AULA 05_MEDIDAS NUMERICAS DESCRITIVAS (PARTE 01)

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Profª Kellen Lima 
 
PROBABILIDADE E 
ESTATÍSTICA 
 
AULA 05 
Medidas Numéricas Descritivas 
(PARTE 01) 
Aulas baseadas no Capítulo 03 do Levine et al. (2011). 
 5.1 Objetivos da Aula 
NESTA AULA, VOCÊ APRENDERÁ: 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
Médias (aritmética e ponderada); 
Mediana; 
Moda; 
MEDIDAS SEPARATRIZES 
(quantis  quartis, decis, centis) 
5.2 Medidas Numéricas Descritivas 
TENDÊNCIA CENTRAL 
Corresponde à extensão na qual todos os 
valores de dados se agrupam em torno de um 
valor central típico. 
VARIAÇÃO 
Corresponde ao montante da dispersão de 
valores em relação a um valor central. 
FORMATO 
Corresponde ao padrão da distribuição de 
valores, do valor mais baixo para o mais alto. 
5.3 Medidas de Tendência Central 
Medidas tipicamente usadas: 
 
Médias (aritmética e ponderada) 
 
Mediana 
 
 
Moda 
 
Medidas separatrizes 
(quantis  quartis, decis, centis) 
 
5.3 Medidas de Tendência Central 
5.3.1 Média Aritmética 
Para uma amostra de tamanho n: 
n
XXX
n
X
X n21
n
1i
i 


 
A média de um conjunto de valores numéricos é 
calculada somando-se todos os valores e 
dividindo-se o resultado pelo número de 
elementos somados 
Onde: 
Ponto de 
equilíbrio; 
É a medida 
de 
tendência 
central 
mais 
comum; 
Afetada por 
valores 
extremos 
(outliers); 
Todos os 
valores 
desenpen 
ham o 
mesmo 
papel. 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Média = 3 
3
5
15
5
54321


Média = 4 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
4
5
20
5
104321


5.3 Medidas de Tendência Central 
5.3.2 Média Ponderada 
Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as 
ocorrências têm exatamente a mesma importância ou o 
mesmo peso. Então, dizemos que elas têm o mesmo peso 
relativo. 
No entanto, existem casos onde as ocorrências têm 
importância relativa diferente. Nestes casos, o cálculo da 
média deve levar em conta esta importância relativa ou peso 
relativo. 
𝑿 𝑷 =
 𝒑𝒊 ∙ 𝒙𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
 𝒑𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
=
𝒑𝟏 ∙ 𝒙𝟏 + 𝒑𝟐 ∙ 𝒙𝟐 +⋯+ 𝒑𝒏 ∙ 𝒙𝒏
𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 +⋯+ 𝒑𝒏
 
Onde: 
 Um candidato participou de um concurso, onde foram 
realizadas provas de Português, Matemática, Biologia e 
História. Essas provas tinham pesos 3, 3, 2 e 2, 
respectivamente. Sabendo que o candidato tirou 8,0 em 
Português, 7,5 em Matemática, 5,0 em Biologia e 4,0 em 
História, qual foi a média que ele obteve? 
 
 
 
 
 
𝑿 𝑷 =
𝟖, 𝟎 × 𝟑 + 𝟕, 𝟓 × 𝟑 + 𝟓, 𝟎 × 𝟐 + 𝟒, 𝟎 × 𝟐
𝟑 + 𝟑 + 𝟐 + 𝟐
 
𝑿 𝑷 =
𝟔𝟒,𝟓
𝟏𝟎
= 𝟔, 𝟒𝟓 
Portanto, a média do candidato foi de 6,45 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
5.3 Medidas de Tendência Central 
5.3.3 Mediana 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Mediana = 4 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Mediana = 4 
Em um rol, a mediana 
é o “número” do meio, 
(50% acima, 50% 
abaixo). 
Não é afetada por 
valores extremos 
(outliers). 
Ordenar os dados de maneira CRESCENTE!!! 
5.3 Medidas de Tendência Central 
5.3.3.1 Localizando a mediana 
OBS: Note que, (n+1)/2 NÃO é o valor da mediana, apenas a posição 
da mediana nos dados ordenados. 
REGRA 02 - Se o número de valores é PAR, 
a mediana é a média dos dois valores do meio; 
REGRA 01 - Se o número de valores é ÍMPAR, 
a mediana é o número do meio; 
A mediana de um conjunto de dados ordenado é localizada no 
(n+1)/2 valor; 
Dada uma série de valores: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 
16, 9. Qual é o valor da mediana? 
 
 
 
 
 
1°) Ordenar os dados de maneira CRESCENTE: 
2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18 
2°) n = VALOR ÍMPAR = 9 
3°) Logo, a mediana é igual ao valor do meio da série ordenada, 
ou seja, 10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
n = VALOR ÍMPAR 
Dada uma série de valores: 52, 44, 29, 44, 35, 
39, 40, 31, 39, 43. Qual é o valor da mediana? 
 
