Cálculo (Volume 2)

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Cálculo (Volume 2)
Conteúdo
1 Capa 1
2 Prefácio 2
3 Prefácio 3
4 Cônicas 4
5 As cônicas 5
5.1 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.1.1 Exemplo 1 - Parâmetros da parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.1.2 Exemplo 2 - Equação da parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.2 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.2.1 Exemplo 1 - Parâmetros da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.2.2 Exemplo 2 - Equação da elipse I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.2.3 Exemplo 3 - Equação da elipse II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.3 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.3.1 Exemplo 1 - Encontrando os parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.3.2 Exemplo 2 - Encontrando a equação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6 Formas paramétricas 11
6.1 Formas paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.1.1 O parâmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.1.2 Interpretando valores e gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.1.3 Funções paramétricas diversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.1.4 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.1.5 Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7 Formas polares 19
7.1 Formas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7.1.1 As coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7.1.2 Funções polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.1.3 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.1.4 Plotando gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.1.5 Plotando gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
i
ii CONTEÚDO
7.1.6 Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7.1.7 Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7.1.8 Comprimento de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8 Geometria tridimensional 25
8.1 Coordenadas tridimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8.2 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8.3 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8.3.1 Equações da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8.3.2 Relacionando duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8.4 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8.4.1 Equação do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8.4.2 Pontos no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8.4.3 Interseção entre planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8.4.4 Distância entre ponto e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8.5 Superfícies simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8.5.1 Superfícies cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8.5.2 Superfícies quadrátricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
9 Sistemas de coordenadas 32
9.1 Coordenadas retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9.1.1 Localização de pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9.1.2 Planos primários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9.1.3 Distância entre pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9.1.4 A esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.2 Coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.3 Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
10 Vetores no espaço 35
10.0.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
10.0.2 Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10.0.3 Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10.0.4 Multiplicação por escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10.0.5 Propriedades do produto por escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
11 Vetores e produtos 38
11.1 Produtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
11.1.1 Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
11.1.2 Produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
11.1.3 Produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
12 Funções vetoriais 42
12.1 Funções e curvas vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
CONTEÚDO iii
12.1.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
12.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
12.2.1 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
12.3 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
12.4 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
12.4.1 Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
12.5 T48 - Ortogonalidade entre função e derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
12.6 Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
12.6.1 Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
12.6.2 Integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
12.6.3 Teorema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
12.6.4 Exemplo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
13 Aplicações de funções vetoriais 45
13.1 Arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
13.1.1 Reparametrização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
13.1.2 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
13.1.3 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
13.2 Curvaturas . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
13.2.1 T49 - Curvatura da função vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
13.2.2 Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
13.3 Curvatura em duas dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
13.3.1 T50 - Curvatura de uma função no plano (x,y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
13.4 Normais e binormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
13.4.1 Exemplo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
13.5 Mecânica no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
13.5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
13.5.2 Acelerações tangentes e normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
13.5.3 Exemplo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
14 Funções de várias variáveis 52
15 Funções 53
15.1 Funções de duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
15.1.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
15.1.2 Representação gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
15.1.3 Curvas de nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
15.2 Funções de mais de duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
16 Derivadas parciais 55
17 Integrais múltiplas 56
17.1 Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
iv CONTEÚDO
17.1.1 Integrais duplas sobre retângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
18 Integrais de linha 57
18.1 Fontes, contribuidores e licenças de texto e imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
18.1.1 Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
18.1.2 Imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
18.1.3 Licença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Capítulo 1
Capa
1
Capítulo 2
Prefácio
2
Capítulo 3
Prefácio
Este livro inicia o estudo do Cálculo para várias variáveis
e análises mais complexas, ao contrário do que muitos
possam pensar este não é um livro voltado para a dis-
ciplina Cálculo II, presente em vários cursos universi-
tários, principalmente porque a base curricular de todos
os países lusófonos não é a mesma, na verdade a divisão
deste estudo foi feita pensando na acomodação do con-
teúdo em três livros distintos, de forma a comportar todo
o conteúdo da disciplina, embora que mantendo a ordem
programática do conteúdo de forma didática.
O Cálculo de várias variáveis inicia-se por novos concei-
tos de representação gráfica das funções, o que é impres-
cindível para que tenhamosmeios de analisar funções que
desenvolvem seus valores sob formas multidimensionais.
Em seguida, com um estudo da geometria tridimensional
nos aprofundamos no uso da análise de funções no es-
paço, o que nos possibilita verificar as grandezas no nosso
dia a dia com exemplos práticos. Depois teremos um es-
tudo do Cálculo vetorial, uma ferramenta extremamente
poderosa e largamente utilizada nos diversos cursos da
área de ciências exatas, seguindo temos uma introdução
a equações diferenciais, que devido a sua complexidade
deverá ser melhor explorada no volume III e finalmente
uma introdução a séries, também mais bem explorada no
próximo livro.
A abrangência deste tema nos leva a uma maior apro-
ximação das análises práticas mais complexas dentro do
universo, a compreensão destes conceitos faz a distinção
dentro dos que dominam técnicas de análise simples e
renomados estudiosos de nossos tempos. Por isso, convi-
damos a todos os apaixonados pela análise matemática a
vislumbrar mais este desafiante conteúdo, que nos revela
novas possibilidades, como todas as novas ferramentas
que aprendemos a usar e com as quais nos fascinamos.
3
Capítulo 4
Cônicas
Wikiversidade - Disciplina: Cálculo III
4
Capítulo 5
As cônicas
Conjuntos de pontos definidos em um gráfico podem ser
analisados de acordo com suas características simétricas,
como por exemplo, aquelas que definem uma equivalên-
cia de valores, ou uma correspondência dos mesmos em
relação a pontos específicos no gráfico. Certos pontos
que podem ser considerados como referência de valores
simétricos em relação aos pontos de uma curva são, ge-
ralmente, referenciados como os focos. De forma geral
os focos de um sistema podem ser conseguidos quando o
conjunto de pontos analisado assume contornos de estru-
turas cônicas cortadas por planos inclinados.
O efeito do secionamento de cones por planos geram estas
estruturas que são chamadas de cônicas, ou seções côni-
cas, como muitas vezes são referenciadas em alguns tex-
tos de geometria.
Muitas vezes devemos adicionar um eixo de referência
para que as características de simetria sejam observadas.
Esta reta chamamos de diretriz.
5.1 Parábola
A parábola é a cônica mais simples, ela representa o con-
junto de pontos em torno de um único foco, o qual es-
tabelece uma relação de simetria com uma diretriz. A
parábola é resultante de uma equação puramente quadrá-
tica. Resta-nos saber quais as relações desta equação com
a definição de foco e diretriz.
Observemos o gráfico a seguir:
Logo abaixo do foco, o ponto A é conhecido como vér-
tice, que se estabelece como o ponto mínimo absoluto no
gráfico da parábola.
A distância entre o foco e o vértice é a mesma do vértice
para a diretriz, os pontos na parábola mantém a mesma
distância do foco e da diretriz.
A simetria nos sugere que podemos encontrar uma rela-
ção simples para uma parábola cujo vértice está no ponto
(0, 0) e que possui foco no ponto (0, fy) . Fazendo a re-
lação de simetria temos:
P = (x, y) ;
F = (0, fy) ;
Q = (x,−fy) .
O que nos permite fazer:
PF = PQ√
x2 + (y − fy)2 =
√
0 + (y + fy)2
x2 + (y − fy)2 = (y + fy)2
x2 + y2 − 2yfy + f2y = y2 + 2yfy + f2y
x2 − 2yfy = 2yfy
x2 = 4yfy
y = x
2
4fy
E eis nossa equação quadrática para esta parábola primá-
ria estabelecida nos eixos.
Esta relação é meramente funcional para o foco no eixo
das ordenadas, se quisermos fazer uma equivalência de
variáveis e estabelece-la para as abscissas teremos:
x = y
2
4fx
Generalizando para o plano cartesiano xy , temos a equa-
ção acima como um conjunto particular da equação mais
geral, onde podemos observar fx e fy como a distância
entre foco e vértice, considerando-o como parâmetro in-
dependente da posição, neste caso podemos escrever:
5
6 CAPÍTULO 5. AS CÔNICAS
y = x
2
4p
ou,
x = y
2
4p
Para cada um dos casos acima, identificando p como dis-
tância foco-vértice. Esta denominação nos faz pensar em
uma equação independente de posição. Tomando como
base o vértice, podemos dizer que, se o mesmo tem co-
ordenada (xv, yv) temos:
y = (x−xv)
2
4p + yv
ou,
x = (y−yv)
2
4p + xv
5.1.1 Exemplo 1 - Parâmetros da parábola
Encontrar os parâmetros da parábola:
y = x2 − 2x+ 4 .
Façamos a adaptação da equação para o formato que nos
permita analisar os valores:
y = x2 − 2x+ 1− 1 + 4 .
y = (x− 1)2 + 3 .
y − 3 = (x−1)2
4( 14 )
Como podemos verificar o vértice da parábola está no
ponto (1, 3) . Uma vez que a equação representa uma
função onde a variável das abscissas tem grau 2, o foco e
o vértice da parábola estão no mesmo valor de x e como
o parâmetro p = 14 ,temos o valor do foco:
f0 =
(
1, 134
)
E a diretriz é:
y = 114
5.1.2 Exemplo 2 - Equação da parábola
Encontrar a equação da parábola cujo vértice está na coo-
denada (2,−3) e está distante da sua diretriz 3 unidades,
sabendo que a concavidade da mesma está voltada para
cima.
Como a concavidade da parábola está voltada para cima,
temos o foco e o vértice para o mesmo valor de x que tem
grau 2:
y + 3 = (x−2)
2
12
y = x
2−4x+4
12 − 3
y = x
2−4x−32
12
A equação é:
y = x
2
12 − x3 − 83
5.2 Elipse
A elipse é uma cônica largamente utilizada, principal-
mente em áreas de tecnologia e Física. As característi-
cas fundamentais do seu formato estão relacionadas di-
retamente com a natureza das teorias de espaços curvos,
que são estudadas atualmente pelos físicos teóricos. Nas
áreas de tecnologia, as características de hiperbolicidade
no comportamento de certas grandezas físicas, desta-
cando as eletromagnéticas, são aplicáveis em vários equi-
pamentos onde observam-se conceitos elétromagnéticos
e ópticos, os mesmos possuem comportamentos elípticos
devido a estas características.
