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Curso de Física Básica – Volume II I 
 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
 
 
 
 
 
 
 
 
C URS O D E F ÍS IC A B Á S I C A – V OL UME I I 
 
 
 
 
CAMPO GRANDE - 200 9 
 
Curso de Física Básica – Volume II II 
 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
 
 
 
 
 
 
 
 
C URS O D E F ÍS IC A B Á S I C A 
VOLUME I I 
 
 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física 
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul 
 
 
 
 
Campo Grande – 2009 
Curso de Física Básica – Volume II III 
 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O material aqui apresentado pode ser livremente distribuído e utilizado, desde que citada a fonte. 
 
Curso de Física Básica – Volume II IV 
 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Conteúdo do Volume II 
Capítulo I - Partículas e Campos ....................................................................................... 1 
Introdução ........................................................................................................................................ 3 
O conceito de campo ........................................................................................................................ 3 
Campos e o Princípio da Superposição ......................................................................................... 7 
Linhas de força .............................................................................................................................. 9 
Fluxo e circulação de um campo vetorial .................................................................................... 11 
A Lei de Gauss para campos cuja dependência seja do tipo 1/r2 .................................................. 17 
Interação gravitacional entre partículas: o Campo Gravitacional (gg) ......................................... 21 
Massa inercial e massa gravitacional .......................................................................................... 22 
Campo gravitacional de uma partícula pontual (gg) ..................................................................... 23 
Consequências da gravitação universal: as Leis de Kepler ......................................................... 28 
Interação elétrica entre partículas: o Campo Elétrico (EE) ........................................................... 32 
Campos de corpos extensos ........................................................................................................... 41 
Cálculo de campos produzidos por corpos extensos: utilizando o Princípio da Superposição .. 41 
Cálculo de campos produzidos por corpos extensos: utilizando a Lei de Gauss ........................ 44 
A circulação dos campos E e g. ....................................................................................................... 54 
Interação devida a correntes: o Campo Magnético (BB) ................................................................. 56 
Definindo o campo magnético: a Força de Lorentz .................................................................... 58 
Movimento de partículas em campos: o movimento de cíclotron ............................................. 60 
Corrente elétrica ......................................................................................................................... 63 
Força magnética sobre um condutor carregado ......................................................................... 65 
Torque sobre uma espira de corrente ............................................................................................ 70 
Campo magnético criado por correntes estacionárias ............................................................... 73 
Fontes do campo magnético .......................................................................................................... 75 
Curso de Física Básica – Volume II V 
 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
A Lei de Biot-Savart ......................................................................................................................... 79 
A Lei de Ampère .............................................................................................................................. 81 
Força entre fios paralelos portadores de corrente ........................................................................ 98 
Solenóides e toróides ................................................................................................................... 100 
Trabalho ........................................................................................................................................ 103 
O teorema trabalho energia ......................................................................................................... 109 
Campos Conservativos .................................................................................................................. 110 
Um exemplo de forças conservativas: forças centrais ................................................................. 112 
Calor .............................................................................................................................................. 114 
Modos de transferência de energia sob forma de calor .............................................................. 118 
Processo de condução ............................................................................................................... 118 
Processo de convecção ............................................................................................................. 118 
Processo de radiação ................................................................................................................. 119 
O que é a temperatura? ............................................................................................................... 119 
Potência ........................................................................................................................................ 120 
A Primeira Lei da Termodinâmica ................................................................................................. 121 
Capítulo II - Potenciais e Energia Potencial ................................................................. 122 
Potencial e Energia Potencial ....................................................................................................... 124 
O conceito de energia potencial ................................................................................................... 124 
O potencial (C) ............................................................................................................................ 130 
Energia Potencial Gravitacional .................................................................................................... 132 
Cálculo da energia potencial gravitacional: pontos próximos da superfície da Terra e sistema 
isolado composto pela Terra, campo gravitacional criado pela Terra e uma partícula............ 133 
Partícula que se move sob ação de uma força externa, F, do chão até uma altura h. ............. 138 
Cálculo da energia potencial gravitacional para trajetórias nas quais o campo gravitacional não 
pode ser considerado constante. .............................................................................................. 139 
Curso de Física Básica – Volume II VI 
 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Potencial Gravitacional .................................................................................................................143 
A energia potencial eletrostática e o potencial eletrostático ...................................................... 145 
Superfícies equipotenciais ............................................................................................................ 148 
Potencial devido a uma distribuição de partículas carregadas ou partículas pontuais com massa
 ...................................................................................................................................................... 148 
Método 1 – Cálculo a partir do trabalho realizado para trazer cada uma das cargas a 
partir do infinito. .................................................................................................................... 152 
Método 2 - Usando o conceito de potencial ....................................................................... 155 
Exemplos de cálculo do potencial criados por corpos extensos .................................................. 157 
Potencial e campo gravitacional devidos a um anel de massa m. ............................................ 158 
Cálculo do campo e do potencial criados por um disco uniformemente carregado sobre o eixo 
do disco. .................................................................................................................................... 160 
Cálculo do campo e do potencial criados por um cilindro uniformemente carregado sobre o 
eixo do cilindro. ......................................................................................................................... 164 
Energia potencial eletrostática ..................................................................................................... 168 
Definição – Divergente de um campo vetorial .......................................................................... 170 
Teorema da Divergência de Gauss ............................................................................................ 170 
Outro exemplo de cálculo da energia potencial: o oscilador harmônico ................................. 173 
Outro potencial: a temperatura. .................................................................................................. 178 
Um novo potencial: a pressão ...................................................................................................... 181 
Capítulo III - Campos em meios materiais ................................................................... 187 
Materiais dielétricos e materiais condutores ............................................................................... 189 
Polarização ................................................................................................................................ 190 
Carga volumétrica e carga superficial de polarização ............................................................... 192 
Lei de Gauss em materiais dielétricos ....................................................................................... 195 
Capacitores ................................................................................................................................ 197 
Curso de Física Básica – Volume II VII 
 
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Campo eletrostático no interior de dielétricos lineares ........................................................... 200 
Energia armazenada em meios dielétricos lineares .................................................................. 202 
Materiais magnéticos: diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismo. .......................... 203 
A origem microscópica do magnetismo. Parte 1: o momento de dipolo orbital ..................... 204 
Momento de dipolo magnético orbital e o momento angular ................................................. 205 
A origem microscópica do magnetismo. Parte 2: o spin do elétron ......................................... 207 
Materiais diamagnéticos, paramagnéticos e ferromagnéticos ................................................ 210 
A magnetização (M) e correntes de magnetização ................................................................... 212 
Campos magnéticos em meios materiais: o vetor H ................................................................ 215 
Propriedades dos materiais ferromagnéticos ........................................................................... 218 
 
Curso de Física Básica – Volume II 1 
 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
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Capítulo I - Partículas e Campos 
 
Curso de Física Básica – Volume II 2 
 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
 
 
 
Curso de Física Básica – Volume II 3 
 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Introdução 
Vimos anteriormente que a energia é uma propriedade de todos os sistemas físicos e que pode se 
manifestar na forma de energia cinética (de translação, de vibração ou de rotação) das partes que 
compõem o sistema ou na forma de energia potencial (gravitacional, elástica, eletrostática, etc.) 
que está associada às interações que ocorrem entre as várias partes dos sistemas analisados. O 
conteúdo total de energia de um sistema é o que chamamos de Energia Total ou Energia Interna, 
estes dois nomes sendo sinônimos para nós. 
Quando colocados em contato, dois ou mais sistemas físicos podem trocar energia entre si. A 
energia pode fluir de um sistema para outro de duas formas: calor ou trabalho. Naturalmente, o 
aumento ou a diminuição do conteúdo energético de um sistema corresponde a uma diminuição 
ou aumento do conteúdo energético dos outros sistemas que estão em interação com ele, de 
modo a satisfazer o princípio da conservação da energia. 
Da mesma forma, o momento linear e o momento angular podem ser trocados entre sistemas 
físicos em interação. 
A natureza das trocas entre os diferentes sistemas interagindo depende do tipo de interação e da 
natureza dos limites dos sistemas, e os tipos de trocas que esses limites permitem. 
Quando falamos da troca de energia entre sistemas físicos, essas trocas podem acontecer por dois 
processos básicos: um sistema realiza Trabalho sobre outros sistemas físicos ou recebe Trabalho 
de outros sistemas; a segunda forma é através de Calor: ganhando energia sob a forma de Calor 
ou cedendo energia sob a forma de Calor. Para introduzir a ideia de Trabalho precisamos 
introduzir a ideia de campo e a forma como a força que um sistema exerce sobre o outro pode ser 
deduzida do conceito de campo e, a partir daí, como o Trabalho pode ser realizado. Relacionados 
com o conceito de campo, os conceitos de Linhas de Força e Fluxo de um campo vetorial são 
importantes na formalização dessas trocas. Passaremos a analisar cada uma das formas de troca 
de energia acessíveis aos diferentes tipos de sistemas físicos nas próximas seções. 
O conceito de campo 
Considere a seguinte situação: um asteróide (de massa m) se aproxima da Terra com certa 
velocidade, atraído pela força gravitacional da Terra (Fg). Veja a Figura 1. Como esta força 
Curso de Física Básica – Volume II 4 
 
