Rodney J Biezuner

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Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear
Rodney Josué Biezuner 1
Departamento de Matemática
Instituto de Ciências Exatas (ICEx)
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)
14 de junho de 2022
1E-mail: biezunerufmg@gmail.com; homepage: http://www.mat.ufmg.br/~rodney.
mailto:biezunerufmg@gmail.com
http://www.mat.ufmg.br/~rodney
Sumário
Capa 1
Sumário 3
1 Matrizes 4
1.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Operações com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Soma de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Produto de uma Matriz por um Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Produto de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4 Transposta de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Propriedades das Operações Matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Propriedades da Soma de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Propriedades do Produto de uma Matriz por um Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3 Propriedades do Produto de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.4 Propriedades da Transposta de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Polinômios de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.2 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Sistemas Lineares e Inversão de Matrizes 22
2.1 Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Sistemas de Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Resolução de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1 Operações Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2 Forma Escalonada Reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.3 Método de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Número de Soluções de um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 Sistemas Lineares Homogêneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.1 Método de Gauss-Jordan para Sistemas Lineares Homogêneos . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.2 Número de Soluções de um Sistema Linear Homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6 A Inversa de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7 Cálculo da Inversa de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Vetores no Plano e no Espaço 42
3.1 Vetores como Objetos Geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Operações com Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.1 Soma de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.2 Multiplicação de um Vetor por um Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Propriedades das Operações Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1
GAAL Natural 2
3.3.1 Soma de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.2 Multiplicação de um Vetor por um Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4 Vetores em Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.1 Operações com Vetores em Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.2 Norma de um Vetor em Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5.1 Produto Escalar em Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5.2 Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.3 Cálculo do Ângulo entre Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5.4 Propriedades do Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5.5 Vetores Unitários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5.6 Projeção Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6 Área e Volume: Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6.1 Área: Determinante de Matrizes 2× 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6.2 Volume: Determinante de Matrizes 3× 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6.3 Determinante da Transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.7 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.7.1 Definição Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.7.2 Propriedades do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.7.3 Produto Vetorial em Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.8 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.8.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.8.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4 Retas e Planos 80
4.1 Introdução: Equações Paramétricas e Equações Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.1 A Equação Paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.2 A Equação Cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Equações Paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.1 Equação Paramétrica da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.2 Equação Paramétrica do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3 Equações Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.1 Equação Cartesiana do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.2 Equação Cartesiana da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.4 Distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4.1 Distância entre um Ponto e um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4.2 Distância entre um Ponto e uma Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4.3 Distância entre dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.4.4 Distância entre duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.5 Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5.1 Ângulos entre duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5.2 Ângulos entre uma Reta e um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5.3 Ângulos entre dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5 O Espaço Rn106
5.1 Espaço de Pontos Rn e o Espaço Vetorial Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.1.1 Combinações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2 Subespaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3 Bases e Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.3.1 Vetores Geradores de um Subespaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.3.2 Independência Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
GAAL Natural 3
5.3.3 Bases e Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.3.4 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3.5 Mudança de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.3.6 Mudança de Coordenadas por Translações, Rotações e Reflexões em R2 . . . . . . . . 127
5.4 Produto Escalar em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.4.1 Definição e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.4.2 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.4.3 Método de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.5 Volumes n-dimensionais: Determinante de Matrizes n× n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6 Funções Lineares 140
6.1 Representação de Funções Lineares por Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.2 Funções Lineares no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2.1 Expansões e Contrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2.2 Cisalhamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.2.3 Rotações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.2.4 Reflexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7 Diagonalização de Matrizes 146
7.1 Matrizes Diagonalizáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.2 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.3 Diagonalização de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.3.1 Obtenção dos Autovalores: Autopolinômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.3.2 Obtenção dos Autovetores: Resolução do Sistema Homogêneo . . . . . . . . . . . . . . 151
7.4 Matrizes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.5 Diagonalização de Matrizes Simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8 Identificação de Cônicas 162
8.1 Introdução: Identificação de Cônicas em R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.2 As Cônicas e suas Formas Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.2.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.2.2 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.2.3 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.3 Identificação de Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.3.1 Eliminação do Termo Misto – Rotação do Sistema de Coordenadas . . . . . . . . . . . 177
8.3.2 Translação do Sistema de Coordenadas – Colocação na Forma Padrão . . . . . . . . . 181
8.3.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.4 Esboço dos Gráficos das Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Caṕıtulo 1
Matrizes
Matrizes estão entre as ferramentas mais fundamentais e úteis na Matemática Aplicada, Tecnologia e Ciências
Exatas. A modelagem de problemas no mundo real com mais de uma variável e de vários problemas compu-
tacionais e de simulação numérica são quase sempre feitas através de matrizes ou de formulações abstratas
cujo cálculo numérico efetivo é feito através de matrizes. Mesmo problemas que não são modelados direta-
mente por matrizes e até mesmo aqueles envolvendo apenas uma variável (tais como equações diferenciais
ordinárias) passam muitas vezes pela resolução de sistemas lineares, que por sua vez é feita através de cálculos
envolvendo matrizes. A criação e a aplicação de métodos rápidos para resolver sistemas lineares, muitas ve-
zes envolvendo milhares ou mesmo milhões de variáveis, requer um bom conhecimento das propriedades de
matrizes. Dominar matrizes e suas propriedades é portanto vital na formação de qualquer profissional na
área de ciências exatas e suas tecnologias.
1.1 Definição
1.1 Definição (Intuitiva). Uma matriz m × n A é uma tabela de mn objetos dispostos em m linhas e n
colunas:
A =

A11 A
1
2 . . . A
1
n
A21 A
2
2 . . . A
2
n
...
...
. . .
...
Am1 A
m
2 . . . A
m
n

O objeto de A cuja posição é a linha i e a coluna j é denotado por
Aij .
Ele é chamado uma entrada (ou elemento) da matriz.
Quando os objetos são números reais, dizemos que a matriz é uma matriz real. □
Outra notação comum para a entrada Aij é Aij . Neste curso trataremos quase que exclusivamente de matrizes
reais, portanto em geral chamaremos elas simplesmente de matrizes, sem precisar usar o adjetivo “reais”.
4
GAAL Natural 5
1.2 Exemplo.
A =

4 3 π
7 −1 3
2
0, 001 0 −27
−2
√
2 10100

é uma matriz 4× 3. Temos
A21 = 7,
A13 = π,
A43 = 10
100.
A45 e A
5
1 não fazem sentido.
B =
[
−1 3
2 7
]
é uma matriz 2× 2. Temos
B11 = −1,
B12 = 3,
B21 = 2,
B22 = 7.
Uma matriz genérica 3× 5 é
C =

C11 C
1
2 C
1
3 C
1
4 C
1
5
C21 C
2
2 C
2
3 C
2
4 C
2
5
C31 C
3
2 C
3
3 C
3
4 C
3
5
 .
□
1.3 Definição (Formal). Uma matriz real A é uma função real em duas variáveis i, j inteiras positivas
A : {1, . . . ,m} × {1, . . . , n} −→ R
(i, j) 7−→ A (i, j)
Cada número real A (i, j) é denotado
Aij .
□
Ou seja, uma matriz real é uma regra que atribui a cada par de inteiros (i, j) um único valor real Aij .
1.4 Exemplo. Uma matriz 3× 2 é uma função
A : {1, 2, 3} × {1, 2} −→ R.
Note que
{1, 2, 3} × {1, 2} = {(1, 1) , (1, 2) ,
(2, 1) , (2, 2) ,
(3, 1) , (3, 2)} .
GAAL Natural 6
Como uma tabela de números, A se escreve na forma
A =

A11 A
1
2
A21 A
2
2
A31 A
3
2
 .
Assim como o gráfico de uma função real de uma variável real f : R −→ R (que constituem o tópico de
estudo de Cálculo I) é uma representação gráfica da função, a qual é simplesmente uma regra que atribui
a cada número real x um único valor real f (x), uma tabela de números reais pode ser pensada como uma
representação gráfica de uma matriz real.
Para os propósitos deste curso, será suficiente pensar em matrizes como tabelas de números e esquecer a
definição formal. □
Pela definição formal fica claro que duas matrizes são iguais se e somente se elas tem o mesmo número de
linhas e o mesmo número de colunas e as mesmas entradas (isto é, os mesmos números ocupando as mesmas
posições).
Como este é um curso teórico, e não computacional, a maioria das matrizes (não todas) que encontraremos
no ińıcio terão entradas inteiras, para facilitar os cálculos e não obscurecer as idéias e conceitos. Mais adiante
no curso será inevitável trabalharmos com matrizes com entradas racionais, algébricas (isto é, envolvendo
ráızes quadradas) e mesmo transcendentais(envolvendo senos e cossenos). Quase nunca trabalharemos
com matrizes com entradas decimais. Estas são muito encontradas na prática, mas para lidar com elas é
melhor usar um computador, e serão vistas à exaustão nos cursos de Cálculo Numérico ou Álgebra Linear
Computacional.
1.5 Definição. Uma matriz 1× n é chamada uma matriz linha:[
A11 A
1
2 . . . A
1
n
]
.
Uma matriz m× 1 é chamada uma matriz coluna:
A11
A21
...
Am1
 .
Se A é uma matriz m× n, quando for conveniente denotaremos
Am×n
e dizemos que m× n é o tamanho de A.
Uma matriz m× n em que m = n é chamada uma matriz quadrada. □
Isto é, uma matriz quadrada é uma matriz que possui o mesmo número de linhas e colunas.
Uma linguagem precisa ajuda na comunicação das idéias entre as pessoas. Uma linguagem formal mais
próxima à coloquial ajuda na compreensão (menos tempo gasto na compreensão de palavras ou śımbolos
pouco usuais).
Note que duas matrizes A e B são iguais se e somente se elas tem o mesmo tamanho e
Aij = B
i
j
para todos os ı́ndices i, j.
GAAL Natural 7
1.6 Exemplo.
A =
[
−1 2 5 0 0 −4 3
]
é uma matriz linha 1× 7.
B =

2
−10
5
3
33
0

é uma matriz coluna 6× 1. □
1.7 Definição. Se A é uma matriz m× n, a i-ésima linha de A é a matriz linha
Ai =
[
Ai1 A
i
2 . . . A
i
n
]
.
A j-ésima coluna de A é a matriz coluna
Aj =

