07. COORDENADAS ESFÉRICAS

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Teoria Exercícios
Definição
Vamos aprender, agora, um sistema de coordenadas muito
útil em integrais triplas: as coordenadas esféricas. Antes de
fazer substituições, é importante que você entenda bem
como descrever um ponto nesse sistema.
Em coordenadas cartesianas, localizamos um ponto
fornecendo três valores: , e , não é? Nas cilíndricas,
como você já deve ter visto, as coordenadas são , e , o
que se assemelha um pouco com as polares. Agora, vamos
definir outras coordenadas para descrever esse mesmo
ponto: , e . Veja a figura abaixo:
Como você vê na imagem, a coordenada representa a
distância entre o ponto e a origem , portanto, .
Cuidado para não confundir como “ ” das coordenadas
cilíndricas, que é a distância horizontal entre o ponto e o
eixo !
O ângulo é o mesmo que vimos para as coordenadas
cilíndricas, é medido entre a projeção do ponto no plano 
e o eixo , sem muito mistério. Temos, então, .
A grande novidade aqui é esse ângulo . Ele é medido entre 
 (o segmento que liga o ponto e a origem) e a parte positiva
do eixo , ou seja, a parte “de cima”. Portanto, .
Agora vamos analisar algumas formas geométricas especiais.
Que superfície é gerada com a equação nas
coordenadas esféricas? Essa é uma equação independente de
 e de , portanto, temos para qualquer valor desses
ângulos. Essa não é exatamente a definição de uma esfera de
raio ? Assim, então, que descrevemos uma esfera nas
07. COORDENADAS ESFÉRICAS
4 5 6
. J 6
S J X
S
	�
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 S ß �
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6
J
45
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CÁLCULO 3
Guia Provas
1. O Que São Integrais Duplas
2. Integrais Duplas Sobre
Regiões Gerais
3. Mudança de Variáveis
4. Coordenadas Polares
5. Integrais Triplas
6. Coordenadas Cilíndricas
7. Coordenadas Esféricas
Teoria Exercícios
8. Integrais de Linha - Caso
Escalar
9. Integrais de Linha - Caso
Vetorial
10. Teorema de Green
11. Campos Conservativos
12. Parametrização de
Superfícies
13. Áreas de Superfícies
14. Integrais de Superfície -
Caso Escalar
15. Integrais de Superfície -
Caso Vetorial
16. Teorema de Stokes
17. Teorema de Gauss
coordenadas esféricas, muito mais simples de todas as
formas que vimos até agora. Temos então:
Vamos tomar, agora, a equação , independente de e
de . Essa expressão gera um plano que forma o ângulo 
com o eixo , veja:
E se tivéssemos ? Essa é uma equação independente
de e de , ou seja, temos o conjunto dos pontos que
formam o ângulo com o eixo , em torno desse eixo. Se
esse ângulo for do 1º quadrante, teremos, então, uma
folha de cone desse tipo:
�/"!.� � \	S
 J
X
]� Þ S Þ �� � Þ J Þ �R� � Þ X Þ R^
J � J
+
S
X J
+
4
X � X
+
J S
X
+
6
X
+
Mudança para coordenadas esféricas
Agora que você já entendeu o conceito desse sistema
coordenado, está na hora de aprender como traduzir
equações em coordenadas cartesianas para as esféricas.
Vamos deduzir essa relação pela figura abaixo:
Pela imagem, podemos ver que e 
(como tínhamos nas coordenadas cilíndricas). Mas não
queremos expressões em função de , sim de , né?
Temos, então, que (cateto oposto ao ângulo ).
Vamos, então, substituir esse valor nas expressões acima:
Como é o cateto adjacente ao ângulo , temos:
Essas são as equações que utilizaremos na mudança para
coordenadas esféricas. Como em todas as substituições que
fazemos, precisamos calcular seu Jacobiano:
Memorize essa expressão!
Beleza?
Vamos agora testar essa transformação, afinal, temos que
ver se ela funciona, não é? Tomaremos como exemplo 
, uma esfera de raio .
4 � .��+/�J 5 � .�/!*�J
. S
. � S�/!*�X X
4 � S�/!*�X��+/�J
5 � S�/!*�X�/!*�J
6 X
6 � S DPTX
� � � � Ã /!*X
¼ 	4
5
 6
¼	S
 J
X
Î
Î
Î
Î
Î
/!*X DPT J
/!*X TFO J
DPTX
ÃS/!*X TFO J
S/!*X DPT J
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S DPTX DPT J
S DPTX/!*J
ÃS/!*X
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Î
Î
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Î
S
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]� ] � /!*XS
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5
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6
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Fazendo a substituição , 
e , teremos:
Pronto, a equação da esfera se resume, agora, a nas
coordenadas esféricas.
Dica: As coordenadas esféricas simplificam superfícies que
possuem simetria em relação a um ponto, como esferas e
cones.
Importante: Da mesma forma que, nas coordenadas
cilíndricas, podíamos encontrar cilindros com bases
elípticas, aqui podemos encontrar elipsoides, que são
“esferas” com coeficientes de , e diferentes entre si.
Você vai, então, fazer o mesmo que tem feito até agora:
substituições com coeficientes diferentes, por exemplo:
, e 
Não se esqueça de ajustar o Jacobiano, multiplicando-o por
esses coeficientes: !
Bom, vamos ver isso tudo na prática agora! Seguindo o
mesmo padrão dos exercícios de mudanças de variáveis:
você deve reconhecer a região de integração, fazer a
mudança para as coordenadas esféricas, escrever essa região
nessas coordenadas (encontrando os intervalos de , e ) e
então reescrever a integral (sem se esquecer do Jacobiano!).
Depois, é só integrar!
4 � S�/!*�X��+/�J 5 � S�/!*�X�/!*�J
6 � S DPTX
� � � �	S�/!*�X��+/�J
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	S�/!*�X�/!*�J
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	S DPTX
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