Álgebra Linear: Retas e Planos

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ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
Prezado (a) aluno (a), 
Na Álgebra Linear, planos e retas são entidades geométricas fundamentais 
estudadas em um espaço tridimensional. Um plano é uma superfície plana que se 
estende infinitamente em todas as direções, definido por uma equação linear. A 
compreensão das características e propriedades de retas é vital para a resolução 
de problemas que envolvem movimento, trajetórias e otimização. Em conjunto, o 
estudo de planos e retas na Álgebra Linear amplia nossa compreensão do espaço 
tridimensional e fornece ferramentas essenciais para modelagem e resolução de 
problemas complexos em diversas áreas. 
 
Bons estudos! 
 
AULA 4 – RETAS 
E PLANOS 
4 INTRODUÇÃO 
Estamos familiarizados com a equação de uma reta no plano cartesiano com 
base nas aulas anteriores. Agora, vamos considerar retas em R² do ponto de vista 
vetorial. As ideias que aparecem neste estudo nos permitem a generalização para 
retas em R³ e planos em R³. 
Muito da álgebra linear que estudaremos tem sua origem na geometria simples 
de retas e planos, a habilidade de visualizar esses elementos e pensar em um 
problema geometricamente nos será de grande valia. 
4.1 Retas em R² e em R³ 
No plano 𝑥𝑦, a forma geral da equação de uma reta é 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐. Se 𝑏 ≠ 0, a 
equação pode ser reescrita como 𝑦 = −(
𝑎
𝑏
) 𝑥 +
𝑐
𝑏
, que tem a forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑘. Uma 
forma coeficiente angular-interseção, em que 𝑚 é o coeficiente angular da reta, e o 
ponto de coordenadas (0, 𝑘) é sua interseção com o eixo 𝑦. Para fazer essa descrição 
com vetores, observe atentamente o exemplo a seguir: 
Exemplo 1: A reta ℓ de equação 2𝑥 + 𝑦 = 0, (Figura 1a), é uma reta de coeficiente 
angular −2 passando pela origem. O lado esquerdo da equação tem a forma de um 
produto escalar, de fato, se consideramos 𝑛 = [
2
1
] e 𝑥 = [
𝑥
𝑦], a equação se torna 𝑛 ∙
𝑥 = 0. O vetor 𝑛, é perpendicular a reta, ou seja, é ortogonal a qualquer vetor 𝑥 paralelo 
à reta (Figura 1b), e é chamado de vetor normal à reta. A equação 𝑛 ∙ 𝑥 = 0, é a forma 
normal da equação de ℓ. 
Figura 1 – (a) Reta 2𝑥 + 𝑦 = 0; (b) Vetor normal 𝑛 
 
Fonte: Adaptado de Anton e Busby (2006). 
Outra forma de pensar sobre essa reta é imaginar uma partícula movendo-se 
ao longo dela. Suponhamos que a partícula esteja na origem no instante 𝑡 = 0 e se 
movimente ao longo da reta de modo que sua coordenada 𝑥 varie em uma unidade 
por segundo. Assim, no instante 𝑡 = 1, a partícula está em (1, −2), em 𝑡 = 1,5, a 
partícula está em (1,5, −3). Se permitirmos valores negativos para 𝑡, isto é, se 
considerarmos onde a partícula estava no passado, por exemplo, em 𝑡 = −2, a 
partícula está/estava em (−2, 4). Esse movimento está ilustrado na Figura 2 a seguir. 
Figura 2 – Representação gráfica de movimentação de partícula 
 
Fonte: Anton e Busby (2006). 
Em geral, se 𝑥 = 𝑡, então 𝑦 = −2𝑡. Essa relação pode ser escrita na seguinte 
forma vetorial: 
[
𝑥
𝑦] = [
𝑡
−2𝑡
] = 𝑡 [
1
−2
] 
O vetor 𝑡 [
1
−2
] é considerado como um vetor particular paralelo a ℓ, chamado 
de vetor diretor para a reta (Figura 3). Podemos escrever a equação de 𝓵 como 𝑥 =
𝑡𝑑. 
Figura 3 – Representação gráfica do vetor diretor 𝑑 
 
