Apostila_Teoria2_2012_

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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
1 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 2 
 
 
 
 
ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 
(cálculo dos deslocamentos) 
 
E 
 
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 
(cálculo das reações de apoio) 
& 
(cálculo dos deslocamentos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 
 
1 - Introdução. 
As estruturas em geral estão sob a ação das seguintes solicitações reais: 
 A - Peso próprio; 
 B - Carregamento exterior (cargas permanentes, cargas acidentais); 
 C - Efeito da temperatura; 
 D - Deslocamento prescrito (conhecido): 
 D1 - Movimentos dos apoios da estrutura, ou seja, recalques dos apoios; 
 D2 - modificação na posição original da estrutura que ocorre durante a 
montagem da mesma (um alongamento, um encurtamento); 
 
Estas solicitações reais geram esforços internos, ou seja, Forças reais internas 
(N, Q, M, T) nas estruturas que por sua provocam deslocamentos, ou seja, 
deformações nas estruturas. 
 
No dia a dia as estruturas estão sob o efeito simultâneo destas solicitações 
reais. Para determinar o deslocamento de uma determinada seção s qualquer de uma 
estrutura é necessário calcular o deslocamento provocado por cada agente 
separadamente e em seguida realizar o somatório dos deslocamentos produzidos 
pelos agentes a fim de determinar o deslocamento final sofrido por esta seção s da 
estrutura. 
 
O cálculo dos deslocamentos em estruturas isostáticas pode ser determinado por 
meio do Método da Força Virtual Unitária ou Método de Maxwell-Mohr, em 
homenagem a James Maxwell e Otto Mohr que o desenvolveram em trabalhos 
independentes, respectivamente, em 1864 e 1874. Este método foi desenvolvido a 
partir do Teorema ou Princípio das Forças Virtuais. 
 
1.1 - Teorema das Forças Virtuais 
 
 Este Teorema estabelece que: 
 
Considerando em uma estrutura um sistema de forcas equilibradas quaisquer, 
denominadas Forças Virtuais, o trabalho virtual das forças externas é igual ao trabalho 
virtual das forças internas. 
Wext = Wint Lembrete: trabalho Æ W = F. d 
 
∑(Pi . δi) + ∑ (Rj . δij) = ∑ ( x∫ N dδ + x∫ Q dλ + x∫ M dϕ + x∫ T dθ ) (1) 
 i j 
 
∑ - somatório da contribuição de cada barra da estrutura; 
x - comprimento da barra; 
Pi - forças virtuais externas, variando de 1 até i; 
δi - deslocamentos reais onde são supostas as forças virtuais Pi ; 
Rj - reações de apoio virtuais, variando de 1 até j; 
δij - deslocamentos prescritos (iniciaisÆ antes da aplicação de uma solicitação qualquer 
sobre a estrutura) onde são arbitradas as reações de apoio virtuais; 
 
N, Q, M, T - forças virtuais internas (Normal, Cortante, Momento fletor e Momento 
Torçor) ao longo da barra devido à aplicação da externa virtuais; 
dδ, dλ, dϕ e dθ são os deslocamentos reais relativos associados, respectivamente às 
forças reais internas ( N, Q, M, T ) que surgem para equilibrar as forças externas reais; 
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3 
 
A resistência dos materiais fornece as seguintes expressões: 
 
dδ = N . dx; dλ = Q . dx; dϕ = M . dx; dθ = T . dx (2) 
 EA GAv EI GJ 
 
Onde: 
E - Módulo de elasticidade; 
A - Área da seção transversal; 
I - Momento de Inércia da seção transversal; 
G - Módulo de elasticidade transversal; 
J - Momento de inércia polar, ou seja, momento de inércia associado a torção da 
seção; 
Av - Área efetiva de cisalhamento. Av = A/f, sendo f o fator de cisalhamento relativo ao 
 esforço cortante; 
 
A tabela 1 apresenta as propriedades de seção A, Iy, Iz, fy, fz e J para as seções 
transversais mais usuais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Substituindo os termos da equação 2 na equação 1, obtêm-se o teorema das Forças 
Virtuais sob a forma: 
Wext = Wint 
 
∑(Pi . δi) + ∑ (Rj . δij) = ∑ (x∫ N.N.dx + x∫ Q.Q. dx + x∫ M.M.dx + x∫ T.T.dx) (3) 
 i j EA GAv EI GJ 
 
N, Q, M, T Æ forças internas reais (devido à solicitação real) 
 
N, Q, M, T Æ forças internas virtuais (devido à solicitação virtual unitária); 
 
2 - Cálculo dos deslocamentos por meio do Método da Força Virtual Unitária ou 
Método de Maxwell-Mohr. 
 
Inicialmente será apresentada a formulação para determinar o deslocamento de 
uma seção s qualquer de uma estrutura devido à ação solicitação real: carregamento 
exterior, posteriormente, as formulações para determinar os deslocamentos 
provocados pelas demais solicitações reais serão apresentadas, visto que são 
análogas ao do carregamento exterior. 
 
 Seja a estrutura da figura 1, submetida ao carregamento indicado, que por sua 
vez, gera Forças reais internas (N, Q, M, T). Devido a estas forças reais internas a 
estrutura se deforma, adquirindo a configuração representada em traço-ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Modelo sob solicitação real: Modelo sob solicitação virtual: 
carregamento exterior, onde este força vitual unitária, onde esta 
carregamento gera: força virtual gera: 
 - forças reais internas: (N, Q, M, T); - forças virtuais internas: (N, Q, M, T); 
 - deslocamentos reais relativos entre - deslocamentos virtuais relativos entre 
 duas seções adjacentes distantes dx: duas seções adjacentes distantes dx: 
 dδ Æ deslocamento axial devido ao N; dδ Æ deslocamento axialdevido ao N; 
 dλ Æ deslizamento devido ao Q; dλ Æ deslizamento devido ao Q; 
 dϕ Æ rotação devida ao M; dϕ Æ rotação devida ao M; 
 dθ Æ rotação devida ao T; dθ Æ rotação devida ao T; 
 
Figura 1: Modelo sob solicitação real: Figura 2: Modelo sob solicitação virtual: 
 carregamento exterior Força virtual unitária 
 
 
 
P2 
dx 
m P1 
Pi Pn 
Δ 
δ 
Δ 
m 
Δ 
δ 
Δ 
Fu= 1 
Configuração original 
Configuração deformada
Configuração original 
Configuração deformada
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Supondo, para fins de raciocínio, que o deslocamento na direção Δ de um ponto 
qualquer m da estrutura ilustrada na figura 1 seja determinado, sendo este 
deslocamento chamado por δ. 
 
Utilizando o Teorema das forças Virtuais Maxwell-Mohr propuseram o seguinte 
procedimento. 
 
1- Considerando uma estrutura, conforme ilustrado na figura 2, tal que ao ser 
submetida à uma força virtual unitária dada por Fu = 1 na direção do deslocamento do 
ponto m a ser calculado adquira uma configuração deformada igual a configuração 
original (quando descarregada) da estrutura da figura1. 
 
