[ 3 ] Leis de Kirchoff, circuitos paralelo e serie, divisores de tensao e corrente

Prévia do material em texto

Elementos de um Circuito Elétrico 
As Leis de Kirchhoff envolvem conceitos básicos para a resolução e análise de circuitos elétricos, tanto em corrente 
contínua como em alternada. Antes, porém, de apresentá-las, vejamos os elementos que formam um circuito elétrico. 
Ramo 
Qualquer parte de um circuito elétrico composta por um ou 
mais dispositivos ligados fm série é denominada ramo. 
Malha 
Qualquer parte de um circuito elétrico cujos ramos formam 
um caminho fechado para a corrente é denominada malha. 
R4~,--------,,, H6 
,' Rs E:! ', 
' , 
E2 T ',,RÀMÓ __ , R1 
Nó 
Qualquer ponto de um circuito elétrico no qual há a 
conexão de três ou mais ramos é denominado nó. 
R, :-~;;1 
: Interna: , ______ ., 1 
1 
1 
1 
___________________ , 
Malha Externa 
6.2 Leis de Kirchhoff 
Um circuito admite um único sentido de corrente com um único valor para cada ramo. Uma vez conhecidos os sentidos 
e as intensidades das correntes em todos os ramos de um circuito, todas as tensões podem também ser determinadas. 
A compreensão e a análise de um circuito dependem das duas leis básicas da eletricidade apresentadas em seguida. 
Lei de Kirchhoff para Correntes - Lei dos Nós 
Definindo arbitrariamente as correntes que chegam ao nó 
como positivas e as que saem do nó como negativas, a Lei 
de Kirchhoffpara Correntes pode ser enunciada como 
segue: 
"A soma algébrica das correntes em um nó é igual a zero". 
Ou 
"A soma das correntes que chegam a um nó é igual à soma 
das correntes que saem desse nó". 
Leis de Kirchhoff e Associação de Resistores 
-12 
---.I.~~-
+ h + 12-b-14 = 0 
ou 
h+I2=b+l4 
43 
WASF
Realce
WASF
Realce
WASF
Realce
WASF
Realce
WASF
Realce
WASF
Realce
WASF
Realce
WASF
Realce
WASF
Realce
WASF
Realce
Lei de Kirchhoff para Tensões - Lei das Malhas 
Adotando um sentido arbitrário de corrente para a análise de 
uma malha, e considerando as tensões que elevam o potencial 
do circuito como positivas (geradores) e as tensões que 
causam queda de potencial como negativas (receptores 
passivos e ativos), a Lei de Kirchhoff para Tensões pode ser 
enunciada como segue: 
"A soma algébrica das tensões em uma malha é zero". 
Ou 
"A soma das tensões que elevam o potencial do circuito é 
igual à soma das tensões que causam a queda de potencial". 
Ez 
v,(!fü A=, 
E1 ( R1 
~ 
V3 
+Ez + 8 -Vz -V3 -Ei -V1 = O 
ou 
Ez + 8 = Vz + V3 + E1 + V1 
6.3 Associação de Resistores 
Num circuito elétrico, os resistores podem estar ligados em série e/ou paralelo, em função das características dos 
dispositivos envolvidos no circuito, da necessidade de dividir uma tensão ou uma corrente, ou de obter uma resistência 
com valor diferente dos valores encontrados comercialmente. 
Rede Resistiva 
Uma rede resistiva é um circuito formado por diversas 
resistências ligadas em série e/ou em paralelo, alimentadas 
por uma única fonte de alimentação E. 
As principais características de uma rede resistiva são: 
a) a resistência equivalente Req vista pela fonte de 
alimentação; 
b) a corrente total I fornecida pela fonte de alimentação. 
Rede Resistiva 
Isso significa que se todos os resistores dessa rede forem substituídos por uma única resistência de valor Req, 
a fonte de alimentação E fornecerá a mesma corrente / ao circuito, conforme mostra a figura abaixo. 
