Lista de Derivadas - 01

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Matemática para Engenharia I
Ficha 01: Derivadas
Atividade 01				
OBS.: Não podemos estender a interpretação geométrica de reta tangente a uma circunferência em um ponto P, para o gráfico de uma função f qualquer, pois a reta tangente à este gráfico pode tocá-lo em um ponto P determinado e interceptá-lo em um outro ponto.
a) Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(-1, 4)
b) Esboce o gráfico da função 
c) Determine a variação da função no intervalo de x = 1 e x = 3.
d) Trace a reta s que passa pelos pontos de abscissas x = 1 e x = 3.
e) Em relação à curva determinada pela função 
 como essa reta pode ser chamada?
f) Determine a taxa de variação média no intervalo de x = 1 a x = 3.
g) Calcule o coeficiente angular dessa reta.
h) O que você pode observar?
i) Denominando de A o ponto (1, 2) da curva e de P(x, y) um ponto genérico qualquer da curva, trace a reta r que passa por A e por P.
j) Se tomarmos o valor de x cada vez mais perto de 1 a reta secante AP estará perto de que reta em relação ao gráfico de f?
l) Calcule a taxa de variação média da curva no intervalo x = 1 e x = 1,1.
m) Calcule o coeficiente angular da reta secante à curva nos pontos x = 1 e x = 1,01.
n) Calcule a taxa de variação média da curva no intervalo x = 1 e x = 1,001.
o) Qual será a taxa de variação da curva no ponto de abscissa x = 1?
p) E o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto de abscissa x = 1?
Atividade 02
Seja a função 
.
a) Esboce o gráfico de f(x).
b) Determine a taxa de variação média no intervalo x = 1 a x = 3.
c) Trace a reta s que passa pelos pontos de abscissas x = 1 e x = 3.
d) Calcule o coeficiente angular da reta secante à curva nos pontos x = 1 e x = 3.
e) Denominando de A o ponto de abscissa x = 1 da curva de f e de P(x, y) um ponto genérico qualquer dessa curva, trace a reta r que passa por A e por P.
f) Se tomarmos o valor de x cada vez mais perto de 1 a reta secante AP estará perto de que reta?
g) Calcule a taxa de variação média da curva no intervalo x = 1 e x = 1,1.
h) Calcule a taxa de variação média da curva no intervalo x = 1 e x = 1,01
i) Calcule a taxa de variação média da curva no intervalo x = 1 e x = 1,001.
j) Calcule a taxa de variação da curva no ponto de abscissa x = 1.
l) Calcule o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto x = 1, ou seja no ponto A.
m) Calcule o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto x = 2.
n) Determine a equação da reta tangente à curva nesse ponto
Atividade 03
a) Considerando 
 determine o coeficiente angular da reta secante ao gráfico de f nos pontos 
 e 
.
b) Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto C.
c) Calcule o valor dessa nova função para x = 1, ou seja no ponto A, e compare com o resultado obtido na atividade 01 item (p).
d) Determine uma função que permita calcular a taxa de variação de 
 em qualquer ponto de f.
OBS.: Afunção que você encontrou a partir de f é chamada função derivada de f.
Atividade 04
Seja f(x) = x2.
a) Esboce o gráfico de f.
b) Determine a ordenada do ponto A de abscissa x = 2 e localize-o no gráfico de f.
c) Determine as coordenadas de um ponto genérico P e localize-o no gráfico de f.
d) Represente a reta AP secante ao gráfico de f? Determine a inclinação da reta AP.
e) Se tomarmos o valor de xp cada vez mais perto de x = 2, o que acontece com a inclinação (coeficiente angular) da reta AP?
f) Calcule 
.
g) O que esse limite representa.
h) Determine a função derivada de f.
i) Compare essa função com a função obtida de 
.
j) O que você pode concluir?
Atividade 05
Determine a função derivada das funções abaixo: 
a) 
		b) 
		c) 
Exercícios
1) Dê uma estimativa para a inclinação da curva no ponto (x, y).
a) 						b)
c) 						d)
						 
2) Calcule a derivada de f nos casos abaixo:
 a) 
 e p = 1				b) 
 e p = 4
 c) 
 e p = 2				d) 
 e p = 2
3) Determine a equação da reta tangente em 
 para:
 a) 
 e p = 1		b) 
 e p = 9	c) 
 e p = 2
4) Determine uma equação de cada reta que passa pelo ponto (3, 2) e seja tangente à curva 
.
5) Sabe-se que r é uma reta tangente ao gráfico de 
 e paralela à curva 
. Determine r.
6) Determine as equações das retas tangentes e normal ao gráfico da função dada, no ponto dado: 
 no ponto de abscissa 0.
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