2 - Dando-se a todos os pontos da estrutura na configuração deformada ilustrada na 
figura 2, campo de deslocamentos virtuais ( δ ) exatamente iguais aos deslocamentos 
reais ( δ ) provocados pela solicitação real, esta assumirá uma configuração virtual 
deformada igual à configuração deformada da figura 1. 
 δ = δ 
 dδ = dδ Æ deslocamento axial devido ao N; 
 dλ = dλ Æ deslizamento devido ao Q; 
 dϕ = dϕ Æ rotação devida ao M; 
 dθ = dθ Æ rotação devida ao T; 
 
Assim aplicando o teorema das forças virtuais à estrutura com as forças e 
deslocamentos indicados na figura 2, ou seja, utilizando a equação 3, para a estrutura 
em questão, têm-se: 
Wext = Wint 
 
∑(Pi . δi) + ∑ (Rj . δij) = ∑ (x∫ N.N.dx + x∫ Q.Q. dx + x∫ M.M.dx + x∫ T.T.dx) (3) 
 i j EA GAv EI GJ 
 
Onde para a estrutura da figura 2 devem ser realizadas as considerações a seguir: 
 - Existe apenas uma força virtual unitária (Fu = 1) Æ Pi = Fu 
 - Esta força virtual unitária, gera forças internas virtuais: 
 N = Nu; Q = Qu; M = Mu; T = Tu 
 
Assim a equação 3 pode ser escrita da seguinte forma: 
 
Fu . δ + ∑ (Rj . δij) = ∑ (x∫ Nu.N.dx + x∫ Qu.Q. dx + x∫ Mu.M.dx + x∫ Tu.T.dx) (4) 
 EA GAv EI GJ 
 
 
A equação (4) traduz matematicamente MÉTODO DA FORÇA VIRTUAL 
UNITÁRIA, 
 
O cálculo dos deslocamentos em estruturas isostáticas é determinado por meio 
do MÉTODO DA FORÇA VIRTUAL UNITÁRIA ou Método de Maxwell-Mohr, em 
homenagem a James Maxwell e Otto Mohr que o desenvolveram em trabalhos 
independentes, respectivamente, em 1864 e 1874. 
 
 
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No dia a dia as estruturas estão sob o efeito simultâneo de várias solicitações 
reais: - peso próprio 
 - Carregamento exterior (cargas permanentes, cargas acidentais); 
 - Efeito da temperatura; 
 - Deslocamento prescrito (conhecido): 
 
Para determinar o deslocamento de uma determinada seção s qualquer de uma 
estrutura é necessário calcular o deslocamento provocado por cada solicitação real 
separadamente e em seguida realizar o somatório dos deslocamentos produzidos a fim 
de determinar o deslocamento final sofrido por esta seção s da estrutura. 
Inicialmente será apresentada a formulação pra determinar o deslocamento de 
uma seção s qualquer de uma estrutura devido à ação do carregamento exterior, 
posteriormente, as formulações para determinar os deslocamentos provocados pelos 
demais agentes serão apresentadas, visto que suas formulações são análogas ao do 
carregamento exterior. 
 
2.1 - Método da força virtual unitária: Efeito de carregamento exterior 
 O deslocamento ( δ ) em uma dada direção, em uma determinada seção s de 
uma estrutura devido à ação do carregamento exterior é determinado por meio da 
equação (4), mas fazendo as seguintes considerações: 
 - o objetivo é determinar o deslocamento de uma seção s provocado apenas 
pela solicitação realÆ carregamento exterior 
 - Desta forma, o termo que considera os deslocamentos prescritos da estrutura 
podem ser considerado nulo, o que permite escrever: 
 = 0 
Fu . δ + ∑ (Rj . δij) = ∑ (x∫ Nu.N.dx + x∫ Qu.Q. dx + x∫ Mu.M.dx + x∫ Tu.T.dx) (4) 
 EA GAv EI GJ 
 
Fu . δ = ∑ (x∫ Nu.N.dx + x∫ Qu.Q. dx + x∫ Mu.M.dx + x∫ Tu.T.dx) 
 EA GAv EI GJ 
Como a força virtual é unitária: 
 
δ = ∑ (x∫ Nu.N.dx + x∫ Qu.Q. dx + x∫ Mu.M.dx + x∫ Tu.T.dx) (5) 
 EA GAv EI GJ 
 
∑ - somatório da contribuição de cada barra da estrutura; 
x - comprimento da barra; 
M,N,Q, T - forças internas reais ( Momento fletor, Normal , Cortante, Torçor) ao longo 
 da barra devido à ação da solicitação real Æ carregamento exterior; 
Mu,Nu,Qu, Tu - forcas internas virtuais (Momento fletor, Normal , Cortante, Torçor) ao 
 longo da barra devido à ação da força virtual unitária; 
E - Módulo de elasticidade; 
A - Área da seção transversal; 
I - Momento de Inércia da seção transversal; 
G - Módulo de elasticidade transversal; 
J - Momento de inércia polar, ou seja, momento de inércia associado a torção da 
seção; 
Av - Área efetiva de cisalhamento; 
 
 
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7O valor de Mu, Nu, Qu, Tu ao longo de cada barra da estrutura devido à ação da força 
unitária é determinado aplicando-se sobre a seção s uma força virtual unitária na 
direção do deslocamento a ser calculado, conforme apresentado na tabela 2 a seguir: 
 
 Tabela 2: Escolha do Modelo de força virtual unitária 
 
 
Deslocamento ( δ ) a calcular da seção s 
 
Força virtual unitária (Fu) 
 
 
1 - translação vertical, ou seja, deslocamento 
linear vertical de uma seção s 
 
 
 
2 - translação horizontal, ou seja, deslocamento 
linear horizontal de uma seção s 
 
 
 
3 - rotação, ou seja, deslocamento angular de uma 
seção s 
 
 
 
4 - rotação relativa entre duas barras i e j que 
concorrem para a mesma rótula 
 
 
 
 
5 - rotação relativa entre duas seções s e s’ de 
uma mesma barra 
 
 
 
6 - rotação absoluta de uma corda AB 
 
 
 
 
 
7 - rotação relativa de 2 cordas AB e CD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 - variação do comprimento de uma corda que 
une 2 pontos A e B 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fu=1 
s 
s 
Fu=1 
s 
Mu=1 
i 
j 
Mu= 1 
Mu 
Mu 
s s’ 
Mu = 1 Mu = 1 
A 
B 
Fu= (1/L) Fu= (1/L) 
(AB = L) 
A
B 
C D
Fu1=(1/L1) 
(AB = L1) 
(CD = L2) 
Fu2=(1/L2) 
Fu1 
Fu2 
A 
B 
Fu=1 
Fu=1 
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Para as estruturas usuais (simples), as parcelas devido ao esforço Normal, ao esforço 
Cortante e ao Momento Torçor podem ser desprezadas, assim a equação (5), que 
permite calcular o deslocamento de uma seção s qualquer de uma estrutura pode ser 
simplificada, sendo esta dada por: 
δ = ∑ (x∫ Mu.M.dx )barra (estruturas de barras em geral: vigas, pórticos) (6) 
 EI 
 
Para o caso específico de grelhas, apenas as parcelas devido ao esforço Normal, ao 
esforço Cortante podem ser desprezadas assim a equação (5), que permite calcular o 
deslocamento de uma seção s qualquer de uma estrutura pode ser simplificada, sendo 
esta dada por: 
δ = ∑ (x∫ Mu.M.dx + x∫ Tu.T.dx)barra (7) 
 EI GJ 
 
Exemplo1: Calcule o deslocamento horizontal do ponto B, com e sem a consideração 
da contribuição do esforço normal e do esforço cortante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área da seção transversal das barras: A = 134 cm2 = 134x10-4 m2 
Momento de inércia da seção transversal: I = 29213 cm4 = 29213x10-8 m4 
Área efetiva de cisalhamento: AV = 39 cm2 = 39x10-4m2 
Módulo de Elasticidade longitudinal: E = 205 GPa = 205x109 Pa = 205x109 N/m2 
Coeficiente de Poisson: υ = 0,3 
Módulo de elasticidade transversal: G = E / [2 (1+ υ)] = 78,85 GPa 
 
Resolução: 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento horizontal do ponto B. 
δB =? 
 De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária horizontal 
em b Æ Caso 2 da tabela 2 
 
2 - Esboçar os diagramas de esforços devido à ação da Força virtual unitária. 
 