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depende do inverso do quadrado da distância entre a Terra1 e o asteróide, quanto mais perto da 
Terra, mais intensa ela é. Se desprezarmos a atração gravitacional do Sol, da Lua e dos demais 
planetas sobre o asteróide, esta será a única força a agir sobre o asteróide. Logo, a aceleração do 
asteróide será dada, em módulo, por: 
gFa
m

 
Figura 1 - Interação Terra - Asteróide. 
Submetido a essa aceleração, o asteróide terá a sua velocidade aumentada percorrendo uma 
distância maior a cada segundo, à medida que se aproxima da Terra. No entanto,a informação 
sobre a posição do asteróide em certo instante de tempo viaja até a Terra a velocidade da luz (c). 
Será necessário certo intervalo de tempo t para que a informação da posição atual do asteróide 
chegue a Terra para que a força seja “ajustada” de acordo (supondo que isso aconteça 
instantaneamente) e o mesmo intervalo de tempo para que a informação seja mandada de volta e 
o asteróide possa “saber” qual a nova aceleração a que está submetido. 
Naturalmente, que o esquema acima é inviável, se quisermos analisar problemas para os quais a 
velocidade relativa entre a Terra e os objetos na sua vizinhança tornem o intervalo t 
suficientemente grande. Mas como o asteróide pode “saber” então qual sua aceleração? Uma 
forma alternativa de descrever esse problema é utilizarmos o conceito de Campo. 
 
1
 Isto será discutido mais adiante. 
r 
Terra 
Asteróide 
Curso de Física Básica – Volume II 5 
 
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Suponhamos que a Terra possa colocar um “rótulo” em cada posição do espaço, e que nesse 
rótulo esteja escrito o valor da força que uma massa unitária experimentaria ao ocupar essa 
posição do espaço (veja a Figura 2). Assim, ao passar por uma dada posição, o asteróide “saberia” 
o valor da força naquela posição: bastaria multiplicar o valor da força por unidade de massa 
impressa no rótulo pela sua massa total. Desse modo, a interação que antes acontecia entre o 
asteróide e a Terra, diretamente, passa a acontecer entre o asteróide e o campo e este com a 
Terra. Ao conjunto dos valores da força por unidade de massa chamamos de Campo Gravitacional 
da Terra. 
Figura 2 - Asteróide na posição indicada pelo vetor r. 
Definimos como a fonte de um campo à propriedade da matéria que cria o campo. Para que duas 
partículas interajam é necessário que ambas possuam algum tipo de propriedade que seja comum 
às duas: massa, carga elétrica, etc. No exemplo do asteróide, vamos supor que exista uma 
propriedade da matéria, que chamaremos provisoriamente de carga gravitacional, por analogia 
com a carga elétrica. É essa propriedade da matéria que cria o campo gravitacional. Digamos que a 
carga gravitacional seja medida por uma quantidade chamada de massa gravitacional (mg) Se 
retirarmos a propriedade carga gravitacional da matéria, não teríamos interação gravitacional 
entre os objetos. 
A relação entre a massa gravitacional e o conceito de massa como estudamos antes, relacionada 
com a Inércia, daí ser chamada de massa inercial (mi), será explorada por nós mais adiante. 
O campo é o resultado da ação de uma partícula sobre as propriedades do espaço na sua 
vizinhança. Sem a presença da partícula, as propriedades do espaço são de certa natureza. Com a 
r 
Terra 
Asteróide 
1 
2 
2 
3 
Curso de Física Básica – Volume II 6 
 
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presença da partícula, e das propriedades que ela carrega (inércia, estado elétrico, estado nuclear, 
etc.), o espaço a sua volta se modifica. A esta modificação nas propriedades do espaço chamamos 
campo. Cada propriedade da partícula modifica certas propriedades do espaço, daí falarmos nos 
diferentes tipos de campos: campo gravitacional, campo elétrico, campo magnético, campo 
nuclear, etc. 
Em geral, podemos definir o campo gerado por uma propriedade da matéria (a fonte do campo) 
como o conjunto dos valores de certa propriedade (alterada pela presença da fonte do campo) em 
cada ponto do espaço. No exemplo dado acima, do campo gravitacional, esses valores são a força 
gravitacional por unidade de massa (a fonte do campo gravitacional) em cada posição do espaço. 
Quando a propriedade do espaço alterada é representada por um vetor (como o campo 
gravitacional do nosso exemplo) os campos são chamados de campos vetoriais. Por outro lado, 
quando a propriedade alterada é representada por quantidades escalares o campo é dito campo 
escalar (como o campo de temperatura em uma sala). 
Mas, como saber o valor do campo criado por uma partícula em certa posição do espaço? Não 
podemos medir campos diretamente (assim como a força). Podemos, apenas, medir alterações no 
estado de movimento de partículas (acelerações). Para medirmos campos precisamos introduzir o 
conceito de partícula de teste. Considere a situação do asteróide e da Terra que comentamos 
antes. A massa do asteróide pode ser suficientemente grande para modificar a posição da Terra 
devido ao campo do próprio asteróide. Logo, o campo medido a partir da alteração do estado de 
movimento do asteróide é perturbado pela ação do asteróide sobre a Terra. A partícula que 
usamos para avaliar o campo deve ser suficientemente pequena para que não altere 
significativamente o estado da fonte do campo. Essas partículas são chamadas de partículas de 
teste. Naturalmente, que essa é uma abstração, pois partículas reais sempre afetarão as fontes 
dos campos. 
Tendo definido o que é uma partícula de teste, vamos definir o valor do campo pela modificação 
que este causa no estado de movimento de uma partícula de teste. Sabendo que, para que ocorra 
uma modificação no estado de movimento, é necessário que uma força atue sobre a partícula de 
Curso de Física Básica – Volume II 7 
 
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teste, definimos o campo como a razão entre a força experimentada pela partícula de teste e a 
propriedade da partícula de teste2. 
Vamos particularizar nossa análise para campos vetoriais. Seja C o vetor que representa o campo e 
F o valor da força experimentada por uma partícula de teste que tem certa quantidade da 
propriedade da matéria (qf) em certa posição do espaço (que denotaremos por r) então: 
 
 
0
lim
fq
fq

F r
C r
 eq. 1 
Observe que a força F é a força experimentada pela partícula de teste que contém certa 
quantidade de propriedade qf. Lemos essa equação como: o campo C na posição r é dado pelo 
limite da razão entre a força experimentada pela partícula de teste quando a partícula está na 
posição r e a quantidade da propriedade responsável pela existência do campo (qj) quando a 
quantidade de propriedade responsável pela criação do campo presente na partícula de teste vai a 
zero. A operação de tomada do limite quando a quantidade da propriedade que é a fonte do 
campo contida na partícula de teste tende a zero expressa matematicamente a ideia de que a 
partícula de teste não afeta a fonte do campo. O estudante deve observar que no processo de 
tomada do limite, a força experimentada pela partícula de teste também vai a zero, o que garante 
a finitude do valor de módulo de C. 
No nosso exemplo da Terra e do asteróide, a propriedade da matéria é a massa, portanto: qf = m 
(a massa do asteróide) e a força F é a força gravitacional, Fg. Logo, o campo gravitacional (g) na 
posição r será dado por: 
 
Campos e o Princípio da Superposição 
Como calcular o campo criado por muitas partículas? Observe que nossa definição de campo é 
geral (eq. 1) e depende somente da força experimentada pela partícula de teste colocada na 
 
2
 Lembrando sempre que a propriedade da partícula de teste que interessa é aquela responsável pela criação do campo. 
 
 
0
lim g
m m

F r
g r
 eq. 2 
Curso de Física Básica – Volume II 8 
 
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posição em que queremos medir o campo C. A força que aparece no lado direito é a resultante de 
todas as forças que atuam na partícula de teste. 
Vamos supor que a força resultanteda ação de um conjunto de n partículas atuando na partícula 
de teste seja escrita como a soma das forças exercidas por cada uma das partículas 
individualmente. Então, podemos escrever que: 
1 2
1
...
n
n i
i
    F F F F F
 eq. 3 
Usando esse resultado, o campo experimentado pela partícula de teste será dado por: 
 
   
 
 
1
0 0
0
1
lim lim
lim
f f
f
n
i
i
q q
f f
n
i
q
i f
q q
q

 


