michelson morley

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A não validade das Transformações de Galileu
para a luz.
04/09/2013
1 Eletromagnetismo e Transformações de Galileu
O eletromagnetismo e as transformações de Galileu são compatíveis?
As transformações de Galileu entre um referencial  e outro 0 movendo-se
com velocidade  ao longo do eixo  são dadas por
 = 0 +  0
 = 0
 = 0
 = 0
 (1)
Isto significa que a relação entre as velocidades medidas em relação aos dois
referenciais é dada por
v = v0 +  ˆ (2)
No eletromagnetismo, no século XIX, considerava-se que a luz se propaga no
éter, substância de densidade nula e transparência perfeita que se estendia em
todo o espaço sideral, com velocidade
 = 1√00 ' 2 99792458× 10
8 ' 3× 108 (3)
Caso houvesse a compatibilidade então a velocidade dependeria da veloci-
dade do referencial em relação ao éter e haveria a possibilidade de se detectar
o referencial ligado ao éter. Este seria um referencial preferencial. Neste caso
as equações de Maxwell e Transformação de Galileu seriam corretas, mas as
equações de Maxwell não seriam invariantes a transformações de Galileu. Esta
situação de conflito fez com que se verificassem as seguintes possibilidades:
1) O princípio da relatividade de Newton era válido para a Mecânica mas
não para o Eletromagnetismo. Haveria então um referencial preferencial para o
Eletromagnetismo, o referencial do éter.
2) O princípio da relatividade de Newton era válido para a Mecância e para
o Eletromagnetismo, mas as equações de Maxwell não estavam corretas.
3) Deveria haver um princípio de relatividade para ambos a Mecância e o
Eletromagnetismo, mas as leis de Newton deveriam estar erradas.
1
2 A experiência de Michelson-Morley
Imaginando que a Terra se movia em relação ao éter, Michelson e depois Michel-
son e Morley imaginaram um modo de medir o desvio da velocidade da luz em
relação ao éter. Conhecendo a velocidade de translação da Terra em relação ao
Sol
 ' 29 8  (4)
o que dá 
 ' 10
−4 (5)
se instantaneamente a Terra estivesse se movendo com a velocidade  em relação
ao éter, seria possível fazer experiêcias de interferência da luz de modo que se
pudessem medir efeitos da ordem de

µ

¶2
' 10−8 (6)
Eles construiram um interferômetro que pudesse medir o deslocamento de
raias de interferência com esta precisão.
O interferômetro mostrado na figura acima está fixo na Terra que se move
à direita com velocidade  supostamente em relação ao éter. A velocidade
mostrada na figura refere-se ao vento do éter, mvendo-se em relação à Terra
para a esquerda. Um fonte de luz,  emite raios que são refletidos e transmitidos
no vidro parcialmente espelhado  . Esses raios são refletidos nos espelhos 1
e 2, sendo novamente refletidos e transmitidos no espelhpo  dirigindo-se
finalmente à luneta  , onde interferem e formam franjas de interferência, como
vemos abaixo.
2
A diferença de fase entre os feixes de luz que atingem a luneta é facilmente
calculada. Chamemos de 1 o tempo gasto para o feixe de luz fazer o trajeto
1 . Devido ao movimento relativo da Terra em relação ao éter o feixe
de luz tem velocidades iguais a  +  na ida e  −  na volta. Então
1 = 1+  +
1
−  =
21
2 −  2 = 2
1

1
1−  22
 (7)
Chamando de 2 o tempo de trânsito da luz no trajeto 2 , temos,
em relação ao referencial do éter,
2 = 2
q
22 +
¡ 2
2
¢2
 (8)
Resolvendo esta equação temos
2 = 22
1q
1− ¡ ¢2 (9)
3
A diferença de tempos entre os feixes é é dada por
∆ = 2 − 1 = 2
⎛
⎝ 2q
1− ¡ ¢2 −
1
1− ¡ ¢2
⎞
⎠ (10)
Como
¡

¢2
é um número muito pequeno podemos espandir a expressão
acima até primeira ordem em
¡

¢2  resultando
∆ = 2
Ã
2
Ã
1 +
1
2
µ

¶2!
− 1
Ã
1 +
µ

¶2!!
(11)
Exercise 1 Mostre a expressão (10) se reduz a (11)
Girando o interferômetro de 90◦ a diferença de tempos se modifica tornando-
se,
∆0 = 02 − 01 = 2
⎛
⎝ 2
1− ¡ ¢2 −
1q
1− ¡ ¢2
⎞
⎠ (12)
que no limite de 22 ¿ 1 simplifica-se como
∆0 = 2
Ã
2
Ã
1 +
µ

¶2!
− 1
Ã
1 +
1
2
µ

¶2!!
(13)
Como a diferença de tempo de percurso da luz se modifica, haverá um deslo-
camento nas franjas de interferência. Este deslocamento é proporcional à difer-
ença entre os intervalos de tempo (13) e (11). sendo  o peródo da luz usada
na experiência, temos
∆ = ∆
0 −∆
 =