Fonte: Anton e Busby (2006). 
Exemplo 2: Considere a reta ℓ de equação 2𝑥 + 𝑦 = 5 (Figura 4). É justamente a 
reta do Exemplo 1, com algumas alterações. Ela também possui coeficiente angular 
−2, mas sua interseção com o eixo 𝑦 é no ponto (0, 5). É claro que os vetores 𝑑 e 𝑛 
do Exemplo 1 são, respectivamente, um vetor diretor e um vetor normal a essa reta. 
Figura 4 – Representação gráfica da equação 2𝑥 + 𝑦 = 5 
 
Fonte: Anton e Busby (2006). 
Assim, 𝑛 é ortogonal a todo vetor que seja paralelo a ℓ. O ponto 𝑃 = (1, 3) 
pertence a reta ℓ. Se 𝑋 = (𝑥, 𝑦) representa um ponto geral de ℓ, então o vetor 𝑃𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗ =
𝑥 − 𝑝 é paralelo a ℓ e 𝑛 ∙ (𝑥– 𝑝) = 0 (Figura 5). Simplificando, temos 𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑝. 
Para verificar, devemos calcular: 
 
Assim, a forma normal 𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑝 é uma representação diferente da forma 
geral da equação da reta. Podemos analisar no Exemplo 1, em que 𝑝 era o vetor nulo, 
por isso o lado direito da equação resultou em 𝑛 ∙ 𝑝 = 0. 
Figura 5 - Representação gráfica da equação 𝑛 ∙ (𝑥 − 𝑝) = 0 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Definição: A forma normal da equação de uma reta ℓ em 𝑅², é do tipo: 
𝑛 ∙ (𝑥– 𝑝) = 0 ou 𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑝 
em que 𝑝 é um ponto específico de ℓ e 𝑛 ≠ 0 é um vetor normal a ℓ. A forma geral da 
equação de ℓ é: 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐, 
em que, 𝑛 = [
𝑎
𝑏
] é um vetor normal a ℓ. 
Dando continuidade ao Exemplo 2, vamos encontrar a forma vetorial da 
equação de ℓ. Observe que, para cada escolha de 𝑥, 𝑥 – 𝑝 deve ser paralelo ao vetor 
diretor 𝑑, e, portanto, um múltiplo de 𝑑. Isto é, 𝑥 − 𝑝 = 𝑡𝑑 ou 𝑥 = 𝑝 + 𝑡𝑑 para 
algum escalar 𝑡. Em termos de componentes, temos: 
 
ou 
 
A equação (1) é a forma vetorial da equação de ℓ, e as equações das 
componentes, que é a equação 2, são chamadas de equações paramétricas da reta. 
A variável 𝑡 é denominada de parâmetro. 
Para generalizar para 𝑅³, observe que as formas vetorial e paramétrica das 
equações da reta se adaptam perfeitamente. A noção de coeficiente angular de uma 
reta em 𝑅², que é difícil de generalizar para três dimensões, é substituída pela noção 
mais conveniente de vetor diretor, conduzindo à seguinte definição: 
Definição: A forma vetorial da equação de uma retal em 𝑅² ou em 𝑅³ é do 
tipo: 
𝑥 = 𝑝 + 𝑡𝑑 
em que 𝑝 é um ponto específico de ℓ e 𝑑 ≠ 0 é um vetor diretor de ℓ. As equações 
correspondentes às componentes da forma vetorial da equação são chamadas 
equações paramétricas de ℓ. 
Geralmente apenas nos referimos a essa terminologia como equações geral, 
normal, vetorial e paramétricas de uma reta ou plano. 
Exemplo 3: Determine equações nas formas vetorial e paramétrica da reta em R³ que 
passa pelo ponto 𝑃 = (1, 2, −1) e é paralela ao vetor 𝑑 = [
5
−1
3
]. 
Solução: A equação vetorial 𝑥 = 𝑝 + 𝑡𝑑 é: 
 
