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08. INTEGRAIS DE LINHA - CASO ESCALAR
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Teoria Exercícios Introdução O conceito de integral de linha é muito semelhante com o de integral unidimensional, que você já está cansado de ver. Vamos tomar o exemplo abaixo: Você já aprendeu que essa expressão significa que estamos “somando” os valores da função dentro de um intervalo , ou seja, com variando entre e . No caso de ser positiva, teríamos uma área desse tipo: Agora vamos estender um pouco esse conceito. Digamos que queremos fazer esse mesmo “somatório”, mas não em um intervalo de : em uma curva do plano . Nesse caso, a nova função será do tipo , pois ela deve estar definida para pontos do tipo , e esse somatório nos daria uma área desse tipo: 08. INTEGRAIS DE LINHA - CASO ESCALAR " 4 4� � � " 4 � 5 <� ��> 4 � � " 4 4 45 " 4 5 � 6 4 5 HOME LIVROS RESOLVIDOS PLANOS JUNTE-SE A NÓS FALE CONOSCO Voltar CÁLCULO 3 Guia Provas 1. O Que São Integrais Duplas 2. Integrais Duplas Sobre Regiões Gerais 3. Mudança de Variáveis 4. Coordenadas Polares 5. Integrais Triplas 6. Coordenadas Cilíndricas 7. Coordenadas Esféricas 8. Integrais de Linha - Caso Escalar Teoria Exercícios 9. Integrais de Linha - Caso Vetorial 10. Teorema de Green 11. Campos Conservativos 12. Parametrização de Superfícies 13. Áreas de Superfícies 14. Integrais de Superfície - Caso Escalar 15. Integrais de Superfície - Caso Vetorial 16. Teorema de Stokes 17. Teorema de Gauss É exatamente isso que chamamos de integral de linha. No caso de a função ser positiva, sua integral em uma curva pode ser interpretada como a área entre a curva e essa função, como na figura acima. Representamos essa integral dessa forma: Onde é uma divisão infinitesimal da curva , da mesma forma que tínhamos o como subtintervalo de nas integrais unidimensionais. Definição Agora que você já viu conceitualmente o que são integrais de linha, vamos defini-las matematicamente. Tomaremos uma função e uma curva que seja parametrizada assim: , onde o parâmetro pertence ao intervalo . Vamos, então, dividir esse intervalo em partes, de forma a dividir a curva também em subarcos (pois a curva é função de ). Se para cada um desses subarcos de comprimento , escolhermos um ponto qualquer e multiplicarmos o valor da função nesse ponto por , teremos: " 4 �5 � " 4 5 /� � � / � 4 <� ��> " 4 5 � 0 � 4 0 5 0 U � 0 <� �> * * 0 ∆/ � � �4 % 5 & ∆/ "� � � ∆� %�� * 4 % 5 & / % Essa expressão é muito semelhante à Soma de Riemann, não é? É um somatório de áreas, se você reparar, o comprimento do arco funciona como a “base” e o valor de , como a “altura”. Agora vamos tomar o limite dessa soma e definir as integrais de linha por analogia ao que fizemos com as unidimensionais: Agora precisamos escrever essa integral em uma forma que a gente saiba calcular, né? Lembra quando você aprendeu a calcular comprimentos de arcos? Você viu que, sendo o comprimento da curva parametrizada em função de , podíamos calculá-lo assim: Então, temos que: Certo? Vamos, então, substituir essa expressão de na integral de linha que definimos: Perceba que escrevemos a função em função de ! As variáveis e são definidas pela parametrização da curva. Essa expressão pode ser escrita de forma mais simplificada assim: (o módulo da derivada da parametrização da curva). A integral passa então a ser escrita assim: " " 4 5 / � "� � � ∆� � � MJN *¥Ì � %�� * 4 % 5 & / % � � 0 � � 0� � � �� � 4 0 � � � 5 0 � à ÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃà � � �¥ / � 0 / 0 �� � 4 0 � � � 5 0 � à ÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃà � �� � 4 0 � � � 5 0 � à ÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃà � / "�4 0 �5 0 � 0� � � �� � 4 0 � � � 5 0 � à ÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃà � " 0 4 5 �� � 4 0 � � � 5 0 � à ÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃà � �0� Î Î Î Î U � � Î Î Î Î " 4 0 �5 0 ø � �0� � 0� � � Î Î Î Î U � � Î Î Î Î Confuso? Calma, vamos fazer um exemplo para você entender melhor isso daí! Exemplo: Calcule , onde é a curva parametrizada por , onde . Passo 1: Montar o problema Vamos utilizar a fórmula Já temos que e . A parametrização da curva nos dá e , como vemos pelo enunciado. Passo 2: Calcular É só derivar a parametrização! Passo 3: Calcular Agora vamos calcular o módulo do vetor que encontramos no passo anterior: Passo 4: Substituir na integral e escrever em função de Lembre que a parametrização definiu e ! Temos que usar isso ao reescrever a função que vamos integrar, . Passo 5: Calcular a integral � � 5 /� � � 4 � � 0 � DPT 0 /!*�0 U � � Þ 0 Þ R " 4 0 �5 0 ø � �0� � 0� � � Î Î Î Î U � � Î Î Î Î � � � � � R 4 0 � DPT 0 5 0 � TFO 0 U � � � � � � �ÃTFO 0 DPT 0�U � � DPT 0 0 TFO 0 0 Î Î Î Î U � � Î Î Î Î � � � Î Î Î Î U � � Î Î Î Î � ÃTFO 0 � DPT 0 � à ÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃà � Î Î Î Î U � � Î Î Î Î " 0 �4 0 � DPT 0 5 0 � TFO 0 � � 54 � �� � TFO 0 � ø � � 0 �� R � DPT 0 � � �� � 0 TFO 0�� 0 �� R � DPT � Viu, não é tão complicado assim. Bem, esse conceito pode se estender também para curvas no espaço. Como assim? Se tivermos uma parametrização do tipo: , a integral de linha será calculada assim: O raciocínio é basicamente o mesmo que acabamos de ver! Observação: Perceba que, quando temos ou , a integral de linha nos dá o comprimento da curva : Essa é aquela mesma fórmula que tínhamos visto lá em cima para comprimento de arco, apenas escrevemos de forma diferente. Importante Em geral, os exercícios que você terá que fazer sobre integrais de linha não vão te dar a curva na forma parametrizada. Você mesmo terá que fazer isso! Então, é uma boa que você dê uma revisada nessa matéria, se você já viu há muito tempo. De qualquer forma, vamos te dar aqui umas dicas básicas de parametrização. Primeiro: o que é parametrizar uma curva? É escrever cada uma de suas variáveis em função de uma variável, seja etc. � ��0 à 0DPT � � Î Î Î R � � ��R � � à �à � � � � � � �R � � � 0 � 4 0 5 0 �6 0 U � " 4 0 �5 0 �6 0 ø � � 0� � � Î Î Î Î U � � Î Î Î Î " 4 5 � � " 4 5 6 � � � / � � � 0� � � � � � Î Î Î Î U � � Î Î Î Î 4 5 6 4 5 J �0 Ir para Exercícios Pular para Próximo Capítulo Vamos tomar o exemplo da reta , entre os pontos e . Se definirmos , qual será a expressão de ? Teremos , certo? O que nos dá , com . Agora vamos definir , teremos , o que nos dá , com . Temos, portanto, duas parametrizações diferentes, com intervalos diferentes, que nos dão a mesma curva. Vamos ver agora o exemplo da circunferência . Se chamarmos , teremos , que não é uma expressão muito simples de se trabalhar! Agora perceba que, se escrevermos em coordenadas polares , temos e a parametrização pode ser dada por , com , muito melhor, né? Então, quando tivermos circunferências e elipses, faremos parametrizações em função de . Se tivéssemos, por exemplo, a elipse , basta reescrevermos suaequação dividindo todos os membros por : E a parametrização será dada por e . Certo? Fazendo exercícios você vai acabar pegando o jeito, vamos para a prática, agora! 5 � 4 � � � � � � 4 � 4 5 5 � 4 � � 4 �4 � � � Þ 4 Þ � 5 � 5 4 � 5 à � 5 à � 5 � Þ 5 Þ � � � � 4 � 5 � 4 � 4 5 � � à 4 � à ÃÃÃÃ Ê 4 � DPT J 5 � /!*�J DPT J �/!*�J � Þ J Þ �R J � � � � �� 4 � 5 � �� � � � 4 � � 5 � � 4 � DPT J � �DPT J� Ê 5 � TFO J � �� TFO J� Ê Políticas de Privacidade Termos de Uso Time Planos Procon RJ
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