Mecânica das estruturas I texto 3

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TRELIÇAS PLANAS 
 
 
 
 
 
 
 
Gabriel de Sant’ Anna Vitor Barbieri 
 
 
 
 Treliças planas 
 
2 
 
1. TRELIÇAS PLANAS 
 
INTRODUÇÃO 
 
A treliça é um tipo de estrutura composta por uma série de elementos retos e 
delgados (espessura relativamente fina em comparação com o comprimento do elemento) 
ligados entre si por suas extremidades. Os elementos mais comumente utilizados em 
estruturas de treliça são de madeira, barras de metal, cantoneiras ou perfis U. 
As ligações entre os elementos são normalmente realizadas mediante o 
aparafusamento ou soldagem das extremidades dos elementos a uma chapa em comum 
(chamada chapa de fixação) ou simplesmente através de um grande parafuso ou pino que 
perfura cada um dos elementos da estrutura (Figura 1) (HIBBELER, 2017). 
As treliças podem ser classificadas de acordo com a direção das cargas atuantes nos 
nós da estrutura. Treliças planas são aquelas que se distribuem em um único plano e, 
consequentemente, as cargas que atuam no sistema estão dispostas neste mesmo plano. 
Treliças espaciais são treliças dispostas em três dimensões, portanto as cargas que agem 
no sistema também podem estar dispostas desta maneira. 
 
 
Figura 1 – Chapa de fixação e pino perfurante (Fonte: Hibbeler, 2017) 
 
As treliças planas são muito utilizadas para a sustentação de pontes e de telhados. 
Vamos analisar cada um desses tipos de treliça! 
 
 
 
 Treliças planas 
 
3 
➢ Treliças para sustentação de telhados: as treliças de telhados são 
muito utilizadas como parte da estrutura de um edifício industrial (Figura 2). 
Neste tipo de estrutura, a carga do telhado é transmitida à treliça, nos pontos de 
conexão dos elementos (nós da treliça) por uma série de terças (ou travessas). 
Como o carregamento atua no mesmo plano da treliça, este tipo de estrutura pode 
ser analisado como uma estrutura plana (Figura 3). 
 
 
Figura 2 – Treliça de telhado (Fonte: o autor, 2021) 
 
A treliça do telhado, juntamente com as colunas de suporte, é chamada de 
pórtico. Para garantir a estabilidade e a rigidez da estrutura, mãos francesas podem 
ser adicionadas às colunas de suporte. 
O tipo de disposição dos elementos em uma treliça de telhado depende 
basicamente do comprimento do vão do telhado, material do telhado, inclinação 
do telhado e até mesmo da aplicação da estrutura. As baias, por exemplo, são 
espaçadas de acordo com o comprimento do vão do telhado. Na figura 4 podemos 
ver os tipos de treliças mais comumente utilizados para a sustentação de cargas de 
telhados, sabendo que cada uma apresenta uma característica diferente de 
aplicação. 
 
 
 
 
 
 
 Treliças planas 
 
4 
 
Figura 3 – Esquema de uma treliça de telhado (Fonte: Hibbeler, 2013) 
 
 
Figura 4 – Tipos mais comuns de treliças de telhados (Fonte: Hibbeler, 2013) 
 
 Treliças planas 
 
5 
➢ Treliças de pontes: quando uma treliça é utilizada para a 
sustentação de uma ponte (Figura 5), a carga do piso é transmitida às longarinas, 
após às transversinas e finaliza o seu percurso de transmissão nas juntas (nós) dos 
elementos das duas treliças laterais da ponte (Figura 6). Assim como no caso de 
treliças de sustentação de telhados, a distribuição final das cargas é coplanar e 
desta maneira a estrutura pode ser analisada como um sistema bidimensional de 
cargas. 
 
 
Figura 5– Treliça de ponte (Fonte: Hibbeler, 2017) 
 
 
Figura 6 – Esquema de treliça de ponte (Fonte: Hibbeler, 2017) 
 
 
 
 Treliças planas 
 
6 
Na figura 7 estão representadas as configurações de treliças mais utilizadas 
em pontes, onde cada uma delas apresenta suas vantagens e suas aplicações 
específicas. 
 
