Lista_de_Exercicios_Materiais_Magnéticos

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Sétima Lista de Eletromagnetismo
Materiais Magnéticos
Setembro de 2015
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1. Um longo cabo coaxial é constituído por dois condutores concêntricos cujas dimensões estão especifi-
cadas na figura abaixo. Os dois condutores são percorridos, em sentidos opostos, por correntes i, de
mesma intensidade. Nos dois condutores a densidade de corrente é uniforme. (a) Calcule o módulo
do campo
~H num ponto do condutor que interno, que dista r do seu centro (r < a). (b) Calcule o
módulo do campo
~H entre os dois condutores (a < r < b). (c) Calcule o módulo do campo ~H dentro
do condutor externo (b < r < c). (d) Calcule o módulo do campo ~H para um ponto fora do cabo
(r > c).
Resposta : (a)
∣∣∣ ~H∣∣∣ = ir2pia2 ; (b) ∣∣∣ ~H∣∣∣ = i2pir ; (c) ∣∣∣ ~H∣∣∣ = i2pir ( c2−r2c2−b2) e (d) ∣∣∣ ~H∣∣∣ = zero
2. Uma bobina toroidal é constituída por N espiras de fio enroladas em torno de um toro, como mostra
a figura (a) abaixo é percorrida por uma corrente I. Admitindo que as espiras sejam muito cerradas
(veja o corte do toróide na figura (b)), utilize a Lei de Ampère para calcular o módulo do campo
~H
no interior da bobina, a uma distância r do seu centro.
Resposta :
∣∣∣ ~H∣∣∣ = IN2pir
3. A figura abaixo mostra um longo cilindro condutor oco, de raios a e b, que transporta uma corrente i
uniformemente distribuída ao longo da sua seção reta. (a) Mostre que, para pontos dentro da massa
do condutor, isto é, para a < r < b, o módulo do campo ~H é dado por:
∣∣∣ ~H∣∣∣ = I
2pir
(
r2 − a2
b2 − a2
)
(b) Mostre que para r < a o campo ~H é nulo.
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4. Um solenóide de comprimento l, (l muito longo), é constituído por N espiras e é percorrido por uma
corrente I. Admita que todo o campo fique confinado no interior do solenóide. Determine o módulo
do vetor
~H.
Resposta :
∣∣∣ ~H∣∣∣ = INl
5. A figura mostra a seção transversal de um longo cabo coaxial com material magnético homogêneo
e uniforme de constante de permeabilidade magnética µ1 distribuído no cabo interno de raio a. O
cabo externo (b < r < c) possui uma permeabilidade magnética µ2. O cabo interno transporta uma
corrente I uniformemente distribuída. Determine os vetores ~H, ~B e ~M para as regiões (a) r < a;
(b) a < r < b; (c) b < r < c e (d) r > c.
Resposta :
(a)
~H = Ir
2pia2
aˆφ ; ~B =
µ1Ir
2pia2
aˆφ ; ~M =
(
µ1
µ0
− 1
)
Ir
2pia2
aˆφ
(b)
~H = I
2pir
aˆφ ; ~B =
µ0I
2pir
aˆφ ; ~M = 0
(c)
~H = I
2pir
aˆφ ; ~B =
µ2I
2pir
aˆφ ; ~M =
(
µ2
µ0
− 1
)
I
2pir
aˆφ
(d)
~H = I
2pir
aˆφ ; ~B =
µ0I
2pir
aˆφ ; ~M = 0
6. Refaça o problema anterior considerando que também existe uma corrente I uniformemente distri-
buída em b < r < c, mas em sentido oposto ao do cabo interno.
Resposta :
(a)
~H = Ir
2pia2
aˆφ ; ~B =
µ1Ir
2pia2
aˆφ ; ~M =
(
µ1
µ0
− 1
)
Ir
2pia2
aˆφ
(b)
~H = I
2pir
aˆφ ; ~B =
µ0I
2pir
aˆφ ; ~M = 0
(c)
~H = I
2pir
(
c2−r2
c2−b2
)
aˆφ ; ~B =
µ2I
2pir
(
c2−r2
c2−b2
)
aˆφ ; ~M =
(
µ2
µ0
− 1
)
I
2pir
(
c2−r2
c2−b2
)
aˆφ
(d)
~H = 0; ~B = 0 ; ~M = 0
2
7. O toroide mostrado na figura do exercício 2 é constituído de N espeiras de corrente I e raio médio
R, e está preenchido com um material magnético homogêneo e uniforme por todo o seu volume.
Considere que uma magnetização M esteja presente. (a) Determine os módulos dos campos H e B
dentro do toroide. (b) Qual classe de material magnético, se contido no toride, (1) aumentaria e (2)
diminuira o campo nagético produzido pela corrente I?