Define-se a elipse como o conjunto de pontos em torno
de dois focos, onde a soma das distâncias entre um ponto
e cada foco é uma constante. Vejamos o gráfico abaixo:
A equação da elipse pode ser encontrada, como no caso
anterior da parábola, explorando a propriedade de sime-
tria dos diversos pontos, os quais mantém a soma das duas
distâncias para os focos sempre igual para todos os pontos
da curva. Podemos fazer:
F1P + F2P = K
Sendo P , um ponto qualquer eK a constante. Conforme
observamos no gráfico, temos dois lados simétricos onde
a distância ao foco de cada lado é e , a altura é b e uma
distância entre o foco e o ponto b que é a , o que nos leva
a dizer queK = 2a , portanto:
F1P + F2P = 2a
Sendo a elipse centrada nos eixos, temos os pontos:
F1 = (e, 0)
F2 = (−e, 0)
P = (x, y)
O que nos leva a:√
(x− e)2 + y2 +√(x+ e)2 + y2 = 2a
5.2. ELIPSE 7
√
(x+ e)2 + y2 = 2a−√(x− e)2 + y2
Elevando os dois termos da equação ao quadrado:
(x+e)2+y2 = 4a2−4a√(x− e)2 + y2+(x−e)2+y2
Fazendo a simplificação algébrica, teremos:
ex = a2 − a√(x− e)2 + y2
a2 − ex = a√(x− e)2 + y2
Elevamos os dois membros ao quadrado novamente:
(a2 − ex)2 = a2[(x− e)2 + y2]
Depois das simplificações algébricas teremos:
(a2 − e2)x2 + a2y2 = a2(a2 − e2)
Porém, observando o gráfico, podemos concluir que:
(a2 − e2) = b2
e a equação pode ser:
b2x2 + a2y2 = a2b2
O que nos leva a equação da elipse:
x2
a2 +
y2
b2 = 1
Podemos verificar que quando x = 0 temos: y = ±b e
quando y = 0 temos: x = ±a , sendo estes valores o
menor e o maior raio para a cônica, respectivamente.
Quando substituimos as variáveis ou as constantes, uma
pela outra, temos uma elípse cujo maior raio sustenta-
se no eixo das ordenadas, pois a correlação de valores é
intuitivamente perceptível no gráfico. De maneira geral,
se a > b teremos uma elipse com o raio maior sobre as
abscissas e se b > a a teremos com o raio maior sobre
ordenadas.
O centro da elipse serve de referência quando a mesma
não está centrada na orígem do sistema de eixos. Para
converter valores a forma correta para uma elipse fora
da orígem do sistema de eixos, usamos a referência das
coordenadas absolutas do ponto onde o centro da elipse se
encontra, para encontrar a equação correta para a mesma:
(x−x0)2
a2 +
(y−y0)2
b2 = 1
5.2.1 Exemplo 1 - Parâmetros da elipse
Encontrar o eixo maior, o eixo menor, os vértices e os
focos da elipse representada pela equação: 16x2−32x+
9y2 − 36y − 92 = 0 .
Primeiro, reduzimos a equação a forma padrão para ana-
lisar os valores das constantes, para isso formamos qua-
drados perfeitos com as partes de cada variável:
16(x2 − 2x+ 1− 1) + 9(y2 − 4y + 4− 4)− 92 = 0
16(x− 1)2 − 16 + 9(y − 2)2 − 36− 92 = 0
16(x− 1)2 + 9(y − 2)2 = 144
(x−1)2
9 +
(y−2)2
16 = 1
Portanto,
• O centro da elipse está na coordenada (1, 2) ;
• O raio maior mede 4 unidades e é paralelo às orde-
nadas;
• O raio menor mede 3 unidades e é paralelo às abs-
cissas.
• Os vértices são: (1, 6) ; (1,−2)
Para calcular as coordenadas dos focos fazemos:
e = ±√a2 − b2
e = ±√42 − 32
e = ±√7
• Os focos são: (1, 2±√7) .
5.2.2 Exemplo 2 - Equação da elipse I
Encontrar a equação da elipse cujos focos tem como co-
ordenadas: (3, 1) ; (3,−5) e raio menor igual a 2 unida-
des.
Podemos verificar que os focos estão sobre um mesmo
valor de abscissa, enquanto que as ordenadas são 1 e −5
, o que nos dá um valor de e = 3 , logo temos:
a =
√
e2 − b2
a =
√
32 − 22
a =
√
5
O centro da elipse está no ponto médio entre os dois fo-
cos, ou seja: (3,−2)
A equação da elipse é, portanto:
(x−3)2
4 +
(y+2)2
5 = 1
5.2.3 Exemplo 3 - Equação da elipse II
Encontrar a equação da elipse, cujos focos são expressos
por f = (±4, 0) e que passa pelo ponto p = (3, 125 ) .
Em primeiro lugar:
a2 − b2 = 16
e
9
a2 +
144
25b2 = 1
225b2 + 144a2 = 25a2b2
Que nos dá o sistema:{
a2 − b2 = 16
144a2 + 225b2 = 25a2b2
Podemos resolvê-lo por substituição, da segunda equação
temos:
8 CAPÍTULO 5. AS CÔNICAS
a2 = 225b
2
25b2−144
Que substituimos na primeira equação:
225b2
25b2−144 + b
2 = 16
225b2 − 25b4 + 144b2 = 400b2 − 2304
25b4 + 31b2 − 2304 = 0
Considerando que b2 deve ser positivo, a raiz possível da
equação é:
b2 = 9
Então, substituimo-la em:
a2 = 225b
2
25b2−144
a2 = 225·925·9−144
a2 = 25
Portanto, a equação da elipse é:
x2
25 +
y2
9 = 1
5.3 Hipérbole
O uso desta cônica no estudo das teorias de geometrias
não euclidianas é fundamental, a hipérbole é especial-
mente explorada nas novas teorias da Física devido as
características das superfícies hiperbólicas presentes nos
modelos do universo.
A hipérbole é definida como o conjunto de pontos em um
gráfico, cuja diferença das distâncias entre qualquer des-
tes pontos e os seus dois focos é igual a uma constante.
Não acidentalmente, o modelo de relação de simetria pre-
sente na hipérbole é muito parecido com o da elipse, na
verdade, podemos fazer a mesma análise da distância en-
tre pontos e focos, que fizemos com a elipse, para encon-
trar a equação da hipérbole.
Considerando a relação de simetria dos pontos em relação
aos dois pontos, podemos verificar que:
|F2P | − |F1P | = ±K
Note que, ao definirmos as ditâncias como referência,
devemos assegurar que oa seus valores sejam absolutos
e depois estabelecer o sinal correto para a constante em
cada caso.
Quando estabelecemos os valores das constantes pode-
mos fazer com que:
e2 = a2 + b2
Esta relação pode ser facilmente visualizada observando-
se o gráfico abaixo:
Adaptando a equação anterior, como no caso da elipse,
teremos:
|F2P | − |F1P | = ±2a√
(x+ e)2 + y2 −√(x− e)2 + y2 = ±2a√
(x+ e)2 + y2 =
√
(x− e)2 + y2 ± 2a
Elevamos os dois lados da equação ao quadrado e simpli-
ficamos:
(x+e)2+y2 = (x−e)2+y2±4a√(x− e)2 + y2+4a2
ex = a2 ± a√(x− e)2 + y2
ex− a2 = ±a√(x− e)2 + y2
Elevamos novamente ao quadrado os dois lados da equa-
ção:
e2x2 − 2exa2 + a4 = a2x2 − 2exa2 + e2a2 + a2y2
e2x2 + a4 = a2x2 + e2a2 + a2y2
(e2 − a2)x2 = a2(e2 − a2) + y2a2
Como b2 = e2 − a2 , podemos fazer:
b2x2 = a2b2 + y2a2
b2x2 − y2a2 = a2b2
O que nos revela a equação da hipérbole:
x2
a2 − y
2
b2 = 1
De forma análoga ao caso da elipse, podemos verificar
que quando y = 0 temos x = ±a , porém para o caso
em que x = 0 o valor está indefinido, visto que a função
não existe no intervalo entre os dois vértices.
Note que o sinal das partes variáveis determina a direção
do gráfico, no caso acima, onde a expressão mostra a sub-
tração da parte x2a2 pela parte y
2
b2 , temos uma hipérbole
com focos na horizontal, no caso contrário temos uma
hipérbole com focos na vertical.
Para os casos onde a hipérbole tem focos na vertical a
equação é definida como:
y2
a2 −x
2
b2 = 1
O que define os coeficientes 1a2 e − 1b2 comuns às duas
formas de hipérboles, definindo a posição das variáveis
como determinante da direção onde a cônica irá ser apre-
5.3. HIPÉRBOLE 9
sentada no gráfico.
No gráfico podemos verificar duas retas diagonais que
se interceptam na orígem, estas retas são as assíntotas
das hipérboles, a sua inclinação é característicamente ex-
pressa por:
dy
dx = ± ba
Podemos demonstrar isto implicitamente a partir da
equação da hipérbole; vejamos:
x2
a2 − y
2
b2 = 1 (eq.1)
logo:
2xdx
a2 − 2ydyb2 = 0
xdx
a2 =
ydy
b2
dy
dx =
xb2
ya2
Eliminemos a variável dependente a partir da equação
original:
y = ± ba
√
x2 − a2 → Retirada da equação da hipérbole
(eq.1).
Substituimos na derivada logo acima, obtendo:
dy
dx = ± xba√x2−a2
Uma vez que estas assintotas, são tangentes da curva da
hipérbole quando seu valor tende a infinito, devemos en-
contrar o limite deste valor no infinito:
dy
dx = limx→∞± xba√x2−a2
dy
dx = limx→∞± b
a
√
1− a2
x2
Ou seja:
dy
dx = ± ba
O que nos permite verificar que a equação das assintotas,
tomando a orígem como ponto inicial, define-se como:
y = ± bax
5.3.1 Exemplo 1 - Encontrando os parâme-
tros
Encontrar os parâmetros da hipérbole 9x2−4y2−18x+
8y − 31 = 0 .