44 Circuitos Elétricos - Corrente Contínua e Corrente Alternada 
WASF
Realce
WASF
Realce
WASF
Realce
WASF
Realce
WASF
Realce
WASF
Realce
WASF
Realce
WASF
Realce
WASF
Realce
Associação Série de Resistores 
Na associação série, os resistores estão ligados de forma 
que a corrente / que passa por eles seja a mesma, e a 
tensão total E aplicada aos resistores se subdivida entre 
eles proporcionalmente aos seus valores. 
Pela Lei de Kirchhoff para Tensões, a soma das tensões 
nos resistores é igual à tensão total aplicada E: 
E = V1 + V2 + ... + Vn 
Em que: Vi= R1. I Vz = Rz. l Vn = Rn. [ 
Substituindo as tensões nos resistores pela Primeira Lei de Ohm ( V;= Ri./), tem-se: 
E= R1.l +R2.l + ... +Rn.l =>E=[.( RI +Rz + ... +Rn) 
Dividindo a tensão E pela corrente /, chega-se a: 
E 
- = R1 + Rz + ... + Rn 
I 
O resultado E/ I corresponde à resistência equivalente Req da associação série, isto é, a resistência que a fonte de 
alimentação entende como sendo a sua carga. 
Matematicamente: 
RI +Rz + ... +R 
Se os n resistores da associação série forem iguais a R, a resistência equivalente pode ser calculada por: 
IIReq = n.R, 
Nesse circuito, a potência total PE fornecida pela fonte ao circuito é igual à soma das potências dissipadas pelos 
resistores ( P 1 + P2 + ... + Pn ). 
Portanto, a potência total PE = E. I fornecida pela fonte é igual à potência dissipada pela resistência equivalente 
Peq = Req. 12. 
Matematicamente: PE =PI+ Pz + ... + Pn = Peq 
Leis de Kirchhoff e Associação de Resistores 45 
WASF
Realce
WASF
Realce
WASF
Realce
Associação Paralela de Resistores 
Na associação paralela, os resistores estão ligados de forma que a tensão total E aplicada ao circuito seja a mesma em 
todos os rcsistores, e a corrente / total do circuito se subdivida entre eles de forma inversamente proporcional aos seus 
valores. 
E 
Pela Lei de Kirchhoff para Correntes, a soma das correntes nos resistores é igual à corrente total / fornecida pela fonte: 
l=/1+12+ ... +ln 
Em que: 
E 
/1 =­
Ri 
E 
h=­
R2 
E 
fn=­
Rn 
Substituindo as correntes nos resistores pela Primeira Lei de Ohm (/;=E IR;), tem-se: 
I =..§._+!!..._+ ... +!!..._ ~ I = E.(_!_+_!_+ ... +_!_) 
R1 R2 Rn R1 R2 Rn 
Dividindo a corrente / pela tensão E, chega-se a: 
I 1 1 I 
-=-+-+ ... +­
E R1 R2 Rn 
O resultado / I E corresponde à condutância equivalente Geq da associação paralela. Invertendo esse valor, obtém-se, 
portanto, a resistência equivalente Req que a fonte de alimentação entende como sendo a sua carga. 
Matematicamente: 
I 
Se os n resistores da associação paralela forem iguais a R, a resistência equivalente pode ser calculada por: 
R 
n 
No caso específico de dois resistores ligados em paralelo, a resistência equivalente pode ser calculada por uma equação 
mais simples: 
1 I 1 R2 + R1 
-=-+-= ~ 
Req R1 R2 R1 .R2 
Obs.: Num texto, podemos representar dois resistores em paralelo por: R1 li R2. 
Finalmente, a relação entre as potências envolvidas é: PE = P1 + P2 + ... + Pn = Peq. 
46 Circuitos Elétricos - Corrente Contínua e Corrente Alternada 
WASF
Realce
Exercícios Propostos 
Elementos de um Circuito Elétrico 
6.1) No circuito elétrico ao lado, identifique os seus nós, 
ramos e malhas. I:~& 
Et 
Lei de Kirchhoff 
6.2) No circuito ao lado, são conhecidos os valores de /J, 
12 e /4, Determine /J, /5 e /6 por meio da Lei de 
Kirchhoff para Correntes. R1 
6.3) No circuito ao lado, são conhecidos os valores de E1, 
Ez, VJ e V4. Determine Vi e V2 por meio da Lei de 
Kirchhoff para Tensões. 
