último e de utilização.” (CALIL JUNIOR, 
2000, p. 27) 
 
Como exemplo podemos citar a consideração do peso próprio e as ações 
acidentais. A ação do vento pode ser considerada de longa duração desde que 
seja reduzida sua ação em 25%. 
 
5.3.2 Carregamento Especial 
 
“Neste carregamento estão incluídas as ações variáveis de 
natureza ou intensidade especiais, superando os efeitos 
considerados para um carregamento normal. Como exemplo 
o transporte de um equipamento especial sobre uma ponte, 
que supere o carregamento do trem-tipo considerado.” 
(CALIL JUNIOR, 2000, p. 27) 
 
Este tipo de carregamento, normalmente, não se considera nos projetos 
usuais de estruturas de madeira. 
 
5.3.3 Carregamento Excepcional 
 
“Na existência de ações com efeitos catastróficos o 
carregamento é definido como excepcional, e corresponde à 
classe de carregamento de duração instantânea. Como 
exemplo temos a ação de um terremoto”. (CALIL JUNIOR, 
2000, p. 27) 
 
Este tipo de carregamento também, normalmente, não se considera nos 
projetos usuais de estruturas de madeira. 
 
 
48 
5.3.4 Carregamento de Construção 
 
“Outro caso particular de carregamento é o de construção, 
onde os procedimentos de construção podem levar a 
estados limites últimos, como por exemplo o içamento de 
uma treliça”. (CALIL JUNIOR, 2000, p. 27) 
 
Exemplo: lançamento de um balanço progressivo em pontes de grandes 
vãos. Caso em que, normalmente, não se considera usualmente nos projetos de 
estruturas de madeira. 
 
5.4 Combinações das Ações 
 
As ações que ocorrem nas estruturas devem ser combinadas, através de 
coeficientes, que levem a probabilidade de ocorrência simultânea, de maneira a 
se estabelecer as situações mais críticas para a estrutura, sendo: 
 
5.4.1 Ações Permanentes 
 
São consideradas em sua totalidade 
 
5.4.2 Ações Variáveis 
 
São consideradas apenas as parcelas que produzem efeitos desfavoráveis 
para a segurança. 
 
Essas combinações dependem do tipo de ação e do estado limite 
considerado, caracterizando três situações de projeto: duradoura, transitória e 
excepcional, sendo, nas estruturas de madeira usuais somente a situação de 
projeto duradoura. As demais são raras e podem ser analisadas no item 5.3 da 
NBR 7190: 1997. 
 
 
 
 
 
 
49 
Situação de Projeto Duradoura: 
 
Duração igual ao período de referência da estrutura. Esta situação é 
considerada no projeto de todas as estruturas. Deve-se fazer as verificações nos 
dois estados limites usuais, conforme tabela abaixo: 
 
Estado Limite Combinações 
Estado Limite Último Combinações normais 
Estado Limite de Utilização Combinações de longa duração 
Tabela 03 – Combinações na verificação de situação de projeto duradoura 
 
5.4.3 Combinações para o ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
Combinações Normais: 
 
γgi Coeficiente de majoração para as ações permanentes 
Fgi,k Valor característico das ações permanentes 
γq Coeficiente de majoração para as ações variáveis 
Fq1,k Valor característico da ação variável considerada como ação principal 
ψ0j Coeficiente de minoração para as ações variáveis secundárias 
Fqj,k Valor característico da ação variável considerada como ação secundária 
 
Neste tipo de combinação, uma das ações características variáveis é 
considerada como principal, tendo o seu valor majorado pelo coeficiente γq 
(Tabela 08, pág. 45), e as demais são consideradas como secundárias e devem 
apresentar-se com valor minorado pelo coeficiente ψ0j (Tabela 09, pág. 45), 
devido a baixa probabilidade de ocorrência simultânea. 
 








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid FFFF
 
 
50 
Os coeficientes variam de acordo com o tipo de ação atuante na estrutura. 
Os valores que serão apresentados referem-se aos coeficientes apresentados 
pela NBR 7190: 1997. 
 
AÇÃO TABELA 
Ações permanentes de pequena variabilidade (γg) 
Peso da madeira classificada estruturalmente cuja densidade tenha 
coeficiente de variação não superior a 10% 
Tabela 5 
Ações permanentes de grande variabilidade (γg) 
Peso próprio da estrutura não supera 75% da totalidade dos pesos 
permanentes 
Tabela 6 
Ações permanentes indiretas (γε) 
Efeitos de recalques de apoio e de retração dos materiais Tabela 7 
Ações variáveis (γq) Tabela 8 
Ações variáveis secundárias (ψ0) Tabela 9 
Ações variáveis secundárias de longa duração (ψ0,ef) 
Igual ao coeficiente para ações variáveis secundárias (ψ0). Quando 
a ação variável principal (Fq1) tiver um tempo de atuação muito 
pequeno ψ0,ef = ψ2 
Tabela 9 
Tabela 04 – Caracterização das ações e as referentes tabelas de coeficientes 
 
 
Ações Permanentes de Pequena Variabilidade 
Combinações Para efeitos Desfavoráveis Favoráveis 
Normais γg = 1,3 γg = 1,0 
Especiais ou de Construção γg = 1,2 γg = 1,0 
Excepcionais γg = 1,1 γg = 1,0 
Tabela 05 – (Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
 
Ações Permanentes de Grande Variabilidade 
Combinações Para efeitos Desfavoráveis Favoráveis 
Normais γg = 1,4 γg = 0,9 
Especiais ou de Construção γg = 1,3 γg = 0,9 
Excepcionais γg = 1,2 γg = 0,9 
Tabela 06 – (Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
 
 
 
51 
Ações Permanentes Indiretas 
Combinações Para efeitos Desfavoráveis Favoráveis 
Normais γε = 1,2 γε = 0 
Especiais ou de Construção γε = 1,2 γε = 0 
Excepcionais γε = 0 γε = 0 
Tabela 07 – (Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
 
Ações Variáveis 
Combinações Ações variáveis em geral incluídas as cargas acidentais 
Efeitos da 
temperatura 
Normais γq = 1,4 γε = 1,2 
Especiais ou de 
Construção γq = 1,2 γε = 1,0 
Excepcionais γq = 1,0 γε = 0 
Tabela 08 – (Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
 
Fatores de Minoração 
Ações em estruturas correntes ψ0 ψ1 ψ2 
- Variações uniformes de temperatura em relação à média anual 
local 0,6 0,5 0,3 
- Pressão dinâmica do vento 0,5 0,2 0 
Cargas acidentais dos edifícios ψ0 ψ1 ψ2 
- Locais em que não há predominância de pesos de 
equipamentos fixos, nem de elevadas concentrações de pessoas 0,4 0,3 0,2 
- Locais onde há predominância de pesos de equipamentos fixos, 
ou de elevadas concentrações de pessoas 0,7 0,60,4 
- Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6 
Cargas móveis e seus efeitos dinâmicos ψ0 ψ1 ψ2 
- Pontes de pedestres 0,4 0,3 0,2* 
- Pontes rodoviárias 0,6 0,4 0,2* 
- Pontes ferroviárias (ferrovias não especializadas) 0,8 0,6 0,4* 
* Admite-se ψ2 = 0 quando a ação variável principal corresponde a um efeito sísmico 
Tabela 09 – (Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
5.4.4 Combinações para o ESTADO LIMITE DE UTILIZAÇÃO 
 
As combinações de ações no estado limite de utilização correspondem ao 
tempo de duração ao qual a estrutura sofre com o carregamento. Dessa maneira, 
a NBR 7190 apresenta as seguintes classes de carregamento: 
 
 
52 
 
Classe de 
carregamento 
Ação variável principal da combinação 
Duração 
acumulada 
Ordem de grandeza da duração 
acumulada da ação característica 
Permanente Permanente Vida útil da construção 
Longa duração Longa duração Mais de seis meses 
Média duração Média duração Uma semana a seis meses 
Curta duração Curta duração Menos de uma semana 
Duração 
instantânea 
Duração 
instantânea Muito curta 
Tabela 10 – Classe do carregamento e suas durações 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
Os coeficientes utilizados para as combinações nos estados limites de 
utilização estão apresentados na tabela 09, pág. 45, e representam: 
 
ψ2 = coeficiente para as ações variáveis de longa duração. 
 
 
 
 
 
Onde: 
Combinações de Longa Duração: 
 
 Utilizada no controle usual de deformações nas estruturas. 
 
 
 
 
5.4.5 Exemplo de Combinações de Ações 
 
Considere um elemento estrutural de madeira para uma adutora solicitado 
às seguintes cargas: 
 
 
 
Fgi,k Valor das ações permanentes 
ψ2j Coeficiente de minoração para as ações variáveis 
Fqj,k Valor das ações variáveis (valores de longa duração) 
∑ ⋅ψ+∑=
==
n
1j
k,qjj2
m
1i
k,giuti,d FFF
 
 
53 
• Carga Permanente = 1000 daN 
• Vento = 350 daN 
• Ação da Água = 1500 daN 
 
Efetuar a combinação das ações para o estado limite último e para o estado 
limite de utilização 
 
Solução: 
 
5.4.5.1 Para Estado Limite Último 
 
1) Considerações das Ações: 
 Carga Permanente  Ação permanente de grande variabilidade 
 Ação da Água  Ação variável principal 
 Vento  Ação variável secundária 
 
2) Determinação dos coeficientes: 
 Carga Permanente  γg = 1,4 (Tabela 6, pág. 44) 
 Ação da Água  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 Vento  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 ψ0 = 0,5 (Tabela 9, pág. 45) 
 
3) Combinação das Ações: 
 
 
 
 
Fd = 1400 + 2100 + 183,75 
 
Fd = 3683,75 daN 
 








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid FFFF
( )3505,075,015004,110004,1Fd ⋅⋅+⋅+⋅=
 
 
54 
Obs:
5.4.5.2 Para Estado Limite de Utilização 
 O coeficiente 0,75 é multiplicado na ação do vento para a sua 
transformação em ação de longa duração, como explicado neste trabalho. 
 
 
1) Considerações das Ações: 
 Carga Permanente  Ação permanente 
 Ação da Água  Ação variável 
 Vento  Ação variável 
 
2) Determinação dos coeficientes: 
 Ação da Água  ψ2 = 0,2 (local em que não há predominância de 
 pesos de equipamentos fixos) (Tabela 9, pág. 45) 
 
 Vento  ψ2 = 0,2 (local em que não há predominância de pesos de 
 equipamentos fixos) (Tabela 9, pág. 45) 
 
3) Combinação das Ações: 
 
 
 
 
Fd,uti = 1000 + 300 + 52,50 
 
Fd,uti = 1352,50 daN 
 
Obs:
 
 O coeficiente 0,75 é multiplicado na ação do vento para a sua 
transformação em ação de longa duração, como explicado neste trabalho. 
 
 
 
 
∑ ⋅ψ+∑=
==
n
1j
k,qjj2
m
1i
k,giuti,d FFF
35075,02,015002,01000F uti,d ⋅⋅+⋅+=
 
 
55 
 
6 PROPRIEDADES DA MADEIRA 
 CONSIDERADAS NO DIMENSIONAMENTO 
 
 
Existem quatro propriedades que devem ser consideradas no 
dimensionamento estrutural das peças de madeira: densidade, resistência, rigidez 
ou módulo de elasticidade e umidade. 
 
6.1 Densidade 
 
A densidade da madeira serve para o cálculo do peso próprio da peça. Esse 
cálculo pode ser realizado utilizando-se o valor da densidade aparente na 
umidade de 12%. 
 
6.2 Resistência 
 
A resistência pode ser obtida a partir de valores de resistências fornecidos 
pela norma brasileira de estruturas de madeira que apresentam as características 
de diversas espécies. (Ver Tabela 13, pág. 51, ou Tabelas de Classes – 11 e 12, pág. 50) 
 
6.2.1 Classes de Resistência e Propriedades da Madeira 
 
“As classes de resistência das madeiras têm por objetivo o 
emprego de madeiras com propriedades padronizadas, 
orientando a escolha do material para elaboração de 
projetos estruturais” (ABNT, 1997, p. 16) 
 
Quando não é possível especificar a espécie da madeira, a classificação 
pelas classes de resistência torna-se uma maneira mais prática para a 
determinação de suas características. Essa classe pode ser obtida a partir da 
determinação da sua densidade aparente. 
 
A seguir serão apresentadas as classes de resistência das coníferas e 
dicotiledôneas com as suas respectivas propriedades (umidade 12%), bem como 
 
 
56 
uma tabela com as propriedades de algumas espécies específicas de madeira, 
tendo como fonte a NBR 7190: 1997. 
 
 
Coníferas 
(Valores na condição padrão de referência U = 12%) 
Classe fcok (MPa) 
fvk 
(MPa) 
Eco,m 
(MPa) 
ρbas,m 
(kg/m3) 
ρaparente 
(kg/m3) 
C 20 20 4 3500 400 500 
C 25 25 5 8500 450 550 
C 30 30 6 14500 500 600 
Tabela 11 – Classes de resistência das coníferas 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
 
Dicotiledôneas 
(Valores na condição padrão de referência U = 12%) 
Classe fcok (MPa) 
fvk 
(MPa) 
Eco,m 
(MPa) 
ρbas,m 
(kg/m3) 
ρaparente 
(kg/m3) 
C 20 20 4 9500 500 650 
C 30 30 5 14500 650 800 
C 40 40 6 19500 750 950 
C 60 60 8 24500 800 1000 
Tabela 12 – Classes de resistência das dicotiledôneas 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
Onde: 
 
fcok Resistência característica à compressão paralela às fibras 
fvk Resistência característica ao cisalhamento 
Eco,m Módulo de elasticidade médio longitudinal 
ρbas,m Densidade média 
ρaparente Densidade aparente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 13 – Propriedades de algumas espécies de madeira 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
 
58 
6.3 Módulo de Elasticidade 
 
O módulo de elasticidade da madeira determina o seu comportamento na 
fase elástico-linear. O módulo de elasticidade da madeira normal às fibras (E90) 
pode ser determinado numericamente como sendo a vigésima parte do módulo de 
elasticidade da madeira paralela às fibras (E0). 
 
 
 
 
6.4 Umidade 
 
As propriedades de resistência e elasticidade da madeira variam de acordo 
com a umidade apresentada pela peça. Dessa maneira esses valores devem ser 
corrigidos, em função das condições ambientais, a uma umidade de 12%, 
representando os valores apresentados neste trabalho. 
 
Para valores de resistência e elasticidade encontrados em laboratório em 
peças com umidade entre 10% ≤ U ≤ 20%, pode-se fazer as correções a partir 
das seguintes expressões: 
 
• Resistência  
 
 
• Elasticidade  
 
 
De acordo com a NBR 7190 as classes de umidade são assim 
determinadas: 
 
 
 
 
 
( )



 −+=
100
12%U.31.ff %U12
( )


 −+=
100
12%U.21.EE %U12
20
EE o90 =
 
 
59 
Classes de 
umidade 
Umidade relativa do 
ambiente (Uamb) 
Umidade de equilíbrio da 
madeira (Ueq) 
1 ≤ 65% 12% 
2 65% < Uamb ≤ 75% 15% 
3 75% < Uamb ≤ 85% 18% 
4 Uamb > 85% durante longos períodos ≥ 25% 
Tabela 14 – Classes de umidade 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
A correção relativa a resistência e elasticidade de peças a partir das classes 
de umidade serão consideradas pelo fator de correção (Kmod,2), onde a resistência 
característica deve ser multiplicada por este fator (ver Tabela 17, pág. 54). 
 
6.5 Determinação dos Valores das Propriedades para o Dimensionamento 
 de Peças de Madeira 
 
A partir dos valores médios das propriedades apresentadas é possível a 
determinação dos seus valores característicos a partir da seguinte expressão: 
 
Rk = 0,7 . Rm 
 
Onde: 
 
Rk  Propriedade característica do material 
Rm  Média dos ensaios para a propriedade em estudo 
 
A partir do valor característico determina-se o valor de cálculo da 
propriedade a partir da expressão: 
 
 
 
Onde: 
 
Rd Valor de cálculo da propriedade em estudo 
Rk Propriedade característica do material 
Kmod Coeficiente de modificação 
γ
⋅=
w
k
modd
RKR
 
 
60 
γw 
Coeficiente de minoração das propriedades da madeira 
(caracterizado na página 55 deste trabalho) 
 
6.5.1 Coeficientes para a Determinação do Valor de Cálculo 
 
a) Coeficiente de Modificação (Kmod) 
 
Kmod = Kmod,1 . Kmod,2 . Kmod,3 
 
Caracterização dos Coeficientes de Modificação 
COEFICIENTE TABELA 
Kmod,1 
Depende da classe do carregamento da ação variável principal e do tipo 
do material empregado 
Tabela 18 
Kmod,2 
Depende da classe de umidade e do tipo do material empregado Tabela 19 
Kmod,3 
Depende da categoria da madeira utilizada Tabela 20 
Tabela 15 
 
Valores de Kmod,1 
Classes do carregamento 
TIPOS DE MADEIRA 
Madeira serrada 
Madeira laminada colada 
Madeira compensada 
Madeira recomposta 
Permanente 0,60 0,30 
Longa duração 0,70 0,45 
Média duração 0,80 0,65 
Curta duração 0,90 0,90 
Instantânea 1,10 1,10 
Tabela 16 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
Valores de Kmod,2 
Classe de umidade 
Madeira serrada 
Madeira laminada colada 
Madeira compensada 
Madeira recomposta 
(1) e (2) 1,0 1,0 
(3) e (4) 0,8 0,9 
Tabela 17 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
 
61 
Obs1: Caso a madeira serrada seja utilizada submersa, deve-se adotar: 
 Kmod,2 = 0,65 
 
Obs2: As classes de umidade estão caracterizadas na Tabela 14 da página 
53 deste trabalho. 
 