 
Figura 7 – Tipos de treliça de ponte (Fonte: Hibbeler, 2013) 
 
Quando as treliças, independente da aplicação, são utilizadas em vãos muito longos, 
é comum em que uma das suas extremidades o apoio seja do tipo balancim ou rolete. Isto 
permite que haja um pequeno deslocamento da estrutura na direção longitudinal, como 
consequência da aplicação de cargas externas e até mesmo dilatação (ou contração 
térmica). Permitindo este pequeno deslocamento reduz-se os níveis de tensões térmicas 
que serão geradas na estrutura. 
Para o projeto de uma treliça é necessário especificar a geometria, o material, as 
dimensões dos elementos que a compõe e especificar também as ligações entre os 
elementos. Para que se possa determinar todos os parâmetros dos elementos que formam 
uma treliça, é necessário determinar as forças internas que serão desenvolvidas em cada 
um deles, quando a estrutura é submetida a determinada carga externa. Calculando as 
cargas internas e selecionando um material específico para os elementos, pode-se 
relacionar a tensão admissível para que o elemento opere em regime elástico e as cargas 
 Treliças planas 
 
7 
internas que são desenvolvidas nos elementos. Procede-se assim com o dimensionamento 
adequado dos elementos. 
Para que as cargas internas nos elementos de treliça sejam determinadas, algumas 
idealizações de projeto são realizadas. 
Primeiramente vamos considerar que os pinos que fazem as uniões dos elementos 
da estrutura são lisos. Fazendo esta idealização, considera-se que as ligações não 
proporcionam rigidez aos nós e assim não surgem cargas de flexão no projeto. 
A segunda idealização que iremos fazer quando formos analisar uma treliça é de 
que todas as cargas atuantes na estrutura são aplicadas apenas aos nós dos elementos. 
Frequentemente esta idealização pode ser utilizada sem problemas e o peso próprio dos 
elementos pode ser desprezado perante a magnitude das cargas externas que atuam na 
estrutura. Quando, porém, o peso próprio dos elementos não pode ser desconsiderado na 
análise estática, divide-se a intensidade dessa força igualmente entre os dois nós do 
elemento (metade em cada nó). 
Vimos que cada elemento de uma treliça é conectado a outro elemento pela sua 
extremidade. Este ponto de conexão entre os elementos chamamos de nó de uma treliça. 
Como os elementos são delgados e ligados apenas pelas suas extremidades e de acordo 
com a segunda simplificação do modelo matemático que foi proposta, as forças atuam 
apenas nos nós dos elementos, conclui-se que cada elemento de uma treliça é um elemento 
de duas forças. 
De acordo com os conceitos envolvidos na análise de equilíbrio estático de um 
corpo rígido, para que um corpo rígido, sob ação apenas de duas forças (como as forças 
em um elemento de treliça atuam apenas sob os dois nós do elemento, podemos 
simplificar todas as forças para duas forças resultantes, uma em cada nó), esteja em 
equilíbrio é necessário que as duas forças sejam colineares, de mesma intensidade e 
sentidos opostos. Conclui-se, portanto, que os elementos de uma treliça só irão 
desenvolver cargas axiais, direcionadas ao longo do eixo longitudinal do elemento. 
Se a força interna desenvolvida no elemento tende a alongar ele, então é uma força 
de tração. Caso a força tenda a comprimi-lo, então a força será de compressão. É muito 
importante especificar, na hora do projeto, se o elemento está sob tração ou compressão, 
uma vez que nem todos os materiais se comportam de maneira idêntica sob essas 
diferentes condições de carga e, além disso, elementos sob compressão estão sujeitos ao 
fenômeno de flambagem. As configurações possíveis de carga em um elemento de treliça 
podem ser vistas na figura 8. 
 Treliças planas 
 
8 
 
 
Figura 8 – Esforços internos desenvolvidos em uma treliça (Fonte: Hibbeler, 2017) 
 
CLASSIFICAÇÃO DAS TRELIÇAS 
 
As treliças podem ser classificadas sob diversos aspectos. Já mencionamos 
anteriormente que as treliças podem ser classificadas conforme a disposição dos seus 
elementos e das cargas externas que atuam sobre a estrutura como treliças planas e treliças 
espaciais. Emboraas treliças planas são aquelas nas quais os elementos e as forças 
atuantes nos nós de desenvolvem em um mesmo plano, essa é apenas uma idealização de 
uma parte de uma estrutura espacial (conforme a transmissão das forças em pontes, 
telhados e outros tipos de aplicações). 
As treliças também podem ser classificadas conforme a sua formação em treliças 
simples, compostas e complexas. 
 