 
 
 
 
1°) Ordenar os dados de maneira CRESCENTE: 
29, 31, 35, 39, 39, 40, 43, 44, 44, 52 
2°) n = VALOR PAR = 10 
3°) Aplicar (n+1)/2 para encontrar a posição dos valores: 
(10+1)/2 = 5,5 
4°) Logo, devemos fazer a média entre o 5° e 6° valores na ordem de 
classificação; 
5°) Portanto, a mediana é igual a (39+40)/2 = 39,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
n = VALOR PAR 
5.3 Medidas de Tendência Central 
5.3.4 Moda 
Valor que ocorre com maior 
frequência; 
Não é afetada por 
valores 
extremos; 
Usada tanto para dados numéricos 
quanto para dados categóricos; 
Pode não haver 
moda e pode haver 
várias modas. 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
Moda = 9 
0 1 2 3 4 5 6 
Sem Moda 
 Considere os dados a seguir sobre a concentração do 
receptor transferrina de uma amostra em mulheres 
grávidas com evidências laboratoriais de uma visível 
anemia por deficiência de ferro. Calcule a média, mediana e 
a moda destes valores. 
15,2 9,3 7,6 11,9 10,4 9,7
20,4 9,4 11,5 16,2 9,4 8,3
 
 
 
 
1°) Ordenar os dados: 7,6 8,3 9,3 9,4 9,4 9,7 10,4 11,5 11,9 
15,2 16,2 20,4 
 
2°) Cálculo da média = = 11,61 
 
3°) Cálculo da mediana 
 par 
 (n+1)/2 
 (12+1)/2 = 6,5 (posição) 
 média entre o 6° e 7° valores = (9,7+10,4)/2 = 10,05 
 
4°) Moda = 9,4 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
n
XXX
n
X
X n21
n
1i
i 


 
5.3 Medidas de Tendência Central 
5.3.5 Qual medida escolher? 
A média geralmente é usada, exceto 
quando existem valores extremos 
(outliers). 
Nesse caso, a mediana é a mais usada, 
uma vez que não é sensível a valores 
extremos, assim como a moda e os 
quartis. 
5.3 Medidas Separatrizes 
Medidas separatrizes são valores de posição que 
dividem o rol em partes iguais, também chamadas de 
percentis ou quantis. 
Medidas separatrizes tipicamente usadas: 
Centis 
(100 partes) 
Decis 
(10 partes) 
Quartis 
(4 partes) 
5.4 Medidas Separatrizes 
5.4.1 Quartis 
Quartis dividem os dados ordenados em 4 segmentos 
com o mesmo número de valores por segmento. 
25% 25% 25% 25% 
Q
1
 
Q
2
 
Q
3
 
O primeiro 
quartil, Q1, é o 
valor para o 
qual 25% das 
observações 
são menoros e 
75% são 
maiores; 
Q2 é o mesmo 
que a mediana 
(50% são 
menores, 50% 
são maiores); 
Apenas, 25% 
dos valores 
são maiores 
do que o 
terceiro 
quartil, Q3. 
5.4 Medidas Separatrizes 
5.4.1.1 Localizando os Quartis 
Encontre os quartis ao determinar o valor 
correspondente a posição apropriada nos dados 
ordenados, onde: 
Posição do primeiro quartil: Q1 = (n+1)/4 
Posição do segundo quartil: Q2 = (n+1)/2 
Posição do terceiro: Q3 = 3(n+1)/4 
Em que: n é o tamanho da amostra. 
Regra 1: Se o resultado é um número inteiro, então o quartil 
corresponde ao valor ordenado nesta posição. 
Ex: Para n=7 Q1= (7+1)/4 = 2° valor 
Regra 2: Se o resultado é uma fração em 0.5, p.e, (2.5 ; 3.5), então 
o quartil é igual a média dos valores correspondendo as posições 
adjacentes (2 e 3 ; 3 e 4); 
Ex: Para n=9 Q1= (9+1)/4 = 2,5  média 2° e 3° valores 
Regra 3: Se o resultado não é inteiro e nem uma fração com 0.5, 
então arredonda-se a posição para o inteiro mais próximo e 
determina-se o valor correspondente. 
Ex: Para n=10 Q1= (10+1)/4 = 2,75 arredonda para 3 
Para a amostra ordenada de dados abaixo, 
encontre o primeiro quartil: 
 11 12 13 16 16 17 18 21 22 
1) Primeiro, note que n = 9. 
2) Q1 está na posição (9+1)/4 = 2,5 dos dados ordenados, então é o 
valor médio entre os 2° e 3° valores ordenados, Q1 = (12+13)/2 = 12,5 
 
Q1 e Q3 são medidas de locação não centrais 
Q2 = mediana, é uma medida de tendência central 
 
RESOLUÇÃO 
CONTINUARÁ… 
Tendência Central 
Média 
Aritmética 
Média 
Ponderada 
Moda 
 
Mediana 
 
25% 25% 25% 25% 
Q
1
 
Q
2
 
Q
3
 
Medidas Separatrizes 
Obrigada pela atenção! 
Os dados abaixo representam a vida útil de baterias (em 
termos do número de fotografias) de câmeras digitaisde 
três megapixels. Calcule a média, a mediana, a moda, o 
primeiro quartil e o terceiro quartil. 
Exercício – Aula 05 
300 180 85 170 380 460
260 35 380 120 110 240
𝑿 = 𝟐𝟐𝟔, 𝟔𝟕 Q2 = 210 Q1 = 110 Q3 = 380 Mo = ?