Valores de Kmod,3 
Categoria da madeira Kmod,3 
Madeira de primeira categoria. Passou por classificação visual e 
mecânica. 
1,0 
Madeira de segunda categoria. 0,8 
Tabela 18 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
Obs:
b) Coeficiente de Ponderação (γw) 
 Nos casos de coníferas, deve-se sempre adotar Kmod,3 = 0,8 
 
 
 
Para ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS 
 
SOLICITAÇÃO γw 
Compressão paralela às fibras 1,4 
Tração paralela às fibras 1,8 
Cisalhamento paralelo às fibras 1,8 
Tabela 19 – Valores de γw para estados limites últimos 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
Para ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO 
 
Valor básico: γw = 1,0 
 
 
 
 
 
 
62 
Figura 25 – Compressão paralela às fibras 
(Fonte: Calil Junior, 2000) 
 
7 COMPRESSÃO PARALELA ÀS FIBRAS 
 
 
É quando as solicitações são exercidas 
longitudinalmente na peça. Calil Junior (2000, 
p. 16) afirma que “a compressão paralela é a 
tendência de encurtar as células da madeira ao 
longo do seu eixo longitudinal”. 
 
Essa solicitação pode ocorrer em barras de treliça, pilares não submetidos a 
forças excêntricas ou a forças que provoquem flexão, ou em elementos de 
contraventamentos ou travamentos de conjuntos estruturais. 
 
7.1 Ensaio de Compressão Paralela às Fibras 
 
Os corpos-de-prova devem possuir dimensões de 5,0cm de lado (seção 
transversal quadrada) e 15,0cm de comprimento: 
 
 
 
 
 
 
Figura 26 – Corpo-de-prova para ensaio de compressão paralela às fibras 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
O número de corpos-de-prova é determinado pela norma como sendo: 
 
• Caracterização simplificada  6 corpos-de-prova 
• Caracterização mínima da resistência de espécies pouco conhecidas  
12 corpos-de-prova 
 
 
 
63 
A partir dos ensaios pode-se definir o valor médio das propriedades, e o seu 
respectivo valor característicos definido no item B.3 (pág.48) da norma. Lembrar 
que esse valor característico também pode ser definido como 70% do valor médio 
obtido por laboratórios idôneos (Tabela 13, pág. 51). 
 
A resistência à compressão paralela às fibras (fco) é definido como sendo a 
máxima tensão de compressão que pode atuar no corpo-de-prova descrito acima: 
 
S
F
f máx,coco = 
 
Onde: 
 
Fco,máx  Máxima força de compressão aplicada ao corpo-de-prova 
S  Área inicial da seção transversal comprimida 
 
A rigidez é determinada pelo módulo de elasticidade da madeira, que é 
obtido a partir da inclinação da reta secante à curva do diagrama tensão X 
deformação específica, entre os pontos de 10% e 50% da resistência à 
compressão paralela às fibras, medidas no ensaio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 27 – Diagrama tensão X deformação específica 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
 
64 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
σ50% e σ10%  Tensões de compressão correspondentes a 10% e 50% da 
 resistência fco 
ε50% e ε10%  Deformações específicas medidas no corpo-de-prova, 
 correspondente às tensões de σ50% e σ10% 
 
De acordo com a norma, para a determinação do módulo de elasticidade 
podem ser utilizados relógios comparadores, com precisão de 0,001mm, fixados 
por meio de duas cantoneiras metálicas pregadas no corpo-de-prova, com 
distância nominal de 10cm entre as duas linhas de pregação, como mostrado na 
figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 28 – Arranjo de ensaio para compressão paralela às fibras, com instrumentação 
baseada em relógios comparadores 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
εε
σσ
−
−
=
%10%50
%10%50Eco
 
 
65 
Figura 29 – Seção transversal genérica 
Para obtenção de maiores informações a respeito do ensaio de compressão 
paralela às fibras, consulte o anexo B, item B.8 da NBR 7190: 1997. 
 
7.2 Critérios de Dimensionamento – ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
 
O dimensionamento de peças de madeira solicitadas por esforços 
característicos da compressão paralela às fibras é função do seu índice de 
esbeltez. 
 
Para que o índice de esbeltez seja calculado, é necessário a determinação 
dos elementos geométricos da peça. 
 
Elementos Geométricos: 
Iz  Momento de Inércia em torno do eixo z 
Iy  Momento de Inércia em torno do eixo y 
iz  Raio de giração em torno do eixo z 
iy  Raio de giração em torno do eixo y 
S  Área da seção transversal 
 
 
O índice de esbeltez de uma peça é determinado pela seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
Lo Comprimento de flambagem 
imín Raio de giração mínimo 
 
Os valores do comprimento de flambagem para estruturas de madeira são 
definidos por norma como: 
 
 
imín
Lo=λ
 
 
66 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O raio de giração mínimo é dado por: 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
Imín Momento de Inércia mínimo da seção 
S Área da seção transversal 
 
O índice de esbeltez da peçaé determinado a partir do raio de giração 
mínimo, pois a peça tende a perder a estabilidade (flambar) em torno do eixo de 
menor inércia, como pode ser verificado na figura abaixo: 
 
 
 
 
S
Ii mínmín =
 
 
67 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 30 – Tendência de flambagem 
 
Dessa maneira, a partir do valor do índice de esbeltez as peças possuem 
critérios diferentes de dimensionamento e são assim classificadas: 
 
Classificação da Peça Índice de Esbeltez 
Peça curta λ ≤ 40 
Peça intermediária ou medianamente esbelta 40 < λ ≤ 80 
Peça longa ou esbelta 80 < λ ≤ 140 
Tabela 20 – Classificação da peça de acordo com o índice de esbeltez 
 
7.3 Dimensionamento de Peças Curtas 
 
“Para as peças curtas, definidas pelo índice de esbeltez λ ≤ 40, que 
na situação de projeto são admitidas como solicitadas apenas à 
compressão simples, dispensa-se a consideração de eventuais 
efeitos de flexão”. (ABNT, 1997, p. 25) 
 
A condição de segurança para esses elementos estruturais é dada por: 
 
σco,d ≤ fco,d 
 
Onde: 
 
 
68 
Onde: 
Lo  Comprimento de Flambagem (pág. 60) 
Imín  Raio de giração mínimo (pág. 60) 
λ ≤ 40 
 
σco,d  Tensão de compressão atuante (valor de cálculo) 
fco,d  Resistência de cálculo à compressão 
 
7.3.1 Roteiro de Verificação para Peças Curtas 
 
A verificação de peças curtas submetidas a esforço de compressão paralela às fibras 
deve ser realizada a partir do seguinte roteiro: 
 
1) Determinação da esbeltez da peça, e verificar o seu enquadramento no caso de peça 
curta. 
 
 
 
(Dado na pág. 59) 
 
2) Determinação do valor da carga de cálculo atuante na estrutura através da 
combinação das ações para o estado limite último. 
 
 
 (Dado na pág. 43) 
 
imín
Lo=λ








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid FFFF
 
 
69 
Onde: 
Fd  Carga de cálculo (item 2) 
S  Área da seção transversal 
3) Determinação da resistência de cálculo à compressão (fco,d). 
 
 
 
 
(Dado na pág. 53) 
 
 
4) Determinação da tensão de compressão atuante (σco,d). 
 
 
 
 
5) Verificação da condição de segurança. 
 
σco,d ≤ fco,d 
 
 
7.3.2 Exemplo de Dimensionamento à Compressão de Peças Curtas 
 
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf
Onde: 
Kmod  Coeficiente de modificação (pág. 54) 
fco,k  Resistência característica à compressão 
 paralela às fibras (págs. 50 e 51) 
γw  Coeficiente de minoração (pág. 55) 
S
Fd
d,co =σ
 
 
70 
Considere uma barra bi-rotulada com dimensões de 10cm X 17,5cm de ipê amarelo, 
com comprimento de 1,00m, solicitada as seguintes ações: 
 
• Carga Permanente = 3.500 daN 
• Vento = 500 daN 
• Sobrecarga = 600 daN 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 31 – Esquema de exemplo – Peça curta 
 
Solução: 
 
( )
cm33,145812
105,17
12
hbI 4
33
y =
⋅
=
⋅
=
Determinação dos elementos geométricos da peça: 
 (Momento de Inércia em torno de y) 
 
 
71 
 ( ) cm15,446612
5,1710
12
hbI 4
33
z =
⋅
=
⋅
= (Momento de Inércia em torno de z) 
 cm89,2
175
33,1458
S
I
i
y
y === (Raio de Giração em torno de y) 
 cm05,5
175
15,4466
S
Ii zz === (Raio de Giração em torno de z) 
 
 Raio de giração mínimo  imín = 2,89cm 
 (tendência de flambagem em torno do eixo y) 
 
1) Determinação da esbeltez da peça 
===λ
89,2
100
i
L
mín
o 34,60 
 
Como λ ≤ 40  Peça curta 
 
2) Determinação do valor da carga de cálculo 
 
2.1) Considerações das Ações: 
 Carga Permanente  Ação permanente de grande variabilidade 
 Sobrecarga  Ação variável principal 
 Vento  Ação variável secundária 
 
2.2) Determinação dos coeficientes: 
 Carga Permanente  γg = 1,4 (Tabela 6, pág. 44) 
 
 
72 
 Sobrecarga  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 Vento  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 ψ0 = 0,5 (Tabela 9, pág. 45) 
 
2.3) Valor da carga de cálculo: 
 
 
 
( )5005,075,06004,135004,1Fd ⋅⋅+⋅+⋅= 
Fd = 4900 + 840 + 262,50 
 
Fd = 6002,50 daN 
Obs:
3) Determinação da resistência de cálculo à compressão (fco,d) 
 O coeficiente 0,75 é multiplicado na ação do vento para a sua transformação 
em ação de longa duração, como explicado neste trabalho. 
 
 
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf 
 
3.1) Determinação do coeficiente de modificação (Kmod) 
Kmod = Kmod,1 . Kmod,2 . Kmod,3 
 








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid FFFF
 
 
73 
Kmod,1 = 0,60  Ação variável principal permanente, e madeira do tipo serrada. 
 (Tabela 16, pág. 54) 
Kmod,2 = 1,00  Classe de umidade (1), com Ueq = 12%, e madeira do tipo 
 serrada. (Tabela 17, pág. 54) 
Kmod,3 = 0,80  Considerando madeira de 2a categoria. (Tabela 18, pág. 55) 
 
Kmod = 0,60 . 1,00 . 0,80 = 0,48 
 
3.2) Resistência característica à compressão paralela às fibras (fco,k) 
De acordo com a espécie em estudo – ipê amarelo, podemos, através da Tabela 13, pág. 51, 
determinar o valor da resistência característica como sendo: 
 
fco,k = 0,7 . fco,m 
fco,k = 0,7 . 76 = 53,20 MPa = 532 daN/cm² 
 
A determinação da resistência característica pode ser calculada multiplicando-se o fator 
0,7 pela resistência média encontrada por laboratórios idôneos, como apresentado na pág. 53 
deste trabalho. 
 
3.3) Coeficiente de minoração (γw) 
γw = 1,4  Compressão paralela às fibras. (Tabela 19, pág. 55) 
 
 
 
 
74 
3.4) Resistência de cálculo (fco,d) 
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf 
4,1
53248,0f d,co ⋅= 
 
fco,d = 182,40 daN/cm² 
 
4) Determinação da tensão de compressão atuante (σco,d) 
 
S
Fd
d,co =σ 
 
175
50,6002
d,co =σ 
 
σco,d = 34,30 daN/cm² 
 
5) Verificação da condição de segurança 
 
σco,d ≤ fco,d  34,30 ≤ 182,40 OK! 
 
 
 
 
 
 
75 
7.4 Dimensionamento de Peças Intermediárias ou Medianamente Esbeltas 
 
“As peças medianamente esbeltas, definidas pelo índice de esbeltez 
40 < λ ≤ 80, são submetidas na situação de projeto à flexo-
compressão com os esforços de cálculo Nd e Md”. (ABNT, 1997, p. 
25) 
 
A condição de segurança para esses elementos estruturais é dada por: 
 
1
ff d,co
Md
d,co
Nd ≤σ+σ 
Onde: 
 
σNd  Valor de cálculo da tensão de compressão devido à força normal de 
 compressão. 
σMd  Valor de cálculo da tensão de compressão devido ao momento fletor Md 
fco,d  Resistência de cálculo à compressão 
 
7.4.1 Roteiro de Verificação para Peças Intermediárias ou Medianamente Esbeltas 
 
A verificação de peças medianamente esbeltas submetidas a esforço de compressão 
paralela às fibras deve ser realizada a partir do seguinte roteiro: 
 
1) Determinação da esbeltez da peça, e verificar o seu enquadramento no caso de peça 
intermediária ou medianamente esbelta. 
 
 
 
76 
Onde: 
Lo  Comprimento de Flambagem (pág. 60) 
Imín  Raio de giração mínimo (pág. 60) 
40 < λ ≤ 80 
Onde: 
Fd  Carga de cálculo (item 2) 
S  Área da seção transversal 
 
 
 
(Dado na pág. 59) 
 
2) Determinação do valor da carga de cálculo atuante na estrutura através da 
combinação das ações para o estado limite último. 
 
 
 (Dado na pág. 43) 
 
3) Determinação da resistência de cálculoà compressão (fco,d). 
 
 
 
 
(Dado na pág. 53) 
 
4) Determinação da tensão atuante devido à força normal (σNd). 
 
 
imín
Lo=λ








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid FFFF
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf
Onde: 
Kmod  Coeficiente de modificação (pág. 54) 
fco,k  Resistência característica à compressão 
 paralela às fibras (págs. 50 e 51) 
γw  Coeficiente de minoração (pág. 55) 
S
Fd
Nd =σ
 
 
77 
Onde: 
Md  Momento de cálculo atuante 
Imín  Momento de inércia mínimo da seção 
y  Distância entre o eixo de menor inércia e 
 a extremidade da seção 
Onde: 
Nd  Carga normal de cálculo atuante (Fd) 
ed  Excentricidade de cálculo 
Onde: 
e1  Soma das excentricidades inicial e 
 acidental 
FE  Carga crítica de Euler 
Nd  Carga normal de cálculo atuante (Fd) 
Onde: 
ei  Excentricidade inicial. 
 Para treliça  ei = 0, ou qualquer 
 solicitação onde não há M1d atuante. 
ea  Excentricidade acidental 
 
 
 
5) Determinação da tensão atuante devido o momento fletor (σMd). 
 
 
 
 
 
• eddd NM ⋅= 
 
 
• 





−
⋅=
NF
F
dE
E
1d ee 
 
 
 
 
• eee ai1 += 
 
 
 
y
I
M
mín
d
Md ⋅=σ
 
 
78 
Onde: 
Lo  Comprimento de flambagem 
Figura 32 – Determinação de “h” 
 Atuando Mz, h = H 
 
 Atuando My, h = B 
Onde: 
M1d  Momento de cálculo devido ações 
externas, como aquelas oriundas de 
excentricidade de carregamento, ou 
momento aplicado (flexo-compressão). 
M1gd  Momento de cálculo M1d devido às 
cargas permanentes 
M1qd  Momento de cálculo M1d devido às 
cargas variáveis 
Nd  Carga normal de cálculo atuante (Fd) 
h  Altura da seção transversal referente 
 ao plano de atuação do momento M1d 
• 
30
h
N
MM
N
M
d
qd1gd1
d
d1
i ≥
+
==e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• 
300
Lo
a =e 
 
 
 
 
79 
Onde: 
Eco,ef  Módulo de elasticidade efetivo 
Imín  Momento mínimo de inércia 
Lo  Comprimento de flambagem 
Onde: 
Kmod  Coeficiente de modificação (pág. 54) 
Eco,m  Módulo de elasticidade médio à 
compressão paralela às fibras (págs. 50 e 51) 
• 
L
IE
F 2
o
mínef,co
2
E
⋅⋅π
= 
 
 
 
 
 
• EKE m,comodef,co ⋅= 
 
 
 
 
6) Verificação da condição de segurança 
 
1
ff d,co
Md
d,co
Nd ≤σ+σ 
 
 
7.4.2 Exemplo de Dimensionamento à Compressão de Peças Intermediárias 
 
Considere uma barra bi-rotulada com dimensões de 10cm X 17,5cm de ipê amarelo, 
com comprimento de 2,00m, solicitada as seguintes ações: 
 
 
 
80 
• Carga Permanente = 3.500 daN 
• Vento = 500 daN 
• Sobrecarga = 600 daN 
 
 
 
 
 
Figura 33 – Esquema de exemplo – Peça intermediária 
Solução: 
 
( )
cm33,145812
105,17
12
hbI 4
33
y =
⋅
=
⋅
=
Determinação dos elementos geométricos da peça: 
 (Momento de Inércia em torno de y) 
 ( ) cm15,446612
5,1710
12
hbI 4
33
z =
⋅
=
⋅
= (Momento de Inércia em torno de z) 
 cm89,2
175
33,1458
S
I
i
y
y === (Raio de Giração em torno de y) 
 cm05,5
175
15,4466
S
Ii zz === (Raio de Giração em torno de z) 
 
 Raio de giração mínimo  imín = 2,89cm 
 (tendência de flambagem em torno do eixo y 
 
 
81 
1) Determinação da esbeltez da peça 
 ===λ
89,2
200
i
L
mín
o 69,20 
 
 Como 40 < λ ≤ 80  Peça intermediária 
 
2) Determinação do valor da carga de cálculo 
 
2.1) Considerações das Ações: 
 Carga Permanente  Ação permanente de grande variabilidade 
 Sobrecarga  Ação variável principal 
 Vento  Ação variável secundária 
 
2.2) Determinação dos coeficientes: 
 Carga Permanente  γg = 1,4 (Tabela 6, pág. 44) 
 Sobrecarga  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 Vento  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 ψ0 = 0,5 (Tabela 9, pág. 45) 
 
 
2.3) Valor da carga de cálculo: 
 
 
 
 ( )5005,075,06004,135004,1Fd ⋅⋅+⋅+⋅= 








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid FFFF
 
 
82 
 Fd = 4900 + 840 + 262,50 
 
 Fd = 6002,50 daN 
 
Obs:
3) Determinação da resistência de cálculo à compressão (fco,d) 
 O coeficiente 0,75 é multiplicado na ação do vento para a sua transformação 
em ação de longa duração, como explicado neste trabalho. 
 