 
 
 
 ΣMa= 0 + Æ Vd . 6,0 - 1,0 . 4,0 = 0 
 Vd = 4/6 = 0,67 
 
 + Σ Fy = 0 Æ Va + Vd = 0 
 Va = - 0,67 Æ Va = 0,67 
d 
 Ha = 1 
 50 kN 
4,0 m 
a 
6,0 m 
3,0 m 
b c 
 Fu = 1 
4,0 m 
a 
6,0 m 
3,0 m 
b c 
d 
 va = 0,67 
 Vd = 0,67 
1ª 
2ª 
3ª 
1ª 
2ª 
3ª 
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3 - Esboçar os diagramas de esforços devido à ação da solicitação real: carregamento 
exterior. 
 
 
 
 
 ΣMa= 0 + Æ Vd . 6,0 - 50,0 . 4,0 = 0 
 Vd = 200/6 = 33,33 KN 
 
 + Σ Fy = 0 Æ Va + Vd = 0 
 Va = - 33,33 Æ Va = 33,33 KN 
4 - Cálculo do deslocamento horizontal em b (δb =?) 
 
δ = ∑ ( x∫ Mu.M.dx + x∫ Nu.N.dx + x∫ Qu.Q.dx + x∫ Tu.T.dx)barra 
 E.I E.A G.Av G.J 
 
Parcela do Momento fletor de todas as barras: 
δΜ = L1∫ Mu1.M1.dx + L2∫ Mu2.M2.dx + L3∫ Mu3.M3.dx = 
 E.I E.I E.I 
 
δΜ = 1 . [L1∫ Mu1.M1.dx + L2∫ Mu2.M2.dx + L3∫ Mu3.M3.dx ] 
 E.I 
 Ha = 50 KN 
 50 KN 
4,0 m 
a 
6,0 m 
3,0 m 
b c 
d 
 va = 33,33 KN 
 Vd = 33,33 KN 
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 4 6 
δΜ = 1 [ + 0∫ (1 . x) (50000. x ).dx + 0∫ (0,67. x) (33330. x ).dx + 0 ] 
 E.I 
 
*** Se os momentos estiverem tracionando lados opostos Æ negativo 
 4 6 
δΜ = 1 [ 0∫ 50000.x2.dx + 0∫ 22331,1 . x2.dx ] 
 E.I 
 4 6 
δΜ = 1 [ 50000. 0∫.x2.dx + 22331,1 . 0∫ x2.dx ] 
 E.I 
 
δΜ = 1 [ 50000 . (x3/3)|4 + 22331,1 . (x3/3)|6 ] 
 E.I 
 
δΜ = 1 . [ 50000 . 21,33 + 22331,1 . 72 ] = 0,04466 m 
 59886650 
 
 
Parcela do Normal de todas as barras: 
δΝ = L1∫ Nu1.N1.dx + L2∫ Nu2.N2.dx + L3∫Nu3.N3.dx = 
 E.A E.A E.A 
 
δΝ = 1 . [L1∫ Nu1.N1.dx + L2∫ Nu2.N2.dx + L3∫ Nu3.N3.dx ] 
 E.A 
 4 3 
δΝ = 1 [ + 0∫ 0,67 . 33330 . dx + 0 + 0∫ - 0,67 . (- 33330) . dx ] 
 E.A 
 4 3 
δΝ = 1 [ 0∫ 22331,1 . dx + 0∫ 22331,1 . dx ] 
 E.A 
 4 3 
δΝ = 1 [ 22331,1 . 0∫dx + 22331,1 . 0∫ dx ] 
 E.A 
 
δΝ = 1 [ 22331,1 . (x)|4 + 22331,1 . (x)|3 ] 
 E.A 
 
δΝ = 1 . [ 22331,1 . 4 + 22331,1 . 3 ] = 4,67x10-5 m 
 3,35X109 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Parcela do Cortante de todas as barras: 
 
δQ = L1∫ Qu1.Q1.dx + L2∫ Qu2.Q2.dx + L3∫ Qu3.Q3.dx = 
 E.Av E.Av E.Av 
 
δQ = 1 . [L1∫ Qu1.Q1.dx + L2∫ Qu2.Q2.dx + L3∫ Qu3.Q3.dx ] 
 E.Av 
 4 6 
δQ = 1 [ + 0∫ 1 .50000 . dx + 0∫ - 0,67 . (-33330) . dx + 0 ] 
 E.Av 
 4 6 
δQ = 1 [ 0∫ 50000 . dx + 0∫ 22331,1 . dx ] 
 E.Av 
 4 6 
δQ = 1 [ 50000 . 0∫dx + 22331,1 . 0∫ dx ] 
 E.Av 
 
δQ = 1 [ 50000 . (x)|4 + 22331,1 . (x)|6 ] 
 E. Av 
 
δQ = 1 . [ 50000 . 4 - 22331,1 . 6 ] = 4,177x10-4 m 
 799,5x106 
 
Assim, tem-se o valor do deslocamento horizontal do ponto b: 
 
δb = δM + δN + δQ = 0,04466 + 4,67x10-5 + 4,177x10-4 = 0,0451244 m 
 
δb = 0,0451244 m 
 
ÆO valor positivo indica que o sentido arbitrado para a força virtual unitária está 
correto, ou seja, o ponto b desloca de fato vale 0,0451244 m para a direita. 
 
Æ Analisando a parcela de contribuição de cada esforço no deslocamento total do 
ponto b tem-se: 
 
% δM = δM / δb = 0,04466 /0,0451244 = 98,97 = 99 % do deslocamento total de b. 
 
% δN = δN / δb = 4,67x10-5 /0,0451244 = 0,10 = 0,10 % 
 
% δQ = δQ/ δb = 4,177x10-4 /0,0451244 = 0,926 = 0,90 % 
 
Este resultado demonstra que a contribuição do esforço Normal e do esforço cortante 
pode ser desprezada para as estruturas usuais. 
 
Assim, o deslocamento de b considerando apenas a contribuição do momento fletor 
vale: 
δb = 0,04466 = 0,045 m 
 
 
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Quando se trabalha com estruturas compostas por barras de seção transversal 
constante e de propriedades constantes, pode-se evitar o desenvolvimento analítico da 
integral que ocorre na equação (5), conforme visto no exemplo1, adotando-se o 
procedimento de A. N. Vereshchagin. Neste procedimento o valor da integral é 
obtido por meio da tabela 3 desenvolvida pelo já referido autor. 
 
A tabela 3 apresenta apenas o valor da parcela devido ao momento fletor, uma vez 
que, já foi demonstrado que para estruturas usuais as parcelas devido ao esforço 
normal e devido ao esforço cortante podem ser desprezadas. 
 
