6 Regressão Linear (1)

Prévia do material em texto

Regressão Linear
• A correlação e a regressão são dois aspectos que
andam sempre muito ligados. Assim, importa fa
zermos a distinção entre eles:
▫ A correlação pode ser definida como o grau de
semelhança no sentido das variações entre os valor
es correspondentes dos dois caracteres, isto é, a corr
elação preocupa‐se com a descrição da relação entre
variáveis.
▫ A regressão é usada quando tentamos predizer u
ma variável quando conhecemos a outra.
REVISÃO - MODELOS LINEARES
• O formato geral de uma equação linear simples 
é: y = a + bx
▫ x é a variável dependente.
▫ y é a variável independente.
a é a constante que representa o ponto onde a linha reta 
corta o eixo y (conhecida como a intercepção).
b é uma constante que representa a inclinação da linha 
reta.
Exemplo
• Uma empresa de eletricidade cobra uma taxa fixa de R$ 17,50 
por mês mais 8 centavos por Kw/h utilizado. Encontre e trace 
o gráfico de uma equação linear para modelar essa situação 
para o uso de até 1.500 unidades por mês.
• A equação terá a seguinte forma: y = a + bx
▫ y deve ser o valor cobrado pela eletricidade, já que essa é a 
variável de interesse.
▫ x deve ser o número de unidades utilizadas, já que isso 
determina os valores cobrados pela eletricidade.
Exemplo
• Para encontrar a e b, é útil considerar como se compõe o valor 
cobrado, que ocorre segundo os vários níveis de utilização de 
energia elétrica.
• valor cobrado pela eletricidade = R$ 17,50 + R$ 0,08 
unidades utilizadas ou, a notação usual onde y = valor 
cobrado pela eletricidade (R$) e x = número de unidades 
utilizadas: y = 17,5 + 0,08x
que é um modelo linear que representa os valores 
cobrados pelo fornecimento de eletricidade em 
termos de unidades utilizadas.
Atividade de revisão
• Dois varejistas locais estão oferecendo telefones móveis a diferentes 
tarifas. A empresa A cobra R$ 15 por mês mais 50 centavos por minuto de 
ligações, enquanto a B cobra R$ 17,50 pelo aluguel, mas somente 35 
centavos por minuto de ligação.
(a) Formule equações para as taxas de ligação em cada caso.
(b) Produza um único gráfico com os custos de cada opção se entre 0 e 40 minutos 
de ligação forem feitos por mês.
(c) Determine o nível de ligações no qual a tarifa da B torna-se a opção mais 
barata.
(d) Qual é o custo geral por mês nesse nível de ligações?
As equações lineares vistas acima são exemplos de um modelo determinístico, isto 
é, se o uso da eletricidade fosse conhecido, as taxas poderiam ser previstas 
exatamente sem espaço para variação. Na vida real, normalmente é necessário 
construir um modelo probabilístico para lidar com a incerteza. A regressão 
linear simples, técnica que é descrita a seguir, é um exemplo desse último tipo 
de modelo.
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
• Considere o Exemplo onde foi estabelecido que existe forte 
ligação entre a propaganda e as vendas, com um coeficiente 
de correlação de 0,948. Entretanto, em virtude da 
variabilidade dos dados, é impossível encontrar um modelo 
linear exato, como fizemos no Exemplo anterior. Contudo, 
dados na figura abaixo e o coeficiente de correlação, 
mostram que há evidência de uma relação linear entre as 
vendas e os gastos com propaganda.
• Portanto, a equação ainda 
terá o mesmo formato y=a+bx
mas o que é necessário é uma
forma matemática de determinar 
a e b.
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
• A regressão linear simples é uma técnica que foi 
desenvolvida para fazer isso. Em essência, a meta é 
encontrar valores para a e b que dêem a linha que se 
ajusta melhor aos pontos.