 
 
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf 
 
3.1) Determinação do coeficiente de modificação (Kmod) 
Kmod = Kmod,1 . Kmod,2 . Kmod,3 
Kmod,1 = 0,60  Ação variável principal permanente, e madeira do tipo serrada. 
 (Tabela 16, pág. 54) 
Kmod,2 = 1,00  Classe de umidade (1), com Ueq = 12%, e madeira do tipo 
 serrada. (Tabela 17, pág. 54) 
Kmod,3 = 0,80  Considerando madeira de 2a categoria. (Tabela 18, pág. 55) 
 
Kmod = 0,60 . 1,00 . 0,80 = 0,48 
 
 
 
83 
3.2) Resistência característica à compressão paralela às fibras (fco,k) 
De acordo com a espécie em estudo – ipê amarelo, podemos, através da Tabela 13, pág. 
51, determinar o valor da resistência característica como sendo: 
 
fco,k = 0,7 . fco,m 
fco,k = 0,7 . 76 = 53,20 MPa = 532 daN/cm² 
A determinação da resistência característica pode ser calculada multiplicando-se o fator 
0,7 pela resistência média encontrada por laboratórios idôneos, como apresentado na pág. 53 
deste trabalho. 
 
3.3) Coeficiente de minoração (γw) 
γw = 1,4  Compressão paralela às fibras. (Tabela 19, pág. 55) 
 
3.4) Resistência de cálculo (fco,d) 
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf 
4,1
53248,0f d,co ⋅=  fco,d = 182,40 daN/cm² 
 
4) Determinação da tensão atuante devido à força normal (σNd) 
 
S
Fd
Nd =σ 
 
 
 
84 
 
175
50,6002
Nd =σ  σNd = 34,30 daN/cm² 
 
5) Determinação da tensão atuante devido o momento fletor (σMd) 
 
y
I
M
mín
d
Md ⋅=σ 
 
5.1) Determinação do momento Md 
 
5.1.1) 
 
Determinação do módulo de elasticidade efetivo 
EKE m,comodef,co ⋅= 
 
Kmod = 0,48  Determinado na questão 
Eco,m = 18.011 MPa = 180.110 daN/cm²  Tabela 13, pág. 51 
 
Eco,ef = 0,48 . 180110 = 86452,80 daN/cm² 
 
5.1.2) 
 
Determinação da carga crítica de Euler 
 
 
85 
L
IE
F 2
o
mínef,co
2
E
⋅⋅π
= 
( )200
33,145880,86452
F 2
2
E
⋅⋅π= = 31108,18 daN 
 
5.1.3) 
 
e1 = ei + ea 
 
ei = 0  Não existe solicitação M1d atuante. 
Determinação da excentricidade e1 
300
200
300
Lo
a ==e = 0,67cm 
 
e1 = 0 + 0,67 = 0,67cm 
 
5.1.4) 
 
Determinação da excentricidade de cálculo 






−
⋅=
NF
F
dE
E
1d ee 
 






−
⋅=
50,600218,31108
18,3110867,0de = 0,83cm 
5.1.5) Determinação do momento de cálculo atuante 
 
 
86 
 
eddd NM ⋅= 
 
 
Md = 6002,50 . 0,83  Md = 4982,08 daN.cm 
 
5.2) Determinação do valor de y 
 
y = 5cm  Distância entre o eixo y (menor inércia) até a extremidade da peça 
 
5.3) Tensão atuante devido o momento fletor 
 
y
I
M
mín
d
Md ⋅=σ 
 
5
33,1458
08,4982
Md ⋅=σ  σMd = 17,08 daN/cm² 
 
6) Verificação da condição de segurança 
 
1
ff d,co
Md
d,coNd ≤σ+σ  1
40,182
08,17
40,182
30,34
≤+  0,28 ≤ 1 OK! 
 
 
87 
 
 
7.5 Dimensionamento de Peças Longas ou Esbeltas 
 
“As peças esbeltas, definidas pelo índice de esbeltez λ > 80, não se 
permitindo valor maior que 140, são submetidas na situação de 
projeto à flexo-compressão com os esforços de cálculo Nd e Md”. 
(ABNT, 1997, p. 25) 
 
A condição de segurança para esses elementos estruturais é dada por: 
 
1
ff d,co
Md
d,co
Nd ≤σ+σ 
 
Onde: 
σNd  Valor de cálculo da tensão de compressão devido à força normal de 
 compressão. 
σMd  Valor de cálculo da tensão de compressão devido ao momento fletor Md 
fco,d  Resistência de cálculo à compressão 
 
7.5.1 Roteiro de Verificação para Peças Longas ou Esbeltas 
 
A verificação de peças esbeltas submetidas a esforço de compressão paralela às fibras 
deve ser realizada a partir do seguinte roteiro: 
 
 
 
88 
Onde: 
Lo  Comprimento de Flambagem (pág. 60) 
Imín  Raio de giração mínimo (pág. 60) 
λ > 80 
1) Determinação da esbeltez da peça, e verificar o seu enquadramento no caso de peça 
longa ou esbelta. 
 
 
 
 
(Dado na pág. 59) 
 
2) Determinação do valor da carga de cálculo atuante na estrutura através da 
combinação das ações para o estado limite último. 
 
 
 (Dado na pág. 43) 
 
3) Determinação da resistência de cálculo à compressão (fco,d). 
 
 
 
 
(Dado na pág. 53) 
 
 
imín
Lo=λ








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid FFFF
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf
Onde: 
Kmod  Coeficiente de modificação (pág. 54) 
fco,k  Resistência característica à compressão 
 paralela às fibras (págs. 50 e 51) 
γw  Coeficiente de minoração (pág. 55) 
 
 
89 
Onde: 
Fd  Carga de cálculo (item 2) 
S  Área da seção transversal 
Onde: 
Md  Momento de cálculo atuante 
Imín  Momento de inércia mínimo da seção 
y  Distância entre o eixo de menor inércia e 
 a extremidade da seção 
Onde: 
Nd  Carga normal de cálculo atuante (Fd) 
e1,ef  Excentricidade efetiva de 1a ordem 
FE  Carga crítica de Euler 
 
 
4) Determinação da tensão atuante devido à força normal (σNd). 
 
 
 
 
 
 
5) Determinação da tensão atuante devido ao momento fletor (σMd). 
 
 
 
 
 
 
 
• 





−
⋅⋅=
NF
FNM
dE
E
ef,1dd e 
 
 
S
Fd
Nd =σ
y
I
M
mín
d
Md ⋅=σ
 
 
90 
Onde: 
ei  Excentricidade inicial. 
 Para treliça  ei = 0, ou qualquer 
 solicitação onde não há M1d atuante. 
ea  Excentricidade acidental 
ec  Excentricidade suplementar 
Onde: 
M1d  Momento de cálculo devido ações 
externas, como aquelas oriundas de 
excentricidade de carregamento, ou 
momento aplicado (flexo-compressão). 
M1gd  Momento de cálculo M1d devido às 
cargas permanentes 
M1qd  Momento de cálculo M1d devido às 
cargas variáveis 
Nd  Carga normal de cálculo atuante (Fd) 
h  Altura da seção transversal referente 
 ao plano de atuação do momento M1d 
Figura 32 – Determinação de “h” 
 Atuando Mz, h = H 
 
 Atuando My, h = B 
 
 
• 
 
 
 
 
 
 
• 
30
h
N
MM
N
M
d
qd1gd1
d
d1
i ≥
+
==e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
eeee
eee
caief,1
c1ef,1
++=
+=
 
 
91 
Onde: 
Lo  Comprimento de flambagem 
Onde: 
eig  Excentricidade inicial devido às 
 cargas permanentes. 
 Para treliça  eig = 0, ou qualquer 
 solicitação onde não há M1d atuante. 
ea  Excentricidade acidental 
e  Base neperiana. e ≅ 2,7183 
c  Expoente da base neperiana 
Onde: 
M1g,d  Momento de cálculo devido às ações 
 permanentes 
Ngd  Carga normal de cálculo atuante devido 
 às ações permanentes 
 
Onde: 
φ  Coeficiente de fluência 
Ngk  Valor característico da força normal 
devido às cargas permanentes 
Nqk  Valor característico da força normal 
devido às cargas variáveis 
ψ1 e ψ2  Coeficientes de minoração 
 (pág. 45) 
FE  Carga crítica de Euler 
 
• 
300
Lo
a =e 
 
• ( )1e)( caigc −⋅+= eee 
 
 
 
 
 
 
• 
N
M
gd
d,g1
ig =e 
 
 
 
 
 
• 
( )[ ]
( )[ ]NNF
NN
c
qk21gkE
qk21gk
⋅Ψ+Ψ+−
⋅Ψ+Ψ+⋅φ
= 
 
 
 
 
 
 
92 
Onde: 
Eco,ef  Módulo de elasticidade efetivo 
Imín  Momento mínimo de inércia 
Lo  Comprimento de flambagem 
Onde: 
Kmod  Coeficiente de modificação (pág. 54) 
Eco,m  Módulo de elasticidade médio à 
compressão paralela às fibras (págs. 50 e 51) 
• Valores do coeficiente de fluência φ: 
 
Classes de carregamento 
Classes de umidade 
(1) e 
(2) 
(3) e 
(4) 
Permanente ou de longa duração 0,8 2,0 
Média duração 0,3 1,0 
Curta duração 0,1 0,5 
Tabela 21 – Coeficiente de fluência 
 
• 
L
IE
F 2
o
mínef,co
2
E
⋅⋅π
= 
 
 
 
• EKE m,comodef,co ⋅= 
 
 
 
6) Verificação da condição de segurança 
 
1
ff d,co
Md
d,co
Nd ≤σ+σ 
 
 
 
 
93 
7.5.2 Exemplos de Dimensionamento à Compressão de Peças Longas 
 
7.5.2.1 Exemplo 1 
 
Considere uma barra bi-rotulada com dimensões de 10cm X 17,5cm de ipê amarelo, 
com comprimento de 3,00m, solicitada as seguintes ações: 
 
• Carga Permanente = 3.500 daN 
• Vento = 500 daN 
• Sobrecarga = 600 daN 
 
 
 
 
 
 
Figura 34 – Esquema de exemplo (1) – Peça longa 
 
Solução: 
 
 
Determinação dos elementos geométricos da peça: 
( )
cm33,145812
105,17
12
hbI 4
33
y =
⋅
=
⋅
= (Momento de Inércia em torno de y) 
 
 
94 
 ( ) cm15,446612
5,1710
12
hbI 4
33
z =
⋅
=
⋅
= (Momento de Inércia em torno de z) 
 cm89,2
175
33,1458
S
I
i
y
y === (Raio de Giração em torno de y) 
 cm05,5
175
15,4466
S
Ii zz === (Raio de Giração em torno de z) 
 
 Raio de giração mínimo  imín = 2,89cm 
 (tendência de flambagem em torno do eixo y) 
 
1) Determinação da esbeltez da peça 
===λ
89,2
300
i
L
mín
o 103,81 
 
Como λ > 80  Peça longa 
 
2) Determinação do valor da carga de cálculo 
 
2.1) Considerações das Ações: 
 Carga Permanente  Ação permanente de grande variabilidade 
 Sobrecarga  Ação variável principal 
 Vento  Ação variável secundária 
 
2.2) Determinação dos coeficientes: 
 Carga Permanente  γg = 1,4 (Tabela 6, pág. 44) 
 
 
95 
 Sobrecarga  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 Vento  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 ψ0 = 0,5 (Tabela 9, pág. 45) 
 
2.3) Valor da carga de cálculo: 
 
 
 
( )5005,075,06004,135004,1Fd ⋅⋅+⋅+⋅= 
Fd = 4900 + 840 + 262,50 
 
Fd = 6002,50 daN 
 
Obs:
3) Determinação da resistência de cálculo à compressão (fco,d) 
 O coeficiente 0,75 é multiplicado na ação do vento para a sua transformação 
em ação de longa duração, como explicado neste trabalho. 
 
 
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf 
 
3.1) Determinação do coeficiente de modificação (Kmod) 
Kmod = Kmod,1 . Kmod,2 . Kmod, 








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid FFFF
 
 
96 
Kmod,1 = 0,60  Ação variável principal permanente, e madeira do tipo serrada. 
 (Tabela 16,pág. 54) 
Kmod,2 = 1,00  Classe de umidade (1), com Ueq = 12%, e madeira do tipo 
 serrada. (Tabela 17, pág. 54) 
Kmod,3 = 0,80  Considerando madeira de 2a categoria. (Tabela 18, pág. 55) 
 
Kmod = 0,60 . 1,00 . 0,80 = 0,48 
 
3.2) Resistência característica à compressão paralela às fibras (fco,k) 
De acordo com a espécie em estudo – ipê amarelo, podemos, através da Tabela 13, pág. 51, 
determinar o valor da resistência característica como sendo: 
 
fco,k = 0,7 . fco,m 
fco,k = 0,7 . 76 = 53,20 MPa = 532 daN/cm² 
 
A determinação da resistência característica pode ser calculada multiplicando-se o fator 
0,7 pela resistência média encontrada por laboratórios idôneos, como apresentado na pág. 53 
deste trabalho. 
3.3) Coeficiente de minoração (γw) 
γw = 1,4  Compressão paralela às fibras. (Tabela 19, pág. 55) 
 
3.4) Resistência de cálculo (fco,d) 
 
 
97 
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf 
 
4,1
53248,0f d,co ⋅=  fco,d = 182,40 daN/cm² 
 
4) Determinação da tensão atuante devido à força normal (σNd) 
 
S
Fd
Nd =σ 
 
175
50,6002
Nd =σ  σNd = 34,30 daN/cm² 
 
5) Determinação da tensão atuante devido o momento fletor (σMd) 
 
y
I
M
mín
d
Md ⋅=σ 
 
5.1) Determinação do momento Md 
 
5.1.1) 
 
Determinação do módulo de elasticidade efetivo 
EKE m,comodef,co ⋅= 
 
 
98 
 
Kmod = 0,48  Determinado na questão 
Eco,m = 18.011 MPa = 180.110 daN/cm²  Tabela 13, pág. 51 
Eco,ef = 0,48 . 180110 = 86452,80 daN/cm² 
 
 
5.1.2) 
 
Determinação da carga crítica de Euler 
L
IE
F 2
o
mínef,co
2
E
⋅⋅π
= 
( )300
33,145880,86452
F 2
2
E
⋅⋅π= = 13825,86 daN 
 
5.1.3) 
 
Determinação do expoente “c” 
( )[ ]
( )[ ]NNF
NN
c
qk21gkE
qk21gk
⋅Ψ+Ψ+−
⋅Ψ+Ψ+⋅φ
= 
 
φ = 0,8  Carregamento permanente e classe de umidade (1). 
 (Tabela 21, pág. 79) 
Ngk = 3500 daN  Valor característico – Carga permanente 
 
Sobrecarga: 
 
 
99 
Nqk = 600 daN  Valor característico – Carga variável 
 ψ1 = 0,3  Tabela 9, pág. 45. 
 ψ2 = 0,2  Tabela 9, pág. 45. 
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]50002,06002,03,0350086,13825
50002,06002,03,035008,0c
⋅++⋅++−
⋅++⋅++⋅
=
Vento: 
Nqk = 500 daN  Valor característico – Carga variável 
 ψ1 = 0,2  Tabela 9, pág. 45. 
 ψ2 = 0  Tabela 9, pág. 45. 
 
 = 0,31 
 
5.1.4) Determinação da excentricidade efetiva de 1a ordem 
 
e1,ef = ei + ea + ec 
 
ei = 0  Não existe solicitação M1d atuante 
(e1,ef) 
300
300
300
Lo
a ==e = 1cm 
( ) )17183,2()10(1e)( 31,0caigc −⋅+=−⋅+= eee = 0,36cm 
e1,ef = 0 + 1 + 0,36 = 1,36cm 
 
 
 
100 
5.1.5) 






−
⋅⋅=
NF
FNM
dE
E
ef,1dd e
Determinação do momento de cálculo atuante 
 






−
⋅⋅=
50,600286,13825
86,1382536,150,6002Md  Md = 14426,80 daN.cm 
 
5.2) Determinação do valor de y 
 
 y = 5cm  Distância entre o eixo y (menor inércia) até a extremidade da peça 
 
5.3) Tensão atuante devido o momento fletor 
y
I
M
mín
d
Md ⋅=σ 
 
5
33,1458
80,14426
Md ⋅=σ  σMd = 49,46 daN/cm² 
 
6) Verificação da condição de segurança 
 
1
ff d,co
Md
d,co
Nd ≤σ+σ  1
40,182
46,49
40,182
30,34
≤+  0,46 ≤ 1 OK! 
 
 
 
 
101 
Figura 35 – Seção composta por dois elementos iguais 
 
Figura 36 – Corte longitudinal (S.Composta) 
 
7.5.2.2 Exemplo 2 – Peça Composta 
 
7.5.2.2.1 Considerações da norma para peças compostas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a verificação da segurança de peças compostas solidarizadas descontinuamente 
através de peças interpostas (caso do exemplo que será apresentado), a norma dispensa 
a verificação da estabilidade local dos trechos de comprimento L1 (distância entre os 
tarugos), desde que respeitadas as seguintes limitações: 
 
a ≤ 3.b1 e 9.b1 ≤ L1 ≤ 18.b 
Onde, a e b1 são apresentados na figura 35 
 
 
102 
Os elementos geométricos das seções consideradas na peça composta são: 
a) Seção do elemento componente: 
 
hbS 111 ⋅= 
12
hb 311
1
⋅
=I 12
bh 311
2
⋅
=I 
 
 
b) Seção composta: 
 
SnS 1⋅= 
II 1z n ⋅= 
aS2n 2112y ⋅⋅+⋅= II 
II I yef,y ⋅= β 
II
I
I
yy
2
2
2
2
m
m
⋅+⋅
⋅
=
α
β 
 
Onde: 
 
b1, h1 e a1  Apresentados na figura 35. 
 
