NOTAS DE AULA 4 - EDSON VAZ

Prévia do material em texto

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA 
Professores: Edson Vaz e Renato Medeiros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 
NOTA DE AULA IV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Goiânia - 2013
 
 
MAGNETISMO 
 
 As primeiras observações de fenômenos magnéticos são muito antigas. Acredita-
se que estas observações foram realizadas pelos gregos, em uma região denominada 
Magnésia. Eles verificaram que existia, nesta região, certo tipo de pedra (minério de 
ferro atualmente denominado imã natural) que era capaz de atrair pedaços de ferro. 
Portanto, os primeiros fenômenos magnéticos observados foram associados aos 
chamados imãs naturais, fragmentos das rochas encontradas perto da cidade de 
Magnésia. Esses imãs naturais têm a propriedade de atrair ferro desmagnetizado, o 
efeito sendo mais pronunciado em certas regiões do imã conhecidas como polos. A 
Terra tem um campo magnético próprio, como mostra a figura abaixo. Nesta figura 
podemos observar que os polos Norte e Sul geográficos terrestre estão invertidos com 
relação aos polos Norte e Sul magnéticos. Devemos observar que os polos magnéticos e 
geográficos não são coincidentes, ou seja, o polo sul do campo magnético da Terra está 
situado nas proximidades do polo norte geográfico. 
 
 
 Observa-se que um pedaço de ferro, depois de colocada perto de um imã, 
adquire as mesmas propriedades deste imã. Assim, foi possível obter-se os imãs 
artificiais. Os imãs (naturais ou artificiais) apresentam determinados fenômenos 
magnéticos, entre os quais destacamos: 
 Polos de um imã – os pedaços de ferro são atraídos com maior intensidade 
por certas partes do imã, as quais são denominadas polos do imã. 
 Polo norte de um imã é aquela extremidade que, quando o imã pode girar 
livremente, aponta para o norte geográfico (sul magnético) da Terra. A extremidade que 
aponta para o sul geográfico (norte magnético) da Terra é o polo sul do imã. 
 Princípio da atração e repulsão – Polos de mesmo nome se repelem e 
polos de nomes contrários se atraem. 
 
 
 Inseparabilidade dos polos – Quando uma barra de um imã é cortada, ao 
invés de obter um polo norte isolado e um polo sul isolado, obtemos dois 
imãs, cada um dos quais tem polos norte e sul. Portanto, é impossível obter 
um polo magnético isolado. 
 Durante muitos anos, o estudo dos fenômenos magnéticos esteve restrito aos 
imãs, não havia conexão entre os fenômenos elétricos e magnéticos. Em 1819 o 
cientista dinamarquês Hans Cristian Oersted (1777 – 1851) observou que a agulha de 
uma bússola era defletida quando colocada próxima de um fio por onde passava uma 
corrente elétrica. Doze anos mais tarde, o físico inglês Michael Faraday (1971 – 1867) 
verificou que aparecia uma corrente momentânea em um circuito, quando, em um 
circuito vizinho, se iniciava ou se interrompia uma corrente. Pouco depois, seguiu-se a 
descoberta de que o movimento de um imã que se aproximava ou se afastava de um 
circuito produzia o mesmo efeito. O trabalho de Oersted demonstrou que efeitos 
magnéticos podiam ser produzidos por cargas elétricas em movimento, enquanto os de 
Faraday mostraram que correntes podiam ser produzidas por imãs em movimento. Após 
as descobertas das relações entre os fenômenos elétricos e magnéticos temos os estudos 
de eletromagnetismo. 
 Acredita-se, hoje em dia, que os chamados fenômenos magnéticos resultam de 
forças entre cargas elétricas em movimento. Isto é, cargas em movimento criam tanto 
um campo magnético quanto um campo elétrico e esse campo magnético exerce força 
sobre uma segunda carga que esteja em movimento. Como os elétrons nos átomos estão 
em movimento em torno dos núcleos atômicos e como cada elétron parece estar em 
rotação contínua em torno de um eixo passando por ele, espera-se que todos os átomos 
exibam efeitos magnéticos; de fato, verifica-se que este é o caso. A possibilidade de que 
as propriedades magnéticas da matéria resultassem de minúsculas correntes atômicas 
foi, primeiramente, sugerida por Ampère em 1820. 
 
Campo Magnético 
 
Já estudamos que um corpo carregado produz um campo vetorial (o campo elétrico 
E
) em todos os pontos do espaço ao seu redor. De forma análoga, um imã produz um 
campo vetorial (o campo magnético 
B
) em todos os pontos no espaço ao seu redor. 
Você pode ter uma noção desse campo magnético sempre que prende um bilhete a uma 
 
 
porta de geladeira com um pequeno imã. O imã age sobre a porta por meio do seu 
campo magnético. 
 
Linhas de Indução de um Campo Magnético 
 
 Podemos representar campos magnéticos com linhas de campo, como fizemos 
para os campos elétricos. Regras semelhantes se aplicam; ou seja, estas linhas devem 
ser traçadas de tal modo que o vetor 
B
 seja sempre tangente a elas em qualquer um de 
seus pontos. Além disso, o espaçamento entre as linhas representa a intensidade de 
B
, o 
campo magnético é mais intenso onde as linhas estiverem mais próximas. As linhas de 
campo saem do polo norte e chega ao polo sul. 
 
 
 
 
ELETROMAGNETISMO 
 
 Podemos considerar como princípio básico do eletromagnetismo, o fato de que: 
quando duas cargas elétricas estão em movimento, manifesta-se entre elas, além da 
força eletrostática, outra força, denominada força magnética. Ou seja, uma carga em 
movimento cria, no espaço em torno dela, um campo magnético que atuará sobre outra 
carga, também em movimento, exercendo sobre ela uma força magnética. 
Antes de iniciarmos o estudo do nosso próximo assunto (a força magnética), 
iremos discutir o conceito de produto vetorial. 
 
PRODUTO VETORIAL 
 
 O produto vetorial entre dois vetores, 
a
e 
b
, representados por 
a
 x 
b
, é um 
vetor 
c
cujo módulo c é dado pela expressão 
c ab sen
, 
Onde 

 é o menor dos ângulos entre as direções de 
a
 e 
b
. A direção de 
c
 é 
perpendicular ao plano formado por 
a
 e 
b
, o sentido ao longo desta direção pode ser 
dado pela regra da mão direita. 
 Quando 
a
 e 
b
 forem paralelos ou antiparalelos 
( 0 180º )ou  
, 
0a b 
. 
 
EXERCÍCIO 
1. Usando a regra do determinante, mostre que o produto vetorial entre dois vetores 
a
 
e 
b
 pode ser escrito como: 
 
a
 x 
b
 
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )y z y z z x z x x y x ya b b a i a b b a j a b b a k     
 
 
Força magnética sobre cargas elétricas em movimento 
Alguns aspectos da Força magnética sobre uma carga em movimento são 
análogos a propriedades correspondentes da força do campo elétrico. Ambos têm 
intensidade proporcional à carga. Além disto, ambos são proporcionais à intensidade ou 
ao módulo do campo. 
 
 
A dependência da força magnética com a velocidade da partícula é muito 
diferente do caso da força do campo elétrico. A força elétrica sobre uma carga não 
depende da velocidade; ela é a mesma quer a carga se mova ou não; já a força 
magnética tem um módulo que é proporcional à componente de velocidade 
perpendicular ao campo. 
A força magnética que atua em uma partícula com carga q, pode ser definida 
como o produto da carga q pelo produto vetorial da sua velocidade 
v
 pelo campo 
magnético 
B
. 
 
 
 
v
 
 
  
 
B
 
  q 
 
 
F
 = q 
v
 
B
  F = q v B sen  
onde:F  é o módulo da força magnética que atua na carga q 
v  é o módulo da velocidade de q 
B  é o módulo do campo magnético 
 
Direção e sentido da força magnética 
A força magnética tem direção perpendicular a 
v
 e a 
B
, isto é , ao plano 
definido por 
v
 e 
B
. O sentido de 
F
é o mesmo do produto vetorial 
v B
, se a carga q 
for positiva e contrária a este sentido se q for negativa. A direção e sentido da força 
magnética podem ser encontrados por várias regras práticas, entre elas podemos citar a 
regra da mão direita ou da mão esquerda. 
 Observando a equação anterior podemos verificar que a força será igual a zero se 
a carga for nula ou se a partícula estiver em repouso. A mesma equação também nos diz 
 
 
que a intensidade da força será nula se 
v
e 
B
 forem paralelos (
0 
) ou antiparalelos (
180 
), e a força atingirá seu valor máximo quando 
v
 e 
B
 forem perpendiculares 
um ao outro. 
 Como a força magnética não possui uma componente paralela à 
v
, ela não 
consegue alterar o valor da velocidade da partícula (portanto não consegue alterar a 
energia cinética da partícula). A força pode modificar apenas a direção da velocidade da 
partícula, mudando, portanto, a direção de sua trajetória. 
Regra da mão direita. 
Bdedão F
dedos v B
 

 
 
 
 
Unidade de campo magnético 
 A unidade do campo magnético no SI é o Newton. Segundo por Coulomb.Metro. 
Por conveniência, esta unidade e chamada de tesla
( )
. 
 
.
1
.
N s
C m
 = 1 tesla = 1

 
 No eletromagnetismo é comum a representação de vetores perpendiculares ao 
plano da folha, portanto alguns alunos relacionam, equivocadamente, a representação de 
vetores entrando ou saindo da folha, apenas com grandezas estudadas no 
eletromagnetismo. Devemos lembrar que esta representação pode ser usada para 
qualquer grandeza vetorial. 
 