Tabela 3: equações que representam o valor da integral do produto entre o diagrama 
de momento fletor devido ao agente solicitante (M) e o diagrama de momento fletor 
devido à força virtual unitária (Mu) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L.M.Mu 
 
 
1/2.L.M.Mub 
 
 
1/2.L.M.Mua 
 
 
1/2.L.M.(Mua+ Mub) 
 
 
2/3.L.M.Mum 
 
 
 
 
 
1/2.L.Mb.Mu 
 
 
1/3.L.Mb.Mub 
 
 
1/6.L.Mb.Mua 
 
 
1/6.L.Mb.(Mua+2Mub) 
 
 
1/3.L.Mb.Mum 
 
 
 
 
 
1/2.L.Ma.Mu 
 
 
1/6.L.Ma.Mub 
 
 
1/3.L.Ma.Mua 
 
 
1/6.L.Ma.(2Mua+ Mub) 
 
 
1/3.L.Ma.Mum 
 
 
 
 
 
1/2.L.(Ma+Mb).Mu 
 
 
1/6.L.(Ma+2Mb).Mub 
 
 
1/6.L.(2Ma+Mb).Mua 
 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ 
 Mb.(Mua+2Mub)] 
 
 
 
1/3.L.(Ma+Mb).Mum 
 
 
 
 
 
1/2.L.(Ma+Mb).Mu 
 
 
1/6.L.(Ma+2Mb).Mub 
 
 
1/6.L.(2Ma+Mb).Mua 
 
 
1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ 
 Mb.(Mua+2Mub)] 
 
 
 
1/3.L.(Ma+Mb).Mum 
 
 
 
 
 
2/3.L.Mm.Mu 
 
 
1/3.L.Mm.Mub 
 
 
1/3.L.Mm.Mua 
 
 
1/3.L.Mm.(Mua+ Mub) 
 
 
8/15.L.Mm.Mum 
 
OBS: Se M e Mu de uma barra tracionar lados oposto da barra Æ deve ser 
inserido o sinal de (-) no inicio da equação obtida na tabela 3. 
 
Exemplos: Æ - 1/3.L.Mb.Mub 
 
 
 
 Æ 1/3.L.Mb.Mub 
 
 
 
 Æ 1/3.L.Mb.Mub Æ - 1/3.L.Mb.Mub 
 
par. 2º grau 
Mb 
Mub 
Mb Mub 
Mb Mub Mb Mub 
Mum 
Mub 
Mua 
Mua Mub Mu 
M 
Mb 
Ma 
Ma 
Mb 
Ma 
par. 2º grau 
Mm 
Mb 
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 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
13 
 
Exemplo2: Calcule a para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos: 
a) a rotação relativa do ponto b; 
b) o deslocamento horizontal do ponto c; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 205 GPa; υ = 0,3 
Módulo de elasticidadetransversal: G = E / [2 (1+ υ)] = 78,85 GPa 
Resolução: Item a) 
Área da seção transversal das barras: tabela 1 (A=bh) ÆA = 280 cm2 
Momento de inércia da seção transversal: tabela 1 (Iz = bh3/12) Æ Iz = 37333,33 cm4 
Área efetiva de cisalhamento: tabela 1 (fz = 6/5) Æ AVz = A/fz = 233,33 cm2 
 A = 280x10-4 m2; Iz = 37333,33x10-8 m4; AVz = 233,33x10-4 m2 
 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação relativa no ponto b. 
δb =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força momento unitária em b. 
 Caso 3 da tabela 2 
 
2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu devido à ação da Força momento virtual 
unitária. 
 
 
 
 
 ΣMa= 0 + Æ Vd . 6,0 + 1,0 = 0 
 Vd = 1/6 = - 0,167 
 Vd = 0,167 
 
 
 + Σ Fy = 0 Æ Va + Vd = 0 
 Va = 0,167 
b 
A A 
 50 kN 
4,0 m 
a 
6,0 m 
3,0 m 
b c 
d 
1ª 
2ª 
3ª 
 q= 10 kN/m 
 Ha = 0 
 Mu = 1 
4,0 m 
a 
6,0 m 
3,0 m 
b c 
d 
 va = 0,167 
 Vd = 0,167 
1ª 
2ª 
3ª 
A A 
B 
B 
B 
B 
A A h = 40 cm 
b = 7 cm 
a 
h b h 
a 
b 
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14 
 
3 - Esboçar o diagrama de momento fletor M devido à ação da solicitação real: 
carregamento exterior. 
 
 
 
 
 ΣMa= 0 + Æ Vd . 6,0 + 50,0 . 4,0 - R . 2,0 = 0 
 Vd = -120/6 = -20,0 KN 
 Vd = 20 KN 
 
 + Σ Fy = 0 Æ Va + Vb = 0 
 Va = 20,0 KN 
4 - Cálculo da rotação relativa do ponto b (δb =?) 
δb = ∑ ( ∫L Mu.M.dx )barra 
 E.I 
Parcela do Momento fletor de todas as barras: 
δb = L1∫ Mu1.M1.dx + L2∫ Mu2.M2.dx + L3∫ Mu3.M3.dx 
 E.I E.I E.I 
 
δb = 1 . [ ∑(equações obtidas da tabela 3) ] 
 E.I 
 
Utilizando a tabela 3 para obter o valor das integrais: 
Neste caso apenas a barra 2 contribui para a rotação do ponto b 
Barra 2: 
 Æ 1/3.L.Ma.Mua 
 
δb = 1 . [ 0 + 1/3.L.Ma.Mua + 0 ] = 1 . [1/3 . 6 . 120000 . 1 ] 
 E.I (205x109. 37333,33x10-8) 
 
δb = 3,14x10-3 rad Æ lembrete: 2πrad = 3600 
 
ÆO valor positivo indica que o sentido arbitrado para a força momento unitária está 
correto, ou seja, o ponto b sofre uma rotação de 3,14x10-3 rad no sentido anti-horário. 
 Ha = 10 KN 
 50 KN 
4,0 m 
a 
6,0 m 
3,0 m 
b c 
d 
 va = 20,0 KN 
 Vd = 20,0 KN 
 R = 40 KN 
Ma = 120 KN Mua =1 
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15 
 
Resolução: Item b) 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento horizontal do ponto c. 
δc =? 
 De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força momento virtual unitária 
em b. 
 Caso 2 da tabela 2 
 
2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu devido à ação da Força momento 
unitária. 
 
 
 
 
 ΣMa= 0 + Æ Vd . 6,0 - 1,0 . 4,0 = 0 
 Vd = 4/6 = 0,67 
 
 
 + Σ Fy = 0 Æ Va + Vd = 0 
 Va = - 0,67 = 0,67 
3 - Esboçar o diagrama de momento fletor M devido à ação da solicitação real: 
carregamento exterior. 
** Não será necessário esboçar este diagrama M, uma vez que, este já foi 
esboçado no item a, desta forma, serão utilizadas as informações deste mesmo 
diagrama. 
 Ha = 1 
 Fu = 1 
4,0 m 
a 
6,0 m 
3,0 m 
b c 
d 
 va = 0,67 
 Vd = 0,67 
1ª 
2ª 
3ª 
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16 
 
4 - Cálculo do deslocamento horizontal do ponto c (δc =?) 
δc = 1 . [ ∑(equações obtidas da tabela 3) ] 
 E.I 
 
Utilizando a tabela 3 para obter o valor das integrais: 
Neste caso apenas as barras 1 e 2 contribuem para o deslocamento do ponto c 
Barra 1: 
 
 + 
 
 
 Æ - 1/3.L.Ma.Mua + 1/3.L.Mm.Mb 
 - 1/3. 4. 120000.4 + 1/3.4.20000.4 = - 533333,33 
 
Barra 2: 
 
 
 Æ -1/3.L.Ma.Mua 
 -1/3.6.120000.4 = - 960000 
 
δc = 1 . [ - 533333,33 - 960000 + 0 ] = 1 . - 1493333,33 
 E.I (205x109. 37333,33x10-8) 
 
δc = - 0,0195 m = - 19,2 mm 
 
ÆO valornegativo indica que o sentido arbitrado para a força unitária está errado, ou 
seja, o ponto c sofre um deslocamento horizontal de 19,2 mm, porém para a esquerda. 
 
