1 5 - Regra de Três Composta - conteúdo

Prévia do material em texto

Profª. Cristhiane Ferreira
Regra de Três Composta
Regra de Três Composta
Regra de três composta é um processo matemático utilizado na resolução
de questões que envolvem a proporcionalidade direta ou inversa com mais de
duas grandezas.
Para resolver uma questão com regra de três composta, você precisa
basicamente seguir esses passos:
• Verificar quais são as grandezas envolvidas;
• Determinar qual o tipo de relação entre elas (direta ou inversa);
• Efetuar os cálculos utilizando os dados disponibilizados.
Profª. Cristhiane Ferreira
Regra de Três Composta
Exemplo 1
Se para alimentar uma família com 9 pessoas por 25 dias são necessários 5 kg de arroz,
quantos kg de arroz seriam necessários para alimentar 15 pessoas durante 45 dias?
1º passo: agrupar os valores e organizar os dados do enunciado.
2º passo: interpretar se a proporção entre as grandezas é direta ou inversa.
Analisando os dados da questão, vemos que:
• O par pessoas e quantidade de arroz são grandezas diretamente proporcionais: quanto
mais pessoas, maior será a quantidade de arroz necessária para alimentá-los.
• O par dias e quantidade de arroz são grandezas diretamente proporcionais: quanto
mais dias passarem, mais arroz será necessário para alimentar as pessoas.
3º passo: igualar a grandeza arroz ao produto das grandezas pessoas e dias.
Como todas as grandezas são diretamente proporcionais, então a multiplicação de suas
razões correspondem à razão da grandeza que se tem a incógnita x.
Pessoas Dias Quantidade de arroz (kg)
9 25 5
15 45 x
Profª. Cristhiane Ferreira
Regra de Três Composta
Resolução
5
𝑥
=
9
15
.
25
45
5
𝑥
=
1
3
.
5
5
⟹
5
𝑥
=
1
3
1. 𝑥 = 3.5
𝑥 = 15
Logo, são necessários 15 kg de arroz para alimentar 15 pessoas por 45 dias 
Pessoas Dias Quantidade (kg)
9 25 5
15 45 x
1
5
5
3
Profª. Cristhiane Ferreira
Regra de Três Composta
Exemplo 2
Uma construtora foi contratada para realizar a reforma de todas as escolas do município de
Cocalzinho, em Goiás. As escolas são construídas com formado e tamanho padrão nessa
cidade, logo o muro externo possui a mesma medida. Sabendo que 4 pintores levariam 8
dias para pintar 6 escolas, quanto tempo 8 pintores levariam para pintar 18 escolas?
1º passo: agrupar os valores e organizar os dados do enunciado.
2º passo: interpretar se a proporção entre as grandezas é direta ou inversa.
Analisando os dados da questão, vemos que:
• O par pintores e dias são grandezas inversamente proporcionais: se aumentar a
quantidade de pintores, a quantidade de dias para fazer a reforma diminui.
• O par dias e escolas são grandezas diretamente proporcionais: se aumentar o número
de escolas para pintar, o número de dias também aumenta.
Pintores Dias Escolas
4 8 6
8 x 18
Profª. Cristhiane Ferreira
Regra de Três Composta
3º passo: igualar a grandeza dias ao produto das grandezas pintores e escolas.
Analisando as grandeza, vemos que dias é inversamente proporcional à
quantidade de pintores e diretamente proporcional à quantidade de escolas.
Para construir a equação, é necessário isolar a fração da incógnita e inverter a
fração da grandeza inversamente proporcional.
Agora vamos resolver a equação:
8
𝑥
=
𝟖
𝟒
.
6
18
⟹
8
𝑥
=
48
72
⟹ x =
8.72
48
⟹ 𝑥 =
576
48
⟹ 𝑥 = 12 𝑑𝑖𝑎𝑠
8
𝑥
=
𝟖
𝟒
.
6
18
⟹
8
𝑥
=
2.1
1.3
⟹
8
𝑥
=
2
3
⟹ 𝑥 =
8.3
2
⟹ 𝑥 =
24
2
⟹ 𝑥 = 12 𝑑𝑖𝑎𝑠
Pintores Dias Escolas
4 8 6
8 x 18
2
1
1
3
Profª. Cristhiane Ferreira
Regra de Três Composta
Exemplo 3
Em uma fábrica de peças para caminhão, para produzir uma determinada peça, sabemos
que 3 máquinas, trabalhando durante 5 dias, ligadas durante 4 horas, conseguem produzir
4.000 peças, que é a demanda mensal da fábrica. Durante o processo, uma das máquinas
estragou, o que fez com que a fábrica decidisse por aumentar a quantidade de dias de
produção para 6 dias, e o tempo de trabalho das máquinas para 8 horas. Qual será a
quantidade de peças produzidas nessa situação?
1º passo: agrupar os valores e organizar os dados do enunciado.
2º passo: interpretar se a proporção entre as grandezas é direta ou inversa.
Analisando os dados da questão, vemos que:
• se aumentar a quantidade de máquinas, consequentemente a produção de peças vai
aumentar;
Máquinas Dias Horas Peças
3 5 4 4000
2 6 8 x
Profª. Cristhiane Ferreira
Regra de Três Composta
• Se aumentar a quantidade de dias de trabalho das máquinas, consequentemente a
produção de peças vai aumentar;
• Se aumentar as horas de trabalho, também vai aumentar na quantidade de peças
produzidas,
Sendo assim, todas as grandezas são diretamente proporcionais à quantidade de peças
produzidas.