➢ Treliças simples: Uma treliça plana simples pode ser formada a 
partir de três barras birrotuladas ligadas em forma de triângulo, à qual são 
acrescentadas duas barras não colineares ligadas por meio de uma rótula, e assim 
sucessivamente, com mais duas novas barras e uma rótula (figura 9) (SORIANO, 
2013). Podemos observar que, de acordo com essa definição, as barras de uma 
treliça simples são conectadas, na sua configuração inicial, em forma de triângulo, 
uma vez que o triângulo é a forma geométrica plana mais estável. A cada duas 
 Treliças planas 
 
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novas barras que são adicionadas à estrutura original forma-se um novo nó no 
sistema. 
Ao adicionarmos restrições mínimas para o impedimento de qualquer 
deslocamento da estrutura, obtemos então uma treliça plana simples isostática. 
Uma treliça plana simples também pode ser obtida a partir de duas barras 
birrotuladas ligadas entre si em uma das rótulas e ligadas na outra extremidade à 
apoios (figura 10). 
De maneira análoga, uma treliça espacial simples pode ser obtida a partir de 
seis barras birrotuladas, em forma de tetraedro, às quais são conectadas três barras 
birrotuladas não colineares, formando um novo nó (figura 11). Ou, também, 
podem ser formadas a partir de três barras birrotuladas conectadas a apoios 
(formando um tripé), às quais são acrescentadas três novas barras não coplanares 
(formando um novo nó) (figura 12). 
 
 
Figura 9 – Treliça plana simples (Fonte: Soriano, 2013) 
 
 Treliças planas 
 
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Figura 10 – Treliça plana simples (Fonte: Soriano, 2013) 
 
 
Figura 11 – Treliça espacial simples (Fonte: Soriano, 2013) 
 
 
 
Figura 12 – Treliça espacial simples (Fonte: Soriano, 2013) 
 
➢ Treliças compostas: as treliças compostas são formadas a partir de 
treliças simples, de maneira que não haja deslocamento relativo entre as treliças 
 Treliças planas 
 
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simples e o conjunto final obtido não possa ser considerado uma nova treliça 
simples. Em geral, essa conexão entre as treliças simples é feita pela adição de 
uma rótula e uma barra, duas barras ou ainda três barras (figura 13). 
 
 
Figura 13 – Treliças planas compostas (Fonte: Soriano, 2013) 
 
➢ Treliças complexas: todas as treliças que não podem ser 
classificadas como treliças simples e nem treliças compostas são chamadas de 
treliças complexas (figura 14). 
 
 
 
Figura 14 – Treliças complexas (Fonte: Soriano, 2013) 
 
As treliças também podem ser classificadas de acordo com a condição de seu 
equilíbrio estático de acordo com as reações de apoio do sistema. Por se tratar de uma 
 Treliças planas 
 
12 
estrutura de barras, uma treliça pode ser hipostática (quando as equações de equilíbrio são 
insuficientes para a obtenção das reações dos apoios e das cargas internas dos elementos); 
isostática (quando as equações de equilíbrio são estritamente suficientes para a obtenção 
das reações dos apoios e das cargas internas dos elementos); e hiperestática (quando as 
equações de equilíbrio são superabundantes para a obtenção das reações dos apoios e das 
cargas internas dos elementos). 
Como o equilíbrio de toda a treliça requer o equilíbrio de cada seção e ponto dela 
também, temos que as condições de equilíbrio devem ser satisfeitas nos pontos nodais, 
ou nós, formado pela conexão dos elementos. Como todas as forças que atuam nesses 
pontos específicos são concorrentes, têm-se duas equações de equilíbrio disponíveis para 
treliças planas e três equações de equilíbrio disponíveis para treliças espaciais. Se 
chamarmos de d o número de equações disponíveis, b o número de barras, n o número de 
nós da estrutura e r a quantidade de reações nos apoios, temos os seguintes casos: 
 
➢ Quando b+r d.n temos uma condição necessária, mas não 
suficiente para uma treliça hiperestática. 
 
