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EELLEETTRROOMMAAGGNNEETTIISSMMOO:: CCaappííttuulloo II –– AAnnáálliissee VVeettoorriiaall 1 
Exercícios Adicionais do Capítulo I (Professor) 
 
01) Transforme o campo vetorial yaxA
�
�
= para: (a) coordenadas cilíndricas e determine-o no 
ponto P(3, -4, -5); (b) coordenadas esféricas e determine-o no ponto P. 
Resp.: (a) )acosasen(cosA φρ φ+φφρ=
��
�
, φρ +−= a)5/9(a)5/12(AP
��
�
; 
(b) ]acosa)cosasen(sen[cosrsenA r φθ φ+θ+θφφθ=
�
�
, φθ ++
−
= a
5
9
a
5
26
a
5
26A rP
�
�
. 
 
02) Dado os três pontos A(2,-3,1), B(-4,-2,6) e C(1, 5,-3), determine: (a) o vetor que se estende de 
A a C; (b) o vetor unitário dirigido de B até A; (c) a distância entre B e C; (d) o vetor que se 
estende de A até o ponto médio do segmento que une B a C. 
Resp.: (a) x y za 8a 4a− + −
� � �
; (b) x y z0,762a 0,127a 0,635a− −
� � �
 (c) 12,45; 
 (d) zyx a5,0a5,4a5,3
���
++− . 
 
03) Dados os vetores zyx a4a2a6A
���
�
−+−= e zyx a2a3a4B
���
�
−+= , ache: (a) o módulo de 
B2A
��
+ ; (b) um vetor unitário na direção de B2A �
�
+ ; (c) um vetor C
�
 tal que 0CBA =++
���
. 
Resp.: (a) 11,49; (b) zyx a696,0a696,0a1741,0
���
−+ ; (c) zyx a6a5a2C
���
�
+−= . 
 
04) Um campo vetorial é definido por z2yx2 a)z2xy4(a)z2x7(ayx4W
���
�
+++−= . Pede-se: 
 (a) A intensidade (ou módulo) do campo no ponto P(2,-3,4); 
 (b) Um vetor unitário que indique a direção do campo no ponto P; 
 (c) Em que ponto (ou pontos) do eixo z a intensidade do campo é unitária. 
Resp.: (a) 53,4; (b) zyx a150,0a412,0a899,0
���
+− ; (c) z ( 1 2) / 2= ± − + 
 
05) Dados os vetores zyx a4a5a2F
���
�
−−= e zyx a2a5a3G
���
�
++= , determine: (a) GF
��
• ; (b) o 
ângulo entre F
�
 e G
�
; (c) a componente escalar de F� na direção de G
�
; (d) a projeção vetorial 
de F
�
 na direção de G
�
. 
Resp.: (a) 0,27− ; (b) 130,8º; (c) 4,38; (d) zyx a42,1a55,3a13,2
���
−−− . 
 
06) Se zyx a25a70a45F
���
�
++−= e zyx a2a3a4G
���
�
+−= , determine: (a) GF
��
× ; (b) 
)Fa(a yx
�
��
×× ; (c) F)aa( yx
�
��
×× ; (d) um vetor unitário perpendicular a F� e a G
�
. 
Resp.: (a) zyx a145a190a215
���
−+ ; (b) ya45
�
− ; (c) yx a45a70
��
−− ; 
 (d) )a451,0a591,0a669,0( zyx
���
−+± . 
 
07) Dados os pontos P(ρ = 6, φ = 125º, z = -3) e Q(x = 3, y = -1, z = 4), determine a distância: 
(a) de P até a origem; (b) de Q até o pé da perpendicular que passa por este ponto, em relação 
ao eixo z; (c) entre P e Q. 
Resp.: (a) 6,71; (b) 3,16; (c) 11,20. 
 
08) (a) Expresse o campo de temperaturas xy2z 240 T 2 −+= em coordenadas cilíndricas. 
(b) Determine o valor da densidade )cos2(eJ 23z 2 φρ+= − no ponto P(-2. -5, 1). 
EELLEETTRROOMMAAGGNNEETTIISSMMOO:: CCaappííttuulloo II –– AAnnáálliissee VVeettoorriiaall 2 
Resp.: (a) φρ−+= 2senz 240 T 22 ; (b) 66,8JP = 
09) (a) Expresse o campo vetorial ya)yx(W
�
�
−= em coordenadas cilíndricas. 
(b) Expresse o campo vetorial ρφρ= acosF
�
�
 em coordenadas cartesianas. 
Resp.: (a) )acosasen()sen(cosW φρ φ+φφ−φρ=
��
�
; (b) )ayax()yx/x(F yx22
��
�
++= 
 
10) Dados os pontos P(r = 6, θ = 110º, φ = 125º) e Q(x = 3, y = -1, z = 4), determine a distância: 
(a) de Q até a origem; (b) de P até o plano y = 0; (c) entre P e Q. 
Resp.: (a) 5,10; (b) 4,62; (c) 10,35 
 
11) (a) Expresse o campo de temperaturas xy2z 240 T 2 −+= em coordenadas esféricas. 
(b) Determine o valor da densidade )cossencos5(reJ 2/r φθ+θ+= − no ponto P(-2. -5, 1). 
Resp.: (a) )sen2sen(cosr 240 T 222 θφ−θ+= ; (b) 706,1JP = 
 
12) (a) Expresse o campo vetorial ya)yx(W
�
�
−= em coordenadas esféricas. 
(b) Expresse o campo vetorial racosrF
�
� φ= em coordenadas cartesianas. 
Resp.: (a) φθ φ+θ+θφφ−φθ= acos)acosasen(sen)[sen(cosrsenW r
���
�
; 
 (b) )azayax()yx/x(F zyx22
���
�
+++= . 
 
13) Os vetores zyx a2a5a4A
���
�
−+= e zyx a3a8a2B
���
�
++= possuem origens coincidentes com o 
sistema de coordenadas cartesianas. Determinar: (a) a distância entre suas extremidades; (b) 
um vetor unitário na direção de A
�
; (c) um vetor C
�
 que seja paralelo ao vetor A� e que possua 
módulo igual ao do vetor B
�
. 
Resp.: (a) 6,16; (b) zyx a298,0a745,0a596,0a
����
−+= ; (c) zyx a62,2a54,6a23,5C
���
�
−+= . 
 
14) Um campo de velocidade em um gás é dado por )2zyx/()azayax(5v 222zyx +++++=
����
. 
Para o ponto )1,3,2(P − , determine: (a) o módulo da velocidade; (b) um vetor unitário 
especificando sua direção; (c) a equação do lugar geométrico dos pontos do espaço para os 
quais a velocidade tem módulo unitário. 
Resp.: (a) 1,169; (b) zyx a267,0a802,0a535,0
���
++− ; (c) esferas: x2 + y2 + z2 = 0,192 e 20,8. 
 
15) Sendo zyx a)z2x4(a)zy4(a)yx2(G
���
−+++−= , determine: (a) um vetor unitário que 
represente a direção de G
�
 no ponto )1,1,1(P ; (b) o lugar geométrico dos pontos para os 
quais a direção de G
�
 é a mesma do vetor zyx aaa
���
++ . 
Resp.: (a) zyx a365,0a913,0a182,0
���
++ ; (b) ao longo da reta 11/x12z,11/x2y == . 
 
16) Dados zy2x2 a)zyx(3ayz4ax2F
���
�
−++−= e )zyx/()axazay(G 222zyx ++++=
���
�
, 
determinar: (a) )3,1,2(F −
�
; (b) Fa
�
 em )2,2,1( −− ; (c) GF
��
• no ponto )4,2,2( − ; (d) o ângulo 
entre F
�
 e G
�
 no ponto )4,2,2( − . 
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Resp.: (a) 37,4; (b) zyx a270,0a961,0a0601,0
���
+− ; (c) 19,67; (d) 41,6º. 
 
17) Sejam os vetores zyxx a4a7aA
���
+− e zyx a3a4a5
���
−+ . (a) Qual deve ser o ângulo entre 
eles se 10Ax = ? (b) Qual deve ser o valor de xA se ângulo entre os vetores for de 90º? E 
qual o valor de xA se este ângulo for agora de 62,1º? 
Resp.: (a) 83,7º; (b) 8; (c) 26,0. 
 
18) Dados zyx a5a4a3A
���
�
+−= e zyx a3a2aB
���
�
−+−= , determine: (a) BA �
�
× ; (b) )BA(A �
��
ו ; 
(c) )BA(A �
��
×× ; (d) o ângulo entre A
�
 e B
�
. 
Resp.: (a) zyx a2a4a2
���
++ ; (b) 0; (c) zyx a20a4a28
���
++− ; (d) 169,3º. 
 
19) Os três pontos A(-1, 6, 2), B(2, 4,-3) e C(4, 1,-5) definem um triângulo e um plano. Sabendo-
se que um triângulo é a metade de um paralelogramo, pede-se determinar: (a) a área do 
triângulo; (b) um vetor unitário normal ao plano. 
Resp.: (a) 6,36; (b) )a393,0a314,0a864,0( zyx
���
++± . 
 
20) No ponto C(2, 30º, 5) um vetor A
�
 é expresso em coordenadas cilíndricas, como sendo: 
za10a30a20A
���
�
+−= φρ . Determinar: (a) A
�
 no ponto C; (b) a distância da origem ao ponto 
C; (c) o ângulo entre A
�
 e a superfície 2=ρ no ponto C. 
Resp.: (a) 37,4; (b) 5,39; (c) 57,7º. 
 
21) Um campo de força é representado no ponto P(8, 120º, 5) por za20a12a25F
���
�
−+= φρ . 
Determine a componente vertical de F
�
 que é: (a) perpendicular ao cilindro ρ = 8; (b) tangente 
ao cilindro ρ = 8; (c) tangente ao plano φ = 120º. (d) Determinar um vetor unitário que seja 
perpendicular a F
�
 e tangente ao cilindro ρ = 8. 
Resp.: (a) ρa25
�
; (b) za20a12
��
−φ ; (c) za20a25
��
−ρ ; (d) )a514,0a857,0( z
��
+± φ 
 
22) Um campo elétrico é dado por za4a)/50(E
��
�
−ρ= ρ . Determinar: (a) o vetor unitário Ea
�
 em 
coordenadas cartesianas no ponto P(10, 20º, 2); (b) a equação do lugar geométrico dos pontos 
para os quais 10E =
�
. 
Resp.: (a) zyx a6250,0a267,0a734,0
���
−+ ; (b) cilindro ρ = 5,46. 
 
23) Sejam os pontos P(8, 2, 1) e Q(-2, 7, 4) expressos em coordenadas cartesianas. Determine: (a) 
as coordenadas cilíndricas de cada ponto; (b) a expressãode um vetor, em coordenadas 
cilíndricas, sabendo que tal vetor une o ponto P ao ponto Q; (c) idem para um vetor no ponto 
Q, sabendo que tal vetor une o ponto Q ao ponto P. (Note que o último resultado não é 
simétrico do resultado anterior porque ρa
�
 e φa
�
 têm direções diferentes nos dois pontos.) 
Resp.: (a) P(8,25; 14,04º; 1), Q(7,28; 105,9º; 4) ; (b) za30a28,7a49,8
���
++− φρ ; 
 (c) z7,55a 8, 24a 3aρ φ− − −
� � �
. 
 
24) Dois vetores são definidos em um ponto P como sendo φθ +−= a5a3a10F r
���
�
 e 
φθ ++= a3a5a2G r
���
�
. Determine no ponto P: (a) GF
��
• ; (b) a componente escalar de G
�
 na 
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direção de F
�
; (c) a componente vetorial de G
�
 na direção de F
�
; (d) FG
��
× ; (e) um vetor 
unitário perpendicular a F
�
 e a G
�
. 
Resp.: (a) 20; (b) 1,728; (c) φθ +− a746,0a448,0a493,1 r
���
; 
 (d) φθ −+ a56a20a34 r
���
; (e) )a818,0a292,0a496,0( r φθ −+±
���
 
 
25) As superfícies que delimitam um volume são definidas por r = 5 e r = 12, θ = 20º e θ = 80º, 
φ = 0,1pi e φ = 0,4pi. Determine: (a) o comprimento de um segmento linear que una dois 
vértices opostos do volume; (b) as áreas determinadas pelas superfícies em questão; (c) o 
volume determinado pelas superfícies em questão. 
Resp.: (a) 10,51; (b) 18,05; 104,0; 19,18; 55,2; 62,3; 62,3; (c) 386. 
 
26) Dados os pontos P(4, 7, 3) e Q(-3, 6,-5), determine: (a) as coordenadas cilíndricas do ponto P; 
(b) as coordenadas esféricas do ponto P; (c) o vetor PQR
�
, em coordenadas cilíndricas, no 
ponto P. 
Resp.: (a) P(8,06; 60,3º; 3); (b) P(8,60; 69,6º; 60,3º); (c) za8a58,5a34,4
���
−+− φρ . 
 
27) Expresse o campo vetorial zy22 axza)yx(W
��
�
+−= em: (a) coordenadas cilíndricas no ponto 
P(ρ = 6, φ = 60º, z = -4); (b) em coordenadas esféricas no ponto Q(r = 4, θ = 30º, φ = 120º). 
Resp.: (a) za12a9a59,15
���
−−− φρ ; (b) φθ ++− aa232,0a87,3 r
���
. 
 