 ×
2

2 + 1
2
µ

¶2
=
2 + 1

µ

¶2
(14)
Michelson e Morley usaram uma montagem experimental com
1 ' 2 ' 22 (15)
 = 5 5× 10−7 (16)
obtendo
∆ = 0 4 (17)
ou seja, quatro décimos de franja. O interferômetro poia detectar deslocamentos
de um centésimo de franja e a experiência foi feita rodando-se continuamente o
4
interferômetro, ao longo do ano e a diversas horas do dia, a fim de possibilitar a
maior varieadade possível de velocidades relativas da Terra em relação ao éter,
mas não se observou nenhum deslocamento de franja.
Como conclusão a luz move-se com a mesma velocidade independente do
referencial, não obedecendo às transformações de Galileu. Não há portanto um
referencial preferencial ligado ao éter.
3 Contração de Lorentz-Fitzgerald
Lorentz e Fitzgerald propuseram uma hipótese para explicar a não movimen-
tação das franjas de interfeência na experiência de Michelson-Morley. Eles afir-
maram que os materiais eram comprimidos pelo vento do éter e, desse modo,
os braços do interferômetro que tinham comprimentos (0)1 e (0)2 sem a com-
pressão ficavam reduzidos a (0)1
q
1− 22 e (0)2
q
1− 22 sempre que o braço
estivesse paralelo ao movimento da Terra em relação ao éter. Levando este fato
em consideração as expressões (10) e (12) tornam-se respectivamente:
∆ = 2 − 1 = 2
⎛
⎝ (0)2q
1− ¡ ¢2 −
(0)1
q
1− 22
1− ¡ ¢2
⎞
⎠ = 2
(0)2 − (0)1q
1− ¡ ¢2 (18)
e
∆0 = 02 − 01 = 2
⎛
⎝
(0)
2
q
1− 22
1− ¡ ¢2 −
1q
1− ¡ ¢2
⎞
⎠ = 2
(0)2 − (0)1q
1− ¡ ¢2 = ∆ (19)
e, portanto, não haveria deslocamento nas franjas de interferência.
Tomando-se comprimentos (0)2 e (0)1 diferentes e mantendo-se o interfer-
ômetro em uma dada posição há uma variação da velocidade da Terra e, por-
tanto, um deslocamento das franjas, o que não ocorre, inviabilizando a contração
de Fitzgerald-Lorentz.
4 Arrastamento do éter
Uma tentativa de preservar a hipótese do éter foi a ideia do arrastamento do
éter, na qual os corpos arrastavam o éter com seus movimentos. Dessa forma
5
a Terra arrastaria o éter consigo e a experiência de Michelson-Morley seria
explicada, porém as observações do astrônomo Bradley da aberração da luz
mostrou que a hipótese estava errada. Bradley observou que uma estrela que
deveria se posicionar no zênite, posição exatamente perpendicular à superfície
terreste, se apresentava ligeiramente desviada desta posição, um desvio angular
de aproximadamente 20". Este desvio foi posteriormente plenamente explicado
em termos da relatividade especial.
Outra experiência que mostrou que o arrastamento do éter era uma hipótese
errada foi a montagem de Fizeau baseada nas previsões de Fresnel. Nessa ex-
periência a luz propaga-se em um meio líquido que está em movimento, como
mostra a figura abaixo.
A luz de uma fonte se divide em dois feixes que percorrem um meio líquido
ora a favor ora contra o movimento deste. O resultado é a formação de fran-
jas de interferência que deslocam-se à medida que a velocidade do líquido se
altera. Segundo o cálculo de Fresnel, confirmado pela experiência de Fizeau, a
velocidade da luz no meio em movimento é dada por
 =  ± 
µ
1− 12
¶
(20)
em oposição ao previsto pelo arrastamento do éter, dada por
 =  ±  (21)
onde  é a velocidade do líquido e  é o índice de refração.
5 Teorias de emissão da luz
Uma tentativa de mudar o eletromagnetismo foi dada pelas teorias de emis-
são. Nelas a luz era gerada com velocidade  mas a velocidade de propagação
6
dependia do movimento da fonte aumentando com a aproximação da fonte e
diminuindo com seu afastamento. Com isto o resultado do interferômetro de
Michelson-Morley era explicado pois a fonte estavaem repouso em relação ao
interferômetro, porém esta teoria implicava que o movimento de estrelas duplas
revelaria órbitas excêntricas, o que não era observado. Também, usando-se a luz
de estrelas como fonte na experiência de MM deveríamos observar movimento
das franjas no decorrer do dia ou do ano, uma vez que haveria mudança na
velocidade da Terra em relação à estrela, o que também se verificou que não
ocorria.
Essas teorias foram descartadas e, então, foi necessário alterar a Mecânica
Newtoniana . Este trabalho foi efetuado por Einstein em sua Teoria da Rela-
tividade Especial. Einstein estabeleceu dois princípios.
6 Princípios da Relatividade Especial
1) Princípio da Relatividade: "As leis da Física são as mesmas em todos os
referenciais inerciais. Não há um referencial principal." Notem que Einstein se
refere às leis da Física e não às leis da Mecânica.
2) Princípio da constância da luz no vácuo: "A velocidade da luz no vácuo
é a mesma em todos os referenciais inerciais".
7 Referências e problemas
1) ’Introdução à Relatividade Especial’, Robert Resnick
2) ’Teoria da Relatividade Especial’, Ramayana Gazzinelli
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