A1j
A2j
...
Amj
 .
□
1.8 Exemplo. Se C é a matriz 3× 4
C =
 0 −1 2 51 0 5 10
−1 2 −3 15
 ,
então a segunda linha de C é
C2 =
[
1 0 5 10
]
,
a segunda coluna de C é
C2 =
 −10
2

e a terceira coluna de C é
C3 =
 25
−3
 .
□
GAAL Natural 8
1.2 Operações com Matrizes
1.2.1 Soma de Matrizes
1.9 Definição. Se A,B são matrizes de mesmo tamanho m × n, então sua soma, denotada A + B, é a
matriz com o mesmo tamanho m× n definida por
(A+B)
i
j = A
i
j +B
i
j .
□
Ou seja, a soma de matrizes é definida de maneira natural: para somar duas matrizes, basta somar as
entradas correspondentes.
1.10 Exemplo. Se
A =
 1 0 −2−5 7 3
4 12 9
 e B =
 −1 2 34 5 7
−10 4 21
 ,
então
A+B =
 1 + (−1) 0 + 2 −2 + 3−5 + 4 7 + 5 3 + 7
4 + (−10) 12 + 4 9 + 21
 =
 0 2 1−1 12 10
−6 16 30

Se
C =
 2 √2π −3
0 7
 e D =
 4 13 3
106 4
 ,
então
C +D =
 2 + 3 √2 + 1π + 3 −3 + 3
0 + 106 7 + 4
 =
 6 √2 + 1π + 3 0
106 11
 .
□
1.2.2 Produto de uma Matriz por um Escalar
Por escalar entendemos qualquer número real.
1.11 Definição. Se A é uma matriz m× n e α é um escalar, então o produto de A por α, denotado αA,
é a matriz com o mesmo tamanho m× n definida por
(αA)
i
j = αA
i
j .
□
Ou seja, a multiplicação de matrizes é definida de maneira natural: para multiplicar uma matriz por um
escalar, basta multiplicar cada entrada pelo escalar.
GAAL Natural 9
1.12 Exemplo. Se
A =

1
2
2 −1
3 −7
2
0

então
2A =
[
1 4 −2
6 −7 0
]
,
5A =

5
2
10 −5
15 −35
2
0

e
−1
2
A =
 −
1
4
−1 1
2
−3
2
7
4
0
 .
□
1.2.3 Produto de Matrizes
O produto de matrizes não é definido de maneira natural, isto é, o elemento da matriz produto AB não
é simplesmente o produto dos elementos ocupando posições correspondentes em A e B. Motivado pelas
aplicações práticas, o produto de matrizes é definido de maneira mais complexa (mas fácil de calcular,
envolvendo apenas somas de produtos de dois números, como será descrito a seguir).
1.13 Definição. Se A é uma matriz m×p e B é uma matriz p×n, então o produto de A por B, denotado
AB, é a matriz m× n definida por
(AB)
i
j =
p∑
k=1
AikB
k
j .
□
O somatório quer dizer
p∑
k=1
AikB
k
j = A
i
1B
1
j +A
i
2B
2
j +A
i
3B
3
j + · · ·+AipB
p
j .
Portanto, para multiplicar a matriz A pela matriz B, o número de colunas de A deve ser igual ao número
de linhas de B, caso contrário o produto não está definido. O motivo disso é que a entrada (i, j) da matriz
produto AB é obtida multiplicando a i-ésima linha de A pela j-ésima coluna de B, isto é, somando os
produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A e a j-ésima coluna de B; portanto as linhas
de A devem ter o mesmo número de elementos das colunas de B:
(AB)
i
j = A
i
1 A
i
2 · · · Aip︸ ︷︷ ︸
linha i de A
coluna j de B︷ ︸︸ ︷
B1j
B2j
...
Bpj
.
GAAL Natural 10
Por exemplo, se A5×4 e B4×3 então (AB)5×3 e temos
(AB)
4
2 =
4∑
k=1
A4kB
k
2 = A
4
1B
1
2 +A
4
2B
2
2 +A
4
3B
3
2 +A
4
4B
4
2 .
1.14 Exemplo. Se
A =
[
1 0 −1
3 2 5
]
2×3
e
B =
 1 4 −1 13 0 7 2
2 1 0 3

3×4
então
AB =
[
−1 3 −1 −2
19 17 11 22
]
2×4
.
Por exemplo
(AB)
2
3 =
[
1 0 −1
3 2 5
] 1 4 −1 13 0 7 2
2 1 0 3

= 3 · (−1) + 2 · 7 + 5 · 0
= −3 + 14 + 0
= 11.
Em geral,
AB =
[
1 0 −1
3 2 5
] 1 4 −1 13 0 7 2
2 1 0 3

=
[
1 · 1 + 0 · 3 + (−1) · 2 1 · 4 + 0 · 0 + (−1) · 1 1 · (−1) + 0 · 7 + (−1) · 0 1 · 1 + 0 · 2 + (−1) · 3
3 · 1 + 2 · 3 + 5 · 2 3 · 4 + 2 · 0 + 5 · 1 3 · (−1) + 2 · 7 + 5 · 0 3 · 1 + 2 · 2 + 5 · 3
]
=
[
1 + 0− 2 4 + 0− 1 −1 + 0− 0 1 + 0− 3
3 + 6 + 10 12 + 0 + 5 −3 + 14 + 0 3 + 4 + 15
]
=
[
−1 3 −1 −2
19 17 11 22
]
□
1.2.4 Transposta de uma Matriz
1.15 Definição. Se A é uma matriz m × n, então sua transposta, denotada At, é a matriz de tamanho
n×m definida por
(At)
i
j = A
j
i .
□
GAAL Natural 11
Em outras palavras, a transposta de A é obtida transformando as linhas de A em colunas: o elemento que
ocupava a posição (i, j) passa a ocupar a posição (j, i).
1.16 Exemplo. Se
A =
[
1 0 −1
3 2 5
]
2×3
então
At =
 1 30 2
−1 5

3×2
.
□
1.3 Propriedades das Operações Matriciais
1.3.1 Propriedades da Soma de Matrizes
Como a soma de matrizes foi definida de maneira natural, a entrada da soma A+B sendo a soma das entradas
correspondentes de A e B, a soma de matrizes tem as mesmas propriedades que a soma de números.
1.17 Proposição. A soma de matrizes satisfaz as seguintes propriedades:
1) Associatividade
A+ (B + C) = (A+B) + C
para todas as matrizes A,B,C.
2) Comutatividade
A+B = B +A
para todas as matrizes A,B.
3) Existência de Elemento Neutro
Definindo a matriz nula 0m×n = 0 por
0ij = 0,
ou seja,
0 =
 0 . . . 0... . . . ...
0 . . . 0

vale
A+ 0 = 0+A = A
para toda matriz A.
4) Existência de Inverso Aditivo
Dada A, definimos a matriz −A por
(−A)ij = −Aij .
GAAL Natural 12
Então vale
A+ (−A) = (−A) +A = 0.
para toda matriz A.
Prova. 1)
(A+B)
i
j = A
i
j +B
i
j = B
i
j +A
i
j = (B +A)
i
j .
2)
[A+ (B + C)]
i
j = A
i
j + (B + C)
i
j
= Aij +
(
Bij + C
i
j
)
=
(
Aij +B
i
j
)
+ Cij
= (A+B)
i
j + C
i
j
= [(A+B) + C]
i
j .
3)
(A+ 0)
i
j = A
i
j + 0
i
j = A
i
j + 0 = A
i
j .
4)
[A+ (−A)]ij =
[
Aij + (−A)
i
j
]
=
[
Aij +
(
−Aij
)]
= 0 = 0ij .
■
1.3.2 Propriedades do Produto de uma Matriz por um Escalar
1.18 Proposição. O produto de uma matriz por um escalar satisfaz as seguintes propriedades:
1) Associatividade
α (βA) = (αβ)A
para todas as matrizes A,B e para todos os escalares α, β.
2) Distributividade
(α+ β)A = αA+ βA,
α (A+B) = αA+ αB,
para todas as matrizes A,B e para todos os escalares α, β.
3) Existência de Elemento Neutro
1A = A.
Prova. 2) Temos
[(α+ β)A]
i
j = (α+ β)A
i
j
= αAij + βA
i
j
= (αA)
i
j + (βA)
i
j
= (αA+ βA)
i
j
GAAL Natural 13
e
[α (A+B)]
i
j = α (A+B)
i
j
= αAij + αB
i
j
= (αA)
i
j + (αB)
i
j
= [αA+ αB]
i
j .
1) e 3) exerćıcios. ■
1.3.3 Propriedades do Produto de Matrizes
Como o produto de matrizes foi definido de maneira complexa, há várias propriedades do produto de números
que não são satisfeitas pelo produto de matrizes.
1.19 Exemplo (O produto de matrizes não é comutativo em geral). Há vários motivos para o
produto de matrizes não ser comutativo, isto é, AB ̸= BA:
(i) O produto AB está definido mas o produto BA não faz sentido.
Se Am×p e Bp×n com m ̸= n, então o produto AB está definido, mas BA não. Por exemplo, se
A =
 2 −11 0
3 4

3×2
e B =
[
1 0 −1 1
0 2 3 5
]
2×4
,
então
AB = 2 −11 0
3 4
[ 1 0 −1 1
0 2 3 5
]
=
 2 −2 −5 −31 0 −1 1
3 8 9 23

mas B2×4A3×2 não está definida.
(ii) Ambos os produtos AB e BA estão definidos, mas eles tem tamanhos diferentes.
Se Am×n e Bn×m, então AB é uma matriz quadrada m×m, enquanto que BA é uma matriz quadrada
n × n. Se m ̸= n, então as matrizes AB e BA tem tamanhos diferentes, logo não podem ser iguais. Por
exemplo, se
A =
 2 −11 0
3 4

3×2
e B =
[
1 0 −1
0 2 3
]
2×3
,
então
AB =
 2 −11 0
3 4
[ 1 0 −1
0 2 3
]
=
 2 −2 −51 0 −1
3 8 9

3×3
,
BA =
[
1 0 −1
0 2 3
] 2 −11 0
3 4
 = [ −1 −5
11 12
]
2×2
.
logo AB ̸= BA.
(iii) Em geral, mesmo quando A,B são duas matrizes quadradas n× n, o produto de matrizes não é comu-
tativo, ou seja, se escolhermos duas matrizes aleatórias A,B obteremos
AB ̸= BA.
GAAL Natural 14
Por exemplo, se
A =
[
1 0
0 0
]
e B =
[
0 1
0 0
]
,
então
AB =
[
1 0
0 0
] [
0 1
0 0
]
=
[
0 1
0 0
]
,
BA =
[
0 1
0 0
] [
1 0
0 0
]
=
[
0 0
0 0
]
.
Se você tomar duas tabelas com o mesmo tamanho e preencher as posições com números aleatórios, o produto
das matrizes resultantes não será comutativo. Note que preencher as tabelas com números inteiros não é
exatamente aleatório (já que estamos restringindo nossa escolha a números inteiros), mas mesmo assim, a
maioria das escolhas resultará em produtos não comutativos. □
1.20 Exemplo (Muitas matrizes comutam). Mas há exemplos importantes na prática de matrizes que
comutam, tais como as matrizes diagonais, que são matrizes quadradas cujos elementos fora da diagonal
principal são nulos, isto é, A é uma matriz quadrada se
Aij = 0 para todos i ̸= j.
De fato, se
A =

λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . λn
 e B =

µ1 0 . . . 0
0 µ2 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . µn
 ,
então
AB =

λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . λn


µ1 0 . . . 0
0 µ2 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . µn

=

λ1µ1 0 . . . 0
0 λ2µ2 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . λnµn
 =

µ1λ1 0 . . . 0
0 µ2λ2 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . µnλn

=

µ1 0 . . . 0
0 µ2 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . µn


λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . λn

= BA.
Mais formalmente, se i ̸= j temos (note que Aik = 0 sempre que k ̸= i e que Bkj = 0 sempre que k ̸= j)
(AB)
i
j =
n∑
k=1
AikB
k
j
= Ai1B
1
j + · · ·+AiiBij + · · ·+AijB
j
j + · · ·+A
i
nB
n
j
= 0 · 0 + · · ·+ µi · 0 + · · ·+ 0 · λj + · · ·+ 0 · 0
= 0
GAAL Natural 15
e se i = j temos (note que Aik = B
k
i = 0 sempre que k ̸= i)
(AB)
i
i =
n∑
k=1
AikB
k
i
= Ai1B
1
i + · · ·+AiiBii + · · ·+AinBni
= 0 · 0 + · · ·+ λiµi + · · ·+ 0 · 0
= 0 · 0 + · · ·+ µiλi + · · ·+ 0 · 0
= Bi1A
1
i + · · ·+BiiAii + · · ·+BinAni
=
n∑
k=1
BikA
k
i
= (BA)
i
i .
Por exemplo, se
A =
 5 0 00 −2 0
0 0 3
 e B =
 2 0 00 3 0
0 0 −4

então
AB =
 10 0 00 −6 0
0 0 −12
 = BA.
□
1.21 Proposição. O produto de matrizes satisfaz as seguintes propriedades:
1) Associatividade
A (BC) = (AB)C
para todas as matrizes Am×p, Bp×q, Cq×n.
2) Distributividade
A (B + C) = AB +AC,
(A+B)C = AC +BC,
e
α (AB) = (αA)B = A (αB)
para todas as matrizes A,B,C para as quais os produtos acima fazem sentido e para todo escalar α.
3) Existência de Elemento Neutro
Definindo a matriz identidade In×n = In por
Iij =
{
1 se i = j,
0 se i ̸= j, ,
ou seja (e omitindo o ı́ndice n quando ele não for necessário para a compreensão ou quando o tamanho é
claro do contexto),
I =

1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . 1

GAAL Natural 16
vale
AIn = ImA = A
para toda matriz m× n A. No caso m = n escrevemos simplesmente
AI = IA = A.
Prova. 1) Para provar a associatividade do produto de matrizes, usamos várias vezes a definição do produto
de matrizes e algumas propriedades da soma e do produto de números, como discriminado a seguir:
[A (BC)]
i
j =
p∑
k=1
Aik (BC)
k
j (definição de produto de A e BC)
=
p∑
k=1
Aik
(
q∑
l=1
Bkl C
l
j
)
(definição do produto de B e C)
=
p∑
k=1
q∑
l=1
AikB
k
l C
l
j (distributividade do produto de números)
=
q∑
l=1
p∑
k=1
AikB
k
l C
l
j (comutatividade do soma de números)
=
q∑
l=1
(
p∑
k=1
AikB
k
l
)
Clj (distributividade do produto de números)
=
q∑
l=1
(AB)
i
l C
l
j (definição do produto de A e B)
= [(AB)C]
i
j . (definição de produto de AB e C)
2) Exerćıcio. 3) Temos
(AIn)
i
j =
n∑
k=1
AikI
k
j
= Ai1 · 0 + · · ·+Aij−1 · 0 +Aij · 1 +Aij+1 · 0 + · · ·+Ain · 0
= Aij ,
(ImA)
i
j =
m∑
k=1
IikA
k
j
= 0 ·A1j + · · ·+ 0 ·Ai−1j + 1 ·A
i
j + 0 ·Ai+1j + · · ·+ 0 ·A
m
j
= Aij .
■
Como o produto de matrizes quadradas possui um elemento neutro, podemos nos perguntar se toda
matriz quadrada possui um elemento inverso para a operação de produto, isto é, se A é uma matriz n× n,
será que sempre existe uma matriz B tal que
AB = BA = I?
A resposta a esta pergunta é NÃO, como o exemplo a seguir mostra:
GAAL Natural 17
1.22 Exemplo (Nem toda matriz possui inversa). Se
A =
[
1 1
1 1
]
,
então não existe matriz B tal que AB = I.
De fato, se
B =
[
x y
z w
]
é tal que AB = I, isto é,
AB =
[
1 1
1 1
] [
x y
z w
]
=
[
x+ z w + y
x+ z w + y
]
=
[
1 0
0 1
]
,
então x, y, z, w são solução para os sistemas{
x+ z = 1
x+ z = 0
e
{
w + y = 0
w + y = 1
que são claramente imposśıveis de resolver. □
Pode-se provar que a maioria das matrizes possuem inversa (em um sentido matematicamente preciso), mas
uma quantidade infinita de exemplos, e que realmente são essenciais na prática, são de matrizes que não
possuem inversas (tais como as matrizes necessárias para resolver problemas de autovalor, que veremos mais
tarde no terço final do curso).
Vimos portanto que, como o produto de matrizes foi definido de forma complicada, algumas propriedades
algébricas importantes do produto de matrizes são bem diferentes do produto de números reais.
1.3.4 Propriedades da Transposta de uma Matriz
1.23 Proposição. A transposta de uma matriz satisfaz as seguintes propriedades:
1)
(At)
t
= A
para toda matriz A.
2)
(A+B)
t
= At +Bt
para todas as matrizes A,B.
3)
(AB)
t
= BtAt
para todas as matrizes Am×p, Bp×n.
4)
(αA)
t
= αAt.
GAAL Natural 18
Prova. 3) [
(AB)
t
]i
j
= (AB)
j
i
=
p∑
k=1
AjkB
k
i
=
p∑
k=1
Bki A
j
k
=
p∑
k=1
(
Bt
)i
k
(
At
)k
j
=
(
BtAt
)i
j
.
1), 2) e 4) exerćıcios. ■
Note na Propriedade (3) que embora o produto Am×pBp×n esteja definido, o produto (A
t)p×n (B
t)m×p não
estará se n ̸= m, enquanto que o produto (Bt)m×p (At)p×n sempre estará.
1.4 Polinômios de Matrizes
Definindo
A0 = I
e
An = A · · ·A︸ ︷︷ ︸
n vezes
podemos considerar polinômios de matrizes:
p (A) =
n∑
k=1
akA
k.
Por exemplo,
3A3 − 2A2 + 7A− 5I.
Polinômios de matrizes tem inúmeras aplicações, como por exemplo na resolução de sistemas de equações
diferenciais.
1.4.1 Problemas
Os problemas a seguir ilustram como as matrizes se comportam de maneira diferente dos números. Tente
fazer os problemas a seguir sozinho e depois consulte as respostas na página a seguir.
Problema 1. Se
A =
[
1 2
3 4
]
,
calcule A3.
GAAL Natural 19
Problema 2. Para quaisquer números reais a, b vale
(a+ b)
2
= a2 + 2ab+ b2,
(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2.
Será que também vale
(A+B)
2
= A2 + 2AB +B2,
(A−B)2 = A2 − 2AB +B2,
para quaisquer matrizes quadradas A,B com o mesmo tamanho?
Problema 3. Se a, b são números reais, então ab = 0 implica a = 0 ou b = 0.
Se A,B são matrizes quadradas, AB = 0 implica A = 0 ou B = 0?
Problema 4. AB = 0 implica BA = 0?
Problema 5. A2 = 0 implica A = 0?
Problema 6. No universo das matrizes 2 × 2, encontre as ráızes quadradas da matriz identidade, isto é,
todas as matrizes X tais que X2 = I.
GAAL Natural 20
1.4.2 Respostas
Problema 1. Temos [
1 2
3 4
]3
=
[
1 2
3 4
] [
1 2
3 4
] [
1 2
3 4
]
=
[
1 2
3 4
] [
7 10
15 22
]
=
[
37 54
81 118]
.
Problema 2. Não, somente se AB = BA. Temos
(A+B)
2
= (A+B) (A+B)
= A (A+B) +B (A+B)
= A2 +AB +BA+B2,
e
AB +BA = 2AB
se e somente se AB = BA. O mesmo racioćınio se aplica a (A−B)2.
Problema 3. Não, por exemplo [
1 0
0 0
] [
0 0
1 0
]
=
[
0 0
0 0
]
.
Se A ou B possui inversa, então o fato é verdadeiro, no sentido de que a outra matriz deve ser
necessiamente a matriz nula.
Problema 4. Não, por exemplo [
1 0
0 0
] [
0 0
1 0
]
=
[
0 0
0 0
]
,[
0 0
1 0
] [
1 0
0 0
]
=
[
0 0
1 0
]
.
Problema 5. Não, por exemplo [
0 0
1 0
]2
=
[
0 0
1 0
] [
0 0
1 0
]
=
[
0 0
0 0
]
.
Problema 6 (Resolução parcial)
Escreva
X =
[
x y
z w
]
,
de modo que
X2 =
[
x y
z w
]2
=
[
x y
z w
] [
x y
z w
]
=
[
x2 + yz xy + yw
zx+ wz zy + w2
]
=
[
x2 + yz y (x+ w)
z (x+ w) w2 + yz
]
.
GAAL Natural 21
Para resolver o problema, precisamos encontrar todos os valores de x, y, z, w tais que[
x2 + yz y (x+ w)
z (x+ w) w2 + yz
]
=
[
1 0
0 1
]
,
o que nos leva ao sistema NÃO-LINEAR 
x2 + yz = 1
y (x+ w) = 0
z (x+ w) = 0
w2 + yz = 1
Tente resolver este sistema.
Caṕıtulo 2
Sistemas Lineares e Inversão de
Matrizes
Vários problemas nas áreas cient́ıfica, tecnológica e econômica são modelados por sistemas de milhares ou
mesmo milhões de equações lineares com milhares ou milhões de variáveis. Para resolver tais sistemas são
evidentemente necessários métodos numéricos e o aux́ılio de computadores, às vezes supercomputadores.
Em geral, os métodos numéricos são otimizados para os problema espećıficos, isto é, são os métodos mais
eficientes para aquele problema, não para outros. Neste caṕıtulo veremos um método geral que permitirá
resolver todos os problemas que veremos neste curso, o método de Gauss-Jordan, além de permitir concluir
importantes fatos teóricos sobre sistemas lineares em geral.
2.1 Equações Lineares
2.1 Definição. Uma equação linear em n variáveis (ou incógnitas) x1, . . . , xn é uma equação da forma
a1x1 + · · ·+ anxn = b
onde a1, . . . , an, b são constantes reais, chamadas os coeficientes da equação.
Uma solução para esta equação linear é um conjunto de números reais s1, . . . , sn tais que quando
substitúımos
x1 = s1,
...
xn = sn,
vale a identidade
a1s1 + · · ·+ ansn = b.
O conjunto solução S da equação é o conjunto de todas as soluções da equação. □
2.2 Exemplo. Vamos obter o conjunto solução de algumas equações lineares:
1) 3x = 5.
Esta equação tem como única solução x = 5/3, logo o seu conjunto solução é
S =
{
5
3
}
.
22
GAAL Natural 23
2) 0x = 1.
Esta equação não tem solução, pois não existe nenhum número real que multiplicado por zero seja igual
a 1, logo o seu conjunto solução é
S = ∅.
3) 5x+ 10y − 2z = 3.
Isolando uma das variáveis, podemos escrevê-la em função das outras duas. Por exemplo, isolando x,
temos
x =
3
5
− 2y + 2
5
z,
ou seja, escrevemos x em função de y e z. As variáveis y e z não dependem de nenhuma outra; elas são
variáveis livres. Logo elas podem assumir quaisquer valores reais, digamos
y = α,
z = β,
onde α, β são parâmetros reais arbitrários.
Portanto, o conjunto solução deste sistema é o conjunto infinito
S =