Exemplo3: Calcule a para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos: 
a) a rotação relativa entre as barras 1 e 2 que concorrem para a rótula b; 
b) o deslocamento vertical do ponto e; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 205 GPa; υ = 0,3 
 
Resolução: Item a) 
Área da seção transversal das barras: tabela 1 (A=hth + 2btb) ÆA = 285 cm2 
Momento de inércia da seção transversal: tabela 1 (Iy = b3tb/6) Æ Iy = 21333,33 cm4 
Área efetiva de cisalhamento: tabela 1 (fy = A/hth) Æ AVy = A/fy = 125 cm2 
 A = 285x10-4 m2; Iy = 21333,33x10-8 m4; AVy= 125x10-4 m2 
b 
A A 
a 
Ma = 120KN.m Mua = 4 
Mb = 120 KN.m Mub = 4 Mub = 4 Mm = 20 KN.m 
 10 kN 
4,0 m 
a 
5,0 m 
3,0 m 
b c 
d 
1ª 
2ª 
3ª 
 q= 18 kN/m 15 kN 
4ª e 
3,0 m 
A A A A B 
B 
B 
B 
b b = 40 cm 
h = 50 cm 
tb 
th
a 
b 
h 
h 
 tb = 2,0 cm 
 th = 2,5 cm 
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17 
 
Item a) 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação relativa entre as barras 1 e 2 que 
concorrem para a rótula b. 
δb =? 
 De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada um par de força momento virtual 
unitária em torno da rótula b. 
 Caso 4 da tabela 2 
 
2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu devido à ação do par de Força momento 
unitária. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1ª ordem: 
 ΣMb= 0 + Æ Vd . 5,0 + 1,0 = 0 
 Vd = 1/5 = - 0,2 
 Vd = 0,2 
 
 + Σ Fy = 0 Æ Vb + Vd = 0 
 Vb = 0,2 
2ª ordem: 
ΣMa= 0 + Æ - Ma - 1,0 = 0 
 Ma = -1 
 Ma = 1 
 
 
 Mu = 1 
 Mu = 1 
b 
3,0 m 
b c 
d 
2ª 4ª e 
3,0 m 
 Vd = 0,2 
4,0 m 
a 
5,0 m 
1ª 
3ª 
 Mu = 1 
 Mu = 1 
b c 
d 
e 
a 
 Q. 1ª ordem 
 Q. 2ª ordem 
 Hb = 0 
 vb = 0,2 
 vb’ = 0,2 
 Ha = 0 
 va = 0,2 
 Ma = 1 
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 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
18 
 
3 - Esboçar o diagrama de momento fletor M devido à ação do carregamento exterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1ª ordem: 
 ΣMb= 0 + ÆVd .5,0 - R.2,5 - 15. 8,0=0 
 Vd = 345/5 = 69 KN 
 
 + Σ Fy = 0 Æ Vb + Vd = 105 
 Vb = 36 KN 
 
2ª ordem: 
ΣMa= 0 + Æ - Ma + 10. 4,0 = 0 Æ Ma = 40 KN.m 
 
4 - Cálculo da rotação relativa entre as barras 1 e 2 no ponto b (δb =?) 
δb = 1 . [ ∑(equações obtidas da tabela 3) ] 
 E.I 
 
Utilizando a tabela 3 para obter o valor das integrais: 
Neste caso apenas as barras 1 e 2 contribuem para a rotação relativa entre as barras 1 
e 2 no ponto b 
 
b 
3,0 m 
b c 
d 
2ª 4ª e 
3,0 m 
 Vd = 69 KN 
4,0 m 
a 
5,0 m 
1ª 
3ª 
b c 
d 
e 
a 
 Q. 1ª ordem 
 Q. 2ª ordem 
 Hb = 10 KN 
 vb = 36 KN 
 vb’ = 36 KN 
 Ha = 10 KN 
 va = 36 KN 
 Ma = 40 KN.m 
R = 90 KN 
 10 kN 
 q= 18 kN/m 15 kN 
 10 kN 
 15 kN 
 Hb’ = 10 KN 
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19 
 
Barra 1: 
 
 
 
 Æ - 1/2.L.Ma.Mu Æ - 1/2. 4. 40000.1 = - 80000,0 
 
Barra 2: 
 
 
 Æ 1/6.L.Ma.Mua + -1/3.L.Mm.Mua 
 1/6. 5. 45000.1 + - 1/3.5. 56250.1 = - 56250,0 
 
δb = 1 . [ - 80000 - 56250,0 ] = 1 . - 136250,0 = - 3,115x10-3 rad 
 E.I (205x109. 21333,33x10-8) 
 
 
ÆO valor negativo indica que o sentido arbitrado 
para o par de força momento unitária está errado, 
ou seja, as barras 1 e 2 se aproximam, conforme 
ilustrado no esquema ao lado. 
 
Resolução: Item b) 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento vertical do ponto e. 
δe =? 
 De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária em e 
 Æ Caso 1 da tabela 2 
 
2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu devido à ação da Força unitária. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1ª ordem:ΣMb= 0 + Æ Vd . 5,0 - 1. 8,0 = 0 
 Vd = 8/5 = 1,6 
 
 
 + Σ Fy = 0 Æ Vb + Vd = 1,0 
2ª ordem: Vb = - 0,6 
ΣMa= 0 + Æ - Ma = 0 Vb = 0,6 
 Ma = 0 
Mb = 45KN.m Mua = 1 
Ma = 40 KN.m Mu = 1 
Mm = 56,25 KN.m Mua = 1 
b 
3,0 m 
b c 
d 
2ª 4ª e 
3,0 m 
 Vd = 1,6 
4,0 m 
a 
5,0 m 
1ª 
3ª 
b c 
d 
e 
a 
 Q. 1ª ordem 
 Q. 2ª ordem 
 Hb = 0 
 vb = 0,6 
 vb’ = 0,6 
 Ha = 0 
 va = 0,6 
 Ma = 0 
 Fu = 1 
 Fu = 1 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
20 
 
 
3 - Esboçar o diagrama de momento fletor M devido à ação da solicitação real: 
carregamento exterior. 
** Não será necessário esboçar este diagrama M, uma vez que, este já foi 
esboçado no item a, desta forma, serão utilizadas as informações deste mesmo 
diagrama. 
4 - Cálculo do deslocamento vertical do ponto e (δe =?) 
δe = 1 . [ ∑(equações obtidas da tabela 3) ] 
 E.I 
 
Utilizando a tabela 3 para obter o valor das integrais: 
Neste caso apenas as barras 2 e 4 contribuem para o deslocamento do ponto e 
 
Barra 2: 
 
 
 Æ 1/3.L.Ma.Mua + -1/3.L.Mm.Mub 
 1/3. 5. 45000.3 + - 1/3.5. 56250.3 = - 56250,0 
 
 
Mb = 45KN.m Mub = 3 Mm = 56,25 KN.m Mub = 3 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
21 
 
Barra 4: 
 
 
 Æ 1/3.L.Ma.Mua 
 1/3.3.45000.3 = 135000,0 
 
δc = 1 . [ - 56250,0 + 135000 ] = 1 . 78750,0 
 E.I (205x109. 21333,33x10-8) 
 
δc = 1,80 x10-3 m = 1,80 mm 
 
ÆO valor negativo indica que o sentido arbitrado para a força unitária está correto, ou 
seja, o ponto e sofre um deslocamento vertical de 1,80 mm para baixo. 
 
