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Prof. (digite seu nome aqui) Geometria Analítica Seção 5 – Retas Objetivos: O aluno deverá conhecer as principais formas de equação de reta (vetorial, paramétrica, simétrica) e de plano (vetorial, paramétrica, geral). Introdução O método adotado na Geometria Analítica, atribuído a René Descartes (1596 – 1650), consiste em associar a cada conjunto de pontos de R³ uma equação ou sistema de equações que o tenha por conjunto-solução. A finalidade é trabalhar com tais equações e tirar conclusões a respeito do conjunto. Introdução Por exemplo, equações de uma reta r devem ter por soluções exatamente os pontos de r; trabalhando com elas, devemos ser capazes de obter pontos da reta, verificar se ela é paralela a uma reta conhecida, se está contida em um plano, descobrir quais pontos de r têm uma dada propriedade, enfim, de resolver problemas geométricos que envolvam a reta r. (continuação) Equações de Reta Qualquer vetor não nulo paralelo ou colinear a uma reta chama-se vetor diretor dessa reta. Considere uma reta r que passa por um ponto e tem direção de um vetor não nulo . Um ponto pertence a reta r se o vetor é paralelo ao vetor , ou seja ou Equações de Reta Qualquer vetor não nulo paralelo a uma reta chama-se vetor diretor dessa reta. (continuação) Equação vetorial da reta Forma vetorial (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c) para qualquer t pertencente a . Esta equação chama-se equação vetorial da reta r, ou equação da reta r na forma vetorial. Equação paramétrica da reta Da equação vetorial vem que O sistema de equações acima é chamado sistema de equações paramétricas da reta r, ou sistema de equações da reta r na forma paramétrica. Equação paramétrica da reta Lembrete Como a equação da reta na forma paramétrica é mera transcrição da equação vetorial em coordenadas, a observação citada acima se aplica também às equações paramétricas. Observe que já sabemos como associar a qualquer reta r um sistema de equações cujo conjunto de soluções se identifica com o conjunto dos pontos de r. Cabe notar que essa é uma via de mão dupla, isto é, fixado um sistema de coordenadas, qualquer sistema de equações de equações da forma acima descreve uma reta de R3, desde que a, b, c não sejam todos nulos: trata-se da reta que contém o ponto A e tem o vetor como vetor diretor. (continuação) Isolando o parâmetro t das equações paramétricas, temos: O sistema de equações acima é chamado sistema de equações da reta r na forma simétrica. Equação simétrica da reta Desenvolvendo as igualdades das equações simétricas e fazendo as trocas de variáveis indicadas abaixo, temos: Equação reduzida da reta O sistema de equações acima é chamado sistema de equações da reta r na forma reduzida. Escreva as equações da reta r (vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida) que contém o ponto P(3, 0, -5) e tem direção do vetor . Vetorial: Paramétrica: Simétrica: Reduzida: Exemplo
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