 
 
 
Como iremos trabalhar no plano, usamos a seguinte definição para as linhas de campo: 
entrando pelo plano
saindo pelo plano


 
 
E X E R C Í C I O 
 
2. Suponha que você possua alguns imãs nos quais assinalou quatro polos com as letras 
A , B , C e D . Você verifica que: 
 
 o polo A repele o polo B 
 o polo A atrai o polo C 
 o polo C repele o polo D 
 
e sabe-se que o polo D é um polo norte . Nestas condições determine se o 
polo B é um polo norte ou sul. 
 
3. Represente a força magnética que age sobre a carga elétrica q, lançada no campo 
magnético 
B
, nos seguintes casos: 
 
 
 
 
 
 
4. Por que, simplesmente não definimos a direção e o sentido do campo magnético B 
como sendo idênticos aos da força magnética que atua sobre uma carga em movimento? 
 
Movimento de uma carga elétrica em um campo magnético uniforme 
1
o
 Caso: 
A carga elétrica é lançada paralelamente às linhas de indução. Neste caso  = 0o 
ou  = 180o  sen  = 0 e a força magnética é nula. Então, a carga elétrica realiza um 
movimento retilíneo e uniforme. 
q q 

a) 
 
b) 

q 
c) 
q 
d) 
B
v
B
v
v
B
B
v
 
 
 
 2
o
 Caso: 
 A carga elétrica é lançada perpendicularmente às linhas de indução. Neste caso, o 
ângulo entre a velocidade e o campo magnético é de noventa graus. Isso significa que o 
sen
é igual a um, e a força magnética é constante e igual a: 
BF qvB
, essa força é 
apontada para o centro da curva, e, portanto, o movimento é circular e uniforme. 
 
Cálculo do raio da trajetória 
 Fmagnética = Fcentrípeta 
 
2v
F m qvB
r
mv
r
qB
 

 
 
Cálculo do período ( T ) 
 Sabemos que o período T é o intervalo tempo que corresponde a uma volta 
completa. 
 
 
 
2 2
2
r mv
T
v vqB
m
T
qB
 

 

 
Observe que o período T não depende da velocidade. 
 
3
o
 Caso: 
A carga elétrica é lançada obliquamente às linhas de indução. Neste caso a 
componente v (paralela ao campo magnético) ocasiona um MRU e a componente v 
(perpendicular ao campo magnético) ocasiona um MCU. A composição destes dois 
movimentos é um movimento helicoidal uniforme e a trajetória é chamada de hélice 
cilíndrica. Na figura abaixo temos a representação de trajetória para o caso de um 
campo magnético uniforme (b) e de um campo não uniforme (c). Ver estudo mais 
detalhado sobre garrafa magnética, cinturões de radiação de Van Allen e aurora, no 
livro texto. 
 
O passo da hélice (p) pode ser encontrado da seguinte maneira: 
2
cos
2
cos 2 cos
m
p v T v
qB
mv
p r
qB



  
 
 
 
 
 
Aceleradores de partículas 
 Aceleradores de partículas podem usar campos elétricos e magnéticos para obter 
partículas com alta energia. O cíclotron e o sincrotron são aceleradores de partículas que 
utilizam um campo magnético para fazer a partícula passar repetidas vezes por uma 
região onde existe um campo elétrico, o qual gera um aumento no valor da velocidade 
da partícula. O cíclotron é um instrumento que foi desenvolvido em 1931 pelos físicos 
Lawrence e Livingston da Universidade da Califórnia. A teoria envolvida na descrição 
do funcionamento do cíclotron é bastante simples. A parte principal do acelerador é 
formada por um par de câmaras metálicas em forma de um semicírculo, algumas vezes 
denominadas de "D", por causa da sua forma. No caso do cíclotron, as partículas 
descrevem uma trajetória espiral, ganhando energia cada vez que atravessa a região 
onde existe um campo elétrico (o espaço entre os dês). O funcionamento do cíclotron se 
baseia no fato de que a frequência com a qual a partícula circula, sob o efeito do campo 
magnético, não depende da velocidade. Portanto podemos ter um oscilador que inverte o 
sentido do campo elétrico na mesma frequência que a partícula circula. No sincrotron a 
frequência de revolução das partículas varia com o tempo, mas permanece em fase com 
a frequência do oscilador. Neste caso a trajetória das partículas é circular em vez de 
espiral. 
 
 
 
 
 
 
E X E R C Í C I O 
 
5. Quais são as funções fundamentais (a) do campo elétrico e (b) do campo 
magnético no cíclotron? 
 
6. Uma partícula eletrizada positivamente, colocada em um campo magnético 
uniforme, é lançada para a direita com uma velocidade 
v
, como mostra a figura 
abaixo. Desenhe, na figura, a trajetória que a partícula descreverá. 
 
     
B
 
 
     
 q  v 
     
 
 
 
7. Considerando o esquema do exercício anterior, desenhe a trajetória da partícula 
supondo que sua carga seja negativa. 
 
8. Uma partícula eletrizada positivamente é lançada horizontalmente para a direita, 
com uma velocidade 
v
. Deseja-se aplicar à partícula um campo magnético 
B
, 
perpendicular a 
v
, de tal modo que a força magnética equilibre o peso da 
partícula. 
 
a) Qual devem ser a direção e o sentido do vetor 
B
 para que isto aconteça? 
b) Supondo que a massa da partícula seja m = 4,0 miligramas, que sua carga seja 
q = 2,0 .10
- 7
 C e que sua velocidade seja v = 100 m / s, determine qual deve ser 
o valor de 
B
. R: a)  
B
 b) 1,96 T 
 
9. Em um laboratório de Física Moderna, umdispositivo emite íons positivos que 
se deslocam com uma velocidade 
v
 muito elevada. Desejando medir o valor 
desta velocidade, um cientista aplicou na região onde os íons se deslocam os 
campos uniformes, 
E
 e 
B
, mostrados na figura deste problema . Fazendo variar 
os valores de 
E
 e 
B
 ele verificou que , quando E = 1,0 .10
3
 N /C e B = 2,0 .10
- 2
 
T , os íons atravessavam os dois campos em linha reta , como está indicado na 
figura . Com estes dados, o cientista conseguiu determinar o valor de 
v
. Qual foi 
o valor encontrado por ele? Despreze a massa do íons. R: 5.10
4
 m/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
E 
  
B 
v 
Fonte de íons 
I 
 
 
10. Uma partícula com carga q = 2,0 C, de massa m= 1,0 .10- 7 kg penetra , com 
uma velocidade v = 20 m/s , num campo magnético uniforme de indução B = 
4,0 T através de um orifício existente no ponto O de um anteparo. R: 0,5 m 
 
a) Esquematize a trajetória descrita pela partícula no campo, até incidir pela 
primeira vez no anteparo. 
b) Determine a que distância do ponto O a partícula incide no anteparo. 
 
 
 
 
 
 
 
11. Um elétron que tem velocidade 
v
 = (2,0 . 10 
6
 m/s ) 
i
 + ( 3,0 . 10
 6
 m/s ) 
j
 
penetra num campo magnético 
B
 = ( 0,03 T ) 
i
 - ( 0,15 T )
j
. Determine o 
módulo, a direção e o sentido da força magnética sobre o elétron. R: 6,24 . 10
-14
 
N na direção positiva do eixo z 
 
12. Um elétron num campo magnético uniforme tem uma velocidade v = (40 km/s) i 
+ (35 km/s) j. Ele experimenta uma força F = - (4,2 fN) i + (4,8 fN) j. Sabendo-
se que Bx = 0, calcular as componentes By e Bz do campo magnético. (1fN = 10
 – 
15
 N) 
 
13. Um elétron num tubo de TV está se movendo a 7,20 x 106 m/s num campo 
magnético de intensidade 83,0 mT. (a) Sem conhecermos a direção do campo, 
quais são o maior e o menor módulo da força que o elétron pode sentir devido a 
este campo? (b) Num certo ponto a aceleração do elétron é 4,90 x 10
14
 m/s
2
. 
Qual o ângulo entre a velocidade do elétron e o campo magnético? A massa do 
elétron é 9,11 x 10
-31
 kg. R: a) 0 e 9,44 .10
-14
 N b) 0,27º 
 
14. Um próton que se move num ângulo de 230 em relação a um campo magnético 
de intensidade 2,6 mT experimenta uma força magnética de 6,50 x 10
-17
 N. 
  
  
v 
O 
B 
 
 
Calcular (a) a velocidade escalar e (b) a energia cinética em elétron - volts do 
próton. A massa do próton é 1,67 x 10
-27
 kg, 1eV = 1,6 .10
-19 
J. R: a) 4.10
5
 m/s 
b) 835 eV 
 
15. Campos magnéticos são frequentemente usados para curvar um feixe de elétrons 
em experiências físicas. Que campo magnético uniforme, aplicado 
perpendicularmente a um feixe de elétrons que se move a 1,3 x 10
6
 m/s, é 
necessário para fazer com que os elétrons percorram uma trajetória circular de 
raio 0,35 m? R: 2,11 . 10
-5
 T 
 
16. Num campo magnético com B = 0,5 T, qual é o raio da trajetória circular 
percorrida por um elétron a 10% da velocidade escalar da luz? (c = 300 000 
Km/s). (b) Qual é a sua energia cinética em elétron - volts? R: a) 3,41 . 10
-4
 m 
b) 2,56 . 10
3
 eV 
 
17. Um elétron com energia cinética de 1,20 keV está circulando num plano 
perpendicular a um campo magnético uniforme. O raio da órbita é 25,0 cm. 
Calcular (a) a velocidade escalar do elétron, (b) o campo magnético. R: a) 6,49 . 
107 m/s b) 1,48 . 10-3 T 
 
18. Um feixe de elétrons de energia cinética K emerge de uma ―janela‖ de folha de 
alumínio na extgremidade de um acelerador. A uma distância d dessa janela 
existe uma placa de metal perpendicular à direção do feixe (figura abaixo). (a) 
Mostre que é possível evitar que o feixe atinge a placa aplicando um campo 
uniforme 
B
tal que: 
2 2
2mK
B
e d

 
Onde me e a massa e a carga do el[étron. (b) Qual deve ser a orientação do campo 
elétrico 
B
? 
 