 



F r
F r
C r
F r
C r
 
Na passagem da primeira para a segunda linha foi usado o fato de que o limite de uma soma é a 
soma dos limites. Identificando o lado direito como o campo criado pela i-ésima partícula na 
posição r, podemos então escrever que: 
 
1
( )
n
i
i
C r C r
 eq. 4 
A conclusão a que a eq. 4 nos leva é de que o campo total criado por um conjunto de partículas 
em uma dada posição do espaço, denotada pelo vetor r, é a soma dos campos criados por cada 
uma das partículas naquela posição. Esse princípio é chamado de Princípio da Superposição. 
Observe que há uma hipótese escondida na nossa derivação: é a de que a força resultante é a 
soma total das forças que atuam na partícula, calculadas de forma independente (eq. 3), como se 
uma partícula ao atuar sobre a partícula de teste não soubesse da ação das outras partículas sobre 
a mesma partícula de teste. Poderia acontecer de que a força com a qual uma partícula atua 
sobre a partícula de teste fosse diferente pela presença de uma outra partícula. Nesse caso a eq. 3 
não seria mais válida. 
Curso de Física Básica – Volume II 9 
 
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Linhas de força 
O conceito de linhas de força é devido a Faraday3. A ideia das linhas de força surge da necessidade 
de visualizarmos os campos. Dado um campo C as linhas de força do campo são as linhas às quais 
o campo C é tangente em cada ponto. 
Por exemplo, consideremos o campo gravitacional. Como veremos mais adiante o módulo do 
campo gravitacional criado por uma partícula em certa posição do espaço é inversamente 
proporcional à distância entre o ponto onde o campo é calculado e a partícula que gera o campo. 
A sua direção é a reta que passa pela partícula que cria o campo e o ponto onde o campo é 
calculado. O sentido do campo gravitacional é do ponto onde o campo é calculado para a partícula 
que o cria. A Figura 3 mostra o sentido do campo gravitacional para várias posições no espaço 
(indicado pelas setas). 
Como podemos ver da Figura 3, os vetores que representam o campo gravitacional em cada 
posição do espaço estão sobre retas que passam pelo centro da partícula de massa m. As retas 
que são tangentes ao campo em cada posição são as próprias retas suporte dos vetores mostrados 
na figura. 
Figura 3 – Linhas de força do campo gravitacional. 
Para o campo elétrico vale a mesma coisa, já que como também veremos na mais adiante o 
campo elétrico apresenta uma dependência com posição que é equivalente ao caso do campo 
gravitacional. A única diferença aqui é que a carga elétrica pode ser de dois tipos. Usando a 
 
3
 Físico Inglês. Para uma biografia de Faraday veja http://pt.wikipedia.org/wiki/Michael_Faraday. 
g 
m 
Curso de Física Básica – Volume II 10 
 
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definição de carga de prova positiva é fácil ver que as linhas de campo de uma carga negativa são 
como mostradas na Figura 4, painel a, enquanto as linhas de campo de uma carga positiva são 
como mostradas no painel b da mesma figura. 
Naturalmente que nem todos os campos têm linhas de força como as mostradas nas figuras 
anteriores. Um caso típico é o campo magnético, cujas linhas de força são mostradas na Figura 5. 
Figura 4 – Linhas de força para o campo elétrico de cargas pontuais. Painel (a) para uma 
carga negativa e painel (b) para uma carga positiva. 
O desenho das linhas de campo é mais complicado nesse caso. Ao contrário das linhas mostradas 
para os campos gravitacional e eletrostático, as quais são abertas, as linhas de campo do campo 
magnético são fechadas sobre si mesmas. Para o imã mostrado na Figura 5, as linhas de campo 
entram no pólo sul do imã e saem do pólo norte do mesmo. A Terra funciona como um grande 
imã, com o pólo sul magnético perto do pólo norte geográfico e o pólo norte magnético perto do 
pólo sul geográfico. São as linhas de campo do campo magnético da Terra que nos protegem 
contra boa parte do vento solar, partículas altamente energéticas emitidas pelo Sol durante 
períodos de grande turbulência. A Figura 5 mostra a estrutura bastante complexa desse campo. De 
fato, o campo na proximidade da Terra é basicamente o campo gerado pela própria Terra. 
Contudo, à medida que nos afastamos da Terra, o campo é o resultado da superposição do campo 
magnético terrestre com o campo magnético solar. Para pontos mais distantes, o campo 
magnético solar é o campo dominante. 
Eg 
q- 
Eg 
q+ 
a b 
Curso de Física Básica – Volume II 11 
 
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Figura 5 – Linhas de campo magnético geradas por um imã. 
Figura 6 – Campo magnético terrestre. 
As linhas de força são ótimas ferramentas para se visualizar a direção e o sentido do campo C. 
Contudo elas não permitem o cálculo do módulo do campo C. Entretanto, há uma convenção que, 
se não permite o cálculo do módulo do campo, permite que se tenha uma ideia de onde o campo 
é mais intenso (maior módulo). Por convenção, o campo é mais intenso nas regiões onde as linhas 
de força estão mais próximas, e menos intenso (menor módulo) naquelas regiões nas quais as 
linhas de força são mais espaçadas. 
Fluxo e circulação de um campo vetorial 
Dois conceitos importantes quando falamos de campos vetoriais são os conceitos de fluxo e de 
circulação. Estes dois conceitos podem ser mais bem visualizados se pensarmos em um fluido que 
escorre através de uma tubulação. Veja a Figura 7. 
S 
N 
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Figura 7 – Líquido escorrendo por uma tubulação. 
Nesta figura mostramos um reservatório repleto de certo líquido, o qual escorre pela tubulação de 
seção reta retangular (a base da tubulação é retangular). 
O escoamento do fluido é caracterizado, basicamente, pela sua velocidade. Podemos falar de um 
campo de velocidades para o fluido da seguinte maneira: em cada ponto do fluido supomos que 
temos um elemento infinitesimal de volume. Esse elemento de volume é pequeno o suficiente 
para que possa ser considerado como um ponto quando comparado com o tamanho do 
reservatório e da tubulação, mas ainda suficientemente grande para conter um grande número de 
moléculas do fluido. Cada elemento infinitesimal é caracterizado pela sua velocidade v, a qual é a 
velocidade do fluido nesse ponto, e por certa densidade m
4. 
Consideremos agora a superfície retangular que é a base do cano de escoamento. Os pontos nessa 
superfície retangular são também caracterizados pela sua velocidade v e pela sua densidade . Se 
quisermos saber qual a quantidade de fluido que atravessa a superfície de área A = a.b na base da 
tubulação temos que calcular a componente da velocidade perpendicular à superfície em todos os 
pontos e multiplicar essa velocidade pela densidade local para saber a quantidade de fluído que 
está atravessando a superfície de área A naquele ponto. Vamos chamar a essa quantidade de 
densidade de fluxo de massa do fluído, simbolizada por m:4
 A densidade de massa é a quantidade de massa por unidade de volume. 
Reservatório de 
Líquido 
Tubulação 
a 
b 
Sentido de 
escoamento 
Elemento 
infinitesimal de 
fluido 
Vetor velocidade no 
elemento de fluido (v). 
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Figura 8 
Esquematicamente a situação é mostrada na Figura 8. 
m = mv.n 
O vetor n que aparece nessa equação é o vetor unitário perpendicular à superfície no ponto 
considerado. O estudante deve observar que essa é uma quantidade escalar. A quantidade de 
massa que atravessa a superfície total é o que chamamos de fluxo de massa (). O valor do fluxo 
é o valor da densidade de fluxo de massa multiplicada pela área da superfície: 
. n m mA A ab     v.n v.n
 eq. 5 
Nesse caso, temos uma situação relativamente simples, pois consideramos que a velocidade e a 
densidade eram as mesmas em todos os pontos da superfície. No caso mais geral isto não é mais 
verdadeiro, teremos valores de velocidade e de densidade diferentes em cada ponto da superfície. 
Assim, teremos que realizar uma integração sobre os pontos da superfície ao invés de 
simplesmente multiplicar pela área da superfície sob consideração: 
m
S
da   v.n
 eq. 6 
Na eq. 6 da indica um elemento de superfície e S indica que estamos realizando uma integral de 
superfície, cuja forma explícita depende do sistema de coordenadas que estamos utilizando. 
Exemplo 1 
Utilizando as eq. 6 e eq. 5 calcule o fluxo para o caso de a velocidade e a densidade do fluído 
serem constantes e a velocidade do fluído ser perpendicular à superfície S. 
v n 
ds 
Curso de Física Básica – Volume II 14 
 