O processo é basicamente o mesmo no caso da elipse,
façamos a adaptação da equação para que torne-se seme-
lhante a da definição:
9x2 − 18x− 4y2 + 8y − 31 = 0
9(x2 − 2x+ 1− 1)− 4(y2 − 2y + 1− 1)− 31 = 0
9(x− 1)2 − 9− 4(y − 1)2 + 4− 31 = 0
9(x− 1)2 − 4(y − 1)2 − 36 = 0
9(x− 1)2 − 4(y − 1)2 = 36
(x−1)2
4 − (y−1)
2
9 = 1
Agora podemos avaliar a equação e verificar que:
• O centro da hipérbole está no ponto: c = (1, 1)
• Os vértices estão nos pontos: v1 = (3, 1) , v2 =
(−1, 1)
• Podemos calcular os focos, calculando a distância
focal:
e =
√
9 + 4
e =
√
13
• • Os focos são: f1 = (1+
√
13, 1) , f2 = (1−√
13, 1)
• Calculamos as assíntotas:
O coeficiente angular ém = 32
Que nos fornece as assíntotas:
• 1. y = 1 + 3x2
2. y = 1− 3x2
5.3.2 Exemplo 2 - Encontrando a equação
Encontrar uma equação para representar a hipérbole cu-
jos focos são (1,−7) ; (1, 3) , que contém o ponto(
2,−2 +
√
153
4
)
Mais uma vez, devemos encontrar o centro da cônica,
que fica no ponto médio do eixo onde os valores variam...
Como podemos observar, devemos fazer a média do eixo
y , o que nos dá o ponto:
• c = (1,−2)
Como centro da cônica. Depois podemos encontrar a dis-
tância focal, subtraindo os valores de y nos pontos dos
focos pelos do centro:
• e = 5
Da definição, temos que:
(y−yc)2
a2 − (x−xc)
2
b2 = 1
Logo:(√
153
4
)2
a2 − 1b2 = 1
153
16a2 − 1b2 = 1
153b2 − 16a2 = 16a2b2
Como e2 = a2 + b2 , temos o sistema:{
153b2 − 16a2 = 16a2b2
a2 + b2 = 25
10 CAPÍTULO 5. AS CÔNICAS
Utilizemos a substituição:
b2 = 16a
2
153−16a2
Na segunda equação:
25 = a2 + 16a
2
153−16a2
3825− 400a2 = 153a2 − 16a4 + 16a2
16a4 − 569a2 + 3825 = 0
Para a qual temos as raízes: a2 = 9 e a2 = 9
√
10
32
Para a raiz mais simples, temos:
b2 = 16(9)153−16(9)
b2 = 16
Portanto, a equação é:
(y+2)2
9 − (x−1)
2
16 = 1
Capítulo 6
Formas paramétricas
Wikiversidade - Disciplina: Cálculo III
6.1 Formas paramétricas
Agora iremos introduzir conceitos que mudam a forma
de análise gráfica de funções, no estudo clássico de aná-
lise cartesiana estamos acostumados a tomar uma variá-
vel como independente e outra como dependente, porém
isto nos traz uma grave limitação: não podemos repre-
sentar formas que apresentem mais de um valor para a
variável dependente, obviamente, gráficos de formas que
apresentammais de um valor da variável dependente para
cada valor da variável independente não são funções, po-
rém se fizermos a representação dos valores de forma que
tenhamos uma lei que determine as duas variáveis de um
gráfico bidimensional, poderíamos encontrar um meio de
representar tais formas, isto é feito com um artifício cha-
mado: parametrização. na próxima seção iremos intro-
duzir este conceito, que é muito útil na representação de
duas ou mais variáveis em um gráfico.
6.1.1 O parâmetro
O processo para se obter um conjunto de pontos com
variáveis cartesianas de forma a não estipular uma rela-
ção obrigatória entre as mesmas é conseguido com uma
variável a parte, que define os valores das coordenadas,
mas não é usada diretamente no gráfico, esta variável é
chamada de parâmetro. Teremos que nos habituar a esta
nova maneira de analisar os valores de uma função, veja-
mos como criar uma função simples usando o parâmetro:
Seja a equação x = y2 , podemos observar que a mesma
não pode ser representação de uma função se tomarmos
x como abscissa, visto que teremos mais de um valor pos-
sível a y , o que fazemos neste caso é dizer que y = t e
x = t2 . Ou seja:
6.1.2 Interpretando valores e gráficos
A princípio, todos os novos conceitos a respeito de for-
mas de representação podem nos trazer uma certa dificul-
dade inicial, uma vez que temos uma certa inércia à novos
conceitos, o que nos exige um esforço inicial para que
possamos assimilar novos métodos, um certo esforço é
necessário para que tenhamos meios mais eficientes para
analisar certas formas gráficas.
A variável parâmetro, geralmente representada por t ,
é muitas vezes associada ao tempo em algumas análi-
ses na Física, porém aqui temos que generalizar o seu
uso, englobando-a em diversas situações, mais apropria-
damente, podemos representar diversos conjuntos de va-
lores sob a forma paramétrica, mas o melhor meio de fa-
zer as análises e torná-las compreensíveis é fazer a re-
presentação gráfica das mesmas. Introduziremos agora
alguns conceitos para facilitar a análise de evoluções de
funções segundo a representação gráfica bidimensional
com o par (x, y) .
Lembre-se que o parâmetro é a variável independente,
o que nos dá a possibilidade de arbitrar os valores para
a mesma, portanto a primeira regra é estabelecer uma
seqüência de evolução de valores para t , o que nos per-
mite estabelecer um meio de representá-los no gráfico,
geralmente usamos uma seta sobre a linha do traçado da
curva para indicar o sentido convencional de evolução dos
valores do parâmetro, ou seja, definimos que a seta aponta
para valores de t maiores em relação aos anteriores, co-
locando setas sobre o traçado da curva de forma a prover
um caminho de evolução do parâmetro.
Analisemos a evolução de valores de uma função muito
conhecida: a circunferência, os valores que desenvolvem
o traçado da mesma podem ser determinados pelas equa-
ções paramétricas:
• x = cos(t)
• y = sen(t)
Para isto devemos estabelecer uma faixa de valores para
t , que neste caso deve ser: 0 ≤ t ≤ 2pi , verificando os
valores em seqüência crescente temos:
11
12 CAPÍTULO 6. FORMAS PARAMÉTRICAS
O que observamos é uma distribuição de valores que nos
permite avaliar certas características do formato gráfico a
ser apresentado quando plotamos os resultados das equa-
ções paramétricas acima. Em primeiro lugar notamos
que os pontos se mostram equidistantes da orígem dos
eixos (0, 0) , o que nos indica que temos uma circunfe-
rência de raio unitário. Obviamente, este resultado já era
esperado, visto que as equações paramétricas acima nada
mais são que as equações de definição do seno e do cos-
seno. Apesar desta contatação ser um tanto simples de
constatar, podemos utilizá-la para que possamos delinear
certos direcionamentos para análise de formas mais com-
plexas.
Inicialmente, faça uma relação entre parâmetro e valores
das outras variáveis, assim como fazemos em (x → y)
, com as relações que já fizemos em gráficos de relação
direta entre duas variáveis em Cálculo I.
Separando as variáveis e analisando a evolução das mes-
mas em relação ao parâmetro poderemos verificar a evo-
lução dos valores frente à evolução doparâmetro, isto
deve ser feito para que tenhamos a noção de como os va-
lores do gráfico evoluem, uma característica muito útil
deste tipo de análise é que podemos observar o “cami-
nho” descrito pelos pontos a medida que os valores do pa-
râmetro aumentam. Se pensarmos mais detalhadamente
poderemos ver que:
1. A evolução dos valores de x determinam uma traje-
tória ao longo das abscissas;
2. A evolução dos valores de y determinam uma traje-
tória ao longo das ordenadas;
Em coseqüência disto, a interligação de pontos orientados
por setas nos mostra a evolução dos valores do gráfico,
vinculando-os aos valores do parâmetro, o que possibilita-
nos avaliar a seqüência de pontos que é criada a medida
que o parâmetro varia.
De forma a observar a evolução dos valores podemos es-
boçar as curvas de x , y e em relação ao parâmetro e assim
teremos uma idéia de como o gráfico será desenvolvido,
poderemos então esboçar (x, y) , veja abaixo:
Temos uma circunferência.
Isto confirma que a função paramétrica que gera os pontos
[cos(t), sen(t)] representa uma circunferência.
Da mesma forma isto nos fornece uma visualização do
que acontece quando analisamos um gráfico de forma
parcial, ou seja, temos uma função [cos(t), t] , outra
[t, sen(t)] e, finalmente, [cos(t), sen(t)] , se acompa-
nharmos o desenvolvimento das funções simples que for-
mam os valores para cada ponto, temos uma idéia do que
acontece com a função paramétrica composta pelas mes-
mas. Como deve estar explícito, fizemos com que a fun-
ção que determina os valores de y varie ao longo do eixo
x e que a função que determina os valores de x varie ao
longo do eixo y , o artifício aqui usado permite que use-
mos os eixos como base temporária para o parâmetro t
, ou seja ao analisar a função de y devemos considerar
x = t , fazendo o oposto com a função que determina x .
6.1.3 Funções paramétricas diversas
Algumas funções paramétricas são comumente usadas ou
citadas devido a sua excentricidade e sua história... As
análises abaixo nos ajudarão a compreender melhor estas
funções, além de nos dar uma visão mais detalhada de
como esboçar e prever seu comportamento.
Reta
As equações paramétricas que definem a reta estão re-
lacionadas diretamente à inclinação de um segmento em
6.1. FORMAS PARAMÉTRICAS 13
particular, estas aão:
f(t) definida como:t , (−∞,∞)x = x0 + (x1 − x0) t
y = y0 + (y1 − y0) t
Onde (x0, y0) e (x1, y1) , são os pontos que definem a
reta.
Observe que temos uma progressão linear dos valores de
das variáveis da reta a medida que atribuimos valores ao
parâmetro, isto nos permite verificar que as relações in-
dependentes para cada variável contibuem para uma con-
cordância com a equação da reta que todos já conhece-
mos, podemos verificar isto aplicando a eliminação do
parâmetro nas equações acima, façamos:
t = x−x0x1−x0
y = y0 + (y1 − y0) x−x0x1−x0
y = y0 + (x− x0) y1−y0x1−x0
Uma vez que:
m = y1−y0x1−x0
ondem é o coeficiente angular para dois pontos.