 
 
19. O espectrômetro de massa de Bainbridgem, mostrado de forma esquemágtica na 
figura abaixo, separa íons de mesma velocidade e mede a razão q/m desses íons. 
Depois de entrar no aparelho através das fendas colimadoras S1 e S2, os íons 
passam por um seletor de velocidade composto por um campo elétrico 
produzido pelas placas carregadas P e P´ sem serem desciados (ou seja, os que 
possuem uma velocidade E/B), entram em uma região onde existe um segundo 
campo magnético 'B que os faz descrever um semicírculo. Uma placa fotográfica (ou 
um detector moderno) registra a posição final dos íons. Mostre que a razão entre a 
carga e a massa dos íons é dada por 
'/ /q m E rBB
, onde r é o raio do semicírculo. 
 
20. Um elétron é acelerado a partir do repouso por uma ddp de 350 V. Ele penetra, a 
seguir, num campo magnético uniforme de módulo 200 mT com sua velocidade 
perpendicular ao campo. Calcular (a) a velocidade escalar do elétron e (b) o raio 
de sua trajetória no campo magnético. 
R: a) 1,11 . 107 m/s b) 3,16 . 10-4 m 
 
 
Força magnética sobre um condutor retilíneo percorrido por uma corrente elétrica 
 
 Se há interação entre campo magnético e partículas portadoras de carga elétrica, 
há uma interação entre campo magnético e um condutor percorrido por corrente elétrica, 
pois a corrente elétrica é constituída pelo movimento de portadores de carga elétrica. 
 
 
 Se um segmento de fio retilíneo, de comprimento L, percorrido por uma corrente 
i, for colocado numa região onde existe um campo magnético uniforme
B
 (como está 
representado na figura abaixo), sobre este segmento de fio atuará uma força magnética 
dada por 
 
F iL B F B i L sen   
 
onde: 
 
F
  é a força magnética que atua no fio 
L é o comprimento do segmento do fio, sendo que: 
L 
 é um vetor de 
intensidade L e está dirigido na mesma direção do segmento do fio no sentido 
(convencional) da corrente elétrica. 
ϕ  é o ângulo entre o campo magnético 
B
 e a corrente i ou o vetor 
L
. 
 
 
Direção da força magnética 
 A direção (e sentido) da força magnética é a do produto vetorial 
L x B
. Então, a 
força magnética é sempre perpendicular ao plano definido pelos vetores 
L x B
, e o 
sentido de 
F
 pode ser dado pela regra da mão direita ou da mão esquerda. 
 
Observação: 
 Se o fio não for retilíneo ou o campo magnético não for uniforme, podemos 
imaginar o fio repartido em pequenos segmentos retos e calcular a força em cada 
segmento. A força sobre o fio como um todo e, então, a soma vetorial de todas as forças 
 
 
que agem sobre os segmentos que compõem o fio. No limite diferencial, podemos 
escrever o elemento de força sobre 
dL
 como: 
dF i dL B 
 
 Podemos determinar a força resultante sobre qualquer arranjo fornecido de 
correntes por meio da integração de 
dF
sobre este arranjo. 
Torque em uma espira percorrida por corrente elétrica. 
 O princípio de funcionamento dos motores elétricos é baseado no torque produzido 
por forças magnéticas. Na figura abaixo temos a representação de uma espira percorrida 
por uma corrente elétrica, imersa em um campo magnético. As forças magnéticas 
produzem um torque na espira que tende a fazê-la girar em torno de um eixo central. 
 
 Uma bobina na presença de um campo magnético uniforme experimente um torque 
dado por: 
B  
, onde 

é o momento magnético dado por: 
NiA 
, onde N é o número de 
espiras e A é a área da espira (Ver a demonstração desta expressão no livro texto). 
Usando a definiçãode produto vetorial, temos: 
Bsen
NiABsen
  
 


 
 
 
 
 
E X E R C Í C I O 
 
21. Represente a força magnética que atua sobre cada condutor retilíneo, percorrido 
por corrente elétrica e imerso no interior de um campo magnético uniforme, nos 
casos: 
 
a ) b )    
B
 c ) 
d ) 
B
 
   
B
 
i
 
 
i
i i 
   
    
   
 
22. A figura abaixo mostra uma espira retangular CDEG, situada no plano da folha 
de papel, colocada entre os polos de um imã. Observando o sentido da corrente 
que está passando na espira responda: 
 
a) Qual é o sentido da força que atua em cada um dos lados GE , ED e DC da 
espira? 
b) Descreva o movimento que a espira tende a adquirir. 
 
 i 
 D E 
 
 S N 
 
 C G 
 
 
 
 
i
i
 
 
23. Um condutor, mesmo transportando uma corrente elétrica, tem carga líquida 
zero. Por que, então, um campo magnético exerce força sobre ele? 
 
24. Um condutor reto e horizontal de comprimento L = 0,5m , e massa m = 2,0 .10- 
2 
kg , percorrido por uma corrente elétrica de intensidade i = 8,0 A , encontra-se 
em equilíbrio sob ação exclusiva do campo da gravidade e de um campo 
magnético uniforme 
B
 , conforme mostra a figura abaixo. Determine: R: a) 4,9 . 
10
-2
 T; b) para direita 
 
a) A intensidade do vetor 
B
 .    B 
b) O sentido da corrente i . 
 
    
 
25. Um fio de 50 cm de comprimento, situado ao longo do eixo x, é percorrido por 
uma corrente de 0,50 A, no sentido positivo dos x. O fio está imerso num campo 
magnético dado por 
B
 = (0,003 T) j + (0,01 T) k. Determine a força magnética 
sobre o fio. R: (-2,5 . 10
-3
 N) j + (7,5 . 10
-4
N) k 
 
26. Um fio reto de 1,8 m de comprimento transporta uma corrente de 13 A e faz um 
ângulo de 35 
o
 com um campo magnético uniforme B = 1,5 T . Calcular o valor 
da força magnética sobre o fio . R: 20,13 N 
 
27. Um fio com 13,0 g de massa e L = 62,0 cm de comprimento está suspenso 
por um par de contatos flexíveis na presença de um campo magnético 
uniforme de módulo 0,440 T (veja figura abaixo). Determine (a) o valor 
absoluto e (b) o sentindo (para direita ou para a esquerda) da corrente 
necessária para remover a tensão dos contatos. 
 
 
 
28. Considere a possibilidade de um novo projeto para um trem elétrico. O motor é 
acionado pela força devido ao componente vertical do campo magnético da 
Terra sobre um eixo de condução. Uma corrente passa debaixo de um dos 
trilhos, através de uma roda condutora, do eixo, da outra roda condutora e, então, 
volta à fonte pelo outro trilho. (a) Que corrente é necessário para fornecer uma 
força modesta de 10 kN? Suponha que o componente vertical do campo 
magnético da Terra seja igual a 10 μT e que o comprimento do eixo seja 3 m. (b) 
Quanta potência será dissipada para cada ohm de resistência nos trilhos? (c) Um 
trem como este é real. 
 
 
Campo magnético gerado por corrente elétrica 
 Já comentamos que a experiência de Oersterd levou à conclusão de que as cargas 
elétricas em movimento (corrente elétrica) criam campo magnético no espaço em torno 
delas. Em 1820, Hans Christian Oersted (1777-1851) mostrou que uma bússola sofria 
deflexão quando era colocada perto de um fio percorrido por corrente elétrica. Por outro 
lado era conhecido que campos magnéticos produzem deflexão em bússola, o que levou 
Oersted a concluir que correntes elétricas induzem campos magnéticos. Com isto ele 
havia encontrado, então, uma conexão entre eletricidade e o magnetismo. 
 Iremos, agora, analisar a relação entre o campo magnético e as correntes elétricas 
que originaram este campo. Estudaremos os campos magnéticos que são estabelecidos 
por alguns tipos particulares de condutores percorridos por uma corrente elétrica. 
 Devemos lembrar que o campo magnético é uma grandeza vetorial e que este 
campo pode ser representado por linhas de campo. Para facilitar a representação do 
campo magnético gerado por corrente elétrica podemos usar uma regra da mão direita 
que relaciona a corrente elétrica com o campo magnético gerado por esta corrente 
elétrica. Esta regra prática, muito usada, nos permite facilmente obter o sentido do 
campo magnético em torno de um fio. Dispondo o polegar da mão direita ao longo do 
fio condutor, no sentido da corrente elétrica, e os demais dedos envolvendo o condutor, 
estes dedos nos indicarão o sentido das linhas de campo magnético. O sentido das linhas 
de campo em cada pondo nos indica a direção e sentido do campo magnético neste 
ponto. 
 
 
 Na figura abaixo temos a representação desta regra da mão direita e das linhas de 
campo magnético gerado por um fio reto percorrido por uma corrente elétrica i. 
 
 
 No estudo do campo elétrico usamos duas leis para determinar este campo, a lei de 
Coulomb e a lei de Gauss. De modo semelhante vamos usar duas leis para estudar o 
campo magnético gerado por corrente elétrica, a lei de Biot - Savart e a lei de Ampère. 
 