28) As superfícies que delimitam um volume são definidas por r = 0 e r = 1, θ = 0º e θ = 90º, 
φ = 60º e φ = 90º. Determine, por integração: (a) as áreas determinadas pelas superfícies em 
questão normais às direções dos vetores unitários ra
�
, θa
�
 e φa
�
; (b) o volume determinado 
pelas superfícies em questão. 
Resp.: (a) pi/6, pi/6, pi/4, pi/4; (b) pi/18. 
 
29) (a) Ache a distância entre os pontos P(ρ = 2, φ = pi/6, z = 0) e Q(ρ = 1, φ = pi, z = 2). 
(b) Ache a distância entre os pontos P(r = 1, θ = pi/4, φ = 0) e Q(r = 1, θ = 3pi/4, φ = pi) 
Resp.: (a) 3,53; (b) 2,0. 
 
30) .Um campo vetorial é definido no ponto B(r = 5, θ = 120º, φ = 75º) como sendo 
φθ +−−= a9a5a12G r
���
�
. Determine a componente vetorial de G
�
 que é: (a) normal a 
superfície r = 5; (b) tangente à superfície r = 5; (c) tangente ao cone θ = 120º; (d) Determine 
um vetor unitário a� perpendicular a G
�
 e tangente ao cone θ = 120º. 
Resp.: (a) ra12
�
− ; (b) φθ +− a9a5
��
; (c) φ+− a9a12 r
��
; (d) )a8,0a6,0(a r φ+±=
���
. 
 
31) Um campo vetorial é definido, em coordenadas esféricas, por 
θθ+θ= a]r/)sen[(a]r/)[(cosF r
��
�
. Determine: (a) a expressão deste campo em coordenadas 
esféricas no ponto )2z,1y,1x(P ==−= ; (b) a expressão deste campo em coordenadas 
cartesianas no ponto )2z,1y,1x(P ==−= . 
Resp.: (a) θ+= a)4/2(a)4/2(F r
�
; (b) yx a)4/2(a)4/2(F +−=
�
. 
 
EELLEETTRROOMMAAGGNNEETTIISSMMOO:: CCaappííttuulloo IIII –– Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico 1 
Exercícios Adicionais do Capítulo II (Professor) 
 
01) Uma carga pontual, mC 2Q1 = , está localizada, no vácuo, em 4) 7, 3,(P1 −− , enquanto que a 
carga mC 5Q2 −= se localiza em )1 4, (2,P2 − . Determine a força que age em: 
(a) 2Q ; (b) 1Q . 
Resp.: (a) zyx a956,0a0,956 a1,594
���
−+− [kN]; 
 (b) zyx a956,0a956,0a1,594
���
+− [kN] . 
 
02) Determine o vetor campo elétrico no ponto P(– 4, 6, – 5), situado no vácuo, devido a uma 
carga de 0,1 mC localizada: (a) na origem; (b) (2, – 1, – 3). 
Resp.: (a) zyx a65,6a7,98 a32,5
���
−+− [kV/m]; 
 (b) zyx a14,2a7,49 a42,6
���
−+− [kV/m] . 
 
03) Uma carga pontual, Q1 = 2µC localiza-se, no vácuo, em 4) , 7 , 3(P1 −− , enquanto que a carga 
Q2 = – 5 µC está em )1 4, (2,P2 − . Com relação ao ponto (12, 15, 18), determine: 
(a) E� ; (b) E
�
; (c) Ea
�
. 
Resp.: (a) zyx a4,42a28,5 a5,19
���
−−− [V/m]; (b) 54,7 [V/m]; 
 (c) zyx a776,0a0,521 a356,0
���
−−− . 
 
04) Calcule os seguintes somatórios: (a) 
5
3
n 0
n
n +1=
∑ ; (b) ∑
=
+
+
6
1m
1m
1mm
(-1)
. 
 Resp.: (a) 0,931; (b) 0,492. 
 
05) Encontre a carga total em cada um dos volumes especificados: 
 (a) ρv = 10ze–0,1xsenpiy; 6,3z 31,y0 , 2x1 ≤≤≤≤≤≤− ; 
 (b) 4xyzρV = ; 0 ρ 2 , 0 pi /2 , 0 z 3 ≤ ≤ ≤ φ ≤ ≤ ≤ ; 
 (c) 
2
V 2 2
3pi senθ cos
ρ
2r (r 1)
φ
=
+
, em todo espaço. 
 Resp.: (a) 36,1 [C]; (b) 36,0 [C]; (c) 36,5 [C]. 
 
06) Uma linha infinita, carregada com densidade linear nC/m 25ρL = , está situada, no vácuo, 
sobre a reta x = – 3, z = 4 . Determinar E
�
 em componentes cartesianas: 
 (a) na origem; (b) no ponto 3) 15, (2,P1 ; (c) no ponto )2z ,60º 4,(ρP2 === φ . 
 Resp.: (a) zx a9,71 a9,53
��
− [V/m]; (b) x z86,4a 17,3a−
� �
 [V/m]; (c) x z77,5a 31,0a−
� �
 [V/m]. 
 
07) Três superfícies planas infinitas e carregadas localizam-se, no vácuo, da seguinte maneira: 
2 µC/m² em x = –3, – 5 µC/m² em x = 1 e 4 µC/m² em x = 5. Determine o campo E
�
 nos 
pontos: (a) (0; 0; 0); (b) (2,5; –1,6; 4,7); (c) (8; –2; –5); (d) (–3,1; 0; 3,1). 
 Resp.: (a) xa69,41
�
 [kV/m]; (b) xa395
�
− [kV/m]; 
 (c) xa6,55
�
 [kV/m]; (d) xa6,55
�
− [kV/m]. 
 
08) Determine a equação da linha de força que passa pelo ponto (1, 2, 3) no campo: 
(a) yx axayE
��
�
+= ; (b) yx ay)(xay)(xE
��
�
−++= . 
 Resp.: (a) y² – x² = 3; (b) y² + 2xy – x² = 7. 
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09) Três cargas pontuais iguais a 20 pC localizam-se, no vácuo, sobre o eixo dos x em x = – 1, 
x = 0 e x = 1 . (a) Determine a força resultante que age sobre uma carga de 1 C situada em 
(1, 10, 2). (b) Substitua as três cargas por uma única carga igual a 60 pC localizada na origem, 
e determine a força na carga de 1 C. (c) Por que as respostas dos itens (a) e (b) são quase 
iguais? 
Resp.: (a) zyx a993,0a4,97 a,4870
���
++ [mN]; (b) zyx a002,1a5,01 a,5010
���
++ [mN]; 
 (c) porque a carga total e o centro de carga são os mesmos. 
 
10) Quatro cargas pontuais, iguais a 3 µC, localizam-se, no vácuo, nos quatro vértices de um 
quadrado de 5 cm de lado. Determine o módulo da força que age em cada carga. 
 Resp.: 61,9 [N]. 
 
11) Duas cargas pontuais iguais a 12 nC e – 5 nC localizam-se, no vácuo, nos pontos (6, 2, 1) e 
(2, 7, 4), respectivamente. 
 (a) Qual é o módulo da força que age em cada carga? 
(b) Determine E� no ponto (4, 4, 4). 
 Resp.: (a) 10,79 [nN]; (b) zyx a62,4a5,95 a4,99
���
++− [V/m]. 
 
12) Uma carga pontual de 1 nC localiza-se, na origem, no vácuo. Determine a equação da curva 
no plano x = 0, para a qual 1Ex = V/m. 
 Resp.: 80,8x2 = (x2 + y2)3 ou ρ = 2,998 φcos . 
 
13) Três cargas pontuais localizam-se, no vácuo, do seguinte modo: Q1 = – 6 µC em P1(1, 0, 0), 
Q2 = 10 µC em P2 (2, 0, 0) e Q3 = 4 µC em P3 (4, 0, 0). (a) Em qual das cargas age a força de 
maior módulo? (b) Qual é o valor deste módulo? 
 Resp.: (a) Q2; (b) 0,629 [N]. 
 
14) Quadro cargas pontuais localizam-se nos vértices de um quadrado conformeestá indicado na 
figura deste exercício. Determine a razão entre E
�
 no ponto P(0, a, 0) e E
�
 no ponto 
Q(0, 2a, 0) no caso de “a” valer: 
(a) 2; 
(b) 10; 
(c) ∞. 
 
 
Resp.: (a) 3,24; 
 (b) 3,82; 
 (c) 4. 
 
 
 
 
15) A densidade volumétrica de carga é definida no primeiro octante (x, y e z positivos) como 
sendo ρ = 10e– 2z (x2 + 2y2) C/m3, e ρ = 0 para todo o espaço restante. Determine a carga total 
na região: (a) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1; (b) 0 ≤ x + 2y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1. 
 Resp.: (a) 4,32 [C]; (b) 0,270 [C]. 
EELLEETTRROOMMAAGGNNEETTIISSMMOO:: CCaappííttuulloo IIII –– Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico 3 
16) A densidade volumétrica de carga é definida, em coordenadas cilíndricas, para a região 
0,005 ≤ ρ ≤ 0,02 , 0 ≤ φ ≤ pi/2 , 0 ≤ z ≤ 0,04, como sendo ρv = (ρ2 – 10– 4)z sen2φ C/m3, e 
ρv = 0 para todo o espaço restante. Determine: (a) ρv máximo; (b) a carga total em todo o 
espaço. 
 Resp.: (a) 12 [µC/m3]; (b) 16,88 [pC]. 
 
17) Seja um sistema de coordenadas esféricas e uma densidade volumétrica de carga variando 
linearmente com o raio, ρ = ρ0 r/a (ρ0 e a constantes). Determine a carga contida: 
(a) na esfera r ≤ a; (b) no cone r ≤ a , 0 ≤ θ ≤ 0,1pi; (c) na região r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ pi, 0 ≤ φ ≤ 0,2pi. 
 Resp.: (a) ρ0pia3; (b) 0,0245ρ0pia3; (c) 0,1 ρ0pia3. 
 
18) Uma distribuição linear e infinita de carga, ρL = 2 nC/m, está situada no vácuo ao longo do 
eixo x, enquanto que duas cargas pontuais iguais a 8 nC estão em (0, 0, 1) e (0, 0, – 1). 
(a) Determine E� em (2, 3, – 4). (b) Qual deveria ser o valor de ρL a fim de que E
�
 fosse nulo 
no ponto (0, 0, 3)? 
 Resp.: (a) zyx a38,9a7,33 a,012
���
−+ [V/m]; (b) –3,75 [nC/m]. 
 
19) O segmento reto semi-infinito, z ≥ 0, x = y = 0, está carregado com ρL = 15 nC/m, no vácuo. 
Determine E
�
 nos pontos: (a) PA(0, 0, –1); (b) PB(1, 2, 3). 
 Resp.: (a) za8,134
�
− [V/m]; (b) zyx a0,36a97,2 a8,64
���
−+ [V/m]. 
 
20) Sejam as seguintes distribuições de carga no vácuo: 0,25 nC/m2 na superfície y = 2; – 0,25 
nC/m2 na superfície y = – 1; 0,4 nC/m2 na superfície x = – 4 e 0,4pi nC/m na reta x = 2, z = 3. 
Determine E
�
 e E
�
 no ponto (1, 3, – 1). 
 Resp.: zx a31,5 a1,32
��
− [V/m], 21,9 [V/m]. 
 
21) A superfície quadrada – 1 ≤ x ≤ 1, – 1 ≤ y ≤ 1, z = 0 está carregada com ρS = |x| nC/m2. 
Determine E
�
 no ponto (0, 0, 1). 
 Resp.: za01,8
�
 [V/m] 
 
22) (a) Determine a forma geral da equação das linhas de força do campo y2x a5xa10xyE
��
�
+= . 
(b) Especifique a direção de E� no ponto (2, 3, – 5) por um vetor unitário. 
 Resp.: (a) Cx
2
1y 22 += ; (b) yx a316,0 a,9490
��
+ . 
 
23) Um campo é definido por z2x2 a1)2z(xa2xzE
��
�
++= . Determine a equação da linha de força 
que passa pelo ponto (1, 3, – 1). 
 Resp.: z2 = x2 + 2 ln x. 
 
24) Em coordenadas cilíndricas, para campos que não variam com z, as equações das linhas de 
força são obtidas resolvendo-se a equação diferencial φφ ρd
dρ
E
Eρ
= . Assim sendo, determine a 
equação da linha que passa pelo ponto (2, 30º, 0) para o campo φφ−φ= aρsen2aρcos2E ρ
��
�
. 
 Resp.: 32sen2ρ2 =φ . 
EELLEETTRROOMMAAGGNNEETTIISSMMOO:: CCaappííttuulloo IIII –– Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico 4 
25) A lei da gravidade de Newton pode ser escrita como F = Gm1m2/R2, onde m1 e m2 são massas 
pontuais separadas por uma distância R e G é a constante gravitacional 1110664,6 −× m3/kg · 
s2. (a) Duas partículas, cada uma tendo uma massa de 10 µg (microgramas), estão separadas 
de 1 cm. Encontre a força gravitacional de atração. (b) Quantos elétrons são necessários 
adicionar a cada partícula de modo a equilibrar a força gravitacional? 
 Resp.: (a) 2310664,6 −× [N]; (b) 5 ou 6. 
 
