CDI II Lista 03-Integrais de Linha

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Ca´lculo Diferencial e Integral
Nome: Ra:
1. Calcule a intgral de linha
∫
C
xy4 ds onde a curva C e´ a metade direita da
circunfereˆncia x2 + y2 = 4, percorrida no sentido anti-hora´rio.
2. Calcule
∫
C
xeyz ds onde C e´ o segmento de reta do ponto A(0, 0, 0) ao ponto
B(2, 1, 3).
3. Determine o trabalho realizado pelo campo de forc¸a ~F (x, y, z) = ex i +
ey j + ez k sobre uma part´ıcula que percorre o arco de curva C, definido
por ~r(t) = t i + t2 j + t3 k, 0 ≤ t ≤ 2. Suponha que o arco seja medido em
metros e a forc¸a em Newton.
4. Determine uma func¸a˜o φ tal que ~F = ∇φ e use o resultado para calcular∫
C
~F ·d~r sobre a curva C, sendo ~F (x, y, z) = (2xz+y2) i+2xy j+(x2+3z2)k
e C uma curva ligando os pontos (0, 1,−1) a` (1, 2, 1).
5. Uma part´ıcula inicialmente no ponto (−2, 0) se move ao longo do eixo x
ate´ o ponto (2, 0) e enta˜o ao longo da semi circunfereˆncia y =
√
4− x2 ate´
o ponto inicial. Calcule o trabalho realizado nessa part´ıcula pelo campo de
forc¸a ~F (x, y) = (x, x3 + 3xy2).
6. Calcule
∫ ∫
s
(x2 + y2) ds, onde s e´ a parte do parabolo´ide z = 4 − x2 − y2
que esta´ acima do pano xy.
7. Como calcula o gradiente, divergente e rotacional? Deˆ um exemplo de cada
e uma aplicac¸a˜o.
8. Explique em poucas palavras o teorema de Gauss e de Stokes.
1
Gabarito
1. 128/5
2.
√
14
3
(e3 − 1)
3. e2 + e4 + e8 − 3
4. 7
5. 12π
6.
π
16
[
2
5
172
√
17− 2
3
17
√
17 +
4
15
]
2