Temos:
y = y0 +m (x− x0)
Que é a clássica equação da reta, que todos conhecemos.
Ciclo parabólico
Um ciclo parabólico pode ser conseguido usando-se fun-
ções trigonométricas quadráticas, vejamos como fazê-lo:
Seja a função:
f(t) definida como:t , (−∞,∞)x = cos2(t)
y = cos(t)
ou[
cos2(t), cos(t)
] −∞ < t <∞
Em termos gerais nos atemos ao fato de que a variável pa-
râmetro t deve ser usada como referência de nossas aná-
lises, diante disto desenvolvemos gráficos auxiliares que
nos permitam esboçar o comportamento da função para-
métrica. Traçando o gráfico de x em função de t usamos
o eixo y como eixo da variável independente, quando tra-
çamos a função y usamos o eixo x para isto. O que temos
agora é um panorama geral do comportamento das variá-
veis que nos permite visualizar a tendência dos valores da
função paramétrica.
Observemos o gráfico:
Nesta representação:
• f(t) está representada em verde;
• x está representada em vermelho;
• y está representada em azul
• Duas referências dos valores das funções para t = 2
estão representadas em violeta.
Veja que os valores das funções se combinam perfeita-
mente, determinando o ponto exato do encontro dos dois
valores que o definem. O recurso do uso de eixos virtuais
sobrepostos aos eixos do gráfico para representar as fun-
ções isoladamente, permite que tenhamos uma noção de
como estes valores se desenvolvem em relação ao parâ-
metro, facilitando o esboço da função paramétrica.
Quando traçamos as linhas de referência:
• x = cos2(2) ≈ 0, 173
• y = cos(2) ≈ −0, 416
Os valores de x jamais serão menores que zero e a fun-
ção refletirá indefinidamente os valores quadráticos entre
0 e 1 , da mesma forma podemos ver que os valores de
y jamais sairão da faixa: [−1, 1] . Se acompanharmos os
valores das funções dos eixos e seu reflexo na função pa-
ramétrica perceberemos que teremos sobre a mesma um
ponto que se desloca sobre a parábola, indo de 1 a −1 e
depois voltando.
Ciclóide
O ciclóide é uma forma paramétrica conseguida através
das coordenadas de um ponto fixado em uma circunfe-
rência, que se desloca sobre um eixo.
As equações paramétricas que definem a função do ci-
lóide podem ser generalizadas da seguinte forma:
f(t) onde:
14 CAPÍTULO 6. FORMAS PARAMÉTRICAS
t , (−∞,∞)x = c [t− sen(t)]
y = c [1− cos(t)]
Adotamos um valor c para cada função ciclóide. Esta
constante está ligada a amplitude do raio do ciclóide. A
ilustração abaixo representa um ciclóide com c = 2 :
Nesta representação:
• f(t) está representada em verde;
• x está representada em vermelho;
• y está representada em azul
Note que temos um desenvolvimento dos valores das abs-
cissas de forma ascendente, ou seja temos sempre valores
positivos para a tendência de crescimento em (t, x) , para
as ordenadas temos valores sempre positivos do cosseno
sobre um valor fixo e uma característica cíclica para os
valores, na representação paramétrica temos, como con-
seqüência, uma forma cíclica semicircular.
Para verificar como conseguimos as equações paramétri-
cas acima observemos o seguinte gráfico:
O ciclóide é formado pelos pontos que seguem o con-
torno da curva formada pelo movimento do disco sobre
a superfície, de forma que o ponto (P) esteja fixado a um
ponto da circunferência do disco, neste gráfico conside-
ramos o raio unitário. Porém, se o raio é uma constante
(c), e observamos o triângulo inscrito no disco, no qual
podemos notar a distância do ponto (P) à superfície, que
corresponde ao subsegmento da circunferência, veremos
que esta é: θc , onde c corresponde ao raio constante, o
que nos dá:
θc − x = c sen(θ)
x = θc − c sen(θ)
x = c (θ − sen(θ))
Por outro lado, se observarmos que:
y = c − c cos(θ)
y = c (1 − cos(θ))
Bastanos verificar que θ é o único parâmetro comum às
duas equações e nos possibilita fazer a sua substituição
por (t) , depois disso teremos as equações do ciclóide
como definido acima.
Conchóides
Em homenagem ao estudioso grego Nicomedes, este
grupo de funções paramétricas foram chamadas de con-
chóides de Nicomedes, pois este as chamou de conchói-
des após estudá-las, ele resolveu nomeá-las desta forma
devido a sua semelhança com conchas.
De maneira geral os conchóides são definidos pelas equa-
ções paramétricas:
f(t) onde:
6.1. FORMAS PARAMÉTRICAS 15
t , (−∞,∞)x = c + cos(t)
y = c · tg(t)− sen(t)
Sendo c uma constante que é fundamental para as carac-
terísticas das curvas. Vejamos algumas das curvas que
podemos obter com estas equações:
6.1.4 Derivadas
Tratemos agora das derivadas para funções paramétricas,
uma vez que temos duas variáveis dependentes, temos que
ter certos cuidados no tratamento diferencial para estas
funções, um trabalho adicional é necessário, uma vez que
temos mais variáveis envolvidas na análise.
Seja a função fxy(t) na qual, os valores formam pares de
forma que tenhamos: [x(t), y(t)] , desta forma podemos
expressaras diferenciais como:
• dxdt
• dydt
• dydx
No plano cartesiano bidimensional: (x, y) a derivada que
estamos acostumados a usar permanece, porém temos
mais duas derivadas das funções que definem x e y em
relação ao parâmetro t . Considerando as seguintes con-
dições:
• Cada variável é dependente do parâmetro;
• Assumimos que o parâmetro varia linearmente e de
forma crescente;
• As funções x(t) e y(t) são contínuas.
Então as derivadas das funções que definem cada variável
representam taxas de variação de referência, o que nos
permite verificar as seguintes condições:
1. Se dxdt = 0 em algum ponto da curva, a reta tangente
a este ponto é vertical, ou seja, paralela ao eixo y
2. Se dydt = 0 em algum ponto da curva, a reta tangente
a este ponto é horizontal, ou seja, paralela ao eixo
x
Derivadas primeiras
Considerando que temos uma função composta por duas
variáveis dependentes, como poderemos encontrar a de-
rivada de uma em relação à outra, visto que temos duas
equações que a definem? A resposta vem da seguinte re-
lação:
Se x(t) e y(t) , são funções que definem uma forma pa-
ramétrica, sendo que:
y ′(t) = lim∆t→0 ∆y∆t
e
x ′(t) = lim∆t→0 ∆x∆t
temos:
y ′(t)
x ′(t) = lim∆t→0 ∆y∆t · lim∆t→0 ∆t∆x
uma vez que x depende de t :
y ′(t)
x ′(t) = lim∆x→0 ∆y∆x
Ou seja:
y ′(t)
x ′(t) =
dy
dx
Derivadas segundas
As derivadas de segunda órdem são conseguidas de forma
um pouco mais trabalhosa, uma vez que queremos obter:
f ′′(x) = d
2y
dx2
Temos que difernciar a derivada primeira em relação a t
e depois dividí-la pela derivada de x em relação a t . Pois:
y ′′(t)
x ′(t)·x ′(t) = lim∆x→0
∆(∆y∆x )
∆x
Que é:
y ′′(t)
x ′(t)·x ′(t) = lim∆x→0
∆(∆y∆x )
∆t
∆x
∆t
Ou seja:
y ′′(x) =
d( dydx )
dt
dx
dt
Como já explicamos, definimos a derivada primeira de-
pois calculamos a derivada desta em relação a t dividindo-
a em seguida pela derivada de x em relação a t
Esboço de gráficos
A aplicação direta dos conceitos de derivadas de funções
paramétricas pode ser usado de forma prática para o es-
boço de gráficos como veremos neste tópico. As propri-
edades de análise de curvatura são especialmente úteis
para encontrar tendências de crescimento e análises de
concavidades, uma vez que temos mais derivadas temos
mais dados sobre as curvas.
Sabendo que as derivadas em relação ao parâmetro nos
informam os pontos onde temos tangentes verticais ou
horizontais, como já verificamos, devemos ter em conta
que a derivada em relação a x nos informa os pontos onde
há mudança de declividade da curva em relação a este
eixo, da mesma forma que a derivada segunda em rela-
ção a x nos fornece a concavidade da curva em relação
ao mesmo eixo.
Entretanto, devido a caracterísica independente das va-
riáveis paramétricas, é comum encontrarmos equações
paramétricas que nos fornecem valores inválidos durante
16 CAPÍTULO 6. FORMAS PARAMÉTRICAS
a análise quando tomamos diferenciais de y em função
de x .
Observando as diferenciais em relação ao parâmetro te-
mos um conjunto de informações que são muito úteis,
vejamos:
• Quando dxdt é negativa a função desloca-se para a
esquerda;
• Quando dxdt é positiva a função desloca-se para a
direita;
• Quando dydt é negativa a função desloca-se para
baixo;
• Quando dydt é positiva a função desloca-se para
cima;
• Se dxdt = 0 a função tem uma tangente vertical
neste ponto;
• Se dydt = 0 a função tem uma tangente horizontal
neste ponto;
A este conjunto de dados podemos adicionar as raízes
e pontos de inflexão, os últimos podem ser consequidos
pela análise de transição na declividade junto a pontos
onde as derivadas não existem.
Analisemos os valores que estas derivadas nos fornecem
no exemplo abaixo:
Consideremos a função paramétrica definida pelas equa-
ções:
• x = t (t2 − 2)
• y = 2 (t2 − 1)
As derivadas das equações em relação ao parâmetro são:
• Para as abscissas:
dx
dt = t(2t) + (t
2 − 2)
dx
dt = 3t
2 − 2
• Para as ordenadas:
dy
dt = 2(2t)
dy
dt = 4t
O que nos dá a possibilidade de fazer algumas das nossas
análises iniciais.
