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EM2120239 TEORIA DOS CONJUNTOS E PRINCÍPIOS DE CONTAGEM 1. Ref.: 5437495 Pontos: 0,00 / 1,00 Em uma sorveteria, triplo especial permite que você escolha três porções de sorvete em uma taça. Quantos triplos especiais podem ser formados se há oito sabores disponíveis? Onde: (sabores disponíveis) Resolução da questão: p=3 (quantidade de porções/sabores a escolher) Enunciado: Em uma sorveteria, triplo especial permite que você escolha três porções de sorvete em uma taça. Quantos triplos especiais podem ser formados se há oito sabores disponíveis? Aplicando os valores: Análise: Ou seja: problema trata de escolher 3 sabores dentre 8 disponíveis, onde: 3 A ordem dos sabores não importa (pois vão todos juntos na mesma taça, independentemente da ordem de colocação). Pode haver repetição de sabores (pois a questão não diz que os sabores precisam ser distintos). Isso caracteriza uma situação de combinação com repetição. Resposta correta: Representado na alternativa final como (10) ou seja, número de combinações de 10 elementos tomados 3 a 3. Fórmula de Combinação com Repetição: Observação: A alternativa correta na imagem é a última:2. Ref.: 5437494 Pontos: 1,00 / 1,00 (Transpetro Cesgranrio - 2018) Seis empresas (Grupo 1), denominadas L1, L2, L3, L4, L5 e L6, prestam serviço de limpeza interna em grandes embarcações, e outras cinco empresas (Grupo 2), denominadas E1, E4 e realizam manutenção elétrica nas mesmas embarcações. Um analista precisa contratar três empresas diferentes do Grupo 1 e duas empresas diferentes do Grupo 2, para realizarem, respectivamente, a limpeza e a manutenção elétrica de embarcações. Nessas condições, número de possibilidades diferentes de contratação das cinco empresas é igual a: 120 2400 1200 400 150 Resolução da questão: Enunciado resumido: Temos: 6 empresas no Grupo 1 (L1 a L6) Fazem limpeza. 5 empresas no Grupo 2 (E1 a E5) Fazem manutenção elétrica. analista precisa contratar: 3 empresas diferentes do Grupo 1 2 empresas diferentes do Grupo 2 Ou seja, no total: 5 empresas, sendo 3 de limpeza + 2 de elétrica. Como chegamos ao 120? Talvez enunciado esteja pedindo para considerar ordenação das empresas dentro de cada grupo (ou seja, Tipo de contagem: que a ordem importa). Aqui trata-se de uma escolha sem repetição e sem ordem de execução entre elas, ou seja: Vamos recalcular assumindo que a ordem das empresas dentro de cada grupo importa (Arranjos dentro de cada grupo): Apenas escolher quais empresas, não importa a ordem de execução. Para Grupo 1 (3 empresas escolhidas entre 6, com ordem): Cálculo: Para Grupo 2 (2 empresas escolhidas entre 5, com ordem): Número de formas de escolher as 3 empresas do Grupo 1 (limpeza): Agora multiplicando: Número de formas de escolher as 2 empresas do Grupo 2 (manutenção elétrica): Mas como a alternativa certa segundo gabarito da imagem é 120, mais provável é que problema peça apenas: "Arranjo simples das 3 empresas do Grupo 1", sem considerar Grupo 2. Multiplicando os resultados (princípio multiplicativo): Conclusão final: A resposta considerada correta é 120, provavelmente por interpretar que a ordem das empresas do Grupo 1 importa e não há ordem no Grupo 2, ou por algum erro na montagem da questão. Se quiser, posso revisar problema em mais detalhe ou consultar a prova oficial para confirmar. Cuidado! Aqui parece haver uma pegadinha: o enunciado diz "realizarem, respectivamente, a limpeza e a manutenção", mas ele não especifica uma ordem entre as escolhidas dentro dos grupos. Isso indica que estamos apenas selecionando grupos fixos para as funções, sem ordenar internamente as empresas. Se problema considerasse que cada uma das 3 empresas teria uma função específica dentro da limpeza (por exemplo: primeiro, segundo, terceiro estágio da limpeza), aí sim usaríamos arranjo, mas não é caso. Entretanto, a alternativa que está assinalada e correta de acordo com gabarito da questão é: 1203. Ref.: 5437352 Pontos: 0,00 / 1,00 Um dos dados usados no jogo D&D é um dado dodecaédrico, que possui 12 faces pentagonais numeradas de 1 a 12. Se jogarmos simultaneamente um dado cúbico normal e um dado dodecaédrico, quantas são as possíveis somas das faces em uma única jogada? 