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Vamos primeiro utilizar a eq. 5. Como a velocidade é perpendicular à superfície considerada temos 
que os vetores v e n são paralelos entre si e, portanto: v . n = v (lembre: o módulo do vetor 
normal é 1). Portanto, pela eq. 5 o fluxo será dado por: 
. n m mA A ab v     v.n
 eq. 7 
É fácil ver que a unidade do fluxo de massa é (usando unidades do Sistema Internacional): 
  3
kg m kg
m.m. . =
m s s
 
 
Ou seja, o fluxo de massa nos diz quantos quilogramas de fluido atravessam a superfície de área A 
a cada segundo. 
Vamos agora calcular pelo método da integração mostrado na eq. 6: 
0 0 0 0
m m
S S
a b a b
m m m
da vda
dx dy v v dx dy ab v
    
     
 
   
v.n
 
eq. 8 
Os dois resultados são idênticos. No cálculo mostrado na eq. 8, utilizamos coordenadas 
cartesianas pois temos uma simetria de tipo caixa, mostrada na Figura 7. 
Consideremos a situação mostrada na Figura 9. Nessa figura mostramos as linhas de campo do 
campo C que entram e saem do volume V limitado pela superfície S. Algumas linhas (as que saem 
do volume limitado por S) têm origem na partícula dentro do volume V. Outras (as que entram) 
têm sua origem em outras partículas na vizinhança. 
Figura 9 – Linhas de campo atravessando uma superfície S. 
Definimos como o fluxo do campo C através da superfície S ao número líquido de linhas de força 
que entra ou sai do volume V limitado por S. Essa definição, embora permita uma visualização da 
S 
C 
Curso de Física Básica – Volume II 15 
 
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ideia de fluxo mais simples, não é prática, já que o desenho das linhas de campo é arbitrário. Para 
ser operacional, a ideia de fluxo deve ser expressa de forma matematicamente precisa. 
Para fazer isso observemos a Figura 10 Nela é mostrada uma posição na superfície S e uma região 
em torno dessa superfície suficientemente pequena para que possamos considerar que no 
elemento de área ds o campo C seja constante. O vetor n, chamado de vetor normal a S, é um 
vetor unitário, perpendicular à superfície S no ponto considerado, formando um ângulo  com o 
vetor C na posição considerada. 
Figura 10 – Campo na superfície S. 
O campo C pode ser descrito em termos de dois outros vetores, componentes do campo C em um 
sistema de coordenadas com um dos eixos perpendicular a S e os outros dois eixos paralelos à 
superfície S. O eixo perpendicular à superfície S, e paralelo ao vetor n, chamaremos de C, a 
componente normal de C, e outro, paralelo à superfície, o qual chamaremos por C, a componente 
tangencial de C. Veja a Figura 11. 
A componente do campo C responsável pelo fluxo do campo é a componente normal, já que é ela 
que “atravessa” a superfície S. Essa componente normal do campo C é dada por: 
cos(θ) .C C  n C n
 
Nessa expressão, C é o módulo do campo C. O fluxo através do elemento de área ds será dado 
então pelo produto do módulo da componente normal do campo C pelo elemento de área ds: 
.ds ds C n
 eq. 9 
S 
C 
n 
Elemento de área ds. 
 
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Na eq. 9, o fluxo é representado pela letra  (lê-se fi) e o índice ds indica que estamos calculando 
apenas no elemento de área ds. Para obter o fluxo em toda a superfície S, basta que somemos 
sobre toda a superfície. Assim se dividirmos a superfície S em uma rede de n elementos de área dsi 
então, o fluxo total através da superfície S será dado por: 
1
.
n
S i i i
i
ds

 C n
 
O índice i indica que, nas parcelas, os vetores são tomados no elemento de área rotulado por i. 
Tomando o limite dessa expressão, quando o tamanho dos elementos de área dsi vai a zero: 
0
1
lim . .
i
n
S i i i S
ds
i S
ds ds


     C n C n
 eq. 10 
Figura 11 – Componentes do vetor C. 
O símbolo 
S

 na eq. 10 indica que a integral é uma integral de superfície5. Observe que o fluxo é 
uma quantidade escalar. 
Vamos agora discutir o conceito de circulação de um campo vetorial. Observe a Figura 12. Nessa 
figura temos uma curva fechada  e um campo vetorial C. Definimos a circulação do campo C 
sobre a curva , denotada por C como sendo a integral ao longo da curva  do produto escalar 
de C por dl, um elemento de comprimento da curva : 
 
5
 O acadêmico que ainda não estudou esse tipo de integração deve consultar o capítulo Complementos de Matemática. 
S 
C 
n 
C 
C|| 
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.C

  C dl
 eq. 11 
 
Figura 12 – Circulação de um campo vetorial. 
Qual a interpretação física dessa quantidade? 
Suponhamos que o campo C seja o campo de velocidades de um fluido. Então a eq. 11 se 
escreveria: 
.v

  v dl
 eq. 12 
A quantidade v.dl nos dá, em cada ponto ao longo da curva , a componente do vetor velocidade 
ao longo da curva . Vamos supor que a quantidade  tenha um valor diferente de zero. Nesse 
caso, a circulação nos indica que a soma das projeções de v ao longo da curva é diferente de zero. 
Isto nos dá uma direção preferencial para a velocidade do fluido ao longo da curva . Com isso, o 
fluido será impulsionado a girar, seguindo a curva . A consequência é a criação de um 
redemoinho, com o fluido espiralando ao longo da curva . Caso a circulação seja nula, então não 
haverá uma direção preferencial do fluxo do fluido ao longo da curva e não teremos a formação 
de redemoinhos. 
A Lei de Gauss para campos cuja dependência seja do tipo 1/ r2 
Podemos demonstrar uma lei geral, chamada Lei de Gauss, a qual relaciona o fluxo de um campo 
C através de uma superfície fechadaS qualquer quando esse campo depende apenas do módulo 
da distância da fonte ao ponto considerado (r) na forma 1/r2. Nesse tipo de situação o campo 
apresenta simetria esférica: todos os pontos em uma esfera de raio r têm o mesmo valor do 
módulo do campo C. Exemplos desse tipo de campo são os campos gravitacional e eletrostático. 
dl 
C 
C 
C 
C 
 
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Considere a situação mostrada na Figura 13. Seja uma superfície fechada S. Suponhamos que no 
seu interior haja uma partícula portadora de certa quantidade da propriedade qc responsável pela 
existência do campo C (massa ou carga elétrica, por exemplo). 
Figura 13 – Superfície gaussiana e os vetores C e n. 
Podemos calcular o fluxo do campo C através da superfície S usando a definição de fluxo: 
.S
S
ds   C n
. 
Se soubermos o valor de C em cada ponto da superfície S e o ângulo desse vetor com o vetor 
normal à superfície, n, em cada ponto. 
Esse cálculo nem sempre é fácil de fazer e, muitas vezes, queremos saber o valor de C sobre a 
superfície a partir do valor do fluxo do campo. 
Quando temos uma situação de alta simetria esse cálculo é enormemente simplificado se usarmos 
a Lei de Gauss. Essa lei relaciona o fluxo do campo C à quantidade da propriedade qc dentro da 
superfície S. A Lei de Gauss estabelece que se a partícula fonte do campo está dentro da superfície 
S então o fluxo do campo é certa constante, a qual depende do campo considerado, vezes o valor 
de qc. Se, por outro lado, a quantidade qc não está dentro da superfície S o valor do fluxo do 
campo C é zero. A demonstração da Lei de Gauss exige o uso de matemática avançada e, por isso, 
não a demonstraremos aqui, apenas a enunciaremos: 
 
r 
qc 
S 
C 
n 
Superfície 
fechada. 
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Lei de Gauss 
Seja um campo vetorial 
C
, criado por partículas portadoras da 
propriedade qc. O módulo de C depende do inverso do quadrado 
do módulo da distância da fonte até o ponto considerado (
2| |~1/| |C r
). O fluxo de 
C
, através de uma superfície fechada S, 
é dado por: 
 se estiver no volume limitado por S
.
0 se não estiver no volume limitado por S 
c c c
S
cS
q q
ds
q

   

C n
 eq. 13 
 
A constante c que aparece na expressão da Lei de Gauss depende do campo considerado. Por 
exemplo, no caso gravitacional essa constante é -4G, G sendo a Constante da Gravitação 
Universal. No caso eletrostático, essa constante vale 1/0 (0 é chamada de permissividade do 
vácuo, cujo valor será definido mais adiante). A quantidade qc é a massa no caso gravitacional e a 
carga elétrica no caso eletrostático. 
A eq. 13 é válida tanto para uma partícula como para um corpo extenso, totalmente contido em S. 
Observe que na Lei de Gauss, a posição em que a partícula está dentro da superfície S não 
importa. Na Figura 13, desenhamos a partícula no centro da superfície, na origem do sistema de 
referências, mas esse fato não influencia o resultado obtido. 
Podemos usar a Lei de Gauss junto com o princípio da superposição para calcular o fluxo de um 
corpo extenso, entendido como um corpo que pode ser decomposto em inúmeras partículas. Veja 
a Figura 14. 
Podemos escrever o campo total em qualquer ponto do espaço, com sendo a soma dos campos 
criados por cada um dos elementos de volume no ponto considerado. Assim no ponto P, por 
exemplo, o campo C será dado por: 
1 2 ... n   C C C C
 
