Geometria Analítica - Retas

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Geometria Analítica
Seção 5 – Retas
Objetivos:
O aluno deverá conhecer as principais formas de equação de reta (vetorial, paramétrica, simétrica) e de plano (vetorial, paramétrica, geral).
Introdução
O método adotado na Geometria Analítica, atribuído a René Descartes (1596 – 1650), consiste em associar a cada conjunto de pontos de R³ uma equação ou sistema de equações que o tenha por conjunto-solução. 
A finalidade é trabalhar com tais equações e tirar conclusões a respeito do conjunto. 
Introdução
Por exemplo, equações de uma reta r devem ter por soluções exatamente os pontos de r; trabalhando com elas, devemos ser capazes de obter pontos da reta, verificar se ela é paralela a uma reta conhecida, se está contida em um plano, descobrir quais pontos de r têm uma dada propriedade, enfim, de resolver problemas geométricos que envolvam a reta r. 
(continuação)
Equações de Reta
Qualquer vetor não nulo paralelo ou colinear a uma reta chama-se vetor diretor dessa reta.
Considere uma reta r que passa por um ponto e tem direção de um vetor não nulo . 
Um ponto pertence a reta r se o vetor é paralelo ao vetor , 
ou seja
 ou
Equações de Reta
Qualquer vetor não nulo paralelo a uma reta chama-se vetor diretor dessa reta.
(continuação)
Equação vetorial da reta
Forma vetorial
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c) para qualquer t pertencente a .
Esta equação chama-se equação vetorial da reta r, ou equação da reta r na forma vetorial.
Equação paramétrica da reta
Da equação vetorial vem que 
O sistema de equações acima é chamado sistema de equações paramétricas da reta r, ou sistema de equações da reta r na forma paramétrica.
Equação paramétrica da reta
Lembrete
Como a equação da reta na forma paramétrica é mera transcrição da equação vetorial em coordenadas, a observação citada acima se aplica também às equações paramétricas.
Observe que já sabemos como associar a qualquer reta r um sistema de equações cujo conjunto de soluções se identifica com o conjunto dos pontos de r. 
Cabe notar que essa é uma via de mão dupla, isto é, fixado um sistema de coordenadas, qualquer sistema de equações de equações da forma acima descreve uma reta de R3, desde que a, b, c não sejam todos nulos: trata-se da reta que contém o ponto A e tem o vetor como vetor diretor.
(continuação)
Isolando o parâmetro t das equações paramétricas, temos:
O sistema de equações acima é chamado sistema de equações da reta r na forma simétrica.
Equação simétrica da reta
Desenvolvendo as igualdades das equações simétricas e fazendo as trocas de variáveis indicadas abaixo, temos:
Equação reduzida da reta
O sistema de equações acima é chamado sistema de equações da reta r na forma reduzida.
Escreva as equações da reta r (vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida) que contém o ponto P(3, 0, -5) e tem direção do vetor
 .
Vetorial: 
Paramétrica: 
Simétrica: 
Reduzida: 
Exemplo