 
Exemplo4: Calcule a para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos: 
a) a rotação absoluta da corda bc da grelha; 
b) o deslocamento vertical do ponto c; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 205 GPa; υ = 0,3 
 
 
Resolução: Item a) 
Área da seção transversal das barras: tabela 1 ( A= 2(hth + btb) ) ÆA = 105 cm2 
Momento de inércia da seção transversal: tabela 1 ( Iy = b2 (btb + 3hth)/6 ) 
 Æ Iy = 4218,75 cm4 
Momento de inércia à torção da seção transversal: 1( J = 2b2h2(tbth)/(btb + hth) ) 
 Æ J = 7714,29 cm4 
Módulo de elasticidade transversal: G = E / [2 (1+ υ)] = 78,85 GPa 
Área efetiva de cisalhamento: tabela 1 (fy = A/hth) Æ AVy = A/fy = 60 cm2 
A = 105x10-4 m2; Iy = 4218,75x10-8 m4; AVy = 60x10-4 m2; J = 7714,29x10-8 m4 
G = 78,85 x109 N/m2 
E= 205x109 N/m2 
 
 
 
 
b 
h 
Ma = 45 KN.m Mua = 3 
a 
 3 kN.m 
a 
2,0 m b 
c 
b 
1ª 2ª 
 q= 8 kN/m 6 kN 
1,5 cm 
B 
B 
h 
1,0 m 
 4 kN.m i 
1,5 m 
X 
Y 
Z 
A 
A 
b = 15 cm 
h = 20 cm 
A 
A 
B 
B 
b c 
b 
h 
b = 15 cm 
h = 20 cm 
1,5 cm b 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
22 
 
Item a) 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação absoluta da corda bc da grelha. 
δbc =? 
 De acordo com a tabela 2: deve ser aplicado um par de forças virtuais unitárias 
no ponto b e no ponto c. 
 Caso 6 da tabela 2 
 
2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu e o diagrama de momento torçor Tu 
devido à ação do par de forças unitárias. 
 
 ∑ Tab = 0 + Æ - Fu . 1,5 + Ta = 0 
 Ta = 1 
 
 ∑ Tbc = 0 + Æ Ma = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - Esboçar o diagrama de momento fletor M e o diagrama de momento torçor T devido 
à ação do carregamento exterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 + ∑ Fz = 0 Æ Va = 6 + R Æ Va = 18 KN 
 
 ∑ Tab = 0 + Æ Ta - 4 - R . 0,75 = 0 Æ Ta = 13 KN.m 
 
 ∑ Tab = 0 + Æ Ma + Va . 2,0 - 6 . 1,0 + 3 = 0 Æ Ma = - 33 KN.m 
 Ma = 33 KN.m 
a 
2,0 m 
b 
c 
1ª 2ª 
 Fu = 1/1,5 
1,0 m 
d 
1,5 m 
X 
Y Z 
 Fu = 1/1,5 
 Va = 0 
 Ma = 0 
Ta = 1 
a 
2,0 m 
b 
c 
1ª 2ª 
 R = 12 KN 
1,0 m 
d 
1,5 m 
X 
Y Z 
 Va = 18 KN 
 Ma = 33 KN.m 
Ta = 13KN.m 3 kN.m 
 6 kN 
 4 kN.mCurso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - Cálculo da rotação absoluta da corda bc da grelha (δbc =?) 
δbc = ∑ (x∫ Mu.M.dx + x∫ Tu .T.dx)barra (7) 
 EI GJ 
***Obs: Tu e T Æ são constantes ao longo da barra, isto permite obter: 
 x= Lbarra 
 x∫ Tu .T . dx = Tu . T . x∫ dx = Tu . T. x| = Tu . T. Lbarra 
 0 
 x= Lbarra
 
EX: L∫ 5 . 6 . dx = 5 . 6 . L∫ dx = 5 . 6 . x| = Tu . T. Lbarra 
 0 
A contribuição de cada barra em termos de Momento torçor vale: Tu . T. Lbarra 
 GJ 
A contribuição de cada barra em termos de Momento fletor, conforme apresentado 
anteriormente é dada a partir Æ equações obtidas da tabela 3 
 
Então, a equação (7) pode ser escrita da seguinte forma: 
 
δbc = 1 . [ ∑(equações obtidas da tabela 3) + 1 ∑( Tu. T . Lbarra) ] 
 E.I GJ 
 
Utilizando a tabela 3 para obter o valor das integrais: 
Em termo de momento fletor apenas a barra 2 contribui com a rotação. 
Já em termo de momento torçor apenas a barra 1 contribui para a rotação. 
 
Contribuição em termo de Momento fletor: 
Barra 2: 
 
 
 Æ1/6.L.(2Ma+Mb).Mua + -1/3.L.Mm.Mua 
 1/6. 1,5.(2.13000 + 4000).1 + -1/3.1,5. 2250.1 = 6375,0 
 
Mb = 4KN.m 
Mua = 1 Mm = 2,25 KN.m Mua = 1 
Ma = 13KN.m 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
24 
 
Contribuição em termo de Momento torçor: 
Barra1: Tu1 . T1 . L1.= (-13000) . (-1) . 2,0 = 26000 
 
δbc = 1 . [ 6375 ] + 1 . [ 26000 ] = 
 E.I GJ 
 
δbc = [ 6375 ] + [ 26000 ] = 
 
 (205x109. 4218,75x10-8) (78,85x109. 7714,29x10-8) 
 
δbc = 5,0x10-3 rad 
 
ÆO valor positivo indica que o sentido arbitrado 
para o par de força unitária está correto, ou seja, a corda bc 
da grelha rotaciona o sentido horário. 
 