 
103 
n  Quantidade de elementos (no caso do exemplo, n = 2) 
m  Número de intervalos de comprimento L1 em que fica dividido o 
 comprimento L total da peça. 
L
Lm
1
= 
αy  Para espaçadores interpostos (exemplo), αy = 1,25 
 
A verificação deve ser feita como se a peça fosse maciça de seção transversal com área 
S e momentos de inércia Iz e Iy,ef. 
 
Caso o momento de inércia mínimo encontrado seja Iz, a verificação da condição de 
segurança com relação à estabilidade é representada pela expressão: 
 
1
ff d,co
Md
d,co
Nd ≤σ+σ , como verificado nos exemplos anteriores deste trabalho. 
 
Caso o momento de inércia mínimo encontrado seja Iy,ef, a verificação da condição de 
segurança com relação à estabilidade é representada pela seguinte expressão: 
 
fn1
Sa2
M
W
M
S
N
d,co
ef,y
2
11
d
2ef,y
2dd ≤







⋅−⋅
⋅⋅
+
⋅
⋅
+
I
I
I
I 
 
 
 
104 
Onde, 
2/b
W
1
2
2
I= 
 
A distância entre os tarugos devem ser iguais entre si ao longo do comprimento L da 
peça. A fixação destes tarugos deve ser feita por ligações rígidas com pregos ou 
parafusos. Maiores detalhes sobre esta ligação pode ser obtida no item 8 da norma 
NBR 7190: 1997. 
 
7.5.2.2.2 Exemplo 2 
 
Considere uma barra bi-rotulada com dimensões de acordo com o esquema 
apresentado abaixo, de ipê amarelo, com comprimento de 3,00m, solicitada as 
seguintes ações: 
 
• Carga Permanente = 3.500 daN 
• Vento = 500 daN 
• Sobrecarga = 600 daN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
105 
Figura 37 – Esquema de exemplo (2) – Peça longa 
Obs:
Solução: 
 O tarugo não é utilizado em toda a extensão da peça. Dessa maneira ele não é 
considerado no cálculo dos momentos de inércia, bem como a área da seção 
transversal, servindo somente como contraventamento da peça. 
 
 
1) Valor de L1 para dispensar verificação da estabilidade local 
 
a ≤ 3.b1  5 ≤ 3.7,5  5 ≤ 22,5 OK! 
9.b1 ≤ L1 ≤ 18.b1  9.7,5 ≤ L1 ≤ 18.7,5  67,5 ≤ L1 ≤ 135 
 
L1 = 100cm (Não necessita verificar a estabilidade local de cada trecho) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
106 
 
 
 
 
Figura 38 – Espaçamento entre tarugos. (Exemplo 2) 
 
2) Elementos geométricos da peça 
 
2.1) Seção do elemento componente 
 
hbS 111 ⋅= = 7,5 . 20 = 150cm² 
( )
12
205,7
12
hb 3311
1
⋅
=
⋅
=I = 5000cm4 
( )
12
5,720
12
bh 3311
2
⋅
=
⋅
=I = 703,13cm4 
 
2.2) Seção composta 
 
1502SnS 1 ⋅=⋅= = 300cm² 
50002n 1z ⋅=⋅= II = 10000cm
4 
( )25,6150213,7032aS2n 22112y ⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅= II = 13125,01cm
4 
100
300
L
Lm
1
== = 3 
 
 
107 
( )
( ) 01,1312525,1313,703
313,703
m
m
2
2
yy
2
2
2
2
⋅+⋅
⋅
=
⋅+⋅
⋅
=
α
β
II
I
I = 0,2784 
 
01,131252784,0yef,y ⋅=⋅= β II I = 3654,01cm
4 
 
300
10000
S
Ii zz == = 5,77cm 
300
01,3654
S
I
i
ef,y
ef,y == = 3,49cm 
 
Raio de giraçãomínimo  imín = 3,49cm 
 (tendência de flambagem em torno do eixo y) 
 
3) Determinação da esbeltez da peça 
 
===λ
49,3
300
i
L
mín
o 85,96 
 
Como λ > 80  Peça longa 
 
 
 
 
 
108 
4) Determinação do valor da carga de cálculo 
 
4.1) Considerações das Ações: 
 Carga Permanente  Ação permanente de grande variabilidade 
 Sobrecarga  Ação variável principal 
 Vento  Ação variável secundária 
 
4.2) Determinação dos coeficientes: 
 Carga Permanente  γg = 1,4 (Tabela 6, pág. 44) 
 Sobrecarga  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 Vento  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 ψ0 = 0,5 (Tabela 9, pág. 45) 
 
4.3) Valor da carga de cálculo: 
 
 
 
( )5005,075,06004,135004,1Fd ⋅⋅+⋅+⋅= 
Fd = 4900 + 840 + 262,50 
 
Fd = 6002,50 daN 
 
Obs:
 
 O coeficiente 0,75 é multiplicado na ação do vento para a sua transformação 
em ação de longa duração, como explicado neste trabalho. 








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid FFFF
 
 
109 
5) Determinação da resistência de cálculo à compressão (fco,d) 
 
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf 
 
5.1) Determinação do coeficiente de modificação (Kmod) 
Kmod = Kmod,1 . Kmod,2 . Kmod,3 
 
Kmod,1 = 0,60  Ação variável principal permanente, e madeira do tipo serrada. 
 (Tabela 16, pág. 54) 
Kmod,2 = 1,00  Classe de umidade (1), com Ueq = 12%, e madeira do tipo 
 serrada. (Tabela 17, pág. 54) 
Kmod,3 = 0,80  Considerando madeira de 2a categoria. (Tabela 18, pág. 55) 
 
Kmod = 0,60 . 1,00 . 0,80 = 0,48 
 
5.2) Resistência característica à compressão paralela às fibras (fco,k) 
De acordo com a espécie em estudo – ipê amarelo, podemos, através da Tabela 13, pág. 
51, determinar o valor da resistência característica como sendo: 
 
fco,k = 0,7 . fco,m 
fco,k = 0,7 . 76 = 53,20 MPa = 532 daN/cm² 
 
 
 
110 
A determinação da resistência característica pode ser calculada multiplicando-se o fator 
0,7 pela resistência média encontrada por laboratórios idôneos, como apresentado na pág. 53 
deste trabalho. 
 
5.3) Coeficiente de minoração (γw) 
γw = 1,4  Compressão paralela às fibras. (Tabela 19, pág. 55) 
 
5.4) Resistência de cálculo (fco,d) 
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf 
 
4,1
53248,0f d,co ⋅=  fco,d = 182,40 daN/cm² 
 
6) Determinação do valor do momento de cálculo atuante (Md) 
 
6.1) Determinação do módulo de elasticidade efetivo 
 
EKE m,comodef,co ⋅= 
 
Kmod = 0,48  Determinado na questão 
Eco,m = 18.011 MPa = 180.110 daN/cm²  Tabela 13, pág. 51 
 
Eco,ef = 0,48 . 180110 = 86452,80 daN/cm² 
 
 
 
111 
6.2) Determinação da carga crítica de Euler 
 
L
IE
F 2
o
mínef,co
2
E
⋅⋅π
= 
( )300
01,365480,86452
F 2
2
E
⋅⋅π= = 34642,25 daN 
 
6.3) Determinação do expoente “c” 
 
( )[ ]
( )[ ]NNF
NN
c
qk21gkE
qk21gk
⋅Ψ+Ψ+−
⋅Ψ+Ψ+⋅φ
= 
 
φ = 0,8  Carregamento permanente e classe de umidade (1). 
 (Tabela 21, pág. 79) 
Ngk = 3500 daN  Valor característico – Carga permanente 
 
Sobrecarga: 
Nqk = 600 daN  Valor característico – Carga variável 
 ψ1 = 0,3  Tabela 9, pág. 45. 
 ψ2 = 0,2  Tabela 9, pág. 45. 
 
Vento: 
 
 
112 
Nqk = 500 daN  Valor característico – Carga variável 
 ψ1 = 0,2  Tabela 9, pág. 45. 
 ψ2 = 0  Tabela 9, pág. 45. 
 
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]50002,06002,03,0350025,34642
50002,06002,03,035008,0c
⋅++⋅++−
⋅++⋅++⋅
= = 0,102 
6.4) Determinação da excentricidade efetiva de 1a ordem (e1,ef) 
 
e1,ef = ei + ea + ec 
ei = 0  Não existe solicitação M1d atuante 
300
300
300
Lo
a ==e = 1cm 
( ) )17183,2()10(1e)( 102,0caigc −⋅+=−⋅+= eee = 0,11cm 
e1,ef = 0 + 1 + 0,11 = 1,11cm 
 
6.5) Determinação do momento de cálculo atuante 
 






−
⋅⋅=
NF
FNM
dE
E
ef,1dd e 






−
⋅⋅=
50,600225,34642
25,3464211,150,6002Md  Md = 8059,20 daN.cm 
 
 
 
 
113 
7) Determinação do valor W2 
 
( )2/5,7
13,703
2/b
IW
1
2
2 == = 187,50 
 
8) Verificação da condição de segurança 
 
fn1
Sa2
M
W
M
S
N
d,co
ef,y
2
11
d
2ef,y
2dd ≤







⋅−⋅
⋅⋅
+
⋅
⋅
+
I
I
I
I 
40,182
01,3654
13,70321
15025,62
20,8059
50,18701,3654
13,70320,8059
300
50,6002
≤




 ⋅−⋅
⋅⋅
+
⋅
⋅
+ 
 
30,92 ≤ 182,40 OK! 
 
 
 
 
 
 
 
B 
 
 
114 
 
Figura 39 – Compressão normal às fibras 
 (Fonte: Calil Junior, 2000) 
 
 
8 COMPRESSÃO NORMAL ÀS FIBRAS 
 
 
É quando as solicitações são exercidas 
perpendicularmente ao eixo longitudinal da 
peça. 
 
“A madeira submetida a 
esforços de 
compressão normal às 
suas fibras tem 
comportamento 
peculiar: inicialmente as deformações mantêm-se 
proporcionais às cargas, mas, a partir de certo estágio de 
carregamento, o limite de proporcionalidade, as 
deformações crescem rapidamente com pequenos 
acréscimos de carga. Esse ensaio não apresenta, entretanto 
ruptura no sentido usual da palavra: geralmente o corpo de 
prova fica apenas esmagado” (HELLMEISTER, 1977). 
 
O gráfico tensão X deformação abaixo representa a situação descrita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 40 – Diagrama tensão X deformação – Compressão normal às fibras 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
 
115 
Considerações do gráfico tensão X deformação: 
 
Trecho Característica 
OA Zona elástica onde os anéis de crescimento trabalham em conjunto 
AB Plastificação dos anéis mais frágeis 
BC Ganho de resistência até o esmagamento 
Pela NBR a tensão efetiva fc90 é obtida no trecho AB 
Tabela 22 – Considerações do gráfico tensão X deformação – Comp. normal às fibras 
 
A resistência da madeira quando solicitada à compressão normal às fibras 
(fc90,m) representa ¼ do valor apresentado quando solicitada à compressão 
paralela às fibras (fco,m). 
 
f4
1
f m,com,90c ⋅= 
 
8.1 Critérios de Dimensionamento – ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
 
O dimensionamento de peças de madeira submetidas a este tipo de 
solicitação depende da extensão do carregamento, medida paralelamente à 
direção das fibras. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 41 – Área de contato do carregamento 
 
A resistência da madeira quando solicitada à compressão normal às fibras é 
calculada a partir de ¼ da resistência paralela às fibras. Esse valor pode ser 
majorado quando na peça podemos considerar a atuação do bulbo de pressão, 
que dilui a atuação do carregamento. Essa consideração ocorre quando o valor 
da distância da área de contato estiver afastada pelo menos 7,5cm da 
 
 
116 
Onde: 
Fd  Carga de cálculo 
S  Área de contato onde atua o carregamento 
 baS ⋅= (Figura 41) 
extremidade (x ≥ 7,5cm), e quando o valor da área de contato for menor que 
15cm (a < 15cm). O coeficiente de majoração (αn) é determinado na Tabela 23, 
pág. 98, deste trabalho. 
 
A condição de segurança é expressa por: 
 
σc90,d ≤ fc90,d 
 
Onde: 
 
σc90,d  Tensão de compressão atuante (valor de cálculo) 
fc90,d  Resistência de cálculo à compressão normal às fibras 
 
8.1.1 Roteiro de Verificação 
 
1) Determinação do valor da carga de cálculo atuante na estrutura através da 
combinação das ações para o estado limite último. 
 
 
 (Dadona pág. 43) 
2) Determinação da tensão de compressão atuante (σc90,d). 
 
 
 
 








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid FFFF
S
Fd
d,90c =σ
 
 
117 
3) Determinação da resistência de cálculo à compressão (fco,d). 
 
 
 
 
(Dado na pág. 53) 
 
 
4) Determinação da resistência de cálculo (fc90,d). 
 
 
 
 
 
 
• Coeficiente αn 
 
Quando a carga atuar na extremidade da peça ou de modo distribuído na totalidade da 
peça de apoio: αn = 1,0 
 
Quando a carga estiver afastada de pelo menos 7,5cm da extremidade da peça o 
coeficiente “αn” receberá os seguintes valores: 
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf
Onde: 
Kmod  Coeficiente de modificação (pág. 54) 
fco,k  Resistência característica à compressão 
 paralela às fibras (págs. 50 e 51) 
γw  Coeficiente de minoração (pág. 55) 
α⋅⋅= nd,cod,90c f25,0f
Onde: 
αn  Coeficiente que depende da extensão da 
 carga atuante 
 
 
118 
 
Extensão da carga normal às fibras, 
medida paralelamente a estas (a) αn 
1 cm 2,00 
2 cm 1,70 
3 cm 1,55 
4 cm 1,40 
5 cm 1,30 
7,5 cm 1,15 
10 cm 1,10 
≥ 15 cm 1,00 
Tabela 23 – Valores de αn 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
 
6) Verificação da condição de segurança. 
 
σc90,d ≤ fc90,d 
 
8.1.2 Exemplo de Dimensionamento à Compressão Normal às Fibras 
 
Indicar uma madeira regional para dormentes, resistindo à compressão 
normal sob a placa de apoio de um trilho de ferrovia conforme detalhes abaixo. 
 
• Placa de distribuição  17cm X 37cm 
• Bitola do dormente  22cm X 18cm 
 
Desprezar o peso próprio e considerar a carga da roda sobre o trilho em 
16.000 daN. 
 
 
119 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 42 – Exemplo compressão normal às fibras 
 
Solução: 
 
Considerações Iniciais 
 
Área de contato da carga  3717S ⋅= = 629 cm² 
Valor do coeficiente αn  αn = 1,0 (pois a > 15cm) 
 
 
 
1) Determinação da carga de cálculo (Fd) 
 
1.1) Considerações das Ações: 
 Carga Permanente = 0 (desprezível) 
 Carga Acidental Móvel = 16.000 daN (considerada principal) 
 
1.2) Determinação dos coeficientes: 
 Carga Acidental Móvel  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 
1.3) Valor da carga de cálculo: 
 
 
 
 








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid FFFF
( )0160004,10Fd +⋅+=
 
 
120 
 
Fd = 22400 daN 
 
2) Determinação da tensão de compressão atuante (σc90,d) 
 
S
Fd
d,90c =σ 
 
629
22400
d,90c =σ  σc90,d = 35,61 daN/cm² 
 
3) Determinação da resistência de cálculo à compressão (fco,d) 
 
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf 
 
3.5) Determinação do coeficiente de modificação (Kmod) 
Kmod = Kmod,1 . Kmod,2 . Kmod,3 
 
Kmod,1 = 0,60  Ação variável principal permanente, e madeira do tipo serrada. 
 (Tabela 16, pág. 54) 
Kmod,2 = 1,00  Classe de umidade (1), com Ueq = 12%, e madeira do tipo 
 serrada. (Tabela 17, pág. 54) 
Kmod,3 = 0,80  Considerando madeira de 2a categoria. (Tabela 18, pág. 55) 
 
Kmod = 0,60 . 1,00 . 0,80 = 0,48 
 
 
 
121 
3.6) Coeficiente de minoração (γw) 
γw = 1,4  Compressão paralela às fibras. (Tabela 19, pág. 55) 
 
3.7) Resistência de cálculo (fco,d) 
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf 
4,1
f48,0f k,cod,co ⋅=  f3429,0f k,cod,co ⋅= 
 
4) Determinação da resistência de cálculo (fc90,d) 
 
α⋅⋅= nd,cod,90c f25,0f 
 
00,1f3429,025,0f k,cod,90c ⋅⋅⋅= 
 
fc90,d = 0,08573 . fco,k 
 
5) Condição de segurança 
 
σc90,d ≤ fc90,d 
 
 
35,61 ≤ 0,08573 . fco,k 
 
08573,0
61,35
f k,co ≥  fco,k ≥ 415,37 daN/cm² 
 
Entrada na Tabela 13 com valor da resistência média: 
 
f7,0f m,cok,co ⋅= (min) 
415,37 = 0,7 . fco,m (min) 
 
 
122 
 
 
 Figura 43 –Tração paralela às fibras 
 (Fonte: Calil Junior, 2000) 
 
 
7,0
37,415
f m,co ≥  fco,m ≥ 593,39 daN/cm²  fco.m ≥ 59,34 MPa 
 
 
Resposta: 
De acordo com a Tabela 13, que apresenta propriedades de algumas 
espécies de madeira, concluímos que para a utilização como dormentes no 
exemplo citado acima, podemos utilizar as seguintes espécies regionais: 
 
Nome comum Fco,m (MPa) 
Maçaranduba 82,9 
Ipê 76,0 
Jatobá 93,3 
 
Todas as espécies citadas acima possuem uma resistência à compressão 
superior ao mínimo necessário para o caso descrito no exemplo. 
 