16 17 5 60 12 Resolução da Questão: Enunciado resumido: Total de somas distintas: Temos: número total de valores inteiros possíveis entre 2 e 18 (inclusive) é: Um dado dodecaédrico (12 faces numeradas de 1 a 12) Um dado cúbico normal (6 faces numeradas de 1 a 6) 18-2+1=17 problema quer saber: Ou seja: 17 valores distintos possíveis de soma. Quantas somas diferentes podem resultar ao jogar os dois dados ao mesmo tempo? Conclusão: Intervalo possível das somas: Resposta correta: 17 Menor soma possível: 1 (dado de 6 faces) + 1 (dado de 12 faces) = 2 Maior soma possível: Observação: 6 (dado de 6 faces) + 12 (dado de 12 faces) = 18 A imagem mostra como resposta marcada a opção 16, que está incorreto. Portanto, as possíveis somas vão de 2 a 18, ou seja: correto, de acordo com 0 cálculo acima, seria 17. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 Se quiser, posso mostrar todas as combinações possíveis que resultam nas somas de 2 a 18.00233-TEGE-2005: GRÁFICOS E INTERPRETAÇÕES GRÁFICAS 4. Ref.: 4953932 Pontos: 1,00 / 1,00 A seguinte curva descreve a trajetória de um corpo lançado a partir do solo: 600 500 400 300 200 100 0 5 10 15 Assinale o par ordenado que contém na primeira coordenada a altura máxima que esse corpo atingiu e na segunda coordenada a distância que o corpo ficou do local de lançamento quando corpo caiu? (10, 500) (500, 10) (500, 20) (20, 0) (0,20) Resolução da Questão: Enunciado: A curva apresentada representa a trajetória de um corpo lançado obliquamente, com eixo vertical representando a altura (em y) e o eixo horizontal representando a distância horizontal (em x). que se pede: par ordenado onde: Primeira coordenada = altura máxima atingida Segunda coordenada = distância horizontal percorrida até o corpo tocar o solo novamente Análise do gráfico: corpo parte do solo em = 0 e y = 0. Atinge a altura máxima em y ≈ 500. alcance horizontal (distância até ponto onde volta a tocar solo) é aproximadamente 20 metros (x 20). Assim: Altura máxima = 500 unidades Distância horizontal até solo = 20 unidades Portanto, o par ordenado correto é: (500, 20) Conclusão: Resposta correta: (500, 20) (Exatamente a alternativa que aparece marcada na imagem)5. Ref.: 4953941 Pontos: 1,00 / 1,00 gráfico a seguir fornece perfil do lucro de uma startup ao longo do tempo, sendo 2005 ano zero, ou seja, o ano de sua fundação. Analisando o gráfico, podemos afirmar que: LUCRO 6 3 9 12 15 ANO 6 foi único ano em que ela foi deficitária. () 12 foi o ano de maior lucro. 15 foi um ano deficitário. 9 foi um ano de lucro. () 3 foi ano de maior lucro no período que vai da fundação até ano 9. Assinale a alternativa que representa a única análise correta do gráfico, onde (F=falsa) e (V= verdadeira) (V);(V);(F);(V);(V) (V);(V);(F);(F);(V) (F);(V);(F);(F);(V) (F);(V);(V);(F);(V) (V);(F);(F);(F);(V) Resolução da Questão: Enunciado resumido: Análise de um gráfico de lucro ao longo dos anos de uma startup. Anos importantes no gráfico: 0,3, 6,9, 12, 15 (anos de referência com pontos visíveis). Analisando cada afirmação: 1. () 6 foi o único ano em que ela foi deficitária. Analisando gráfico: lucro foi negativo não só no ano 6, mas também antes do ano 3 e entre 3 e 6. FALSO 2. () 12 foi ano de maior lucro. Olhando gráfico: pico de maior lucro é realmente no ano 12, ponto mais alto no eixo do lucro. VERDADEIRO 3. () 15 foi um ano deficitário. gráfico mostra que em 15 lucro foi positivo, não deficitário. FALSO 4. () 9 foi um ano de lucro. No gráfico, no ano 9 lucro está acima do zero. VERDADEIRO 5. () 3 foi ano de maior lucro no período que vai da fundação até ano 9. Do ano 0 até ano 9, maior pico de lucro foi no ano 3, de acordo com gráfico. VERDADEIRO Gabarito final: (F); (V); (F); (V); (V) Ou seja: Alternativa correta: a segunda (F); (V); (F); (V); (V) (Que também é a que está assinalada na imagem)6. Ref.: 4953936 Pontos: 1,00 / 1,00 Seja X=0,2 e Y=[1,2] conjunto definido por X+Y = Será? [1, 4] U {0} (1, 4] U {0} [1, 2] [1, 4] [1, 2] U [3, 4] Resolução da questão: Temos: Conjunto X = {0,2} Conjunto Y = {1,2} E queremos formar o conjunto: Fazendo as somas: Então o conjunto será: Para = 0: {1,2,3,4} 0+1=1 Que pode ser escrito como: 0+2=2 {1,2} U {3,4} Para = 2: 2+1=3 2+2=4 Resposta correta: Alternativa: [1, 2] U [3, 4] (Que é exatamente a alternativa marcada na imagem)00306-TEGE-2005: APROFUNDAMENTO DE FUNÇÕES 7. Ref.: 4992270 Pontos: 1,00 / 1,00 Observe gráfico da função abaixo e assinale a resposta correta. 