26) Qual a maior magnitude de E� que pode ser obtida na origem, no vácuo, do arranjo das cargas 
–1 nC, –1 nC e 2 nC nos pontos (1, 0, 0), (2, 0, 0) e (3, 0, 0), mas não necessariamente desta 
ordem? 
 Resp.: 14,75 [V/m]. 
 
27) Uma linha uniforme de cargas de densidade ρL C/m no espaço livre estende-se ao longo do 
eixo z, de z = – h até z = h. (a) Encontre E� no plano z = 0. (b) Encontre E� em (0, 0, a), a > h. 
 Resp.: (a) ρ22
0
L a
h ε 2
hρ �
+ρρpi
; (b) z22
0
L a
)h(a ε 2
hρ �
−pi
. 
 
28) Duas linhas uniformes infinitas de cargas com ρL = 50 nC/m estendem-se ao longo das linhas 
y = ± x no plano z = 0. Calcule E
�
 em: (a) (0, 0, 2); (b) (0, 2, 0). 
 Resp.: (a) za009
�
 [V/m]; (b) ya009
� [V/m]. 
 
29) Especifique três superfícies de densidade de carga uniforme de tal maneira que juntas 
produzirão o campo zyx a20a50a001E
���
�
+−= V/m na origem. 
Resp.: ρS1 = 200ε0 em x = x0 < 0, ρS2 = 100ε0 em y = y0 > 0 e ρS3 = 40ε0 em z = z0 < 0 
(Nota: Há outras respostas possíveis). 
 
30) (a)Encontre as equações das linhas de força do campo )asenxa(cosxeE yxy
��
�
−=
−
. 
 (b)Esboce a linha de força que passa pela origem. 
 Resp.: (a) cos x = Cey, (b) cos x = ey ou y = ln(cos x) 
 
EELLEETTRROOMMAAGGNNEETTIISSMMOO:: CCaappííttuulloo IIIIII –– Densidade de Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência 1 
Exercícios Adicionais do Capítulo III (Professor) 
 
1) Uma carga pontual de 15pi nC está localizada na origem. Determine o fluxo elétrico total 
através: (a) da superfície de uma esfera de 5 m de raio centrada no ponto (1, –1, 2); (b) da face 
superior ( 5,0z = ) de um cubo de 1 m de lado, centrado na origem, e as arestas paralelas aos 
eixos coordenados; (c) a porção do cilindro circular reto ρ = 5, para qual z ≥ 0. 
Resp.: (a) 15pi = 47,12 [nC]; (b) 5pi/2 = 7,85 [nC]; (c) 15pi/2 = 23,56 [nC]. 
 
2) Determine Dr no ponto P(3, – 4, 5) do campo de: (a) de uma carga pontual de 0,2 µC situada 
na origem; (b) uma reta uniformemente carregada com ρL = 30 nC/m situada sobre o eixo z; 
(c) uma distribuição uniforme e superficial da carga com ρS = 0,07pi nC/m2 situada no plano 
x = 5. 
 Resp.: (a) 318 [pC/m2]; (b) 955 [pC/m2]; (c) 110 [pC/m2]. 
 
3) Determine o fluxo elétrico total através da superfície cilíndrica ρ = 4, z = ± 3,5, dada a 
configuração de carga: (a) cargas iguais a 2 C sobre o eixo x nos pontos x = 0, ± 1, ± 2, ...; 
(b) uma linha de cargas coincidente com o eixo x, sendo )x1,0cos(2L =ρ C/m; (c) uma 
superfície de cargas com ρS = 0,1ρ2 C/m2, situado no plano z = 0. 
 Resp.: (a) 18,0 [C]; (b) 15,58 [C]; (c) 12,8 pi = 40,21 [C]. 
 
4) Determine a carga total no interior da esfera r = 2 se Dr é igual à: (a) 2r / 
r
a
v
; (b) r / 
r
a
v
; 
 Resp.: (a) 4 pi = 12,57 C; (b) 8 pi = 25,13 C. 
 
5) As superfícies esféricas r = 2 m, 4 m e 6 m possuem densidades superficiais de carga iguais à 
100 µC/m2, - 30 µC/m2 e 6 µC/m2 , respectivamente. 
Determine D
r
 para r igual a: (a) 1 m; (b) 3 m; (c) 5 m; (d) 8 m. 
 Resp.: (a) 0; (b) 44,4 [µC/m2]; (c) 3,20 [µC/m2]; (d) 2,12 [µC/m2]. 
 
6) Sendo z22
2
y2
2
x2 a1)(z
yz100x
a
1z
50x
a
1z
100xyD vvv
r
+
−
+
+
+
= C/m2, calcule a carga total contida em uma 
minúscula esfera, de raio igual a 1 µm, que é centrada em: (a) (5, 8, 1); (b) (0, 10, -2). 
 Resp.: (a) 2,26×10-14 [C]; (b) 8,38×10-16 [C]. 
 
7) Calcule a divergência de cada um dos campos vetoriais para os pontos indicados: 
(a) z34y224x233 azy2xazy3xazy4xD
vvvr
++= , PA(1, 2, 3); 
(b) ρ z BD zsen a zcos a ρsen a , P 2, , 32φ
pi 
= φ + ϕ + ϕ  
 
v v v v
; 
(c) ( )[ ] [ ]{ } 




 pipi
+=
2
 ,
2
 ,2P ,a r/r)(ln θ cosa r / θsen D Cθr
rrv
. 
Resp.: (a) 988 C/m3; (b) 0; (c) 0,0767 C/m3. 
 
8) Determine a expressão da densidade volumétrica de carga que dá origem ao campo: 
 (a) )aa2,5a(2eeeDzyx2z5y4x
vvvr
−−=
−− ; (b) )a 2ρaρa (2ρeD z 2ρ2z
vvvr φ−+φ= φ− ; 
 (c)
.θr a cos r)r/1(a sen θ cos r)r/1(a sen senθr 2D φφ++φ++φ=
rrrr
. 
 Resp.: (a) 22,5 e4x e-5y e-2z; (b) 4 φ e-2z (ρ2 + 1); (c) 2senθsen φ (2 – 1/r2) . 
 
EELLEETTRROOMMAAGGNNEETTIISSMMOO:: CCaappííttuulloo IIIIII –– Densidade de Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência 2 
9) Efetue ambos os lados do teorema da divergência para o campo 
)
z
aa sen5
ρ
a (cos522ρG vvv
r
+φφ−φ= e a região em forma de cunha limitada por ρ ≤ 5, 
0 ≤ φ ≤ 0,1pi , 0 ≤ z ≤ 10. 
 Resp.: -333; -333. 
 
10) A superfície plana z = 0,5 está carregada superficialmente, com ρS = 2x2 + 5y C/m2, apenas na 
região definida por -1 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2, estando neutra no restante. Quantas linhas de 
força atravessam a superfície cúbica definida por | x |, | y | e | z | ≤ 1? 
 Resp.: 6,33 C. 
 
11) Sendo ya
y
e24x
x
a
y8xeD vv
r
−
−
−
= µC/m2, ache o fluxo total que atravessa a superfície do 
cubo definida por | x |, | y | e | z | ≤ 1. 
 Resp.: 87,7 µC 
 
12) Dado o campo ya1)y2x(xxa
21)y(2xD vv
r
+++= C/m2, determine o fluxo total que atravessa a 
superfície definida por: (a) x = 5, -2 ≤ y ≤ 2, -2 ≤ z ≤ 2; (b) y = 2, -5 ≤ x ≤ 5, -2 ≤ z ≤ 2; 
 (c) ρ = 4, 0 ≤φ ≤pi, 0≤z≤1. 
 Resp.: (a) ± 234,67 C; (b) ± 1333,33 C; (c) ± 128pi = ± 402,12 C. 
 
13) As superfícies cilíndricas ρ = 3, 4 e 5 estão uniformemente carregadas com densidades iguais 
a 8, -12 e ρSx nC/m2, respectivamente. (a) qual deve ser o valor de ρSx para que D seja nulo se 
ρ > 5? (b) Se ρSx = 2 nC/m2 , determine e plote D vs ρ para 0 ≤ ρ ≤ 6 m. 
 Resp.: (a) 4,8 nC/m2; (b) ρ < 3, Dρ = 0; 3 < ρ < 4, Dρ = 24/ ρ; 4 < ρ < 5, Dρ = -24/ ρ; 
 ρ >5, Dρ = -14/ ρ (todos em nC/m2). 
 
14) As superfícies esféricas r = 3, 4 e 5 estão uniformemente carregadas com densidades iguais a 
8, -12 e ρSx nC/m2, respectivamente. (a) Qual deve ser o valor de ρSx para que D seja nulo se 
r > 5? (b) Se ρSx = 2 nC/m2, determine e plote D vs r para 0 ≤ r ≤ 6. 
 Resp.: (a) 4,8 nC/m2; (b) r < 3, Dr = 0; 3 < r < 4, Dr = 72/r2; 4 < r < 5, Dr = -120/r2; 
 r >5, Dr = -70/r2 (todos em nC/m2). 
 
15) Temos densidade volumétrica de carga distribuída do seguinte modo: -2 µC/m3 para 
1y2 −<<− m, 2 µC/m3 para 2y1 << m e ρ = 0 para todo o restante. (a) Use a Lei de Gauss 
para determinar D
r
 em todo o espaço. (b) Esboce o gráfico Dy versus y. 
 Resp.: (a) 2y −< , 0D =
r
; 1,y2 −<<− yD (2y+4)a= −
r r
; 1y1 <<− , yD 2a= −
r r
; 
 2y1 << , yD (2y 4)a= −
r r
; y > 2, 0D =
r
 (todos em µC/m2); 
(b) O gráfico fica a cargo do aluno. 
 
16) Seja 
z
a3z3y240xya
4z2y230x
x
a4z320xyD vvv
r
++= C/m2. 
 (a) Qual é a carga contida em um volume igual à 10-10 m3 localizado em (3, 1, 2)? 
(b) Em (2, 2, 3)? (c) Em que ponto da região 3x0 ≤≤ , 3y0 ≤≤ , 3z0 ≤≤ , é máxima a 
quantidade de fluxo atravessando o volume incremental de 10-10 m3, e qual a ∆ΨMAX? 
 Resp.: (a) 1,328 µC; (b) 8,64 µC; (c) P(3, 3, 3), 43,74 µC. 
EELLEETTRROOMMAAGGNNEETTIISSMMOO:: CCaappííttuulloo IIIIII –– Densidade de Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência 3 
17) Calcular a para o ponto P(1, -1, 2) a divergência de cada um dos seguintes campos: 
 (a) )
z
axyaxzxa(z
2y
xzeD vvv
r
++= ; (b) 2z2y2x)/
z
azyayxa(xD ++++=
vvvr
; 
 (c) 
z
a0,35ya0,6xa0,2D
vvvr
+−= ; (d) )
z
a3ya2xa(
3z2xyG vvv
r
++= ; 
 Resp.: (a) 1,759; (b) 0,816; (c) 0; (d) 12. 
 
18) Encontre o valor da divergência de, no ponto P(2, θ = 30°, φ = 90°), para os campos: 
 (a) D (2rsenθcos cosθ)a (r cosθcos senθ)a rsen a
r θ
= φ + + φ − − φ φ
r v v v
; 
 (b) φθ φθ+φθ+φθ= acossenasen2senasensenD r2 vvv
r
; 
 (c) 
r
a0,1D v
r
= ; 
 (d) )a
θ
a
r
a(θ2sen30,2rW φ++φ=
vvvr
 
 Resp.: (a) 0; (b) 1; (c) 0,1; (d) 3,60. 
 
19) (a) Uma linha uniformemente carregada com ρL se estende ao longo do eixo z. Mostre que 
0D =•∇
r
para todos os pontos, exceto para aqueles situados na linha de cargas. (b) Substitua 
a linha de cargas por um volume uniformemente carregado com 0ρ para a0 ≤ρ≤ . Relacione 
0ρ à Lρ de tal modo que a carga por unidade de comprimento seja a mesma, e então 
determine D
r
•∇ para todo o espaço. 
 Resp.: (a) 0, exceto para ρ = 0; (b) ρ0 = ρL/pia2; 0 D ρ=•∇
r
 , a<ρ e D
r
•∇ = 0, a>ρ . 
 
20) A densidade de fluxo é dada por ρ2a4D v
r
ρ= C/m2 no interior da região cilíndrica 5≤ρ m. 
 (a) Qual é a densidade volumétrica de carga para 2=ρ m? (b) Qual é a densidade de fluxo 
elétrico para 2=ρ m? (c) Quantas linhas de fluxo atravessam o cilindro 2=ρ m, 5|z| ≤ ? 
 (d) Qual é a carga contida no cilindro do item (c)? 
 Resp.: (a) 24C/m3; (b) ρa16
v C/m2; (c) 640 pi = 2011 C; (d) 640 pi = 2011 C. 
 