 
 
9 TRAÇÃO PARALELA ÀS FIBRAS 
 
 
É o alongamento das células da 
madeira ao longo do eixo longitudinal. Neste 
caso, a madeira apresenta baixos valores de 
deformação e elevados valores de 
resistência. 
 
9.1 Ensaio de Tração Paralela às Fibras 
 
Os corpos-de-prova devem ser alongados, com trecho central de seção 
transversal uniforme de área A, e comprimento não menor que A8 ⋅ , com 
extremidades mais resistentes que o trecho central, como mostra a figura 
abaixo: 
 
 
123 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 44 – Corpos-de-prova para ensaio de tração paralela às fibras 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
 
 
O número de corpos-de-prova é determinado pela norma como sendo: 
 
• Caracterização simplificada  6 corpos-de-prova 
• Caracterização mínima da resistência de espécies pouco conhecidas  
12 corpos-de-prova 
 
A partir dos ensaios pode-se definir o valor médio das propriedades, e o seu 
respectivo valor característicos definido no item B.3 (pág.48) da norma. Lembrar 
que esse valor característico também pode ser definido como 70% do valor médio 
obtido por laboratórios idôneos (Tabela 13, pág. 51). 
 
A resistência à tração paralela às fibras (fto) é definido como sendo a 
máxima tensão de tração que pode atuar no corpo-de-prova descrito acima: 
 
 
 
 
124 
 
S
F
f máx,toto = 
 
 
Onde: 
 
Fto,Max  Máxima força de tração aplicada ao corpo-de-prova 
S  Área inicial da seção transversal tracionada do trecho central do 
 corpo-de-prova 
 
A rigidez é determinada pelo módulo de elasticidade da madeira, que é 
obtido a partir da inclinação da reta secante à curva do diagrama tensão X 
deformação específica, entre os pontos de 10% e 50% da resistência à tração 
paralela às fibras, medidas no ensaio. 
 
O diagrama tensão X deformação do ensaio é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 45 – Diagrama tensão X deformação específica 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
 
 
125 
 
 
 
 
Onde: 
 
σ50% e σ10%  Tensões de compressão correspondentes a 10% e 50% da 
 resistência fco 
ε50% e ε10%  Deformações específicas medidas no corpo-de-prova, 
 correspondente às tensões de σ50% e σ10% 
 
Para obtenção de maiores informações a respeito do ensaio de tração 
paralela às fibras, consulte o anexo B, item B.9 da NBR 7190: 1997. 
 
9.2 Critérios de Dimensionamento – ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
 
A condição de segurança para peças de madeira solicitada ao esforço de 
tração paralela às fibras é expressa por: 
 
σt0,d ≤ ft0,d 
 
Onde: 
 
 σt0,d  Tensão de tração atuante (valor de cálculo) 
ft0,d  Resistência de cálculo à tração paralela às fibras 
 
9.2.1 Roteiro de Verificação 
 
1) Determinação do valor da carga de cálculo atuante na estrutura através da 
combinação das ações para o estado limite último. 
εε
σσ
−
−
=
%10%50
%10%50Eto126 
Onde: 
Fd  Carga de cálculo 
S  Área da seção transversal onde atua o 
 carregamento 
 
 
 (Dado na pág. 43) 
 
2) Determinação da tensão de tração atuante (σto,d). 
 
 
 
 
3) Determinação da resistência de cálculo à tração (fto,d). 
 
 
 
 
(Dado na pág. 53) 
 
Para espécies de madeira usuais a classificação simplificada a partir dos ensaios de 
compressão paralela às fibras, admite que: 
 
 
 








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid FFFF
γ
⋅=
w
k,to
modd,to
f
Kf
Onde: 
Kmod  Coeficiente de modificação (pág. 54) 
fto,k  Resistência característica à tração 
 paralela às fibras (págs. 50 e 51) 
γw  Coeficiente de minoração (pág. 55) 
S
Fd
d,to =σ
f
77,0
f
k,co
k,to =
 
 
127 
Onde: 
fco,k  Resistência característica à compressão paralela às fibras 
 
4) Verificação da condição de segurança. 
σto,d ≤ fto,d 
9.2.2 Exemplo de Dimensionamento à Tração Paralela às Fibras 
 
Considere a ligação típica do Banzo Superior com o Banzo Inferior de uma 
tesoura. Sabendo-se que ela é de ipê e que no Banzo Inferior atuam os esforços 
de: 
• Ação Permanente = + 8.000 daN 
• Ação de Vento = + 2.500 daN 
 
Calcule qual a altura máxima de entalhe (e), para que a peça resista ao esforço de tração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 46 – Exemplo tração paralela às fibra 
 
 
128 
Solução: 
 
Considerações Iniciais 
Determinação da área de tração útil (mais fraca) 
 
 
 
 
 
Figura 47 – Área de tração útil 
S = AB . 7,5 
AB = H – e = 15 – e 
 
S = (15 – e) . 7,5  S = 112,5 – 7,5.e 
 
6) Determinação da carga de cálculo (Fd) 
 
1.4) Considerações das Ações: 
 Carga Permanente  Ação permanente de grande variabilidade 
 Vento  Ação variável principal 
 
1.5) Determinação dos coeficientes: 
 Carga Permanente  γg = 1,4 (Tabela 6, pág. 44) 
 Vento  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 
1.6) Valor da carga de cálculo: 
 
 
 
 
 








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid FFFF
( )075,025004,180004,1Fd +⋅⋅+⋅=
 
 
129 
 
Fd = 13825 daN 
 
Obs:
7) Determinação da tensão de tração atuante (σt0,d) 
 O coeficiente 0,75 é multiplicado na ação do vento para a sua 
transformação em ação de longa duração, como explicado neste trabalho. 
 
 
S
Fd
d,to =σ 
 
( )e5,75,112
13825
d,to ⋅−
=σ 
 
8) Determinação da resistência de cálculo (fto,d) 
 
γ
⋅=
w
k,to
modd,to
f
Kf 
 
3.1) Determinação do coeficiente de modificação (Kmod) 
Kmod = Kmod,1 . Kmod,2 . Kmod,3 
 
Kmod,1 = 0,60  Ação variável principal permanente, e madeira do tipo serrada. 
 (Tabela 16, pág. 54) 
Kmod,2 = 1,00  Classe de umidade (1), com Ueq = 12%, e madeira do tipo 
 serrada. (Tabela 17, pág. 54) 
Kmod,3 = 0,80  Considerando madeira de 2a categoria. (Tabela 18, pág. 55) 
 
 
 
130 
Kmod = 0,60 . 1,00 . 0,80 = 0,48 
 
3.2) Resistência característica à tração paralela às fibras (fto,k) 
De acordo com a espécie em estudo – ipê, podemos, através da Tabela 13, pág. 51, 
determinar o valor da resistência característica como sendo: 
 
f7,0f m,tok,to ⋅= 
fto,k = 0,7 . 96,8 = 67,76 MPa = 677,60 daN/cm² 
 
A determinação da resistência característica pode ser calculada multiplicando-se o 
fator 0,7 pela resistência média encontrada por laboratórios idôneos, como apresentado 
na pág. 53 deste trabalho. 
 
3.3) Coeficiente de minoração (γw) 
γw = 1,8  Tração paralela às fibras. (Tabela 19, pág. 55) 
 
3.4) Resistência de cálculo (fto,d) 
γ
⋅=
w
k,to
modd,to
f
Kf 
8,1
60,66748,0f d,to ⋅=  fto,d = 178,03 daN/cm² 
 
9) Verificação da condição de segurança 
 
 σto,d ≤ fto,d 
 
( )e5,75,112
13825
⋅−
 ≤ 178,03 
13825 ≤ 178,03 . (112,5 – 7,5.e) 
13825 ≤ 20028,38 – 1335,23 . e 
– 6203,38 ≤ – 1335,23 . e .( –1) 
6203,38 ≥ 1335,25 . e 
 
 
131 
 
e ≤ 4,65 cm 
 
 
Resposta: 
Para efeitos construtivos, adotaremos e = 4cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
132 
 
 
 Figura 48 – Cisalhamento 
 (Fonte: Calil Junior, 2000) 
 
 
10 CISALHAMENTO 
 
 
 
É a tendência das células da madeira de 
separarem e escorregarem entre si. 
 
10.1 Ensaio de Cisalhamento 
 
De acordo com a norma, o corpo-de-prova deve ter o formato indicado 
na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 49 – Corpo-de-prova para ensaio de cisalhamento 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
O número de corpos-de-prova é determinado pela norma como sendo: 
 
• Caracterização simplificada  6 corpos-de-prova 
• Caracterização mínima da resistência de espécies pouco conhecidas  
12 corpos-de-prova 
 
 
 
133 
A partir dos ensaios pode-se definir o valor médio das propriedades, e o seu 
respectivo valor característicos definido no item B.3 (pág.48) da norma. Lembrar 
que esse valor característico também pode ser definido como 70% do valor médio 
obtido por laboratórios idôneos (Tabela 13, pág. 51). 
 
A resistência ao cisalhamento (fv) é definido como sendo a máxima tensão 
de cisalhamento que pode atuar na seção crítica do corpo-de-prova descrito 
acima: 
 
A
F
f
v
máx,v
v = 
 
Onde, Fv,máx é a força cisalhante máxima aplicada ao corpo-de-prova, e 
Av é a área inicial da seção crítica do corpo-de-prova em um plano paralelo 
às fibras. 
 
Para obtenção de maiores informações a respeito do ensaio de 
cisalhamento, consulte o anexo B, item B.12 da NBR 7190: 1997. 
 
10.2 Critérios de Dimensionamento – ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
 
A condição de segurança para peças de madeira solicitada ao esforço de 
cisalhamento é expressa por: 
 
τd ≤ fv,d 
 
Onde: 
 
 τd  Tensão de cisalhamento atuante (valor de cálculo) 
fv,d  Resistência de cálculo ao cisalhamento 
 
 
 
134 
Onde: 
Fd  Carga de cálculo 
S  Área onde atua o esforço 
 
10.2.1 Roteiro de Verificação – ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
 
1) Determinação do valor da carga de cálculo atuante na estrutura através da 
combinação das ações para o estado limite último. 
 
 
 
 (Dado na pág. 43) 
 
2) Determinação da tensão de cisalhamento atuante (τd). 
 
 
 
 
3) Determinação da resistência de cálculo ao cisalhamento (fv,d). 
 
 
 
 
(Dado na pág. 53) 
 








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid FFFF
γ
⋅=
w
k,v
modd,v
f
Kf
Onde: 
Kmod  Coeficiente de modificação (pág. 54) 
fv,k  Resistência característica ao 
 cisalhamento (págs. 50 e 51) 
γw  Coeficiente de minoração (pág. 55) 
S
Fd
d =τ
 
 
135 
4) Verificação da condição de segurança. 
 
 τd ≤ fv,d 
 
10.2.2 Exemplo de Dimensionamento ao Cisalhamento 
 
Considere a ligação típica do Banzo Superior com o Banzo Inferior de uma 
tesoura. Sabendo-se que ela é de ipê e que no Banzo Superior atuam os esforços 
de: 
• Ação Permanente = – 10.000 daN 
• Ação de Vento = – 3.100 daN 
 
O ângulo de inclinação θ é igual a 20o. Calcule o comprimento mínimo 
da folga “f” a ser deixada na ligação, para que a ligação suporte o esforço 
de cisalhamento.136 
Figura 50 – Exemplo cisalhamento 
 
Solução: 
 
Considerações Iniciais 
Determinação da área de cisalhamento: 
 
 
 
 
Figura 51 – Área de cisalhamento 
 
S = AC . 7,5  S = f . 7,5 
 
1) Determinação da carga de cálculo (Fd) 
 
1.7) Considerações das Ações: 
 Carga Permanente  Ação permanente de grande 
variabilidade 
 Vento  Ação variável principal 
 
1.8) Determinação dos coeficientes: 
 Carga Permanente  γg = 1,4 (Tabela 6, pág. 44) 
 Vento  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 
1.9) Valor da carga de cálculo: 
 
 
 
 
 
Fd = 17255 daN 








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid FFFF
( )075,031004,1100004,1Fd +⋅⋅+⋅=
 
 
137 
Obs:
10) Determinação da tensão de atuante (τd) 
 O coeficiente 0,75 é multiplicado na ação do vento para a sua 
transformação em ação de longa duração, como explicado neste trabalho. 
 
 
S
Fd
d =τ 
 
 
f5,7
17255
d ⋅
=τ 
 
11) Determinação da resistência de cálculo ao cisalhamento (fvo,d) 
 
γ
⋅=
w
k,v
modd,v
f
Kf 
 
3.5) Determinação do coeficiente de modificação (Kmod) 
Kmod = Kmod,1 . Kmod,2 . Kmod,3 
 
Kmod,1 = 0,60  Ação variável principal permanente, e madeira do tipo serrada. 
 (Tabela 16, pág. 54) 
Kmod,2 = 1,00  Classe de umidade (1), com Ueq = 12%, e madeira do tipo 
 serrada. (Tabela 17, pág. 54) 
Kmod,3 = 0,80  Considerando madeira de 2a categoria. (Tabela 18, pág. 55) 
 
Kmod = 0,60 . 1,00 . 0,80 = 0,48 
 
 
 
138 
3.6) Resistência característica ao cisalhamento (fv,k) 
3.7) 
De acordo com a espécie em estudo – ipê, podemos, através da Tabela 13, pág. 51, 
determinar o valor da resistência característica como sendo: 
f7,0f m,vk,v ⋅= 
fv,k = 0,7 . 13,1 = 9,17 MPa = 91,70 daN/cm² 
 
A determinação da resistência característica pode ser calculada multiplicando-se o 
fator 0,7 pela resistência média encontrada por laboratórios idôneos, como apresentado 
na pág. 53 deste trabalho. 
 
3.8) Coeficiente de minoração (γw) 
3.9) 
γw = 1,8  Cisalhamento paralelo às fibras. (Tabela 19, pág. 55) 
 
3.10) Resistência de cálculo (fv,d) 
γ
⋅=
w
k,v
modd,v
f
Kf 
 
8,1
70,9148,0f d,v ⋅=  fv,d = 24,45 daN/cm² 
 
12) Verificação da condição de segurança 
 
 τd ≤ fv,d 
f5,7
17255
⋅
 ≤ 24,45 
17255 ≤ 183,38 . f 
38,183
17255f ≥ 
 
 
 
 
139 
 
f ≥ 94,10 cm 
Resposta: 
Para efeitos construtivos, adotaremos f = 100cm = 1m. 
 
 
 
11 FLEXÃO SIMPLES 
 
 
11.1 Flexão Estática 
 
Será feita uma breve exposição dos conceitos básicos de tensão normal de 
flexão, tensões de cisalhamento na flexão e deflexões (elástica) em peças 
fletidas, com base nas teorias elásticas apresentadas em Resistência dos 
Materiais. 
 
11.1.1 Tensão Normal de Flexão Atuante (σf) 
 
Considere uma peça bi-apoiada solicitada a um carregamento qualquer, 
como mostrado na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 52 – Peça bi-apoiada com carregamento qualquer 
 
Considere M o momento fletor atuante na seção genérica s, apresentada 
acima, com características geométricas Iz, wz e S, sendo: 
 
 
140 
 
Iz  Momento de Inércia em torno do eixo z. Eixo este, em torno do qual o 
momento tende a girar a seção. 
 
Wz  Momento resistente da seção genérica dado por: 
y
Iw
máx
z
z = . 
Onde ymáx é a distância do Centro de Gravidade a uma das bordas da 
seção. 
 
Na situação fletida, com tração nas fibras inferiores, tem-se na seção s o 
diagrama de tensões como mostra a figura 53: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 53 – Seção da peça e tensões de flexão 
 
Onde: 
 
M  Momento atuante 
dM  Variável infinitesimal do momento 
dX  Elemento infinitesimal da peça 
σ  Tensão devido o momento fletor 
 
 
 
141 
6
hb
2
h
12
hb
y
Iw
2
3
máx
z
z
⋅
=
⋅
== 
Na posição y tem-se 
I
yM
z
f
⋅
=σ (tensão de flexão), na borda inferior tem-se 
tensão de tração dada por 
w
M
I
yM
zz
máx
f +
+
+ =
⋅
=σ , e na borda superior tem-se 
tensão de compressão dada por 
w
M
I
yM
zz
máx
f −
−
− =
⋅
=σ . Nos casos de simetria da 
seção em relação ao eixo y tem-se σ=σ +− ff (igualdade nas tensões máximas de 
tração e compressão). 
 