Antes de tudo devemos encontrar as raízes destas equa-
ções, tanto para as equações das variáveis como para as
equações das derivadas, depois que tivermos conheci-
mento dos pontos onde as mudanças de sinais ocorrem
para cada equação teremos uma idéia do esboço a ser
feito, façamos:
x = t
(
t2 − 2) = 0
Onde, neste caso, temos:
t = 0
ou(
t2 − 2) = 0
t = ±√2
Os pontos, para os quais teremos estes valores para o pa-
râmetro são:
• (0,−2)
• (0, 2)
Nas ordenadas:
y = 2
(
t2 − 1) = 0
t = ±1
Os pontos, para os quais teremos estes valores para o pa-
râmetro são:
• (1, 0)
• (−1, 0)
Analisando as derivadas temos:
Para as abscissas:
dx
dt = 3t
2 − 2 = 0
t = ±
√
2
3
t = ±
√
6
3
O que nos dá dois pontos com tangentes verticais:
•
(
4
√
6
9 ,−23
)
≈ (1, 089; 0, 667)
•
(
− 4
√
6
9 ,−23
)
≈ (−1, 089; 0, 667)
Para as ordenadas:
dy
dt = 4t = 0
t = 0
O que nos dá o ponto com tangente horizontal:
• (0,−2)
Estes valores nos fornecem informações suficientes para
prever a aparência da curva, façamos uma tabela com os
valores numéricos aproximados para termos uma idéia de
como poderemos esboçar o gráfico:
6.1. FORMAS PARAMÉTRICAS 17
6.1.5 Integrais
Agora considere a função paramétrica definida por um
conjunto de pontos tais que:
f(t) = {x(t), y(t)}
da mesma forma que: x = g(t);y = h(t);
f(t) = {g(t), h(t)}
Então, a integral F (x) , pode ser encontrada da seguinte
forma:
F (x) =
∫
y dx
Se:
x = g(t)
dx
dt = g
′(t)
dx = g ′(t)dt
temos:
F (x) =
∫
y g ′(t)dt
Inevitavelmente, em alguns casos não poderemos encon-
trar uma integral de y em relação ao eixo x se os seus va-
lores absolutos forem iguais e seus valores reais sejam de
sinais diferentes, o que nos fará encontrar um valor nulo,
porém poderemos encontrá-lo ao fazer o cálculo em re-
lação ao parâmetro, comprovaremos isso na seção sobre
áreas, logo abaixo.
Comprimentos de arcos
De forma geral a equação que define o comprimento de
arcos de funções, como foi vista no livro Cálculo (Volume
1) pode ser expressa pela equação que relaciona a integral
das diferencias em relação a x , desta forma:
C =
∫ b
a
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx
Portanto, para obter a equação paramétrica correspon-
dente, podemos substituir as diferenciais por suas corres-
pondentes paramétricas:
C =
∫ b
a
√
1 +
( dy
dt
dx
dt
)2
dx
C =
∫ b
a
√(
dy
dt
)2
+
(
dx
dt
)2 dt
dxdx
C =
∫ b
a
√(
dy
dt
)2
+
(
dx
dt
)2
dt
Considerando que a e b são valores de x , devemos
adaptá-los a nova equação, consideremos, portanto, que:
a = x(α)
b = x(β)
portanto:
C =
∫ β
α
√(
dy
dt
)2
+
(
dx
dt
)2
dt
A medida da circunferência
Temos agora a possibilidade de fazer o cálculo de uma
medida bem conhecida, para que tenhamos uma compro-
vação prática do instrumento algébrico que conseguimos
através da análise acima, calcularemos a medida da cir-
cunferência utilizando os conceitos abordados.
Seja uma circunferência definida pelas equações paramé-
tricas:
• x = r cos(t)
• y = r sen(t)
Onde r é o raio da circunferência.
Usando a fórmula do comprimento da curva acima, te-
mos:
C =
∫ 2pi
0
√(
d[r cos(t)]
dt
)2
+
(
d[r sen(t)]
dt
)2
dt
C =
∫ 2pi
0
√
(r [−sen(t)])2 + (r [cos(t)])2 dt
C =
∫ 2pi
0
√
r2 [sen2(t) + cos2(t)] dt
C =
∫ 2pi
0
√
r2 dt
C =
∫ 2pi
0
r dt
C = r t]2pi0
Ou seja:
C = 2pir
Áreas
O cálculo de áreas em funções paramétricas traz a possi-
bilidade de encontrar a área de formas criadas por curvas
fechadas, basicamente o processo é o mesmo que o des-
crito para as funções definidas num plano cartesiano com
dependência nas abscissas, com a diferençaque devemos
fazer a adaptação do cálculo da integral para que tenha-
mos uma função com diferenciais bem definidas como
vimos nos tópicos acima.
Neste exemplo iremos encontrar a área do círculo, cujo
valor já é bem conhecido, o que nos possibilitará verificar
a eficácia do método.
Seja o círculo cuja circunferência que o delimita é descrita
tal que:
• x = r cos(t)
• y = r sen(t)
Onde r é o raio do círculo.
18 CAPÍTULO 6. FORMAS PARAMÉTRICAS
Então, sua área pode ser calculada se fizermos com que o
parâmetro t varie de 0 até 2pi , calculando a integral:
A =
∫ 2pi
0
f(t)dt
Considerando que:
dx = −r sen(t)dt
dx = r sen(−t)dt
temos:
A =
∫ 2pi
0
r sen(t) r sen(−t) dt
A =
∫ 2pi
0
r2
2 [1 + cos(2t)] dt
A = r
2
2
[∫ 2pi
0
dt+
∫ 2pi
0
cos(2t) dt
]
A = r
2t
2
]2pi
0
+ r
2
4 [sen(2t)]
2pi
0
A = r
22pi
2 + 0
O que nos dá:
A = pi r2
Superfícies
Outra aplicação interessante para o cálculo de integrais
paramétricas é o cálculo de áreas de superfície, podere-
mos usar a fórmula de rotação para efetuar o cálculo de
superfícies criadas pela rotação de uma curva paramé-
trica da mesma forma que fizemos antes para o cálculo
de diversas funções mais simples.
Capítulo 7
Formas polares
Wikiversidade - Disciplina: Cálculo III
7.1 Formas polares
Outro interessante método para representar valores em
um gráfico é a chamada representação polar, da mesma
forma que na forma paramétrica temos casos em que fun-
ções podem ser expressas de uma maneira mais apropri-
ada, tornando-as mais simples para que possam ser ana-
lisadas. A forma polar é especialmente importante no
estudo de variáveis e funções complexas, seu estudo é
bastante simples, porém recomenda-se sempre uma certa
cautela quando conceitos novos são apresentados, como
já dissemos anteriormente.
7.1.1 As coordenadas
A representação dos valores em um gráfico polar é feita
com base em um sistema de referência obtido a partir de
um ponto e uma semi-reta horizontal a partir deste (eixo
polar), este ponto é chamado de orígem (polo de refe-
rência). Quando colocamos outro ponto qualquer no sis-
tema, podemos traçar um segmento de reta da orígem ao
referido ponto, o comprimento do segmento de reta en-
tre os dois pontos representa o valor numérico que dese-
jamos expressar e o ângulo formado entre este segmento
de reta e o eixo polar indica o sentido da progressão do va-
lor da orígem ao ponto. Desta forma estabelecemos uma
relação entre dois "polos", portanto, um sistema "polar".
Quando expressamos valores em torno do sistema polar,
na maioria das vezes, criamos uma representação de um
ou mais contornos para o polo, a circunferência é um
exemplo simples de representação polar, onde o centro
é o polo e o raio é uma constante, devido a esta proprie-
dade, podemos traçar circunferências para vários valores
de raio a partir do polo, estabelecendo uma estrutura de
referência de valores para uma melhor leitura dos gráfi-
cos.
Com relação ao ângulo, devemos observar a seguintes
convenções:
• Para rotação no sentido horário temos ângulos ne-
gativos;
• Para rotação no sentido anti-horário temos ângu-
los positivos.
Devido a estas características angulares, um sistema polar
pode representar o mesmo valor para diferentes coorde-
nadas, a natureza cíclica dos valores é claramente notá-
vel devido a mesma característica cíclica que os ângulos
detêm, portanto pontos de coincidência de valores para
funções sem limites superiores são comuns, valores ex-
pressos desta forma podem ser encontrados em intervalos
com tendências infinitas tais quais:
• (−∞,∞)
• (0,∞)
• (−∞, 0)
Portanto, para a análise de tais funções, devemos ter o
cuidado de observar a ocorrência de valores coinciden-
tes, da mesma forma que o fazemos quando analisamos
funções trigonométricas.
Observemos um gráfico polar de uma circunferência de
raio igual a quatro:
As coordenadas polares podem ser definidas como pares
de valores de raio e ângulo:
(r, θ)
O que nos permite estabelecer uma relação de valores a
serem representadas em um gráfico através de uma tabela
com estas coordenadas.
Contornos do polo podem representar valores em rela-
ção a grandezas geometricamente variáveis em relação a
ângulos de forma semelhante a relação de valores num
gráfico cartesiano formal, a forma de análise de tais va-
lores torna-se diferente devido ao fato de termos que nos
habituar a observar as distâncias entre os pontos e a orí-
gem. Podemos estabelecer uma regra para relacionar os
valores polares e cartesianos da seguinte maneira:
cos(θ) = xr
x = r cos(θ)
19
20 CAPÍTULO 7. FORMAS POLARES
sen(θ) = yr
y = r sen(θ)
Desta forma podemos calcular as coordenadas cartesianas
para pontos em coordenadas polares. Se tivermos valores
relacionados em coordenadas cartesianas e tivermos que
transformá-los em coodenadas polares podemos usar as
seguintes equações para encontrá-las:
• r2 = x2 + y2
• θ = arctg ( yx)
É importante notar que os valores para θ devem ser ana-
lisados cuidadosamente, pois temos dois valores possí-
veis para o ângulo que nos fornece o valor da equação
acima, sempre que tivermos que verificar um ângulo para
os valores de coordenadas cartesianas devemos observar
em que quadrante o valor está expresso. De forma geral,
coordenadas cartesianas de pontos no primero e terceiro
quadrantes informam o mesmo valor positivo para a tan-
gente, já com pontos do segundo e quarto quadrante, o
mesmo valor absoluto ocorre, porém com tangentes ne-
gativas.
7.1.2 Funções polares
Tendo um sistema que nos permite localizar pontos em
um gráfico, podemos agora entender o comportamento
das funções que devemos analisar neste sistema. Pode-
mos definir a função polar como:
r = f(θ)
Onde θ é limitada ao intervalo angular do ciclo fechado,
ou seja:
[0, 2pi]
Uma função polar é expressa no gráfico polar da mesma
forma que uma função algébrica é expressa num gráfico
cartesiano, a única diferença é que no gráfico polar os va-
lores contornam o seu centro, os pontos relatam na dis-
tância ao centro o valor da função para cada ângulo.