21) Temos 
ρ
a0,1ρD v
r
= C/m2 para 20 ≤≤ ρ m e 
ρ
a)ρ0040(D v/,= para 2≥ρ . (a) Encontre ρv em 
ρ = 0,1 m e ρ = 0,3 m. (b) Que densidade linear de carga deveria ser colocada ao longo do 
eixo z a fim de que tivéssemos D = 0 para 2≥ρ .? 
 Resp.: (a) 0,2 C/m3; (b) -25,1 mC/m. 
 
22) Efetue os dois lados do teorema da divergência para o campo 
z
az)2z3(2yya
2z23y
x
a)2x(4xF vvv
r
−−−−= na região 1x0 ≤≤ , 1y0 ≤≤ , 1z0 ≤≤ . 
 Resp.: 2,5; 2,5. 
 
23) Seja 
θ
acosθ)/1,0(D v
r
r= no interior de um tronco de cone definido por 52 ≤≤ r , 
4/0 piθ ≤≤ e 0 2≤ φ ≤ pi . Determine a carga total no interior da superfície cônica, efetuando 
ambos os lados do teorema da divergência. 
 Resp.: 0,942 C; 0,942 C. 
 
EELLEETTRROOMMAAGGNNEETTIISSMMOO:: CCaappííttuulloo IIIIII –– Densidade de Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência 4 
24) Dada uma carga pontual de 60 µC localizada na origem, determine o fluxo elétrico total que 
passa através: (a) Da porção de uma esfera r = 26 cm limitada por 2/0 piθ ≤≤ e 
0 / 2≤ φ ≤ pi ; (b) Da superfície fechada ρ = 26 cm e 26z ± cm; (c) Do plano z = 26 cm. 
 Resp.: (a) 7,5 µC; (b) 60 µC; (c) 30 µC. 
 
25) Calcule Dr em coordenadas retangulares no ponto P(2, -3, 6) produzido por: (a) Uma carga 
pontual QA = 55 mC em Q(-2, 3, -6); (b) Uma linha de cargas uniforme de ρLB = 20 mC/m no 
eixo x; (c) Uma densidade superficial de carga ρSC = 120 µC/m2 no plano z = -5 m. 
 Resp.: (a) 
z
a19,14ya9,57xa6,38
vvv
+− µC/m2; (b) 
z
a424ya212
vv
+− µC/m2;(c) 
z
a60v µC/m2. 
 
26) Dada a densidade de fluxo elétrico nC/m a2r D 2r2
rr
= no espaço livre: (a) Determine Er no 
ponto P o o(r 2, θ 25 , 90 )= = φ = ; (b) Determine a carga total dentro da esfera r = 3; (c) 
Determine o fluxo elétrico total que deixa a esfera r = 4. 
 Resp.: (a) 
r
a903,55v V/m; (b) pi648 nC; (c) pi2048 nC. 
 
27) Calcule o fluxo elétrico total deixando uma superfície cúbica formada pelos seis planos x, y, 
5±z se a distribuição de carga é: (a) Duas cargas pontuais, uma de 0,1 µC em (1, -2, 3) e 
outra 7/1 µC em (-1, 2, -2); (c) Uma linha de cargas uniforme de pi µC/m em x = -2, y = 3; 
(c) uma superfície de cargas uniforme de 0,1 µC/m2 no plano y = 3x. 
 Resp.: (a) 0,243 µC; (b) 10 pi = 31,416 µC; (c) 10,54 µC. 
 
28) Uma carga pontual de 0,25 µC localiza-se em r = 0, e duas densidades superficiais de carga 
uniformes localizam-se como segue: uma de 2 mC/m2 em r = 1 cm e outra de -0,6 mC/m2 em 
r = 1,8 cm. Calcule D
r
 em: (a) r = 0,5 cm; (b) r = 1,5 cm; (c) r = 2,5 cm; (d) Que densidade 
superficial de carga uniforme deve haver em r = 3 cm para causar D
r
 = 0 em r = 3,5 cm? 
 Resp.: (a) 796 µC/m2; (b) 
r
a977v µC/m2; (c) 
r
a40,8v µC/m2; (d) -28,3 µC/m2. 
 
29) No espaço livre, 
z
a3yz216xya
4z24x
x
a48xyzD vvv
r
++= pC/m2. (a) Determine o fluxo 
elétrico total que atravessa a superfícieretangular z 2, 0 x 2, 1 y 3= < < < < na direção 
z
a
v
; 
 (b) Determine Er em P(2, -1, 3); (c) Determine um valor aproximado para a carga total 
contida em uma esfera incremental localizada em P(2, -1, 3) e tendo um volume de 10-12 m3. 
 Resp.: (a) 4096/3 pC; (b) 146,37a 146,37a 195,17a
x y z− + −
v v v
 V/m; (c) 212,376 10−− × C. 
 
30) Determine uma expressão para a densidade volumétrica de carga associada com cada campo 
D
r
 a seguir: (a) 
z
a2z
y22x
yaz
22x
x
a
z
4xyD vvv
r
++= ; (b) 
z
aρsenacoszazsenD vvv
r φ+φφ+ρφ= ; 
 (c) φφ+θφθ+φθ= aoscasencosrasensenD
vvvr
. 
 Resp.: (a) 3 2 24y / z (z - x ) ; (b) 0; (c) 0. 
 
31) Dado o campo φφρ+ρφρ= acos5,1asen6D 2
1
2
1 vv
r
 C/m2 calcule ambos os lados do teorema da 
divergência para a região limitada por ρ = 2, φ = 2, φ = pi, z = 0 e z = 5. 
 Resp.: 225 C, 225 C 
EELLEETTRROOMMAAGGNNEETTIISSMMOO:: CCaappííttuulloo IIVV –– Energia e Potencial 1 
Exercícios Adicionais do Capítulo IV (Professor) 
 
01) Dado o campo elétrico zy2x axay3azE
rrrr
+−= V/m, use a expressão LdEQdW rr •−= para 
encontrar o trabalho realizado ao mover uma carga de 7µC ao longo de um caminho 
incremental de 1 mm de comprimento, na direção do vetor zyx a3a6a2
rrr
−− , localizado em: 
(a) PA (1, 2, 3); (b) PB (2, 0, –4); (c) PC (6, 1, –7). 
Resp.: (a) –75 nJ; (b) 14 nJ; (c) 14 nJ. 
 
02) Mostre que é realizado o mesmo trabalho ao mover uma carga de –10 C, da origem ao ponto 
(1, 2, 3), no campo zy3x2 az6ax2ayx6E
rrrr
++= , ao longo dos caminhos a seguir: 
(a) segmentos de linha reta (0, 0, 0) → (1, 0, 0) → (1, 2, 0) → (1, 2, 3); 
(b) linha reta definida por y = 2x, z = 3x; 
(c) linha curva definida por y = 2x, z = 3x4. 
Resp.: (a) 310 J; (b) 310 J; (c) 310 J. 
 
03) Se um campo Er varia no tempo, ele não é conservativo. Seja o campo xaxy5E
rr
= V/m em 
0t = . Que trabalho seria realizado, neste instante, para deslocar uma carga de 0,4 C de 
)0,0,0( a )0,2,1( ao longo dos caminhos: 
(a) )0,0,0( → )0,0,1( → )0,2,1( ; (b) )0,0,0( → )0,2,0( → )0,2,1( ? 
Resp.: (a) 0; (b) –2 J. 
 
04) Dado o campo zy2x a2ax20axy40E
rrrr
++= V/m, calcule: (a) VPQ dados )0,1,1(P − e 
)3,1,2(Q ; (b) V no ponto )0,1,1(P − se a referência zero está no ponto )3,1,2(Q ; (c) V no 
ponto )0,1,1(P − se a referência zero está na origem. 
Resp.: (a) 106 V; (b) 106 V; (c) 20 V. 
 
05) Uma carga de 1,6 nC está localizada na origem no vácuo. Determine o potencial em r = 0,7 m 
se: (a) a referência zero está no infinito; (b) a referência zero está em r = 0,5 m; 
 (c) V = 5 V em r = 1,0 m. 
Resp.: (a) 20,5 V; (b) –8,22 V; (c) 11,16 V. 
 
06) Determinar o potencial no ponto )10,0,0( causado por cada uma das seguintes distribuições 
de carga no vácuo: (a) anel: ρL = 5 nC/m, ρ = 4, z = 0; (b) disco: ρS = 2 nC/m2, 0 ≤ ρ ≤ 4, 
z = 0; (c) disco furado: ρS = 3 nC/m2, 2 ≤ ρ ≤ 4, z = 0. 
Nota: Partir da fórmula de potencial devido a uma carga distribuída numa linha ou superfície. 
Resp.: (a) 104,9 V; (b) 87,0 V; (c) 97,0 V. 
 
07) A porção de um potencial bidimensional (Ez = 0) é 
mostrada na figura com as linhas da rede espaçadas 
de 1 mm. Determine E
r
 em coordenadas cartesianas 
(aproximadamente) no ponto: (a) A; (b) B; (c) C. 
Resp.: (a) y y(4 / 0,0054)a 740a V / m≈ − = −
r r
; 
(b) nB x y740a 320a 667a V / m≈ − ≈ − −
r r r
; 
(c) nC x y910a 338a 845a V / m≈ − = − −
r r r
. 
 
EELLEETTRROOMMAAGGNNEETTIISSMMOO:: CCaappííttuulloo IIVV –– Energia e Potencial 2 
08) Dado o potencial Vy20yzx50V 22 += no vácuo, encontre: (a) V no ponto )3,2,1(P ; 
(b) PE
r
; (c) ρP; (d) dV/dN em P; (e) Pa
r
 em P. 
Resp.: (a) 380 V; (b) m/Va100a230a600 zyx
rrr
−−− ; (c) –5,67 nC/m3; 
 (d) 650 V/m; (e) zyx a154,0a354,0a923,0
rrr
++ . 
 
09) Um dipolo situado na origem tem um momento igual a )a8,0a75,0a6,0(400 zyx0
rrr
+−piε 
C.m, no vácuo. Determine o potencial nos pontos: (a) )5,0,0(PA ; (b) )0,5,0(PB ; 
(c) )0,0,5(PC ; (d) )4,3,2(PD 
Resp.: (a) 3,2 V; (b) –3 V; (c) 2,4 V; (d) 1,597 V. 
 
10) Um dipolo localizado no vácuo é formado por uma carga de 1 nC em )01,0;0;0( e outra de 
–1 nC em )01,0;0;0( − . Com relação ao ponto )0;45;2,0r(P o =φ=θ= , determine: 
(a) E
r
; (b) E
r
; (c) o módulo do campo que seria produzido pela carga +1 nC agindo sozinha. 
Resp.: (a) m/Va89,15a8,31 r θ+
rr
; (b) 35,5 V/m; (c) 241 V/m. 
 
11) Encontre a energia armazenada na região esférica r ≤ 10, situada no vácuo, para os seguintes 
campos de potencial: (a) 2r100V = ; (b) θ= senr100V 2 . 
Resp.: (a) 44,5 mJ; (b) 33,4 mJ. 
 
12) Que energia incremental é necessária para deslocar uma carga de 1 µC, de uma distância 
incremental de 1 mm, no campo m/Va10a20a12 z
rrr
+− φρ , desde o ponto )11,30,8(P o até: 
(a) )11,30,9(Q oA ; (b) )10,30,8(Q oB ; (c) )11,1,30,8(Q oC ; (d) )8,35,10(Q oD ? 
Resp.: (a) –12 pJ; (b) 10 pJ; (c) 20 pJ; (d) 6,48 pJ. 
 
13) Calcule LdF rr •∫ para z2y3x2 ayzxaza)yz5x(F
rrrr
+−+= desde )3,2,1( até )2,1,6( , ao 
longo dos seguintes caminhos: (a) os três segmentos retos definidos por: y = 2, z = 3; x = 6, 
z = 3; x = 6, y = 1; (b) a intercessão dos planos z = y +1 com x = 11 – 5y. 
Resp.: (a) 158,7; (b) 140,3. 
 
14) Dado m/Va2ax10ay10E zyx
rrrr
−+= , determine o trabalho necessário para deslocar uma 
carga de 3 C desde )8,2,0( − até )23,3,5( ao longo do caminho: (a) z = 2x2 – y3, y2 = x + 4; 
(b) linear que une os dois pontos. 
Resp.: (a) –360 J; (b) –360 J. 
 
15) Três cargas pontuais de 4 µC cada uma localizam-se nos vértices de um triângulo eqüilátero 
de lados iguais a 0,5 mm, situado no vácuo. Que trabalho deve ser realizado para deslocar 
uma das cargas até o ponto médio do segmento determinado pelas outras duas?. 
Resp.: 575 J. 
 
16) Se zE 50zsen a 50z cos a 50 sen a V / mρ φ= φ + φ + ρ φ
r r r r
e o potencial da origem é adotado como 
zero, determine o potencial no ponto (2, 150º, 3), utilizando os seguintes caminhos: 
(a) dois segmentos lineares: φ = 150º, z = 0 e ρ = 2, φ = 150º; (b) ρ = 12φ/5pi, z = 18φ/5pi. 
Resp.: (a) –150 V; (b) –150 V. 
 