Resposta :
(a)
∣∣∣ ~H∣∣∣ = NI2piR e ∣∣∣ ~B∣∣∣ = µ0 ( NI2piR +M)
(b) (1) Ferromagnético ou paramagnético e (2) diamagnético.
8. Com os resultados do exercício anterior e considerando que R=20 cm,
∣∣∣ ~B∣∣∣=1,8 T, I= 5 A e N=4000,
determine (a) o valor de M , (b) os valores de µr e χM e (c) Qual a classe de material magnético
utilizado?
Resposta :
(a) M ∼= 1, 42× 106 A/m
(b) χM = 89 e µr = 90
(c) Ferromagnético.
9. Um cubo de aresta a é constituído por um material magnetizado com magnetização dada por:
~M =M0
(
−y
a
iˆ+
x
a
jˆ
)
sendo M0 uma constante. Determine o vetor densidade de corrente de magnetização no material.
Resposta :
~JM =
2M0
a
kˆ
10. Um longo cilindro circular de raio R tem uma magnetização ~M =M0r
2aˆφ, sendo M0 uma constante
e r é a distância a partir do eixo. Assuma que para r > R a magnetização seja nula. Determine (a)
o vetor densidade de corrente de magnetização; (b) o campo
~H e (c) o campo magnético ~B.
Resposta :
(a)
~JM = 3M0r kˆ
(b)
~H = 0
(c)
~B = µ0M0r
2aˆφ.
11. Um cilindro infinitamente longo de raio R tem uma magnetização dada por:
−→
M =M0rk̂
sendo M0 uma constante. Não há corrente livre em lugara algum. Encontre o campo magnético
dentro e fora do cilindro.
Resposta : Região interna:
−→
B = µ0M0rk̂. Região externa:
−→
B = 0
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12. Um longo cilindro de raio R tem uma magnetização
−→
M = M0r
2 aˆφ, sendo M0 uma constante.
Determine: (a) O vetor densidade de corrente de magnetização
~Jm e (b) O vetor campo magnético
na região interna e externa do cilindro.
Resposta : (a)
−→
J M = 3M0r kˆ. (b) Região interna:
−→
B = µ0M0r
2 aˆφ e Região externa:
−→
B = 0
13. A figura ao lado mostra a seção transversal de um longo cabo coaxial. O cabo interno possui
raio a e permeabilidade magnética relativa µr1. Um segundo cabo de raio interno b e externo c
possui permeabilidade magnética relativa µr2. Um terceiro cabo de raio interno c e externo d possui
permeabilidade magnética relativa µr3. Cada cabo é percorrido por correntes, cujos sentidos estão
representados na figura. Admita que as densidades sejam uniformes. Determine os vetores
~H, ~B, e
~M para as regiões: (a) r < a; (b) a < r < b; (c) b < r < c; (d) c < r < d e (e) r > d
Resposta : (a)
−→
H = rI
2pia2
aˆφ−→
B = µ0µr1rI
2pia2
aˆφ−→
M = (µr1−1)rI
2pia2
aˆφ
(b)
−→
H = I
2pir
aˆφ−→
B = µ0I
2pir
aˆφ−→
M = 0
(c)
−→
H = I
2pir
[
1−
(
r2−b2
c2−b2
)]
aˆφ
−→
B = µ0µr2I
2pir
[
1−
(
r2−b2
c2−b2
)]
aˆφ
−→
M = (µr2−1)I
2pir
[
1−
(
r2−b2
c2−b2
)]
aˆφ
(d)
−→
H = I
pir
(
r2−c2
d2−c2
)
aˆφ
−→
B = µ0µr3I
pir
(
r2−c2
d2−c2
)
aˆφ
−→
M = (µr3−1)I
pir
(
r2−c2
d2−c2
)
aˆφ
(e)
−→
H = I
pir
aˆφ−→
B = µ0I
pir
aˆφ−→
M = 0
14. Um longo cilindro magnético de raio a possui uma permeabilidade magnética relativa dada por µr e
uma densidade de corrente livre não-uniforme dada por:
−→
J = J0e
−2rkˆ
sendo J0 uma constante com dimensões apropriadas. Determine os vetores ~H, ~B, e ~M dentro e fora
do cilindro.
Resposta : Região interna:
−→
H = J0
4r
(1− 2re−2r − e−2r) âφ; −→B = µ0µr−→H e −→M = (µr − 1)−→H . Região
externa:
~H = J0
4r
(1− 2ae−2a − e−2a) aˆφ; −→B = µ0−→H e −→M = 0.
15. Considere o vetor de magnetização em coordenadas esféricas:
~M =
2M1 cos (θ)
3r3
aˆr +
M2sen(θ)
3r3
aˆθ
sendo M1 e M2 constantes. Determine o vetor densidade de corrente de magnetização.
Resposta :
−→
J M =
2sen(θ)
3r4
(M1 −M2) aˆφ
4