Lei de Biot – Savart 
 O campo magnético criado por um condutor transportando uma corrente elétrica 
pode ser encontrado pela lei de Biot – Savart. Para determinarmos o campo magnético 
gerado por um fio de forma arbitrária podemos dividir mentalmente o fio em elementos 
infinitesimais ds e definir para cada elemento um vetor comprimento 
ds
 de módulo ds e 
sentido da corrente em ds. Se definirmos um elemento de corrente i 
ds
, a lei de Biot – 
Savart assegura que a contribuição 
dB
 do campo magnético, devido ao elemento de 
corrente i 
ds
, num ponto 
P
, a uma distância r do elemento de corrente, é dado por: 
 
 
 
0
34
i d
d
r




s r
B
 
 Podemos calcular o campo resultante 
B
 no ponto P somando, por meio de 
integração, as contribuições 
dB
 de todos os elementos de corrente. 
 Na expressão acima, 
o
 é uma constante chamada de permeabilidade do vácuo, 
cujo valor é: 
o
 =4

x10
-7
T.m/A. 
 
Campo Magnético no centro de uma espira circular 
 O campo magnético no centro de uma espira circular, percorrida por uma 
corrente elétrica i, é diretamente proporcional à corrente elétrica e inversamente 
proporcional ao raio da espira. 
2
i
B
r


 
onde:r  é o raio da espira 
 
Direção e sentido de 
B
 
 
 A direção do campo magnético é normal ao plano da espira. 
 O sentido de B pode ser dado pela regra da mão direita. 
 Podemos usar a lei de Biot - Savart para demonstrar a expressão usada para o 
cálculo do campo magnético no centro de uma espira circular de raio r, percorrida por 
uma corrente i. 
 
 
 
Partindo da Lei de Biot-Savart, temos: 
3 3 2
2
2
2 2
0
90
4 4 4
int :
4
2
4 4
2
o
o o o
o
r
o o
o
ids r idsrsen ids
dB dB
r r r
egrando
ids
dB
r
i i
B ds r
r r
i
B
r

  
  


 

 


   

 

 

 
 
LEI DE AMPÈRE 
 
 Podemos determinar o campo magnético resultante devido a qualquer 
distribuição de correntes com a lei de Biot-Savart, mas se a distribuição for complicada, 
podemos ter que usar um computador para o cálculo. Entretanto se a distribuição 
apresentar determinada simetria é possível que possamos aplicar a lei de Ampère para 
determinar o campo magnético com um esforço consideravelmente menor (de modo 
semelhante ao uso da lei de Gauss para calcular o campo elétrico). 
 A lei de Ampére pode ser enunciada da seguinte maneira: A integral de linha do 
campo magnético 
B
 em torno de qualquer trajetória fechada é igual a 
0
 vezes a 
corrente líquida que atravessa a área limitada pela trajetória. Ou seja 
 Para uma curva amperiana (curva fechada), temos que: 
 
0.d i B s
 
 
 A integral de linha nesta equação é calculada ao redor da curva amperiana, e i é 
a corrente líquida englobada pela curva amperiana. 
 
 
 Não precisamos saber o sentido de 
B
 antes de fazer estão integração. Supomos 
arbitrariamente 
B
 como estando geralmente no mesmo sentido da integração e usamos 
a seguinte regra da mão direita para atribuir o sinal de cada uma das correntes envolvida 
pela curva amperiana: curve a sua mão direita ao redor da curva amperiana, com os seus 
dedos apontados no sentido de integração. A uma corrente que atravessa a curva, no 
sentido do seu dedo polegar estendido se atribui um sinal positivo e a uma corrente no 
sentido contrário se atribui um sinal negativo. 
 
Campo magnético devido a uma corrente em um fio reto e longo 
 A intensidade do campo magnético a uma distância d de um fio reto e longo 
transportando uma corrente i é diretamente proporcional à corrente elétrica i e 
inversamente proporcional à distância d. Esta relação é dada por 
 
2
i
B
d



 
 
onde: 
B  é a intensidade do campo magnético 
 é a permeabilidade magnética do meio 
d  é a distância do ponto até o condutor 
 
 As linhas de campo de 
B
 formam círculos concêntricos ao redor do fio, como 
está representado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Podemos usar a lei de Ampère para demonstrar a expressão usada para o cálculo do 
campo magnético gerado por uma corrente i, a uma distância r de um fio reto e longo. 
 
Usando a lei de Ampère 
.
cos0
2
o
o
o
o o
B ds i
Bds i
B ds i B r i


  


  



 
Com isso temos que o módulo do campo magnético em um fio retilíneo longo é dado 
por: 
2
oiB
r



 
 
 
 
 Vamos usar a lei de Ampère para estudar o campo magnético no interior de um fio 
longo retilíneo percorrido por corrente elétrica distribuída uniformemente na seção reta 
do fio.. 
int
.
2
2
erior
o o
o
o
B ds i
B r i
i
B
r

 






 
 
 
 
Como a corrente está uniformemente distribuída na seção reta do fio, a densidade de corrente 
tem o mesmo valor para a área no interior da curva amperiana e em toda a área do fio: 
2 2
2
2
o o
o
o
o
i ii i
J J
A A R r
ir
i
R
 
   

 
Substituindo, temos: 
2
2
2
.
2 2
2
o o
o
i ir
B
r r R
ir
B
R
 
 


 
 
 
 
 
 
Observe que no interior do fio o campo magnético é proporcional a r; o campo é nulo centro 
do fio e máximo na superfície, onde r = R. 
 
Campo magnético de um solenóide 
 Denomina-se por solenoide um fio condutor enrolado em uma helicoidal com voltas de 
espaçamento muito próximo, ou seja, uma bobina helicoidal formada por espiras circulares 
muito próximas. Ele é considerado um solenoide ideal quando for infinitamente grande, com 
isto queremos dizer que ele é formado por um número muito grande de espiras. Se uma 
corrente percorre o solenoide ela induz campos magnéticos em seu entorno. 
 
Se o solenoide é considerado infinito (solenoide ideal) não teremos efeitos de bordas, portanto 
só existirão campos magnéticos no seu interior. Então, quanto mais longo for o solenoide 
mais uniforme é o campo magnético no seu interior e mais fraco é o campo magnético no seu 
exterior. Deste modo, o vetor campo magnético (ou indução magnética) 
B
 em qualquer ponto 
 
 
no interior de um solenoide ideal é o mesmo, ou seja, ele é uniforme. Este campo magnético 
tem as seguintes características: 
- O vetor 
B
, no interior do solenoide é paralelo ao seu eixo central. 
- O sentido de 
B
 pode ser dado pela regra da mão direita. 
- O campo magnético no solenoide é equivalente ao campo criado por imãs, com polos Norte 
e Sul. 
- O campo magnético no interior do solenoide é uniforme e diretamente proporcional à 
intensidade da corrente nas espiras e ao número de espiras por unidade de comprimento do 
solenoide. 
 
0B in
 
 onde: 
 n  é o número de espiras por unidade de comprimento. 
 
 Podemos usar a lei de Ampère para demonstrar e expressão do campo magnético no 
interior de um solenoide. 
 
 
 
 
0 0 0 0
.
. . . .
.
o env
b c d a
o env
a b c d
B ds B B ds
b
o env
a
o env
o
o
B ds i
B ds B ds B ds B ds i
B ds i
Bh i
Bh inh
B in






        

   





   

 
 A importâcia de estudarmos modêlos ideais, se justifica na aproximação destes modêlos 
ideais com modêlos reais. Em pontos bem afastados das extremidades de um solenóide real 
(quando o comprimento deste solenóide for muito maior do que o seu diâmetro) podemos 
aplicar as mesmas propriedades de um solenóide ideal. 
 Um solenóide fornece uma forma prática de se criar um campo magnético uniforme 
conhecido, da mesma forma que um capacitor de placas paralelas fornece uma forma prática 
de criar um campo elétrico uniforme conhecido. Estes campos têm importantes aplicações 
para experimentos. 
 
Campo Magnético de um Toróide 
 O toróide pode ser considerado como um solenóide que foi encurvado em forma de 
um círculo, assumindo a forma da câmara de ar de um pneu. 
 
 O módulo do campo magnético 
B
 criado em seus pontos interiores (dentro do tubo 
em forma de pneu) é dado por 
0
2
iN
B
r



. 
Onde: 
i  é a corrente nos enrolamentos do toróide 
N  é o número total de voltas 
 
 
r  é a distância do ponto até o centro do toróide 
O campo magnético no interior de um toróide ou de um solenóide pode ser dado por 
outra regra da mão direita: envolva o toróide (ou solenóide) com os quatro dedos da mão 
direita, curvados no sentido da corrente nos enrolamentos; o seu dedo polegar estendido 
aponta no sentido do campo magnético. 
 O campo magnéticoé nulo em pontos no exterior de um toróide ideal (como se o 
toróide fosse feito de um solenóide ideal). 
 
Força magnética entre dois fios retos e paralelos percorridos por correntes elétricas 
 Dois fios longos e paralelos, percorridos por correntes elétricas, exercem forças um sobre 
o outro. Considere dois fios percorridos pelas correntes ia e ib, separados por uma distância d. 
 
A força que o fio percorrido por ia exerce sobre o comprimento L do outro é dado por 
b b aF i LB
 
O campo magnético criado por este fio, a uma distância d (posição do outro fio), é igual a: 
2
o a
a
i
B
d



 
Substituindo esta equação na equação da força temos que, 
 
 
2
2
o a
b b a b
o a b
i
F i LB i L
d
Li i
F
d




 
 
 
 
 
Representando as forças que atuam em cada fio, quando as correntes forem de sentidos 
opostos ou de mesmo sentido, podemos verificar que: Quando as correntes forem no mesmo 
sentindo os fios irão se atrair. Caso as correntes tenham sentidos opostos os fios irão se 
repelir. 
 