 
Resolução: Item b) 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento vertical do ponto c. 
δc =? 
 De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária em c 
 Æ Caso 1 da tabela 2 
 
2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu e o diagrama de momento torçor Tu 
devido à ação da força unitária. 
 + ∑ Fz = 0 Æ Va = 1 
 ∑ Tab = 0 + Æ - Fu . 1,5 + Ta = 0 
 Ta = 1,5 
 
 ∑ Tbc = 0 + Æ Ma + 1. 2,0 = 0 
 Ma = - 2,0 
 Ma = 2,0 
 
 
 
a 
b 
c 
a 
2,0 m 
b 
c 
1ª 2ª 
 Fu = 1 
1,0 m 
d 
1,5 m 
X 
Y Z 
 Va = 1 
 Ma = 2 
Ta = 1 
d 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Teoria das Estruturas 2 
 
25 
 
3 - Esboçar o diagrama de momento fletor M devido à ação da solicitação real: 
carregamento exterior. 
** Não será necessário esboçar este diagrama M, uma vez que, este já foi 
esboçado no item a, desta forma, serão utilizadas as informações deste mesmo 
diagrama. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - Cálculo do deslocamento vertical do ponto c (δc =?) 
δc = 1 . [ ∑(equações obtidas da tabela 3) + 1 ∑( Tu. T . Lbarra) ] 
 E.I GJ 
 
Contribuição em termo de Momento fletor: 
 
Barra 1: 
trecho(ad): 
 
 
 Æ1/6.L. [ Ma .(2Mua + Mub) + Mb .(Mua + 2Mub) ] 
 1/6. 1,0.[ 33000 .(2.2 + 1) + 15000 .(2 +2.1) ] = 37500 
 
trecho(db): 
 
 
 Æ1/6.L.(2Ma+Mb).Mua 
 1/6. 1,0.(2.15000 + 3000). 1 = 5500 
 
 
 
 Total da barra 1 : 43000 
 
 
Mb = 15 KN.m 
Mua = 2 Ma = 33 KN.m 
Mb = 3 KN.m 
Mua = 1 Ma = 15 KN.m 
Mub = 1 
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26 
 
Barra 2:Æ1/6.L.(2Ma+Mb).Mua + - 1/3.L.Mm.Mua 
 1/6. 1,5.(2.13000 + 4000).1,5 - 1/3.1,5. 2250.1,5 = 9562,5 
 
Contribuição em termo de Momento torçor: 
Barra1: Tu1 . T1 . L1.= (-13000) . (-1,5) . 2,0 = 39000 
 
 
Rotação absoluta da barra bc: 
δbc = 1 . [ 43000 + 9562,5 ] + 1 . [ 39000 ] = 
 E.I GJ 
 
δbc = [52562,5 ] + [ 39000 ] = 
 
 (205x109. 4218,75x10-8) (78,85x109. 7714,29x10-8) 
 
 
δbc = 0,0125 m = 12,5 mm 
 
ÆO valor positivo indica que o sentido arbitrado 
para a força unitária está correto, ou seja, o ponto c 
da grelha desloca verticalmente para baixo 5,8 mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mb = 4KN.m 
Mua = 1,5 Mm = 2,25 KN.m Mua = 1,5 
Ma = 13KN.m 
a 
b 
c 
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1 Lista de exercícios: 
1) Calcule para a estrutura apresentada abaixo a rotação do ponto d. Considerar 
concreto de módulo de elasticidade igual a 21GPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine o deslocamento vertical do ponto c da estrutura esquematizado na figura 
abaixo. Considerar módulo de elasticidade igual a 205 GPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determine o deslocamento vertical do ponto c do pórtico esquematizado na figura 
abaixo, sendo E= 25 GPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Calcule para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos: 
a) a rotação do ponto a; 
b) o deslocamento horizontal do ponto b; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 205 GPa; υ = 0,3 
h 
b 
3,0 m 
1,5 m 
b a 1ª 
5,0 m 
b c d a 
2,0 m 3,0 m 
20 KN. m 
50 KN q = 30 KN/ m 
q = 20 KN/ m 
1ª 2ª 3ª 
A 
A 
h 
A 
A 
h = 30 cm 
b = 40 cm 
b 
1,5 m 
c d 
2,0 m 
q = 10 KN/ m 
3ª 
A 
A 
b 
A 
A 
h = 100 cm 
b = 15 cm 
2ª 1,5 m 
3,0 m 
b c d a 
2,0 m 5,0 m 
q = 30 KN/ m 
10 KN.m 
1ª 
A 
A 
b 
A 
A 
h 
3,0 m 
e 
2ª 3ª 4ª 
A A 
a 
 2 kN 
4,0 m 
a 
b c 
1ª 
2ª 
3ª 
 q= 9 kN/m 
d 
4,0 m 
A A A A 
B 
B 
B 
B 
h 
a 
h 
1,5 cm 
b = 15 cm 
h = 60 cm 
b 
b 
th = 1,5 cm 
b = 15 cm 
h = 40 cm 
tb = 1,5 cm 
tb 
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5) Determine o deslocamento horizontal do ponto d da estrutura apresentada abaixo. 
Considerar concreto de módulo de elasticidade igual a 27 GPa e υ = 0,2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Calcule para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos: 
a) a rotação relativa entre as barras 2 e 4 que concorrem para a rótula c; 
b) o deslocamento horizontal do ponto f; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 205 GPa; υ = 0,3 
 
 
7) Calcule para a estrutura apresentada abaixo o deslocamento vertical do ponto a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 26 GPa; υ = 0,2 
f d 
A 
A A 
a 
 15 kN 
4,0 m 
5,0 m 
b 
c 
e 
1ª 
2ª 3ª 
 q= 10 kN/m 
4ª 
d 
5,0 m 
A A A A 
B 
B 
B 
B 
h 
1,0 m 
a a 
h 
h = 70 cm 
b = 15 cm 
b 
4,0 m 
a 
4,0 m 
a 
b c 
1ª 
2ª 
3ª 
 q= 10 kN/m 
e 
3,0 m 
A A 
B 
B 
t = 2,0 cm 
d = 50 cm 
3,0 m 
 q= 15 kN/m 
5ª 
4ª 
A 
a 
d B 
B 
b d 
4,0 m 
X 
Y 
Z 
 q = 30KN/m 
30 KN 
3,0 m 
3,0 m 
29KN. m 
18 KN. m 
30 KN 
a 
1ª 
b c 
d 
2ª 
3ª 
h 
b 
A 
A 
h = 100 cm 
b = 20 cm 
A 
A 
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29 
 
8) Calcule para a estrutura apresentada abaixo o deslocamento vertical do ponto c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 205 GPa; υ = 0,3 
 
9) Calcule para a estrutura apresentada abaixo a rotação da corda cd. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 26 GPa; υ = 0,2 
 
10) Calcule para a estrutura apresentada abaixo a rotação relativa entre as cordas ab e 
cd. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 205 GPa; υ = 0,3 
b 
1,5 m 
X 
Y 
Z 
 q = 3 KN/m 
2 KN 
2,0 m 
2,0 m 
4 KN. m 
a 
1ª 
c 
d 
2ª 
3ª 
b 
h 
A 
A 
A 
A 
2,0 m 
X 
Y 
Z 
 q = 6KN/m 
7 KN 
5,0 m 
2,0 m 
8 KN. m 
a 1ª b 
c d 
2ª 
3ª 
d 
d 
A 
A 
A 
A 
4,0 m 
X 
Y 
Z 
 q = 7 KN/m 
6 KN 
3,0 m 4,0 m 
8 KN. m 
3,5 KN 
a 
3ª 
b 
c d 
2ª 
4ª 
b 
h 
A 
A 
A 
A 
4 KN 
d = 60 cm 
b = 35 cm 
h = 45 cm 
5 KN. m 
e 
2,0 m 
b = 30 cm 
h = 35 cm 
tb 
1ª 
 tb = 2,0 cm 
 th = 2,5 cm 
 th 
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30 
 
2.2 - Método da força virtual unitária: Efeito de temperatura 
 Seja a estrutura composta por elementos de barra reta de altura h representada 
na figura 3 em que se impõe a variação de temperatura te na “face” ou “fibra” externa 
ou superior da barra e a variação de temperatura ti na “face” ou “fibra” interna ou 
inferior da barra. Ao longo da altura h da seção das barras da estrutura, a variação de 
temperatura possui uma lei de comportamento linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3: estrutura sob o efeito de temperatura 
 