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17) Uma distribuição linear e uniforme de carga com ρL = 0,6 nC/m está localizada ao longo do 
eixo z no vácuo. Determine o potencial em P(3, 4, 2) se: (a) V = 0 em A(2, –9, 3); 
(b) V = 24 V em B(10, 24, 1). Determine VAB se: (c) VP = 41 V; (d) VP = 0. 
Resp.: (a) 6,60 V; (b) 41,8 V; (c) 11,18 V; (d) 11,18 V. 
 
18) Uma linha de cargas com ρL = 10piε0 C/m se estende, no vácuo, ao longo do eixo x, e uma 
carga Q = 4piε0 C se localiza em )2,4,2( − . Três pontos estão identificados como 
)2,1,1(A − , )5,0,4(B e )3,5,2(C −− . 
 (a) Determine VAB. (b) Ache VC se VB = 0. (c) Encontre VC se VA = 20 V. 
Resp.: (a) 4,15 V; (b) –0,7187 V; (c) 18,45 V. 
 
19) O segmento de reta 1x0 ≤≤ , 2y = , 3z = , no vácuo, possui uma densidade linear de carga 
igual a 20x nC/m. (a) Determine V na origem. (b) Qual seria o valor de V na 
origem se a mesma carga total fosse uniformemente distribuída no segmento de reta? 
(c) Qual seria o valor de V na origem se a mesma carga total fosse concentrada em uma carga 
pontual situada no ponto médio do segmento de reta?. 
Resp.: (a) 24,47 V; (b) 24,62 V; (c) 24,69 V. 
 
20) A figura ao lado mostra três distribuições 
individuais de carga no vácuo. 
(a) Ache a carga total de cada distribuição. 
(b) Encontre o potencial no ponto P(0, 0, 5) 
devido a carga distribuição em separado. 
(c) Determine VP. 
Resp.: (a) 2pi = 6,28 nC cada; 
 (b) linha: 9,67 V; 
 arco: 10,49 V; 
 superfície: 10,77 V;(c) 30,9 V. 
 
 
 
 
 
 
21) Sabendo que )yxln(4z20yx2V 222 +−+= V, no vácuo, determine os valores das 
seguintes grandezas no ponto )3;5,2;6(P − : (a) V; (b) Er ; (c) Dr ; (d) vρ . 
Resp.: (a) – 134,97 V; (b) x y z61,136a 72, 4734a 20a V / m− −
r r r
; 
 (c) 2x y z541,30a 641,68a 177,08a pC / m− −
r r r
; (d) 88,54 pC/m3. 
 
22) O potencial no interior do cubo 5,0x ≤ , 5,0y ≤ e 5,0z ≤ é expresso por 
)13z6zy4yln(300115)yx(80zx50yz130z45y60x80V 2222 +++−+++++++−= V. 
Determine: (a) )0,0,0(V ; (b) )0,0,0(Er ; (c) )z,y,x(vρ ; (d) a carga total no interior do cubo. 
Resp.: (a) 884 V; (b) m/Va5,183a3,152a80 zyx
rrr
−+− ; (c) 0; (d) 0. 
 
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23) Uma superfície definida pela equação 1000zyx 23 =++ , onde x, y e z são positivos, é uma 
superfície equipotencial cujo potencial é 200 V. Se m/V50E =r no ponto )32,25,7(P da 
superfície, determine E
r
 neste ponto. 
Resp.: x y z47,335a 16,10a 0,322a V / m+ +
r r r
. 
 
24) Um dipolo z1 a20p
rr
= nC.m, localiza-se na origem, no vácuo, e um segundo dipolo 
z2 a50p
rr
−= nC.m localiza-se em (0, 0, 10). Determine V e Er no ponto médio entre os 
dipolos. 
Resp.: 25,2 V; z4,32a V / m−
r
. 
 
25) Um dipolo possui z0a10p
rr
ε= C.m e está localizado na origem. Qual é a equação da 
superfície na qual Ez = 0 mas 0E ≠
r
?. 
Resp.: cones: θ = 54,7º e θ = 125,3º. 
 
26) Determine a energia potencial armazenada em cada uma das seguintes configurações no 
vácuo: (a) três cargas iguais a Q situadas nos vértices de um triângulo eqüilátero de lado d; 
(b) quatro cargas iguais a Q situadas nos vértices de um quadrado de lado igual a d. 
Resp.: (a) )d4/(Q3 02 piε ; (b) )d4/(Q)24( 02 piε+ . 
 
27) Um campo potencial no vácuo é definido por r/50V = para bra ≤≤ . (a) Mostre que 
0v =ρ para bra << ; (b) Determine a energia armazenada na região bra << . 
Resp.: (a) 0v =ρ (exceto para r = 0); (b) )ba(5000 110 −− −piε . 
 
28) A densidade volumétrica na região cilíndrica 10 ≤ρ≤ mm é dada por 6,1v 2ρ=ρ (ρ em 
metros), sendo nula em todo o restante. (a) Utilize a Lei de Gauss para determinar Dρ para 
10 ≤ρ≤ mm. (b) Repita para 1>ρ mm. (c) Sendo V = 0 para ρ = 1 mm, encontre V em ρ = 
0 e em ρ = 1 m. 
Resp.: (a) 6,2)9/5( ρ ; (b) ρ× − /1080,8 12 ; (c) V276,0)0(V = , V87,6)m1(V −= . 
 
29) Um campo eletrostático, no vácuo, é dado por r/1000V = V. Qual é a energia armazenada 
em uma esfera oca de raios interno e externo iguais a 1 cm e 2 cm, respectivamente, centrada 
na origem? 
Resp.: (500.000pi)(ln2) ε0 = 9,64 µJ 
 
30) Três dipolos no vácuo situam-se na origem e seus momentos são dados por: x01 a400p
rr
piε= , 
y02 a400p
rr
piε= e z03 a400p
rr
piε= C.m. Determine V nos seguintes pontos: 
(a) )1,0,0( ; (b) )0,0,1( ; (c) )3/1,3/1,3/1( ; (d) )3,2,1( . 
Resp.: (a) 100 V; (b) 100 V; (c) 100 3 V; (d) 11,45 V. 
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Exercícios Adicionais do Capítulo IV (Professor) 
 
01) Dado o campo elétrico zy2x axay3azE
rrrr
+−= V/m, use a expressão LdEQdW rr •−= para 
encontrar o trabalho realizado ao mover uma carga de 7µC ao longo de um caminho 
incremental de 1 mm de comprimento, na direção do vetor zyx a3a6a2
rrr
−− , localizado em: 
(a) PA (1, 2, 3); (b) PB (2, 0, –4); (c) PC (6, 1, –7). 
Resp.: (a) –75 nJ; (b) 14 nJ; (c) 14 nJ. 
 
02) Mostre que é realizado o mesmo trabalho ao mover uma carga de –10 C, da origem ao ponto 
(1, 2, 3), no campo zy3x2 az6ax2ayx6E
rrrr
++= , ao longo dos caminhos a seguir: 
(a) segmentos de linha reta (0, 0, 0) → (1, 0, 0) → (1, 2, 0) → (1, 2, 3); 
(b) linha reta definida por y = 2x, z = 3x; 
(c) linha curva definida por y = 2x, z = 3x4. 
Resp.: (a) 310 J; (b) 310 J; (c) 310 J. 
 
03) Se um campo Er varia no tempo, ele não é conservativo. Seja o campo xaxy5E
rr
= V/m em 
0t = . Que trabalho seria realizado, neste instante, para deslocar uma carga de 0,4 C de 
)0,0,0( a )0,2,1( ao longo dos caminhos: 
(a) )0,0,0( → )0,0,1( → )0,2,1( ; (b) )0,0,0( → )0,2,0( → )0,2,1( ? 
Resp.: (a) 0; (b) –2 J. 
 
04) Dado o campo zy2x a2ax20axy40E
rrrr
++= V/m, calcule: (a) VPQ dados )0,1,1(P − e 
)3,1,2(Q ; (b) V no ponto )0,1,1(P − se a referência zero está no ponto )3,1,2(Q ; (c) V no 
ponto )0,1,1(P − se a referência zero está na origem. 
Resp.: (a) 106 V; (b) 106 V; (c) 20 V. 
 
05) Uma carga de 1,6 nC está localizada na origem no vácuo. Determine o potencial em r = 0,7 m 
se: (a) a referência zero está no infinito; (b) a referência zero está em r = 0,5 m; 
 (c) V = 5 V em r = 1,0 m. 
Resp.: (a) 20,5 V; (b) –8,22 V; (c) 11,16 V. 
 
06) Determinar o potencial no ponto )10,0,0( causado por cada uma das seguintes distribuições 
de carga no vácuo: (a) anel: ρL = 5 nC/m, ρ = 4, z = 0; (b) disco: ρS = 2 nC/m2, 0 ≤ ρ ≤ 4, 
z = 0; (c) disco furado: ρS = 3 nC/m2, 2 ≤ ρ ≤ 4, z = 0. 
Nota: Partir da fórmula de potencial devido a uma carga distribuída numa linha ou superfície. 
Resp.: (a) 104,9 V; (b) 87,0 V; (c) 97,0 V. 
 
07) A porção de um potencial bidimensional (Ez = 0) é 
mostrada na figura com as linhas da rede espaçadas 
de 1 mm. Determine E
r
 em coordenadas cartesianas 
(aproximadamente) no ponto: (a) A; (b) B; (c) C. 
Resp.: (a) y y(4 / 0,0054)a 740a V / m≈ − = −
r r
; 
(b) nB x y740a 320a 667a V / m≈ − ≈ − −
r r r
; 
(c) nC x y910a 338a 845a V / m≈ − = − −
r r r
. 
 
EELLEETTRROOMMAAGGNNEETTIISSMMOO:: CCaappííttuulloo IIVV –– Energia e Potencial 2 
08) Dado o potencial Vy20yzx50V 22 += no vácuo, encontre: (a) V no ponto )3,2,1(P ; 
(b) PE
r
; (c) ρP; (d) dV/dN em P; (e) Pa
r
 em P. 
Resp.: (a) 380 V; (b) m/Va100a230a600 zyx
rrr
−−− ; (c) –5,67 nC/m3; 
 (d) 650 V/m; (e) zyx a154,0a354,0a923,0
rrr
++ . 
 
09) Um dipolo situado na origem tem um momento igual a )a8,0a75,0a6,0(400 zyx0
rrr
+−piε 
C.m, no vácuo. Determine o potencial nos pontos: (a) )5,0,0(PA ; (b) )0,5,0(PB ; 
(c) )0,0,5(PC ; (d) )4,3,2(PD 
Resp.: (a) 3,2 V; (b) –3 V; (c) 2,4 V; (d) 1,3767 V. 
 
10) Um dipolo localizado no vácuo é formado por uma carga de 1 nC em )01,0;0;0( e outra de 
–1 nC em )01,0;0;0( − . Com relação ao ponto )0;45;2,0r(P o =φ=θ= , determine: 
(a) E
r
; (b) E
r
; (c) o módulo do campo que seria produzido pela carga +1 nC agindo sozinha. 
Resp.: (a) m/Va89,15a8,31 r θ+
rr
; (b) 35,5 V/m; (c) 241 V/m. 
 
11) Encontre a energia armazenada na região esférica r ≤ 10, situada no vácuo, para os seguintes 
campos de potencial: (a) 2r100V = ; (b) θ= senr100V 2 . 
Resp.: (a) 44,5 mJ; (b) 33,4 mJ. 
 
12) Que energia incremental é necessária para deslocar uma carga de 1 µC, de uma distância 
incremental de 1 mm, no campo m/Va10a20a12 z
rrr
+− φρ , desde o ponto )11,30,8(P o até: 
(a) )11,30,9(Q oA ; (b) )10,30,8(Q oB ; (c) )11,1,30,8(Q oC ; (d) )8,35,10(Q oD ? 
Resp.: (a) –12 nJ; (b) 10 nJ; (c) 20 nJ; (d) 6,48 nJ. 
 
13) Calcule LdF rr •∫ para z2y3x2 ayzxaza)yz5x(F
rrrr
+−+= desde )3,2,1( até )2,1,6( , ao 
longo dos seguintes caminhos: (a) os três segmentos retos definidos por: y = 2, z = 3; x = 6, 
z = 3; x = 6, y = 1; (b) a intercessão dos planos z = y +1 com x = 11 – 5y. 
Resp.: (a) 158,7; (b) 140,3. 
 
14) Dado m/Va2ax10ay10E zyx
rrrr
−+= , determine o trabalho necessário para deslocar uma 
carga de 3 C desde )8,2,0( − até )23,3,5( ao longo do caminho: (a) z = 2x2 – y3, y2 = x + 4; 
(b) linear que une os dois pontos. 
Resp.: (a) –360 J; (b) –360 J. 
 
15) Três cargas pontuais de 4 µC cada uma localizam-se nos vértices de umtriângulo eqüilátero 
de lados iguais a 0,5 mm, situado no vácuo. Que trabalho deve ser realizado para deslocar 
uma das cargas até o ponto médio do segmento determinado pelas outras duas?. 
Resp.: 575 J. 
 
