AULA 06_MEDIDAS NUMERICAS DESCRITIVAS (PARTE 02)

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Profa Kellen Lima 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
AULA 06 
 
Medidas Numéricas Descritivas 
(Parte 02) 
TENDÊNCIA CENTRAL 
Corresponde à extensão na qual todos os 
valores de dados se agrupam em torno de um 
valor central típico. 
VARIAÇÃO 
Corresponde ao montante da dispersão de 
valores em relação a um valor central. 
FORMATO 
Corresponde ao padrão da distribuição de 
valores, do valor mais baixo para o mais alto. 
CONTINUAÇÃO... 
Amostra 1: 230 250 245 258 265 240 
Amostra 2: 190 228 305 240 265 260 
Média amostral  𝑿 = 𝟐𝟒𝟖 
A tendência central não fornece, necessariamente, informação 
suficiente para a descrição adequada dos dados. 
180 200 220 240 260 280 300 320 
𝑿 = 𝟐𝟒𝟖 
5.5 Medidas de Variação 
Indicam se um conjunto de dados é homogêneo ou 
heterogêneo. 
MEDIDA RELATIVA 
 Coeficiente de variação; 
MEDIDAS ABSOLUTAS 
Amplitude, Amplitude interquartil, Variância e Desvio-padrão; 
Medem a dispersão de valores em um conjunto de dados, 
isto é, o grau de afastamento dos dados em torno de um 
valor central; 
5.5 Medidas de Variação 
5.5.1 Amplitude 
Amplitude = Xmaior – Xmenor 
 
Amplitude = 13 - 1 = 12 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
Medida de 
variação 
mais 
simples; 
Diferença 
entre o 
maior valor 
e o menor 
valor. 
5.5 Medidas de Variação 
5.5.1.1 Desvantagens da Amplitude 
Ignora a forma na qual os dados são distribuídos 
7 8 9 10 11 12 
Amplitude = 12 - 7 = 5 
7 8 9 10 11 12 
Amplitude = 12 - 7 = 5 
 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,5 
 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,120 
Amplitude = 5 - 1 = 4 
Amplitude = 120 - 1 = 119 
Sensível a valores extremos 
5.5 Medidas de Variação 
5.5.2 Amplitude Interquartil 
Problemas causados por outliers podem 
ser eliminados com o uso de amplitudes 
interquartis (AIQ). 
A AIQ elimina alguns dos maiores e menores 
valores e calcula a amplitude apenas com os 
valores restantes. 
Amplitude Interquartil 
AI = Q3 – Q1 
AI = 3° quartil – 1° quartil 
mediana 
Q2 
X 
máximo X mínimo Q1 Q3 
25% 25% 25% 25% 
12 30 45 57 70 
Amplitude Interquartil = 57 – 30 = 27 
5.5 Medidas de Variação 
5.5.3 Variância 
X
1-n
)X(X
S
n
1i
2
i
2




É a soma das diferenças em torno da média aritmética 
elevadas ao quadrado, dividida pelo tamanho da amostra 
menos um. 
Onde: 
5.5 Medidas de Variação 
5.5.4 Desvio-Padrão 
Medida de 
variação 
mais 
utilizada; 
Mostra 
variações 
em relação 
à média; 
1-n
)X(X
S
n
1i
2
i



Passos para computar o desvio-padrão amostral: 
1. Compute a diferença entre cada valor e a média; 
2. Eleve esta diferença ao quadrado; 
3. Some os quadrados das diferenças; 
4. Divida o total por n-1 para obter a variância amostral; 
5. Tire a raiz quadrada da variância amostral para obter o desvio 
padrão amostral. 
 
Dada uma série de valores: 
10 12 14 15 17 18 18 24 
Qual é o desvio-padrão? 
 n = 8 Média = 128/8=16 
4,2426
7
126
18
16)(2416)(1416)(1216)(10
1n
)X(24)X(14)X(12)X(10
2222
2222







S
S
S


Uma medida da dispersão 
“média” em torno da média 
R
E
S
O
L
U
Ç
Ã
O
 
5.5 Medidas de Variação 
5.5.4.1 Comparando Desvios-Padrão 
Média = 16 
 S = 3,338 
Média = 16 
 S = 4,570 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 
Dados B 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 
Dados C 
Média = 16 
 S = 0,926 
Dados A 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 
Desvio-padrão pequeno 
Desvio-padrão grande 
5.5 Medidas de Variação 
5.5.5 Resumo de Características 
5.5 Medidas de Variação 
5.5.6 Coeficiente de Variação 
O CV é o desvio-padrão dividido pela média 
e multiplicado por 100; 
Sempre é expresso em porcentagem (%); 
Mostra a variação relativa à média; 
O CV pode ser usado para comparar dois ou 
mais conjuntos de dados medidos em diferentes 
unidades. 
100%
X
S
CV 