A forma paramétrica é: 
𝑥 = 1 + 5𝑡 
𝑦 = 2 − 𝑡 
𝑧 = −1 + 3𝑡 
(1) 
(2) 
A equação vetorial e as equações paramétricas de uma dada reta ℓ não são 
únicas, de fato, existem infinitas, já que podemos considerar qualquer ponto de ℓ para 
determinar 𝑝 e qualquer vetor diretor de ℓ. No entanto, todos os vetores diretores são 
claramente múltiplos um do outro. 
Utilizando o Exemplo 3, suponha que (6, 1, 2) seja outro ponto sobre a reta, 
considere 𝑡 = 1 e que [
10
−2
6
] é outro vetor diretor, assim temos: 
 
uma equação diferente, mas equivalente, para a reta. A relação entre os dois 
parâmetros se 𝑡 pode ser obtida comparando-se as equações paramétricas, para 
cada ponto (𝑥, 𝑦, 𝑧) de ℓ, temos: 
 
Implicando que: 
 
Todas essas equações se reduzem a 𝑡 = 1 + 2𝑠. 
Intuitivamente, sabemos que uma reta é um objeto unidimensional. Observe 
que, essa ideia parece combinar com o fato de que a equação vetorial de uma reta 
requer apenas um parâmetro. 
Exemplo 4: Encontre uma equação vetorial para a reta ℓ em 𝑅³ determinada pelos 
pontos 𝑃 = (−1, 5, 0) e 𝑄 = (2, 1, 1). 
Solução: Podemos escolher qualquer ponto de ℓ como 𝑝, neste exemplo, será 
utilizado 𝑃. 
Um vetor diretor conveniente é 𝑑 = 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = [
3
−4
1
], ou qualquer múltiplo escalar 
deste. Assim, obtemos: 
𝑥 = 𝑝 + 𝑡𝑑 = [
−1
5
0
] + 𝑡 [
3
−4
1
] 
4.2 Planos em R³ 
Para que a equação geral de uma reta se generalize para 𝑅³, é simples 
imaginar que, se 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 é a forma geral da equação de uma reta em 𝑅², então 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑 deve representar uma reta em 𝑅³. Na forma normal, essa equação 
é 𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑝, em que 𝑛 é um vetor normal à reta e 𝑝 corresponde a um ponto dela. 
Para verificar se essa é uma hipótese razoável, vamos refletir sobre o caso 
especial da equação 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 0. Em suaforma normal, ela é 𝑛 ∙ 𝑥 = 0, 
em que 𝑛 [
𝑎
𝑏
𝑐
]. 
No entanto, o conjunto de todos os vetores 𝑥 que satisfazem a essa equação 
é o conjunto de todos os vetores ortogonais a 𝑛, como no gráfico abaixo. 
 