E1 
V1=? ( R1 
h g 
h=2A -
Ez 
Ei=lOV 
V2=? ( R2 
6A) No circuito ao lado, são conhecidos os valores de E1, 
EJ, V1, V2 e V4. Determine E2 e VJ para que a Lei 
de Kirchhoff para Tensões seja válida. l 
Ei=15V Ez=? 
Obs.: As polaridades de V1, V2 e V4 não são conhecidas. 
Leis de Kirchhoff e Associação de Resistores 
Ri 
V1=17V 
R2 
V2=8V 
d e 
Rz 
R6 
R1 
16=? -
R4 
R, -14=3A 
b=? -
Rs 
V3=5V 
~ 
R, 
Ez=20V 
-'1ri 
R, 
49 
6.5) Considere o circuito ao lado. Nele foram inseridos voltímetros e amperímetros digitais ideais, com as polaridades 
indicadas em seus terminais. Os instrumentos estão marcando valores positivos ou negativos, dependendo de as 
ligações no circuito estarem corretas ou não. Descubra que valores devem estar marcando os voltímetros V1, V2 
e V3 e o amperímetro A1. 
6.6) 
9.00V 
Um estudante calculou a corrente e as tensões nos 
resistores de um circuito, conforme mostrado ao lado. 
Porém, ao analisar os resultados, você, obviamente, 
observou dois erros gritantes. Identifique esses erros. 
Associação de Resistores 
6.7) Considerando o circuito ao lado, formado por quatro 
resistoresligados em série, determine: 
a) a resistência equivalente do circuito série; 
b) a corrente 1 fornecida pela fonte E ao circuito; 
e) A queda de tensão provocada por cada resistor. 
6.8) Considere o exercício 6.7. 
.--4v 
R4 ,, ..... 
:.:.:51v 
R1=lkn 
R2=2k2n 
E=24V 
R4=lk5n 
a) Verifique pela Lei de Kirchhoff para Tensões se os resultados do item (c) estão corretos. 
b) Mostre que PE = P1 + P2 + P3 + P4 = Peq. 
6.9) Considerando o circuito ao lado, formado por três 
resistores ligados em paralelo,· determine: 
50 
a) a resistência equivalente do circuito paralelo; 
b) a corrente I fornecida pela fonte E ao circuito; 
e) a corrente que passa por cada resistor. 
E=12V -- R1 
-"" 3k3n 
R2 
lkn 
. 
Ri 
4k7n 
Circuitos Elétricos • Corrente Contínua e Corrente Alternada 
6.10) Considere o exercício 6.9. 
a) Verifique pela Lei de Kirchhoff para Correntes se os resultados do item (c) estão corretos. 
b) Mostre que Pe = P1 + P2 + PJ = Peq. 
6.11) Considerando o circuito ao lado, formado por diversos resistores ligados em série e em paralelo, resolva os itens 
seguintes: 
Rs 
2200 5600 2k2o . . 
Rt R:i . R6 
2k2o lkn lkn . 
a) determine RA = R6II R1 e desenhe o circuito correspondente; 
b) determine Rs = R4 + Rs + RA e desenhe o circuito correspondente; 
e) determine Rc = RJII Rs e desenhe o circuito correspondente; 
d) determine RD = R2 + Rc e desenhe o circuito correspondente; 
e) determine Req = R1 li RD e desenhe o circuito correspondente. 
. 
R1 
4k7n 
6.12) Determine a resistência equivalente entre os terminais A e B do circuito abaixo: 
150 
150 
100 
6.13) Considere o circuito ao lado e determine: 
a) a resistência equivalente entre os terminais A e B; 
b) a resistência equivalente entre os terminais C e D. 
::22:: 
6.14) Considere o circuito ao lado e determine: 
a) a tensão E da fonte; 
b) a resistência equivalente; 
e) o valor aproximado de R4. 
Leis de Kirchhoff e Associação de Resistores 
1000 soo 
Dados: 
I=20mA 
R1 = 220 .Q 
R2 = 470 .Q 
RJ = 120.Q 
V4= 7,6V 
51 
6.15) Determine a tensão, a corrente e a potência em cada resistor da 
rede resistiva ao lado. 