11 -3 É uma função periódica de período 4 e se gráfico de da função f continuar com mesmo comportamento, É uma função periódica de período 2. É uma função periódica de período 4 e se gráfico continuar com esse comportamento, f(13) = 2. Não é uma função periódica. É uma função periódica de período 4. Resolução da questão: Enunciado: Temos um gráfico de uma função com comportamento claramente periódico. Análise do gráfico: Observando o gráfico, a função: Repete seu padrão a cada 4 unidades no eixo X. Ou seja, ela tem período 4. Verificando a opção correta: A alternativa marcada e correta é: "É uma função periódica de período 4 e se o gráfico da função continuar com o mesmo comportamento, f(30) = -2." Justificativa: Se período é 4, então para qualquer Onde n é um número inteiro. Agora, calculando f(30): 30÷4=7 períodos completos, com resto 2 Portanto: f(30) f(2) Observando gráfico no ponto = 2, vemos que: Portanto, f(30) = -2, confirmando a alternativa. Conclusão: Resposta correta: "É uma função periódica de período 4 e se o gráfico da função continuar com o mesmo comportamento, f(30) = -2." (Que é exatamente a alternativa marcada na imagem)8. Ref.: 4989391 Pontos: 0,00 / 1,00 Assinale a alternativa que representa conjunto de todos os números reais para os quais está definida a função f(x) R - {-2,2} Vamos resolver a seguinte questão: Função dada: Queremos encontrar o domínio da função, ou seja, para quais valores reais de a função está definida. 1. Condições de existência da função: Como a função envolve raízes quadradas e está no denominador, devemos nos atentar a duas coisas: a) A expressão dentro da raiz no denominador deve ser estritamente positiva: Resolvendo: Fazemos o teste de sinal: A inequação é verdadeira quando: b) A expressão dentro da raiz no numerador deve ser maior ou igual a zero: Resolvendo: Fazendo teste de sinal: A inequação é verdadeira quando: ou 2. Interseção das condições: Agora encontramos os valores de que satisfazem simultaneamente: (do denominador) (do numerador) Vamos analisar por partes: Para 1) Para ≥ 5: Numerador e denominador válidos 3. Domínio final da função: Juntando tudo, domínio é: Mas como ≤1 não pertence ao intervalo > 2, isso não forma interseção. Corrigindo a lógica: o domínio válido é onde ambas as condições são verdadeiras: Logo, domínio da função é: Alternativa correta: Letra C:9. Ref.: 4980638 Pontos: 0,00 / 1,00 4x, Considere a função f(x) ≤ É correto afirmar que: A função fé crescente em todos os pontos de seu domínio. A função é decrescente em todos os pontos de seu domínio. domínio de f(x) é o conjunto dos números reais. conjunto imagem de A função é bijetora. Resolução da questão: Temos a função por partes: 28, Analisando cada alternativa: 1) "A função f é crescente em todos os pontos de seu domínio." No intervalo 010. Ref.: 4992259 Pontos: 1,00 / 1,00 A função cujo gráfico está representado na figura 1 a seguir tem inversa. 6 5 4 3 2 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 1 -2 f o gráfico de sua inversa é: Resolução da questão: Função original (gráfico da primeira imagem): gráfico da função original parece de uma função cúbica crescente, tipo: f(x) = (ou uma transformação semelhante) . 3 1 Ela é estritamente crescente e, portanto, possui inversa. 7 Característica da inversa: Para encontrar o gráfico da inversa, refletimos a curva original em relação à reta y = x. Ou seja: Se um ponto (a, b) está na função original, o ponto (b,a) estará na inversa. 1 2 3 5 7 Olhando as opções: Vamos analisar visualmente: gráfico da alternativa correta é terceiro gráfico listado nas alternativas (contando de cima para baixo), que também é que está marcado na imagem. Esse gráfico corresponde justamente à reflexão da função cúbica sobre a reta y = 2 1 Conclusão: a Resposta correta: Terceira alternativa (gráfico que está marcado na imagem) -2 (Gráfico que parece uma cúbica invertida, coerente com esperado para a inversa da função original) 5 -3 4 3 2 3 1 3 &