E X E R C Í C I O 
 
29. Topógrafo está usando uma bússola a 6m abaixo de uma linha de transmissão na qual 
existe uma corrente constante de 100 A. (a) Qual é o valor do campo magnético no 
local da bússola em virtude da linha de transmissão? (b) Isso irá interferir seriamente 
na leitura da bússola? O componente horizontal do campo magnético da Terra no local 
é de 20 μT. 
 
30. Um fio retilíneo longo transporta uma corrente de 50 A horizontalmente para a direita. 
Um elétron está se movendo a uma velocidade de 1,0 × 10 
7 
m/s ao passar a 5 cm deste 
fio. Que força atuará sobre o elétron se a sua velocidade estiver orientada (a) 
verticalmente para cima e (b) horizontalmente para a direita? 
 
31. Na figura abaixo estão representados dois fios retos e longos, percorridos pelas 
correntes elétricas i1 e i2. Considerando o meio, o vácuo, determine o módulo, a 
direção e o sentido do campo magnético resultante no ponto P. R: 1 . 10
-5 
T  
 
 
 i1 = 3A i2 = 4A 
 
 P 
 
 2 cm 4 cm 
 
 
 
32. Duas espiras circulares, concêntricas e coplanares, de raios R1 = 6cm e R2 = 24cm são 
percorridas por correntes elétricas i1 e i2 respectivamente. R: a) i2 = 4i ; b) anti-
horário 
 
a) Determine a relação entre i1 e i2, sabendo-se que o campo magnético resultante no 
centro das espiras é nulo. 
b) Se i1 tem sentido horário, qual o sentido de i2. 
 
33. Duas bobinas (solenoides 1 e 2), cada uma com 100 espiras e cujos comprimentos são 
L1 = 20cm e L2 = 40cm, são ligadas em série aos polos de uma bateria. R: a) igual ; b) 
maior c) B2 = 3 . 10
-3
 T 
 
a) A corrente que passa na bobina (1) é maior, menor ou igual àquela que passa na 
bobina (2)? 
b) O campo magnético B1 no interior da bobina (1), é maior, menor ou igual ao campo 
magnético B2 no interior da bobina (2)? 
c) Sabendo-se que B1 = 6,0 . 10
- 3
 T, qual é o valor de B2? 
 
34. Módulo do campo magnético a 88,0 cm do eixo de um fio retilíneo longo é 7,3
T
. 
Calcule o valor da corrente que passa no fio. R: 32,12 A 
 
35. Um fio retilíneo longo transportando uma corrente de 100 A é colocado num campo 
magnético externo uniforme de 5,0 mT como está representado na figura abaixo. 
Localize os pontos onde o campo magnético resultante é zero. R: nos pontos sobre 
uma reta a 4 . 10
-3
 m abaixo do fio. 
 
 
 
 
 
 
36. Dois fios longos e paralelos estão separados uma distância de 8,0 cm. Que correntes 
de mesma intensidade devem passar pelos fios para que o campo magnético a meia 
distância entre eles tenha módulo igual a 300 μT? R: 30A em sentidos opostos 
B
i
 
 
 
37. Dois fios, retilíneos e longos, separados por 0,75 cm estão perpendiculares ao plano da 
página, como mostra a figura 2. O fio 1 transporta uma corrente de 6,5 A para dentro 
da página. Qual deve ser a corrente (intensidade e sentido) no fio 2 para que o campo 
magnético resultante no ponto P seja zero? R: 4,33 A p/ fora da página. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38. Dois fios longos e paralelos, separados por uma distância d, transportam correntes i e 
3i no mesmo sentido. Localize o ponto ou os pontos em que seus campos magnéticos 
se cancelam. 
 R: nos pontos sobre uma reta, entre os fios, a uma distância d/4 do fio que 
transporta a corrente i. 
 
39. Na figura abaixo dois arcos de circunferência têm raios R2 = 7,80 cm e R1 = 3,15 cm, 
submetem um ãngulo θ = 180o, conduzem uma corrente i = 0,281 A e têm o mesmo 
centro de curvatura C. determine (a) o módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora 
do papel) do campo magnético no ponto C 
 
40. Na figura abaixo, um fio é formado por uma semicircunferência de raio R = 9,26 cm e 
dois segmentos retilíneos (radiais) de comprimento L = 13,12 cm cada um. A corrente 
no fio é i = 34,8 mA. Determine 9ª) o módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora 
do papel) do campo magnético no centro de curvatura C da semicircunferência. 
 
 
 
41. Na figura abaixo um fio retilíneo longo conduz uma corrente i1 = 30,0 A e uma espira 
retangular conduz uma corrente i2 = 20,0 A.suponha que a = 1,00 cm e b = 8,00 cm e 
L = 30,0 cm. Em ermos dos vetores unitários, qual é a força a que está submetida a 
espira? 
 
42. Os oito fio da figura abaixo conduzem correntes iguais de 2,0 A para dentro ou para 
fora do papel. Duas curvas estão indicadas para a integral de linha 
B d s
¨. Determine 
o valor da integral (a) para a curva 1; (b) para a curva 2. 
 
43. A figura abaixo mostra um seção reta de um fio cilíndrico longo de raio a = 2,00 cm 
que conduz uma corrente uniforme de 170 A. determine o módulo do compo 
magnético produzido pela corrente a uma distância do eixo do fio ingual a 9ª) 0; (b) 
1,00 cm; (c) 2,00 cm (superfície do fio); (d) 4,00 cm. 
 
44. A figura abaixo mostra uma seção reta de um condutor cilíndrico oco de raios a e b 
que xinduz\ uma corrente i uniformemente distribuída. (a) mostre que, no intervalo b 
 
 
< r < a, o módulo B(r) do campo elétrico a uma distância r do eixo central do 
condutor é dado por 
 
2 2
2 22
oi r bB
ra b





 . (b) mostre que, para r = a, a equação 
do ítem (a) fornece o módulo B do campo magnético na superfície do condutor; para r 
= b, o campo magnético é zero; para b= 0, a equação fornece o módulo do campo 
magnético no interior de um condutor cilíndrico maciço de rio a. (c) faça um gráfico 
de B(r), no intervalo 0< r <6 cm, para a = 2,0 cm , b = 2,0 cm e i = 100 A. 
 
FORÇA ELETROMOTRIZ INDUZIDA 
 
 Desde que Oersted, em 1820, descobriu que uma corrente elétrica gera um campo 
magnético, a simetria das relações entre o magnetismo e a eletricidade levou os físicos a 
acreditar na proposição inversa: se a corrente elétrica num condutor gera um campo 
magnético então um campo magnético deve gerar uma corrente elétrica. A questão era saber 
como isso poderia ser feito, o que acabou sendo descoberto por Faraday, em 1831. 
A produção de corrente elétrica por campo magnético é chamada de indução 
eletromagnética e a corrente elétrica de corrente induzida. 
 No exercício abaixo, temos uma maneira bem simples de gerar uma força eletromotriz 
e uma corrente induzida. 
 
E X E R C Í C I O 
 
45. Considere uma barra metálica C D deslocando-se com velocidade 
v
, dentro de um 
campo magnético B, como mostra a figura abaixo: 
 
a. Qual é o sentido da força magnética queatua nos elétrons livres da barra? 
b. Então, diga qual das extremidades da barra ficará eletrizada positivamente e 
qual ficará eletrizada negativamente? 
 
 
c. Ligando-se C e D por um fio condutor, como mostra a figura abaixo, 
represente o sentido da corrente induzida neste fio. 
 
 
 
 
 
 
 R: 
a) C para D 
b) C positiva e D negativa 
c) CFD 
 
46. No exercício anterior, suponha que fosse interrompido o movimento da barra CD. A 
separação das cargas na barra permaneceria? Explique. R: não, a força magnética 
seria nula 
 
Fluxo do campo magnético 
 Para entender o Fenômeno da Indução eletromagnética é necessário introduzir o 
conceito de fluxo de campo magnético. Semelhante ao conceito de fluxo do campo elétrico 
(estudado na lei de Gauss), o fluxo do campo magnético está relacionado ao número de linhas 
de campo magnético que atravessam determinada superfície. 
 Na Figura abaixo está representada uma espira envolvendo uma área A, colocada em 
uma região onde existe um campo magnético 
B
. O fluxo magnético através desta espira é 
.B d  B A
 
 Como no estudo do fluxo do campo elétrico, o vetor 
dA
é perpendicular a uma área 
diferencial 
dA
. 
 
 
 
 
 
 
 
dA
B

D 
F 
C 
B
v
 
 
 
 A unidade de fluxo magnético, no SI é o tesla-metro quadrado, que é chamado e weber 
(abreviado por Wb) 
 
1 weber = 1wb = 1T.m
2 
 
 Para o caso particular onde o campo B tem o mesmo módulo por toda uma superfície 
de área A e que o ângulo  seja constante, temos que: 
 
cosB B A 
 
 
onde: 
 
B
 - é o fluxo magnético através da superfície de área A 
 

 - é o ângulo entre 
dA
 (normal à superfície) e 
B
(campo magnético uniforme) 
 
Lei de Faraday da Indução Eletromagnética 
 Quando ocorrer uma variação do fluxo magnético através de uma espira condutora, 
aparece nesta espira uma força eletromotriz induzida. A intensidade desta fem é igual à taxa 
de variação do fluxo magnético através dessa espira. 
 
Bd
dt

 

 
 
Para uma taxa de variação constante no fluxo (

 constante), temos que: 
B
t



 

 
 Se variarmos o fluxo magnético através de uma bobina de N voltas, enroladas de 
forma compacta de modo que o mesmo fluxo magnético 
B
 atravesse todas as voltas, a fem 
total induzida na bobina é: 
BNd
dt

  
 
 Apresentamos a seguir algumas maneiras, por meio das quais podemos variar o fluxo 
magnético que atravessa uma bobina. 
 