Dados: E=20V 
RI= 500!2 
R2 = 8k2!2 
R3 = 10k!2 
6.16) Determine a tensão e a corrente no resistor R4 do circuito ao 
lado. 
Dados: E=22V 
Ri= lk!2 
R2 = 2k2!2 
R3 = R4 = 2k4!2 
6.17) No circuito ao lado, determine a potência dissipada pelo 
resistor Rs, sabendo que 12 = 120mA. 
Dados: E=42V 
R1 = R3 = R4 = Rs = 100!2 
R2= 150!2 
Ri 
E 
R1 
E 
R2 
52 Circuitos Elétricos - Corrente Contínua e Corrente Alternada 
7.1 Divisor de Tensão 
Na associação série de resistores, vimos que a tensão da fonte de alimentação se 
subdivide entre os resistores, formando um divisor de tensão. 
Podemos deduzir uma equação ger~l para calcular a tensão V; num determinado 
resistor R; da associação em função da tensão E aplicada. 
A tensão V; no resistor R; é dada por: Vi= RU (1) 
E 
Mas a corrente / que passa pelos resistores em série vale: / = - (II) 
Req 
E 
Substituindo ~,equação (II) na equação (1), obtém-se a equação geral do divisor de tensão: 
No caso de um divisor de tensão formado por dois resistores, as equações de V1 e V2 são: 
E e 
Divisores de Tensão e de Corrente - Ponte de Wheatstone 
-
Ri ) V1 
R2 ) V2 
Rn ) Vn 
53 
7.2 Divisor de Corrente 
Na associação paralela de resistores, vimos que a corrente fornecida pela fonte de alimentação se subdivide entre os 
resistores, formando um divisor de corrente. 
Podemos deduzir uma equação geral para calcular a corrente /; num 
determinado resistor R; da associação em função da corrente total /. 
Como os resistores estão em paralelo, temos: 
E [; =-
Ri 
(1) 
Mas a tensão E aplicada à associação paralela vale: E = Req.l (li) 
1 -
5._ . - • R1 
' 
Substituindo a equação (II) na equação (1), obtém-se a equação geral do divisor de corrente: 
1 -
Rn 
No caso de um divisor de corrente formado por dois resistores, podem-se 
deduzir facilmente as equações de 11 e 12, que ficam como segue: 
E 
Rt R2 
/1 = .[ 
, RI +R2 e 
54 Circuitos Elétricos - Corrente Contínua e Corrente Alternada 
Exercícios Propostos 
Divisor de Tensão 
7.1) No divisor de tensão ao lado, determine a tensão Vz 
no resistor de saída R2. 
7.2) Um enfeite de Natal é formado por 50 lâmpadas 
coloridas em série, conforme mostra a figura ao 
lado. Cada lâmpada está especificada para 
l,5Vl6mW. 
Determine o valor do resistor Rs para que o enfeite 
possa ser alimentado pela rede elétrica de l JOV. 
7.3) Um rádio AM/FM portátil funciona, em condições 
normais de operação, com as seguintes 
especificações: 3Vl450m W. 
Qual deve ser o valor do resistor R2 para que esse 
rádio opere a partir de uma fonte de 12V, conforme 
a montagem ao lado? 
Obs.: O divisor de tensão é formado por R1 e R2 li Rrádio. 
7.4) Determine Ri e R2 para que as cargas C1 e C2 
possam ser alimentadas pela mesma bateria, 
conforme a posição das chaves S1 e S2, acopladas 
mecanicamente. 
Dados: E= 9V 
RJ = lk2 !l 
C1 = 6 Vl20mA 
Cz = 4,5 V l50mA 
Divisor de Co"ente 
7.S) Considerando o divisor de corrente ao lado, 
determine /1 e 12 a partir da sua equação geral. 
7.6) Considerando o divisor de corrente ao lado, 
determine II, 12, l3 e 14 a partir da sua equação 
geral. 
56 
l 
E 
~L ,~( f 
1=24mA -
u~ 
Rádio 
3V/450mW 
R1 
4km 
Rz 
5600 
Ri=60o Rz=4on 1u=200 1«=100 
Circuitos Elétricos - Corrente Contínua e Corrente Alternada