Para que uma treliça seja isostática, além da igualdade acima, é necessário verificar 
se os apoios estão de fato restringindo todos os movimentos da estrutura, se não existem 
barras e nem apoios superabundantes na estrutura (ou insuficientes), entre outros. 
 
MÉTODO DOS NÓS 
 
Existem alguns métodos para a determinação dos esforços internos em cada um dos 
elementos de uma treliça. Vamos começar nossos estudos com o método dos nós. 
O método dos nós foi originalmente apresentado por Squire Whipple em 1847 e á 
aplicável a treliças simples. Este método é bem simples, porém apresenta a desvantagem 
de ser bem trabalhoso, principalmente quando se deseja determinar os esforços internos 
de um elemento localizado no centro de uma treliça, ou ainda quando é aplicado a treliças 
com uma grande quantidade de elementos. 
 Treliças planas 
 
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É fácil notar que se desenharmos o diagrama de corpo livre de uma treliça, as forças 
nas barras da treliça, que são forças internas, não são destacadas no diagrama e assim não 
podem ser obtidas pela aplicação das equações de equilíbrio estático. Sabe-se, porém, que 
se uma treliça está em equilíbrio, cada um de seus nós também estará. Portanto o método 
dos nós consiste em aplicar as equações de equilíbrio nos pontos nodais, nós, de uma 
treliça, de maneira que as forças externas sejam equilibradas pelas forças internas dos 
elementos. 
Obviamente, como as forças que atuam sobre o nó são concorrentes, a análise deve 
começar em um nó com pelo menos uma força conhecida e no máximo duas forças 
desconhecidas (no caso de treliças planas), sejam forças internas dos elementos ou 
reações nos apoios. 
O método dos nós é baseado no princípio de ação e reação, descrito na terceira lei 
de Newton. Se uma barra exerce uma força sobre o nó, o nó irá exercer uma força de 
mesma intensidade, e sentido oposto sobre a barra. Desta maneira, se a força exercida 
pela barra sobre o nó está “saindo do nó”, está força será uma força de tração. No caso 
contrário, o elemento estará sobre compressão. 
O sentido das forças desconhecidas que atuam sobre um nó pode ser determinado 
por inspeção ou por convenção. Quando não é simples determinar o sentido das forças 
desconhecidas por inspeção, convencionou-se representar todas as forças desconhecidas 
como forças de tração. Se, após a aplicação das equações de equilíbrio estático, a 
intensidade das forças encontradas for um escalar negativo, o sinal indica que o elemento 
está, na realidade, sob compressão. 
Vamos aplicar o método dos nós para a análise estrutural de uma treliça! 
Considere a treliça da figura 15. Nosso objetivo é determinar as forças normais 
internas de todos os elementos dessa estrutura. 
 
 Treliças planas 
 
14 
 
Figura 15 – Treliça plana simples (Fonte: Hibbeler, 2017) 
 
Nossa análise deve começar por um nó composto por pelo menos uma força 
conhecida e no máximo duas forças desconhecidas (de acordo com as equações de 
equilíbrio disponíveis). Nesse caso poderíamos começar a nossa análise pelo diagrama de 
corpo livre do nó B, uma vez que esse nó apresenta duas forças conhecidas e duas forças 
desconhecidas: FAB e FBC. Contudo, podemos começar a nossa análise analisando a 
estrutura como um todo e determinando as reações nos apoios A e E. Desta maneira, 
aplicando as equações de equilíbrio estático, temos que: 
 
∑ 𝑀𝐴= 0 ∴ −3 ∙ 1,5 − 4 ∙ 2 − 10 ∙ 4 + 𝐸𝑦 ∙ 4 = 0 ∴ 𝐸𝑦 = 13,125 𝑘𝑁 
(1) 
 