1. Variando a intensidade B do campo magnético no interior da bobina. 
 
 
2. Variando a área da bobina, ou a porção dessa área que esteja dentro de uma região onde 
existe campo magnético (por exemplo, deslocando a bobina para dentro ou para fora do 
campo). 
3. Variando o ângulo 

 entre 
B
 e 
dA
 (por exemplo, girando a bobina de modo que o campo 
B
 esteja primeiramente perpendicular ao plano da bobina e depois esteja paralelo a esse 
plano). 
 No esquema representado na figura abaixo, quando o imã em forma de barra se 
aproximar ou se afastar da espira, o fluxo magnético através da espira sofre uma variação 
e, portanto aparece uma corrente induzida na espira. No entanto, se o imã permanecer em 
repouso em relação à espira, não haverá variação no fluxo magnético e, portanto não 
teremos corrente induzida na espira. 
 
 
LEI DE LENZ 
 
 O sinal negativo na lei de Faraday indica que a força eletromotriz se opõe à variação do 
fluxo magnético. Este sinal é frequentemente omitido, pois geralmente esta lei é usada para se 
obter o módulo da força eletromotriz induzida. Para determinar o sentido da corrente induzida 
podemos usar uma regra proposta por Heinrich Friedrich Lenz, a qual é conhecida como lei 
de Lenz. A lei de Lenz pode ser enunciada da seguinte maneira: 
A corrente induzida em uma espira tem um sentido tal que o campo magnético 
produzido por esta corrente se opõe à variação do fluxo magnético através da espira. 
 
Exemplo: 
Vamos usar o caso em que uma espira retangular passa por uma região onde existe um 
campo magnético uniforme para aplicar a lei de Lenz. Considerando que na região limitada 
pelo retângulo tracejado tenha um campo uniforme 
B
, e que fora desta região não tenha 
campo magnético, represente o sentido da corrente induzida, na espira, em cada caso, ou seja, 
 
 
quando a espira penetra no campo magnético, quando ela está completamente imersa neste 
campo e quando ela está saindo da região onde existe o campo magnético: 
 
 
 
 
 
E X E R C Í C I O 
 
47. Qual é o sentido da corrente induzida no amperímetro da bobina Y representada na 
figura abaixo (a) quando a bobina Y é movida na direção da bobina X e (b) quando a 
corrente na bobina X é diminuída, sem qualquer alteração na posição relativa das 
bobinas? R: a) esquerda b) direita 
 
 
 
 
 
 
 
48. Um ímã, polo norte voltado para um anel de cobre, é afastado do anel como mostra a 
figura abaixo. Na parte do anel mais afastada do leitor, em que sentido aponta a 
corrente? R: Direita 
 
 
 
 
 
 
 
 
49. Uma espira circular é deslocada com velocidade constante através de regiões onde 
campos magnéticos uniformes de módulos iguais estão orientados para fora ou para 
dentro da página, como mostra a figura abaixo. Para quais das sete posições mostradas 
R 
v 
Fig.02 
 
AMPERÍMETRO 
 B 
 B 
 B 
 
 
a corrente induzida será (a) horária, (b) anti-horária e (c) zero? R: a) 2 e 6 b) 4 c) 1,3,5 
e 7 
 
 
 
 
 
50. A resistência R no lado esquerdo do circuito da figura abaixo está sendo aumentada 
numa taxa constante. Qual é o sentido da corrente induzida no lado direito do circuito? 
R: Horário 
 
 
 
 
 
 
51. Considere uma barra metálica CD deslocando-se com velocidade constante 
v
, numa 
região onde existe um campo magnético uniforme 
B
. A barra desloca-se apoiando em 
dois trilhos, também metálicos, separados de uma distância L, como mostra a figura 
abaixo. Usando a lei de Faraday, mostre que o valor da fem induzida na barra é dado 
por:  = L B v. 
 
 C 
 
  
B
 
 L 
v
 
 
 
 D 
 
52. Na figura abaixo o segmento retilíneo de fio está se movendo para a direita com 
velocidade constante 
v
. Uma corrente induzida aparece no sentido mostrado. Qual 
deve ser o sentido do campo magnético uniforme (suposto constante e perpendicular à 
página) na região A? R: entrando na página 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53. Uma antena circular de televisão para UHF (frequência ultra-elevada) tem um 
diâmetro de 11 cm. O campo magnético de um sinal de TV é normal ao plano da 
antena e, num dado instante, seu módulo está variando na taxa de 0,16 T/s. O campo é 
uniforme. Qual é a fem na antena? R: 1,5 . 10
-3
 V 
 
54. O fluxo magnético através da espira mostrada na figura abaixo cresce com o tempo de 
acordo com a relação 
 
26,0 7,0 ,B t t  
 
 
onde 
B
 é dado em miliweberse t em segundos. (a) Qual é o módulo da fem induzida 
na espira quando t = 2,0s? (b) Qual é o sentido da corrente em R? R: a) 31mV ; b) 
esquerda 
 
55. A figura abaixo mostra uma barra condutora de comprimento L sendo puxada ao 
longo de trilhos condutores horizontais, sem atrito, com um velocidade constante 
v
. 
Um campo magnético vertical e uniforme 
B
, preenche a região onde a barra se move. 
Suponha que L = 10 cm, v = 5,0 m/s e B = 1,2 T (a) Qual é a fem induzida na barra? 
Fig.05 
 
 
Fig.08 
(b) Qual é a corrente na espira condutora? Considere que a resistência da barra seja 
0,40  e que a resistência dos trilhos seja desprezível. (c) Com que taxa a energia 
térmica está sendo gerada na barra? (d) Que força um agente externo deve exercer 
sobre a barra para manter seu movimento? (e) Com que taxa este agente externo 
realiza trabalho sobre a barra? Compare esta resposta com a do item (c). R: a) 0,6V; b) 
1,5ª; c) 0,9W; d) 0,18N; e) 0,9W 
 
 
 
 
 
 
56. Uma barra metálica está se movendo com velocidade constante ao longo de dois 
trilhos metálicos paralelos, ligados por tira metálica numa das extremidades, como 
mostra a figura do exercício 55. Um campo magnético 
B
= 0,350T aponta para fora da 
página. (a) Sabendo-se que os trilhos estão separados em 25,0 cm e a velocidade 
escalar da barra é 55,0 cm/s, que fem é gerada? (b) sabendo-se que a resistência 
elétrica da barra vale 18,0 e que a resistência dos trilhos é desprezível, qual é a 
corrente na barra? R: a) 4,8 . 10
-2
 V b) 2,67 . 10
-3
 
 
 
 
 
INDUTORES 
 
Assim como os capacitores podem ser usados para produzir um campo elétrico 
numa determinada região os indutores podem ser usados para produzir um campo 
magnético. O tipo mais simples de indutor é um solenoide longo. 
 Um indutor pode ser representado pelo símbolo da figura abaixo. 
 
 
 
Indutância 
Quando uma corrente i percorre as N espiras de um indutor (por exemplo, um 
solenóide), um fluxo magnético 

 é produzido, pela corrente elétrica, no interior do 
indutor. A indutância L do indutor é dada por: 
N
L
i


 
Unidade de indutância no SI . 
 1 T m
2
 / A = 1 henry (H) 
 
Indutância de solenóide 
A indutância L por unidade de comprimento l, na região central, de um 
solenóide longo, de seção transversal de área A e com n espiras por unidade de 
comprimento, é dada por (ver demonstração no livro texto): 
 
2
0
1
L
n A
 
 
Observações: 
 
 Para um solenóide de comprimento muito maior do que o seu raio, a equação 
acima fornece a sua indutância com uma boa aproximação. 
 Assim como a capacitância de um capacitor a indutância de um indutor depende 
apenas das características (forma geométrica) deste dispositivo. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
57. Mostre que a indutância por unidade de comprimento próximo a região central 
de um solenóide longo é dada por: 
 
2
0
L
n A
l

 
Auto indução 
 Quando houver uma variação do fluxo magnético em um circuito, mesmo uma 
variação do fluxo magnético produzido pela corrente fluindo no próprio circuito, será 
induzido uma força eletromotriz no circuito. As forças eletromotrizes geradas por 
correntes do próprio circuito são chamadas de força eletromotriz auto-induzidas. Então 
uma fem auto-induzida 
L
 aparece numa bobina quando a corrente nesta bobina estiver 
variando. 
 Aplicando a lei da indução de Faraday podemos encontrar a relação entre está 
fem auto-induzida e a taxa de variação da corrente elétrica. 
 
N
L N iL
i
   
 
 
( )
L
d N
dt




  
( )
L
di
L
dt
  
 
 
onde: 
( )di
dt
 é a taxa de variação da corrente elétrica com o tempo . 
Observação: O sentido da fem auto-induzida pode ser encontrado usando a lei de Lenz. 
Esta fem atua num sentido tal que ela se opõe à variação do fluxo magnético que a 
produz. 
 O sentido de um campo elétrico auto-induzido (não eletrostático) pode ser 
encontrado pela lei de Lenz. Considerando-se a ―fonte‖ deste campo e, portanto, a fem a 
ele associado, como a corrente variável no condutor. Se a corrente estiver aumentando, 
o sentido do campo induzido será oposto ao desta corrente. Se a corrente diminui, o 
campo induzido terá o mesmo sentido da corrente. Então, o campo induzido se opõe à 
variação da corrente e não a corrente em si. 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
58. A indutância de uma bobina compacta de 400 espiras vale 8,0 mH. Calcule o 
fluxo magnético através da bobina quando a corrente é de 5,0 mA. R : 1 . 10 
–7
 
Wb 
 
59. Um solenóide é enrolado com uma única camada de fio de cobre isolado 
(diâmetro = 2,5 mm). O solenóide tem 4,0 cm de diâmetro, um comprimento de 
2,0 m e 800 espiras. Qual é a indutância por metro de comprimento, na região 
central do solenóide? Suponha que as espiras adjacentes se toquem e que a 
espessura do isolamento seja desprezível.R : 2,52 . 10 
– 4
 H / m. 
 