Pela Lei de Gauss, o fluxo criado pelo campo de cada partícula, em uma superfície S qualquer será 
dado por: 
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1 1. c c
S
ds q C n
 eq. 14 
Figura 14 – Cálculo do fluxo do campo de um corpo extenso. 
Se somarmos agora sobre todos os fluxos, teremos o fluxo total que atravessa a superfície S: 
 
1 1 1 1
. . .
.
n n n n
i i i i
i i i iS S S
S
ds ds ds
ds
   
   
        
   
 
     

C n C n C n
C n
 
Por outro lado, se somarmos sobre o lado esquerdo da eq. 14, obteremos: 
1 1 1
n n n
c ic c ic c c c ic
i i i
q q Q Q q
  
 
    
 
  
 
Reunindo esses dois resultados, podemos então escrever a Lei de Gauss para um corpo extenso: 
. c c
S
ds Q C n
 eq. 15 
Elemento de volume 1 
Elemento de volume 2 
Elemento de volume 3 
Elemento de volume n 
r P 
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Na eq. 15, a quantidade Qc que aparece no lado direito é a quantidade líquida
6 da propriedade qc 
dentro da superfície S. Como antes, se a quantidade líquida da propriedade que cria o campo C for 
nula dentro da superfície S teremos o fluxo nulo. 
A Lei de Gauss é extremamente útil para calcularmos o módulo do campo C quando temos 
situações com alto grau de simetria. Isso porque temos que realizar a integração do produto 
escalar do vetor C e do vetor unitário n, o que pode ser difícil de ser feito se não tivermos 
simetria. Por exemplo, considere a Figura 15, na qual mostramos uma situação desse tipo. 
Observe que o produto C.n é diferente em cada ponto da superfície mostrada. 
Figura 15. 
Interação gravitacional entre partículas: o Campo Gravitacional (gg) 
Denominamos de Gravitação Newtoniana (ou Lei da Gravitação de Newton) a lei formulada por 
Isaac Newton7 que descreve uma propriedade intrínseca da matéria: atração entre corpos que 
contêm massa. Além da própria importância dessa teoria para descrever vários fenômenos, ela 
representa historicamente o triunfo de um processo de produzir conhecimento iniciado por 
Galileu Galilei8: experimentação, linguagem matemática e previsão de fenômenos. Estas etapas, 
tão comuns hoje na produção do saber científico, não eram importantes até o século XVII. Desde a 
antiguidade até o Renascimento prevaleceu nas civilizações ocidentais o conhecimento do mundo 
físico baseado apenas no senso-comum e nas ideias do filósofo grego Aristóteles. 
Isaac Newton nasceu na Inglaterra e em 1664 foi forçado a se isolar em uma fazenda devido a uma 
peste que assolava a Europa. Newton ficou nesse local por dois anos, aproximadamente. Durante 
 
6
 Veja que no caso elétrico, como as cargas têm sinais opostos, a quantidade líquida é obtida a partir da soma algébrica das cargas, 
levando-se em conta o sinal. 
7
 Isaac Newton (1642-1727)): filósofo, matemático, físico e astrônomo. Inglês. 
8
 Galileu Galilei (1564-1642): filósofo, matemático, físico e astrônomo. Italiano. 
C 
C 
n 
n 
Superfície S. 
 
Curso de Física Básica – Volume II 22 
 
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esse período, dedicou-se ao estudo de fenômenos da Ótica, da Mecânica Celeste e da Dinâmica 
dos corpos perto da superfície da Terra, entre outros assuntos. Nos anos de 1664 e 1665 concebeu 
conceitos físicos que somente alguns anos mais tarde puderam ser demonstrados 
matematicamente, graças à criação e ao desenvolvimento do cálculo diferencial e integral pelo 
próprio Newton e, paralelamente, por Leibniz9. 
Os resultados da aplicação da Gravitação Newtoniana aos fenômenos da natureza foram tão bons 
que essa teoria passou a ser tratada como verdade inquestionável pela maioria dos físicos durante 
os duzentos anos seguintes. A explicação do movimento dos astros, das marés,do lançamento de 
projéteis, etc., são exemplos do sucesso de seu emprego. Somente com o advento da Teoria da 
Relatividade Geral em 1915 é que os limites de aplicabilidade da Gravitação Newtoniana ficam 
determinados. 
Estudos históricos10 levantam a hipótese de que o conceito de uma interação entre os corpos 
materiais proporcional ao inverso do quadrado da distância entre eles seria de autoria de Robert 
Hooke11, um físico contemporâneo de Newton (Hooke teria proposto a teoria dessa interação, 
mas nunca a teria desenvolvido ao ponto em que Newton o fez). A briga pela autoria desse 
conceito teria sido a causa da inimizade entre eles. Além disso, Newton polemizou com Leibniz 
pela autoria do Cálculo Integral e Diferencial. Uma das grandes contribuições de Newton, talvez a 
maior de todas, foi acreditar que as leis que governam o mundo celeste são as mesmas que 
governam a queda da maçã. Com Newton se inicia definitivamente o pensamento científico 
moderno. 
Massa inercial e massa gravitacional 
Vimos no Capítulo III do Volume I que a lei da inércia nos diz que em um Sistema de Referências 
Inercial uma partícula mantém o seu estado de movimento inalterado se sobre ela não agir 
nenhuma força. Naquele contexto, definimos força como sendo a ação de algum agente externo 
ao sistema (a partícula no nosso caso) capaz de alterar o estado de movimento e que a 
propriedade das partículas (e também da energia) de opor resistência a essa mudança é chamada 
de inércia e sua medida é a massa. Essa massa, entendida como uma medida da inércia da 
partícula (ou de qualquer porção de matéria ou energia) recebe o nome de massa inercial. É essa 
 
9
 Wilhelm Leibniz (1646-1716): matemático alemão. 
10
 http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/%7Ehistory/HistTopics/Orbits.html, acessado em 19 de fevereiro de 2004. 
11
 Robert Hooke, 1635-1703. 
Curso de Física Básica – Volume II 23 
 
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massa inercial que entra na Segunda Lei de Newton: 
i
d
m
dt
 
p
F a
 (o índice i indica que estamos 
falando da massa inercial). 
No estudo da gravitação, contudo, surge a pergunta: qual a propriedade das partículas que as faz 
atraírem umas as outras? Qual a fonte do campo gravitacional? Essa propriedade, digamos, por 
analogia, a carga gravitacional, é também medida por uma quantidade chamada de massa, mas 
essa massa, para diferenciá-la da massa inercial recebe o nome de massa gravitacional, a qual 
indicaremos por mg. Quando a única força que age em um objeto é a força gravitacional, então 
podemos escrever: 
r gF F
 
Adiantando um pouco o que veremos mais adiante, perto da superfície da Terra a força 
gravitacional é dada simplesmente pelo produto da massa gravitacional pela aceleração 
gravitacional, g. Então podemos escrever: 
i gm ma g
 
Dessa equação podemos ver que a aceleração da partícula será a aceleração gravitacional se e 
somente se a massa gravitacional (mg) for igual à massa inercial (mi). 
Esta equivalência, só foi completamente compreendida com o desenvolvimento da Teoria Geral da 
Relatividade (Princípio da Equivalência) por Albert Einstein12 em 1915. Modernamente se assume 
que a massa inercial, a qual mede a inércia, e a massa gravitacional, a qual mede a carga 
gravitacional, são uma mesma e única quantidade. Falamos então simplesmente da massa de 
certa porção de matéria ou quantidade de energia. 
Campo gravitacional de uma partícula pontual (gg)13 
Partículas com massa possuem a propriedade de modificar o espaço a sua volta de tal forma que 
outras partículas com massa são atraídas por elas. O campo gravitacional é sempre atrativo, o que 
 
12
 Albert Einstein, 1879 – 1955. 
13
 No que segue, derivaremos a lei da gravitação universal com base nos experimentos da balança de torção realizados por 
Cavendish, mais de 100 anos após o trabalho de Newton baseado na observação astronômica. Com base nessas observações, a 
derivação da Lei da Gravitação Universal pode ser encontrada em vários livros de Física. Veja, por exemplo, o texto de Nussensveig 
nas referências bibliográficas. 
Curso de Física Básica – Volume II 24 
 
