Cap_06_3a_aula_Momentos de Inércia

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6. MOMENTOS DE INÉRCIA
6.8. Momentos Principais de Inércia
Já sabemos que, para um par de eixos inclinados, os momentos e produtos 
de inércia são dados, por:
cos 2 2
2 2
x y x y
u xy
I I I I
I I senθ θ+ −= + −
cos 2 2
2 2
x y x y
v xy
I I I I
I I senθ θ+ −= − +
2 cos 2
2
x y
uv xy
I I
I sen Iθ θ−= +
Os momentos principais de inércia são valores críticos (máximo e mínimo), 
portanto, para saber em que inclinação eles estão, basta fazer:
2
0 2 2 2 cos 2 0 tan 2
2
x y xyu
xy
y x
I I IdI sen I
d I I
θ θ θθ
−= ∴− − = ∴ = −
Chamando , temos: pθ θ=
12 2tan 2 2 tanxy xyP P
y x y x
I I
I I I I
θ θ − ⎛ ⎞= ⇒ = ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
A solução da equação acima fornece dois valores, tais que: 
2 ' 2 '' ' '' / 2p p p pθ θ π θ θ π= + ⇒ = +
6.8. Momentos Principais de Inércia (cont.)
Para o eixo de resulta em chama-se MAXI 1Pθ
Para o eixo de resulta em chama-se MINI 2Pθ
Para obtermos as expressões dos momentos 
de inércia máximo e mínimos, basta fazermos:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2
2 ;cos 2
2 2
xy y x
P P
xy y x xy y x
I I I
sen
I I I I I I
θ θ −= =
+ − + −
Substituindo essas expressões nas de rotação de eixos, temos:
( )2 2max 1 2 2x y x y xyI I I II I I+ −⎛ ⎞= = + +⎜ ⎟⎝ ⎠
( )2 2min 2 2 2x y x y xyI I I II I I+ −⎛ ⎞= = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
1Pθ 2PθOBS: Os ângulos e caracterizam a POSIÇÃO PRINCIPAL DE INÉRCIA. 
1
2
2Pθ
Ex.1: Para figura abaixo, localize as coordenadas do centróide e depois determine a 
posição principal de inércia e os respectivos valores de momento de inércia máximos 
mínimos. 
6.8. Momentos Principais de Inércia (cont.)
60mm
80mm
10mm
10mm
6.9. Círculo de Mohr para momentos de inércia
Círculo de Mohr é o gráfico da variação dos momentos e produtos de inércia em razão da 
rotação dos eixos. Sabendo que:
cos 2 2
2 2
x y x y
u xy
I I I I
I I senθ θ+ −= + − 2 cos 2
2
x y
uv xy
I I
I sen Iθ θ−= +
Elevando-se as duas expressões acima ao quadrado e somando o resultado, tem-se:
( )
2 2
22 2 2 2
2 2
x y x y
u uv xy u uv
I I I I
I I I I a I R
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = + ⇒ − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Equação da 
circunferência com 
centro em (a;0)
O círculo construído a partir dessa equação é denominado de CÍRCULO DE MOHR. De 
forma geral, tem-se:
6.9. Círculo de Mohr para momentos de inércia (cont.)
PROCEDIMENTO PARA O TRAÇADO DO CÍRCULO DE MOHR (Hibbeler):
1º - Determine para figura , e ;
2º - Construa um sistema de coordenadas com a 
abscissa representando o momento de inércia e 
ordenada o produto de inércia;
3º - Determine o centro do círculo localizado a uma 
distância da origem e represente o ponto 
“A” tendo as coordenadas 
4º - Determine o raio conforme expressão na figura e 
trace o círculo;
5º - é det. através da trigonometria, conforme 
ilustrado na figura. IMPORTANTE ressaltar que todos 
os ângulos medidos no círculo de Mohr tem o dobro do 
valor do ângulo de rotação.
OBS: Os momentos de inércia máximos e mínimos são 
justamente os valores onde círculo cruza o eixo I.
OBS2: O ponto “B” representa o eixo perpendicular a 
“x”, dessa forma em B, tem-se . 
xI yI xyI
( ) / 2x yI I+ ( ), ;x xyI I
1Pθ
1
2
2Pθ
B
yI
Ex2.: Para figura abaixo (seção “Z” revertido), localize as coordenadas do centróide e 
depois, usando o círculo de Mohr, determine a posição principal de inércia e os 
respectivos valores de momento de inércia máximos mínimos. 
40mm
10mm
10mm
10mm
40mm
6.9. Círculo de Mohr para momentos de inércia (cont.)
80mm
Ex3.: Para figura abaixo (seção de canal assimétrico), localize as coordenadas do 
centróide e depois, usando o círculo de Mohr, determine a posição principal de inércia 
e os respectivos valores de momento de inércia máximos mínimos. 
40mm
70mm 10mm
10mm
10mm
80mm
6.9. Círculo de Mohr para momentos de inércia (cont.)