60. Num dado instante, a corrente e a fem induzida num indutor têm os sentidos 
indicados na Fig.01. (a) A corrente está crescendo ou decrescendo? (b) A fem 
vale 17 V e a taxa de variação da corrente é 25 kA/s; qual é o valor da 
indutância? R: a) decrescente ; b) 6,8 . 10
 – 4
 H 
 
 
 
 
 
61. Indutores em Série. Dois indutores L1 e L2 estão ligados em série e separados 
por uma distância grande. (a) Mostre que a indutância equivalente é dada por 
 
Leq = L1 + L2 
 
(b) porque a separação entre os indutores tem de ser grande para que a relação 
acima seja válida? (c) Qual é a generalização do item (a) para N indutores em 
série? R: b) para que um não induza corrente no outro. 
 
62. Indutores em paralelo. Dois indutores L1 e L2 estão ligados em paralelo e 
separados por uma distância grande. (a) Mostre que a indutância equivalente é 
dada por 
Fig. 01 
i E
 
 
 
1 2
1 1 1
eqL L L
 
 
 
(b) Por que a separação entre os indutores tem de ser grande para que a relação 
acima seja válida? (c) Qual é a generalização do item (a) para N indutores em 
paralelo? 
 
63. Um solenóide cilíndrico longo com 100 espiras/cm tem um raio de 1,6 cm. 
Suponha que o campo magnético que ele produz seja paralelo ao eixo do 
solenóide e uniforme em seu interior. (a) Qual é a sua indutância por metro de 
comprimento? (b) Se a corrente variar a um taxa de 13 A/s, qual será a fem 
induzida por metro? R: a) 0,1 H/m ; b) 1,3 V/m. 
 
 
Circuitos RL (Resistor – indutor) 
 
 No estudo do circuito RC (resistor capacitor), vimos que se introduzirmos 
subitamente uma fem 

 em um circuito contendo um resistor R e um capacitor C, a 
carga sobre o capacitor não aumenta imediatamente até o seu valor final de equilíbrio C

, mas dele se aproxima de forma exponencial. E quando removermos a fem deste 
mesmo circuito, a carga não cai imediatamente para zero, mas se aproxima de zero de 
forma exponencial. 
 Um atraso semelhante ocorre no crescimento (ou na queda) da corrente se 
introduzirmos (ou removermos) uma fem 

 em um circuito de malha simples contendo 
um resistor R e um indutor L (circuito RL). 
 Todo indutor tem necessariamente uma resistência. Para distinguir entre os 
efeitos da resistência e da indutância, é comum representar um indutor como um indutor 
ideal sem resistência, em série com um resistor não-indutivo. O mesmo diagrama 
também pode representar um resistor em série com um indutor, sendo R, agora, a 
resistência total da combinação, como está representado na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
Suponha que a chave ch no circuito,representado na figura acima, seja 
subitamente fechada na posição a. Por causa da fem auto-induzida 
/L Ldi dt E
, a 
corrente não cresce imediatamente até seu valor final, no instante em que o circuito é 
fechado, mas cresce numa taxa que depende da indutância e da resistência do circuito. 
Aplicando a lei das malhas, de kirchhoff, podemos escrever para este circuito: 
 
0
di
iR L
dt
  E
 
 
Esta é uma equação diferencial que pode determinar a corrente i no circuito 
como uma função do tempo. A solução para esta equação diferencial é: 
 
/(1 )t Li e
R
 
E
 
 
Onde: 
 L = L / R (é a constante de tempo indutiva) 
 
 Substituindo t = 0 na equação acima temos i0 = 0, o que indica que a corrente é 
inicialmente nula. Para um longo tempo após a chave ter sido fechada 
( )t 
 
podemos verificar que a corrente tende ao seu valor de equilíbrio 
i
R

E
. 
Agora, suponha que após a corrente ter atingido o seu valor final (
i
R

E
) a 
chave ch seja ligada na posição b. 
 
 
Aplicando a lei das malhas e este novo circuito teremos outra equação 
diferencial: 
0
di
L iR
dt
 
 
 Cuja solução é: 
 
/ Lti e
R
 
 
 
 De acordo com a equação anterior a corrente decai de um valor inicial 
0 ( 0)i em t
R
 
E
, para um valor final nulo 
( )t 
. 
 Devemos observar que inicialmente, um indutor atua se opondo a variações na 
corrente que passa por ele. Muito tempo depois, ele atua como um fio de ligação 
comum. 
 
EXERCÍCIOS 
 
64. Esboce o gráfico i  t, para os dois casos do circuito RL citados anteriormente, 
corrente aumentando e diminuindo com o tempo. 
 
65. Um solenóide de indutância igual a 6,30 H está ligado em série a um resistor 
de 1,20 K. (a) Ligando-se uma bateria de 14 V a esse par, quanto tempo 
levará para que a corrente através do resistor atinja 80,0% de seu valor final? (b) 
Qual é a corrente através do resistor no instante t =1,0 L? R: a) 8,85 . 10 
–9
 s ; 
b) 7,37 . 10
 –3 
 A. 
 
66. Quanto tempo, após a remoção da bateria, a diferença de potencial através do 
resistor num circuito RL (com L = 2,00 H, R = 3,00 ) decai a 10,0% de seu 
valor inicial? R : 1,53 s 
 
67. Um solenóide tem uma indutância de 53 mH e uma resistência de 0,37  . 
Sendo ligado a uma bateria, em quanto tempo a corrente atingirá metade do seu 
valor final de equilíbrio? R : 9,93 . 10 
 -2
 s. 
 
 
 
Indução Mútua 
Quando duas bobinas estão próximas uma da outra, uma corrente variando numa 
das bobinas pode induzir uma fem na outra. A fem induzida neste fenômeno, de indução 
mútua é dada por: 
 
2
1
di
M
dt
 E
 e 
1
2
di
M
dt
 E
 
 
Onde: M é o coeficiente de indutância mútua do conjunto das duas 
bobinas. A unidade de M, é a mesma de L. 
 Assim, vemos que a fem induzida em qualquer uma das bobinas é proporcional à 
taxa de variação da corrente na outra bobina. 
 
Energia Armazenada num Campo magnético 
 Os indutores podem armazenar energia, em seus campos magnéticos, assim 
como os capacitores armazenam energia em seus campos elétricos. 
A energia total armazenada por um indutor de indutância L transportando uma 
corrente elétrica i, é dada por (ver demonstração no livro texto): 
2
2
B
Li
U 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
68. Duas bobinas estão em posições fixas. Quando na bobina 1 não há corrente e na 
bobina 2 existe uma corrente que cresce numa taxa constante de 15 A/s, a fem da 
bobina vale 25 mv. Determinar a indutância mútua destas bobinas. R: 1,67 . 10
-3
 
H. 
 
69. A energia armazenada num certo indutor é de 25 mJ quando a corrente é 60 mA. 
(a) Calcular a indutância deste indutor. (b) Que corrente é necessária para a 
energia magnética armazenada ser quatro vezes maior? R: a) 13,89 H ; b)120 
mA 
 
70. Uma bobina tem uma indutância de 53 mH e uma resistência de 0,35  . 
 
 
 
a) Aplicando-se uma fem de 12 V através da bobina, qual é a energia 
armazenada no campo magnético após a corrente atingir o seu valor de 
equilíbrio ? 
b) Depois de quantas constantes de tempo , metade desta energia de equilíbrio 
estará armazenada no campo magnético ? R: a) 31 J ; b) 1,2 L. 
 
Oscilações Eletromagnéticas e Corrente Alternada 
Circuito LC (Indutor-Capacitor) 
 Neste momento, estudaremos como a carga q varia com o tempo num circuito 
constituído de um indutor L, um capacitor C e um resistor R. Discutiremos como a 
energia é transferida do campo elétrico do capacitor para o campo magnético do indutor 
e vice-versa, sendo dissipada gradualmente — no decorrer das oscilações — sob a 
forma de energia térmica no resistor. Para começar vamos tratar de um caso mais 
simples, um circuito contendo apenas um indutor e um capacitor, onde desprezaremos a 
resistência do condutor. Portanto, não há dissipação de energia. 
 Estudamos os circuitos RC e RL, onde verificamos que a carga e a corrente 
elétrica crescem e decaem exponencialmente. Quando ligamos um capacitor carregado, 
a um indutor sem resistência (circuito LC) a carga e a corrente elétrica, não variam 
exponencialmente, mas variam sonoidalmente com o tempo. No instante em que é feita 
a ligação, o capacitor começa a se descarregar através do indutor, a energia armazenada 
no campo elétrico do capacitor é transferida para o campo magnético no indutor. 
 Num instante posterior, o capacitor estará completamente descarregado e toda 
energia estará armazenada no campo magnético do indutor. O campo magnético está 
então com a sua intensidade máxima, e a corrente através do indutor terá seu valor 
máximo. Esse campo magnético agora decresce transferindo energia do indutor para o 
capacitor, sendo que a corrente diminui gradualmente durante está transferência de 
energia. Quando, finalmente, a energia se transferiu totalmente de volta para o 
capacitor, a corrente se reduz a zero (momentaneamente) e o capacitor estará carregado 
com polaridade invertida. 
 O processo agora se repete no sentido oposto e na ausência de perdas de energia, 
as cargas no capacitor movimentar-se-ão num sentido e noutro indefinidamente. Este 
processo é chamado de oscilações eletromagnéticas. 
 