Plotando gráficos de funções
Analisemos um gráfico cartesiano e seu correspondente
polar para verificar como plotar os valores no novo for-
mato:
Vejamos como fazer uma correspondência entre os gráfi-
cos:
Iniciando por valores de ângulos negativos, observe que
para θ = −pi temos r = −1 de forma que o valor é ex-
presso do lado oposto ao eixo y coincidindo com o valor
unitário positivo, esta é mais uma característica da repre-
sentação polar, os valores de r são sempre representados
em módulo, pois os valores do eixo são sempre crescen-
tes. Observe que quando nos deslocamos para θ = −pi2
os valores tendem a diminuir até zero e depois tornam-se
positivos quando ultrapassam este ângulo, comparando
os valores nos dois gráficos notamos que no gráfico po-
lar os raios aumentam a partir deste ângulo passando a
traçar a curva no lado oposto ao eixo x , ao chegar ao ân-
gulo zero o valor volta a ser unitário, passando a diminuir
novamente. Da mesma forma o ciclo se repete para va-
lores de ângulos positivos fechando a curva como vemos
no gráfico.
Convertendo funções cartesianas
Agora façamos a conversão de uma função cartesiana
para polar... O exemplo será uma simples reta, para que
tenhamos noção de como funciona a conversão que vimos
na seção anterior.
Seja a reta: y = x+ 5 .
Calculemos a forma polar para a mesma, conforme as
equações de conversão apresentadas anteriormente:
tg(θ) = yx
tg(θ) = x+5x
x = 5tg(θ)−1
Por outro lado:
r2 = x2 + y2
Onde substituimos os valores das variáveis cartesianas:
r2 =
[
5tg(θ)−1
]2
+
[
5tg(θ)−1 + 5
]2
r2 = 25
[ tg(θ)−1]2 +
25tg2(θ)
[ tg(θ)−1]2
r2 =
25[1+tg2(θ)]
[ tg(θ)−1]2
r2 = 25
[ tg(θ)−1]2 cos2(θ)
r2 = 25
[
sen(θ)−cos(θ)
cos(θ) ]
2 cos2(θ)
r2 = 25[ sen(θ)−cos(θ)]2O que resulta em:
r = 5sen(θ)−cos(θ)
7.1.3 Derivadas
Basicamente, o processo para derivação de funções po-
lares é o mesmo usado para funções com representação
cartesiana, a derivada primeira é obtida através da dife-
renciação de r em relação a θ , o que representa apenas
uma mudança na nomenclatura das variáveis. porém po-
demos estender os dados a serem obtidos com a análise
destes valores fazendo a derivação da função parametri-
zada.
Considerando que a representação de valores polares são
7.1. FORMAS POLARES 21
mais apropriados de serem analisados em uma perspec-
tiva paramétrica, podemos definir as derivadas a partir
das equações paramétricas da curva polar:
x = r cos(θ)
dx
dθ =
dr
dθ cos(θ)− r sen(θ)
para y temos:
y = r sen(θ)
dy
dθ =
dr
dθ sen(θ) + r cos(θ)
Uma vez que queremos a derivada da função para as co-
ordenada cartesianas temos:
dy
dx =
dr
dθ sen(θ)+r cos(θ)
dr
dθ cos(θ)−r sen(θ)
Com estas derivadas podemos extrair mais informações
das funções polares e obter mais recursos para analisá-las,
podemos, por exemplo, encontrar as tangentes verticais:
dx
dθ =
dr
dθ cos(θ)− r sen(θ) = 0
dr
dθ = r
sen(θ)
cos(θ)
dr
dθ = r tg(θ)
Portanto, se quisermos encontrar os pontos da curva onde
existem tangentes verticais devemos encontrar a derivada
da função polar em relação ao ângulo e depois substituí-
la junto com a própria função, que define r , na equação
acima, obtendo o ângulo no gráfico onde a tangente ver-
tical estará definida.
Procedimento semelhante fazemos para o caso das tan-
gentes horizontais, usando a equação que define a deri-
vada de y em relação ao ângulo:
dy
dθ =
dr
dθ sen(θ) + r cos(θ) = 0
dr
dθ = −r cos(θ)sen(θ)
dr
dθ = −r co tg(θ)
O que define o mesmo procedimento anterior para ob-
tenção dos dados e a equação acima em substituição da
anterior para a obtenção das tangentes horizontais.
7.1.4 Plotando gráficos
Podemos utilizar os dados obtidos com as derivadas para
facilitar o esboço de gráficos da mesma forma que fize-
mos no caso das funções paramétricas, as regras são as
mesmas, ou seja:
Consideremos o ângulo como parâmetro, teremos as se-
guintes equações:
• Tangentes horizontais
• dydθ = 0
• Tangentes verticais
• dxdθ = 0
O que define as equações da seção anterior para que pos-
samos encontrar estes valores, por outro lado também te-
mos outros dados que facilitam o cálculo de tangentes
verticais e horizontais:
Quando temos,
dy
dx = 0
isto é o mesmo que:
dy
dx =
dy
dθ
dx
dθ
= 0
Que só é válida se:
dy
dθ = 0 ∧ dxdθ 6= 0
Que nos revela a tangente horizontal.
e ainda, quando temos,
dy
dx =∞
isto é o mesmo que:
dy
dx =
dy
dθ
dx
dθ
=∞
Que só é válida se:
dy
dθ 6= 0 ∧ dxdθ → 0
Que nos revela a tangente vertical.
Portanto, para um esboço do gráfico de uma função com
representação polar podemos encontrar a derivada:
f ′(x) = dydx
Encontrando os pontos onde a derivada tende a valores
infinitos ou nulos para encontrar as tangentes verticais
e horizontais, depois identificamos os intervalos onde a
função é ascendente ou descendente juntamente com a
análise da seqüência dos valores dos ângulos para cada
ponto.
Exemplo
Agora iremos fazer um esboço de um gráfico, para que
tenhamos noção dos conceitos apresentados nesta seção.
Esboçaremos o gráfico polar da função seno:
r = sen(θ)
Para isso encontremos a derivada para identificar os ãn-
gulos onde há tangentes verticais e horizontais, calcu-
lando os valores da função e identificando as tendências,
para que possamos ter uma estimativa do comportamento
dos valores que delineiam o gráfico:
• Procedimento:
Calculemos as tangentes verticais e horizontais:
dy
dx =
dr
dθ sen(θ)+r cos(θ)
dr
dθ cos(θ)−r sen(θ)
dy
dx =
cos(θ) sen(θ)+ sen(θ) cos(θ)
cos2(θ)− sen2(θ)
dy
dx =
2 sen(θ)
cos2(θ)−1+cos2(θ)
22 CAPÍTULO 7. FORMAS POLARES
dy
dx =
2 sen(θ)
2 cos2(θ)−1
• dydx = sen(2 θ)2 cos2(θ)−1
Para as tangentes horizontais:
sen(2 θ) = 0
Para este caso temos os ângulos:
θ =
{
0, pi, pi2 ,
3 pi
2
}
Que nos fornece os valores para a função:
r = {0, 0, 1,−1}
Para as tangentes veticais:
2 cos2(θ)− 1 = 0
cos2(θ) = 12
cos(θ) =
√
1
2
cos(θ) = 1√
2
√
2√
2
cos(θ) = ±
√
2
2
Para este caso temos os ângulos: θ =
{
pi
4 ,
3 pi
4 ,
5 pi
4 ,
7 pi
4
}
7.1.5 Plotando gráficos
Podemos utilizar os dados obtidos com as derivadas para
facilitar o esboço de gráficos da mesma forma que fize-
mos no caso das funções paramétricas, as regras são as
mesmas, ou seja:
Consideremos o ângulo como parâmetro, teremos as se-
guintes equações:
• Tangentes horizontais
• dydθ = 0
• Tangentes verticais
• dxdθ = 0
O que define as equações da seção anterior para que pos-
samos encontrar estes valores, por outro lado também te-
mos outros dados que facilitam o cálculo de tangentes
verticais e horizontais:
Quando temos,
dy
dx = 0
isto é o mesmo que:
dy
dx =
dy
dθ
dx
dθ
= 0
Que só é válida se:
dy
dθ = 0 ∧ dxdθ 6= 0
Que nos revela a tangente horizontal.
e ainda, quando temos,
dy
dx =∞
isto é o mesmo que:
dy
dx =
dy
dθ
dx
dθ
=∞
Que só é válida se:
dy
dθ 6= 0 ∧ dxdθ → 0
Que nos revela a tangente vertical.
Portanto, para um esboço do gráfico de uma função com
representação polar podemos encontrar a derivada:
f ′(x) = dydx
Encontrando os pontos onde a derivada tende a valores
infinitos ou nulos para encontrar as tangentes verticais
e horizontais, depois identificamos os intervalos onde a
função é ascendente ou descendente juntamente com a
análise da seqüência dos valores dos ângulos para cada
ponto.
Exemplo
Agora iremos fazer um esboço de um gráfico, para que
tenhamos noção dos conceitos apresentados nesta seção.
Esboçaremos o gráfico polar da função seno:
r = sen(θ)
Para isso encontremos a derivada para identificar os ãn-
gulos onde há tangentes verticais e horizontais, calcu-
lando os valores da função e identificando as tendências,
para que possamos ter uma estimativa do comportamento
dos valores que delineiam o gráfico:
• Procedimento:
Calculemos as tangentes verticais e horizontais:
dy
dx =
dr
dθ sen(θ)+r cos(θ)
dr
dθ cos(θ)−r sen(θ)
dy
dx =
cos(θ) sen(θ)+ sen(θ) cos(θ)
cos2(θ)− sen2(θ)
dy
dx =
2 sen(θ) cos(θ)
cos2(θ)−1+cos2(θ)
dy
dx =
2 sen(θ) cos(θ)
2 cos2(θ)−1
• dydx = sen(2 θ)2 cos2(θ)−1
Para as tangentes horizontais:
sen(2 θ) = 0
Para este caso temos os ângulos: θ =
{
0, pi, pi2 ,
3 pi
2
}
Que nos fornece os valores para a função:
r = {0, 0, 1,−1}
Para as tangentes veticais:
2 cos2(θ)− 1 = 0
7.1. FORMAS POLARES 23
cos2(θ) = 12
cos(θ) =
√
1
2
cos(θ) = 1√
2
√
2√
2
cos(θ) = ±
√
2
2
Para este caso temos os ângulos:
θ =
{
pi
4 ,
3 pi
4 ,
5 pi
4 ,
7 pi
4
}
Que nos fornece os valores para a função:
r =
{√
2
2 ,
√
2
2 ,−
√
2
2 ,−
√
2
2
}
• Resultado:
Consequentemente, obtemos o seguinte grá-
fico:
7.1.6 Integrais
A integração de funções polares é feita da mesma forma
que a de funções cartesianas, porém algumas considera-
ções acerca do comportamento dos valores e sua interpre-
tação são necessárias para uma melhor compreesão dos
efeitos do processo de integração formal.