3
5
− 2α+ 2
5
z
α
β
 : α, β ∈ R
 .
Assim, toda solução da equação tem esta forma para algum valor de α e algum valor de β. Por exemplo,
escolhendo α = β = 0, obtemos a solução
x =
3
5
,
y = 0,
z = 0.
Escolhendo α = −1 e β = 1, obtemos a solução
x = 3,
y = −1,
z = 1.
□
Observe que o exemplo acima ilustra as únicas situações posśıveis para uma equação linear: ou ela possui
uma única solução, ou nenhuma, ou infinitas (quando uma das variáveis pode ser escrita em função das
outras, que são variáveis livres e portanto podem assumir infinitos valores diferentes).
2.2 Sistemas de Equações Lineares
2.3 Definição. Um sistema de m equações lineares em n variáveis (ou incógnitas) é um conjunto de
equações lineares da forma 
a11x1 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + · · ·+ a2nxn = b2
...
am1 x1 + · · ·+ amn xn = bm
GAAL Natural 24
onde aij , bk são constantes reais, chamadas os coeficientes do sistema. □
Usando a notação de matrizes e, especialmente, a maneira como o produto de matrizes foi definido, o
sistema linear acima pode ser representado na forma matricial
AX = B
onde
A =

a11 a
1
2 . . . a
1
n
a21 a
2
2 . . . a
2
n
...
...
. . .
...
am1 a
m
2 . . . a
m
n
 , X =

x1
x2
...
xn
 e B =

b1
b2
...
bm
 .
2.4 Definição. Uma solução do sistema linear AX = B é uma matriz coluna de números reais
S =

s1
s2
...
sn

tal que todas as equações do sistema são satisfeitas quando substitúımos
x1 = s1,
...
xn = sn,
isto é, quando substitúımos X por S, de modo que a identidade matricial
AS = B
é satisfeita.
O conjunto solução S do sistema é o conjunto de todas as soluções do sistema. □
2.5 Exemplo. O sistema linear  5x+ 5y = 152x+ 4y + z = 10
3x+ 4y = 11
tem conjunto solução (veremos no Exemplo 2.11 como resolvê-lo)
S =

 12
0
 ,
isto é, sua única solução é
x = 1,
y = 2,
z = 0.
□
GAAL Natural 25
2.3 Resolução de Sistemas Lineares
Uma idéia para resolver um sistema linear à primeira vista complicado é fazer modificações nele com o fim
de substitúı-lo por um sistema linear mais simples, mais fácil de resolver, mas que tenha o mesmo conjunto
de soluções do primeiro.
Isso é posśıvel através de aplicar certas operações elementares nas equações do sistema que claramente
não alteram o conjunto solução do sistema mas que, quando aplicadas de uma maneira sistemática a ser
descrita, invariavelmente transformam o sistema original em um sistema tão simples cuja solução é óbvia.
2.3.1 Operações Elementares
2.6 Definição. As operações elementares sobre um sistema linear são as seguintes:
1) Trocar duas equações de posição.
2) Multiplicar uma equação por um escalar não nulo.
3) Substituir uma equação pela mesma equação somada ao múltiplo escalar de outra equação.
□
Note que se multiplicarmos uma equação por zero estaremos efetivamente excluindo esta equação do sistema,
o que tem o efeito provável de aumentar o número de soluções no sistema resultante: pense em um sistema
linear como um conjunto de restrições sobre as variáveis; uma solução do sistema tem que satisfazer todas
as equações do sistema, isto é, cumprir todas as restrições; se uma restrição é eliminada, há mais chances
que um conjunto de números que não era solução da equação eliminada seja solução das equações restantes
(a não ser que a equação eliminada esteja duplicada no sistema, ou seja, aparece mais de uma vez). Por este
motivo, multiplicar por zero não é uma operação elementar.
Observe também que somente os coeficientes do sistema são alterados através das operações elementares:
as variáveis permanecem inalteradas. Portanto, quando formos efetuar os cálculos na prática, não há neces-
sidade de considerar todo o sistema AX = B, mas apenas a matriz de coeficientes do sistema, chamada a
matriz aumentada:
[A|B] =

a11 a
1
2 . . . a
1
n
a21 a
2
2 . . . a
2
n
...
...
. . .
...
am1 a
m
2 . . . a
m
n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
b1
b2
...
bm

As operações elementares são efetuadas sobre as linhas da matriz aumentada.
2.7 Definição. As operações elementares sobre uma matriz são as seguintes:
1) Trocar duas linhas de posição.
2) Multiplicar uma linha por um escalar não nulo.
3) Substituir uma linha pela mesma linha somada ao múltiplo escalar de outra linha.
□
2.8 Teorema. Se dois sistemas lineares
AX = B,
CX = D,
são tais que a matriz aumentada [C|D] é obtida da matriz aumentada [A|B] através da aplicação de operações
elementares, então os dois sistemas possuem o mesmo conjunto solução.
GAAL Natural 26
Prova. É fácilver que as operações elementares (1) e (2) não alteram as soluções. Para ver que a aplicação
da operação elementar (3) também não altera o conjunto solução, suponha que substitúımos a equação Ek
pela equação Ek + αEl. Se X é uma solução do sistema
...
Ek
...
El
...
então X é uma solução de 
...
Ek + αEl
...
El
...
pois se X satisfaz as duas equações Ek e El, então X também satisfaz a equação Ek +αEl. Reciprocamente,
se X é uma solução do segundo sistema, então X é uma solução do primeiro, pois se X satisfaz as duas
equações Ek + αEl e El, então X também satisfaz a equação Ek = (Ek + αEl)− αEl. ■
Sistemas que possuem os mesmos conjuntos solução são chamados sistemas equivalentes.
2.3.2 Forma Escalonada Reduzida
Nosso objetivo é aplicar as operações elementares de modo sistemático, descrito na próxima seção, de forma
a transformar a matriz aumentada do sistema original em uma matriz na forma escalonada reduzida, cuja
solução é imediata, como veremos.
2.9 Definição. Uma matriz está na forma escalonada reduzida se ela satisfaz todas as condições a
seguir:
1. O primeiro elemento não-nulo de cada linha não-nula (chamado o pivô da linha) é igual a 1.
2. O pivô da linha i+ 1 ocorre à direita do pivô da linha i.
3. Se uma coluna contém um pivô, então todas os outros elementos desta coluna são iguais a 0.
4. Todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas não-nulas.
□
A palavra escalonada quer dizer em forma de escada. Quando uma matriz está na forma escalonada,
seus pivôs formam uma escada, cujos degraus podem não ter a mesma profundidade. Isso ficará claro nos
exemplos a seguir. A palavra reduzida se refere ao fato de todos os pivôs da matriz terem valor 1 e as colunas
que contêm pivôs terem elementos nulos com exceção dos pivôs. Isso facilita a resolução, pois as variáveis
correspondentes aos pivôs podem ser escritas imediatamente em função das demais variáveis, que estão nas
colunas onde não há pivôs; estas são as variáveis livres.
2.10 Exemplo. A matriz  1 2 4 20 1 3 −1
0 0 1 5

GAAL Natural 27
está na forma escalonada, mas não na forma escalonada reduzida. Sua solução é fácil (tente!), mas não
imediata.
Todas as matrizes a seguir estão na forma escalonada reduzida.
a)  1 3 0 0 50 0 1 0 −2
0 0 0 1 2

Os pivôs aparecem nas colunas 1, 3, 4, enquanto que a coluna 2 não possui pivô; portanto apenas a variável
x2 é uma variável livre. Esta matriz é a matriz aumentada do sistema x1 + 3x2 = 5x3 = −2
x4 = 2
A variável x1 que corresponde a um pivô se escreve em termos da variável livre x2:
x1 = 5− 3x2.
Portanto, fazendo x2 = α (parâmetro livre) o conjunto solução deste sistema é
S =


5− 3α
α
−2
2
 : α ∈ R
 .
b) 
0 1 0 0 0 −3
0 0 1 2 0 −1
0 0 0 0 1 5
0 0 0 0 0 0

Os pivôs aparecem nas colunas 2, 3, 5, enquanto que as colunas 1, 4 não possuem pivô; portanto as variáveis
x1, x4 são variáveis livres. Deletando a linha nula, a matriz resultante é a matriz aumentada do sistema x2 = −3x3 + 2x4 = −1
x5 = 5
A variável x3 que corresponde a um pivô se escreve em termos da variável livre x4:
x3 = −1− 2x4.
Portanto, fazendo x1 = α, x4 = β (parâmetros livres) o conjunto solução deste sistema é
S =