16) Se zE 50zsen a 50z cos a 50 sen a V / mρ φ= φ + φ + ρ φ
r r r r
e o potencial da origem é adotado como 
zero, determine o potencial no ponto (2, 150º, 3), utilizando os seguintes caminhos: 
(a) dois segmentos lineares: φ = 150º, z = 0 e ρ = 2, φ = 150º; (b) ρ = 12φ/5pi, z = 18φ/5pi. 
Resp.: (a) –150 V; (b) –150 V. 
 
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17) Uma distribuição linear e uniforme de carga com ρL = 0,6 nC/m está localizada ao longo do 
eixo z no vácuo. Determine o potencial em P(3, 4, 2) se: (a) V = 0 em A(2, –9, 3); 
(b) V = 24 V em B(10, 24, 1). Determine VAB se: (c) VP = 41 V; (d) VP = 0. 
Resp.: (a) 6,60 V; (b) 41,8 V; (c) 11,18 V; (d) 11,18 V. 
 
18) Uma linha de cargas com ρL = 10piε0 C/m se estende, no vácuo, ao longo do eixo x, e uma 
carga Q = 4piε0 C se localiza em )2,4,2( − . Três pontos estão identificados como 
)2,1,1(A − , )5,0,4(B e )3,5,2(C −− . 
 (a) Determine VAB. (b) Ache VC se VB = 0. (c) Encontre VC se VA = 20 V. 
Resp.: (a) 4,15 V; (b) –0,7187 V; (c) 15,13 V. 
 
19) O segmento de reta 1x0 ≤≤ , 2y = , 3z = , no vácuo, possui uma densidade linear de carga 
igual a 20x nC/m. (a) Determine V na origem. (b) Qual seria o valor de V na 
origem se a mesma carga total fosse uniformemente distribuída no segmento de reta? 
(c) Qual seria o valor de V na origem se a mesma carga total fosse concentrada em uma carga 
pontual situada no ponto médio do segmento de reta?. 
Resp.: (a) 24,47 V; (b) 24,62 V; (c) 24,69 V. 
 
20) A figura ao lado mostra três distribuições 
individuais de carga no vácuo. 
(a) Ache a carga total de cada distribuição. 
(b) Encontre o potencial no ponto P(0, 0, 5) 
devido a carga distribuição em separado. 
(c) Determine VP. 
Resp.: (a) 2pi = 6,28 nC cada; 
 (b) linha: 9,67 V; 
 arco: 10,49 V; 
 superfície: 10,77 V; 
 (c) 30,9 V. 
 
 
 
 
 
 
21) Sabendo que )yxln(4z20yx2V 222 +−+= V, no vácuo, determine os valores das 
seguintes grandezas no ponto )3;5,2;6(P − : (a) V; (b) Er ; (c) Dr ; (d) vρ . 
Resp.: (a) – 134,97 V; (b) x y z61,136a 72, 4734a 20a V / m− −
r r r
; 
 (c) 2x y z541,30a 641,68a 177,08a pC / m− −
r r r
; (d) 88,54 pC/m3. 
 
22) O potencial no interior do cubo 5,0x ≤ , 5,0y ≤ e 5,0z ≤ é expresso por 
)13z6zy4yln(300115)yx(80zx50yz130z45y60x80V 2222 +++−+++++++−= V. 
Determine: (a) )0,0,0(V ; (b) )0,0,0(Er ; (c) )z,y,x(vρ ; (d) a carga total no interior do cubo. 
Resp.: (a) 884 V; (b) m/Va5,183a3,152a80 zyx
rrr
−+− ; (c) 0; (d) 0. 
 
EELLEETTRROOMMAAGGNNEETTIISSMMOO:: CCaappííttuulloo IIVV –– Energia e Potencial 4 
23) Uma superfície definida pela equação 1000zyx 23 =++ , onde x, y e z são positivos, é uma 
superfície equipotencial cujo potencial é 200 V. Se m/V50E =r no ponto )32,25,7(P da 
superfície, determine E
r
 neste ponto. 
Resp.: x y z47,335a 16,10a 0,322a V / m+ +
r r r
. 
 
24) Um dipolo z1 a20p
rr
= nC.m, localiza-se na origem, no vácuo, e um segundo dipolo 
z2 a50p
rr
−= nC.m localiza-se em (0, 0, 10). Determine V e Er no ponto médio entre os 
dipolos. 
Resp.: 25,2 V; z4,32a V / m−
r
. 
 
25) Um dipolo possui z0a10p
rr
ε= C.m e está localizado na origem. Qual é a equação da 
superfície na qual Ez = 0 mas 0E ≠
r
?. 
Resp.: cones: θ = 54,7º e θ = 125,3º. 
 
26) Determine a energia potencial armazenada em cada uma das seguintes configurações no 
vácuo: (a) três cargas iguais a Q situadas nos vértices de um triângulo eqüilátero de lado d; 
(b) quatro cargas iguais a Q situadas nos vértices de um quadrado de lado igual a d. 
Resp.: (a) )d4/(Q3 02 piε ; (b) )d4/(Q)24( 02 piε+ . 
 
27) Um campo potencial no vácuo é definido por r/50V = para bra ≤≤ . (a) Mostre que 
0v =ρ para bra << ; (b) Determine a energia armazenada na região bra << . 
Resp.: (a) 0v =ρ (exceto para r = 0); (b) )ba(5000 110 −− −piε . 
 
28) A densidade volumétrica na região cilíndrica 10 ≤ρ≤ mm é dada por 6,1v 2ρ=ρ (ρ em 
metros), sendo nula em todo o restante. (a) Utilize a Lei de Gauss para determinar Dρ para 
10 ≤ρ≤ mm. (b) Repita para 1>ρ mm. (c) Sendo V = 0 para ρ = 1 mm, encontre V em ρ = 
0 e em ρ = 1 m. 
Resp.: (a) 6,2)9/5( ρ ; (b) ρ× − /1080,8 12 ; (c) V276,0)0(V = , V87,6)m1(V −= . 
 
29) Um campo eletrostático, no vácuo, é dado por r/1000V = V. Qual é a energia armazenada 
em uma esfera oca de raios interno e externo iguais a 1 cm e 2 cm, respectivamente, centrada 
na origem? 
Resp.: (500.000pi)(ln2) ε0 = 9,64 µJ 
 
30) Três dipolos no vácuo situam-se na origem e seus momentos são dados por: x01 a400p
rr
piε= , 
y02 a400p
rr
piε= e z03 a400p
rr
piε= C.m. Determine V nos seguintes pontos: 
(a) )1,0,0( ; (b) )0,0,1( ; (c) )3/1,3/1,3/1( ; (d) )3,2,1( . 
Resp.: (a) 100 V; (b) 100 V; (c) 100 3 V; (d) 11,45 V. 
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Exercícios Adicionais do Capítulo V (Professor) 
 
01) Certa densidade de corrente é expressa em coordenadas cilíndricas por: 
-2z 2
zJ = 100e (ρa +a ) A/mρ
��
� �
. Determine a corrente total que atravessa cada uma das seguintes 
superfícies: (a) z = 0, 0 ρ 1≤ ≤ , na direção za
�
; (b) z = 1, 0 ρ 1≤ ≤ , na direção za
�
; 
 (c) cilindro fechado 0 z 1 , 0 ρ 1≤ ≤ ≤ ≤ , na direção radial, apontando para fora. 
Resp.: (a) 314,16 A ; (b) 42,52 A ; (c) 0. 
 
02) Sendo 2 2 2 2x y zJ =10y za -2x ya + 2x za A/m
�
� � �
, determine: (a) A corrente total atravessando a 
superfície x = 3,2 y 3, 3,8 z 5,2≤ ≤ ≤ ≤ , na direção xa
�
; (b) o módulo da densidade de corrente 
no centro desta área; (c) o valor médio de Jx ao longo da superfície. 
Resp.: (a)399 A ; (b)296 2A/m ; (c) 285 2A/m . 
 
03) Em uma região próxima à origem, há uma densidade de corrente apontando radialmente para 
fora, dada por -1,5 210r A/m . (a) Qual é a corrente que atravessa a superfície esférica r = 1 mm? 
(b) Repita para r = 2 mm. (c) Qual é a taxa de variação de ρ para r = 1 mm? 
 (d) Com que taxa está aumentando a carga no interior da esfera r = 1 mm? 
Resp.: (a) 3,97 A ; (b) 5,62 A ; (c) 8 3-1,581 10 C/m s× ⋅ ; (d) -3,97 C/s . 
 
04) Determine o módulo da densidade de corrente no 
interior de uma amostra de alumínio se: (a) a intensidade 
do campo elétrico é 70 mV/m; (b) a velocidade de 
arrastamento dos elétrons é -410 m/s ; (c) a amostra tem a 
forma de um cubo de 1mm de lado, onde flui uma 
corrente total de 2,5 A; (d) a amostra tem a forma de um 
cubo de 1mm de lado, com uma diferença de potencial de 75 µV entre faces opostas. 
Resp.: (a) 2,67 2MA/m ; (b) 3,18 2MA/m ; (c) 2,50 2MA/m ; (d) 22,86 MA/m . 
 
 
05) Qual é a tensão entre os terminais de um condutor de cobre se ele: (a) tem uma seção de reta 
circular com um diâmetro igual a -40,007pol (1,778 10 m)× , seu comprimento é igual a 100 
pés (30,48m) e ele transporta uma corrente de 8 mA; (b) é um cilindro vazado de raio interno 
de 2mm, raio externo de 3mm, cujo comprimento é 200 m e conduz uma corrente de 20 A? 
Resp.: (a) 0,1693 V ; (b) 4,39 V . 
 
06) O ponto P (-2,4,1) está na superfície de um condutor onde x y zE = 400a -290a +310a V/m
��
� � �
. 
Sabendo-se que o condutor está situado no vácuo, determinar: (a) nE no ponto P; 
 (b) tE no ponto P; (c) sρ no ponto P. 
Resp.: (a) 583,27 V/m ; (b) 0 ; (c) 25,16 nC/m . 
 
07) Uma carga pontual igual a 18 µC está localizada noeixo z a 0,4 m do plano z=0. Determine: 
(a) a densidade superficial de carga no ponto (0,3 ; 0,4 ; 0); (b) D no ponto (0 ; 0,2 ; 0,2). 
Resp.: (a) -4,364 2µC/m ; (b) 219,767 µC/m . 
 
08) Encontre a polarização no interior de um material que: (a) tenha uma densidade de fluxo 
elétrico igual a 21,5µ C/m em um campo elétrico de 15k V/m; (b) tenha 2D=2,8 µC/m e 
eχ = 1,7 ; (c) tenha 20 310 moléculas/m , cada uma com um momento de dipolo igual a 
-261,5 10 C m× ⋅ quando 5E = 10 V/m ; (d) tenha E = 50 kV/m e R = 4,4∈ . 
 σ (S/m) 2µ (m /V s)⋅ 
Alumínio 73,82 10× 0,0012 
Cobre 75,80 10× 0,0032 
Prata 76,17 10× 0,0056 
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Resp.: (a) 1,367 2µC/m ; (b) 1,763 2µC/m ; (c) 1,500 2µC/m (d) 21,505 µC/m . 
 
09) A região z < 0 contém um material dielétrico para o qual R1 = 2,5∈ , enquanto que z > 0 
caracteriza-se por R2 = 4∈ . Sabendo-se que 1 x y z E = -30a +50a +70a V/m
���
� � �
, determine: 
(a) n1E ; (b) t1E
��
; (c) t1E ; (d) 1E ; (e) 1θ . 
Resp.: (a) 70,0 V/m ; (b) 
x y-30a +50a V/m
� �
; (c) 58,3 V/m (d) 91,1 V/m ; (e)39,8° . 
 
10) Determine a capacitância de um capacitor de placas paralelas que tem: 
 (a) d = 8mm, 2S= 2 m e R = 250ε ; (b) d = 0,08mm, 2S= 2 m , 5E=10 V/m e 2Sρ = 2µ C/m ; 
 (c) 5µ J de energia armazenada quando a tensão entre as placas é 4V. 
Resp.: (a) 0,553 µF ; (b) 0,500 µF ; (c) 0,625 µF . 
 
11) Encontre a capacitância: (a) do cabo coaxial 58C/U cujo diâmetro do condutor interno é 
0,0295 pol e do externo é 0,116 pol, tendo um dielétrico de polietileno e comprimento 100 pés 
(30,48m); (b) do sistema constituído por uma esfera condutora de 1cm de raio , recoberta com 
uma camada de polietileno de 1cm, envolvida por uma casa esférica, concêntrica, com 2cm 
de raio; (c) de um sistema igual ao do item (b) com exceção da casca externa, que agora tem 
raio igual a 3cm. (Dados: Polietileno 2,26Rε = ) 
Resp.: (a) ≈ 2,800 pF; (b) 5,0291 pF; (c) 2,8683 pF (= 2 capacitores em série). 
 
12) Determine a capacitância entre um cilindro condutor circular de raio 2,5 mm situado no ar e : 
(a) um plano condutor que dista 1cm do eixo do cilindro utilizando a equação 
 
L
-12 2
1
ρ L 2pi L 2pi LC = = = 
V cosh (h/b)ln[(h+ h -b )/b]
ε ε
; 
(b) o mesmo que no item (a), só que utilizando a equação 2pi LC = 
ln(2h/b)
ε
 onde (b << h) ; 
(c) um cilindro semelhante, estando os eixos separados de 1cm. 
Resp.: (a) 26,96 pF/m; (b) 26,75 pF/m; (c) 20,06 pF/m . 
 