∑ 𝐹𝑥 = 0 ∴ 3 − 𝐴𝑥 = 0 ∴ 𝐴𝑥 = 3,00 𝑘𝑁 (2) 
 
∑ 𝐹𝑦 = 0 ∴ −8 − 4 − 10 + 𝐸𝑦 + 𝐴𝑦 = 0 ∴ 𝐴𝑦 = 8,875 𝑘𝑁 (3) 
 
Após determinarmos as reações nos apoios, podemos começar a aplicação do 
método dos nós nos pontos B ou E. Vamos iniciar pelo nó B e aplicar o método 
sucessivamente até determinarmos as forças internas dos 9 elementos da estrutura. 
Para o nó B, temos que: 
 
∑ 𝐹𝑥 = 0 ∴ 3 − 𝐹𝐵𝐶 = 0 ∴ 𝐹𝐵𝐶 = 3,00 𝑘𝑁 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜) 
(4) 
 
 Treliças planas 
 
15 
∑ 𝐹𝑦 = 0 ∴ −8 + 𝐹𝐵𝐴 = 0 ∴ 𝐹𝐵𝐴 = 8,00 𝑘𝑁 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜) (5) 
 
Seguindo para o nó A, temos: 
 
∑ 𝐹𝑦 = 0 ∴ 8,875 − 8 −
1,5
2,5
𝐹𝐴𝐶 = 0 ∴ 𝐹𝐴𝐶 = 1,458 𝑘𝑁 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜) 
(6) 
 
∑ 𝐹𝑥 = 0 ∴ 𝐹𝐴𝐹 − 3 −
2
2,5
(1,458) = 0 ∴ 𝐹𝐴𝐹 = 4,17 𝑘𝑁 (𝑡𝑟𝑎çã𝑜) 
(7) 
 
Seguindo para o nó C (temos que tomar cuidado pois o nó F apresenta, por 
enquanto, três forças desconhecidas), temos que: 
 
∑ 𝐹𝑥 = 0 ∴ 3 +
2
2,5
𝐹𝐴𝐶 − 𝐹𝐶𝐷 = 0 ∴ 𝐹𝐶𝐷 = 4,17 𝑘𝑁 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜) 
(8) 
 
∑ 𝐹𝑦 = 0 ∴ 𝐹𝐶𝐹 − 4 +
1,5
2,5
𝐹𝐴𝐶 = 0 ∴ 𝐹𝐶𝐹 = 3,125 𝑘𝑁 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜) 
(9) 
 
Pulando para o pino E, temos que: 
 
∑ 𝐹𝑥 = 0 ∴ 𝐹𝐸𝐹 = 0 (10) 
 
∑ 𝐹𝑦 = 0 ∴ −𝐹𝐸𝐷 + 13,125 = 0 ∴ 𝐹𝐸𝐷 = 13,125 𝑘𝑁 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜) 
(11) 
 
Para finalizar, a análise no nó D nos fornece que: 
 
∑ 𝐹𝑦 = 0 ∴ 13,125 − 10 −
1,5
2,5
𝐹𝐷𝐹 ∴ 𝐹𝐷𝐹 = 5,21 𝑘𝑁 (𝑡𝑟𝑎çã𝑜) (12) 
 
É possível notar que antes mesmo de aplicarmos as equações de equilíbrio, 
podíamos afirmar que a força do elemento EF seria nula. Isto acontece pois o nó E 
 Treliças planas 
 
16 
apresenta duas forças colineares que se equilibram e uma força perpendicular a elas que 
tem que ser nula para o equilíbrio. 
Os elementos de força nula são colocados na estrutura apenas para conferir 
estabilidade ao sistema. Elementos de força nula podem ser determinados por inspeção, 
sempre que: 
 
➢ Um nó for formado for formado por apenas dois elementos e 
nenhuma força externa (ou reação de apoio) incidir sobre o nó. Desta maneira, os 
dois elementos que formam o nó são elementos de força nula; 
➢ Três elementos formam o nó de uma treliça e dois eles são 
colineares. Se nenhuma força externa (ou reação de apoio) incidir sobre o nó, o 
elemento que não é colinear aos outros é um elemento de força nula. 
 