α
−3
−1− 2β
β
5
 : α, β ∈ R
 .
c)  1 0 0 00 1 0 0
0 0 0 1

GAAL Natural 28
A última linha desta matriz aumentada corresponde à equação
0x1 + 0x2 + 0x3 = 1
ou seja,
0 = 1,
o que é imposśıvel. Logo, este sistema não possui solução,
S = ∅.
d)  1 0 0 20 1 0 3
0 0 1 −1

Esta matriz é a matriz aumentada do sistema  x1 = 2x2 = 3
x3 = −1
que possui solução única,
S =

 23
−1
 .
□
Observe que quando a matriz aumentada do sistema está na forma escalonada reduzida, é fácil obter in-
formações qualitativas e quantitativas sobre o conjunto solução do sistema. Primeiro elimine as linhas nulas.
O sistema não possuirá solução somente no caso em que a última linha da forma escalonada reduzida for da
forma
0 · · · 0 1
Ele possuirá infinitas soluções somente se houver alguma coluna que não possua pivô: a variável correspon-
dente a esta coluna será livre, logo o número de graus de liberdade do sistema é igual ao número de colunas
sem pivô. Se todas as colunas possuirem pivôs, exceto a última, então à direita da última coluna teremos
uma matriz identidade e o sistema terá solução única, que é exatamente a ultima coluna da matriz.
2.3.3 Método de Gauss-Jordan
O método de Gauss-Jordan é um algoritmo que consiste em aplicar operações elementares sistematicamente
à matriz aumentada do sistema até chegar na forma escalonada reduzida. Como operações elementares não
alteram o conjunto solução do sistema, a solução do sistema original é a solução do sistema representado
pela forma escalonada reduzida, que é fácil de obter, como vimos no exemplo anterior.
Essencialmente, o método consiste em obter os pivôs de cada linha, em geral dividindo a linha pelo seu
primeiro elemento não nulo para obter 1 (operação elementar 2), trocando linhas de lugar para escalonar
os pivôs se necessário (operação elementar 1) e zerar os demais elementos de colunas que contêm pivôs,
subtraindo de cada linha o elemento não nulo na coluna do pivô vezes a linha do pivô (operação elementar
3). Se linhas nulas foram encontradas durante o processo, elas são movidas para o final da matriz aumentada.
Ao invés de explicitarmos o algoritmo formalmente, vamos ilustrá-lo através de vários exemplos.
GAAL Natural 29
2.11 Exemplo. Vamos resolver o sistema linear do Exemplo 2.5 5x+ 5y = 152x+ 4y + z = 10
3x+ 4y = 11
A matriz aumentada deste sistema é  5 5 02 4 1
3 4 0
∣∣∣∣∣∣
15
10
11

Passo 1a. Encontrar o pivô da primeira linha. 1 1 02 4 1
3 4 0
∣∣∣∣∣∣
3
10
11
 L1/5
Passo 1b. Zerar os outros elementos da coluna do pivô. 1 1 00 2 1
0 1 0
∣∣∣∣∣∣
3
4
2
 L2 − 2L1
L3 − 3L1
Passo 2a. Encontrar o pivô da segunda linha.
Aqui optamos por trocar as linhas 2 e 3, para não precisar fazer contas. 1 1 00 1 0
0 2 1
∣∣∣∣∣∣
3
2
4
 L2 ↔ L3
L3 ↔ L2
Passo 2b. Zerar os outros elementos da coluna do pivô. 1 0 00 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
1
2
0
 L1 − L2
L3 − 2L2
A solução é portanto
x = 1,
y = 2,
z = 0.
□
2.12 Exemplo. Vamos resolver o sistema
3z − 9w = 6
5x+ 15y − 10z + 40w = −45
4x+ 12y − 2z + 14w = −24
x+ 3y − z + 5w = −7
A matriz aumentada deste sistema é 
0 0 3 −9
5 15 −10 40
4 12 −2 14
1 3 −1 5
∣∣∣∣∣∣∣∣
6
−45
−24
−7

GAAL Natural 30
Antes de aplicar o método de Gauss-Jordan, vamos simplificar esta matriz:
0 0 1 −3
1 3 −2 8
2 6 −1 7
1 3 −1 5
∣∣∣∣∣∣∣∣
2
−9
−12
−7
 L1/3L2/5
L3/2
Passo 1a. Encontrar o pivô da primeira linha.
1 3 −2 8
0 0 1 −3
2 6 −1 7
1 3 −1 5
∣∣∣∣∣∣∣∣
−9
2
−12
−7
 L1 ↔ L2L2 ↔ L1
Passo 1b. Zerar os outros elementos da coluna do pivô.
1 3 −2 8
0 0 1 −3
0 0 3 −9
0 0 1 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣
−9
2
6
2
 L3 − 2L1
L4 − L1
Passo 2a. Encontrar o pivô da segunda linha.
Já está encontrado. Observe que não há pivô na segunda coluna.
Passo 2b. Zerar os outros elementos da coluna do pivô.
1 3 0 2
0 0 1 −3
0 0 0 0
0 0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣
−5
2
0
0

L1 + 2L2
L3 − 3L2
L4 − L2
Não é necessário executar mais passos, pois as próximas linhas da matriz são nulas e portanto a matriz já
está na forma escalonada reduzida. Eliminando as linhas nulas, obtemos[
1 3 0 2
0 0 1 −3
∣∣∣∣ −52
]
com x, z como variáveis de pivô e y, w como variáveis livres. Esta matriz é a matriz aumentada do sistema{
x+ 3y + 2w = −5
z − 3w = 2
Temos
x = −5− 3y − 2w,
z = 2 + 3w.
Escolhendo y = α,w = β segue que o conjunto solução do sistema é
S =


−5− 3α− 2β
α
2 + 3β
β
 : α, β ∈ R
 .
□
GAAL Natural 31
2.13 Exemplo. Vamos resolver o sistema x+ 3y + 13z = 9y + 5z = 2−2y − 10z = −3A matriz aumentada deste sistema é  1 3 130 1 5
0 −2 −10
∣∣∣∣∣∣
9
2
−3

Note que os pivôs da primeira e segunda linhas já estão encontrados, assim como os outros elementos da
primeira coluna já são nulos. Continuamos o método a partir dáı:
Passo 1. Zerar os outros elementos da coluna do segundo pivô. 1 0 −20 1 5
0 0 0
∣∣∣∣∣∣
3
2
1
 L1 − 3L2
L3 + 2L2
A última linha corresponde a 0 = 1, o que já permite concluir que o sistema não possui solução.
□
2.4 Número de Soluções de um Sistema Linear
Assim como para o conjunto solução de uma equação linear, existem apenas três possibilidades para o
conjunto solução de um sistema linear: ou ele é vazio (ou seja, o sistema não tem solução), ou ele tem uma
única solução, ou ele tem infinitas soluções. Embora isso já esteja claro da análise qualitativa que fizemos
da forma escalonada reduzida, damos uma demonstração independente, cuja compreensão será útil mas na
frente do curso.
2.14 Proposição. Se um sistema linear possui duas soluções distintas, então ele possui infinitas soluções.
Prova. Seja AX = B um sistema linear e suponha que X0, X1 são duas soluções distintas para este sistema,
isto é,
AX0 = B,
AX1 = B.
A partir desta duas soluções distintas, constrúımos infinitas soluções diferentes para o sistema: de fato,
Xt = (1− t)X0 + tX1
também é uma solução para o sistema para qualquer valor real do parâmetro t. Para ver isso, calculamos
AXt = A [(1− t)X0 + tX1]
= A [(1− t)X0] +A [tX1]
= (1− t)AX0 + tAX1
= (1− t)B + tB
= B.
GAAL Natural 32
Além disso, à medida que o parâmetro t percorre a reta real R, obtemos infinitas soluções diferentes.
Para ver isso, observe que como
X0 =
 x1...
xn
 , X1 =
 y1...
yn

são distintas, elas diferem em alguma posição, digamos na posição k:
xk ̸= yk.
Então a posição k de Xt é
(1− t)xk + tyk = xk + t (yk − xk) .
Segue que o gráfico da função
f (t) = xk + t (yk − xk)
é uma reta no plano com inclinação
yk − xk ̸= 0,
logo sua imagem é a reta toda. ■
2.5 Sistemas Lineares Homogêneos
2.15 Definição. Um sistema linear da forma
a11x1 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + · · ·+ a2nxn = 0
...
am1 x1 + · · ·+ amn xn = 0
é chamado um sistema linear homogêneo. □
Um sistema linear homogêneo sempre tem solução: a solução trivial (ou solução nula)
x1 = · · · = xn = 0.
Em particular, segue da Proposição 2.14 que se um sistema linear homogêneo possui uma solução não trivial,
então ele possui infinitas soluções. Se ele possuir solução única, esta é a solução trivial.
2.5.1 Método de Gauss-Jordan para Sistemas Lineares Homogêneos
Quando for necessário aplicar o método de Gauss-Jordan para resolver um sistema linear homogêneo, não
é necessário usar a matriz aumentada, pois a coluna de zeros não é alterada por uma operação elementar.
Basta trabalhar com a matriz de coeficientes.
2.16 Exemplo. O sistema linear homogêneo x+ 2y + 3z = 0−x+ 3y + 2z = 0
2x+ y − 2z = 0
GAAL Natural 33
possui apenas a solução trivial. De fato, usando o śımbolo ∼ para significar matriz equivalente, temos 1 2 3−1 3 2
2 1 −2
 ∼
 1 2 30 5 5
0 −3 −8
 L2 + L1
L3 − 2L1
∼
 1 2 30 1 1
0 −3 −8

L2/5
∼
 1 0 10 1 1
0 0 −5
 L1 − 2L2
L3 + 3L2
∼
 1 0 10 1 1
0 0 1

L3/5
∼
 1 0 00 1 0
0 0 1
 L1 − L3
L2 − L3
Logo, a forma escalonada reduzida equivalente é 1 0 00 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
0
0
0

donde x = y = z = 0. □
2.17 Exemplo. O sistema linear homogêneo x+ y + z + w = 0x+ w = 0
x+ 2y + z = 0
possui infinitas soluções. De fato, 1 1 1 11 0 0 1
1 2 1 0
 ∼
 1 0 0 11 1 1 1
1 2 1 0
 L1 ↔ L2
L2 ↔ L1
∼
 1 0 0 10 1 1 0
0 2 1 −1
 L2 − L1
L3 − L1
∼
 1 0 0 10 1 1 0
0 0 −1 −1

L3 − 2L2
∼
 1 0 0 10 1 0 −1
0 0 1 1
 L2 + L3
−L3
GAAL Natural 34
Logo, a forma escalonada reduzida equivalente é 1 0 0 10 1 0 −1
0 0 1 1
∣∣∣∣∣∣
0
0
0

com x, y, z variáveis de pivô e w variável livre; esta matriz é a matriz aumentada do sistema x+ w = 0y − w = 0
z + w = 0
Logo,
x = −w,
y = w,
z = −w.
Fazendo w = α, obtemos
S =