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significa que duas partículas com massa não se repelem mutuamente. Esse é um ponto 
interessante que diferencia o campo gravitacional dos outros campos que veremos mais adiante. 
Os outros campos conhecidos pela Física são ora atrativos ora repulsivos. A explicação do campo 
gravitacional pertence ao domínio da Relatividade Geral e foge ao escopo deste texto. No entanto, 
podemos apontar que a unificação (se possível) do campo gravitacional aos outros campos 
conhecidos (eletromagnético, nuclear forte e nuclear fraco) é o grande desafio da Física neste 
início de século14. 
Já vimos antes que o conceito de ação à distância coloca uma questão incômoda: como uma 
partícula “sabe” que a outra mudou sua posição e que a força que experimenta deve ser alterada? 
Veja a Figura 16. Nessa figura, mostramos o movimento de uma partícula de massa m sob a ação 
de outra partícula de massa M (colocada na origem por simplicidade) em dois pontos da trajetória, 
localizados pelos vetores r1 e r2. Como a partícula fonte do campo sabe das modificações de 
posição da partícula de massa m? Isto implica em uma comunicação instantânea entre as duas 
partículas, o que é vedado pela Relatividade Restrita que nos ensina que a maior velocidade com a 
qual a informação pode se propagar é a velocidade da luz, c15. 
Figura 16 – Interação gravitacional entre duas partículas. 
Experimentalmente, aprendemos que a força experimentada por uma partícula devido ao campo 
criado por outra partícula depende, basicamente, de dois fatores: 
a) Da massa da partícula que cria o campo 
 
14
 Como já comentamos anteriormente essa afirmação seria estritamente verdadeira até a alguns anos. Atualmente, com a 
possibilidade ainda não comprovada, da existência da Energia Escura, cuja interação gravitacional seria repulsiva, essa 
característica da força gravitacional, tal como a conhecemos atualmente, pode não ser verdadeira. 
15
 Aproximadamente 300.000 km/s. 
M 
r1 
r2 
m 
z 
y 
x 
m 
ˆ
r

r
r
 
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Quanto maior a massa da partícula que cria o campo maior o efeito do campo sobre outras 
partículas. Podemos expressar isto matematicamente dizendo que o campo é, em módulo, 
diretamente proporcional à massa da fonte16: 
|g | M 
b) Da distância entre o ponto onde o campo é calculado e a fonte do campo 
A ação de uma partícula decai com o inverso do quadrado da distância à fonte. Se 
chamarmos de r o vetor que une o ponto analisado e a posição da fonte, então (r |r|): 
2
1
| |
r
g .
 
Estes dois resultados experimentais são complementados por um terceiro resultado: a ação do 
campo ocorre ao longo da linha que une o ponto onde o campo está sendo calculado e a posição 
da fonte (veja a Figura 16). O vetor unitário nesta direção, se colocarmos a fonte na origem do 
sistema de referência, pode ser escrito simplesmente como 
ˆ
r
 rr
. Observe que o sentido desse 
vetor é o mesmo do vetor r. 
Reunindo esses resultados, podemos escrever que o campo gravitacional g criado por uma 
partícula de massa M, situada na origem do sistema de referência, é dado pelo produto dos dois 
resultados parciais acima, com uma constante de proporcionalidade:2
M
G
r r
 
r
g
 eq. 16 
O sinal negativo é colocado para indicar o caráter atrativo do campo gravitacional, já que o sentido 
da força é da partícula de massa m para a partícula de massa M. 
A constante G é chamada de Constante da Gravitação Universal e seu valor é (nas unidades do 
Sistema Internacional, SI): 
2
11
2
Nm
6,67 10
kg
G  
. 
 
16
 O símbolo  lê-se: diretamente proporcional a. 
Curso de Física Básica – Volume II 26 
 
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Lembrando da nossa definição de campo, se uma partícula de massa m for colocada na posição r, 
essa partícula experimentará uma força dada por: 
2g
mM
m G
r r
  
r
F g
 
eq. 17 
Você deve observar que a quantidade g é a aceleração que a partícula de massa m experimentaria 
se colocada na posição r: 
2
M
G
m r r
   
F r
a g
. 
No caso específico da Terra, perto da superfície, dados experimentais mostram que a aceleração 
provocada pelo campo gravitacional é aproximadamente constante, com módulo 9,81 m/s2. 
Portanto, nas proximidades da superfície da Terra, o módulo da força que a partícula experimenta 
(chamada de força peso, símbolo P) é dado por: 
P = m g = 9,81m N (a massa dada em quilogramas) 
Caso nenhuma das partículas esteja na origem temos a situação mostrada na Figura 17. Nesse 
caso, a expressão do campo gravitacional criado pela partícula fonte (m1) é um pouco mais 
complicado, pois envolve o vetor que localiza a partícula fonte do campo e o vetor que localiza o 
ponto onde o campo está sendo calculado (r1 e r2 respectivamente): 
1 1 2
2
1 2 1 2| | | |
m
G


 
r r
g
r r r r
 eq. 18 
Essa expressão nos fornece o vetor campo gravitacional criado pela partícula de massa m1, 
localizada na posição r1, na posição indicada pelo vetor r2. 
Se colocarmos uma partícula de massa m2 na posição indicada pelo vetor r2 então essa partícula 
experimentará uma força dada por (painel b da Figura 17): 
1 2 1 2 1 2
12 2 1 12 122 2
1 2 1 2 12
ˆ
| | | |
m m m m
m G G r
r

   
 
r r
F g F
r r r r
 eq. 19 
O índice em g indica que estamos falando do campo criado pela partícula de massa m1 na posição 
da partícula de massa m2. Observe que o sinal negativo está automaticamente contido no vetor 
r12  r1 – r2, o qual aponta da partícula de massa m2 para a partícula de massa m1. Na eq. 19, r12 é 
Curso de Física Básica – Volume II 27 
 
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o módulo da distância entre as duas partículas. Observe que nessa equação o sentido da força 
gravitacional e sua direção são dados pelo vetor unitário 
12
12
ˆ
r

r
r
. Portanto, tem sentido da 
partícula 2 para a partícula 1. É comum denominarmos a partícula 1 de carga fonte ou massa fonte 
e a partícula 2 de carga objeto ou massa objeto. 
Figura 17 - Partículas interagindo via força gravitacional quando nenhuma das partículas 
está na origem. (a) campo criado pela partícula 1 na posição indicada pelo vetor r2; (b) 
Força gravitacional experimentada pela partícula 2 colocada na posição indicada pelo 
vetor r2. 
Pela Lei da Ação e Reação (3ª Lei de Newton) podemos escrever que: 
21 12 F F
 eq. 20 
Nessa expressão, F21 é a força gravitacional exercida sobre a partícula 1 devido à partícula 2. Como 
todas as forças de Ação e Reação, elas não se cancelam porque são aplicadas em corpos 
diferentes. Essas forças tendem a aproximar as partículas, alterando o valor da distância que as 
separa. Conseqüentemente, seus valores mudam com o tempo. 
Mais do que uma simples notação matemática, o conceito de campo gravitacional tem um 
significado físico importante. Podemos interpretar o campo gravitacional como sendo a 
modificação das propriedades do espaço em torno da partícula de massa m devido ao fato desta 
ter massa gravitacional. Se modificarmos a grandeza m, o valor do campo gravitacional devido à 
partícula também é modificado em todos os pontos do espaço. Mantido constante o valor da 
massa da partícula (m) o campo gravitacional criado por ela depende exclusivamente da distância 
do ponto considerado à partícula fonte do campo. Esta é uma maneira de solucionar o problema 
m1 
x 
r1 
r2 
z 
y 
r12 
(a) 
r1 
r2 
z 
y 
r12 
(b) 
g F12 m1 
m1 
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da ação à distância percebido por Newton, em que corpos distantes são capazes de perceber a 
presença uns dos outros e interagirem entre si, mesmo na ausência de um meio material entre 
eles. 
Consequências da gravitação universal: as Leis de Kepler 
Conta a lenda, que Newton, quando procurado por Halley17, ao ser perguntado qual seria a forma 
da órbita de um cometa, respondeu que seria uma elipse. Incrédulo com a pronta resposta, Halley 
perguntou como Newton tinha conhecimento disso. Newton simplesmente respondeu que havia 
calculado essa órbita alguns anos antes: qualquer objeto que orbitasse o Sol seguiria uma lei do 
inverso do quadrado da distância e a trajetória imposta por esta dependência seria uma elipse 
com o Sol em um dos seus focos. 
A forma da órbita de um planeta é um dos capítulos mais interessantes da Física, o qual vem 
sendo escrito desde a Antiguidade. Você provavelmente já estudou essa história em um curso de 
História da Física (ou outro equivalente). 
As leis que governam o movimento dos planetas em torno do Sol (e de qualquer objeto sujeito à 
atração gravitacional de outro) são conhecidas como Leis de Kepler, em homenagem a Johanes 
Kepler, o primeiro a enunciá-las18. Kepler havia trabalhado com o astrônomo Tycho Brahe, do qual 
herdou uma série extremamente precisa de observações astronômicas sobre o movimento dos 
planetas. Trabalhando em cima desses dados observacionais, Kepler foi capaz de identificar as três 
leis do movimento planetário que levam o seu nome. É importante observar que o trabalho de 
Kepler é um trabalho típico de indução: dado um conjunto particular de dados, Kepler obtém as 
leis do movimento planetário e as generaliza. O trabalho de Newton, no entanto, é um trabalho de 
natureza dedutiva: supondo que a lei que liga os planetas ao Sol obedece a uma dependência com 
o inverso do quadrado da distância, Newton obtém as órbitas do movimento planetário, 
recuperando as Leis de Kepler. Em certo sentido, um trabalho complementa o outro. 
 
