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Pontifícia Universidade Católica de Campinas
Engenharia Civil
Cálculo B - 04379
Revisão: funções, limites e derivadas
(ATENÇÃO: os exercícios marcados com �*� são sugestões para serem entregues!)
1) Determine se a função é par, ímpar ou nenhum desses dois:
a) f(x) = x5 + x
b) g(x) = 1− x4
c) h(x) = 2x− x2
2*) Encontre os limites a seguir:
a) lim
x→−2
x3+2x2−1
5−3x
b) lim
x→1
2−x
(x−1)2
c) lim
x→1
x2−1
x−1
d) lim
t→9
9−t
3−√t
e) lim
θ→0
sinθ
θ
f) lim
x→+∞
e2x
x3
3) Se lim
x→a
[f(x) + g(x)] = 2 e lim
x→a
[f(x)− g(x)] = 1, encontre lim
x→a
[f(x)g(x)].
4*) Calcule a derivada das seguintes funções:
a) f(x) = 186,5
b) f(x) = 5x− 1
c) f(x) = x2 + 3x− 4
d) y = 5ex + 3
e) V (r) = 4
3
pir3
f) G(x) =
√
x− 2ex
g) y = 3
√
x2 + 1
h) y = x
2−2√x
x
5*) Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado:
a) y = 2x
x+1
, (1, 1)
b) y = 2xex, (0, 0)
6) Um balão esférico começa a ser inflado. Encontre a taxa de crescimento da área da superfície
(S = 4pir2) em relação ao raio r quando r é (a) 1m, (b) 2m e (c) 3m. Que conclusão você
pode tirar?
7) Que valores de x fazem que o gráfico de f(x) = x+ 2senx tenha uma reta horizontal?
8) Uma escada com 2m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Seja θ o ângulo
entre o topo da escada e a parede, e x a distância da base da escada até a parede. Se a base
da escada escorregar para longe da parede, com que rapidez x variará em relação a θ quando
θ = pi/3?
9) Se x3 + y3 = 6xy, encontre dy
dx
.
10) Se V for o volume de um cubo com a aresta de comprimento x e à medida que o tempo passa
o cubo se expande, encontre dV/dt em termos de dx/dt.
11) Encontre os pontos críticos da função f(x) = x3/5 (4− x).
12) Um fazendeiro tem 2400m de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem
de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo
que tem maior área?
13) Encontre dois números cuja soma seja 23 e cujo produto seja um máximo.
14*) Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12100m
2
. A prefeitura exige
que exista um espaço livre de 25m na frente, 20m atrás e 12m em cada lado. Encontre as
dimensões do lote que tenha área mínima na qual possa ser construído esse galpão.
15) O departamento de estradas de rodagem está planejando construir uma área de descanso para
motoristas, à beira de uma rodovia. O terreno deve ser retangular, com uma área de 5000m
2
,
e deve ser cercado nos três lados que não dão para a pista. Qual o menor comprimento da
cerca necessária para a obra?
Respostas
1)
a) ímpar
b) par
c) nenhum dos casos
2)
a) − 1
11
b) ∞
c) 2
d) 6
e) 1
f) ∞
3)
3
4
4)
a) 0
b) 5
c) 2x+ 3
d) 5ex
e) 4pir2
f)
1
2
√
x
− 2ex
g)
2x
3(x2+1)2/3
h) 1 + 1
x3/2
5)
a) y = 1
2
(x+ 1)
b) y = 2x
6)
a) 8pi m2/m
b) 16pi m2/m
c) 24pi m2/m
Com o aumento do raio, a área da
superfície do balão aumenta a uma
taxa crescente, ou seja, quanto maior o
raio, maior é a taxa de aumento da
área da superfície do balão por unidade
de aumento do raio. De fato, a taxa de
aumento da área da superfície do balão
aumenta linearmente com respeito ao
raio.
7) x = (2n+ 1) pi± pi
3
, onde n é um inteiro.
8) 1 m/rad
9)
dy
dx
= 2y−x
2
y2+2x
10)
dV
dt
= 3x2 dx
dt
11)
3
2
e 0
12) As dimensões a× b do campo que
resulta na maior área são 600× 1200,
onde a é o comprimento dos lados
perpendiculares ao rio e b o
comprimento dos lados paralelos ao rio.
13) 11,5
14) O lote deve ter aproximadamente
(80,33 + 24)m× (150,62 + 45)m.
15) 200 m