−α
α
−α
α
 : α ∈ R
 =
α

−1
1
−1
1
 : α ∈ R
 .
□
2.18 Exemplo. Suponha que após aplicarmos o método de Gauss-Jordan à matriz aumentada de um sistema
linear homogêneo com 5 equações e 10 variáveis chegamos à matriz escalonada reduzida
0 1 0 −3 4 0 2 0 0 0
0 0 1 2 7 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0
0
0
0
0

Esta é a matriz aumentada do sistema linear homogêneo
x2 − 3x4 + 4x5 + 2x7 = 0
x3 + 2x4 + 7x5 = 0
x6 − x7 = 0
x8 = 0
x9 = 0
Temos 5 pivôs e 4 variáveis livres:
x2 = 3x4 − 4x5 − 2x7,
x3 = −2x4 − 7x5,
x6 = x7,
x8 = 0,
x9 = 0.
GAAL Natural 35
A estas 4 variáveis livres podemos atribuir valores arbitrários
x1 = α,
x4 = β,
x5 = γ,
x7 = δ,
de modo que as infinitas soluções do sistema são
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9

=

α
3β − 4γ − 2δ
−2β − 7γ
β
γ
δ
δ
0
0

□
2.5.2 Número de Soluções de um Sistema Linear Homogêneo
2.19 Proposição. Se Am×n é uma matriz com mais colunas que linhas, isto é, m < n, então o sistema
linear homogêneo AX = 0 possui infinitas soluções.
Prova. Após aplicar o método de Gauss-Jordan à matriz aumentada [A|0] , o número de linhas não nulas
da matriz escalonada reduzida equivalente é r ⩽ m. Como m < n, segue que teremos r pivôs e
n− r ⩾ n−m > 0
variáveis livres. ■
2.20 Proposição. Se X1 e X2 são soluções de um sistema linear homogêneo, então qualquer combinação
linear
αX1 + βX2
também é.
Prova. Se X1 e X2 são soluções do sistema linear homogêneo AX = 0 então
AX1 = 0,
AX2 = 0.
Logo, quaisquer que sejam os escalares α, β ∈ R temos
A (αX1 + βX2) = A (αX1) +A (βX2)
= αAX1 + βAX2
= α0 + β0
= 0.
■
A situação é diferente no caso de soluções de um sistema linear não homogêneo:
GAAL Natural 36
2.21 Proposição. Se X1 e X2 são soluções de um sistema linear não homogêneo, então qualquer combinação
linear convexa
αX1 + βX2
isto é, em que os escalares α, β satisfazem
α+ β = 1,
também é uma solução.
Prova. Se X1 e X2 são soluções do sistema linear não homogêneo AX = B, ou seja, com B ̸= 0, então
AX1 = B,
AX2 = B.
Logo, temos
A (αX1 + βX2) = A (αX1) +A (βX2)
= αAX1 + βAX2
= αB + βB
= (α+ β)B
= 1B
= B.
■
Geometricamente, como veremos mais adiante no curso, isso se explica pelo fato de que as soluções de um
sistema linear homogêneo formam um subespaço vetorial (um plano k-dimensional que passa pela origem),
logo contém todo o plano gerado por X1 e X2, enquanto que as soluções de um sistema linear não homogêneo
formam apenas um subespaço afim (um plano k-dimensional que não passa pela origem), logo contém apenas
a reta que passa pelos pontos X1 e X2.
2.6 A Inversa de uma Matriz
2.22 Definição. Dizemos que uma matriz quadrada A é invert́ıvel se existe uma matriz quadrada B tal
que
AB = BA = I.
B é chamada a inversa de A e denotada A−1. Assim,
AA−1 = A−1A = I.
□
A justificativa para o uso do artigo definido em “a inversa de A” e do śımbolo A−1 vem do seguinte resultado:
2.23 Proposição. Se uma matriz possui inversa, esta inversa é única.
Prova. Suponha que
AB1 = B1A = I,
AB2 = B2A = I.
GAAL Natural 37
Usando a associatividade do produto de matrizes, temos
B1 = B1I = B1 (AB2) = (B1A)B2 = IB2 = B2.
■
Matrizes não invert́ıveis também são chamadas matrizes singulares (e matrizes invert́ıveis são portanto
matrizes não singulares). Esta terminologia se explica pelo fato que as matrizes que não são invert́ıveis
constituirem uma “minoria” entre todas as matrizes (apesar de existir um número infinito de matrizes não
invert́ıveis). Esta idéia de “minoria” pode ser formulada matematicamente de maneira bastante precisa,
embora esteja fora do alcance deste curso, especialmentesua demonstração: o espaço das matrizes n × n
é um espaço de dimensão n2; o conjunto das matrizes não invert́ıveis constitui uma superf́ıcie de dimensão
n2 − 1 neste espaço. Imagine uma superf́ıcie de dimensão 2 no espaço tridimensional (note que 2 = 3 − 1);
apesar da superf́ıcie possuir um número infinito de pontos, certamente existe muito mais espaço fora dela.
Outra maneira de enxergar isso é a seguinte: se tivéssemos um saco infinito contendo todas as matrizes
n×n e fôssemos pegar uma matriz de lá de dentro com os olhos vendados, a probabilidade de retirarmos uma
matriz não invert́ıvel seria nula. Em outras palavras, se você for preencher os elementos de uma matriz n×n
aleatoriamente (realmente aleatoriamente), a probabilidade de você obter uma matriz invert́ıvel é 100%.
2.24 Proposição. Valem as seguintes propriedades:
(1) Se A é invert́ıvel, então A−1 também é e
(
A−1
)−1
= A.
(2) Se A,B são matrizes n× n invert́ıveis, então AB também é e
(AB)
−1
= B−1A−1.
(3) Se A é invert́ıvel, então At também é e
(At)
−1
=
(
A−1
)t
.
(4) Se AB = I, então BA = I.
(5) Se A,B são matrizes n× n tais que AB é invert́ıvel, então A e B também são invert́ıveis e
A−1 = B (AB)
−1
,
B−1 = (AB)
−1
A.
Prova. (1) Segue imediatamente da definição:
AA−1 = A−1A = I.
(2) Temos
(AB)
(
B−1A−1
)
= A
(
BB−1
)
A−1 = AIA−1 = AA−1 = I,(
B−1A−1
)
(AB) = B−1
(
A−1A
)
B = B−1IB = B−1B = I,
logo, por definição de inversa, B−1A−1 é a inversa de AB.
GAAL Natural 38
(3) Temos, pela propriedade do produto da transposta,
At
(
A−1
)t
=
(
A−1A
)t
= It = I,(
A−1
)t
At =
(
A−1A
)t
= It = I,
logo, por definição de inversa,
(
A−1
)t
é a inversa de At.
(4) Esta propriedade nos diz que para verificar se uma matriz é invert́ıvel, basta verificar se ela possui uma
inversa à esquerda ou uma inversa à direita. Vamos adiar a demonstração deste resultado para depois de
vermos como aplicar o método de Gauss-Jordan para calcular a inversa de uma matriz, na próxima seção.
(5) Temos
A
[
B (AB)
−1
]
= (AB) (AB)
−1
= I,[
(AB)
−1
A
]
B = (AB)
−1
(AB) = I,
e o resultado segue de (4) e da definição de inversa. ■
2.25 Exerćıcio. Seja m > n. Se A é uma matriz m× n e B é uma matriz n×m, de modo que AB e BA
são matrizes quadradas, é posśıvel que AB ou BA sejam invert́ıveis?
2.7 Cálculo da Inversa de uma Matriz
Vamos ver agora que calcular a inversa de uma matriz n× n equivale essencialmente a resolver simultanea-
mente n sistemas lineares com n variáveis, logo podemos usar o método de Gauss-Jordan para isso.
2.26 Exemplo. Vamos calcular a inversa da matriz
A =
[
1 2
3 4
]
se existir. Obter a inversa A−1de A significa encontrar uma matriz
B =
[
x z
y w
]
tal que AB = I, ou seja, [
1 2
3 4
] [
x z
y w
]
=
[
1 0
0 1
]
.
Achar A−1 é portanto equivalente a resolver dois sistemas simultaneamente[
1 2
3 4
] [
x
y
]
=
[
1
0
]
,[
1 2
3 4
] [
z
w
]
=
[
0
1
]
.
A inversa A−1 existirá se e somente se estes dois sistemas possúırem solução; como a inversa é única, se eles
possúırem solução, cada sistema terá uma solução única.
GAAL Natural 39
Note que estes dois sistemas possuem a mesma matriz de coeficientes; eles só diferem na última coluna das
suas matrizes aumentadas. Consequentemente, podemos resolver os dois sistemas simultaneamente através
de uma única matriz duplamente aumentada:[
1 2
3 4
∣∣∣∣ 10
∣∣∣∣ 01
]
que escrevemos mais simplesmente na forma (matriz aumentada pela identidade)[
1 2
3 4
∣∣∣∣ 1 00 1
]
.
Aplicação do Método de Gauss-Jordan:[
1 2
3 4
∣∣∣∣ 1 00 1
]
∼
[
1 2
0 −2
∣∣∣∣ 1 0−3 1
]
L2 − 3L1
∼
[
1 0
0 −2
∣∣∣∣ −2 1−3 1
]
L1 + L2
∼
[
1 0
0 1
∣∣∣∣ −2 13/2 −1/2
]
L2/ (−2)
.
Portanto, a inversa existe e é igual a
A−1 =
[
−2 1
3/2 −1/2
]
.
Verifique que, de fato, [
1 2
3 4
] [ −2 1
3
2
−1
2
]
=
[
1 0
0 1
]
.
□
A idéia do exemplo é facilmente generalizada para uma matriz n× n: para determinar se A é invert́ıvel
precisamos encontrar uma matriz
B =

x11 x
1
2 . . . x
1
n
x21 x
2
2 . . . x
2
n
...
...
. . .
...
xm1 x
m
2 . . . x
m
n

tal que AB = I, isto é,
a11 a
1
2 . . . a
1
n
a21 a
2
2 . . . a
2
n
...
...
. . .
...
am1 a
m
2 . . . a
m
n


x11 x
1
2 . . . x
1
n
x21 x
2
2 . . . x
2
n
...
...
. . .
...
xm1 x
m
2 . . . x
m
n
 =