 
As três Leis de Kepler para o movimento planetário nos dizem que: 
 
17
 Veja um resumo da biografia de Halley em http://pt.wikipedia.org/wiki/Edmond_Halley. 
18
 Veja uma pequena biografia de Kepler no endereço http://pt.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler. 
Curso de Física Básica – Volume II 29 
 
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Lei das Órbitas 
As órbitas dos planetas são elipses e o Sol fica localizado em um 
dos focos dessa elipse; 
Lei das Áreas 
O vetor que liga o Sol aos planetas varre áreas iguais em tempos 
iguais; 
Lei dos Períodos 
O quadrado do período dos planetas é proporcional ao cubo do 
raio maior de sua órbita. 
Vamos agora interpretar cada uma dessas leis. 
A Primeira Lei de Kepler, Lei das Órbitas expressa o fato de que o movimento dos planetas em 
torno do Sol não é um círculo, como queriam os antigos gregos e escolásticos, mas uma elipse. O 
Sol ocupa um dos focos dessa elipse. Deve-se, contudo, ter cuidado e observar que, embora sejam 
elipses, essas elipses são quaseum círculo, com uma excentricidade muito pequena19. De fato a 
representação das órbitas dos planetas mostradas nos livros textos exagera um pouco a forma 
dessa elipse (veja a Figura 18). Para obter essa Lei devemos fazer uso de recursos matemáticos 
mais avançados dos que dispomos nesse momento. Você poderá comprovar esse fato em cursos 
avançados de Mecânica Clássica. 
A Segunda Lei de Kepler nos diz que o segmento de reta que une o planeta ao Sol percorre áreas 
iguais em tempos iguais. Uma as consequências dessa lei é que a velocidade angular dos planetas 
é diferente em diferentes pontos da órbita: quando o planeta está mais próximo do Sol a 
velocidade é maior do que quanto está mais afastado. Na Figura 18 representamos essa situação. 
Considere que o raio vetor do planeta se desloque da posição localizada pelo vetor r para a 
posição localizada pelo vetor r+dr em certo intervalo de tempo dt. 
 
19
 A excentricidade e de uma elipse é definida de tal modo que o produto ea (a o raio menor da elipse) seja igual à distância entre o 
centro da elipse e qualquer um dos dois focos. Usando o teorema de Pitágoras podemos escrever que a excentricidade da elipse é 
dada por: 2
2
1
b
e
a
 
, a e b sendo os raios maior e menor da elipse. Veja que para o círculo, e = 0, já que em um círculo os 
raios maior e menor são iguais e os dois focos e o centro coincidem, portanto. 
Curso de Física Básica – Volume II 30 
 
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Figura 18 – Órbita de um planeta em torno do Sol. A elipse está exagerada para fins de 
clareza. 
Nesse tempo, o deslocamento angular foi d. Então a velocidade angular será dada por: 
d
dt

 
Figura 19 – Área coberta pelo raio vetor do planeta em dois intervalos de tempo iguais. 
Por outro lado, para um deslocamento angular suficientemente pequeno, a área entre os dois 
vetores (r e r+dr) será dada aproximadamente por: 
21 1( )
2 2
dA r rd r d   
 
A variação dessa área no tempo será dada por: 
Sol 
Raio maior da 
elipse. 
Raio menor da 
elipse 
Órbita 
Periélio 
Afélio 
Planeta 
r 
 
Sol 
 
r 
d 
r + dr 
r’ 
r’ + dr’ d’ 
Curso de Física Básica – Volume II 31 
 
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2 21 1
2 2
dA d
r r
dt dt

  
 eq. 21 
Vamos analisar agora o momento angular do planeta. Esse momento angular, em módulo é dado 
por: 
2( )L rp mrv L mr r mr      
 eq. 22 
Nessa expressão foi usado que v=r e que os vetores r e p são perpendiculares entre si. 
Comparando as equações eq. 21 e eq. 22 vemos que podemos escrever a variação da área 
percorrida pelo planeta no intervalo de tempo dt como: 
21 1
2 2
dA
r L
dt m
 
 
Entretanto, o planeta e o Sol formam um sistema fechado e, pela conservação do momento 
angular, a taxa instantânea de variação da área percorrida pelo planeta também será constante. O 
que vem a ser justamente a Segunda Lei de Kepler. 
Vamos agora analisar a Terceira Lei de Kepler. Para obtê-la faremos uso do fato de que as órbitas, 
apesar de serem elipses, podem ser aproximadas por uma circunferência, já que a excentricidade 
da elipse é pequena. Assim, podemos escrever que a força centrípeta sobre o planeta é a força 
gravitacional: 
2 2
2
2
( )sGM m mv m r mr
r r r

   
 
Vamos usar agora a relação entre o período T e a freqüência angular, : 
2
T

. Logo, podemos 
escrever que: 
2
2
2 3
2s sGM m GMmr
r r T
 
     
 
 
2
2 34
s
T r
GM
 
  
 
 eq. 23 
A eq. 23 vem a ser justamente a Terceira Lei de Kepler. 
Curso de Física Básica – Volume II 32 
 
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Interação elétrica entre partículas: o Campo Elétrico (EE) 
A carga elétrica é outra propriedade das partículas capaz de alterar o espaço no entorno da 
partícula, criando um campo: o campo elétrico. 
Diferentemente do campo gravitacional, o campo criado por partículas com carga elétrica pode 
ser de natureza atrativa ou repulsiva. Da observação dos experimentos sabemos que existem dois 
tipos de carga elétrica que são chamados, arbitrariamente, de positivo e negativo. A razão pela 
qual existem somente dois tipos de carga elétrica é desconhecida. O fato é que partículas 
portadoras de carga elétrica de mesmo tipo se repelem enquanto que partículas portadoras de 
carga elétrica de tipos diferentes se atraem. A carga elétrica de uma partícula é medida pela 
quantidade de carga elétrica de que a partícula é portadora. Utilizaremos para simbolizar a 
quantidade de carga elétrica a letra q. Esta quantidade pode ser positiva (indicando uma carga 
elétrica de tipo positivo) ou negativa (indicando uma carga elétrica de tipo negativo). A unidade de 
medida da carga elétrica é o Coulomb20. 
Também da observação experimental sabemos que existe um valor mínimo de quantidade de 
carga elétrica: a quantidade de carga elétrica dos elétrons (carga elétrica de tipo negativo) ou dos 
prótons (carga elétrica de tipo positivo). As quantidades de carga elétrica de todas as outras 
partículas sendo múltiplos inteiros da quantidade de carga elétrica destas partículas fundamentais. 
Indicamos a quantidade de carga elétrica de um elétron por – e enquanto que a quantidade de 
carga elétrica de um próton é indicada pela letra e21. Com essa notação, a quantidade de carga 
elétrica de uma partícula qualquer será dada por (n é um número inteiro): q = ne (carga elétrica de 
tipo positivo) ou q = -ne (carga elétrica de tipo negativo). 
Partículas com carga elétrica modificam o espaço a sua volta de forma muito semelhante às 
partículas com massa: 
1. Quanto maior a quantidade de carga elétrica da fonte, mais a partícula de teste é acelerada 
pelo campo: 
E Q
 
 
20
 Lê-se Culom. Esse nome foi escolhido em homenagem ao físico francês Charles Augustin de Coulomb (nascido em 14 de Junho 
de 1736 em Angoulême e morto em 23 de Agosto de 1806 em Paris). 
2121
 No Sistema Internacional de unidades e = 1,6 x 10
-19
 C. 
Curso de Física Básica – Volume II 33 
 
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2. Quanto mais próxima da fonte, mais a partícula de teste será acelerada pelo campo. Do 
mesmo modo que para o campo gravitacional, o campo elétrico de uma partícula depende 
com o inverso do quadrado da distância à fonte do campo: 
2
1
E
r

 
Também como o campo gravitacional, o campo elétrico de uma partícula atua na direção 
da linha que une a partícula fonte do campo e a partícula de teste (veja a Figura 20). 
No entanto, diferentemente do campo gravitacional, para o qual somente existe um tipo de 
massa, as cargas elétricas podem ser de dois tipos. Conseqüentemente, o sinal da carga de teste é 
importante na determinação do sentido do campo elétrico. Se a carga de teste fosse do mesmo 
tipo que a carga da partícula que cria o campo então o sentido do campo elétrico seria na direção 
do vetor 
rˆ
e caso a carga da partícula teste fosse de tipo diferente da carga da partícula que cria o 
campo o sentido do campo seria oposto ao do vetor 
rˆ
. Para evitar essa ambiguidade, define-se, 
arbitrariamente por certo, que o sentido do campo elétrico em uma dada posição indicada pelo 
vetor r será dado pelo sentido da aceleração experimentada por uma partícula de teste com carga 
positiva colocada nessa posição. 
Reunindo esses resultados, o campo elétrico E criado por uma partícula colocadana origem do 
sistema de coordenadas, a qual tem certa quantidade de carga Q, será dado por: 
2
Q
k
r r

r
E .
 