• Fazer isso exige mais fórmulas matemáticas:
• b = nΣxy – Σx Σy
nΣx2 – (Σx) 2
• a = Σy – bΣx
n n
Exemplo
• Utilizando os dados anteriores sobre vendas e despesas 
com propaganda encontre a equação de regressão linear, 
adicione-a ao gráfico de dispersão original e faça 
previsões para as vendas, se as despesas com propaganda 
forem: 1) R$ 700 2) R$ 1.800 
Vendas (000) 25 35 29 24 38 12 18 27 17 30
Despesas com propaganda 
(00) 8 12 11 5 14 3 6 8 4 9
Exemplo
• Utilizando os dados anteriores sobre vendas e despesas com propaganda 
encontre a equação de regressão linear, adicione-a ao gráfico de 
dispersão original e faça previsões para as vendas, se as despesas com 
propaganda forem: 1) R$ 700 2) R$ 1.800 
Vendas (000) 25 35 29 24 38 12 18 27 17 30
Despesas com propaganda (00) 8 12 11 5 14 3 6 8 4 9
Portanto,
b = nΣxy – Σx Σy = (10*2.289) – (80*255) = 22.890 – 20.400 = 2490 = 2,147
nΣx2 – (Σx) 2 (10*756) – (80)2 7.560 – 6.400 1.160
a = Σy – bΣx = 255 - 2,15 * 80 = 25,5 – 17,17 = 8,328
n n 10 10
y = 8,328 + 2,147 x
(a) Despesas com propaganda = $ 700. Como os valores utilizados na
equação eram dados em centenas, isso significa x = 7; portanto,
y = 8,328 + 2,147 * 7 = 23,357 23.357 vendas são previstas.
(b) Despesa = $ 1.800, então x = 18.
y = 8,328 + 2,147 * 18 = 46,974 46.974 vendas são previstas.
Exercícios
• o Sr. Carlos é o proprietário de uma loja 
de presentes em uma pequena cidade. 
Ele acredita que as vendas da loja 
estejam relacionadas ao número de 
ônibus de turistas que param na cidade. 
Coletou os seguintes dados sobre as 
vendas e o número de visitas de ônibus 
em uma seleção de dias recentes.
• Determine que conjunto de dados que 
representa a variável x e a y nessa situação. 
• Calcule os valores de a e b e escreva a 
equação de regressão para esses dados.
• Faça uma previsão das vendas para os dias 
em que:
▫ 27 ônibus visitam a cidade.
▫ 55 visitam a idade.
Exercícios
• A tabela seguinte apresenta 3 conjuntos de dados A, B e C para ilustrar 
os perigos de calcular medidas sem primeiro representar os dados. Os 
conjuntos de dados A, B e C têm a mesma correlação e a mesma reta de 
regressão:
▫ Calcule o coeficiente de correlação e a reta de regressão para cada um dos 
conjuntos de dados e verifique que são iguais.
▫ Para cada um dos conjuntos de dados faça o diagrama de pontos e represente 
a reta de regressão.
A
x 10 8 13 9 11 14 6 4 12 7 5
y 8.04 6.95 7.58 8.81 8.33 9.96 7.24 4.26 10.84 4.82 5.6
B
x 10 8 13 9 11 14 6 4 12 7 5
y 9.14 8.14 8.74 8.77 9.26 8.10 6.13 3.10 9.13 7.26 4.74
C
x 8 8 12 8 8 8 8 8 8 8 19
y 6.58 5.76 7.71 8.84 8.47 7.04 5.25 5.56 7.91 6.89 12.50
Exercício
Um psicólogo está investigando a relação entre o tempo 
que o indivíduo leva para reagir a um certo estímulo (em 
segundos) e algumas de suas características, tais como 
idade (em anos completos) e acuidade visual (medida em 
porcentagem). 
Os dados encontram-se a seguir: 
a) Construa os diagramas de dispersão de Tempo de 
Reação x Idade e Tempo de Reação x Acuidade 
Visual. 
b) Calcule o coeficiente de correlação entre Tempo de 
Reação e Idade e Tempo de Reação e Acuidade Visual 
e interprete os valores obtidos. 
c) Como seria possível prever o tempo de reação de um 
indivíduo através de sua idade? O aumento de uma 
unidade na idade aumenta em quanto o tempo médio 
de reação dos indivíduos? Faça uma previsão do 
tempo de reação de um indivíduo com 24 anos. 
d) Obtenha a reta de regressão do tempo de reação em 
função da acuidade visual. 
e) Como seria mais razoável prever o tempo de reação 
de uma pessoa: pela idade ou pela acuidade visual? 
Por quê?