MÉTODO DAS SEÇÕES 
 
Um segundo método que pode ser utilizado para a determinação dos esforços 
normais internos dos elementos de uma treliça é o método das seções. O método das 
seções foi proposto por Georg Dietrich August Ritter em 1863 e é aplicável a treliças 
compostas e simples. 
Embora este método seja um pouco mais complexo que o método dos nós, por 
incluir a condição de equilíbrio de momento, ele é muito vantajoso quando o objetivo da 
análise é a determinação da força de um elemento específico da treliça ou quando se 
deseja calcular a força apenas em alguns elementos. 
O método se baseia no princípio de equilíbrio estático que determina que se um 
corpo está em equilíbrio, cada segmento dele também estará. Desta maneira, é possível 
dividir a estrutura original em duas, através de uma seção imaginária. Esta seção deve 
interceptar (cortar em dois) os elementos de forças da treliça e, desta maneira, suas forças 
internas passam a ser analisadas como forças externas no diagrama de corpo livre da 
seção. 
Como no método das seções a análise não se resume ao nó da estrutura, devem ser 
satisfeitas todas as condições para o equilíbrio estático (momento e translação). Neste 
método, portanto, pode-se seccionar até três elementos de força desconhecida por seção, 
uma vez que existem três equações de equilíbrio estático disponíveis (para o caso de 
treliças planas). 
 Treliças planas 
 
17 
O sentido das forças desconhecidas pode ser estabelecido da mesma maneira que 
para o método dos nós: por inspeção ou por convenção de que todas as forças 
desconhecidas sejam forças de tração. 
Vamos agora analisar um exemplo de aplicação do método das seções! 
Nosso objetivo é determinar as cargas internas que são desenvolvidas nos elementos 
AB, DI e HI da treliça composta da figura 16. Vamos supor que a seja igual a 5 m e P 
seja igual a 1000 N. 
 
 
Figura 16 – Treliça planas (Fonte: Soriano, 2013) 
 
Podemos iniciar nossa análise determinando as reações nos apoios em G e K da 
treliça, através das equações de equilíbrio estático para sistemas coplanares de força. 
Temos que: 
 
∑ 𝑀𝐺 = 0 ∴ −𝑃 ∙ 𝑎 − 5𝑃 ∙ 3𝑎 + 𝐾𝑦 ∙ 4𝑎 = 0 ∴ 𝐾𝑦 = 4𝑃 (13) 
 
∑ 𝐹𝑥 = 0 ∴ 𝐺𝑥 = 0 (14) 
 
∑ 𝐹𝑦 = 0 ∴ −𝑃 − 5𝑃 + 𝐾𝑦 + 𝐺𝑦 = 0 ∴ 𝐺𝑦 = 2𝑃 (15) 
 
Aplicando o método das seções nos elementos em que se deseja calcular as forças 
internas, separamos a treliça original em duas partes, conforme figura 17. 
A partir dessa configuração, podemos aplicar as equações de equilíbrio estático para 
a determinação das forças desconhecidas dos elementos que foram seccionados. 
 
 Treliças planas 
 
18 
 
Figura 17– Método das seções (Fonte: Soriano, 2013) 
 
Aplicando as equações de equilíbrio estático na seção da esquerda, temos que: 
 
∑ 𝐹𝑦 = 0 ∴ −𝑃 + 2𝑃 − 𝐹𝐷𝐼 ∙ 𝑠𝑒𝑛45° = 0 ∴ 𝐹𝐷𝐼 = √2𝑃 = 1414,21 𝑁 (𝑡𝑟𝑎çã𝑜) 
(16) 
 
∑ 𝑀𝐴 = 0 ∴ 2𝑃 ∙ 𝑎 − 𝐹𝐻𝐼 ∙ 𝑎 = 0 ∴ 𝐹𝐻𝐼 = 2𝑃 ∴ 𝐹𝐻𝐼 = 2000 𝑁 (𝑡𝑟𝑎çã𝑜) 
(17) 
 
∑ 𝐹𝑥 = 0 ∴ 𝐹𝐻𝐼 + 𝐹𝐷𝐼 ∙ 𝑐𝑜𝑠45° + 𝐹𝐴𝐵 = 0 ∴ 𝐹𝐴𝐵 = −3𝑃 =
3000 𝑁 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜)(18) 
 
Como sugestão, tente determinar as forças nos mesmos elementos através do 
método dos nós. Você irá verificar que a análise é muito mais trabalhosa. 
 