1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . 1

GAAL Natural 40
o que corresponde a resolver n sistemas simultaneamente:
a11 a
1
2 . . . a
1
n
a21 a
2
2 . . . a
2
n
...
...
. . .
...
am1 a
m
2 . . . a
m
n


x11
x21
...
xm1
 =

1
0
...
0


a11 a
1
2 . . . a
1
n
a21 a
2
2 . . . a
2
n
...
...
. . .
...
am1 a
m
2 . . . a
m
n


x12
x22
...
xm2
 =

0
1
...
0

...
a11 a
1
2 . . . a
1
n
a21 a
2
2 . . . a
2
n
...
...
. . .
...
am1 a
m
2 . . . a
m
n


x1n
x2n
...
xmn
 =

0
0
...
1

Para isso aplicamos o método de Gauss-Jordan à matriz aumentada pela identidade
[A|I] =

a11 a
1
2 . . . a
1
n
a21 a
2
2 . . . a
2
n
...
...
. . .
...
am1 a
m
2 . . . a
m
n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . 1

Vemos também que o método de Gauss-Jordan fornece não apenas uma maneira de calcular a inversa de
uma matriz, mas também determinar se ela é invert́ıvel ou não: uma matriz n×n será invert́ıvel se e somente
se os n sistemas tiverem solução. Além disso, como a inversa de uma matriz é única, ou todos os sistemas
possuem uma única solução, ou pelo menos um deles não possui solução. Para a solução de cada um dos
sistemas ser única, o método de Gauss-Jordan deve transformar a matriz A na identidade. Resumindo:
2.27 Teorema. Uma matriz A é invert́ıvel se e somente se a matriz aumentada pela identidade
[A|I]
puder ser transformada através do método de Gauss-Jordan em uma matriz da forma
[I|B] .
Se isso ocorrer, então
A−1 = B.
2.28 Exemplo. Vamos verificar se a matriz
A =
 1 2 34 5 6
7 8 9

GAAL Natural 41
é invert́ıvel e calcular sua inversa se ela for. Aplicamos o método de Gauss-Jordan a [A|I]: 1 2 34 5 6
7 8 9
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 ∼
 1 2 30 −3 −6
0 −6 −12
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
−4 1 0
−7 0 1
 L2 − 4L1
L3 − 7L1
∼
 1 2 30 −3 −6
0 0 0
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
−4 1 0
1 −2 1