Figura 20 - Carga de prova para determinação do campo elétrico. 
r 
rˆ
 
carga de prova 
(de tipo positivo) 
 
Fonte do 
campo (Q) 
Curso de Física Básica – Volume II 34 
 
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Nesta expressão, o vetor r é o vetor que localiza a carga de teste em relação à origem (onde a 
fonte do campo está colocada). 
A força elétrica Fe experimentada pela carga de prova será dada pelo produto da quantidade de 
carga da carga de prova (que simbolizaremos pela letra q) pelo valor do campo: 
2e
qQ
q k
r r
 
r
F E
 eq. 24 
O estudante deve observar a semelhança formal entre esta expressão para a força elétrica e a 
expressão anterior para o campo gravitacional (eq. 16). 
A constante k que aparece na eq. 24 depende do sistema de unidades utilizado. No Sistema 
Internacional de Unidades (SI), essa constante é dada por: 
9 2 2
0
1
8,99 10 N.m /C
4
k   

 
A constante 0 é chamada de permissividade elétrica do vácuo, e seu valor é: 
12 2 2
0 8,85 10 C . m /N
  
. Cabe aqui um comentário a respeito dos diferentes sistemas de 
unidades e o eletromagnetismo. Diferentemente dos problemas em Mecânica, onde o sistema de 
unidades utilizado não interfere na forma final das equações, no Eletromagnetismo deve-se ter 
muito cuidado com a definição clara de qual sistema de equações se está utilizando, pois a forma 
das equações se modifica caso mudemos de sistema de unidades. Por exemplo, no sistema CGS a 
eq. 24 seria escrita como: 
2e
qQ
q
r r
 
r
F E
. 
Ou seja, a constante k vale 1 nesse sistema de unidades. Ao longo desse texto usaremos sempre o 
Sistema Internacional de unidades (SI). 
Observe que no que foi exposto acima, a posição da partícula que cria o campo é considerada 
constante. Logo, o campo elétrico criado por essas partículas também é constante e não varia no 
tempo. As situações em que essa hipótese é válida compõem o domínio da Eletrostática22. No 
domínio da Eletrostática, apenas cargas elétricas podem criar campos elétricos. Mais adiante 
 
22
 O campo calculado a partir da hipótese de que as cargas estão em repouso é chamado de campo eletrostático algumas vezes. 
Curso de Física Básica – Volume II 35 
 
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estudaremos situações onde cargas elétricas podem se movimentar (criando correntes elétricas e 
estas, campos magnéticos). Nessa situação, se a corrente elétrica variar no tempo, então haverá 
campos magnéticos variando no tempo. Esses campos magnéticos que variam no tempo também 
podem ser fontes de campos elétricos. 
Exemplo 2 - Cálculo de campos elétricos: o dipolo elétrico. 
Como um primeiro exemplo de aplicação do cálculo do campo elétrico, consideremos um sistema 
de duas cargas pontuais de cargas opostas, separadas por uma distância d. As duas cargas elétricas 
são iguais em módulo (qd > 0). Chamamos a esse tipo de arranjo de dipolo elétrico (veja a Figura 
21). 
Figura 21 – o dipolo elétrico. 
Consideremos agora a seguinte pergunta: Qual a ação de um campo elétrico sobre o dipolo? 
Para responder a essa pergunta, vamos considerar um dipolo em uma região onde temos um 
campo elétrico uniforme. Podemos, sem perda de generalidade, chamar a direção do campo 
elétrico como sendo o eixo y. Consideraremos a situação na qual o dipolo está no plano (y,z) e o 
eixo do dipolo faz um ângulo  com a direção y, a direção do campo elétrico uniforme. Veja a 
Figura 22 na qual não mostramos o eixo x por simplicidade. 
Nessa situação, as cargas elétricas que compõem o dipolo experimentarão uma força elétrica dada 
por: 
dq F E
 
+ - 
d/2 -q q 
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Como as cargas são iguais em módulo, o módulo da força elétrica em cada uma delas será igual, já 
que o campo elétrico é uniforme (o mesmo em todo o espaço). Contudo, as forças elétricas 
aplicadas nas duas cargas têm sentidos diferentes: enquanto a força aplicada na carga positiva 
aponta para a direita, no sentido positivo do eixo y, a força aplicada na carga negativa aponta para 
a esquerda, no sentido negativo do eixo y. Portanto, a força resultante aplicada sobre o sistema 
será nula: 
0r    F F F
 (F+ é a força que atua na carga positiva e F- é a força que atua na carga 
negativa). 
Figura 22 – O dipolo elétrico na presença de um campo elétrico uniforme. 
Embora a força resultante seja nula, existe um torque atuando sobre o dipolo. Vamos calcular esse 
torque aplicando a definição de torque: 
 τ r F
 
eq. 25 
O torque total sobre o dipolo será escrito como a soma dos torques sobre cada uma das partículas 
do dipolo: 
  τ τ τ
. 
Escrevendo estes torques explicitamente: 
       d dq q            r F r F r E r Eτ
 
Nesta expressão, os subscritos + e – indicam os torques calculados sobre as partículas do dipolo 
com carga positiva e negativa respectivamente. 
+ 
- 
 
y 
z E 
q 
-q 
 
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O torque que atua em cada partícula tem direção perpendicular ao vetor r e ao vetor E. Portanto, 
esse torque atua na direção x. Tomando o dipolo no plano (y,z) e a força que atua na carga 
positiva será na direção +y, portanto, o torque que atua na carga positiva terá o sentido dado por: 
( )) ( )
( ) ( )
( )
d d y z y
d y y d z y
d x
q q y z E
q yE q zE
q zE



    
   
 
r E e e e
e e e e
e
τ
τ
τ
 
Logo, o torque que atua na carga positiva será no sentido negativo do eixo x. Para a carga 
negativa, a componente no eixo z será dada por –z, mas, por outro lado, a força terá sentido –y. 
Obteremos, portanto, o mesmo resultado: 
( )) ( )
( ) ( )
( )
d d y z y
d y y d z y
d x
q q y z E
q yE q zE
q zE



      
    
 
r E e e e
e e e e
e
τ
τ
τ .
 
A coordenada z que aparece na expressão do torque Pode ser escrita em função do módulo do 
vetor r, que localiza cada uma das cargas do dipolo, e do ângulo  mostrados na Figura 22 como: 
sen(θ)z r
. 
Logo, o módulo do torque que atua sobre cada uma das partículas será dado por: 
 
| | sen( )
| | sen( ) sen( );
2 2
d
d
d d d
q rE
pd
q E E p q d



   
τ =
τ =
.
 
Nessa expressão, pd é chamado de momento de dipolo elétrico. Essa quantidade tem um caráter 
vetorial e, por definição, é um vetor que aponta da carga negativa em direção à carga positiva e 
cujo módulo é dado por: pd  qd d (veja a Figura 23). 
O módulo do torque total será a soma desses dois torques: 
| | 2| | sen( ) sen( )d dq dE p E    τ = τ
 eq. 26 
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Figura 23 – O momento de dipolo 
Na eq. 26, vemos que o módulo do torque é dado pelo produto do módulo do momento de dipolo 
elétrico pelo valor do campo elétrico multiplicado pelo seno do ângulo entre os dois vetores, o 
que tem a mesma estrutura do módulo de um produto vetorial . 
Figura 24 – Torque em um momento de dipolo. 
Podemos então generalizar essa equação, escrevendo-a na forma vetorial: 
d p Eτ
 eq. 27 
Atuado por esse torque, o dipolo começará a girar no