13) Uma superfície, em z = 0, é um catodo do qual são emitidos elétrons com velocidade inicial 
nula. Eles sofrem a ação de um campo elétrico 6 zE = -2x10 a V/m
��
�
. Sabendo-se que 
-19e = 1,602 10 C× e -31m = 9,11x10 kg , determine: (a) velocidade v(t) para um elétron 
emitido em t = 0; (b) z(t); (c) v(z). (d) Se os elétrons deixam o catodo 
continuamente, segundo um feixe de 100µ C de corrente e com uma seção reta de -7 210 m , 
determine a densidade de corrente e a densidade volumétrica de carga. 
Resp.: (a) 173,52 10 t m/s× ; (b) 17 21759 10 t m× ; (c) 88,39 10 z× ; 
 (d) 2-1000 A/m , -6 3-1,192 10 / z C/m× . 
 
14) O componente z da densidade de corrente é az 2 20J e /[(x 1) (y 1)]− + + . Determine a corrente na 
direção za
�
, que atravessa a superfície: (a) z = 0, x 1, y 1≤ ≤ ; (b) z = 0. 
Resp.: (a) 02,4674J ; (b) 09,8696J . 
 
15) Próximo ao ponto P(5,7,-5), a densidade de corrente pode ser representada pelo vetor 
3 2 2 2 2
x y zJ=2x ya -5x z a + 4x ya A/m
�
� � �
. (a) Qual é a corrente deixando um cubo de 1m de lado, 
centrado em P com as arestas paralelas aos eixos coordenados? (b) Qual é a taxa de 
crescimento da densidade volumétrica de carga no ponto P? 
Resp.: (a) 1053,5 A; (b) 3-1050 C/m s⋅ . 
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16) Um pedaço de material condutor para o qual σ=5M S/m tem a forma de uma cunha truncada, 
4<ρ<10cm, 0< <0,2pi, 0<z<6cmφ . No interior do material E = 2a /ρ mV/mφ
�
�
. (a) Qual é a 
corrente total que atravessa o objeto? (b) Qual é a sua resistência? 
Resp.: (a) 550 A; (b) 2,29µ Ω . 
 
17) Duas placas condutoras paralelas têm, cada uma, 22 m de área, estando separadas de 1,25 mm 
no vácuo. Os terminais de uma bateria de 100 V são a ela conectados e, depois de algum 
tempo, são então desconectados. (a) Determine 0V , E, D, Sρ , Q, EW e C. (b) Uma folha de 
material dielétrico, cuja forma e área são as mesmas placas tendo 1 mm de espessura, é 
cuidadosamente introduzida entre as placas. Se R = 5∈ para o dielétrico, determine 0V , Sρ , 
Q, EW e C, bem como E e D no material dielétrico. 
Resp.: (a) 100V; 80k V/m; 20,708 µC/m ; 20,708 µC/m ; 1,417 µC ; 70,8 µJ ; 14,17 nF; 
 (b) 36V; 20,708 µC/m ;1,417 µC ; 25,5 µJ ; 39,4 nF; 16 kV/m; 20,708 µC/m . 
 
18) Determine o J� em um condutor para o qual: (a) a mobilidade é -3 24,1 10 m /V s× ⋅ , a 
densidade volumétrica de carga é 9 3-3,6 10 C/m× , e a intensidade do campo elétrico é 0,085 
V/m; (b) a velocidade de arrastamento é 0,04 mm/s e há 286 10× elétrons de 3condução/m ; (c) 
a resistividade é -83 10 Ω m× ⋅ e a intensidade do campo elétrico é 48 mV/m. 
Resp.: (a) 21,255 MA/m ; (b) 20,385 MA/m ; (c) 21,6 MA/m . 
 
19) 2V = 1000ρ em coordenadas cilíndricas. (a) Se a região 0,1<ρ<0,3m é vácuo e as superfícies 
ρ = 0,1 m e ρ = 0,3 m são condutoras, especifique a densidade superficial de carga em cada 
condutor. (b) Qual é a carga ao longo de 1 m de comprimento da região onde há vácuo? (c) 
Qual é a carga total ao longo de 1 m de comprimento, incluindo ambas as cargas superficiais? 
Resp.: (a) interno: 2-1,771 nC/m ; externo: 25,31 nC/m ; (b) -8,90 nC ; (c) 0 . 
 
20) Em um ponto P (-2,5,-4) em superfície condutora esférica, a densidade superficial de carga 
é 275 nC/m . Se o condutor está isolado no vácuo, encontre E
��
 fora e dentro do condutor nas 
vizinhanças do ponto P. 
Resp.: dentro: 0; fora: x y z-2530a + 6310a - 5050a V/m
� � �
. 
 
21) Um campo potencial é dado por 2 2 2 2V = 100ln{[(x+1) +y ]/[(x-1) +y ]} V . Sabendo que o 
ponto P(2, 1, 1) está na superfície do condutor e que ele está situado no vácuo, determinar o 
vetor unitário normal à superfície bem como a densidade superficial de carga no condutor. 
Resp.: 2n x y sa = (0,447a +0,894a ), ρ = 792 pC/m± ±
� � �
. 
 
22) Duas cascas esféricas condutoras possuem raios a = 2 cm e b = 5 cm. O interior é um 
dielétrico perfeito no qual εR = 10. (a) Determinar a capacitância do capacitor formado. 
(b) Uma porção do dielétrico é agora removida de modo que εR = 1, 0 < θ < pi/6, e εR = 10, 
pi/6 < θ < pi. Determinar a capacitância para esta configuração do capacitor. 
Resp.: (a) 37,1 pF; (b) 34,9 pF;. 
 
23) A uma certa temperatura, as mobilidades do elétron e do buraco são, respectivamente, 0,43 e 
20,21 m /V s⋅ para o germânio puro. Se as concentrações de elétrons e buracos são iguais a 
19 -32,3 10 m× , determine a condutividade a essa temperatura. 
Resp.: 2,36 S/m . 
EELLEETTRROOMMAAGGNNEETTIISSMMOO:: CCaappííttuulloo VV –– CCoonndduuttoorreess,, DDiieellééttrriiccooss ee CCaappaacciittâânncciiaa 4 
24) Uma amostra semicondutora tem uma seção reta retangular de 1,5 por 2 mm e comprimento 
de 1,1 cm. As concentrações de elétrons e buracos são, respectivamente, 181,8 10x e 
15 -33 10 m× . Se 2eµ = 0,082 m /V s⋅ e
2
bµ = 0,0021 m /V s⋅ , determinar a resistência oferecida 
entre as faces terminais da amostra. 
Resp.: 155 kΩ . 
 
25) O campo elétrico em um certo ponto no interior de um vidro pirex ( eχ 3= ) é dado 
por: x yzE = -50a +220a - 85a V/m
��
� � �
. (a) Determine o valor de R∈ para este material. 
(b) Determine P
��
 e D
��
 no ponto em questão. 
Resp.: (a) R e= χ +1=4∈ ; (b) 2x y zP = -1,328a + 5,84a - 2,26a nC/m
��
� � �
, 
 
2
x y zD = -1,771a + 7,792a - 3,01a nC/m
��
� � �
. 
 
26) O hidrogênio mono-atômico contém 25 35,42 10 átomos/m× sob certas condições de 
temperatura e pressão. Quando um campo elétrico de 2500 V/m é aplicado, o dipolo formado 
possui um comprimento efetivo -19d = 6,7 10 m× . Calcule a constante dielétrica com seis casas 
decimais. 
Resp.: 1,000263. 
 
27) A superfície de separação de dois dielétricos passa pela origem, e o vetor 
x y zA = -2a +5a +14a
��
� � �
 lhe é perpendicular neste ponto, apontando da região 1 R( = 1)∈ para a 
região 2 R( = 2)∈ . Sendo 1 x y zE = 30a - 15a + 45a V/m
���
� � �
, determine o ângulo (agudo) entre A
��
 e: 
(a) 1E
��
; (b) 1D
��
; (c) 2E
��
; (d) 2D
��
. 
Resp.: (a) 54,0° ; (b) 54,0° ; (c) 70,0° ; (d) 70,0° . 
 
28) Um condutor cilíndrico tem raio de 7 mm, e seu eixo dista 25mm de um plano condutor. O 
condutor está a um potencial de 2000 V e o plano está a 0 V. Considerando o conjunto no 
vácuo, determine: (a) a capacitância por unidade de comprimento; (b) a carga por unidade de 
comprimento do cilindro; (c) o módulo do campo elétrico no ponto do cilindro situado mais 
próximo do plano. 
Resp.: (a) 28,6 pF/m ; (b) 57,2 nC/m; (c) x-195,8a kV/m
�
. 
 
29) Para um capacitor de placas paralelas, totalmente preenchido com um dielétrico, temos: d = 4 
mm, 2S 64cm= e R 5∈ = . (a) Determine a sua capacitância. 
 Aplica-se uma tensão de 20 V entre as placas. (b) Determine E, D, Q e EW . 
 Agora, removemos a fonte de tensão, sem alterar a tensão entre as placas, e retiramos, 
cuidadosamente, o dielétrico. (c) Qual é valor de Q após a operação? (d) Determine 
novamente os valores de E, D e EW . (e) Qual é o valor de V0 após a operação? 
Resp.: (a) 70,8 pF ; (b) 5 kV/m ; 20,221 µC/m ; 1,417 nC; 14,17 nJ; 
 (c) 1,417 nC (d) 20,221 µC/m ; 25 kV/m, 70,8 nJ ; (e) 100 V. 
 
30) Os capacitores são tão mais caros quanto maiores forem a capacitância e Vmáx. A tensão Vmáx 
depende do campo elétrico RDE para qual o dielétrico está na iminência de romper (rigidez 
dielétrica). Qual dos seguintes dielétricos dará o maior produto máx CV : (a) 
mica: 8R RD= 5,4, E = 10 V/m∈ ; (b) titanato de bário: 6R RD= 1200, E = 3 10 V/m∈ × ; (c) 
neoprene: 6R RD= 6,6, E = 1,2 10 V/m∈ × ; (d) ar: 6R RD= 1, E = 3 10 V/m∈ × ? 
Resp.: (b) titanato de bário. 
EELLEETTRROOMMAAGGNNEETTIISSMMOO:: CCaappííttuulloo VVII –– EEqquuaaççõõeess ddee PPooiissssoonn ee ddee LLaappllaaccee 1 
Exercícios Adicionais do Capítulo VI (Professor) 
 
01) Determine se os seguintes campos potenciais satisfazem à Equação de Laplace: 
(a) V = x2
 
–
 
y2
 
+ z2; (b) V = ρ cosφ + z; (c) V = r cos θ +φ. 
 Resp.: (a) não; (b) sim; (c) sim. 
 
02) Os cones θ = pi/6 e θ = pi/3 estão com potenciais de – 1,317 V e – 0,549 V, respectivamente. 
(a) As funções potenciais V1 = ln [tg (θ/2)] e V2 = – ½ ln [(1 + cos θ)/(1 – cos θ)] satisfazem 
as condições de contorno supracitadas? (b) V1 e V2 satisfazem à equação de Laplace? (c) V1 e 
V2 são idênticas? 
 Resp.: (a) sim; (b) sim; (c) sim. 
 
03) Determine o módulo de Er no ponto (1, 2, 3) no ar para o campo de: (a) dois cilindros 
condutores concêntricos, V = 100 V em ρ = 1 m e V = 20 V em ρ = 3 m; (b) dois planos 
condutores radiais, V = 100 V em φ = 20° e V = 20 V em φ = 80°; (c) duas esferas 
condutoras concêntricas, V = 100 V em r = 1 m e V = 10 V em r = 4 m; (d) dois cones 
condutores coaxiais , V = 100 V em θ = pi/4 e V = 20 V em θ = pi/5. 
 Resp.: (a) 32,6 [V/m]; (b) 34,2 [V/m]; (c) 8,57 [V/m]; (d) 147,3 [V/m]. 
 
04) Um diodo de junção de silício é fabricado com Na = Nd = 1,5 × 1021 átomos/m3, εR = 12 e a 
área de junção é S = 5 × 10-8
 
m
2
. A diferença de potencial através da junção é V0 =5 V. 
Determinar: (a) a máxima densidade de cargas v,máx 0ρ = ρ ; (b) C da junção. (c) E na junção. 
Dados: 20 0V 2 a /= piρ ε ; 0 junção 0Q 2 aS; E 2 a /= ρ = ρ ε ; sendo a definido como uma 
distância medida a partir da junção (x = 0) tal que v,máx 0 a deN eN em x 0,881aρ = ρ = = = . 
 Resp.: (a) 240,3 [C/m3]; (b) 1,425 [pF] (Usar 0C dQ / dV= ); (c) 2,68 [MV/m] 
 
05) Se V = 1 V em x = 1 mm, e V = 0 em x = 0 , determine V em x = 2 mm no vácuo se: 
(a) ρ = – 105 ε0 C/m3; (b) ρ = – 12 × 107 ε0 x C/m3. 
 Resp.: (a) 2,10 [V]; (b) 2,12 [V]. 
 