No caso da seção retangular temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 54 – Seção retangular 
 
12
hbI
3
z
⋅
= 
2
hymáx = 
 
6
hb
M
w
M
2z
máx
f ⋅
==σ  
hb
M6
2
.máx
f ⋅
⋅
=σ 
 
Onde: 
 
 
 
142 
M  Momento atuante na viga de seção retangular 
b  Base da seção retangular 
h  Altura da seção retangular 
 
 
 
 
11.1.2 Tensão de Cisalhamento na Flexão (τf) 
 
Na viga fletida da figura 53, tem-se, também, na seção s, o esforço cortante 
que provoca tensões verticais e longitudinais de cisalhamento como mostra a 
figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 55 – Seção da peça e tensões de cisalhamento 
 
Onde: 
 
Q  Esforço cortante 
dQ  Variável infinitesimal do esforço 
 
 
143 
dX  Elemento infinitesimal da peça 
τ  Tensão de cisalhamento 
 
A tensão máxima de cisalhamento é dada por: 
 
Ib
MQ
z
smáx
f ⋅
⋅
=τ 
Onde: 
 
Q  Esforço cortante 
Ms  Momento estático de toda a área abaixo ou acima do eixo z 
b  largura da seção no Centro de Gravidade (no eixo z) 
Iz  Momento de Inércia em torno do eixo z 
 
O momento estático de uma seção genérica é determinado como sendo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 56 – Determinação do momento estático de uma seção genérica 
 
∫ ⋅=
1h
0s
dsyM ou ∫ ⋅=
2h
0s
dsyM 
 
 
 
 
 
 
144 
hb
Q
2
3
12
hbb
8
hbQ
Ib
MQ
12
hbI
8
hb
4
h
2
hbM
máx
f
3
2
z
smáx
f
3
z
2
s
⋅
⋅=τ







 ⋅
⋅







 ⋅
⋅
=
⋅
⋅
=τ
⋅
=
⋅
=⋅⋅=
 
No caso da seção retangular tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 Figura 57 – Seção retangular 
 
Onde: 
 
Q  Esforço cortante atuante na viga de seção retangular 
b  Base da seção retangular 
h  Altura da seção retangular 
 
11.1.3 Deflexões (v) 
 
As deflexões podem ser calculadas em qualquer seção pela equação 
clássica da linha elástica 
IE
M
dx
yd
z2
2
⋅
−
= , sendo E o módulo de elasticidade 
longitudinal do material. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 58 – Linha elástica 
 
v = y  Deflexão ou flecha na seção S 
 
 
145 
Pode-se recorrer a outros métodos para cálculo das deflexões, como o 
P.T.V. (Princípio dos Trabalhos Virtuais), ou teorema de energia de Castigliano. 
Como exemplo mostram-se as deflexões máximas em algumas vigas corriqueiras: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
146 
Figura 59 – Deflexões máximas em vigas 
11.2 Ensaio de Flexão Estática para Obtenção da Tensão de Ruptura (fM) 
 
“A resistência da madeira à flexão (fwM ou fM) é um valor 
convencional, dado pela máxima tensão que pode atuar em 
um corpo-de-prova no ensaio de flexão simples, calculado 
com a hipótese de a madeira ser um material elástico, sendo 
dado por: 
 
W
M
f
e
máx
M =Onde: 
 
Mmáx é o máximo momento aplicado ao corpo-de-prova. 
 
We é o módulo de resistência elástico da seção transversal 
do corpo-de-prova, dado por bh²/6”. (ABNT, 1997, p. 62) 
 
Sendo fM a máxima tensão que leva o corpo-de-prova ao colapso por tração 
nas fibras inferiores, no seguinte esquema de ensaio: 
 
 
 
 
 
 
Figura 60 – Esquema de ensaio de flexão estática 
 
O defletômetro serve para medir as deflexões “v” para cada carga “P”. 
Durante o ensaio, para cada carga “P” teremos na seção do meio do vão 
uma deflexão “v”, e o diagrama tensão X deformação é dado por: 
 
 
 
 
 
Figura 61 – Diagrama tensão X deformação – Ensaio de flexão 
 
 
147 
Próximo ao colapso, já fora da zona elástica, o corpo-de-prova começa a 
romper por compressão na borda superior, plastificando a seção, tornando o 
digrama tensão X deformação com o formato mostrado na figura abaixo, elevando 
consideravelmente as tensões de tração na borda inferior até que o limite de 
resistência à tração seja atingido e o corpo romperá por tração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 62 – Diagrama tensão X deformação próximo ao colapso 
 
O diagrama carga X flecha na flexão do corpo-de-prova é definido por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 63 – Diagrama carga X flecha na flexão 
(Fonte: NBR 7190: 1997) 
 
 
148 
“O módulo de elasticidade deve ser determinado pela 
inclinação da reta secante à curva carga X deslocamento no 
meio do vão, definida pelos pontos (F10%; v10%) e (F50%; v50%) 
correspondentes, respectivamente a 10% e 50% da carga 
máxima de ensaio estimada por meio de um corpo-de-prova 
gêmeo, sendo dado por: 
 
 
( )
( ) hb4vv
LFF
E 3
%10%50
3
%10,M%50,M
M
⋅⋅⋅−
⋅−
= 
 
Onde: 
 
FM,10% e FM,50% são as cargas correspondentes a 10% e 50% 
da carga máxima estimada, aplicada ao corpo-de-prova. 
 
v10% e v50% são os deslocamentos no meio do vão 
correspondentes a 10% e 50% da carga máxima estimada 
FM,est. 
 
b, h e L correspondem, respectivamente à largura, altura e 
comprimento da seção transversal do corpo-de-prova”. 
(ABNT, 1997, p. 62 a 63) 
 
11.3 Critérios de Segurança 
 
No caso de flexão devemos assegurar a funcionalidade da estrutura tanto 
no estado limite último, como no estado limite de utilização. 
 
11.3.1 Estado Limite Último 
 
a) Tensões Normais de Flexão 
 
Existem dois critérios de segurança referente às tensões normais de flexão, 
que devem ser verificadas em projeto: 
 
σc1,d ≤ fc0,d 
 
σt2,d ≤ ft0,d 
 
 
 
149 
Onde: 
 
σc1,d  Tensão atuante de cálculo da borda mais comprimida 
σt2,d  Tensão atuante de cálculo da borda mais tracionada 
fc0,d  Resistência de cálculo à compressão paralela às fibras 
ft0,d  Resistência de cálculo à tração paralela às fibras 
 
b) Cisalhamento 
 
τd ≤ fv,d 
 
Onde: 
 
τd  Máxima tensão de cisalhamento atuante na peça 
fv,d  Resistência de cálculo ao cisalhamento 
 
Nas seções próximas aos apoios, os esforços de cisalhamento podem ser 
reduzidos até a distância de 2.h, sendo h a altura da viga. O valor da força 
cortante reduzida é calculada pela expressão: 
 
h2
xQQred ⋅
⋅= 
 
Onde: 
 
x  Distância entre o ponto de aplicação da carga ao eixo do apoio 
h  Altura da viga 
Q  Valor do cortante na seção x 
 
 
 
 
 
 
 
150 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 64 – Redução da força cortante nas proximidades do apoio 
 
Isso ocorre devido à contribuição do efeito da compressão normal na zona 
do apoio, favorecendo significativamente o ganho de resistência ao cisalhamento. 
 
11.3.2 Estado Limite de Utilização 
 
Nesse estado verifica-se para que a deflexão máxima atuante não 
ultrapasse os limites de utilização impostos pela NBR 7190: 1997. As 
deformações limites são classificadas como: construções correntes e construções 
com materiais frágeis não estruturais. 
 
11.3.2.1 Deformações Limites para as Construções Correntes 
 
“São consideradas apenas as combinações de ações de 
longa duração, levando-se em conta a rigidez efetiva do 
módulo de elasticidade. 
 
Os limites de deslocamentos permitidos pela norma são: 
 
L / 200 dos vãos; 
L / 100 do comprimento dos balanços. 
 
 
151 
 
É muito comum a aplicação de contra-flechas nas estruturas 
com o objetivo de diminuir os problemas na verificação de 
estados limites de utilização. Caso esta contra-flecha 
aplicada à estrutura seja no mínimo igual à flecha devida às 
ações permanentes, pode-se considerar a flecha devido às 
ações permanentes reduzida a 2/3 do seu valor. 
 
Para a verificação de casos de flexão-oblíqua, os limites 
anteriores de flechas podem ser verificados isoladamente 
para cada um dos planos principais de flexão”. (CALIL 
JUNIOR, 2000, p. 64) 
 
11.3.2.2 Deformações Limites para as Construções com Materiais Frágeis Não 
Estruturais 
 
“As combinações a serem utilizadas nesta verificação são as 
de média e curta duração de acordo com o rigor da 
segurança pretendida. 
 
A norma brasileira limita nos seguintes valores as flechas 
totais, incluindo o efeito de fluência: 
 
L / 350 do vão; 
L / 175 do comprimento dos balanços. 
 
Para a verificação das flechas devidas às ações variáveis 
são especificados os seguintes valores: 
 
L / 300 dos vãos; 
L / 150 do comprimento dos balanços; 
Valor absoluto de 15mm. 
 
Nas construções especiais, tais como fôrmas para concreto, 
cibramentos, torrer, etc., as deformações limites devem ser 
estabelecidas pelo proprietário ou por normas especiais”. 
(CALIL JUNIOR, 2000, p. 64 a 65) 
 
Lembrar que nesse estado a combinação das ações para estruturas 
correntes é dada por: 
 
 , como visto no item 5.4.4 deste trabalho. 
 
 
 
∑ ⋅ψ+∑=
==
n
1j
k,qjj2
m
1i
k,giuti,d FFF
 
 
152 
11.4 Exemplo de Dimensionamento à Flexão Simples 
 
Uma viga bi-articulada de 10cm de largura está submetida a um 
carregamento permanente distribuído de 210daN/m e uma carga concentrada 
acidental de 100 daN, no ponto médio do vão de 4,2m. Calcular a altura 
necessária da viga, considerando madeira do tipo ipê. 
 
 
 
 
 
 
Figura 65 – Exemplo flexão simples 
 
Solução: 
 
11.4.1 Verificação no ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
 
1) Determinação dos Esforços Atuantes – Momento e Cortante 
 
1.1) Valores Característicos dos Esforços 
 
1.1.1) Momento Fletor 
 
 
 
Devido a carga permanente 
( )
8
2,4210
8
LqM
22
)P(máx
⋅
=
⋅
= = 463,05 daN.m  Mmáx(P) ≅ 463 daN.m 
 
 
 
 
Figura 66 – Momento máximo devido a carga permanente 
 
 
153 
 
 
Devido a carga acidental 
4
2,4100
4
LPM )A(máx
⋅
=
⋅
=  Mmáx(A) = 105 daN.m 
 
 
 
 
Figura 67 – Momento máximo devido a carga acidental 
 
1.1.2) Esforço Cortante 
 
 
 
Qmáx(P) = 441 daN.m 
 
Devido a carga permanente 
 
 
 
 
Figura 68 – Cortante máximo devido a carga permanente 
 
 
 
Qmáx(A) = 50 daN.m 
 
 
Devido a carga acidental 
 
 
 
 
Figura 69 – Cortante máximo devido a carga acidental 
 
 
 
154 
1.2) Valores Característicos Reduzidos dos Cortantes 
 
Os valores reduzidos referem-se aos cortantes que estão localizados a uma distância 
de 2.h do apoio, de acordo com a explicação apresentada neste trabalho 
 
 
 
Qmáx red.(P) = 441(daN) – 210(daN/m) . 2h(cm) = 441 – 210 . 0,01 . 2.h 
Devido a carga permanente 
 
Qmáx red.(P) = 441 – 4,2.h (daN) 
 
Qmáx red.(A) = 50 daN 
 
 
Devido a carga acidental 
1.3) Valores de Cálculo dos Esforços – Combinações ESTADO LIMITE 
ÚLTIMO 
 
1.3.1) 
 Carga Permanente  Ação permanente de grande variabilidade 
Considerações das Ações: 
 Carga Acidental  Ação variável principal 
 
1.3.2) 
 Carga Permanente  γg = 1,4 (Tabela 6, pág. 44) 
Determinação dos coeficientes: 
 Carga Acidental  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 
1.3.3) 
 
 
Valor do momento de cálculo: 








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid MMMM
 
 
155 
 
( )01054,14634,1Md +⋅+⋅= 
Md = 648,20 + 147 
 
Md = 795,20 daN.m = 79520 daN.cm 
 
 
1.3.4) 
 
 
 
Valor do cortante de cálculo: 
( ) ( )0504,1h2,44414,1Qd +⋅+⋅−⋅= 
Qd = 617,40 – 5,88.h + 70 
 
Qd = 687,40 – 5,88.h (daN) 
 
 
7) Verificação – Tensão Normal de Flexão 
 
2.1) Tensões Atuantes 
 
2.1.1) Compressão 
 








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid QQQQ
 
 
156 
Como a seção transversal da peça é retangular, utilizaremos as fórmulas práticas 
descritas neste trabalho. 
 
h10
795206
hb
M6
22d,1c ⋅
⋅
=
⋅
⋅
=σ 
 
h
47712
2d,1c
=σ 
 
 
 
 
 
 
2.1.2) Tração 
 
Como a seção transversal da peça é retangular e simétrica, a tensão da borda mais 
tracionada é numericamente igual à tensão da borda mais comprimida. Dessa maneira, 
temos que: 
 
h
47712
2d,1cd,2t
=σ=σ 
 
 
2.2) Resistências de Cálculo Paralela às Fibras 
 
2.2.1) Compressão (fco,d) 
 
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf 
 
2.2.1.1) Determinação do coeficiente de modificação (Kmod) 
 
 
157 
Kmod = Kmod,1 . Kmod,2 . Kmod,3 
 
Kmod,1 = 0,60  Ação variável principal permanente, e madeira do tipo serrada. 
 (Tabela 16, pág. 54) 
Kmod,2 = 1,00  Classe de umidade (1), com Ueq = 12%, e madeira do tipo 
 serrada. (Tabela 17, pág. 54) 
Kmod,3 = 0,80  Considerando madeira de 2a categoria. (Tabela 18, pág. 55) 
 
Kmod = 0,60 . 1,00 . 0,80 = 0,48 
 
2.2.1.2) 
De acordo com a espécie em estudo – ipê amarelo, podemos, através da Tabela 13, pág. 51, 
determinar o valor da resistência característica como sendo: 
 
fco,k = 0,7 . fco,m 
fco,k = 0,7 . 76 = 53,20 MPa = 532 daN/cm² 
A determinação da resistência característica pode ser calculada multiplicando-se o fator 
0,7 pela resistência média encontrada por laboratórios idôneos, como apresentado na pág. 53 
deste trabalho. 
 
Resistência característica à compressão paralela às fibras (fco,k) 
2.2.1.3) 
γw = 1,4  Compressão paralela às fibras. (Tabela 19, pág. 55) 
Coeficiente de minoração (γw) 
 
 
 
158 
2.2.1.4) 
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf
Resistência de cálculo (fco,d) 
 
4,1
53248,0f d,co ⋅= 
 
fco,d = 182,40 daN/cm² 
 
 
2.2.2) Tração (fto,d) 
 
γ
⋅=
w
k,to
modd,to
f
Kf 
 
 
2.2.2.1) 
Kmod = Kmod,1 . Kmod,2 . Kmod,3 
 
Kmod,1 = 0,60  Ação variável principal permanente, e madeira do tipo serrada. 
 (Tabela 16, pág. 54) 
Kmod,2 = 1,00  Classe de umidade (1), com Ueq = 12%, e madeira do tipo 
 serrada. (Tabela 17, pág. 54) 
Kmod,3 = 0,80  Considerando madeira de 2a categoria. (Tabela 18, pág. 55) 
 
Kmod = 0,60 . 1,00 . 0,80 = 0,48 
Determinação do coeficiente de modificação (Kmod) 
 
 
159 
 
 
2.2.2.2) 
De acordo com a espécie em estudo – ipê, podemos, através da Tabela 13, pág. 51, 
determinar o valor da resistência característica como sendo: 
 
Resistência característica à tração paralela às fibras (fto,k) 
f7,0f m,tok,to ⋅= 
fto,k = 0,7 . 96,8 = 67,76 MPa = 677,60 daN/cm² 
 
A determinação da resistência característica pode ser calculada multiplicando-se o 
fator 0,7 pela resistência média encontrada por laboratórios idôneos, como apresentado 
na pág. 53 deste trabalho. 
 
2.2.2.3) 
γw = 1,8  Tração paralela às fibras. (Tabela 19, pág. 55) 
 
Coeficiente de minoração (γw) 
2.2.2.4) 
γ
⋅=
w
k,to
modd,to
f
Kf
Resistência de cálculo (fto,d) 
 
8,1
60,66748,0f d,to ⋅=  fto,d = 178,03 daN/cm² 
 
2.3) Verificação da Condição de Segurança 
 
2.3.1) Compressão 
 
σc1,d ≤ fco,d 
 
40,182
h
47712
2
≤ 
182,40.h² ≥ 47712 
 
h ≥ 16,17 cm 
 
 
 
160 
 
 
2.3.2) Tração 
 
σt2,d ≤ fto,d 
 
03,178
h
47712
2
≤ 
178,03.h² ≥ 47712 
 
h ≥ 16,37 cm 
 
 
8) Verificação – Cisalhamento 
 
3.1) Tensão Atuante 
Como a seção transversal da peça é retangular, utilizaremos as fórmulas práticas 
descritas neste trabalho. 
 
( )
h10
h88,540,687
2
3
hb
Q
2
3 redmáx
f ⋅
⋅−
⋅=
⋅
⋅=τ 
 
3.2) Resistências de Cálculo ao Cisalhamento 
 
γ
⋅=
w
k,v
modd,v
f
Kf 
 
 
3.2.1) 
Kmod = Kmod,1 . Kmod,2 . Kmod,3 
 
Determinação do coeficiente de modificação (Kmod) 
Kmod,1 = 0,60  Ação variável principal permanente, e madeira do tipo serrada. 
 
 
161 
 (Tabela 16, pág. 54) 
Kmod,2 = 1,00  Classe de umidade (1), com Ueq = 12%, e madeira do tipo 
 serrada. (Tabela 17, pág. 54) 
Kmod,3 = 0,80  Considerando madeira de 2a categoria. (Tabela 18, pág. 55) 
Kmod = 0,60 . 1,00 . 0,80 = 0,48 
 
3.2.2) 
De acordo com a espécie em estudo – ipê, podemos, através da Tabela 13, pág. 51, 
determinar o valor da resistência característica como sendo: 
 
Resistência característica ao cisalhamento (fv,k) 
f7,0f m,vk,v ⋅= 
fv,k = 0,7 . 13,1 = 9,17 MPa = 91,70 daN/cm² 
 
A determinação da resistência característica pode ser calculada multiplicando-se o 
fator 0,7 pela resistência média encontrada por laboratórios idôneos, como apresentado 
na pág. 53 deste trabalho. 
 