L3 − 2L2
Vemos que todos os 3 sistemas são imposśıveis de ser resolvido, logo a matriz não é invert́ıvel (bastaria que
um dos sistemas não pudesse ser resolvido, mas neste caso todos não podem). □
Agora podemos provar a propriedade (4) da Proposição 2.24:
Se AB = I, então BA = I.
Prova. AB = I é equivalente a [A|I] poder ser transformada em [I|B] através do método de Gauss-Jordan.
Mas se [A|I] pode ser transformada em [I|B] através de operações elementares, então tomando as operações
elementares inversas (que continuam sendo operações elementares), podemos também transformar [B|I] em
[I|A], o que é equivalente a BA = I. ■
Da mesma forma que podemos usar sistemas lineares para calcular inversas, podemos usar inversas para
obter informações sobre sistemas lineares (a demonstração do teorema a seguir segue de tudo que vimos
acima):
2.29 Teorema. Seja A uma matriz n× n.
(1) O sistema AX = B tem solução única se e somente se A é invert́ıvel.
Neste caso, a solução única é
X = A−1B.
(2) O sistema homogêneo AX = 0 tem solução não trivial se e somente se A não é invert́ıvel.
Caṕıtulo 3
Vetores no Plano e no Espaço
Várias grandezas f́ısicas, tais como por exemplo comprimento, área, volume, tempo, massa e temperatura,
são completamente descritas por um único número, que chamamos o valor da grandeza. Tais grandezas são
chamadas escalares e são modeladas por números reais.
Outras grandezas f́ısicas não são completamente caracterizadas por um valor, até que uma direção e um
sentido também sejamespecificados. Exemplos são deslocamento, velocidade e força (por exemplo, em geral
não basta especificar qual foi a distância percorrida no deslocamento, mas também é necessário dizer em que
direção e em qual sentido). Tais grandezas são chamadas vetoriais e são modeladas por vetores.
Neste caṕıtulo, estudaremos o conceito de vetores no plano bidimensional e no espaço tridimensional.
Começaremos definindo (modelando) vetores do ponto de vista geométrico. É importante entender que veto-
res são objetos geométricos, independentes das coordenadas que introduziremos posteriormente no caṕıtulo
para poder fazer cálculos com eles. O ponto de vista de coordenadas será importante não apenas para fazer
computações com vetores, mas também para permitir (em um caṕıtulo posterior) definir e trabalhar com
eles em espaços com mais de três dimensões, onde não poderemos usar a nossa intuição geométrica de forma
direta. (No entanto, veremos que a intuição adquirida em duas e três dimensões nos permitirá ter alguma
intuição em espaços com mais de três dimensões e servirá como um guia para ajudar a navegar lá.)
42
GAAL Natural 43
3.1 Vetores como Objetos Geométricos
Vamos definir precisamente o que queremos dizer com direção, sentido e valor de um vetor. Para isso,
usaremos a geometria do plano e do espaço.
Direção: Dois pontos distintos A e B no plano ou no espaço determinam uma reta. Esta reta determina
uma direção no plano ou no espaço. Não precisamos da reta toda para determinar esta direção: o segmento
da reta entre os pontos A e B, que é a parte da reta compreendida entre estes dois pontos, serve muito bem
para determinar esta direção.
Sentido: Este segmento de reta pode ser facilmente orientado, determinando um sentido para o segmento,
se escolhermos um dos pontos extremos do segmento como sendo o ponto inicial e escolhermos o outro ponto
extremo como sendo o ponto final. Assim, só há dois sentidos posśıveis. O segmento orientado com ponto
inicial A e ponto final B será denotado simplesmente por AB. O segmento orientado com ponto inicial B e
ponto final A será denotado simplesmente por BA; ele tem sentido oposto ao sentido do segmento AB.
Também consideraremos segmentos orientados nulos, isto é, segmentos orientados cujos pontos iniciais e
finais coincidem (visualmente parecem-se com pontos): por exemplo, o segmento orientado AA e o segmento
orientado BB.
Valor: Todo segmento tem um comprimento. Denotaremos o comprimento do segmento AB por ∥AB∥.
Figura 1: O vetor v é representado pelo segmento orientado AB.
Segmentos orientados possuem portanto uma direção, um sentido e um comprimento. Eles então podem
ser usados como modelos para vetores: o valor de um vetor é modelado pelo comprimento do segmento
orientado que representa o vetor.
No entanto, é importante notar que segmentos orientados também são determinados pelo seu ponto inicial.
Segmentos orientados paralelos, com o mesmo sentido e comprimento, mas com pontos iniciais diferentes são
geometricamente distintos. Eles são modelos (representações) para o que chamamos vetores localizados.
Vetores localizados são importantes em várias situações onde o ponto de aplicação do vetor é importante.
Na maior parte deste curso consideraremos situações onde o ponto de aplicação do vetor não é importante, e
seremos livres para mover o ponto de aplicação do vetor para onde for mais conveniente. Chamamos vetores
sem ponto de aplicação simplesmente vetores.
Vetores portanto são objetos unicamente caracterizados por direção, sentido e comprimento. Eles serão
representados por segmentos orientados desde que fizermos a seguinte convenção: segmentos orientados
GAAL Natural 44
pertencentes a retas paralelas tais que, quando estas retas são movidas paralelamente uma na direção da
outra até coincidirem, ocorre que os pontos iniciais e finais destes segmentos também coincidem, representam
o mesmo vetor. Portanto, um mesmo vetor v pode ser representado por vários segmentos orientados diferentes
AB, CD, EF , etc.
A única exceção é o vetor nulo 0, que não tem direção e sentido e é representado por segmentos
orientados do tipo AA, BB, CC, etc.
Figura 2: O vetor v é representado pelos segmentos orientados AB, CD e EF .
Assim, um vetor pode ser representado por vários segmentos orientados diferentes. A situação é análoga
à dos números racionais, que podem ser representados por várias frações diferentes: as frações
1
2
,
2
4
,
5
10
,
111
222
representam todas o mesmo número racional.
Resumindo:
Vetores são representados matematicamente por segmentos orientados.
e
Segmentos orientados que coincidem através de um transporte paralelo
representam o mesmo vetor.
Vetores são representados graficamente por setas, que permitem a visualização imediata da sua direção,
sentido e norma.
O comprimento de um vetor é mais comumente chamado a norma do vetor. Assim, se v é representado
pelo segmento orientado AB, a norma de v é simplesmente o comprimento de AB:
∥v∥ = ∥AB∥ .
Note que a norma do vetor nulo é zero:
∥0∥ = 0.
GAAL Natural 45
Em geral usaremos as letras u, v, w para representar vetores (ou outras letras minúsculas) e o vetor nulo
pelo mesmo śımbolo 0 para o número zero. Alguns autores usam fonte em negrito para representar vetores
u,v,w,0. Outros ainda usam letras com setas em cima −→u ,−→v ,−→w ,−→0 . Optamos por usar uma notação menos
carregada, o que em facilita a compreensão do assunto e a manipulação dos śımbolos (isto é, fazer cálculos
com eles); em geral do contexto estará claro quando estamos nos referindo a vetores e quando estamos nos
referindo a outros objetos matemáticos.
3.2 Operações com Vetores
As propriedades básicas entre vetores que podem ser definidas para quaisquer vetores, mesmo vetores em
espaços de dimensões maiores, são a soma de vetores e a multiplicação de vetores por escalares. O produto
de vetores não é uma operação básica e veremos mais tarde no texto duas das definições mais úteis.
3.2.1 Soma de Vetores
Veremos duas definições equivalentes da soma de vetores. Cada uma é mais conveniente de usar conforme a
situação.
3.1 Definição (Regra do Triângulo). Sejam v, w dois vetores. Sua soma v + w é o vetor definido da
seguinte maneira:
Escolha um representante qualquer AB para o vetor v. Para o vetor w escolha o único representante BC
com ponto inicial B, isto é, o representante cujo ponto inicial é o ponto final do representante de v. O vetor
v + w é representado pelo segmento orientado AC, cujo ponto inicial é o ponto inicial A de v e cujo ponto
final é o ponto final C de w. □
Figura 3: Regra do Triângulo.
GAAL Natural 46
Esta definição é motivada pela uso de vetores para representar deslocamentos. Nesta interpretação, a soma
de dois vetores corresponde à composição de deslocamentos, ou seja, o deslocamento total : deslocar primeiro
de A para B e depois deslocar de B para C tem o mesmo resultado que deslocar diretamente de A para C.
3.2 Definição (Regra do Paralelogramo). Sejam v, w dois vetores. Sua soma v + w é o vetor definido
da seguinte maneira:
Escolha os representantes respectivos AB e AC de v e w que tem o mesmo ponto inicial A. Eles
determinam um paralelogramo ABDC e o vetor v + w é o vetor representado pela diagonal (segmento
orientado) AD. □
Figura 4: Regra do Paralelogramo.
Esta definição é motivada pela uso de vetores para representar forças. Nesta interpretação, a soma de dois
vetores corresponde à resultante das forças: ter duas forças aplicadas em um mesmo ponto A é equivalente
a uma única força aplicada em A na direção da diagonal do paralelogramo formado por estas duas forças.
Note que as duas definições são equivalentes, isto é, produzem o mesmo vetor v + w.
3.2.2 Multiplicação de um Vetor por um Escalar
3.3 Definição. Se v é um vetor não-nulo e α é um número real não-nulo,então a multiplicação do vetor
v pelo escalar α é o vetor denotado αv definido por
(i) αv tem a direção de v;
(ii) αv tem o mesmo sentido de v se α > 0 e
αv tem o sentido oposto de v se α < 0;
(iii)
∥αv∥ = |α| ∥v∥ .
Definimos
0v = 0
GAAL Natural 47
e
α0 = 0.
□
3.4 Definição. Se
w = αv,
dizemos que w é um múltiplo escalar do vetor v. □
O vetor nulo 0 é múltiplo escalar de qualquer vetor, pois 0 = 0v. Note que, pela definição acima, dois vetores
não-nulos são paralelos se e somente se um é múltiplo escalar do outro.
3.3 Propriedades das Operações Vetoriais
3.3.1 Soma de Vetores
3.5 Proposição. A soma de vetores satisfaz as seguintes propriedades:
1) Comutatividade
v + w = w + v
para todos os vetores v, w.
2) Associatividade
u+ (v + w) = (u+ v) + w
para todos os vetores u, v, w.
3) Existência de Elemento Neutro
v + 0 = 0 + v = v
para todo vetor v.
4) Existência de Inverso Aditivo
Dado v, definimos a −v por
−v = (−1) v.
Então vale
v + (−v) = (−v) + v = 0
para todo vetor v.
Prova. 1) A comutatividade da soma de vetores pode ser facilmente vista através da regra do triângulo,
como na figura a seguir:
GAAL Natural 48
Figura 5: Comutatividade da soma via regra do triângulo.
2) A associatividade da soma de vetores também pode ser facilmente vista através da regra do triângulo,
como na figura abaixo:
Figura 6: Associatividade da soma via regra do triângulo.
3) e 4) são óbvias da definição. ■
Uma vez que a soma tem um elemento inverso, podemos definir a diferença entre vetores:
v − w := v + (−w) .
O vetor diferença v − w também pode ser calculado através de uma espécie de regra do triângulo: escolha
representantes para v e w que tem o mesmo ponto inicial; o vetor v − w é representado pelo segmento
orientado cujo ponto inicial é o ponto final de w e cujo ponto final é o ponto final de v.
GAAL Natural 49
Figura 7: O vetor v − w.
3.3.2 Multiplicação de um Vetor por um Escalar
3.6 Proposição. A multiplicação de um vetor por um escalar satisfaz as seguintes propriedades:
1) Associatividade
α (βv) = (αβ) v
para todos os escalares α, β e para todo vetor v.
2) Distributividade
α (v + w) = αv + αw,
(α+ β) v = αv + βv,
para todos os escalares α, β e para todos os vetores v, w.
3) Existência de Elemento Neutro
1v = v
para todo vetor v.
Prova. 1), a segunda equação de 2) e 3) são fáceis. Para provar a primeira equação de 2), usamos a regra
do paralelogramo e semelhança de triângulos, como indicado na figura a seguir:
GAAL Natural 50
Figura 8: Distributividade.
■
3.7 Exemplo. Usando vetores podemos provar mais facilmente resultados de geometria. Por exemplo, o
teorema:
Seja ABC um triângulo e M,N os pontos médios dos lados AC e BC.
Então o segmento MN é paralelo ao lado AB e tem comprimento igual à metade do comprimento de
AB.
C
A B
M N
Figura 9: O triângulo ABC e os pontos médios M,N .
3.8 Exemplo. Prova. Vendo os segmentos orientados como vetores, basta provar que
MN =
1
2
AB,
pois vetores são paralelos se e somente se um é múltiplo escalar do outro.
Para provar esta equação, observamos que
MN = MC + CN
GAAL Natural 51
e que, porque M é o ponto médio de AC e N é o ponto médio de BC, segue que
MC =
1
2
AC,
CN =
1
2
CB.
Logo,
MN = MC + CN
=
1
2
AC +
1
2
CB
=
1
2
(AC + CB)
=
1
2
AB.
□
3.4 Vetores em Coordenadas
3.9 Definição. Introduza um sistema de coordenadas cartesianas no ambiente em que você está trabalhando,
seja ele o plano ou o espaço. Isso significa escolher um ponto para ser a origem e retas perpendiculares onde
você escolhe o sentido positivo (duas retas no plano para os eixos x e y e três retas no espaço para os eixos
x, y, z).
Dado um vetor v, escolha o representante para v cujo ponto inicial é a origem deste sistema de co-
ordenadas. Então definimos as coordenadas do vetor v como sendo as coordenadas do ponto final deste
representante de v. □
Figura 10: Coordenadas de um vetor no plano.
GAAL Natural 52
No plano,
v = (v1, v2) .
Figura 11: Coordenadas de um vetor no espaço.
No espaço,
v = (v1, v2, v3) .
3.4.1 Operações com Vetores em Coordenadas
Se os vetores são dados em coordenadas, podemos fazer operações com eles usando estas coordenadas:
3.10 Proposição. 1) No plano, se
v = (v1, v2) ,
w = (w1, w2) ,
então
v + w = (v1 + w1, v2 + w2)
e se α é um escalar,
αv = (αv1, αv2) .
2) No espaço, se
v = (v1, v2, v3) ,
w = (w1, w2, w3) ,
GAAL Natural 53
então
v + w = (v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)
e
αv = (αv1, αv2, αv3) .
Prova. 1) Para verificar a soma de vetores em coordenadas, usamos a regra do paralelogramo como indicado
na figura a seguir para a primeira coordenada (observe como os dois triângulos retângulos da figura são
congruentes, logo suas bases tem o mesmo comprimento w1):
Figura 12: Soma de vetores no plano em coordenadas.
A multiplicação por escalar no plano pode ser provada usando triângulos semelhantes e os detalhes, assim
como o caso espacial 2) são deixados como exerćıcio. ■
3.11 Exemplo. Se
v = (2,−1, 4) ,
w =
(
−
√
2,−3
2
√
2, 1
)
,
então
3v −
√
2w = 3 (2,−1, 4)−
√
2
(
−
√
2,−3
2
√
2, 1
)
= (6,−3, 12) +
(
2, 3,−
√
2
)
=
(
8, 0, 12−
√
2
)
.
□
GAAL Natural 54
3.4.2 Norma de um Vetor em Coordenadas
Se um vetor é dado em coordenadas, podemos calcular sua norma em função destas coordenadas:
3.12 Proposição. 1) No plano, se
v = (v1, v2) ,
então
∥v∥ =
√
v21 + v
2
2 .
2) No espaço, se
v = (v1, v2, v3) ,
então
∥v∥ =
√
v21 + v
2
2 + v
2
3 .
Prova. 1) É consequência direta do Teorema de Pitágoras (veja Figura 10). 2) É consequência de aplicar o
Teorema de Pitágoras duas vezes. Usando o diagrama a seguir
Figura 13: Norma de um vetor no espaço.
note que aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo vertical temos
∥v∥2 = l2 + v23 .
Mas considerando o triângulo horizontal no plano xy segue que
l2 = v21 + v
2
2 .
Portanto
∥v∥2 = l2 + v23
= v21 + v
2
2 + v
2
3 .
■
GAAL Natural 55
3.13 Exemplo. Se
v = (1, 0,−1) ,
então
∥v∥ =
√
12 + 02 + (−1)2 =
√
2.
□
3.5 Produto Escalar
O produto escalar, como o próprio nome indica, é um produto de dois vetores cujo resultado é um escalar.
Veremos primeiro a sua definição em coordenadas, que é conceitualmente muito simples, e depois a sua
interpretação geométrica.
3.5.1 Produto Escalar em Coordenadas
3.14 Definição. O produto escalar de dois vetores v, w é o escalar v · w definido no plano por
v · w = v1w1 + v2w2
se v = (v1, v2) e w = (w1, w2), e definido no espaço por
v · w = v1w1 + v2w2 + v3w3
se v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3). □
Ou seja, para calcular o produto escalar de dois vetores, basta somar os produtos das coordenadas corres-
pondentes (há 2 coordenadas no plano e 3 coordenadas no espaço). O produto escalar também é comumente
chamado produto interno, por motivos que estão além do ńıvel deste curso explicar.
3.15 Exemplo. No plano
(1,−1) · (4, 2) = 1 · 4 + (−1) · 2
= 4− 2
= 2,
(−5, 2) · (3, 7) = (−5) · 3 + 2 · 7
= −15 + 14
= −1,
e
(1, 0) · (0, 1) = 1 · 0 + 0 · 1
= 0 + 0
= 0.
No espaço,
(1, 0,−1) · (4,−5, 2) = 1 · 4 + 0 · (−5) + (−1) · 2
= 4 + 0− 2
= 2,
GAAL Natural 56
(−5, 3, 2) · (3,−1, 7) = (−5) · 3 + 3 · (−1) + 2 · 7
= −15− 3 + 14
= −4,
e
(1, 0,−1) · (0, 1, 0) = 1 · 0 + 0 · 1 + (−1) · 0
= 0 + 0 + 0
= 0.
□
3.5.2 Interpretação Geométrica
O produto escalar tem uma interpretação geométrica muito importante, ligada às normas dos vetores e o
ângulo que eles fazem entre si:
3.16 Teorema. Se v, w são vetores não nulos que fazem um ângulo θ entre si, então
v · w = ∥v∥ ∥w∥ cos θ.
Prova. Esta é uma consequência da lei dos cossenos para um triângulo arbitrário. Lembrando a regra do
triângulo para a diferença entre vetores
Figura 14: Triângulo formado pelos vetores v, w e v − w.
como o ângulo entre os vetores v e w é θ, o lado formado pelo vetor v tem comprimento ∥v∥, o lado formado
pelo vetor w tem comprimento