Aula 05 - Princípio da Incerteza

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Mecânica Quântica Através dos Postulados
Uma forma prática de introduzir as ideais fundamentais da mecânica quântica é através de postulados. 
Esse conjunto de regras é originado de diversos trabalhos de cientistas já citados e organizados de modo a formar uma base da teoria.
Postulado I: A função de Onda
Postulado I: A função de Onda
Uma função é dita bem comportada quando apresenta as seguintes características:
É contínua;
Possui derivada contínua;
Ou seja, possui inclinação contínua.
É unívoca;
Para um dado valor da coordenada há um único valor associado da função.
É quadraticamente integrável;
Postulado II: A interpretação probabilística
Postulado II: A interpretação probabilística
A densidade de probabilidade é uma alternativa para a interpretação do significado dos valores de uma função de onda, eliminando seus valores negativos e imaginários.
Postulado II: A interpretação probabilística
Postulado III: Operadores
Para cada propriedade observável de um sistema, existe um operador correspondente . O operador é construído a partir dos operadores de posição, , e momento linear, :
Postulado III: Operadores
Postulado IV: Equação de Autovalor
Se a função de onda do sistema, for autofunção de um operador , de autovalor , que representa o valor da observável, ou seja:
então o valor de uma medida da observável será dado pelo autovalor .
Postulado IV: Equação de Autovalor
Postulado V: Valor Esperado
Postulado V: Valor Esperado
Postulado VI: Equação de Schroedinger
Postulado VI: Equação de Schroedinger
Aula 05
Princípio da Incerteza
Partícula em Movimento Livre
Partícula em Movimento Livre
Obtenção da Função de Onda
Como discutido anteriormente, a Equação de Schroedinger é a única relação matemática postulada que nos permite obter a função de onda que descreve um sistema. Utilizaremos a formulação independente do tempo, uma vez que não estamos avaliando processos com evolução temporal. Assim:
O operador Hamiltoniano, , que se relaciona com a energia total do sistema, pode ser separado em dois termos: Energia cinética, , e energia potencial, .
No caso de uma partícula em movimento livre, o operador é nulo pois não há nenhum potencial atuando. Desta maneira:
Obtenção da Função de Onda
Obtenção da Função de Onda
Assim, a Equação de Schroedinger toma a seguinte forma:
Por fim, obtemos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem:
Onde temos a constante: 
Obtenção da Função de Onda
Obtenção da Energia
Partícula em Movimento Livre
Carlos Eduardo de Moura - carlosevmoura@iq.ufrj.br
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O Princípio da Incerteza de Heisenberg
O Princípio da Incerteza de Heisenberg
Foi proposto pelo físico alemão Werner Heisenberg, em 1927:
É impossível especificar simultaneamente, com a precisão que se quer, o momento e a posição de uma partícula.
O Princípio da Incerteza de Heisenberg
Para tentar esclarecer a ideia por trás deste princípio, tentaremos a seguinte abordagem. Construiremos funções de onda distintas, cada uma com uma das seguintes características:
Posição da partícula bem definida;
Momento linear bem definido;
E, para cada uma delas, testaremos a capacidade de se obter os valores de posição e momento linear.
O Princípio da Incerteza de Heisenberg
Construção de Uma Função de Onda de Momento Linear Bem Definido
Construção de Uma Função de Onda de Posição Bem Definida
Exemplo 01: Posição e Momento Linear de uma partícula
Utilizaremos uma função que representa o deslocamento de uma partícula na direção positiva de x: 
Exemplo 01: Posição e Momento Linear de uma partícula
Exemplo 01: Posição e Momento Linear de uma partícula
Exemplo 01: Posição e Momento Linear de uma partícula
Por conseguir resolver a equação de autovalor, concluímos que a nossa função é autofunção do operador momento linear.
Desta maneira, para uma função deste tipo, podemos determinar com precisão todos os seus valores de momento linear, pela expressão:
Exemplo 01: Posição e Momento Linear de uma partícula
Entretanto, aplicando agora o postulado e utilizando o operador posição, :
Neste caso, não conseguimos desenvolver a equação na forma da equação de autovalor, mostrando que a nossa função de onda não é autofunção do operador posição.
Isto significa que não conseguimos determinar com precisão a posição da partícula.
Exemplo 01: Posição e Momento Linear de uma partícula
O Princípio da Incerteza de Heisenberg
Construção de Uma Função de Onda de Momento Linear Bem Definido
Construção de Uma Função de Onda de Posição Bem Definida
Exemplo 02: Posição e Momento Linear de uma partícula
Exemplo 02: Posição e Momento Linear de uma partícula
Exemplo 02: Posição e Momento Linear de uma partícula
Assim é possível se obter uma função de onda com a posição da partícula extremamente definida, como a mostrada na figura ao lado.
Podemos concluir que, neste tipo de função, o valor da posição será bem definido.
Exemplo 02: Posição e Momento Linear de uma partícula
λ = Comprimento de onda
h = Constante de Planck
p = Momento linear
Exemplo 02: Posição e Momento Linear de uma partícula
Dessa maneira, a relação entre comprimento de onda e momento linear é dada da seguinte forma:
Exemplo 02: Posição e Momento Linear de uma partícula
Retomando a nossa função de onda, devemos imaginar que, para uma função deste tipo, o valor do momento linear é de difícil determinação, uma vez que a mesma só apresenta um máximo.
Podemos observar, desta vez, que, quando a localização da partícula é bem definida, seu momento não será.
O Princípio da Incerteza de Heisenberg
O Princípio da Incerteza de Heisenberg
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Formulação Geral do Princípio da Incerteza
Formulação Geral do Princípio da Incerteza
Esta formulação foi proposta pelo físico H. P. Robertson, no ano de 1929.
Permite a generalização da ideia de Heiseberg, específica para as observáveis momento linear e posição, para qualquer par de observáveis.
Formulação Geral do Princípio da Incerteza
Formulação Geral do Princípio da Incerteza
Outra forma de descrever essa relação entre dois operadores é através do comutador de dois operadores:
Ou, aplicando a uma função:
Formulação Geral do Princípio da Incerteza
Se o valor do comutador for igual a zero, dizemos que os operadores comutam:
Isto significa que as duas observáveis podem ter seus valores determinados simultaneamente.
Assim, se dois operadores não comutam, podemos dizer que os valores das observáveis não podem ser determinados simultaneamente com precisão.
Exercício 05
Demonstre, através do comutador, que não é possível se determinar momento linear, , e posição, , simultaneamente.
Lembrando que:
Exercício 05
Resolução:
Tomamos o comutador:
Exercício 05
Exercício 05
Formulação Geral do Princípio da Incerteza
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Exercício 06
Exercício 06
Conclusões da aula de hoje
Conclusões
O princípio da incerteza de Heisenberg é um importante fator da mecânica quântica que não possui analogia com a mecânica clássica.
Através dele, sabemos que a posição e o momento linear de uma partícula não podem ser determinados simultaneamente com precisão. 
De maneira mais geral, através do uso do comutador, podemos analisar essa relação entre qualquer par de observáveis e também calcular o valor dessa incerteza.
Próximas aulas
Próximas aulas
Na próxima aula, veremos novamente os postulados da Mecânica Quântica, aplicando à um problema muito simples de uma partícula condicionada a um espaço por barreiras de potenciais infinitos, conhecido como partícula na caixa.
Até a próxima aula!