PROCESSO DE SUBSTITUIÇÃO DE BARRAS 
 
Os métodos descritos até agora podem ser utilizados para a determinação das forças 
internas dos elementos de treliças simples e compostas. No caso da análise estrutural de 
treliças complexas, é necessário recorrer a um método alternativo, conhecido como 
método de substituição de barras. Este método foi desenvolvido por Henneberg em 1886. 
Este método é baseado na análise de uma treliça simples, obtida a partir de uma 
treliça complexa, substituindo algumas de suas barras. A partir dessa treliça simples 
determinam-se equações de compatibilidade estática de maneira que o comportamento 
mecânico da treliça original seja restituído. 
Vamos ver como este método funciona! 
 Treliças planas 
 
19 
Considere a treliça complexa da figura 18. Esta treliça não pode ser resolvida a 
partir do método dos nós uma vez que em cada nó do elemento existem no mínimo três 
elementos de forças desconhecidas. 
 
 
Figura 18 – Treliça complexa (Fonte: Hibbeler, 2013) 
 
De acordo com o método proposto, devemos substituir algum elemento dessa treliça 
de maneira a obter uma treliça simples e estável, que possa ser resolvida pelo método dos 
nós. 
A partir da configuração original da treliça, podemos calcular as reações nos apoios 
e depois substituir o elemento AD pelo elemento EC (figura 19). Dessa maneira podemos 
determinar as forças internas dos elementos (𝛼i) através da aplicação do método dos nós, 
normalmente, a partir da mesma configuração das forças externasdo sistema. 
 
 
Figura 19 – Treliça simples auxiliar (Fonte: Hibbeler, 2013) 
 
É válido notar que a alteração da configuração dos elementos da estrutura não altera 
a intensidade das reações nos apoios. A próximo passo da aplicação do método é remover 
todas as cargas externas da treliça simples e aplicar cargas internas unitárias, colineares e 
 Treliças planas 
 
20 
de sentidos opostos, nos dois nós dos quais o membro foi removido (no sentido do 
membro removido) (figura 20). 
A partir dessa nova configuração, é possível calcular novamente todas as forças 
internas nos elementos da treliça simples (𝛽i), pelo método dos nós. Como nesse caso a 
análise é feita para uma carga unitária, por proporção, temos que a força desconhecida, 𝜉, 
no membro removido, iria gerar uma força igual a 𝜉𝛽i nos elementos da estrutura. 
 
 
Figura 20 – Carga unitária nos nós dos quais um elemento foi removido (Fonte: Hibbeler, 2013) 
 
Por superposição dos efeitos gerados pelas duas configurações de carga (figuras 19 
e 20), as forças no iésimo elemento da estrutura seria igual a: 
 
𝐹𝑖 = 𝛼𝑖 + 𝜉𝛽𝑖 (19) 
 
Mas sabemos que no caso particular do elemento que foi substituído (nesse caso o 
elemento EC), sua força interna deve ser igual a zero, uma vez que ele, de fato, não existe 
na estrutura original. Assim, podemos isolar a força do elemento desconhecido. Temos 
que: 
 
𝐹𝐸𝐶 = 𝛼𝐸𝐶 + 𝜉𝛽𝐸𝐶 = 0 ∴ 𝜉 = −
𝛼𝐸𝐶
𝛽𝐸𝐶
 (20) 
 
E esse valor corresponde a força do elemento original que foi substituído. 
 
 
 Treliças planas 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ALMEIDA, M. C. F. de. Estruturas isostáticas. São Paulo: oficina de textos, 2009. 
 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2010. 
 
HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para engenharia. 14. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2017. 
 
HIBBELER, R. C. Análise das estruturas. 8. ed. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2013. 
 
SORIANO, H. L. Estática das estruturas. 3. ed. Rio de Janeiro: ciência moderna 
LTDA., 2013. 
 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de análise estrutural. 6. ed. Rio de Janeiro: Globo, 1981.