3.2.3) 
γw = 1,8  Cisalhamento paralelo às fibras. (Tabela 19, pág. 55) 
 
Coeficiente de minoração (γw) 
3.2.4) 
γ
⋅=
w
k,v
modd,v
f
Kf
Resistência de cálculo (fv,d) 
 
8,1
70,9148,0f d,v ⋅=  fv,d = 24,45 daN/cm² 
 
3.3) Verificação da Condição de Segurança 
 
τd ≤ fv,d 
 
 
 
162 
( ) 45,24
h10
h88,540,687
2
3
≤
⋅
⋅−
⋅ 
45,24
h20
h64,172,2062
≤
⋅
⋅− 
45,24882,0
h
11,103
≤− 
332,25
h
11,103
≤ 
25,332.h ≥ 103,11 
 
 h ≥ 4,07 cm 
 
 
11.4.2 Verificação no ESTADO LIMITE DE UTILIZAÇÃO 
 
1) Determinação da Carga de Cálculo 
 
1.1) 
 Carga Permanente  Ação permanente 
Considerações das Ações: 
 Carga Acidental  Ação variável 
 
1.2) 
 Carga Acidental  ψ2 = 0,2 (local em que não há predominância de 
Determinação dos coeficientes: 
 pesos de equipamentos fixos) (Tabela 9, pág. 45) 
 
1.3) 
 
 
 
Combinação das Ações: 
1.3.1) Carga Permanente 
 
qd,uti = 2,10 daN/cm  Valor total, considerando a primeira parcela da 
∑ ⋅ψ+∑=
==
n
1j
k,qjj2
m
1i
k,giuti,d FFF
 
 
163 
 combinação (Fgi,k) 
 
1.3.2) Carga Acidental 
 
 
 
Fd,uti = 0,2 . 100 
 
Fd,uti = 20 daN 
 
 
2) Determinação da Flecha Atuante 
 
As flechas ocorrerão devido aos carregamentos permanentes e acidentais. Dessa 
maneira calculamos separadamente: 
 
2.1) Carga Permanente 
 
 
 
Figura 70 – Flecha devido a carga permanente 
 
IE384
Lq5v
z
4
)P(máx ⋅⋅
⋅⋅
= (Conforme fórmula pág. 125) 
 
Onde:q  Carga distribuída 
L  Comprimento da viga 
E  Módulo de elasticidade do material 
Iz  Momento de inércia em torno do eixo z 
 
2.1.1) Valor do Módulo de Elasticidade do Ipê (E) 
∑ ⋅ψ=
=
n
1j
k,qjj2uti,d FF
 
 
164 
De acordo com a espécie em estudo – ipê, podemos, através da Tabela 13, pág. 51, 
determinar o valor do módulo de elasticidade característico como sendo: 
 
E7,0E m,cok,co ⋅= 
Eco,k = 0,7 . 18011 = 12607,70 MPa = 126077 daN/cm² 
 
A determinação do módulo de elasticidade característico pode ser calculado 
multiplicando-se o fator 0,7 pelo módulo de elasticidade médio encontrado por 
laboratórios idôneos, como apresentado na pág. 53 deste trabalho. 
 
2.1.2) 
 
Valor do Momento de Inércia em torno do eixo z (Iz) 
h83,012
h10
12
hbI 3
33
z ⋅=
⋅
=
⋅
= 
 
 
2.1.3) 
 
Valor da Deflexão máxima devido a Carga Permanente 
( )
( ) h
95,8130
h83,0126077384
42010,25
IE384
Lq5v 33
4
z
4
)P(máx =
⋅⋅⋅
⋅⋅
=
⋅⋅
⋅⋅
= 
 
 
2.2) Carga Acidental 
 
 
 
 
Figura 71 – Flecha devido a carga acidental 
 
IE48
LPv
z
3
)A(máx ⋅⋅
⋅
= (Conforme fórmula pág. 125) 
 
Onde: 
 
 
165 
 
P  Carga concentrada 
L  Comprimento da viga 
E  Módulo de elasticidade do material 
Iz  Momento de inércia em torno do eixo z 
 
2.2.1) 
Eco,k = 126077 daN/cm² 
 
Valor do Módulo de Elasticidade do Ipê (E) 
2.2.2) 
 
Valor do Momento de Inércia em torno do eixo z (Iz) 
h83,012
h10
12
hbI 3
33
z ⋅=
⋅
=
⋅
= 
 
2.2.3) 
 
Valor da Deflexão máxima devido a Carga Acidental 
( )
( ) h
00,295
h83,012607748
42020
IE48
LPv 33
3
z
3
)A(máx =
⋅⋅⋅
⋅
=
⋅⋅
⋅
= 
 
 
2.3) Deflexão Máxima Total: 
 
vvv )A(máx)P(máx)T(máx += 
 
h
00,295
h
95,8130
v 33)T(máx += 
 
h
95,8425
v 3)T(máx = 
 
 
 
 
 
 
166 
3) Verificação da Condição Imposta pela NBR 7190: 1997 
 
De acordo com a norma, a deformação limite para as construções correntes nos vãos 
é de: 
 
L / 200 = 420 / 200 = 2,10cm 
 
Assim sendo a deflexão máxima deve ser menor ou igual a 2,10cm. Como 
h
95,8425
v 3)T(máx = , temos que: 
 
10,2
h
95,8425
3
≤ 
 
h ≥ 15,89cm 
 
 
Resposta: 
 
De todos os critérios estabelecidos pela norma, a peça deve ter uma seção 
transversal com base de 10cm e altura maior ou igual a 16,37cm. 
 
Resposta  (10 X 17)cm² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
167 
 
12 FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
É a solicitação em que a seção do elemento estrutural é solicitada 
simultaneamente por esforço normal e momento fletor. 
 
12.1 Flexo–Tração 
 
É a flexão composta com o esforço normal atuante de tração conforme 
ilustra a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 72 – Flexo–Tração 
 
Onde: 
 
N  Esforço de tração 
ez e ey  Excentricidades nos eixos z e y, respectivamente 
 
 
 
 
168 
Considere: 
 
eNM zy ⋅=  Momento fletor em torno do eixo y 
eNM yz ⋅=  Momento fletor em torno do eixo z 
 
12.1.1 Tensão Atuante de Flexo–Tração 
 
Traçando-se o diagrama de tensões das situações 1 e 2 tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 73 – Diagrama de tensões da situação 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 74 – Diagrama de tensões da situação 2 
 
 
169 
A tensão de flexão composta atuante será: 
w
M
S
N
y
at
fc ±+=σ 
A máxima tração será: 
w
M
S
N
y
máx
fc ++=σ 
Na borda comprimida teremos: 
w
M
S
N
y
fc −+=σ 
Observe que dependendo da magnitude das tensões 
S
N e 
w
M
y
 a seção 
poderá ficar totalmente tracionada. 
 
12.1.2 Considerações de Segurança na Flexo–Tração 
 
Conforme os critérios da NBR-7190: 1997 a condição para a máxima tração 
é dada pela mais rigorosa das duas expressões: 
 
a) 1
f
k
ff d,0t
d,My
M
d,0t
d,Mz
d,0t
d,Nt ≤
σ
⋅+
σ
+
σ 
 
b) 1
ff
k
f d,0t
d,My
d,0t
d,Mz
M
d,0t
d,Nt ≤
σ
+
σ
⋅+
σ 
 
Onde: 
 
σNt,d  Tensão atuante do esforço de tração 
σMz,d  Tensão atuante do momento em torno do eixo z 
σMy,d  Tensão atuante do momento em torno do eixo y 
ft0,d  Resistência de cálculo à tração paralela às fibras 
kM  Coeficiente de correção 
 kM = 0,5 (para seção retangular) 
 kM = 1,0 (para demais seções) 
 
 
 
 
170 
As situações “a” e “b” apresentadas acima, devem ser verificadas quando a 
carga normal atua na seção, gerando tensões de momento em torno do eixo “z” e 
“y” simultaneamente. A situação “a” ocorrerá quando a verificação da tensão de 
momento estiver atuando em torno do eixo “z”, e a situação “b” quando a 
verificação da tensão de momento estiver atuando em torno do eixo “y”. 
 
Caso ocorra somente a atuação de um momento na seção (casos 1 e 2 
descritos anteriormente), devemos considerar, na expressão, a outra parcela nula: 
 
Situação 1  1
ff d,0t
d,My
d,0t
d,Nt ≤
σ
+
σ 
Situação 2  1
ff d,0t
d,Mz
d,0t
d,Nt ≤
σ
+
σ 
 
12.1.3 Exemplo de Dimensionamento à Flexo-Tração 
 
Seja um pilar de ipê, bi-rotulado suportando uma carga excêntrica como mostrado 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 75 – Exemplo flexo-tração 
 
 
171 
 
 
Valores da carga excêntrica N: 
 
• Carga Permanente = 2000 daN 
• Carga de Vento = 500 daN 
 
Verifique a segurança da peça. 
 
Solução: 
 
A verificação da peça, como está submetida a esforço de flexo-tração pode ser 
realizada analisando somente a condição apresentada no item 12.1.2. 
 
Situação de Análise  Situação 1 
 
Condição de Segurança: 1
ff d,0t
d,My
d,0t
d,Nt ≤
σ
+
σ 
 
1) Determinação dos Valores de Cálculo 
 
1.1) Esforço de Cálculo de Tração 
 
1.1.1) 
 Carga Permanente  Ação permanente de grande variabilidade 
Considerações das Ações: 
 Vento  Ação variável principal 
 
1.1.2) 
 Carga Permanente  γg = 1,4 (Tabela 6, pág. 44) 
Determinação dos coeficientes: 
 Vento  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 
 
 
172 
1.1.3) 
 
 
 
Valor da carga de cálculo: 
( )050075,04,120004,1Nd +⋅⋅+⋅= 
Nd = 2800 + 525 
 
Nd = 3325 daN 
 
Obs:
1.2) Esforço de Cálculo do Momento 
 O coeficiente 0,75 é multiplicado na ação do vento para a sua transformação 
em ação de longa duração, como explicado neste trabalho. 
 
 
1.2.1) Valores característicos dos Momentos 
 ez = 5cm 
 Carga Permanente  Mp = 2000 . 5 = 10000 daN.cm 
 Vento  Mv = 500 . 5 = 2500 daN.cm 
 
1.2.2) 
 Carga Permanente  Ação permanente de grande variabilidade 
Considerações das Ações: 
 Vento  Ação variável principal 
 
1.2.3) 
 Carga Permanente  γg = 1,4 (Tabela 6, pág. 44) 
Determinação dos coeficientes: 
 Vento  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid NNNN
 
 
173 
 
1.2.4) 
 
 
 
Valor da carga de cálculo: 
( )0250075,04,1100004,1Md +⋅⋅+⋅= 
Md = 14000 + 2625 
 
Md = 16625 daN.cm 
 
Obs:
2) Determinação da resistência de cálculo (fto,d) 
 O coeficiente 0,75 é multiplicado na ação do vento para a sua transformação 
em ação de longa duração, como explicado neste trabalho. 
 
 
γ
⋅=
w
k,to
modd,to
f
Kf2.1) 
Kmod = Kmod,1 . Kmod,2 . Kmod,3 
Kmod,1 = 0,60  Ação variável principal permanente, e madeira do tipo serrada. 
 (Tabela 16, pág. 54) 
Kmod,2 = 1,00  Classe de umidade (1), com Ueq = 12%, e madeira do tipo 
 serrada. (Tabela 17, pág. 54) 
Determinação do coeficiente de modificação (Kmod) 








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid MMMM
 
 
174 
Kmod,3 = 0,80  Considerando madeira de 2a categoria. (Tabela 18, pág. 55) 
Kmod = 0,60 . 1,00 . 0,80 = 0,48 
2.2) 
2.3) 
Resistência característica à tração paralela às fibras (fto,k) 
De acordo com a espécie em estudo – ipê, podemos, através da Tabela 13, pág. 51, 
determinar o valor da resistência característica como sendo: 
 
f7,0f m,tok,to ⋅= 
fto,k = 0,7 . 96,8 = 67,76 MPa = 677,60 daN/cm² 
 
A determinação da resistência característica pode ser calculada multiplicando-se o 
fator 0,7 pela resistência média encontrada por laboratórios idôneos, como apresentado 
na pág. 53 deste trabalho. 
 
2.4) 
2.5) 
Coeficiente de minoração (γw) 
γw = 1,8  Tração paralela às fibras. (Tabela 19, pág. 55) 
 
2.6) 
γ
⋅=
w
k,to
modd,to
f
Kf
Resistência de cálculo (fto,d) 
 
8,1
60,66748,0f d,to ⋅=  fto,d = 178,03 daN/cm² 
 
3) Tensões Atuantes 
 
3.1) Tensão Normal 
 
1510
3325
S
Nd
Nd ⋅
==σ 
 
 
σNd = 22,17 daN/cm 
 
 
175 
3.2) Tensão de Flexão 
3.3) 
5
12
1015
16625y
I
M
3y
d
Md ⋅







 ⋅
=⋅=σ 
 
 
σMd = 66,50 daN/cm² 
 
 
4) Verificação da Condição de Segurança 
1
ff d,0t
d,My
d,0t
d,Nt ≤
σ
+
σ 
 
1
03,178
50,66
03,178
17,22
≤+  0,50 ≤ 1 OK!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
176 
12.2 Flexo–Compressão 
Na flexo-compressão o esforço normal produz tensão de compressão que é 
acrescida pela parcela de compressão provocada pelo momento fletor, 
produzindo situações mais desfavoráveis aos problemas de flambagem para 
peças esbeltas (intermediárias ou longas). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 76 –Flexo-compressão 
 
Onde: 
 
N  Esforço de compressão 
ez e ey  Excentricidades nos eixos z e y, respectivamente 
 
Considere: 
 
eNM zy ⋅=  Momento fletor em torno do eixo y 
eNM yz ⋅=  Momento fletor em torno do eixo z 
12.2.1 Tensão Atuante de Flexo–Compressão 
 
 
 
177 
Traçando-se o diagrama de tensões das situações 1 e 2 tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 77
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 78 – Diagrama de tensões da situação 2 
 
A tensão de flexão composta atuante será: 
 – Diagrama de tensões da situação 1 
w
M
S
N
y
at
fc ±−=σ 
A máxima compressão será: 
w
M
S
N
y
máx
fc −−=σ 
 
 
178 
Na borda comprimida teremos: 
w
M
S
N
y
fc +−=σ 
Observe que dependendo da magnitude das tensões 
S
N e 
w
M
y
 a seção 
poderá ficar totalmente comprimida. 
 
12.2.2 Considerações de Segurança na Flexo–Compressão 
 
No caso da flexo-compressão deve-se verificar duas condições de 
segurança à nível de estado limite último, sendo uma a nível de resistência e 
outra a nível de estabilidade à flambagem para peças com índice de esbeltez 
maior que 40 (λ ≥ 40). Além destas duas condições deve-se verificar a peça à 
nível de estado limite de utilização. 
 
12.2.2.1 Condição de Resistência – ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
 
Conforme os critérios da NBR-7190: 1997 a condição para a máxima 
compressão é dada pela mais rigorosa das duas expressões: 
 
a) 1
f
k
f d,0c
d,My
M
d,0c
d,Mz
2
f d,0c
d,Nt ≤
σ
⋅+
σ
+






 σ
 
 
b) 1
ff
k
d,0c
d,My
d,0c
d,Mz
M
2
f d,0c
d,Nt ≤
σ
+
σ
⋅+






 σ
 
 
Onde: 
 
σNt,d  Tensão atuante do esforço de compressão 
σMz,d  Tensão atuante do momento em torno do eixo z 
σMy,d  Tensão atuante do momento em torno do eixo y 
fc0,d  Resistência de cálculo à compressão paralela às fibras 
kM  Coeficiente de correção 
 
 
179 
 kM = 0,5 (para seção retangular) 
 kM = 1,0 (para demais seções) 
 
As situações “a” e “b” apresentadas acima, devem ser verificadas quando a 
carga normal atua na seção, gerando tensões de momento em torno do eixo “z” e 
“y” simultaneamente. A situação “a” ocorrerá quando a verificação da tensão de 
momento estiver atuando em torno do eixo “z”, e a situação “b” quando a 
verificação da tensão de momento estiver atuando em torno do eixo “y”. 
 
Caso ocorra somente a atuação de um momento na seção (casos 1 e 2 
descritos anteriormente), devemos considerar, na expressão, a outra parcela nula: 
 
Situação 1  1
f d,0c
d,My
2
f d,0c
d,Nt ≤
σ
+






 σ
 
Situação 2  1
f d,0c
d,Mz
2
f d,0c
d,Nt ≤+
σ
+






 σ
 
 
12.2.2.2 Condição de Estabilidade – ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
 
a) Peças Intermediárias (40 < λ ≤ 80)  A verificação é feita conforme o 
exposto no capítulo 7, item 7.4 deste trabalho, com a seguinte expressão: 
 
1
ff d,co
Md
d,co
Nd ≤σ+σ 
 
Sendo que no cálculo de “Md” deve-se calcular a excentricidade e1 
considerando 
30
h
N
Me
d
d1
i ≥= , como explicado no item 7.4.1, sendo M1d = My ou Mz, 
dependendo do plano em que se está estudando. 
 
b) Peças Longas (80 < λ ≤ 140)  A verificação é feita conforme o exposto 
no capítulo 7, item 7.5 deste trabalho, com a seguinte expressão: 
 
 
180 
 
1
ff d,co
Md
d,co
Nd ≤σ+σ 
 
Considerando-se os mesmos critérios para o cálculo de e1, como exposto 
anteriormente. 
 
12.2.2.3 Condição de Segurança – ESTADO LIMITE DE UTILIZAÇÃO 
 
Deve-se levar em consideração os mesmos critérios apresentados no 
estado limite de utilização de peças submetidas a esforços de flexão simples, 
apresentados no capítulo 11 deste trabalho. 
 