 
 Do ponto de vista de energia, oscilações de um circuito LC, consiste numa 
transferência de energia do campo elétrico para o magnético e vise-versa, de modo que 
a energia total permaneça constante. 
 Isto é análogo à transferência de energia num sistema mecânico oscilante 
(massa-mola), transferindo energia cinética em potencial e vice-versa. 
 
 
 
 
 
 
Num circuito LC oscilante (sem resistência), como está representado na figura 
acima as energias armazenadas no campo elétrico do capacitor UE e no campo 
magnético do indutor UB , são dadas por : 
 
2
2
E
q
U
C

 e 2
2
B
Li
U 
 
 
Onde: U = UE + UB é a energia total. 
 
 Usando a condição de que a energia total permanece constante, podemos 
encontrar a equação diferencial que descreve as oscilações de um circuito LC sem 
resistências. 
 
2
2
1
0
d q
q
dt LC
 
 
 Cuja solução geral é: 
 
equação como 
 cosmq q t  
 
 onde: 
 qm é a amplitude da carga 
 
 
 é a constante de fase 
UE 
C UB L 
 
 
 

 é a frequência angular das oscilações 
 A constante de fase 

 é determinada pelas condições existentes em um 
determinado instante, e a frequência angular é dada por: 
 
1
2 f
LC
  
 
Oscilações da energia elétrica e magnética num circuito LC. 
A energiaelétrica armazenada no circuito LC é: 
 
22
21 cos
2 2
m
E
qq
U t
C C
   
 
E a energia magnética é 
 
2
2 21 s
2 2
m
B
q
U Li en t
C
   
 
Somando a energia elétrica e a energia magnética, obtemos a energia total do circuito 
LC: 
   
2
2 2
1
2
cos s
2
2
m
m
q
U t en t
C
q
U
C
   

     

 
OSCILAÇÕES AMORTECIDAS NUM CIRCUITO RLC 
 Num circuito LC real, as oscilações não continuam indefinidamente porque 
sempre existe alguma resistência presente, dissipando energia dos campos elétrico e 
magnético. É possível sustentar as oscilações eletromagnéticas providenciando um meio 
de fornecer, periodicamente, de uma fonte externa, energia capaz de compensar a 
dissipada como energia térmica. Ver estudo mais aprofundado no livro texto. 
 
1 
 
OSCILAÇÕES FORÇADAS E RESSONÂNCIA 
Considere um circuito LC amortecido contendo uma resistência R. Se o amortecimento é 
pequeno, o circuito oscila com uma frequência ω = (LC)−1/2, que é chamada de frequência 
natural do sistema. 
Suponha agora que uma fem (

) variável no tempo é aplicada ao circuito dada por 
''cosm t  
através da utilização de um gerador externo. Nesta equação, ω′′ é a frequência 
da fonte externa. Dizemos neste caso que o sistema executa oscilações forçadas. 
“Qualquer que seja a frequência natural do circuito, as oscilações da carga, corrente ou da 
diferença de potencial no circuito ocorrerão com a frequência da fonte externa”. 
A corrente no circuito será dada pela expressão 
 ''smi i en t  
 
Onde im é a amplitude da corrente. O valor de im será máximo quando a frequência da fonte 
externa ω′′ for igual à frequência natural do circuito, isto é, quando: 
'' 1
LC
  
 
Que chamamos de condição de ressonância. Uma aplicação prática da ressonância ocorre 
quando sintonizamos uma estação de rádio. Quando giramos o botão de sintonia, estamos 
ajustando a frequência natural ω de um circuito LC interno, de modo que ela se torne igual à 
frequência ω′′ do sinal transmitido pela antena da estação que queremos sintonizar; estamos 
procurando por uma ressonância. 
 
EXERCÍCIOS 
 
71. Qual é a capacitância de um circuito LC, sabendo-se a carga máxima do capacitor é 
1,6 C e a energia total é 140 J ? R : 9,14 . 10 – 9 F 
 
72. Um capacitor de 1,5 F é carregado a 57 V. A bateria que o carrega é, então, retirada, 
e uma bobina de 12 mH é ligada aos terminais do capacitor , de modo que ocorram 
 
2 
 
oscilações LC . Qual é a corrente máxima na bobina? Suponha que o circuito não 
contenha nenhuma resistência. R : 640 mA 
 
73. Num circuito LC, um indutor de 1,5 mH armazena uma energia máxima de 17 J . 
Qual é o pico (valor máximo) da corrente elétrica ? R :150 mA 
 
74. Em um circuito LC oscilatório com 
50L mH
 e 
4C F
, a corrente é inicialmente 
máxima. Quanto tempo se passará antes que o capacitor esteja completamente 
carregado pela primeira vez? R: 7,02 . 10
-4
 s 
 
75. Em um circuito LC oscilatório no qual 
4,00C F
, a diferença de potencial máxima 
entre os terminais do capacitor durante as oscilações é de 1,50 V e a corrente máxima 
que atravessa o indutor é igual a 50,0 mA. (a) Qual a indutância L? (b) Qual a 
freqüência das oscilações? (c) Quanto tempo é necessário para que a carga no 
capacitor cresça de zero até o seu valor máximo? R: a) 3,6.10
-3
 H; b) 1326,97 Hz; c) 
1,88.10
-4
s 
 
76. Em um circuito LC oscilatório, 75% da energia total estão armazenados no campo 
magnético do indutor em um determinado instante. (a) Em termos da carga máxima no 
capacitor, qual a carga no capacitor nesse instante? (b) Em termos da corrente máxima 
no indutor, qual a corrente que passa por ele nesse instante? R: a) 50%; b) 87% 
 
Correntes alternadas 
 
A maioria das casas são providas de fiação elétrica que conduz corrente alternada (ca) , isto é, 
corrente cujo valor varia senoidalmente com o tempo. Uma bobina de fio, rodando com 
velocidade angular constante, em um campo magnético, pode dar origem a uma fem alternada 
senoidalmente. Este dispositivo simples é o protótipo do gerador de corrente alternada 
comercial, ou alternador. 
 A corrente elétrica distribuída para utilização industrial e residencial é corrente alternada 
(AC, do inglês ―Alternating Current‖), tipicamente de frequência f = 60 Hz. A principal 
vantagem da corrente alternada é que sua voltagem pode ser facilmente aumentada ou 
reduzida usando transformadores. Isso permite transmitir a energia elétrica em linhas de alta 
 
3 
 
voltagem, convertendo-a no valor ―caseiro‖ (110–220 V) ao chegar a seu destino. A vantagem 
da transmissão de potência em alta voltagem é que a corrente i associada é baixa, reduzindo a 
perda por efeito Joule nos fios de transmissão (i2R). 
Consideraremos agora alguns circuitos ligados a uma fonte de corrente alternada que 
mantém entre seus terminais uma ddp alternada senoidal, dada por: 
 
v Vsen t
 
 
onde: 
 
v 
 é a ddp instantânea 
V 
 é a ddp máxima ou amplitude de voltagem 

é a freqüência angular. 
 
 
Observação: 
As letras minúsculas, como a letra v, representam valores instantâneos de grandezas 
variáveis no tempo e as letras maiúsculas, como V, representam as amplitudes 
correspondentes. 
 
 
 O símbolo de uma fonte de corrente alternada é: 
 
 
Diagrama de fasores 
Como as curvas senoidais não são fáceis de desenhar, faz-se uso frequente dos 
diagramas vetoriais, nos quais o valor instantâneo de uma grandeza é representado pela 
projeção, em um eixo vertical, de um vetor cujo comprimento corresponde á amplitude da 
grandeza, girando com velocidade angular 

 no sentido anti-horário . Para os circuitos de 
corrente alternada, estes vetores são chamados fasores e os diagramas que os contêm, 
diagramas de fasores. 
 
4 
 
 Vamos estudar um sistema formado por uma fonte externa de força eletromotriz 
alternada e um circuito RLC série. Mas inicialmente vamos estudar três circuitos mais 
simples, constituídos por uma fonte externa e um dos elementos R, L e C. 
 
CIRCUITO RESISTIVO ( R ) 
 
Na figura abaixo está representado um circuito contendo um resistor R e um gerador 
de CA com a fem alternada dada por: 
R Rv V sen t
 
 
 
 R 
 
 
A corrente instantânea no resistor é dada por: 
( ) R R
v V
sen t
R R R
i
 
 
A corrente máxima (amplitude da corrente) é: 
R
R
V
I
R

 
 
R Ri I sen t 
 
 
Observação: 
 A relação entre as amplitudes de voltagem e corrente (VR = IR R) se aplica a um resistor 
distinto em qualquer circuito de corrente alternada, não importando quão complexo seja. 
 Tanto a voltagem como a corrente varia com 
sen t
, de modo que a corrente está em 
fase com a voltagem, o que significa que os seus máximos (e mínimos) correspondentes 
ocorrem ao mesmo instante e os fasores de corrente e de voltagem giram juntos, como está 
representado nas figuras abaixo. 
Na figura abaixo estão representados o gráfico (iR e vR) com t e o diagrama de 
fasores. 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CIRCUITO CAPACITIVO (C) 
 
Suponha, agora, que um capacitor de capacitância C esteja ligado entre os terminais da 
fonte de fem alternada, como está representado na figura abaixo: 
 
 
 
A carga instantânea no capacitor é dada por: 
C C Cq Cv CV sen t 
 
 Como, 
c
dqc
i
dt

  
cosC Ci CV t 
 
Temos que: 
cos