06) (a) Mostre que a solução piyV 100e cos x−= pi satisfaz à equação 
2 2
2 2
d X d YY X 0
dx dy
+ = . 
(b) Determine o valor numérico de α2 na equação 22
2
α
dx
Xd
X
1
= . 
 Resp.: (a) Ok; (b) – 9,87. 
 
07) Determine o Laplaciano de: (a) 22 yx1 + ; (b) 222 zyx1 ++ ; (c) 1/ ρ ; (d) 1/r. 
 Resp.: (a) (x2
 
+ y2)– 1.5; (b) 0; (c) ρ-3 ; (d) 0. 
 
08) Dado o campo potencial V = 5x2yz + ky3z, (a) determine k de tal modo a satisfazer à Equação 
de Laplace. (b) Para este valor de k, especifique a direção de Er no ponto (2, 1,–1) por meio 
de um valor unitário. 
 Resp.: (a) -5/3; (b) x y z0,645a +0,484a -0,591a
r r r
. 
 
09) Para cada campo potencial dado abaixo, determine o valor do Laplaciano na origem e 
verifique se campo satisfaz ou não à Equação de Laplace: 
(a) V = (x+1)2 (y + 1) – z2; (b) V = e–3x sen(5y) senh(4z). 
 Resp.: (a) 0, não; (b) 0, sim. 
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10) Para que o valor de k a solução V = V0 ln(tg kθ) satisfaz à Equação de Laplace em 
coordenadas esféricas? (b) Se k = 1 e V0 = 100 V, qual é o valor da densidade volumétrica de 
carga no ponto r = 2, θ = 45° e φ = 0° no vácuo? 
 Resp.: (a) 0,5 [pC/m3]; (b) – 443 [pC/m3]. 
 
11) Um professor pede a uma classe de graduação para encontrar uma função potencial que 
satisfaça à Equação de Laplace e às condições de contorno V = 0 em x = 0 e V = 1 em x = 1. 
Três soluções foram propostas. Um estudante de graduação timidamente sugeriu V1 = x. O 
professor, todavia, tem em mente V2 = x + epiy sen pix. Porém, um estudante graduado que 
dava assistência à classe, conhecendo mais matemática que todos os presentes, apresenta a 
solução: ( ) ( ) ( )n n y3
n 1
V x 1 / n 1 e sen n x
∞ pi
=
 
= + − + pi∑   
 
 (a) Mostre que todas as três funções satisfazem a Equação de Laplace bem como às condições 
de contorno; (b) De acordo com o Teorema da Unicidade temos então três soluções idênticas, 
ou será que existe algo errado? Explique. 
 Resp.: (a) todas satisfazem; (b) as condições de contorno não foram dadas para um superfície 
fechada, e o Teorema da Unicidade não se aplica. 
 
12) O campo potencial V = (40x – 20y + 35z + 10) [kV] existe entre dois planos condutores 
paralelos cujas áreas são ambas iguais a 120 cm2. Sabendo-se que a separação entre eles é de 
0,8 mm e que eles estão imersos no ar, determinar a tensão e a magnitude do campo elétrico 
entre eles bem como o valor da capacitância. 
 Resp.: 45,43 [V]; 56,789 [kV/m]; 132,81 [pF]. 
 
13) A equação V = A ln ρ + B representa a solução geral, em coordenadas cilíndricas, da Equação 
de Laplace no caso de variações de potencial restritas à variável ρ. Selecione A e B de modo 
que: (a) V = 250 V em ρ = 1 mm e V = 1 000 V em ρ = 5 mm; (b) V = 0 em ρ = 4 mm e 
Eρ = 15 kV/m em ρ = 0,8 mm; (c) V = 10 V e Eρ = 10 kV/m em ρ = 4 mm. 
 Resp.: (a) A = 466, B = 3469; (b) A = – 12; B = – 66,3; (c) A = – 40, B = – 211. 
 
14) Dado o campo potencial em coordenadas cilíndricas, V = 1.000φ + 50 [V], determine os 
valores das seguintesgrandezas para o ponto P (0,4; 30°; 1,1) no ar: (a) V; (b) Er ; 
(c) densidade de energia. (d) Determine a energia total armazenada na região ρ1 ≤ ρ≤ ρ2, 
φ1 ≤ φ ≤ φ2, z1 ≤ z ≤ z2. 
 Resp.: (a) 574 [V]; (b) – 2500 φa
r
 [V/m]; (c) 27,7 [µJ/m3]; 
(d) 4,43 (φ2 – φ1) (z2 –.z1) ln (ρ2/ ρ1) [µJ]. 
 
15) A região 2 < r < 5 m entre duas esferas condutoras concêntricas está preenchida com um 
dielétrico não homogêneo para o qual εR = (r + 1)/r. (a) A Equação de Laplace é satisfeita na 
região entre as esferas? (b) Se a esfera interna tem V = 1.000 V e a externa V = 200 V, 
determine V(r). (c) Qual é a capacitância C entre as esferas? 
 Resp.: (a) Não, pois εR varia; (b) V(r) = 200 + 3585,1361 ln [(r + 1)/1,2r]; (c) C = 499 [pF]. 
Nota: Pode-se também expressar (b) como: V(r) = -453,6476 + 3585,1361 ln [(r + 1)/r] 
 
16) Dois cones condutores localizados em θ = 30° e θ = 75°, estão separados por um espaço 
infinitesimal isolante na origem. Sendo o potencial do cone interno igual a 20 V e 
θa50E
vr
= [V/m] em P (r = 0,5; θ = 60°; φ= 130°), determine: (a) V no ponto P; (b) a diferença 
de potencial entre os cones. 
 Resp.: (a) 3,38 V; (b) 22,8 V. 
 
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17) Temos uma distribuição simétrica de cargas ρ = ρ0 a5/[r(r2 + a2)2]. (a) Institua e resolva a 
equação de Poisson para V(r) sabendo-se que Er = ρ0a/2ε em r = a e Vr → 0 quando 
r → ∞. (b) Encontre novamente V(r) usando, agora, a Lei de Gauss e uma integral de linha. 
 Resp.: (a) V = ρ0 pia2[1 – (2/pi) arctg (r/a)]/2ε; (b) O mesmo. 
 
18) Considere que o campo potencial em coordenadas esféricas não seja função de φ e que possa 
ser expresso como uma solução produto, V = RΘ, onde R = R(r) e Θ = Θ(θ). Substitua a 
expressão considerada na Equação de Laplace e então proceda à separação das funções de r e 
θ por intermédio da constante de separação α2;
. 
(a) Mostre que a equação diferencial ordinária resultante em r é R” + 2 (R’/r) – α2R2/r = 0; 
(b) Determine a equação ordinária correspondente em θ. 
 Resp.: (a) Demonstração; (b) Θ” + cot θ Θ’ + α2 Θ = 0. 
 
19) Encontre o potencial e a densidade volumétrica de carga no ponto P(0,5; 1,5; 1) no espaço 
livre para o campo de potencial: (a) 2 2 2V 2x y z [V]= − − ; (b) V 6 z [V]= ρφ ; 
(c) 2V 5(2r 7)cos cos [V]= − θ φ ; (d) V 3x y [V]= − 
 Resp.: (a) -2,75 V, 0; (b) 11,85 V, -42,0 pC/m3; (c) 0, -89,8 pC/m3; (d) 0, 0. 
 
20) De que maneira deve variar a permissividade de um meio não homogêneo, sem cargas, de 
modo que a Equação de Laplace continue a valer? 
(Dica: Partir da demonstração da Equação de Laplace, ou [ V] v 0∇ • ε∇ = −ρ =
r r
 e ε ≠ constante.) 
 Resp.: ∂ε/∂x = ∂ε/∂y= ∂ε/∂z= 0 
 
21) Se V = 2 [V] em x = 1 [mm], e V = 0 em x = 0, determinar Ex em x = 1 [mm] no espaço livre 
para a seguinte densidade volumétrica de carga (ρv): 
(a) -106 ε0 [C/m3]; (b) -3×108 ε0 x [C/m3]. 
 Resp.: (a) -2500 [V/m]; (b) -2100 [V/m] 
 
22) (a) Dado o potencial em coordenadas cilíndricas, V = 10(ρα + ρ–β) cos 8φ, determine os 
valores apropriados para os parâmetros α e β, de modo que V satisfaça à Equação de Laplace. 
(b) Selecione valores positivos para α e β e encontre V e Er em ρ = 1, φ = pi/6. 
 Resp.: (a) α = ± 8, β = ± 8; (b) V = –10 [V], Er = 138,564 [V/m]. 
 
23) Que quantidade de carga deve haver dentro de uma esfera centrada na origem de modo a 
produzir o potencial V = –6r5/ε0 para r ≤ 1 ? 
 Resp.: 120pi [C]. 
 
24) (a) Mostre que V1 = C/r satisfaz à Equação de Laplace em coordenadas esféricas. (b) Mostre 
que V1 = C/a na superfície r = a. (c) Mostre que V2 = C/r + 5/r – 5/a satisfaz à Equação de 
Laplace. (d) Mostre que V2 = C/a na superfície r = a. (e) Como V1 é diferente de V2, por que o 
teorema da unicidade falha? 
 Resp.: (a) OK exceto para r = 0; (b) OK; (c) OK exceto em r = 0; (d) OK; (e) As condições do 
teorema da unicidade não são satisfeitas na região fechada (portanto V1 ≠ V2 para r ≠ a). 
 
25) Encontre V(x,y,z) e Er (x,y,z) em um capacitor de placas paralelas que tenha a equipotencial 
de 100 V passando pela origem e sua superfície de 0 V no plano, x + 2y – 5z = 8. 
 Resp.: 100 – 12,5(x + 2y – 5z) [V], zyx a62,5a25a12,5
vvv
−+ [V/m]. 
 
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26) O espaço entre dois condutores coaxiais com raios 1 e 5 cm é preenchido com um dielétrico 
não homogêneo para o qual ε = ε0 (1 + 100ρ). Se o condutor interno está a mais 100 V que o 
outro, encontre: (a) Eρ em ρ = 3 cm; (b) V(ρ). 
 Resp.: (a) 1631,346 [V/m]; (b) 195,7615 ln [(ρ + 0,01)/ρ] + B. 
 
27) (a) Despreze o efeito de bordas e encontre a capacitância entre dois planos paralelos no ar, se 
eles são descritos em coordenadas cilíndricas por φ = 20° e φ = 25°, 0,001 < ρ < 0,2 m, 
0 < z < 1. (b) Encontre Eφ em ρ = 0,1, φ = 22,5°. (c) Determine a capacitância se um dos 
planos é rodado de 5° de modo que os dois planos fiquem paralelos, sendo que a intensidade 
de campo elétrico entre eles é uniforme e igual àquela dada no item (b). 
 Resp.: (a) 537 pF; (b) 114,6V0 V/m; (c) 202 pF. 
 
28) A região entre dois condutores cilíndricos concêntricos, com raios 2 e 5 cm, contém uma 
distribuição volumétrica de cargas de – 10–8(1 + 10ρ) C/m3. Faça ε = ε0. Se Er e V são ambos 
zero no cilindro interno, encontre V no cilindro externo. 
 Resp.: 0,506 V (Nota: A = -0,2560 e B = -1,12446). 
 
29) A Equação de Laplace deve ser resolvida em coordenadas esféricas separadamente em duas 
regiões diferentes, 1 < r < 3 onde εR = 2 e 3 < r < 4, onde εR = 1. Na região interna use a 
condição de contorno de V = 100 em r = 1 e na esfera externa selecione V = 0 em r = 4. 
Obrigue então, as duas soluções a serem idênticas em r = 3, assim como a satisfazer às 
condições de contorno para os dielétricos. Encontre V em : (a) r = 2; (b) r = 3; (c) r = 3,5. 
 Resp.: (a) 40; (b) 20; (c) 8,57. 
 
30) Duas superfícies cônicas, θ = 20° onde V = 10 V e θ = 40°, onde V = 3 V, estão separadas por 
um material condutor homogêneo σ = 0,02 S/m. Determinar: 
(a) a expressão do campo de potencial entre as superfícies; 
(b) a expressão da magnitude do campo elétrico entre as superfícies; 
(c) a corrente total que passa de cone a cone na região 0 < φ < 90° e 0,1 < r < 0,2 m; 
(d) a corrente total que passa de cone a cone na região 10,1 < r < 10,2 m. 
 Resp.: (a) 10 – 7 [ln(tg (θ/2) / tg 10°)] / [ln(tg 20° / tg 10°)]; 
(b) 7 / {[rsen (θ)] [ln(tg 20° / tg 10°)]}; 
(c) 30,3 [mA]; 
(d) 121,2 [mA]. 
 
 
CONSTANTES FÍSICAS 
Grandeza Símbolo e Valor Unidade 
Carga do elétron 19e 1, 6022 10−= × C 
Massa do elétron 31em 9,1095 10
−
= × kg 
Permissividade do vácuo 120 8,854 10
−ε = × F/m 
Permeabilidade do vácuo 70 4 10
−µ = pi× H/m 
Velocidade da luz 8c 2,9979 10= × m/s