 Ação A: 
 Preço médio do ano passado = $50 
 Desvio-padrão = $5 
 
 
 Ação B: 
 Preço médio do ano passado = $100 
 Desvio-padrão = $5 
10%100%
$50
$5
100%
X
S
CVA 







 5%100%
$100
$5
100%
X
S
CVB 








 
As duas 
ações têm 
o mesmo 
desvio-
padrão, 
mas a ação 
B é menos 
variável 
com 
relação ao 
seu preço 
médio. 
O gerente de operações de um serviço de entregas está 
avaliando a compra de uma nova frota de caminhões. 
Existem 2 variáveis importantes no negócio de 
entregas: peso e o volume. Para amostra de 200 
pacotes: 
Peso médio = 26 kg, desvio-padrão peso = 3,9kg 
Volume médio = 8,8m3, desvio-padrão volume = 2,2 m3 
 
 
 
 
 
15%100%
26kg
3,9kg
100%
X
S
CVpeso 







 25%100%
8,8m
2,2m
100%
X
S
CV
3
3
volume 








Então, em relação à média aritmética, o volume de encomendas é muito mais variável do 
que o peso das encomendas. 
5.6 Localizando Valores Extremos 
5.6.1 Escore-Z 
O ESCORE-Z É UTILIZADO PARA IDENTIFICAR 
VALORES EXTREMOS; 
 
Um valor é considerado extremo se o seu 
escore-Z for < -3 ou > +3. 
Para computar o escore-Z de um dado, diminua Xi da 
média e divida pelo desvio-padrão; 
Quanto maior o valor absoluto do escore-Z, mais longe 
o valor está da média; 
S
XX
Z i


Onde: 
Suponha que a nota média do ENEM seja 
de 490 e desvio-padrão de 100. Calcule o 
Escore-Z de um aluno com nota 620. 
 
3,1
100
130
100
490620





S
XX
Z i
Um escore de 620 equivale a 1,3 desvios-padrão acima 
da média, e portanto não seria considerado um valor 
extremo. 
Se você conhecesse o tempo típico 
necessário para se aprontar na parte da 
manhã, você seria capaz de planejar a sua 
manhã e minimizar atrasos excessivos. 
Suponha que você defina o tempo 
necessário para se aprontar como o tempo 
desde o momento que você levanta da 
cama até sair de casa. Você coleta os 
tempos mostrados a seguir, para 10 dias 
de trabalho consecutivo. 
Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tempo (min) 39 29 43 52 39 44 40 31 44 35
Calcule: 
 
(a) média aritmética, (b) Q1, (c) Q2, (d) Q3, (e) amplitude, (f) 
amplitude interquartil, (g) variância, (h) desvio padrão e (i) 
coeficiente de variação. 
Tempo (min) 29 31 35 39 39 40 43 44 44 52
R
E
S
O
L
U
Ç
Ã
O
 
𝑎) 𝑋 =
 𝑋𝑖
𝑛
1=1
𝑛
= 39,6 𝑚𝑖𝑛 
 
𝑏) 𝑄1 =
𝑛 + 1
4
= 2,75 ~ 3° 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 = 35 
 
𝑐) 𝑄2 = 𝑝𝑎𝑟 =
𝑛 + 1
2
= 5,5 ~ 
5° 𝑒 6° 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
2
= 39,5 
 
𝑑) 𝑄3 =
3(𝑛 + 1)
4
= 8,25 ~ 8° 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 = 44 
 
𝑒) 𝐴 = 52 − 29 = 23 
 
𝑓) 𝑄3 − 𝑄1 = 44 − 35 = 9 
 
𝑔) 𝑆2 =
 (𝑋𝑖 − 𝑋 )
2
𝑛 − 1
=
(29 − 39,6)2+(31 − 39,6)2+⋯+ (52 − 39,6)2
10 − 1
= 45,82 
 
ℎ) 𝑆 = 𝑆2 = 6,77 
 
𝑖) 𝐶𝑉 =
𝑆
𝑋 
× 100% = 17,1% 
Os dados abaixo contêm o preço do ingresso inicial ($),para 
passes de 1 dia, de 10 parques temáticos nos EUA. 
 
58 63 41 42 29 50 62 43 40 40 
 
Calcule: 
 
(a) média aritmética, (b) Q1, (c) Q2, (d) Q3, (e) amplitude, (f) 
amplitude interquartil, (g) variância, (h) desvio padrão e (i) 
coeficiente de variação. 
COLOQUE O PASSO A PASSO DOS CÁLCULOS!!!! 
Exercício – Aula 06 
GABARITO 
 
(a) 46,8 (b) 40 (c) 42,5 (d) 58 (e) 34 
 
(f) 18 (g) 123,29 (h) 11,10 (i) 23,71%