Agora vamos resolver a equação:
4000
𝑥
=
3
2
.
5
6
.
4
8
⟹
4000
𝑥
=
1
2
.
5
2
.
1
2
⟹
4000
𝑥
=
5
8
⟹ 𝑥 =
4000.8
5
⟹ 𝑥 = 6400 𝑝𝑒ç𝑎𝑠
4000
𝑥
=
3
2
.
5
6
.
4
8
⟹
4000
𝑥
=
60
96
⟹ 𝑥 =
96.4000
60
⟹ 𝑥 =
38400
60
⟹ 𝑥 = 6400 𝑝𝑒ç𝑎𝑠
Máquinas Dias Horas Peças
3 5 4 4000
2 6 8 x
2
1 1
2
800
1
Profª. Cristhiane Ferreira
Regra de Três Composta
Exemplo 4
24 operários fazem 2/5 de determinado serviço em 10 dias, trabalhando 7 horas por dia.
Em quantos dias a obra estará terminada, sabendo-se que foram dispensados 4 operários
e o regime de trabalho diminuído de uma hora por dia?
1º passo: agrupar os valores e organizar os dados do enunciado.
2º passo: interpretar se a proporção entre as grandezas é direta ou inversa.
Analisando os dados da questão, vemos que:
• se diminuir a quantidade de operários para fazer o serviço, vai aumentar a quantidade
de dias, o que indica grandezas inversamente proporcionais;
• se diminuir a quantidade de horas/dia para fazer o serviço, vai aumentar a quantidade
de dias, indicando grandezas inversamente proporcionais;
• Se diminuir a quantidade de serviço a ser realizado, vai diminuir a quantidade de dias
indicando grandezas diretamente proporcionais.
Operários Serviço Dias Horas/dia
24 2/5 10 7
20 3/5 x 6
Profª. Cristhiane Ferreira
Regra de Três
3º passo: igualar as grandezas horas/dia e operários ao produto das grandezas serviços
e dias.
Analisando as grandeza, vemos que dias é inversamente proporcional à quantidade de
operários e horas/dia, e diretamente proporcional à quantidade de serviço.
Para construir a equação, é necessário isolar a fração da incógnita e inverter a fração das
grandezas inversamente proporcionais.
10
𝑥
=
2
3
.
6
7
.
20
24
⟹ 𝑥 =
2
1
.
2
7
.
5
6
⟹
10
𝑥
=
20
42
⟹ 𝑥 =
10.42
20
⟹ 𝑥 =
42
2
⟹ 𝑥 = 21 𝑑𝑖𝑎𝑠
Operários Serviço Dias Horas/dia
24 2/5 10 7
20 3/5 x 6
2
5
3
5
=
2
5
.
5
3
=
2
3
1
2
5
6
Profª. Cristhiane Ferreira
Atividade - Regra de Três Composta
1 – (Enem 2013) Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900
m³. Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser
escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o
reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, com capacidade
de 500 m³, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o
reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos
aos do já existente. Qual a quantidade de ralos do novo reservatório?
2 - (Enem 2015 – segunda aplicação) Uma confecção possuía 36 funcionários,
alcançando uma produtividade de 5 400 camisetas por dia, com uma jornada de trabalho
diária dos funcionários de 6 horas. Entretanto, com o lançamento da nova coleção e de
uma nova campanha de marketing, o número de encomendas cresceu de forma
acentuada, aumentando a demanda diária para 21 600 camisetas. Buscando atender
essa nova demanda, a empresa aumentou o quadro de funcionários para 96. Ainda
assim, a carga horária de trabalho necessita ser ajustada. Qual deve ser a nova jornada
de trabalho diária dos funcionários para que a empresa consiga atender a demanda?
Profª. Cristhiane Ferreira
Atividade - Regra de Três Composta
3 – (Vunesp)Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 horas por dia,
durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. Se um funcionário doente
foi afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou, qual o total de dias
que os funcionários restantes levarão para atender o mesmo número de pessoas,
trabalhando uma hora a mais por dia, no mesmo ritmo de trabalho?
4 - Numa gráfica existem 3 impressoras que trabalham 4 dias, 5 horas diárias, e
produzem 300 000 impressões. Se uma máquina precisar ser retirada para
manutenção e as duas máquinas restantes trabalharem por 5 dias, fazendo 6
horas diárias, quantas impressões serão produzidas?
Profª. Cristhiane Ferreira
Atividade - Regra de Três Composta
5 – (Unifor) A Universidade de Fortaleza possui quatro gráficas que atendem a todo
o seu corpo docente e discente desde as impressões simples às mais
aprimoradas. Suponhamos que uma das gráficas possua 8 copiadoras igualmente
produtivas, as quais, trabalhando 4 horas por dia, produzem em 5 dias 160.000
cópias. Quantos dias de trabalho serão necessários para que 7 dessas copiadoras,
trabalhando 6 horas por dia, produzam 210.000 cópias?
6 – (UFPE) Dez guindastes carregam 180 caixas em um navio em 12 dias com 5
horas de trabalho diárias. Quantas caixas serão carregadas em 15 dias, por 12
guindastes, trabalhando 4 horas por dia?