Cap_06_1a_aula_Momentos de Inércia

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6. MOMENTOS DE INÉRCIA
6.1. Definições 
Considere a área plana abaixo:
Por definição, o Momento de Inércia da área “dA” em relação aos eixos x e y são 
dados, respectivamente, por:
2 ;xdI y dA= 2ydI x dA=
Para toda área:
2 2;x y
A A
I y dA I x dA= =∫ ∫
OBS: Os momentos de inércia são SEMPRE positivos e tem dimensão 4L
6.1. Definições (cont.)
Além disso, define-se raio de giração de uma área em relação a um eixo, na forma:
Então, os Momentos de Inércia de área ainda podem ser expressos como:
; ;yx ox y o
II Ji i i
A A A
= = =
2 2 2; ;x x y y o oI i A I i A J i A= = =
E ainda, o Momento Polar de Inércia em relação ao ponto “o”, é dado por:
( )2 2 2o x y
A A
J r dA y x dA I I= = + = +∫ ∫
6.2. Determinação dos Momentos de Inércia por integração
Consiste em solucionar as seguintes integrais:
2 2;x y
A A
I y dA I x dA= =∫ ∫
Exemplo1: Determinar os momentos de inércia para figura abaixo em relação 
aos eixos x e y indicados:
x
y
h
b
6.2. Determinação dos Momentos de Inércia por integração (cont.)
Exemplo2: Determinar os momentos de inércia para figura abaixo em relação 
aos eixos x e y indicados:
6.3. Teorema dos Eixos Paralelos
Considere a área plana abaixo com os eixos centrais* x’ e y’ em destaque:
* São eixos coordenados com sua origem no centróide da área.
( ) ( )22 2 2
2 2
' ' 2 '
' 2 '
x
A A A
A A A
I y dA y y dA y y y y dA
y dA y y dA y dA
= = + = + +
= + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
x
y
6.3. Teorema dos Eixos Paralelos (cont.)
Sendo:
2
''
' 0
x
A
A
A
y dA I
y dA
dA A
=
=
=
∫
∫
∫
Então:
2
'x xI I y A= +
Momento de inércia da área em relação ao eixo central x’;
Momento estático de área de “A” em relação a x’;
Área total.
2
'y yI I x A= +
2
'o oJ J d A= +
Teorema dos eixos paralelos
OBS: Por definição, um momento de inércia de uma área em relação a um eixo 
que passa pelo seu centróide é denominado MOMENTO DE INÉRCIA CENTRAL
6.2. Determinação dos Momentos de Inércia por integração (cont.)
Exemplo 4: Determinar os momentos de inércia centrais da figura abaixo segundo 
eixos paralelos em relação aos x-y indicados:
6.3. Produto de Inércia
Considere a área plana ilustrada abaixo:
Por definição, o Produto de Inércia da área A em relação aos eixos x e y, é dado 
por:
xy xy
A
dI xydA I xydA= ⇒ = ∫
OBS 1: Ao contrário dos momentos de inércia, que são sempre positivos, o produto de inércia 
pode assumir valores positivos, negativos e mesmo valor nulo, a depender da posição dos 
eixos xy em relação a área.
OBS 2: , sempre que um dos eixos de referência é de simetria da área.0xyI =
6.5. Produto de inércia (cont.)
Há também o teorema dos eixos paralelos para produtos de inércia. Portanto, 
considere a figura abaixo com xy e eixos centrais x’y’ paralelos:
( )( ) ( )
' '
' ' ' ' ' '
' ' ' '
xy
A A
x y
A A A A
I x x y y dA x y x y xy x y dA
x y dA y x dA x y dA x y dA I x yA
= + + = + + +
= + + + = +
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
OBS: dx e dy são coordenadas do centróide da área em relação aos eixos paralelos 
xy.
x
y
Exemplo3: Determinar o produto de inércia, por integração, em relação a um 
par de eixos centrais paralelos aos x-y indicados:
6.5. Produto de inércia (cont.)