Considerando que temos basicamente uma categoria de
funções: r(θ) , sendo que o cálculo da integral da mesma
parece simples, a princípio, visto que basta fazer a subs-
tituição das variáveis e depois adaptar os valores, porém
devemos ter em mente que a integral de uma função com
representação polar não nos dá o valor da área da curva
polar sob o eixo x , na verdade temos:
• x = r(θ) cos(θ)
• y = r(θ) sen(θ)
De fato, se tivermos que considerar o valor da integral da
função polar e de sua correspondente paramétrica tere-
mos valores discordantes o que nos chama a atenção para
que não usemos a integral simples sobrer(θ) para avalia-
ções sobre a curva, visto que os valores não são coerentes
para os casos onde temos valores que alternam entre po-
sitivos e negativos. Com a análise algébrica de sinais é
possível notar que os valores das funções polares, onde
temos sinais negativos, anulam parte das áreas onde o si-
nal da função é positivo, descaracterizando a avaliação da
integral destas funções nestes casos.
Para o cálculo de áreas, comprimento de curvas e avali-
ações numéricas devemos adotar uma forma de cálculo
próprio para funções polares, que viabilize uma avalia-
ção correta dos valores, sem que as características circu-
lares interfiram no resultado final, na verdade, devemos
levar em conta estas caracteísticas para efetuar o cálculo
de forma correta.
7.1.7 Áreas
As funções polares são, basicamente, criadas sob a óp-
tica de um sistema circular, ou seja, como os valores se
expandem de forma radial temos valores expressos em
raios variáveis, o que nos inspira a imaginar que deve-
mos fazer o cálculo de suas áreas com base no estudo da
integração de setores circulares infinitesimais.
A medida de áreas em setores circulares é proporcional
ao ângulo, em setores de raio unitário corresponde ao pró-
prio ângulo. Para calcular a medida da área em setores
circulares temos:
A = 12r
2θ
Em uma curva polar, se tivermos que calcular a área den-
tro dos limites estabelecidos por ângulos, podemos se-
cionar a curva em diversos setores circulares infinitesi-
mais e fazer a sua somatória, o que nos dá o valor da área
para aquele intervalo de ângulos no gráfico polar, consi-
derando que:
r = f(θ)
Podemos admitir que cada setor seja:
∆A = 12r
2θ
Sendo a área total aproximadamente:
A ≈ 12
∑n
n=1[f(θ)]
2∆θ
Admitindo valores de setores circulares cada vez meno-
res:
A = 12 limn→∞
∑n
n=1[f(θ)]
2∆θ
Uma vez que podemos admitir uma partição e fazer:
∆θ = ∆n
limn→∞∆θ = limn→∞ ∆n
é o mesmo que:
lim∆θ→0∆θ = limn→∞ ∆n
logo:
limn→∞ ∆n = dθ
Ou seja:
A = 12
∫ b
a
[f(θ)]2dθ
Onde a e b são os ângulos que delimitam o setor da curva
onde queremos encontrar a área.
Exemplo
Dada a função polar:
r = cos(θ)
Calcular a área da curva compreendida entre os ângulos
0 e pi4 .
Cálculo
A = 12
∫ pi
4
0
[cos(θ)]2dθ
24 CAPÍTULO 7. FORMAS POLARES
A = 12
[
1
2θ − 14 sen(2θ)
]pi
4
0
A = 12
[
pi
8 − 14
]
A ≈ 0, 071 unidades quadradas.
7.1.8 Comprimento de curvas
Calcular o comprimento de uma curva descrita por uma
função em forma polar não é algo tão difícil, uma vez
que devemos vê-la como uma função que pode ser facil-
mente transformada para a forma paramétrica, devemos
utilizar a equação do cálculo do comprimento de curva
que deduzimos no capítulo anterior:
C =
∫ b
a
√(
dx
dθ
)2
+
(
dy
dθ
)2
dθ
Do cálculo das derivadas temos que:
dx
dθ =
dr
dθ cos(θ)− r sen(θ)
e
dy
dθ =
dr
dθ sen(θ) + r cos(θ)
Dos quais, devemos obter os quadrados:
Logo podemos dizer que a fórmula do comprimento de
arco da curva é:
C =
∫ b
a
√
r2 +
(
dr
dθ
)2
dθ
Exemplo
Calculemos o comprimento da curva do cosseno na re-
presentação polar entre os ângulos pi2 e 3pi4 :
Temos:
r = cos(θ)
e
dr
dθ = − sen(θ)
O que nos dá:
C =
∫ 3pi
4
pi
2
√
cos2(θ) + (− sen(θ))2dθ
C =
∫ 3pi
4
pi
2
√
cos2(θ) + sen2(θ)dθ
C =
∫ 3pi
4
pi
2
dθ
C = θ
∣∣ 3pi4
pi
2
C = 3pi4 − pi2
C = pi4
Logo:
C ≈ 0, 785 unidades de comprimento.
Capítulo 8
Geometria tridimensional
Wikiversidade - Disciplina: Cálculo III
8.1 Coordenadas tridimensionais
Iniciando o nosso estudo de cálculo em três dimensões
iremos nos concentrar nos sistemas de coordenadas car-
tesianas em três dimensões que é o estudo da geometria
do nosso cotidiano. Este estudo inicia com conceitos bá-
sicos e depois se aprofunda em conceitos introdutórios
sobre algebra linear, porém com uma ênfase maior à ge-
ometria ao invés da abstração comum no curso de álgebra
linear.
Introduziremos agora os conceitos de localização de pon-
tos nos sistemas tridimensionais:
Sistemas de coordenadas
8.2 Vetores
No esforço em representar quantidades, o homem criou
os números, porém lhes falta algo fundamental: a pro-
priedade de indicar evolução, tendência e forma, quando
dizemos que temos 5 objetos, para uma noção de volume
e quantidade isto é o bastante, porém quando dizemos
que a velocidade de um veículo é 70 km/h, isto é apenas
suficiente para uma análise quantitativa e não nos fornece
meios de avaliar o comportamento do veículo em sua tra-
jetória.
A evolução da noção de representação matemática de
eventos no espaço trouxe a necessidade de expressá-los
de uma forma que fornecesse uma noção mais ampla do
que a de quantidade, para isto foi criado um novo ente
matemático chamado vetor. Um vetor é a representa-
ção das características espaciais e evolutivas de um ele-
mento, com ele podemos avaliar mais que a quantidade
de elementos, podemos analisar o comportamento destes
elementos.
Introduziremos, agora, uma noção multidimensional de
vetores, mais dedicada a vetores no espaço em três di-
mensões, este estudo é fundamentalmente importante
para análises mais complexas do cálculo. A abordagem
de muitos problemas sob a perspectiva vetorial simplifica
muito as análises de problemas no espaço.
Para uma melhor compreesão subdividimos o estudo em
dois tópicos:
1. Vetores no espaço
2. Vetores e produtos
8.3 Retas
Neste momento temos como desenvolver um conceito de
reta diferente do que estávamos habituados, a noção de
forma paramétrica em conjunção com a definição vetorial
nos dá a possibilidade de descrever uma reta em termos
vetoriais paramétricos. Uma definição da reta, concebida
em termos vetoriais, é feita a partir dos dois vetores que
determinam os pontos no espaço por onde a reta passa.
8.3.1 Equações da reta
Observemos o gráfico:
25
26 CAPÍTULO 8. GEOMETRIA TRIDIMENSIONAL
O vetor é, simplesmente, a representação de um seg-
mento de reta cujo ponto inicial é a orígem do sistema
de coordenadas, se somarmos um segundo vetor ao que
temos, isto resultará em um segmento de reta cujo ponto
inicial é o segundo vetor que tomamos. Partindo deste
pricípio, se temos dois pontos temos dois vetores, ao sub-
trairmos os dois vetores teremos um vetor na orígem, pa-
ralelo ao segmento de reta por onde passam os dois pon-
tos. Uma vez que o primeiro ponto é um vetor, teremos
a representação deste segmento de reta se somarmos o
primeiro vetor ao vetor paralelo à reta. Algebricamente
temos:
Se p, q são dois pontos e ~v é o vetor que se origina dos
dois pontos...
q = p+ ~v
Por outro lado, se fizermos com que o lado da equação
onde está o vetor ~v aumente ou diminua de valor, de
acordo com a variação de um parâmetro, teremos um va-
lor variável de q dentro da mesma reta:
q = p+ t~v
Então, teremos a equação da referida reta. Como os pon-
tos podem ser representados sob a forma de vetores, po-
demos definir a reta tal que:
~q = ~p+ t~v
Três equações paramétricas espaciais podem ser obtidas
desta equação vetorial, é notável que cada eixo deverá ter
uma definição de sua variável para cada valor do parâme-
tro, logo façamos a dedução destas equações:
〈qx, qy, qz〉 = 〈px, py, pz〉+ t〈vx, vy, vz〉
〈qx, qy, qz〉 = 〈px, py, pz〉+ 〈tvx, tvy, tvz〉
〈qx, qy, qz〉 = 〈px + tvx , py + tvy , pz + tvz〉
De onde temos as equações paramétricas:
1. qx = px + tvx
2. qy = py + tvy
3. qz = pz + tvz
Do mesmo modo ao eliminarmos o parâmetro encontra-
mos a relação fundamental entre todos os eixos, o que
pode ser bastante útil em certos cálculos onde precisamos
estabelecer uma relação entre variáveis sem considerar o
parâmetro:
qx−px
vx
=
qy−py
vy
= qz−pzvz
8.3.2 Relacionando duas retas
Uma vez que definimos as equações da reta: vetorial, pa-
ramétrica e simétrica... Podemos agora encontrar rela-
ções entreduas retas no espaço. De modo geral, temos
três condições nas quais podemos relacionar duas retas
no espaço, estas podem ser paralelas, reversas ou concor-
rentes.