 
Existem infinitos vetores de sentidos diferentes que possuem essa propriedade, 
determinando uma família de planos paralelos. Assim, nossa suposição está incorreta, 
pois, aparentemente 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑 é a equação de um plano e não uma reta em 
𝑅³. 
Todo plano 𝒫 em 𝑅³, pode ser determinado através da especificação de um 
ponto 𝑝 em 𝒫 e um vetor não nulo 𝑛 normal a 𝒫. Portanto, se 𝑥 representa um ponto 
arbitrário de 𝒫, temos que (𝑛 − 𝑝) = 0 ou 𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑝. Se 𝑛 [
𝑎
𝑏
𝑐
] e 𝑥 [
𝑥
𝑦
𝑧
], em termos das 
componentes, a equação se torna 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑, em que 𝑑 = 𝑛 ∙ 𝑝. 
A forma normal da equação de um plano 𝒫 em 𝑅³ é do tipo: 
𝑛 ∙ (𝑥 − 𝑝) = 0 ou 𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑝, 
em que 𝑝 é um ponto específico de 𝒫 e 𝑛 ≠ 0 é um vetor normal a 𝒫. 
A forma geral da equação de 𝒫 é: 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑 
em que 𝑛 [
𝑎
𝑏
𝑐
] é um vetor normal a 𝒫. 
Note que qualquer múltiplo escalar de um vetor normal ao plano é outro vetor 
normal. 
Exemplo 5: Encontre formas normal e geral da equação do plano, que contém o 
ponto 𝑃 = (6, 0, 1) e tem vetor normal 𝑛 = [
1
2
3
]. 
Solução: Com 𝑝 = [
6
0
1
] e 𝑥 = [
𝑥
𝑦
𝑧
], temos 
𝑛 ∙ 𝑝 = 1 ∙ 6 + 2 ∙ 0 + 3 ∙ 1 = 9, 
portanto, a equação normal 𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑝 se transforma na equação geral: 
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 9. 
Geometricamente, é claro que planos paralelos têm os mesmos vetores 
normais. Assim, as equações gerais têm os lados esquerdos múltiplos um do outro. 
Por exemplo, 2𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 10 é uma equação geral de um plano 
paralelo ao plano do Exemplo 5, já que podemos reescrever essa equação como: 
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 5, a partir da qual percebemos que os dois planos têm o mesmo 
vetor normal n. Observe que os planos não coincidem, pois os lados direitos das 
equações dos dois planos são distintos. 
Também podemos expressar a equação do plano na forma vetorial ou 
paramétrica. Para isso, observe que um plano pode ser determinado especificando- 
se um de seus pontos 𝑃 (pelo vetor 𝑝) e dois vetores diretores 𝑢 e 𝑣 paralelos ao 
plano, mas não paralelos entre si. 
Na Figura 6 abaixo, podemos observar que, dado qualquer ponto 𝑋 no plano, 
localizado pelo vetor 𝑥, podemos sempre encontrar múltiplos apropriados 𝑠𝑢 e 𝑡𝑣 
dos vetores diretores, de maneira que 𝑥 − 𝑝 = 𝑠𝑢 + 𝑡𝑣 ou 𝑥 = 𝑝 + 𝑠𝑢 + 𝑡𝑣. 
Se escrevermos essa equação em componentes, obtemos equações paramétricas 
para o plano. Por definição, a forma vetorial da equação de um plano 𝒫 em 𝑅³ é do 
tipo: 
𝑥 = 𝑝 + 𝑠𝑢 + 𝑡𝑣 
em que 𝑝 é um ponto de 𝒫 e 𝑢 e 𝑣 são vetores diretores de 𝒫. Esses vetores 
diretores são não nulos e paralelos a 𝒫, mas não paralelos entre si. 
Figura 6 - 𝑥 − 𝑝 = 𝑠𝑢 + 𝑡𝑣 
 
Fonte: Anton e Busby (2006). 
As equações correspondentes às componentes da equação vetorial são 
chamadas equações paramétricas de 𝒫. 
Exemplo 6: Encontre uma equação vetorial e uma paramétrica para o plano do 
Exemplo 5. 
Solução: É preciso determinar dois vetores diretores. Temos um ponto 𝑃 = (6, 0, 1) 
no plano; se encontrarmos dois outros pontos 𝑄 e 𝑅 em 𝒫, os vetores 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ poderão 
servir como vetores diretores, a menos que, por falta de sorte, eles sejam paralelos. 
Por tentativa e erro, observe que os pontos 𝑄 = (9, 0, 0) e 𝑅 = (3, 3, 0) satisfazem a 
equação geral 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 9, e, portanto, estão no plano. Calcula-se: 
 
os quais, por não serem múltiplos escalares um do outro, servirão como vetores 
diretores. Por conseguinte, obtemos uma equação vetorial de 𝒫. 
 
e as correspondentes equações paramétricas, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. Porto Alegre: 
Bookman, 2006. 
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2012. 
LAY, D.; LAY, S.; MACDONALD, J. Álgebra linear e suas aplicações. 5. ed. Rio 
de Janeiro: LTC, 2018. 
LIMA, E. Álgebra linear. 9. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2016.