Derivadas_2015

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Derivadas 
 
Iniciaremos nosso estudo sobre derivadas considerando a sua interpretação 
geométrica, a inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto. A 
medida em que formos evoluindo em nosso estudo veremos que sua interpretação 
vai muito além, se fazendo útil em muitos ramos da ciência. 
 Uma função que possui derivadas é dita derivável e o processo de obtenção da 
derivada é chamado de derivação. 
 
Reta Tangente e Derivada 
Seja f(x) uma função contínua em um intervalo aberto I. Para cada x1, x2 em 
I, tal que x1 é diferente de x2, temos: 
 * O Coeficiente Angular da Reta 
Secante ao gráfico de f(x) que 
passa pelos pontos: 
(x1, f( x1 )) e ( x2 , f ( x2 )) é: 
12
12 )()(
xx
xfxf
m



 
 
 
 
 *A equação da Reta Secante ao gráfico de f(x) nos pontos (x1, f(x1)) e (x2, f(x2)) é 
)()( 11 xxmxfy 
 
Suponhamos que, mantendo o ponto P(x1,f(x1)) fixo e fazendo com que o outro 
ponto se mova em direção a P. Como a inclinação (coeficiênte angular) da reta que passa 
pelos dois pontos depende da posição de ambos, ela irá variar a medida que tornamos o 
segundo ponto cada vez mais próximo do ponto P. A medida que (x2, f(x2)) se aproxima 
de P por ambos os lados, a inclinação da reta varia cada vez menos, tendendo a um valor 
limite constante. Tal valor limite é chamado de inclinação da reta tangente à curva no 
ponto P. 
1 
 
Definição: Suponhamos que a função f(x) seja contínua em x1. A reta tangente ao gráfico 
de f (x) no ponto P(x1,f(x1)) é: 
i) Uma reta por P de inclinação 
m(x1), dada por: 
)( 1xm
x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0
 se 
o limite existir. 
ii) Uma reta x=x1 se:
x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0
 for 

 
 e/ou 
x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0
 for 
 ou
 
 
Definição: A derivada de uma função f(x) é a função denotada por f´(x), tal que seu valor 
em qualquer número x do domínio de f(x) seja dado por: 
x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)('
0
 se esse limite existir. 
*Observe que a derivada de uma função f(x), quando calculada em um ponto x indica a 
inclinação da reta tangente ao gráfico da função inicial neste ponto. 
 
Exemplo: Considerando cada uma das funções abaixo, identifique o coeficiente angular 
da reta tangente a cada uma delas nos pontos dados e depois calcule a derivada de cada 
uma das funções. 
a) 
12)(  xxf
 em x = 0 e em x = 1. 
b) 
32)( 2  xxxf
 em x = 0 e em x = 1. 
c) 
xxf )(
 em x = 1 e em x = 3. 
d) Se possível, identifique o gráfico de cada uma das funções acima e interprete os 
resultados.