• Paralelas:
São duas ou mais retas que mantém uma dis-
tância constante entre seus pontos, ou seja, as
mesmas estão na mesma direção;
• Reversas:
São duas ou mais retas que não estão na mesma
direção, porém não se encontram em nenhum
ponto do espaço;
• Concorrentes:
São duas ou mais retas que se encontram em
algum ponto do espaço.
8.4 Planos
A definição de um plano no espaço pode ser obtida atra-
vés de um conceito vetorial da mesma forma que o fize-
mos quando vimos a reta. Para isto devemos estabele-
cer o que é necessário para que um plano seja perfeita-
mente definido. Se imaginarmos uma reta no espaço po-
demos perceber que diversos planos passam pela mesma,
na verdade, todas as direções perpendiculares à da reta
fornecem um plano possível, nos resta escolher uma des-
tas direções para estabelecer o plano. Pensando em um
vetor direção que nos forneça as características necessá-
rias para representar a reta, temos que ter em mente um
segundo vetor que defina qual dos planos que passam pela
reta será escolhido.
8.4. PLANOS 27
8.4.1 Equação do plano
A equação do plano deve refletir a seguinte verdade:
Dados dois vetores ~w,~n em R3 , sendo os dois perpendi-
culares entre sí, então:
~w · ~n = 0
O que nos leva a definir um dos vetores como a diferença
entre dois vetores posição, originados no sistema de eixos:
~w = ~v − ~u
logo,
(~v − ~u) · ~n = 0
Sendo:
• ~v = 〈vx, vy, vz〉 ;
• ~u = 〈ux, uy, uz〉
temos,
(〈vx, vy, vz〉 − 〈ux, uy, uz〉) · 〈nx, ny, nz〉 = 0
(〈vx − ux, vy − uy, vz − uz〉) · 〈nx, ny, nz〉 = 0
(vx − ux)nx + (vy − uy)ny + (vz − uz)nz = 0
Consideremos ~u vetor referência, visto que é o vetor do
ponto de origem do vetor que projetamos no plano, da
mesma forma que~n é referência visto que define a direção
do plano, ambos podem ser constantes, logo teremos:
vxnx + vyny + vznz − (uxnx + uyny + uznz) = 0
Onde podemos definir:
s = −(uxnx + uyny + uznz)
Portanto a equação algébrica de um plano no espaço pode
ser definida como:
vxnx + vyny + vznz + s = 0
Onde o vetor ~v é o vetor variável, correspondente a po-
sição do ponto sobre o plano, enquanto que ~n e s são
constantes que definem o plano. Para esta notação cha-
mamos ~n de normal do plano, pois representa um seg-
mento de reta perpendicular a direção do plano, enquanto
que s chamamos de escalar de referência, uma vez que o
mesmo determina o referencial para o plano no sistema
dos eixos ordenados.
8.4.2 Pontos no plano
Suponhamos que temos um conjunto de pontos no espaço
e desejemos encontrar o plano ao qual estes pertencem,
que critérios teremos que usar para determinar uma regra
de inclusão dos mesmos em um plano? A resposta está
no critério de coplanaridade, para determinar este deve-
mos saber qual o número mínimo de pontos para definir
um plano no espaço. Para determinar a normal precisa-
mos de dois vetores no espaço, uma vez que precisamos
de no mínimo três pontos para determinar dois vetores
no espaço, precisamos de três pontos para determinar um
plano. Agora imaginemos que temos mais de três pontos,
como saberemos se todos pertencem ao mesmo plano?
Simplesmente agrupamos três e calculamos o plano, e
depois usamos a equação do plano para verificar se os
demais petencem ao mesmo plano.
Tomemos os pontos A,D,F como base do plano, o que
nos faz definir os vetores:
• ~v = AD = d
• ~u = AF = f
O que define um vetor normal:
~n = ~v × ~u
Uma vez que o ponto E está em outro segmento de reta,
diferente dos demais pontos no diagrama, precisamos de-
terminar se o mesmo pertence ao plano formado pelos
vetores que definimos anteriormente, para isto encontre-
mos o vetor para o segmento de reta onde o mesmo está
localizado:
~w = AE = e
E depois, poderemos substituir os vetores na equação do
plano:
~w · (~v × ~u) = 0
Donde podemos verificar se é verdadeira para os valores
correntes dos vetores em qualquer situação... O método,
em geral, faz o cálculo do produto misto, visando encon-
tar vetores que o anulam.
Exemplo - plano dos pontos
Sejam os pontos (1, 2, 2); (−1, 1,−3); (0,−2, 1) , deter-
minemos o plano determinado pelos pontos...
Escolhemos um ponto como orígem, encontrando os ve-
tores relacionados aos outros dois pontos:
Suponha (1, 2, 2) como orígem, temos os vetores:
• ~v = 〈−2,−1,−5〉
28 CAPÍTULO 8. GEOMETRIA TRIDIMENSIONAL
• ~u = 〈−1,−4,−1〉
Com os vetores encontramos a normal do plano através
do produto vetorial dos mesmos:
~n = ~v × ~u =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
−2 −1 −5
−1 −4 −1
∣∣∣∣∣∣
~n =~i+ 5~j + 8~k − 20~i− 2~j − ~k
~n = −19~i+ 3~j + 7~k
O plano é definido pela equação:
~p · ~n = ~p0 · ~n
A parte que depende do ponto origem (1, 2, 2) , é:
~p0 · ~n = −19(1) + 3(2) + 7(2)
~p0 · ~n = 1
que resulta em:
−19x+ 3y + 7z = 1
8.4.3 Interseção entre planos
Sejam os planos:
a1x1 + b1y1 + c1z1 + d1 = 0 e
a2x2 + b2y2 + c2z2 + d2 = 0 ,
Onde definimos os vetores posição:
~v1 = 〈x1, y1, z1〉, ~v2 = 〈x2, y2, z2〉
e os vetores normais:
~n1 = 〈a1, b1, c1〉, ~n2 = 〈a2, b2, c2〉
Analisando a simetria, podemos concluir que o resul-
tado da interseção entre dois planos é uma reta, sendo a
mesma, perpendicular aos vetores normais dos dois pla-
nos simultaneamente. Considerando a característica de
perpendicularidade do produto vetorial, podemos fazer:
~w = ~n1 × ~n2
Donde obtemos:
~w = 〈wx, wy, wz〉
Devemos encontrar um ponto da reta, para que possa-
mos definir a mesma em termos paramétricos e simétri-
cos, usualmente podemos definir a variável x e encontrar
o ponto:
Se x = 0 , teremos:
b1y + c1z + d1 = 0 e
b2y + c2z + d2 = 0 ,
Observe que usamos variáveis sem índice, visto que os
pontos são os mesmos, quando se define a reta.
O que nos fornece:
(b2 − b1)y + (c2 − c1)z + (d2 − d1) = 0 ,
z = (d2−d1)+(b2−b1)y(c1−c2)
o que nos dá um plano em yz . A reta intercepta o plano
em:
p0 =
〈
0, y, (d2−d1)+(b2−b1)y(c1−c2)
〉
Definamos agora o valor de y ,
b1(c1−c2)y+c1 (d2 − d1 + (b2 − b1)y)+d1(c1−c2) =
0
b1c1y− b1c2y+ c1d2− c1d1+ c1b2y− c1b1y+d1c1−
d1c2 = 0
c1b2y − b1c2y + c1d2 − d1c2 = 0
y = c1d2−d1c2b1c2−c1b2
Simplificando z , temos:
z = (d2−d1)(b1c2−c1b2)+(b2−b1)(c1d2−d1c2)(c1−c2)(b1c2−c1b2)
z = d2b1c2−d1b1c2−c1b2d2+c1b2d1+b2c1d2−b1c1d2−d1c2b2+d1c2b1(c1−c2)(b1c2−c1b2)
z = (c1−c2)(d1b2−d2b1)(c1−c2)(b1c2−c1b2)
z = d1b2−d2b1b1c2−c1b2
e o ponto é:
p0 =
〈
0, c1d2−d1c2b1c2−c1b2 ,
d1b2−d2b1
b1c2−c1b2
〉
Bastando-nos aplicá-lo à equação vetorial da reta para
encontrá-la:
p = p0 + t~w
Exemplo - Reta em dois planos
Sejam os planos x − 2y + z = 2 e x − y + 3z = 6
, devemos encontrar a reta resultante da interseção dos
dois planos.
Primeiro, extraímos os vetores normais dos planos:
• ~n1 = 〈1,−2, 1〉 ;
• ~n2 = 〈1,−1, 3〉 ;
Com estes vetores podemos encontrar o vetor diretor da
reta, que é perpendicular à normal de ambos:
~v =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 −2 1
1 −1 3
∣∣∣∣∣∣
~v = −6~i+~j − ~k +~i− 3~j + 2~k
~v = −5~i− 2~j + ~k
Agora, devemos encontrar um ponto da reta:
Supomos x = 0 em ambos os planos,{−2y + z = 2
−y + 3z = 6
5z = 10
z = 2
8.5. SUPERFÍCIES SIMPLES 29
e
−2y + 2 = 2
y = 0
sendo o ponto:
p0 = (0, 2, 0)
Substituimos os valores na equação da reta,
p = p0 + t~v
p = (0, 2, 0) + t〈−5,−2, 1〉
ou
p = (−5t, 2− 2t, t)
8.4.4 Distância entre ponto e plano
Suponhamos que um ponto qualquer no espaço: p =
(xp, yp, zp) esteja localizado a uma certa distância de um
plano, cuja equação que o define é: x0x+y0y+z0z+s =
0 , cujo vetor normal é: ~n = 〈x0, y0, z0〉 . Como já é de
nosso conhecimento, o plano impõe uma distância para o
ponto que varia de acordo com a distância da coordenada
usada como referência para a medida, portanto, não faz
sentido definirmos a distância entre o plano e um ponto se
não definirmos este ponto como omais próximo