 Considerando a barra livre sem vínculos externos e acréscimos de temperatura, 
a barra se expande longitudinalmente e flete com uma curvatura que pode ser voltada 
para cima ou para baixo, conforme ilustrado na figura 3. 
 Sendo α o coeficiente de dilatação térmica do materiale dx a distância entre 
duas seções adjacentes, estas por sua vez, adquirem um deslocamento relativo 
composto de duas partes: 
 
a) deslocamento relativo axial (longitudinal): dδ = α.tg.dx (8) 
b) rotação relativa entre essas seções: dϕ = [ α(ti - te)/h ].dx (9) 
 
 O deslocamento (δ) em uma dada direção, em uma determinada seção s de 
uma estrutura devido à ação da temperatura é determinado por meio da equação (1), 
mas fazendo as seguintes considerações: 
 
∑(Pi . δi) + ∑ (Rj . δij) = ∑ ( x∫ N dδ + x∫ Q dλ + x∫ M dϕ + x∫ T dθ ) (1) 
 i j 
 
 - o objetivo é determinar o deslocamento de uma seção s provocado apenas 
pela solicitação realÆ efeito da temperatura 
 - Desta forma, o termo que considera os deslocamentos prescritos da estrutura 
podem ser considerado nulo, o que permite escrever: 
 = 0 
∑(Pi . δi) + ∑ (Rj . δij) = ∑ ( x∫ N dδ + x∫ Q dλ + x∫ M dϕ + x∫ T dθ ) 
 i j 
 
∑(Pi . δi) = ∑ ( x∫ N dδ + x∫ Q dλ + x∫ M dϕ + x∫ T dθ ) (10) 
 i 
s 
s α.te.dx 
h 
dx 
C. G. 
h 
ti 
te 
α.ti.dx 
α.tg.dx C. G. = centro geométrico 
 da seção, ou seja, 
 o centróide da seção 
 
tg = temperatura no 
 centróide da seção 
dx 
dθ 
h 
te 
ti 
ti > te 
te 
ti 
te > ti te = temperatura na fibra 
externa ou superior 
 
ti = temperatura na fibra 
interna ou inferior 
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31 
 
Onde de forma semelhante ao estabelecido no item 2.1, devem ser adotadas as 
seguintes considerações: 
 - Existe apenas uma força virtual unitária (Fu = 1) Æ Pi = Fu 
 - Esta força virtual unitária, gera forças internas virtuais: 
 N = Nu; Q = Qu; M = Mu; T = Tu 
 
Assim a equação (10) pode ser escrita da seguinte forma: 
Fu . δ = ∑ ( x∫ Nu dδ + x∫ Qu dλ + x∫ Mu dϕ + x∫ Tu dθ ) (11) 
 
Como a força virtual é unitária: 
δ = ∑ ( x∫ Nu dδ + x∫ Qu dλ + x∫ Mu dϕ + x∫ Tu dθ ) (12) 
 
 
Para determinar o deslocamento de qualquer seção de uma estrutura usual (simples) 
sob o efeito de carregamento exterior foi apresentado e demonstrado no item 2.1 que; 
 
 - As parcelas devido ao esforço Normal, ao esforço Cortante e ao Momento 
Torçor podem ser desprezadas, o que permitiu estabelecer a equação (6), apresentada 
novamente a seguir: 
δ = ∑ (x∫ Mu.M.dx )barra (estruturas de barras em geral: vigas, pórticos) (6) 
 EI 
 
Entretanto, no caso de estrutura usual sob o efeito de temperatura, além da 
contribuição do Momento fletor tem-se também a contribuição significativa do esforço 
normal, o que permite escrever a equação (12) da seguinte forma: 
δ = ∑ ( x∫ Nu dδ + x∫Mu dϕ ) (13) 
 
E finalmente substituindo as equações (8) e (9) na equação (13) obtém-se a equação 
que permite calcular o deslocamento de qualquer seção de uma estrutura usual sob o 
efeito de temperatura, a qual é dada por; 
 dδ = α.tg.dx (8) 
 dϕ = [ α(ti - te)/h ].dx (9) 
 
δ = ∑ ( x∫ Nu . α.tg.dx + x∫Mu . [ α(ti - te)/h ].dx ) 
 
Como, α, tg, te, ti são constantes ao longo das barras, e para barras com h constante 
este termos podem sair da integral: 
δ = ∑ (α.tg . x∫ Nu .dx + [ α(ti - te)/h ]. x∫Mu . dx ) 
 
Na equação acima as integrais x∫ Nu .dx e x∫Mu . dx se identificam como o valor das 
áreas dos diagramas de esforço normal e de momento fletor das barras da estrutura 
sob a ação da força virtual unitária, assim a equação anterior pode ser escrita da 
seguinte forma: 
 
δ = ∑ (α.tg . ANu + [ α(ti - te)/h ] . AMu ) (14) 
 
Se as barras não tiverem seção constante, o deslocamento de uma seção qualquer da 
estrutura é dado por: 
δ = ∑ (α. x∫ tg. Nu .dx + [ α(ti - te)]. x∫Mu/h . dx ) (15) 
 
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32 
 
Para o emprego das equações (14) e (16), as seguintes convenções de sinais serão 
adotadas: 
Nu Æ (+ ), barra tracionada; 
Nu Æ ( - ), barra comprimida; 
 
Mu Æ (+ ), fibras internas e inferiores tracionadas; 
Mu Æ ( - ), fibras externas e superiores tracionadas; 
 
 
 
 
 
Exemplo5: Calcule para a estrutura devido aos acréscimos de temperatura 
apresentados abaixo os seguintes deslocamentos 
a) a rotação do ponto a. 
b) o deslocamento horizontal do ponto c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 205 GPa; υ = 0,3; α = 1,2x105/0C; 
 
Resolução: Item a) 
 
 
 
 
 
 
1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação relativa no ponto a. 
δa =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força momento unitária em a. 
 Caso 3 da tabela 2 
 
2 - Esboçar os diagramas de esforço normal Nu e de momento fletor Mu devido à ação 
da Força momento virtual unitária. 
 
 
 
 
 ΣMa= 0 + Æ Vb . 6,0 + 1,0 = 0 
 Vb = 1/6 = - 0,167 
 Vb = 0,167 
 
 + Σ Fy = 0 Æ Va + Vb = 0 Æ Va = 0,167 
x= 5+tg 
-50C 
A 
ti =+15 0C 
Fibras 
internas 
Fibras 
externas 
 + ÅM M Æ + 
M Æ + 
M Æ - 
M Æ - 
- Å M 
b 
A A 
 50 kN 
4,0 m 
a 
6,0 m 
3,0 m 
b c 
d 
1ª 
2ª 
3ª 
 q= 10 kN/m 
 Ha = 0 Mu = 1 
4,0 m 
a 
6,0 m 
3,0 m 
b c 
d 
 va = 0,167 
 Vb = 0,167 
1ª 
2ª 
3ª 
A B 
B 
B 
B 
A A h = 40 cm 
b = 7 cm 
a 
h b h 
a 
b 
te = - 5 0C 
150C 
tg = ? 
5+15 = 20 
h 
h/2 
h/20 = (h/2)/x 
x = (h/2) . (20/h) 
x = 20/2 = 10 
x = 5 + tg Æ tg = x - 5 = 10 - 5 = 5 
tg = 50C 
C.G. 
Fibras 
inferiores 
 + ÅM M Æ - 
Fibras 
superiores