12.2.3 Exemplo de Dimensionamento à Flexo-Compressão 
 
Seja um pilar de ipê, bi-rotulado suportando uma carga excêntrica como mostrado 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 79 – Exemplo flexo-compressão 
 
Valores da carga excêntrica N: 
 
 
181 
 
• Carga Permanente = 2000 daN 
• Carga de Vento = 500 daN 
 
Verifique a segurança da peça. 
 
Solução: 
 
12.2.3.1 Verificação no ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
 
12.2.3.1.1 Verificação da Resistência 
 
1) Determinação dos Valores de Cálculo 
 
1.1) Esforço de Cálculo de Compressão 
 
1.1.1) 
 Carga Permanente  Ação permanente de grande variabilidade 
Considerações das Ações: 
 Vento  Ação variável principal 
 
1.1.2) 
 Carga Permanente  γg = 1,4 (Tabela 6, pág. 44) 
Determinação dos coeficientes: 
 Vento  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 
1.1.3) 
 
 
 
Valor da carga de cálculo: 
( )050075,04,120004,1Nd +⋅⋅+⋅= 








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid NNNN
 
 
182 
Nd = 2800 + 525 
 
 
Nd = 3325 daN 
 
Obs:
1.2) Esforço de Cálculo do Momento 
 O coeficiente 0,75 é multiplicado na ação do vento para a sua transformação 
em ação de longa duração, como explicado neste trabalho. 
 
 
1.2.1) Valores característicos dos Momentos 
 ez = 7,5cm 
 Carga Permanente  Mp = 2000 . 7,5 = 15000 daN.cm 
 Vento  Mv = 500 . 7,5 = 3750 daN.cm1.2.2) 
 Carga Permanente  Ação permanente de grande variabilidade 
Considerações das Ações: 
 Vento  Ação variável principal 
 
1.2.3) 
 Carga Permanente  γg = 1,4 (Tabela 6, pág. 44) 
Determinação dos coeficientes: 
 Vento  γq = 1,4 (Tabela 8, pág. 45) 
 
1.2.4) 
 
 
Valor da carga de cálculo: 
 








∑ ⋅ψ+γ+⋅∑ γ=
==
n
2j
k,qjj0k,1qqk,gi
m
1i
gid MMMM
 
 
183 
( )0375075,04,1150004,1Md +⋅⋅+⋅= 
Md = 21000 + 3937,50 
 
Md = 24937,50 daN.cm 
 
Obs:
2) Determinação da resistência de cálculo à compressão (fco,d) 
 O coeficiente 0,75 é multiplicado na ação do vento para a sua transformação 
em ação de longa duração, como explicado neste trabalho. 
 
 
 
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf 
 
2.1) 
Kmod = Kmod,1 . Kmod,2 . Kmod,3 
Kmod,1 = 0,60  Ação variável principal permanente, e madeira do tipo serrada. 
 (Tabela 16, pág. 54) 
Kmod,2 = 1,00  Classe de umidade (1), com Ueq = 12%, e madeira do tipo 
 serrada. (Tabela 17, pág. 54) 
Kmod,3 = 0,80  Considerando madeira de 2a categoria. (Tabela 18, pág. 55) 
 
Kmod = 0,60 . 1,00 . 0,80 = 0,48 
Determinação do coeficiente de modificação (Kmod) 
 
 
 
184 
2.2) 
De acordo com a espécie em estudo – ipê amarelo, podemos, através da Tabela 13, pág. 51, 
determinar o valor da resistência característica como sendo: 
 
fco,k = 0,7 . fco,m 
fco,k = 0,7 . 76 = 53,20 MPa = 532 daN/cm² 
 
A determinação da resistência característica pode ser calculada multiplicando-se o fator 0,7 
pela resistência média encontrada por laboratórios idôneos, como apresentado na pág. 53 deste 
trabalho. 
 
Resistência característica à compressão paralela às fibras (fco,k) 
2.3) 
γw = 1,4  Compressão paralela às fibras. (Tabela 19, pág. 55) 
 
Coeficiente de minoração (γw) 
2.4) 
γ
⋅=
w
k,co
modd,co
f
Kf
Resistência de cálculo (fco,d) 
 
4,1
53248,0f d,co ⋅=  fco,d = 182,40 daN/cm² 
3) Tensões Atuantes 
 
3.1) Tensão Normal 
 
1510
3325
S
Nd
Nd ⋅
==σ 
 
 
 
185 
 
σNd = 22,17 daN/cm² 
 
 
3.2) Tensão de Flexão 
 
5
12
1015
50,24937y
I
M
3y
d
Md ⋅







 ⋅
=⋅=σ 
 
σMd = 99,75 daN/cm² 
 
 
4) Verificação da Condição de Segurança 
 
1
f d,0c
d,My
2
f d,0c
d,Nt ≤
σ
+






 σ
 
1
40,182
75,99
40,182
17,22 2
≤+




  0,56 ≤ 1 OK!! 
 
 
12.2.3.1.2 Verificação da Estabilidade 
 
7) Determinação da esbeltez da peça 
 
( )
=
⋅
=
⋅
=
12
1015
12
hbI
33
y 1250 cm
4 (Momento de Inércia em torno do eixo y) 
=
⋅
==
1015
1250
S
I
i
y
y 2,89 cm (Raio de Giração em torno do eixo y) 
 
 
186 
13,76
89,2
220
i
L
mín
o ===λ 
 
 Como 40 < λ ≤ 80  Peça intermediária 
 
 
8) Determinação do Valor da Carga de Cálculo 
 
Nd = 3325 daN  Determinado anteriormente na questão 
 
 
M1d = 24937,50 daN.cm  Determinado anteriormente na questão 
 
 
9) Determinação da resistência de cálculo à compressão (fco,d) 
 
fco,d = 182,40 daN/cm²  Determinado anteriormente na questão 
 
 
10) Determinação da tensão atuante devido à força normal (σNd) 
 
S
Fd
Nd =σ 
 
 
187 
 
150
3325
Nd =σ  σNd = 22,17 daN/cm² 
 
11) Determinação da tensão atuante devido o momento fletor (σMd) 
 
y
I
M
mín
d
Md ⋅=σ 
5.1) Determinação do momento Md 
 
5.1.6) 
EKE m,comodef,co ⋅=
Determinação do módulo de elasticidade efetivo 
 
 
Kmod = 0,48  Determinado na questão 
Eco,m = 18.011 MPa = 180.110 daN/cm²  Tabela 13, pág. 51 
 
Eco,ef = 0,48 . 180110 = 86452,80 daN/cm² 
 
5.1.7) 
L
IE
F 2
o
mínef,co
2
E
⋅⋅π
=
Determinação da carga crítica de Euler 
 
( )220
1125080,86452
F 2
2
E
⋅⋅π= = 198328,88 daN 
 
 
188 
 
5.1.8) 
e1 = ei + ea 
 
Determinação da excentricidade e1 
===
3325
50,24937
N
M
d
d1
ie 7,5cm 
300
200
300
Lo
a ==e = 0,67cm 
 
e1 = 7,5 + 0,67 = 8,17cm 
 
5.1.9) 
 
Determinação da excentricidade de cálculo 






−
⋅=
NF
F
dE
E
1d ee 
 






−
⋅=
332588,198328
88,19832817,8de = 8,31cm 
5.1.10) 
 
Determinação do momento de cálculo atuante 
eddd NM ⋅= 
 
Md = 3325 . 8,31  Md = 27630,75 daN.cm 
 
 
189 
 
5.3) Determinação do valor de y 
 
y = 5cm  Distância entre o eixo y até a extremidade da peça 
 
5.3) Tensão atuante devido o momento fletor 
 
y
I
M
mín
d
Md ⋅=σ 
 
5
1250
75,27630
Md ⋅=σ  σMd = 110,52 daN/cm² 
 
12) Verificação da condição de segurança 
 
1
ff d,co
Md
d,co
Nd ≤σ+σ  1
40,182
52,110
40,182
17,22
≤+  0,73 ≤ 1 OK! 
 
 
12.2.3.2 Verificação no ESTADO LIMITE DE UTILIZAÇÃO 
 
1) Determinação da Carga de Cálculo 
 
1.1) 
 Carga Permanente  Ação permanente de grande variabilidade 
Considerações das Ações: 
 Vento  Ação variável principal 
 
 
190 
 
 
1.2) 
 Carga Acidental  ψ2 = 0,2 (local em que não há predominância de 
Determinação dos coeficientes: 
 pesos de equipamentos fixos) (Tabela 9, pág. 45) 
 
1.3) 
 
 
 
 
Combinação das Ações: 
1.3.1) Carga Permanente 
 
Fd,uti = 2000 daN  Valor total, considerando a primeira parcela da 
 combinação (Fgi,k) 
 
 
1.3.2) Carga Acidental 
 
 
 
Fd,uti = 0,2 . 0,75 . 500 
 
Fd,uti = 75 daN 
 
Obs:
2) Determinação da Flecha Atuante 
 O coeficiente 0,75 é multiplicado na ação do vento para a sua 
transformação em ação de longa duração, como explicado neste trabalho. 
 
 
As flechas ocorrerão devido aos carregamentos permanentes e acidentais. Dessa 
maneira calculamos separadamente: 
 
 
∑ ⋅ψ+∑=
==
n
1j
k,qjj2
m
1i
k,giuti,d FFF
∑ ⋅ψ=
=
n
1j
k,qjj2uti,d FF
 
 
191 
 
 
2.1) Carga Permanente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 80 – Flecha devido a carga permanente 
 
IE39
LMv
y
2
)P(máx
⋅⋅⋅
⋅
= (Flecha máxima calculada pelas teorias elásticas) 
 
Obs:
M  Momento fletor aplicado 
 Não será levado em consideração o efeito da força normal à nível de 
deflexão. 
 
Onde: 
 
L  Comprimento da peça 
E  Módulo de elasticidade do material 
Iy  Momento de inércia em torno do eixo y 
 
2.1.1) 
De acordo com a espécie em estudo – ipê, podemos, através da Tabela 13, pág. 51, 
determinar o valor do módulo de elasticidade característico como sendo: 
Valor do Módulo de Elasticidade do Ipê (E) 
 
 
192 
E7,0E m,cok,co ⋅= 
Eco,k = 0,7 . 18011 = 12607,70 MPa = 126077 daN/cm² 
A determinação do módulo de elasticidade característico pode ser calculado 
multiplicando-se o fator 0,7 pelo módulo de elasticidade médio encontrado por 
laboratórios idôneos, como apresentado na pág. 53 deste trabalho. 
 
2.1.2) 
 
Valor do Momento de Inércia em torno do eixo y (Iy) 
( )
cm125012
1015
12
hbI 4
33
y =
⋅
=
⋅
= 
 
2.1.3) 
 
Valor da Deflexão máxima devido a Carga Permanente 
( )
125012607739
22015000
IE39
LMv
2
y
2
)P(máx
⋅⋅⋅
⋅
=
⋅⋅⋅
⋅
= 
 
vmáx(P) = 0,30 cm 
 
 
2.2) Carga AcidentalFigura 81 – Flecha devido a carga acidental 
 
 
193 
 
IE39
LMv
y
2
)A(máx
⋅⋅⋅
⋅
= (Flecha máxima calculada pelas teorias elásticas) 
 
Obs:
M  Momento fletor aplicado 
 Não será levado em consideração o efeito da força normal à nível de 
deflexão. 
 
Onde: 
 
L  Comprimento da peça 
E  Módulo de elasticidade do material 
Iy  Momento de inércia em torno do eixo y 
 
2.2.1) 
Eco,k = 126077 daN/cm² 
 
Valor do Módulo de Elasticidade do Ipê (E) 
2.2.2) 
 
Valor do Momento de Inércia em torno do eixo y (Iy) 
( )
cm125012
1015
12
hbI 4
33
y =
⋅
=
⋅
= 
 
2.2.3) 
 
Valor da Deflexão máxima devido a Carga Acidental 
( )
125012607739
22050,562
IE39
LMv
2
y
2
)A(máx
⋅⋅⋅
⋅
=
⋅⋅⋅
⋅
= 
 
vmáx(A) = 0,01 cm 
 
 
2.3) Deflexão Máxima Total: 
 
vvv )A(máx)P(máx)T(máx += 
 
 
194 
01,030,0v )T(máx += 
 
vmáx(T) = 0,31 cm 
 
 
3) Verificação da Condição Imposta pela NBR 7190: 1997 
 
De acordo com a norma, a deformação limite para as construções correntes nos vãos 
é de: 
 
L / 200 = 220 / 200 = 1,10cm 
 
Assim sendo a deflexão máxima deve ser menor ou igual a 1,10cm. Como vmáx(T) = 
0,31, temos: 
 
 
0,31 ≤ 1,10 OK!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
195 
 
13 FLEXÃO OBLÍQUA 
 
 
É a situação onde atuam momentos simultâneos nos dois eixos principais 
da seção, como mostra a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 82 – Seção atuando flexão oblíqua 
 
Em estruturas de madeira esta solicitação ocorre, normalmente nas terças 
de telhados como ilustra a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
Figura 83 – Terça de telhado 
 
Onde: 
 
q  Carga uniformemente distribuída ao longo da terça. 
Mz  Momento em torno do eixo z, provocado pela componente qy 
My  Momento em torno do eixo y, provocado pela componente qz 
qy e qz  Decomposição da carga nos eixos y e z, respectivamente 
 
 
 
196 
13.1 Tensão Atuante 
Esta tensão deve ser calculada nas bordas, nos pontos onde ocorrem as 
máximas trações e máximas compressões como mostrado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 84 – Tensão atuante na flexão oblíqua 
 
Pela figura 84, observa-se que para esta situação tem-se: 
 
• Máxima compressão  
w
M
w
M
z
z
y
y −−=σ− (no ponto B) 
• Máxima tração  
w
M
w
M
z
z
y
y ++=σ+ (no ponto C) 
 
Onde: 
 
wy  Momento resistente da seção em torno do eixo y 
wz  Momento resistente da seção em torno do eixo z 
 
 
13.2 Condições de Segurança 
 
13.2.1 No Estado Limite Último 
 
 
197 
A norma brasileira especifica neste caso a verificação pela mais rigorosa 
das duas condições seguintes, tanto em relação às tensões de tração quanto às 
de compressão paralela: 
 
1
f
k
f wd
d,My
M
wd
d,Mz ≤
σ
⋅+
σ 
 
1
ff
k
wd
d,My
wd
d,Mz
M ≤
σ
+
σ
⋅ 
 
Onde: 
 
σMz,d e σMy,d  Tensões máximas devidas às componentes de flexão 
atuantes segundo as direções principais. 
fwd  Respectiva resistência de cálculo, de tração ou de compressão 
 conforme a borda verificada. 
kM  Coeficiente de correção 
 kM = 0,5 (seção retangular) 
 kM = 1,0 (demais seções) 
 
13.2.2 No Estado Limite de Utilização 
 
Neste estado deve-se compor os carregamentos com a seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
Verificando em cada plano se as máximas deflexões (vz e vy) estão dentro 
dos limites impostos pela norma e citados no capítulo 11. 
 
 
∑ ⋅ψ+∑=
==
n
1j
k,qjj2
m
1i
k,giuti,d FFF
 
 
198 
 
14 CONCLUSÃO 
 
 
 
Do que foi exposto neste trabalho, conclui-se que a nova metodologia de 
dimensionamento das estruturas de madeira, usando critérios de combinações de 
carregamento para os estados limites de resistência e utilização, ficaram mais 
rigorosos em relação aos efeitos probabilísticos de ocorrência das ações, além de 
melhor aproveitar as características mecânicas do material. 
 
Fato este que levou a um dimensionamento mais criterioso destas 
estruturas, pois ficou-se com liberdade para inserir coeficientes de segurança 
tanto nas ações como no material. Os coeficientes que se referem ao material 
levam em consideração as propriedades da peça em função da sua qualidade, 
que vai desde sua classificação mecânica até o seu teor de umidade. 
 
Comparando-se com as normas antigas, um fato, porém, não mudou, o 
critério de verificação da resistência sempre relaciona a tensão atuante com a 
admissível. No entanto estas tensões estão devidamente adequadas às 
condições reais de uso da estrutura. Observou-se uma mudança radical na 
metodologia de cálculo, aparentemente de um modo mais complexo, porém com 
uma idéia global de unificar os métodos de dimensionamento das estruturas, quer 
sejam de madeira, concreto e aço. 
 
Sabendo-se da necessidade dos estudantes e profissionais terem de se 
adequar às novas metodologias de cálculo impostas pela NBR 7190: 1997, e a 
escassez de recursos bibliográficos sobre o assunto, procurou-se desenvolver 
este trabalho, esperando que ele sirva de subsídio teórico a todos aqueles que 
usam a madeira como elemento estrutural. 
 
 
	1 INTRODUÇÃO
	2 CARACTERÍSTICAS BOTÂNICAS DA MADEIRA
	Diagrama da classificação botânica dos vegetais superiores
	Gimnosperma
	3 CARACTERÍSTICAS QUÍMICAS DA MADEIRA
	4 CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DA MADEIRA
	Figura 18 – Determinação empírica da densidade aparente
	5 CONSIDERAÇÕES DE ESTADOS LIMITES E CARGAS 
	 PARA PROJETO DE ESTRUTURAS DE MADEIRA
	6 PROPRIEDADES DA MADEIRA 
	 CONSIDERADAS NO DIMENSIONAMENTO
	7 COMPRESSÃO PARALELA ÀS FIBRAS
	8 COMPRESSÃO NORMAL ÀS FIBRAS
	9 TRAÇÃO PARALELA ÀS FIBRAS
	Considerações Iniciais
	10 CISALHAMENTO
	11 FLEXÃO SIMPLES
	12 FLEXÃO COMPOSTA
	Valores característicos dos Momentos
	Valores característicos dos Momentos
	13 FLEXÃO OBLÍQUA
	14 CONCLUSÃO